Rektangulært koordinatsystem på planet og i rommet. Innføring av koordinatsystemet

Koordinatmetoden er selvfølgelig veldig bra, men i reelle C2-oppgaver er det ingen koordinater eller vektorer. Derfor må de introduseres. Ja, ja, ta det slik og skriv det inn: angi origo, enhetssegmentet og retningen til x-, y- og z-aksene.

Den mest bemerkelsesverdige egenskapen til denne metoden er at det ikke spiller noen rolle hvor nøyaktig koordinatsystemet legges inn. Hvis alle beregninger er riktige, vil svaret være riktig.

Kubekoordinater

Hvis problem C2 inneholder en kube, anser deg selv som heldig. Dette er det enkleste polyederet, det er alt dihedrale vinkler som er lik 90°.

Koordinatsystemet er også veldig enkelt å legge inn:

1. Opprinnelsen til koordinatene er ved punkt A;
2. Oftest er kanten på kuben ikke angitt, så vi tar det som et enhetssegment;
3. X-aksen er rettet langs kanten AB, y - langs kanten AD, og ​​z-aksen - langs kanten AA 1.

Merk: z-aksen peker oppover! Etter et todimensjonalt koordinatsystem er dette noe uvanlig, men faktisk veldig logisk.

Så nå har hvert toppunkt i kuben koordinater. La oss samle dem i en tabell - separat for bunnplanet til kuben:

Det er lett å legge merke til at punktene til det øvre planet skiller seg fra de tilsvarende punktene i det nedre planet bare i z-koordinaten. For eksempel, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). Det viktigste er ikke å bli forvirret!

Prisme er allerede mye morsommere. Med riktig tilnærming er det nok å kjenne koordinatene til bare den nedre basen - den øvre vil bli beregnet automatisk.

I oppgave C2 er det bare vanlige trihedriske prismer (rette prismer basert på vanlig trekant). For dem er koordinatsystemet introdusert på nesten samme måte som for en kube. Forresten, hvis noen ikke vet, er en kube også et prisme, bare tetraeder.

Så la oss gå! Vi introduserer koordinatsystemet:

1. Opprinnelsen til koordinatene er ved punkt A;
2. Vi tar siden av prismet som et enkelt segment, med mindre annet er angitt i problemformuleringen;
3. X-aksen er rettet langs kanten AB, z - langs kanten AA 1, og y-aksen er plassert slik at OXY-planet faller sammen med basisplanet ABC.

Her kreves det noen avklaringer. Faktum er at y-aksen IKKE sammenfaller med kant AC, slik mange tror. Hvorfor stemmer det ikke? Tenk selv: trekant ABC er likesidet, alle vinkler i den er 60°. Og vinklene mellom koordinataksene skal være 90°, så bildet ovenfor vil se slik ut:

Jeg håper det nå er klart hvorfor y-aksen ikke vil gå langs AC. La oss tegne høyden CH i denne trekanten. Trekant ACH er en rettvinklet trekant, og AC = 1, så AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 sin A = sin 60°. Disse faktaene er nødvendige for å beregne koordinatene til punkt C.

La oss nå ta en titt på hele prismet sammen med det konstruerte koordinatsystemet:

Vi får følgende koordinater til punktene:

Som vi kan se, skiller punktene til den øvre bunnen av prismet seg igjen fra de tilsvarende punktene til den nedre bare ved z-koordinaten. Hovedproblemet er punktene C og C 1. De har irrasjonelle koordinater som du bare trenger å huske. Vel, eller forstå hvor de kommer fra.

Sekskantede prismekoordinater

Et sekskantet prisme er et "klonet" trekantet prisme. Du kan forstå hvordan dette skjer hvis du ser på den nedre basen - la oss kalle det ABCDEF. La oss utføre ytterligere konstruksjoner: segmentene AD, BE og CF. Resultatet er seks trekanter, som hver (for eksempel trekant ABO) er grunnlaget for et trihedrisk prisme.

La oss nå introdusere selve koordinatsystemet. Opprinnelsen til koordinatene - punkt O - vil bli plassert i sentrum av symmetrien til sekskanten ABCDEF. X-aksen vil gå langs FC, og y-aksen vil gå gjennom midtpunktene til segmentene AB og DE. Vi får dette bildet:

Vennligst merk: opprinnelsen faller IKKE sammen med toppunktet til polyederet! Faktisk, når du løser reelle problemer, vil du finne at dette er veldig praktisk fordi det kan redusere mengden beregninger betydelig.

Alt som gjenstår er å legge til z-aksen. I følge tradisjonen tegner vi den vinkelrett på OXY-planet og retter den vertikalt oppover. Vi får det endelige bildet:

La oss nå skrive ned koordinatene til punktene. La oss anta at alle kantene på vårt vanlige sekskantede prisme er lik 1. Så koordinatene til den nedre basen er:

Koordinatene til den øvre basen er forskjøvet med én langs z-aksen:

Pyramiden er generelt veldig hard. Vi vil analysere bare det enkleste tilfellet - en vanlig firkantet pyramide, hvor alle kanter er lik en. Men i ekte C2-problemer kan kantlengdene variere, så nedenfor er generell ordning koordinere beregninger.

Så, riktig firkantet pyramide. Dette er det samme som Cheops, bare litt mindre. La oss betegne det SABCD, der S er et toppunkt. La oss introdusere et koordinatsystem: origo er i punkt A, enhetssegmentet AB = 1, x-aksen er rettet langs AB, y-aksen er rettet langs AD, og ​​z-aksen er rettet oppover, vinkelrett på OXY-planet . For ytterligere beregninger trenger vi høyden SH - så vi bygger den. Vi får følgende bilde:

La oss nå finne koordinatene til punktene. La oss først se på OXY-flyet. Alt er enkelt her: basen er en firkant, dens koordinater er kjent. Problemer oppstår med punkt S. Siden SH er høyden til OXY-planet, skiller punktene S og H seg bare i z-koordinaten. Egentlig er lengden på segmentet SH z-koordinaten for punktet S, siden H = (0,5; 0,5; 0).

Merk at trekanter ABC og ASC er like på tre sider (AS = CS = AB = CB = 1, og siden AC er felles). Derfor SH = BH. Men BH er halve diagonalen til kvadratet ABCD, dvs. BH = AB sin 45°. Vi får koordinatene til alle punktene:

Det er alt med koordinatene til pyramiden. Men ikke med koordinater i det hele tatt. Vi så bare på de vanligste polyedrene, men disse eksemplene er nok til uavhengig å beregne koordinatene til andre figurer. Derfor kan vi faktisk gå videre til metoder for å løse spesifikke problemer C2.

For å bestemme posisjonen til et punkt i rommet vil vi bruke kartesisk rektangulære koordinater(Fig. 2).

Det kartesiske rektangulære koordinatsystemet i rommet er dannet av tre innbyrdes vinkelrette koordinatakser OX, OY, OZ. Koordinataksene skjærer hverandre i punktet O, som kalles origo, på hver akse velges en positiv retning, angitt med piler, og en måleenhet for segmentene på aksene. Måleenhetene er vanligvis (ikke nødvendigvis) de samme for alle akser. OX-aksen kalles abscisse-aksen (eller ganske enkelt abscisse), OY-aksen er ordinataksen, og OZ-aksen er applikataksen.

Posisjonen til punktet A i rommet bestemmes av tre koordinater x, y og z. X-koordinaten er lik lengden på segmentet OB, y-koordinaten er lengden på segmentet OC, z-koordinaten er lengden på segmentet OD i de valgte måleenhetene. Segmentene OB, OC og OD er ​​definert av plan trukket fra et punkt parallelt med henholdsvis planene YOZ, XOZ og XOY.

X-koordinaten kalles abscissen til punkt A, y-koordinaten kalles ordinaten til punkt A, og z-koordinaten kalles applikatet til punkt A.

Symbolsk er det skrevet slik:

eller koble en koordinatpost til et spesifikt punkt ved hjelp av en indeks:

x A , y A , z A ,

Hver akse betraktes som en talllinje, dvs. har en positiv retning, og punkter som ligger på den negative strålen er tildelt negative verdier koordinater (avstand tas med minustegn). Det vil si hvis for eksempel punkt B ikke lå som på figuren - på strålen OX, men på dens fortsettelse i baksiden fra punkt O (på den negative delen av aksen OX), så ville abscissen x til punkt A være negativ (minus avstanden OB). Likeså for de to andre aksene.

Koordinatakser OX, OY, OZ, vist i fig. 2, danner et høyrehendt koordinatsystem. Dette betyr at hvis du ser på YOZ-planet langs den positive retningen til OX-aksen, så vil bevegelsen til OY-aksen mot OZ-aksen være med klokken. Denne situasjonen kan beskrives ved hjelp av gimlet-regelen: hvis gimlet (skrue med høyregjenge) roteres i retningen fra OY-aksen til OZ-aksen, vil den bevege seg langs den positive retningen til OX-aksen.

Vektorer med lengdeenhet rettet langs koordinataksene kalles koordinatenhetsvektorer. De er vanligvis betegnet som (Fig. 3). Det er også betegnelsen Enhetsvektorene danner grunnlaget for koordinatsystemet.

Når det gjelder et høyrehendt koordinatsystem, er følgende formler med vektorprodukter av enhetsvektorer gyldige:

Hvis vi gjennom punkt O i rommet tegner tre vinkelrette rette linjer, kaller vi dem, du tar dem til høyre Hvis vi utpeker individuelle kutt, så får vi rektangulært system co-or-di-nat i rommet. Co-or-di-nat-aksene heter slik: Okse - ab-ciss-akse, Oy - eller-di-nat-akse og Oz - opp-pli-katten akse. Hele systemet med co-or-di-nat betyr Oxyz. Dermed dukker det opp tre co-eller-di-nat-fly: Oxy, Oxz, Oyz.

Her er et eksempel på konstruksjonen av punkt B(4;3;5) i et rektangulært koordinatsystem (se fig. 1).

Ris. 1. Konstruksjon av punkt B i rommet

Det første co-or-di-to-ta punktet B er 4, det er derfor fra-kla-dy-va-em på Ox 4, la oss gå rett til pa-ral-lel-but-aksen Oy til den skjærer rett linje som går gjennom y = 3. Dermed får vi punktet K. Dette punktet ligger i Oxy-planet og har koordinatene K(4;3;0). Nå må du lage en direkte parallell til Oz-aksen. Og den rette linjen, som går gjennom punktet med opp-pli-ka-leketøy 5 og pa-ral-lel-na dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram -ma i Oxy-planet. På deres re-se-se-che-nii får vi det nødvendige punktet B.

Tenk på plasseringen av punkter der en eller to koeffisienter er lik 0 (se fig. 2).

For eksempel punkt A(3;-1;0). Du må fortsette Oy-aksen til venstre til verdien -1, finne punkt 3 på Ox-aksen, og i skjæringspunktet mellom linjene som går gjennom disse verdiene La oss finne punkt A. Dette punktet har en omtrentlig verdi på 0, som betyr at den ligger i Oxy-planet.

Punkt C(0;2;0) har abs-cis-su og up-pli-ka-tu 0 - ikke fra-meg-cha-em. Or-di-na-ta er lik 2, noe som betyr at punkt C ligger kun på Oy-aksen, som ikke er flat stay Oxy og Oyz.

For å flytte punktet D(-4;0;3) utvider vi Ox-aksen tilbake utover begynnelsen til punkt -4. Nå gjenoppretter vi fra dette punktet per-pen-di-ku-lyar - den rette, parallellaksen Oz til per-re-se-che-niy med en rett, parallell okseakse og passerer gjennom verdi 3 på Oz akser. Vi får gjeldende D(-4;0;3). Siden rekkefølgen på punktet er lik 0, betyr dette at punktet D ligger i Oxz-planet.

Neste punkt E(0;5;-3). Or-di-na-ta punkter 5, a-pli-ka-ta -3, pro-vo-dim rette linjer som går gjennom disse verdiene på korrespondanse -th aksene, og ved deres skjæringspunkt får vi punkt E(0) ;5;-3). Dette punktet har en første koordinasjon på 0, som betyr at det ligger i Oyz-planet.

2. Vektorkoordinater

La oss se på det rektangulære systemet med co-or-di-nat i Oxyz-rommet. La oss lage et rektangulært system i rommet, co-or-di-nat Oxyz. På hver av de lineære aksene er det en enkelt vektor, dvs. vektor, lengden på noe er lik en. Vi betegner enhetsvektoren til ab-ciss-aksen, enhetsvektoren til or-di-nat-aksen og enhetsvektoren til opp-pl-cat-aksen (se . Fig. 1). Disse øyelokkene er på linje med høyrehendte økser, har en enkelt lengde og er or-to-go-nal-ny - i par - men per-pen-di-ku-lyar-ny. Slike århundrer kalles ko-or-di-nat-ny-mi århundre-til-ra-mi eller ba-zi-som.

Ris. 1. Dele øyelokkene i tre co-or-di-nat øyelokk

Ta en memevektor, plasser den i na-cha-lo co-or-di-nat, og del denne vektoren inn i tre ikke-plane - liggende - chim i forskjellige plan - århundre-til-rammer. For å gjøre dette, la oss senke projeksjonen av punktet M på Oxy-planet, og finne koordineringen av vektorene, og. La oss spise:. Vi ser på hvert av disse århundrene separat. Vektoren ligger på Ox-aksen, som betyr, i henhold til egenskapen til å multiplisere vektoren med et tall, kan den representeres som et eller annet tall x kone-til-ko-eller-di-nat-ny vektor-tor. , og lengden på øyelokket er nøyaktig x ganger større enn lengden . Vi gjør det samme med øyelokkene og, og vi deler øyelokkene i tre co-or-di-nat øyelokk -to-ram:

Koeffisientene til denne fordelingen av x, y og z er etterspurt ko-or-di-na-ta-mi århundre-ra i verdensrommet.

Vi ser på de opprinnelige prinsippene, som poserer-in-la-yut i henhold til co-eller-di-on-der i de gitte århundrene, for å finne co-or-di-na-du er deres summer og forskjeller, samt co-or-di-na-you pro-iz-ve-de-niya av det gitte århundret for et gitt tall.

1) Tillegg:

2) You-chi-ta-nie:

3) Multiplisere med et tall: ,

Vektor, na-cha-lo ko-ro-go faller sammen med na-cha-lom ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya radius-århundre-rom.(Fig. 2). Vektor - ra-di-us-vektor, der x, y og z er koeffisientene for fordelingen av denne vektoren i henhold til co-eller -di-nat-nym århundre-til-ram , , . I dette tilfellet er x den første co-op av punkt A på Ox-aksen, y er co-eller til punkt B på Oy-aksen, z er co-op -di-na-ta punkt C på Oz-aksen . Det er tydelig fra tegningen at ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra på en gang -on-that-mi peker M.

Ta punkt A(x1;y1;z1) og punkt B(x2;y2;z2) (se fig. 3). Vi ser for oss en vektor som en forskjell mellom en århundre-grøft og, i sin natur, en århundre-grøft. Dessuten, og - ra-di-us-vek-ry, og deres co-or-di-na-you samarbeider med co-or-di-na-ta-mi con- tsov i disse århundrene. Da kan vi presentere co-or-di-na-you århundre som forskjellen mellom co-or-di-nat århundrene og : . På denne måten, ko-eller-di-na-du århundre-til-ra kan vi utvikle gjennom ko-or-di-na-du slutten og na-cha-la århundre-til-ra .

La oss se på eksempler som illustrerer egenskapene til århundrer og deres uttrykk gjennom co-or-di-na-you. Ta et århundre meme, , . Vi blir spurt om et århundre. I dette tilfellet betyr å finne dette å finne et co-eller-di-on-you århundre, som helt bestemmer det. Å sette det på samme sted i stedet for hundre århundrer med medansvar for deres med-eller-di-na-du. La oss spise:

Nå multipliserer vi tallet 3 med hver co-eller-di-on-that i parentes, og gjør det samme med 2:

Vi har fått summen av tre århundrer, vi lagrer dem i henhold til egenskapen studert ovenfor:

Svare:

Eksempel nr. 2.

Gitt: Trekantet pi-ra-mi-da AOBC (se fig. 4). Flyene AOB, AOC og OCB er i par, men per-pen-di-ku-lyar-ny. OA=3, OB=7, OC=4; M - ser.AC; N - ser.OC; P - grå C.B.

Finn: ,,,,,,,.

Løsning: La oss introdusere et rektangulært system av koordinat Oxyz med utgangspunkt i punkt O. Ved betingelse kjenner vi punktene A, B og C på aksene og de se-re-di-ny kantene til pi- ra-mi-dy - M, P og N. I følge figuren går vi til co-or -di-na-you vert-shin pi-ra-mi-dy: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).

Om du er på et fly eller i tredimensjonalt rom innføre et koordinatsystem, så vil vi kunne beskrive geometriske former og deres egenskaper ved å bruke likninger og ulikheter, det vil si at vi vil kunne bruke algebrametoder. Derfor er konseptet med et koordinatsystem svært viktig.

I denne artikkelen skal vi vise hvordan et rektangulært kartesisk koordinatsystem er definert på et plan og i tredimensjonalt rom og finne ut hvordan koordinatene til punktene bestemmes. For klarhet gir vi grafiske illustrasjoner.

Sidenavigering.

Rektangulært kartesisk koordinatsystem på et plan.

La oss introdusere et rektangulært koordinatsystem på planet.

For å gjøre dette, tegn to gjensidig vinkelrette linjer på planet og velg på hver av dem positiv retning, angir det med en pil, og velg på hver av dem skala(lengdeenhet). La oss angi skjæringspunktet mellom disse linjene med bokstaven O og vurdere det utgangspunkt. Så vi fikk rektangulært koordinatsystem på et fly.

Hver av de rette linjene med valgt origo O, retning og skala kalles koordinatlinje eller koordinataksen.

Et rektangulært koordinatsystem på et plan er vanligvis betegnet med Oxy, der Ox og Oy er dets koordinatakser. Okseaksen kalles x-aksen, og Oy-aksen – y-aksen.

La oss nå bli enige om bildet av et rektangulært koordinatsystem på et plan.

Vanligvis er lengdemåleenheten på Ox- og Oy-aksene valgt til å være den samme og plottes fra origo på hver koordinatakse i positiv retning (merket med en strek på koordinatakser og en enhet er skrevet ved siden av), abscisse-aksen er rettet mot høyre, og ordinataksen er rettet oppover. Alle andre alternativer for retningen til koordinataksene reduseres til den stemte (Ox-akse - til høyre, Oy-akse - opp) ved å rotere koordinatsystemet i en viss vinkel i forhold til origo og se på det fra den andre siden av flyet (om nødvendig).

Det rektangulære koordinatsystemet kalles ofte kartesisk, siden det først ble introdusert på flyet av Rene Descartes. Enda mer vanlig kalles et rektangulært koordinatsystem et rektangulært kartesisk koordinatsystem, og setter det hele sammen.

Rektangulært koordinatsystem i tredimensjonalt rom.

Det rektangulære koordinatsystemet Oxyz er satt på lignende måte i tredimensjonalt euklidisk rom, bare ikke to, men tre gjensidig vinkelrette linjer er tatt. Med andre ord legges en koordinatakse Oz til koordinataksene Ox og Oy, som kalles akseapplikasjon.

Avhengig av retningen til koordinataksene, skilles høyre og venstre rektangulære koordinatsystemer i tredimensjonalt rom.

Hvis sett fra den positive retningen til Oz-aksen og den korteste rotasjonen fra den positive retningen til Ox-aksen til den positive retningen til Oy-aksen skjer mot klokken, kalles koordinatsystemet høyre.

Hvis sett fra den positive retningen til Oz-aksen og den korteste rotasjonen fra den positive retningen til Ox-aksen til den positive retningen til Oy-aksen skjer med klokken, kalles koordinatsystemet Igjen.

Koordinater til et punkt i et kartesisk koordinatsystem på et plan.

Tenk først på koordinatlinjen Ox og ta et punkt M på den.

Hvert reelt tall tilsvarer et enkelt punkt M på denne koordinatlinjen. For eksempel tilsvarer et punkt plassert på en koordinatlinje i en avstand fra origo i positiv retning tallet , og tallet -3 tilsvarer et punkt som ligger i en avstand på 3 fra origo i negativ retning. Tallet 0 tilsvarer utgangspunktet.

På den annen side tilsvarer hvert punkt M på koordinatlinjen Ox et reelt tall. Dette reelle tallet er null hvis punkt M faller sammen med origo (punkt O). Dette reelle tallet er positivt og lik lengden av segmentet OM på en gitt skala hvis punktet M fjernes fra origo i positiv retning. Dette reelle tallet er negativt og lik lengden på segmentet OM med et minustegn hvis punktet M fjernes fra origo i negativ retning.

Nummeret ringes opp koordinere punktene M på koordinatlinjen.

Vurder nå et plan med det introduserte rektangulære kartesiske koordinatsystemet. La oss markere på dette flyet vilkårlig poeng M.

La være projeksjonen av punktet M på linjen Ox, og la være projeksjonen av punktet M på koordinatlinjen Oy (om nødvendig, se artikkelen). Det vil si at hvis vi gjennom punktet M trekker linjer vinkelrett på koordinataksene Ox og Oy, så er skjæringspunktene for disse linjene med linjene Ox og Oy punkter og hhv.

La tallet tilsvare et punkt på Ox-koordinataksen, og tallet til et punkt på Oy-aksen.

Hvert punkt M av planet i et gitt rektangulært Kartesisk system koordinater tilsvarer et enkelt ordnet par reelle tall kalt koordinater til punkt M på et fly. Koordinaten kalles abscisse av punkt M, A - ordinaten til punktet M.

Det omvendte utsagnet er også sant: hvert ordnet par reelle tall tilsvarer et punkt M i planet i gitt system koordinater

Koordinater til et punkt i et rektangulært koordinatsystem i tredimensjonalt rom.

La oss vise hvordan koordinatene til punktet M bestemmes i et rektangulært koordinatsystem definert i tredimensjonalt rom.

La og være projeksjonene av punkt M på koordinataksene Ox, Oy og Oz, henholdsvis. La disse punktene på koordinataksene Ox, Oy og Oz korrespondere med reelle tall Og .