De enkleste førsteordens differensialligningene er eksempler. Første ordens differensialligninger

Utdanningsinstitusjon "Hviterussisk stat

Landbruksakademiet"

Institutt for høyere matematikk

DIFFERENSIALLIGNINGER AV FØRSTE ORDEN

Forelesningsnotater for regnskapsstudenter

korrespondanseform for utdanning (NISPO)

Gorki, 2013

Første ordens differensialligninger

Konseptet med en differensialligning. Generelle og spesielle løsninger

Når man studerer ulike fenomener, er det ofte ikke mulig å finne en lov som direkte forbinder den uavhengige variabelen og den ønskede funksjonen, men det er mulig å etablere en sammenheng mellom den ønskede funksjonen og dens deriverte.

Forholdet som forbinder den uavhengige variabelen, den ønskede funksjonen og dens deriverte kalles differensialligning :

Her x– uavhengig variabel, y– den nødvendige funksjonen,
- derivater av ønsket funksjon. I dette tilfellet må relasjon (1) ha minst én derivert.

Rekkefølgen av differensialligningen kalles rekkefølgen til den høyeste deriverte inkludert i ligningen.

Tenk på differensialligningen

. (2)

Siden denne ligningen bare inkluderer en førsteordens derivert, kalles den er en førsteordens differensialligning.

Hvis ligning (2) kan løses med hensyn til den deriverte og skrives i formen

, (3)

da kalles en slik likning en førsteordens differensialligning i normalform.

I mange tilfeller er det tilrådelig å vurdere en formlikning

som kalles en førsteordens differensialligning skrevet i differensialform.

Fordi
, så kan ligning (3) skrives i formen
eller
, hvor vi kan telle
Og
. Dette betyr at ligning (3) konverteres til ligning (4).

La oss skrive ligning (4) i skjemaet
. Da
,
,
, hvor vi kan telle
, dvs. en ligning av formen (3) oppnås. Således er ligningene (3) og (4) ekvivalente.

Løse en differensialligning (2) eller (3) kalles en hvilken som helst funksjon
, som, når du erstatter det med ligning (2) eller (3), gjør det til en identitet:

eller
.

Prosessen med å finne alle løsninger på en differensialligning kalles dens integrering , og løsningsgrafen
differensialligning kalles integrert kurve denne ligningen.

Hvis løsningen til differensialligningen er oppnådd i implisitt form
, da heter det integrert av denne differensialligningen.

Generell løsning av en førsteordens differensialligning er en familie av funksjoner av formen
, avhengig av en vilkårlig konstant MED, som hver er en løsning på en gitt differensialligning for enhver tillatt verdi av en vilkårlig konstant MED. Dermed har differensialligningen et uendelig antall løsninger.

Privat avgjørelse differensialligning er en løsning hentet fra den generelle løsningsformelen for en spesifikk verdi av en vilkårlig konstant MED, inkludert
.

Cauchy-problemet og dets geometriske tolkning

Ligning (2) har et uendelig antall løsninger. For å velge én løsning fra dette settet, som kalles en privat, må du angi noen tilleggsbetingelser.

Problemet med å finne en bestemt løsning på ligning (2) under gitte forhold kalles Cauchy problem . Dette problemet er et av de viktigste i teorien om differensialligninger.

Cauchy-problemet er formulert som følger: finn en slik løsning blant alle løsninger av ligning (2).
, der funksjonen
tar den gitte numeriske verdien , hvis den uavhengige variabelen x tar den gitte numeriske verdien , dvs.

,
, (5)

Hvor D– definisjonsdomene for funksjonen
.

Betydning ringte startverdien til funksjonen , A – startverdien til den uavhengige variabelen . Tilstand (5) kalles starttilstand eller Cauchy tilstand .

Fra et geometrisk synspunkt kan Cauchy-problemet for differensialligning (2) formuleres som følger: fra settet med integralkurver av ligning (2), velg den som går gjennom et gitt punkt
.

Differensialligninger med separerbare variabler

En av de enkleste typene differensialligninger er en førsteordens differensialligning som ikke inneholder den ønskede funksjonen:

. (6)

Med tanke på det
, skriver vi ligningen i skjemaet
eller
. Ved å integrere begge sider av den siste ligningen får vi:
eller

. (7)

Dermed er (7) en generell løsning på ligning (6).

Eksempel 1 . Finn den generelle løsningen på differensialligningen
.

Løsning . La oss skrive ligningen i skjemaet
eller
. La oss integrere begge sider av den resulterende ligningen:
,
. Vi skal endelig skrive det ned
.

Eksempel 2 . Finn løsningen på ligningen
gitt det
.

Løsning . La oss finne en generell løsning på ligningen:
,
,
,
. Etter tilstand
,
. La oss bytte inn i den generelle løsningen:
eller
. Vi erstatter den funnet verdien av en vilkårlig konstant i formelen for den generelle løsningen:
. Dette er en spesiell løsning av differensialligningen som tilfredsstiller den gitte betingelsen.

Ligning

(8)

Ringte en førsteordens differensialligning som ikke inneholder en uavhengig variabel . La oss skrive det i skjemaet
eller
. La oss integrere begge sider av den siste ligningen:
eller
- generell løsning av ligning (8).

Eksempel . Finn den generelle løsningen på ligningen
.

Løsning . La oss skrive denne ligningen i formen:
eller
. Da
,
,
,
. Slik,
er den generelle løsningen av denne ligningen.

Formens ligning

(9)

integreres ved hjelp av separasjon av variabler. For å gjøre dette skriver vi ligningen i skjemaet
, og deretter ved å bruke operasjonene multiplikasjon og divisjon bringer vi det til en slik form at en del bare inkluderer funksjonen til X og differensial dx, og i den andre delen – funksjonen til på og differensial dy. For å gjøre dette må begge sider av ligningen multipliseres med dx og dele med
. Som et resultat får vi ligningen

, (10)

hvor variablene X Og på separert. La oss integrere begge sider av ligning (10):
. Den resulterende relasjonen er det generelle integralet til ligning (9).

Eksempel 3 . Integrer ligning
.

Løsning . La oss transformere ligningen og skille variablene:
,
. La oss integrere:
,
eller er det generelle integralet til denne ligningen.
.

La ligningen gis i formen

Denne ligningen kalles førsteordens differensialligning med separerbare variabler i symmetrisk form.

For å skille variablene må du dele begge sider av ligningen med
:

. (12)

Den resulterende ligningen kalles separert differensialligning . La oss integrere ligning (12):

.(13)

Relasjon (13) er det generelle integralet av differensialligning (11).

Eksempel 4 . Integrer en differensialligning.

Løsning . La oss skrive ligningen i skjemaet

og dele begge deler med
,
. Den resulterende ligningen:
er en separert variabelligning. La oss integrere det:

,
,

,
. Den siste likheten er det generelle integralet til denne differensialligningen.

Eksempel 5 . Finn en spesiell løsning på differensialligningen
, som tilfredsstiller betingelsen
.

Løsning . Med tanke på det
, skriver vi ligningen i skjemaet
eller
. La oss skille variablene:
. La oss integrere denne ligningen:
,
,
. Den resulterende relasjonen er det generelle integralet til denne ligningen. Etter tilstand
. La oss erstatte det med det generelle integralet og finne MED:
,MED=1. Så uttrykket
er en partiell løsning av en gitt differensialligning, skrevet som en partiell integral.

Lineære differensialligninger av første orden

Ligning

(14)

ringte lineær differensialligning av første orden . Ukjent funksjon
og dens deriverte kommer inn i denne ligningen lineært, og funksjonene
Og
kontinuerlig.

Hvis
, deretter ligningen

(15)

ringte lineær homogen . Hvis
, så kalles ligning (14). lineær inhomogen .

For å finne en løsning på ligning (14) bruker man vanligvis erstatningsmetode (Bernoulli) , hvis essens er som følger.

Vi skal se etter en løsning på ligning (14) i form av et produkt av to funksjoner

, (16)

Hvor
Og
- noen kontinuerlige funksjoner. La oss erstatte
og derivat
inn i ligning (14):

Funksjon v vi vil velge på en slik måte at betingelsen er oppfylt
.
Da

. For å finne en løsning på ligning (14), er det derfor nødvendig å løse systemet med differensialligninger
,
,
,
,
Den første ligningen til systemet er en lineær homogen ligning og kan løses ved metoden for separasjon av variabler:
. Som en funksjon MED=1:
du kan ta en av delløsningene til den homogene ligningen, dvs. på
eller
. La oss bytte inn i den andre ligningen av systemet:
.Da
.

. Dermed har den generelle løsningen til en førsteordens lineær differensialligning formen Eksempel 6
.

Løsning . Løs ligningen
. Da
. Vi skal se etter en løsning på ligningen i skjemaet

eller
. La oss erstatte inn i ligningen: v. Funksjon
. Da
velge på en slik måte at likestillingen holder
,
,
,
,. La oss erstatte inn i ligningen: v. La oss løse den første av disse ligningene ved å bruke metoden for separasjon av variabler:
,
,
,
La oss bytte inn i den andre ligningen:
.

. Den generelle løsningen på denne ligningen er

Spørsmål for selvkontroll av kunnskap

Hva er en differensialligning?

Hva er rekkefølgen til en differensialligning?

Hvilken differensialligning kalles en førsteordens differensialligning?

Hvordan skrives en førsteordens differensialligning i differensialform?

Hva er løsningen på en differensialligning?

Hva er en integralkurve?

Hva er den generelle løsningen av en førsteordens differensialligning?

Hva kalles en partiell løsning av en differensialligning?

Hvordan er Cauchy-problemet formulert for en førsteordens differensialligning?

Hva er den geometriske tolkningen av Cauchy-problemet?

Hvordan skrive en differensialligning med separerbare variabler i symmetrisk form?

Hvilken ligning kalles en førsteordens lineær differensialligning?

Hvilken metode kan brukes for å løse en førsteordens lineær differensialligning og hva er essensen av denne metoden?

Arbeidsoppgaver for selvstendig arbeid

Løs differensialligninger med separerbare variabler:
EN)
;

;
b)
.

V)

Løs differensialligninger med separerbare variabler:
EN)
;
;

G)
2. Løs førsteordens lineære differensialligninger:
.

; .

V) G);

d) .

Enten er de allerede løst med hensyn til den deriverte, eller de kan løses med hensyn til den deriverte

Generell løsning av differensialligninger av typen på intervallet,

X , som er gitt, kan finnes ved å ta integralen av begge sider av denne likheten. Vi får Hvis vi ser på egenskapene til det ubestemte integralet, finner vi den ønskede generelle løsningen: y = F(x) + C G) Hvor MED F(x)

- en av de primitive funksjonene G) ikke indikere. Det betyr at det må finnes en løsning for alle. x, for hvilken og ønsket funksjon y, og den opprinnelige ligningen gir mening.

Hvis du trenger å beregne en bestemt løsning på en differensialligning som tilfredsstiller startbetingelsen y(x 0) = y 0, deretter etter å ha beregnet det generelle integralet Generell løsning av differensialligninger av typen på intervallet, er det fortsatt nødvendig å bestemme verdien av konstanten C = C 0, ved å bruke den opprinnelige tilstanden. Det vil si en konstant C = C 0 bestemt ut fra ligningen F(x 0) + C = y 0, og den ønskede partielle løsningen av differensialligningen vil ha formen:

y = F(x) + C 0.

La oss se på et eksempel:

La oss finne en generell løsning på differensialligningen og sjekke riktigheten av resultatet. La oss finne en spesiell løsning på denne ligningen som vil tilfredsstille startbetingelsen.

Løsning:

Etter at vi har integrert den gitte differensialligningen, får vi:

.

La oss ta dette integralet ved å bruke metoden for integrering av deler:

At., er en generell løsning på differensialligningen.

For å være sikker på at resultatet er riktig, la oss gjøre en sjekk. For å gjøre dette, erstatter vi løsningen vi fant inn i den gitte ligningen:

.

Det vil si når den opprinnelige ligningen blir til en identitet:

derfor ble den generelle løsningen av differensialligningen bestemt riktig.

Løsningen vi fant er en generell løsning på differensialligningen for hver reell verdi av argumentet x.

Det gjenstår å beregne en bestemt løsning på ODE som vil tilfredsstille startbetingelsen. Med andre ord er det nødvendig å beregne verdien av konstanten MED, hvor likheten vil være sann:

.

.

Deretter erstatter C = 2 inn i den generelle løsningen av ODE, får vi en spesiell løsning av differensialligningen som tilfredsstiller startbetingelsen:

.

Vanlig differensialligning kan løses for den deriverte ved å dele de 2 sidene av ligningen med Hvis vi ser på egenskapene til det ubestemte integralet, finner vi den ønskede generelle løsningen:. Denne transformasjonen vil være ekvivalent if Hvis vi ser på egenskapene til det ubestemte integralet, finner vi den ønskede generelle løsningen: går ikke til null under noen omstendigheter x fra integrasjonsintervallet til differensialligningen G).

Det er sannsynlige situasjoner når, for noen verdier av argumentet x ∈ G) funksjoner Hvis vi ser på egenskapene til det ubestemte integralet, finner vi den ønskede generelle løsningen: Og g(x) blir samtidig null. For lignende verdier x den generelle løsningen av en differensialligning er en hvilken som helst funksjon y, som er definert i dem, fordi .

Hvis for noen argumentverdier x ∈ G) betingelsen er oppfylt, noe som betyr at i dette tilfellet har ODE ingen løsninger.

For alle andre x fra intervallet G) den generelle løsningen av differensialligningen bestemmes fra den transformerte ligningen.

La oss se på eksempler:

Eksempel 1.

La oss finne en generell løsning på ODE: .

Løsning.

Fra egenskapene til de grunnleggende elementære funksjonene er det klart at den naturlige logaritmefunksjonen er definert for ikke-negative verdier av argumentet, derfor definisjonsdomenet til uttrykket ln(x+3) det er et intervall x > -3 . Dette betyr at den gitte differensialligningen gir mening for x > -3 . For disse argumentverdiene, uttrykket x+3 forsvinner ikke, så du kan løse ODE for den deriverte ved å dele de 2 delene med x + 3.

Vi får .

Deretter integrerer vi den resulterende differensialligningen løst med hensyn til den deriverte: . For å ta dette integralet bruker vi metoden for å subsumere det under differensialtegnet.

Vanlig differensialligning er en ligning som relaterer en uavhengig variabel, en ukjent funksjon av denne variabelen og dens deriverte (eller differensialer) av forskjellige rekkefølger.

Rekkefølgen av differensialligningen kalles rekkefølgen til den høyeste deriverte som finnes i den.

I tillegg til ordinære, studeres også partielle differensialligninger. Dette er ligninger som relaterer uavhengige variabler, en ukjent funksjon av disse variablene og dens partielle deriverte med hensyn til de samme variablene. Men vi vil bare vurdere vanlige differensialligninger og derfor vil vi for korthets skyld utelate ordet "vanlig".

Eksempler på differensialligninger:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Ligning (1) er fjerde orden, ligning (2) er tredje orden, ligning (3) og (4) er andre orden, ligning (5) er første orden.

Differensialligning n orden trenger ikke nødvendigvis å inneholde en eksplisitt funksjon, alle dens deriverte fra første til n-te orden og uavhengig variabel. Den kan ikke inneholde eksplisitte deriverte av visse rekkefølger, en funksjon eller en uavhengig variabel.

For eksempel, i ligning (1) er det tydeligvis ingen tredje- og andreordens deriverte, så vel som en funksjon; i ligning (2) - andreordens deriverte og funksjonen; i ligning (4) - den uavhengige variabelen; i ligning (5) - funksjoner. Bare ligning (3) inneholder eksplisitt alle deriverte, funksjonen og den uavhengige variabelen.

Løse en differensialligning hver funksjon kalles y = f(x), når den erstattes i ligningen, blir den til en identitet.

Prosessen med å finne en løsning på en differensialligning kalles dens integrering.

Eksempel 1. Finn løsningen på differensialligningen.

Løsning. La oss skrive denne ligningen i formen . Løsningen er å finne funksjonen fra dens deriverte. Den opprinnelige funksjonen, som kjent fra integralregning, er en antiderivert for, dvs.

Dette er det løsning på denne differensialligningen . Bytter i det C, vil vi få ulike løsninger. Vi fant ut at det finnes et uendelig antall løsninger på en førsteordens differensialligning.

Generell løsning av differensialligningen n orden er dens løsning, uttrykt eksplisitt med hensyn til den ukjente funksjonen og inneholder n uavhengige vilkårlige konstanter, dvs.

Løsningen til differensialligningen i eksempel 1 er generell.

Partiell løsning av differensialligningen en løsning der vilkårlige konstanter er gitt spesifikke numeriske verdier kalles.

Eksempel 2. Finn den generelle løsningen av differensialligningen og en spesiell løsning for .

Løsning. La oss integrere begge sider av ligningen et antall ganger lik rekkefølgen til differensialligningen.

,

.

Som et resultat fikk vi en generell løsning -

av en gitt tredjeordens differensialligning.

La oss nå finne en bestemt løsning under de angitte forholdene. For å gjøre dette, bytt ut verdiene deres i stedet for vilkårlige koeffisienter og få

.

Hvis startbetingelsen i tillegg til differensialligningen er gitt på formen , kalles et slikt problem Cauchy problem . Bytt inn verdiene og inn i den generelle løsningen av ligningen og finn verdien av en vilkårlig konstant C, og deretter en bestemt løsning av ligningen for den funnet verdien C. Dette er løsningen på Cauchy-problemet.

Eksempel 3. Løs Cauchy-problemet for differensialligningen fra eksempel 1 med forbehold om .

Løsning. La oss erstatte verdiene fra starttilstanden til den generelle løsningen y = 3, x= 1. Vi får

Vi skriver ned løsningen på Cauchy-problemet for denne førsteordens differensialligningen:

Å løse differensialligninger, selv de enkleste, krever gode integrerings- og derivatferdigheter, inkludert komplekse funksjoner. Dette kan sees i følgende eksempel.

Eksempel 4. Finn den generelle løsningen på differensialligningen.

Løsning. Ligningen er skrevet på en slik form at du umiddelbart kan integrere begge sider.

.

Vi bruker metoden for integrasjon ved endring av variabel (substitusjon). La det være da.

Påkrevd å ta dx og nå - oppmerksomhet - vi gjør dette i henhold til reglene for differensiering av en kompleks funksjon, siden x og det er en kompleks funksjon ("eple" er utvinning av en kvadratrot eller, som er det samme, heving til kraften "halvparten", og "kjøttdeig" er selve uttrykket under roten):

Vi finner integralet:

Gå tilbake til variabelen x, vi får:

.

Dette er den generelle løsningen på denne førstegradsdifferensialligningen.

Ikke bare ferdigheter fra tidligere seksjoner av høyere matematikk vil kreves for å løse differensialligninger, men også ferdigheter fra elementær, det vil si skolematematikk. Som allerede nevnt, i en differensialligning av hvilken som helst rekkefølge er det kanskje ikke en uavhengig variabel, det vil si en variabel x. Kunnskap om proporsjoner fra skolen som ikke er glemt (dog avhengig av hvem) fra skolen vil bidra til å løse dette problemet. Dette er neste eksempel.

Innholdet i artikkelen

DIFFERENSIALLIGNINGER. Mange fysiske lover som styrer visse fenomener er skrevet i form av en matematisk ligning som uttrykker et visst forhold mellom visse størrelser. Ofte snakker vi om forholdet mellom mengder som endrer seg over tid, for eksempel motoreffektivitet, målt ved avstanden en bil kan kjøre på én liter drivstoff, avhenger av bilens hastighet. Den tilsvarende ligningen inneholder en eller flere funksjoner og deres deriverte og kalles en differensialligning. (Hastigheten for endring av avstand over tid bestemmes av hastighet; derfor er hastighet et derivat av avstand; på samme måte er akselerasjon et derivat av hastighet, siden akselerasjon bestemmer hastigheten for endring av hastighet med tiden.) Den store betydningen av differensial ligninger for matematikk og spesielt for dens anvendelser, forklares av det faktum at studiet av mange fysiske og tekniske problemer kommer ned til å løse slike ligninger. Differensialligninger spiller også en betydelig rolle i andre vitenskaper, som biologi, økonomi og elektroteknikk; faktisk oppstår de overalt hvor det er behov for en kvantitativ (numerisk) beskrivelse av fenomener (så lenge omverdenen endres over tid, og forholdene endres fra et sted til et annet).

Eksempler.

Følgende eksempler gir en bedre forståelse av hvordan ulike problemer er formulert på språket til differensialligninger.

1) Loven om forfall for noen radioaktive stoffer er at nedbrytningshastigheten er proporsjonal med tilgjengelig mengde av dette stoffet. Hvis x– mengden stoff på et bestemt tidspunkt t, så kan denne loven skrives som følger:

X dx/dt er forfallsraten, og k– en positiv konstant som karakteriserer et gitt stoff. (Minustegnet på høyre side indikerer det x avtar over tid; et plusstegn, alltid underforstått når tegnet ikke er eksplisitt angitt, ville bety det xøker over tid.)

2) Beholderen inneholder i utgangspunktet 10 kg salt oppløst i 100 m 3 vann. Hvis rent vann helles i en beholder med en hastighet på 1 m 3 per minutt og blandes jevnt med løsningen, og den resulterende løsningen strømmer ut av beholderen med samme hastighet, hvor mye salt vil det være i beholderen til enhver påfølgende tid? Hvis x– mengde salt (i kg) i beholderen om gangen t, da når som helst t 1 m 3 løsning i beholderen inneholder x/100 kg salt; derfor reduseres mengden salt med en hastighet x/100 kg/min, eller

3) La det bli masser på kroppen m hengt fra enden av fjæren, virker en gjenopprettingskraft proporsjonal med mengden spenning i fjæren. La x– mengden av avvik av kroppen fra likevektsposisjonen. Deretter, i henhold til Newtons andre lov, som sier at akselerasjon (den andre deriverte av x etter tid, utpekt d 2 x/dt 2) proporsjonal med kraft:

Høyre side har et minustegn fordi gjenopprettingskraften reduserer strekk på fjæren.

4) Loven om avkjøling av legemer sier at varmemengden i kroppen minker proporsjonalt med forskjellen i temperatur mellom kroppen og miljøet. Hvis en kopp kaffe oppvarmet til en temperatur på 90°C er i et rom der temperaturen er 20°C,

X T– kaffetemperatur til tider t.

5) Utenriksministeren i delstaten Blefuscu hevder at våpenprogrammet vedtatt av Lilliput tvinger landet hans til å øke militærutgiftene så mye som mulig. Utenriksministeren i Lilliput kommer med lignende uttalelser. Den resulterende situasjonen (i sin enkleste tolkning) kan beskrives nøyaktig med to differensialligninger. La x Og y- utgifter til bevæpning av Lilliput og Blefuscu. Forutsatt at Lilliput øker sine utgifter til våpen med en hastighet proporsjonal med økningen i utgiftene til våpen til Blefuscu, og omvendt, får vi:

hvor medlemmene er øks Og - ved beskriv militærutgiftene til hvert land, k Og l er positive konstanter. (Dette problemet ble først formulert på denne måten i 1939 av L. Richardson.)

Etter at oppgaven er skrevet på språket til differensialligninger, bør du prøve å løse dem, dvs. finn mengdene hvis endringshastighet er inkludert i ligningene. Noen ganger finnes løsninger i form av eksplisitte formler, men oftere kan de bare presenteres i omtrentlig form eller kvalitativ informasjon kan fås om dem. Det kan ofte være vanskelig å avgjøre om det finnes en løsning, enn si å finne en. En viktig del av teorien om differensialligninger består av de såkalte "eksistensteoremene", der eksistensen av en løsning for en eller annen type differensialligning bevises.

Den opprinnelige matematiske formuleringen av et fysisk problem inneholder vanligvis forenklede antakelser; kriteriet for deres rimelighet kan være graden av konsistens av den matematiske løsningen med de tilgjengelige observasjonene.

Løsninger av differensialligninger.

Differensialligning, for eksempel dy/dx = x/y, tilfredsstilles ikke av et tall, men av en funksjon, i dette spesielle tilfellet slik at grafen på et hvilket som helst punkt, for eksempel ved et punkt med koordinater (2,3), har en tangent med en vinkelkoeffisient lik forholdet mellom koordinatene (i vårt eksempel, 2/3). Dette er lett å verifisere hvis du konstruerer et stort antall punkter og plotter et kort segment fra hver med en tilsvarende helning. Løsningen vil være en funksjon hvis graf berører hvert av punktene til det tilsvarende segmentet. Hvis det er nok punkter og segmenter, kan vi omtrent skissere forløpet til løsningskurvene (tre slike kurver er vist i fig. 1). Det er nøyaktig en løsningskurve som går gjennom hvert punkt med y nr. 0. Hver enkelt løsning kalles en partiell løsning av en differensialligning; hvis det er mulig å finne en formel som inneholder alle de spesielle løsningene (med mulig unntak av noen få spesielle), så sier de at en generell løsning er oppnådd. En spesiell løsning representerer én funksjon, mens en generell løsning representerer en hel familie av dem. Å løse en differensialligning betyr å finne enten dens spesielle eller generelle løsning. I eksemplet vi vurderer har den generelle løsningen formen y 2 – x 2 = c, Hvor c– et hvilket som helst tall; en spesiell løsning som går gjennom punktet (1,1) har formen y = x og det viser seg når c= 0; en spesiell løsning som går gjennom punkt (2,1) har formen y 2 – x 2 = 3. Betingelsen som krever at løsningskurven passerer, for eksempel gjennom punktet (2,1), kalles startbetingelsen (siden den spesifiserer startpunktet på løsningskurven).

Det kan vises at i eksempel (1) har den generelle løsningen formen x = ce –kt, Hvor c– en konstant som kan bestemmes for eksempel ved å angi stoffmengden ved t= 0. Ligningen fra eksempel (2) er et spesialtilfelle av ligningen fra eksempel (1), tilsvarende k= 1/100. Utgangstilstand x= 10 kl t= 0 gir en bestemt løsning x = 10e –t/100 . Ligningen fra eksempel (4) har en generell løsning T = 70 + ce –kt og privat løsning 70 + 130 – kt; for å bestemme verdien k, er ytterligere data nødvendig.

Differensialligning dy/dx = x/y kalles en førsteordensligning, siden den inneholder den første deriverte (rekkefølgen til en differensialligning anses vanligvis for å være rekkefølgen til den høyeste deriverte som er inkludert i den). For de fleste (men ikke alle) differensialligninger av den første typen som oppstår i praksis, går bare én løsningskurve gjennom hvert punkt.

Det er flere viktige typer førsteordens differensialligninger som kan løses i form av formler som bare inneholder elementære funksjoner - potenser, eksponenter, logaritmer, sinus og cosinus, etc. Slike ligninger inkluderer følgende.

Ligninger med separerbare variabler.

Formens ligninger dy/dx = f(x)/g(y) kan løses ved å skrive det i differensialer g(y)dy = f(x)dx og integrere begge deler. I verste fall kan løsningen representeres i form av integraler av kjente funksjoner. For eksempel når det gjelder ligningen dy/dx = x/y vi har f(x) = x, g(y) = y. Ved å skrive det i skjemaet ydy = xdx og integrere, får vi y 2 = x 2 + c. Ligninger med separerbare variabler inkluderer ligninger fra eksempel (1), (2), (4) (de kan løses på måten beskrevet ovenfor).

Ligninger i totale differensialer.

Hvis differensialligningen har formen dy/dx = M(x,y)/N(x,y), Hvor M Og N er to gitte funksjoner, så kan det representeres som M(x,y)dx – N(x,y)dy= 0. Hvis venstre side er differensialen til en funksjon F(x,y), så kan differensialligningen skrives som dF(x,y) = 0, som tilsvarer ligningen F(x,y) = konst. Dermed er løsningskurvene til ligningen "linjene med konstante nivåer" til funksjonen, eller stedet for punkter som tilfredsstiller ligningene F(x,y) = c. Ligning ydy = xdx(Fig. 1) - med separerbare variabler, og de samme - i totale differensialer: for å være sikker på sistnevnte, skriver vi det i skjemaet ydy – xdx= 0, dvs. d(y 2 – x 2) = 0. Funksjon F(x,y) i dette tilfellet er lik (1/2)( y 2 – x 2); Noen av linjene med konstant nivå er vist i fig. 1.

Lineære ligninger.

Lineære ligninger er ligninger av "første grad" - den ukjente funksjonen og dens deriverte vises i slike ligninger bare til første grad. Dermed har den første ordens lineære differensialligningen formen dy/dx + s(x) = q(x), Hvor s(x) Og q(x) – funksjoner som kun avhenger av x. Løsningen kan alltid skrives ved å bruke integraler av kjente funksjoner. Mange andre typer førsteordens differensialligninger løses ved hjelp av spesielle teknikker.

Ligninger av høyere orden.

Mange differensialligninger som fysikere møter er andreordensligninger (dvs. ligninger som inneholder andrederiverte, for eksempel er ligningen for enkel harmonisk bevegelse fra eksempel (3). md 2 x/dt 2 = –kx. Generelt sett kan vi forvente at en annenordens ligning har delløsninger som tilfredsstiller to betingelser; for eksempel kan man kreve at løsningskurven går gjennom et gitt punkt i en gitt retning. I tilfeller der differensialligningen inneholder en viss parameter (et tall hvis verdi avhenger av omstendighetene), eksisterer løsninger av den nødvendige typen bare for visse verdier av denne parameteren. Tenk for eksempel på ligningen md 2 x/dt 2 = –kx og det vil vi kreve y(0) = y(1) = 0. Funksjon yє 0 er åpenbart en løsning, men hvis det er et heltalls multiplum s, dvs. k = m 2 n 2 s 2, hvor n er et heltall, men i virkeligheten er det bare i dette tilfellet andre løsninger, nemlig: y= synd npx. Parameterverdiene som ligningen har spesielle løsninger for kalles karakteristiske eller egenverdier; de spiller en viktig rolle i mange oppgaver.

Ligningen for enkel harmonisk bevegelse er et eksempel på en viktig klasse ligninger, nemlig lineære differensialligninger med konstante koeffisienter. Et mer generelt eksempel (også av andre orden) er ligningen

X en Og b- gitte konstanter, f(x) er en gitt funksjon. Slike ligninger kan løses på forskjellige måter, for eksempel ved å bruke Laplace-integraltransformasjonen. Det samme kan sies om lineære ligninger av høyere orden med konstante koeffisienter. Lineære ligninger med variable koeffisienter spiller også en viktig rolle.

Ikke-lineære differensialligninger.

Ligninger som inneholder ukjente funksjoner og deres deriverte til potenser høyere enn den første eller på en mer kompleks måte kalles ikke-lineære. De siste årene har de vakt økende oppmerksomhet. Faktum er at fysiske ligninger vanligvis er lineære bare til en første tilnærming; Ytterligere og mer nøyaktig forskning krever som regel bruk av ikke-lineære ligninger. I tillegg er mange problemer ikke-lineære av natur. Siden løsninger på ikke-lineære ligninger ofte er svært komplekse og vanskelige å representere med enkle formler, er en betydelig del av moderne teori viet til den kvalitative analysen av deres oppførsel, dvs. utvikling av metoder som gjør det mulig, uten å løse ligningen, å si noe vesentlig om løsningenes natur som helhet: for eksempel at de alle er begrenset, eller har en periodisk karakter, eller på en bestemt måte er avhengig av koeffisientene.

Omtrentlige løsninger av differensialligninger kan finnes numerisk, men dette krever mye tid. Med bruken av høyhastighetsdatamaskiner ble denne tiden kraftig redusert, noe som åpnet for nye muligheter for numerisk løsning av mange problemer som tidligere var vanskelige å løse for en slik løsning.

Eksistensteoremer.

Et eksistensteorem er et teorem som sier at en gitt differensialligning under visse betingelser har en løsning. Det er differensialligninger som ikke har noen løsninger eller har flere av dem enn forventet. Hensikten med en eksistensteorem er å overbevise oss om at en gitt ligning faktisk har en løsning, og oftest å forsikre oss om at den har nøyaktig én løsning av den nødvendige typen. For eksempel ligningen vi allerede har møtt dy/dx = –2y har nøyaktig én løsning som går gjennom hvert punkt i planet ( x,y), og siden vi allerede har funnet en slik løsning, har vi dermed fullstendig løst denne ligningen. På den annen side, ligningen ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 har mange løsninger. Blant dem er straight y = 1, y= –1 og kurver y= synd( x + c). Løsningen kan bestå av flere segmenter av disse rette linjene og kurvene, som passerer inn i hverandre ved kontaktpunkter (fig. 2).

Partielle differensialligninger.

En vanlig differensialligning er et utsagn om den deriverte av en ukjent funksjon av en variabel. En partiell differensialligning inneholder en funksjon av to eller flere variabler og deriverte av denne funksjonen med hensyn til minst to forskjellige variabler.

I fysikk er eksempler på slike ligninger Laplaces ligning

X, y) inne i sirkelen hvis verdiene u spesifisert ved hvert punkt i den avgrensende sirkelen. Siden problemer med mer enn én variabel i fysikk er regelen snarere enn unntaket, er det lett å forestille seg hvor omfattende temaet for teorien om partielle differensialligninger er.

I noen fysikkproblemer er det ikke mulig å etablere en direkte sammenheng mellom mengdene som beskriver prosessen. Men det er mulig å oppnå en likhet som inneholder derivatene av funksjonene som studeres. Dette er hvordan differensialligninger oppstår og behovet for å løse dem for å finne en ukjent funksjon.

Denne artikkelen er ment for de som står overfor problemet med å løse en differensialligning der den ukjente funksjonen er en funksjon av én variabel. Teorien er bygget opp på en slik måte at du med null kunnskap om differensialligninger kan klare oppgaven din.

Hver type differensialligning er knyttet til en løsningsmetode med detaljerte forklaringer og løsninger på typiske eksempler og problemer. Alt du trenger å gjøre er å bestemme typen differensialligning for problemet ditt, finne et lignende analysert eksempel og utføre lignende handlinger.

For å lykkes med å løse differensialligninger, vil du også trenge evnen til å finne sett med antiderivater (ubestemte integraler) av ulike funksjoner. Om nødvendig anbefaler vi at du henviser til avsnittet.

Først vil vi vurdere typene ordinære differensialligninger av første orden som kan løses med hensyn til den deriverte, deretter vil vi gå videre til andreordens ODE-er, deretter vil vi dvele ved høyere ordens ligninger og avslutte med systemer av differensialligninger.

Husk at hvis y er en funksjon av argumentet x.

Første ordens differensialligninger.

Formens enkleste differensialligninger av første orden.

La oss skrive ned noen eksempler på en slik fjernkontroll .

Differensialligninger kan løses med hensyn til den deriverte ved å dele begge sider av likheten med f(x) . I dette tilfellet kommer vi til en ligning som vil være ekvivalent med den opprinnelige for f(x) ≠ 0. Eksempler på slike ODE-er er .

Hvis det er verdier av argumentet x der funksjonene f(x) og g(x) forsvinner samtidig, vises flere løsninger. Ytterligere løsninger til ligningen gitt x er alle funksjoner definert for disse argumentverdiene. Eksempler på slike differensialligninger inkluderer:

Andre ordens differensialligninger.

Lineære homogene differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter.

LDE med konstante koeffisienter er en veldig vanlig type differensialligning. Løsningen deres er ikke spesielt vanskelig. Først finner man røttene til den karakteristiske ligningen . For forskjellige p og q er tre tilfeller mulige: røttene til den karakteristiske ligningen kan være reelle og forskjellige, reelle og sammenfallende eller komplekse konjugater. Avhengig av verdiene til røttene til den karakteristiske ligningen, skrives den generelle løsningen av differensialligningen som , eller , eller hhv.

Tenk for eksempel på en lineær homogen andreordens differensialligning med konstante koeffisienter. Røttene til dens karakteristiske ligning er k 1 = -3 og k 2 = 0. Røttene er ekte og forskjellige, derfor har den generelle løsningen av en LODE med konstante koeffisienter formen


Lineære inhomogene differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter.

Den generelle løsningen av en andreordens LDDE med konstante koeffisienter y søkes i form av summen av den generelle løsningen til den tilsvarende LDDE og en spesiell løsning på den opprinnelige inhomogene ligningen, det vil si . Det forrige avsnittet er viet til å finne en generell løsning på en homogen differensialligning med konstante koeffisienter. Og en bestemt løsning bestemmes enten av metoden med ubestemte koeffisienter for en viss form av funksjonen f(x) på høyre side av den opprinnelige ligningen, eller av metoden for å variere vilkårlige konstanter.

Som eksempler på andreordens LDDE-er med konstante koeffisienter gir vi


For å forstå teorien og bli kjent med detaljerte løsninger av eksempler, tilbyr vi deg på siden lineære inhomogene andreordens differensialligninger med konstante koeffisienter.

Lineære homogene differensialligninger (LODE) og lineære inhomogene differensialligninger (LNDEs) av andre orden.

Et spesielt tilfelle av differensialligninger av denne typen er LODE og LDDE med konstante koeffisienter.

Den generelle løsningen av LODE på et bestemt segment er representert av en lineær kombinasjon av to lineært uavhengige partielle løsninger y 1 og y 2 av denne ligningen, det vil si, .

Hovedvanskeligheten ligger nettopp i å finne lineært uavhengige partielle løsninger på en differensialligning av denne typen. Vanligvis velges spesielle løsninger fra følgende systemer med lineært uavhengige funksjoner:


Spesielle løsninger presenteres imidlertid ikke alltid i denne formen.

Et eksempel på en LOD er .

Den generelle løsningen til LDDE søkes i formen , hvor er den generelle løsningen til den tilsvarende LDDE, og er den spesielle løsningen til den opprinnelige differensialligningen. Vi snakket nettopp om å finne det, men det kan bestemmes ved å bruke metoden for å variere vilkårlige konstanter.

Et eksempel på LNDU kan gis .

Differensialligninger av høyere orden.

Differensialligninger som tillater en reduksjon i rekkefølge.

Rekkefølgen på differensialligningen , som ikke inneholder den ønskede funksjonen og dens deriverte opp til k-1 orden, kan reduseres til n-k ved å erstatte .

I dette tilfellet vil den opprinnelige differensialligningen reduseres til . Etter å ha funnet løsningen p(x), gjenstår det å gå tilbake til erstatningen og bestemme den ukjente funksjonen y.

For eksempel differensialligningen etter erstatningen vil den bli en ligning med separerbare variabler, og rekkefølgen vil reduseres fra tredje til første.