Rektangulært koordinatsystem på planet og i rommet. 3D-koordinater

2D koordinatsystem

Punktum P har koordinater (5,2).

Det moderne kartesiske koordinatsystemet i to dimensjoner (også kjent som rektangulært koordinatsystem) gitt av to akser i rette vinkler på hverandre. Planet som aksene befinner seg i kalles noen ganger xy fly. Den horisontale aksen er betegnet som x(abscisse-akse), vertikal som y(y-aksen). I tredimensjonalt rom legges en tredje akse til to, vinkelrett på xy-planet- akse z. Alle punkter i det kartesiske koordinatsystemet utgjør den såkalte Kartesisk rom.

Skjæringspunktet der aksene møtes kalles opprinnelse og er betegnet som Åh Følgelig aksen x kan merkes som Okse, og y-aksen er som Åh. Rette linjer trukket parallelt med hver akse i en avstand til et enkelt segment (lengdeenheter) fra startformen koordinatrutenett.

Et punkt i et todimensjonalt koordinatsystem er gitt av to tall som definerer avstanden fra aksen Oy(abscisse eller x-koordinat) og fra aksen Åh henholdsvis (y-koordinat eller y-koordinat). Dermed danner koordinatene et ordnet par (tuppel) av tall (x, y). I tredimensjonalt rom legges en annen z-koordinat til (avstanden til et punkt fra xy-planet), og en ordnet trippel av koordinater dannes (x, y, z).

Valget av bokstavene x, y, z kommer fra den generelle regelen for å navngi ukjente mengder etter andre halvdel av det latinske alfabetet. Bokstavene i den første halvdelen brukes til å navngi kjente mengder.

Pilene på aksene gjenspeiler at de strekker seg til det uendelige i den retningen.

Skjæringspunktet mellom de to aksene skaper fire kvadranter på koordinatplanet, som er betegnet med romertallene I, II, III og IV. Vanligvis er nummereringsrekkefølgen til kvadrantene mot klokken, med start fra øverst til høyre (dvs. der abscissen og ordinaten er positive tall). Verdien som abscissene og ordinatene får i hver kvadrant kan oppsummeres i følgende tabell:

Kvadrant	x	y
Jeg	> 0	> 0
II	<0	> 0
III	<0	<0
IV	> 0	<0

Tredimensjonalt og n-dimensjonalt koordinatsystem

I denne figuren har punkt P koordinater (5,0,2) og punkt Q har koordinater (-5, -5,10)

Koordinater i 3D-rom danner en trippel (x, y, z).

x, y, z-koordinatene for et 3D kartesisk system kan forstås som avstandene fra et punkt til de tilsvarende planene: yz, xz og xy.

Det tredimensjonale kartesiske koordinatsystemet er veldig populært, da det tilsvarer de vanlige forestillingene om romlige dimensjoner - høyde, bredde og lengde (det vil si tre dimensjoner). Men avhengig av bruksområdet og egenskapene til det matematiske apparatet, kan betydningen av disse tre aksene være helt forskjellige.

Koordinatsystemer med høyere dimensjoner brukes også (for eksempel et 4-dimensjonalt system for å avbilde rom-tid i spesiell relativitet).

Kartesisk koordinatsystem i abstrakt n-dimensjonal plass er en generalisering av de ovennevnte bestemmelsene og har n akser (hver per måling) som er vinkelrett på hverandre. Følgelig vil posisjonen til et punkt i et slikt rom bli bestemt av en tuppel av n koordinater, eller nth.

Ligning av en rett linje i (planimetri) i kanonisk

form, parametrisk og generell form.

Disse ligningene kalles kanoniske ligninger av linjen i verdensrommet.

kan være lik null, noe som betyr at telleren til den tilsvarende brøken også er lik null.

Hvis i (1) introduserer vi parameteren t

x − x 0 l y − y 0 m z − z 0 n

så kan ligningene til den rette linjen skrives i formen

Med introduksjonen av et koordinatsystem på et plan eller i tredimensjonalt rom, oppstår en unik mulighet til å beskrive geometriske former og deres egenskaper ved hjelp av likninger og ulikheter. Dette har et annet navn - metoder for algebra.

Denne artikkelen vil hjelpe deg å forstå oppgaven til et rektangulært kartesisk koordinatsystem og bestemmelse av koordinatene til punktene. Et mer visuelt og detaljert bilde er tilgjengelig i grafiske illustrasjoner.

For å introdusere et koordinatsystem på et plan, er det nødvendig å tegne to vinkelrette linjer på planet. Velge positiv retning, merket med en pil. Må velge skala. Skjæringspunktet mellom linjene vil bli kalt bokstaven O. Hun blir vurdert referansepunkt. Dette kalles rektangulært koordinatsystem på overflaten.

Linjer med origo O som har retning og skala kalles koordinatlinje eller koordinataksen.

Det rektangulære koordinatsystemet er betegnet O x y . Koordinataksene kalles O x og O y, kalt henholdsvis abscisse og y-aksen.

Bilde av et rektangulært koordinatsystem på et plan.

Abscissen og ordinataksene har samme enhet for endring og skala, som vises som en strek ved opprinnelsen til koordinataksene. Standardretningen er O x fra venstre til høyre, og O y fra bunn til topp. Noen ganger brukes en alternativ rotasjon i ønsket vinkel.

Det rektangulære koordinatsystemet kalles kartesisk til ære for oppdageren René Descartes. Du kan ofte finne navnet som et rektangulært kartesisk koordinatsystem.

Tredimensjonalt euklidisk rom har et lignende system, bare det består ikke av to, men av tre O x, O y, O z akser. Dette er tre innbyrdes vinkelrette linjer, der O z har navnet applikasjonsakse.

I retning av koordinataksene er de delt inn i høyre og venstre rektangulære koordinatsystemer av tredimensjonalt rom.

Koordinataksene skjærer hverandre i punktet O, kalt origo. Hver akse har en positiv retning, som er angitt med pilene på aksene. Hvis, når O x roteres mot klokken med 90 °, faller dens positive retning sammen med positiv O y, så gjelder dette for den positive retningen til O z. Et slikt system vurderes Ikke sant. Med andre ord, hvis vi sammenligner retningen til X med tommelen, er pekefingeren ansvarlig for Y, og den midterste for Z.

Det venstre koordinatsystemet er dannet på samme måte. Begge systemene kan ikke kombineres, siden de tilsvarende aksene ikke vil matche.

Til å begynne med setter vi til side punktet M på koordinataksen O x. Ethvert reelt tall x M er lik det eneste punktet M som ligger på den gitte linjen. Hvis punktet er plassert på koordinatlinjen i en avstand på 2 fra origo i positiv retning, er det lik 2, hvis - 3, er den tilsvarende avstanden 3. Null er opprinnelsen til koordinatlinjene.

Med andre ord, hvert punkt M som ligger på O x er lik et reelt tall x M . Dette reelle tallet er null hvis punktet M ligger ved origo, det vil si i skjæringspunktet mellom O x og O y. Nummeret på segmentlengden er alltid positivt hvis punktet fjernes i positiv retning og omvendt.

Det tilgjengelige nummeret x M kalles koordinere punkt M på en gitt koordinatlinje.

La oss ta et punkt som projeksjonen av punktet M x på O x, og som projeksjonen av punktet M y på O y. Dette betyr at rette linjer vinkelrett på aksene O x og O y kan trekkes gjennom punktet M, hvor vi får de tilsvarende skjæringspunktene M x og M y .

Da har punktet M x på O x-aksen det tilsvarende tallet x M , og M y på O y - y M . På koordinataksene ser det slik ut:

Hvert punkt M på et gitt plan i et rektangulært kartesisk koordinatsystem har ett tilsvarende tallpar (x M , y M), kalt dets koordinater. Abscissa M er x M, ordinere M er y M.

Det omvendte utsagnet anses også som sant: hvert ordnet par (x M , y M) har et tilsvarende punkt gitt i planet.

Definisjon av punkt M i tredimensjonalt rom. La det være M x , M y , M z , som er projeksjoner av punktet M på de tilsvarende aksene O x, O y, O z . Da vil verdiene til disse punktene på aksene О x, О у, О z ta verdiene x M , y M , z M . La oss representere det på koordinatlinjer.

For å få projeksjonene av punktet M, må du legge til vinkelrette linjer O x, O y, O z for å fortsette og skildre i form av plan som går gjennom M. Dermed skjærer planene hverandre ved M x , M y , M z

Hvert punkt i tredimensjonalt rom har sine egne data (x M , y M , z M) , som har navnet punktkoordinater M , x M , y M , z M - dette er tallene som kalles abscisse, ordinat og applikasjon gitt punkt M. For denne dommen er det motsatte utsagnet også sant: hver ordnet trippel av reelle tall (x M , y M , z M) i et gitt rektangulært koordinatsystem har ett tilsvarende punkt M i tredimensjonalt rom.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Hvis vi introduserer et koordinatsystem på et plan eller i tredimensjonalt rom, vil vi være i stand til å beskrive geometriske former og deres egenskaper ved å bruke likninger og ulikheter, det vil si at vi vil kunne bruke algebrametodene. Derfor er konseptet med et koordinatsystem svært viktig.

I denne artikkelen skal vi vise hvordan et rektangulært kartesisk koordinatsystem er satt på et plan og i tredimensjonalt rom og finne ut hvordan koordinatene til punktene bestemmes. For klarhet presenterer vi grafiske illustrasjoner.

Sidenavigering.

Rektangulært kartesisk koordinatsystem på flyet.

Vi introduserer et rektangulært koordinatsystem på planet.

For å gjøre dette tegner vi to gjensidig vinkelrette linjer på planet, velg på hver av dem positiv retning, angir det med en pil, og velg på hver av dem skala(lengdeenhet). Vi betegner skjæringspunktet for disse linjene med bokstaven O, og vi vil vurdere det referansepunkt. Så vi fikk rektangulært koordinatsystem på overflaten.

Hver av linjene med den valgte origo O, retning og skala kalles koordinatlinje eller koordinataksen.

Et rektangulært koordinatsystem på et plan er vanligvis betegnet med Oxy, der Ox og Oy er dets koordinatakser. Okseaksen kalles x-aksen, og Oy-aksen er y-aksen.

La oss nå bli enige om bildet av et rektangulært koordinatsystem på planet.

Vanligvis velges lengdeenheten på aksene Ox og Oy til å være den samme og plottes fra origo for koordinater på hver koordinatakse i positiv retning (markert med en strek på koordinataksene og enheten skrives ved siden av det), abscisseaksen er rettet mot høyre, og y-aksen er opp. Alle andre alternativer for retningen til koordinataksene reduseres til den stemte (Ox-aksen - til høyre, Oy-aksen - opp) ved å rotere koordinatsystemet i en vinkel i forhold til origo og se på det fra den andre siden av flyet (om nødvendig).

Det rektangulære koordinatsystemet kalles ofte kartesisk, siden det først ble introdusert på flyet av Rene Descartes. Enda oftere kalles et rektangulært koordinatsystem et rektangulært kartesisk koordinatsystem, og setter det hele sammen.

Rektangulært koordinatsystem i tredimensjonalt rom.

Tilsvarende er det rektangulære koordinatsystemet Oxyz satt i tredimensjonalt euklidisk rom, men ikke to, men tre gjensidig vinkelrette linjer er tatt. Med andre ord legges koordinataksen Oz til koordinataksene Ox og Oy, som kalles applikatakse.

Avhengig av retningen til koordinataksene, skilles høyre og venstre rektangulære koordinatsystemer i tredimensjonalt rom.

Hvis du ser fra den positive retningen til Oz-aksen og den korteste svingen fra den positive retningen til Ox-aksen til den positive retningen til Oy-aksen skjer mot klokken, så kalles koordinatsystemet Ikke sant.

Hvis sett fra den positive retningen til Oz-aksen og den korteste rotasjonen fra den positive retningen til Ox-aksen til den positive retningen til Oy-aksen skjer med klokken, kalles koordinatsystemet venstre.

Koordinater til et punkt i et kartesisk koordinatsystem på et plan.

Tenk først på koordinatlinjen Ox og ta et punkt M på den.

Hvert reelt tall tilsvarer et unikt punkt M på denne koordinatlinjen. For eksempel tilsvarer et punkt som ligger på koordinatlinjen i en avstand fra origo i positiv retning tallet , og tallet -3 tilsvarer et punkt som ligger i en avstand på 3 fra origo i negativ retning. Tallet 0 tilsvarer opprinnelsen.

På den annen side tilsvarer hvert punkt M på koordinatlinjen Ox et reelt tall . Dette reelle tallet er null hvis punkt M faller sammen med origo (punkt O). Dette reelle tallet er positivt og lik lengden av segmentet OM i en gitt skala, hvis punktet M fjernes fra origo i positiv retning. Dette reelle tallet er negativt og er lik lengden på segmentet OM med et minustegn hvis punktet M fjernes fra origo i negativ retning.

Nummeret ringes opp koordinere punktene M på koordinatlinjen.

Vurder nå et plan med det introduserte rektangulære kartesiske koordinatsystemet. Vi markerer et vilkårlig punkt M på dette planet.

La være projeksjonen av punktet M på linjen Ox, og la være projeksjonene av punktet M på koordinatlinjen Oy (om nødvendig, se artikkelen). Det vil si at hvis vi trekker linjer gjennom punktet M som er vinkelrett på koordinataksene Ox og Oy, så er skjæringspunktene for disse linjene med linjene Ox og Oy henholdsvis punktene og.

La et punkt på koordinataksen Ox tilsvare et tall, og et punkt på aksen Oy til et tall.

Hvert punkt M i planet i et gitt rektangulært kartesisk koordinatsystem tilsvarer et enkelt ordnet par reelle tall, kalt koordinater til punkt M på overflaten. Koordinaten kalles abscissepunkt M, en - ordinatpunkt M.

Det omvendte utsagnet er også sant: hvert ordnet par reelle tall tilsvarer et punkt M av planet i et gitt koordinatsystem.

Koordinater til et punkt i et rektangulært koordinatsystem i tredimensjonalt rom.

La oss vise hvordan koordinatene til punktet M bestemmes i et rektangulært koordinatsystem gitt i tredimensjonalt rom.

La og være projeksjonene av punktet M på koordinataksene Ox , Oy og Oz henholdsvis. La disse punktene på koordinataksene Ox , Oy og Oz tilsvare reelle tall og .

I de foregående kapitlene ble teknikkene for å konstruere tegninger i XY-planet vurdert. Posisjonen til ethvert punkt i dette koordinatsystemet er preget av to verdier - abscissen og ordinaten. For å utføre konstruksjoner i tredimensjonalt rom, legges en tredje verdi til disse koordinatene, som bestemmer volumet til et bestemt produkt. Vi snakker om Z-koordinaten, som gir volum til flate objekter. Evnen til å sette koordinatene til tredimensjonale objekter riktig bidrar til riktig modellering av romlige detaljer. For disse formålene har AutoCAD tre typer referansesystemer: tredimensjonale kartesiske, sylindriske og sfæriske koordinater.

CARTSTIAN KOORDINATER

For å indikere posisjonen til et punkt i tredimensjonalt rom ved hjelp av kartesiske koordinater, er det nødvendig å legge til en tredje verdi, Z-koordinaten, til verdiene til koordinatene på XY-planet. For eksempel, i fig. 10.4 viser et punkt hvis koordinater i XY-planet er 13.19, og langs Z-aksen - 11 enheter.

Når du legger inn koordinater i dette systemet, spesifiseres først X-koordinaten, deretter Y atskilt med komma, og først deretter Z. For eksempel: 13,19,11. Hvis den numeriske verdien av koordinaten er brøk, er det nødvendig å skille heltalls- og brøkdelene med en prikk. Mellomrom mellom tall og kommaer er heller ikke tillatt.

Merk. Hvis en Z-verdi utelates når du legger inn 3D-koordinater, vil AutoCAD automatisk sette den til standardverdien registrert i ELEVATION-systemvariabelen kalt elevasjon.

Når du lager tredimensjonale objekter, brukes begrepene høyde (XY-plannivå) og høyde. Høyde bestemmes av Z-koordinaten til XY-planet som objektet er bygget på. Det er klart at hvis høyden er null (standardverdien), så faller nivået til objektet (dets plan) sammen med XY-planet. Med positiv høyde er objektet over XY-planet, og med negativ høyde er det under. Når det gjelder høyden til tredimensjonale objekter, bestemmer den avstanden som objektet forskyves i forhold til høyden.

Vanligvis brukes redigering av høyde- og høydeparametere når det er nødvendig å konstruere flere punkter der Z-koordinaten har samme verdi. Forenklingen av konstruksjonene skyldes det faktum at det i dette tilfellet vil være tilstrekkelig å angi for hvert slikt punkt bare to verdier som bestemmer posisjonen i XY-planet.

Som allerede nevnt lagres gjeldende høydeverdi under navnet på ELEVATION systemvariabelen, og høyden lagres under THICKNEES variabelen. For å endre verdien av begge parameterne som er tilordnet nyopprettede objekter, må du utføre Elev-kommandoen og svare på følgende spørsmål:

Kommando: Elev
Angi ny standardhøyde<0.0000>: <Ввод нового значения возвышения>
Angi ny standardtykkelse<0.0000>: <Ввод нового значения высоты>

Det bør også bemerkes at verdien av høyden på objektet kan endres fra paletten Egenskaper (Egenskaper).

SYLINDRISKE KOORDINATER

Posisjonen til et punkt i sylindriske koordinater bestemmes også av tre størrelser, men en av dem er kantete.

Som du vet, dannes en sirkulær sylinder ved å rotere generatrisen 2-3 (fig. 10.5a) rundt sirkelen, og beskriver en vinkel på 360 °. Det er dette prinsippet som legges inn i begrepet sylindriske koordinater. Når du bestemmer posisjonen til et punkt, må du først spesifisere radiusen til sylinderen (0-1), deretter rotasjonsvinkelen til generatrisen (1-2) og til slutt høyden på sylinderen (2-3) . For eksempel, punktet vist i fig. 10.36, ble bygget i forhold til gjeldende UCS etter å ha skrevet inn 23 på kommandolinjen<55,12. Значок «<» указывает на то, что после него вводится числовое значение угла поворота образующей, запятая перед этим значком не ставится, а после величины угла – должна вводиться обязательно. Таким образом, в цилиндрической системе координат положение точки определяется в следующем порядке: радиус – угол – образующая.

Du bør være oppmerksom på regelen om tegn. Når det gjelder lineære koordinater, er alt enkelt her - retningen til aksene bestemmer de positive verdiene til referansen. I dette tilfellet kan den positive retningen til Z-aksen styres av høyrehåndsregelen. Denne regelen er som følger. Hvis tommelen på høyre hånd er på linje med X-aksen, og pekefingeren med Y-aksen, vil de gjenværende fingrene i bøyd posisjon indikere den positive retningen til Z-aksen (fig. 10.56).

For å bestemme den positive rotasjonsretningen rundt en hvilken som helst akse, må du følge følgende regel. Hvis du installerer observatøren fra siden av den positive retningen til aksen, vil den positive retningen for å lese vinklene falle sammen med bevegelsen mot klokken (fig. 10.4). For å angi en vinkelretning med klokken, må vinkelverdien angis med et minustegn.

SFERISKE KOORDINATER

Posisjonen til et punkt i sfæriske koordinater bestemmes også av tre størrelser, hvorav den ene er lineær og de to andre er kantete.

Som du vet, er en sfærisk overflate et sted med punkter i rommet like langt fra ett punkt - midten av ballen. Derfor, for å bestemme posisjonen til et punkt som ligger på overflaten av en kule (fig. 10.7a), er det nok å indikere radiusen til sirkelen, hvis rotasjon danner ballen (0-1), deretter vinkelen dannet av rotasjonen av sirkelen rundt Z-aksen (1-2), og til slutt, vinkelen dannet ved å rotere sirkelen rundt X-aksen (2-3). For eksempel, punktet vist i fig. 10.76, ble bygget i forhold til gjeldende UCS etter å ha skrevet inn 25 på kommandolinjen<55<27. Значок «<» указывает на то, что после него вводится числовое значение угла поворота образующей. Таким образом, в сферической системе координат положение точки определяется в следующем порядке:

PUNKT FILTRE

Punktkoordinatfiltre er en annen måte å legge inn koordinater i 3D-rom, med et særtrekk som avhenger av koordinatene til tidligere innlagte objekter. Med andre ord, for å tildele koordinater på denne måten, må du feste til nodene til eksisterende objekter for å automatisk trekke ut koordinatene du bestilte fra dem.

Merk. Å spesifisere koordinater i 3D-rom ved å filtrere punkter kan bare være effektivt når du bruker objektsnapmoduser.

Et ordnet system med to eller tre kryssende akser vinkelrett på hverandre med felles opphav (opphav) og felles lengdeenhet kalles rektangulært kartesisk koordinatsystem .

Generelt kartesisk koordinatsystem (affint koordinatsystem) kan også inkludere ikke nødvendigvis vinkelrette akser. Til ære for den franske matematikeren Rene Descartes (1596-1662) er et slikt koordinatsystem navngitt der en felles lengdeenhet telles på alle akser og aksene er rette.

Rektangulært kartesisk koordinatsystem på flyet har to akser rektangulært kartesisk koordinatsystem i rommet - tre akser. Hvert punkt på et plan eller i rommet bestemmes av et ordnet sett med koordinater - tall i samsvar med enhetslengden til koordinatsystemet.

Merk at det, som følger av definisjonen, er et kartesisk koordinatsystem på en rett linje, det vil si i én dimensjon. Innføringen av kartesiske koordinater på en rett linje er en av måtene som ethvert punkt på en rett linje er tildelt et veldefinert reelt tall, det vil si en koordinat.

Koordinatmetoden, som oppsto i verkene til René Descartes, markerte en revolusjonerende omstrukturering av all matematikk. Det ble mulig å tolke algebraiske ligninger (eller ulikheter) i form av geometriske bilder (grafer) og omvendt å lete etter en løsning på geometriske problemer ved hjelp av analytiske formler, ligningssystemer. Ja, ulikhet z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy og plassert over dette planet med 3 enheter.

Ved hjelp av det kartesiske koordinatsystemet tilsvarer tilhørigheten av et punkt til en gitt kurve det faktum at tallene x og y tilfredsstille en eller annen ligning. Så koordinatene til et punkt i en sirkel sentrert ved et gitt punkt ( en; b) tilfredsstiller ligningen (x - en)² + ( y - b)² = R² .

Rektangulært kartesisk koordinatsystem på flyet

To perpendikulære akser på et plan med felles origo og samme skalaenhet dannes Kartesisk koordinatsystem på flyet . En av disse aksene kalles aksen Okse, eller x-aksen , den andre - aksen Oy, eller y-aksen . Disse aksene kalles også koordinatakser. Angi med Mx og My henholdsvis projeksjonen av et vilkårlig punkt M på aksel Okse og Oy. Hvordan få projeksjoner? Gå gjennom prikken M Okse. Denne linjen skjærer aksen Okse på punktet Mx. Gå gjennom prikken M rett linje vinkelrett på aksen Oy. Denne linjen skjærer aksen Oy på punktet My. Dette er vist i figuren under.

x og y poeng M vi vil kalle henholdsvis størrelsen på de dirigerte segmentene OMx og OMy. Verdiene til disse retningssegmentene beregnes henholdsvis som x = x0 - 0 og y = y0 - 0 . Kartesiske koordinater x og y poeng M abscisse og ordinere . Det faktum at prikken M har koordinater x og y, er betegnet som følger: M(x, y) .

Koordinataksene deler planet i fire kvadrant , hvis nummerering er vist i figuren nedenfor. Det indikerer også arrangementet av tegn for koordinatene til punktene, avhengig av deres plassering i en eller annen kvadrant.

I tillegg til kartesiske rektangulære koordinater i planet, blir også det polare koordinatsystemet ofte vurdert. Om metoden for overgang fra ett koordinatsystem til et annet - i leksjonen polart koordinatsystem .

Rektangulært kartesisk koordinatsystem i rommet

Kartesiske koordinater i rommet introduseres i fullstendig analogi med kartesiske koordinater på et plan.

Tre innbyrdes vinkelrette akser i rommet (koordinatakser) med felles opphav O og samme skala enhetsform Kartesisk rektangulært koordinatsystem i rommet .

En av disse aksene kalles aksen Okse, eller x-aksen , den andre - aksen Oy, eller y-aksen , tredje - akse Oz, eller applikatakse . La Mx, My Mz- projeksjoner av et vilkårlig punkt M mellomrom på aksen Okse , Oy og Oz hhv.

Gå gjennom prikken M OkseOkse på punktet Mx. Gå gjennom prikken M plan vinkelrett på aksen Oy. Dette planet skjærer aksen Oy på punktet My. Gå gjennom prikken M plan vinkelrett på aksen Oz. Dette planet skjærer aksen Oz på punktet Mz.

Kartesiske rektangulære koordinater x , y og z poeng M vi vil kalle henholdsvis størrelsen på de dirigerte segmentene OMx, OMy og OMz. Verdiene til disse retningssegmentene beregnes henholdsvis som x = x0 - 0 , y = y0 - 0 og z = z0 - 0 .

Kartesiske koordinater x , y og z poeng M er navngitt tilsvarende abscisse , ordinere og applikasjon .

Tatt i par er koordinataksene plassert i koordinatplanene xOy , yOz og zOx .

Problemer med punkter i det kartesiske koordinatsystemet

Eksempel 1

EN(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Finn koordinatene til projeksjonene til disse punktene på x-aksen.

Løsning. Som det følger av den teoretiske delen av denne leksjonen, er projeksjonen av et punkt på x-aksen plassert på selve x-aksen, det vil si aksen Okse, og har derfor en abscisse lik abscissen til selve punktet, og en ordinat (koordinat på aksen Oy, som x-aksen skjærer i punkt 0), lik null. Så vi får følgende koordinater til disse punktene på x-aksen:

ENx(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

Eksempel 2 Poeng er gitt i det kartesiske koordinatsystemet på flyet

EN(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Finn koordinatene til projeksjonene til disse punktene på y-aksen.

Løsning. Som det følger av den teoretiske delen av denne leksjonen, er projeksjonen av et punkt på y-aksen plassert på selve y-aksen, det vil si aksen Oy, og har derfor en ordinat lik ordinaten til selve punktet, og en abscisse (koordinaten på aksen Okse, som y-aksen skjærer i punkt 0), lik null. Så vi får følgende koordinater til disse punktene på y-aksen:

ENy(0; 2);

By (0; 1);

Cy(0;-2).

Eksempel 3 Poeng er gitt i det kartesiske koordinatsystemet på flyet

EN(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Okse .

Okse Okse Okse, vil ha samme abscisse som det gitte punktet, og ordinaten lik i absolutt verdi med ordinaten til det gitte punktet, og motsatt i fortegn til det. Så vi får følgende koordinater av punkter symmetriske til disse punktene rundt aksen Okse :

EN"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Løs problemer på det kartesiske koordinatsystemet selv, og se deretter på løsningene

Eksempel 4 Bestem i hvilke kvadranter (kvartaler, figur med kvadranter - på slutten av avsnittet "Rektangulært kartesisk koordinatsystem på planet") punktet kan plasseres M(x; y) , hvis

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Eksempel 5 Poeng er gitt i det kartesiske koordinatsystemet på flyet

EN(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(en; b) .

Finn koordinatene til punktene som er symmetriske til disse punktene rundt aksen Oy .

Vi fortsetter å løse problemer sammen

Eksempel 6 Poeng er gitt i det kartesiske koordinatsystemet på flyet

EN(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Finn koordinatene til punktene som er symmetriske til disse punktene rundt aksen Oy .

Løsning. Roter 180 grader rundt aksen Oy rettet linjestykke fra en akse Oy opp til dette punktet. På figuren, hvor kvadrantene til planet er indikert, ser vi at punktet er symmetrisk til det gitte med hensyn til aksen Oy, vil ha samme ordinat som det gitte punktet, og en abscisse lik i absolutt verdi med abscissen til det gitte punktet, og motsatt i fortegn til det. Så vi får følgende koordinater av punkter symmetriske til disse punktene rundt aksen Oy :

EN"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Eksempel 7 Poeng er gitt i det kartesiske koordinatsystemet på flyet

EN(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Finn koordinatene til punktene som er symmetriske til disse punktene med hensyn til origo.

Løsning. Vi roterer 180 grader rundt origoet til det rettede segmentet og går fra origo til det gitte punktet. I figuren, hvor kvadrantene til planet er indikert, ser vi at et punkt som er symmetrisk til et gitt punkt med hensyn til koordinatenes opprinnelse vil ha en abscisse og en ordinat lik abscissen og ordinaten til det gitte punktet i absolutt verdi. , men motsatt i tegn til dem. Så vi får følgende koordinater av punkter symmetriske til disse punktene med hensyn til opprinnelsen:

EN"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Eksempel 8

EN(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Finn koordinatene til projeksjonene til disse punktene:

1) på et fly Oxy ;

2) til flyet Oxz ;

3) til flyet Oyz ;

4) på ​​abscisseaksen;

5) på y-aksen;

6) på applikasjonsaksen.

1) Projeksjon av et punkt på et plan Oxy plassert på selve dette planet, og har derfor en abscisse og ordinat lik abscissen og ordinaten til det gitte punktet, og en applikat lik null. Så vi får følgende koordinater av projeksjonene av disse punktene på Oxy :

ENxy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Projeksjon av et punkt på et plan Oxz plassert på selve dette planet, og har derfor en abscisse og applikat lik abscissen og applikatet til det gitte punktet, og en ordinat lik null. Så vi får følgende koordinater av projeksjonene av disse punktene på Oxz :

ENxz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Projeksjon av et punkt på et plan Oyz plassert på selve dette planet, og har derfor en ordinat og en applikat lik ordinaten og applikatet til et gitt punkt, og en abscisse lik null. Så vi får følgende koordinater av projeksjonene av disse punktene på Oyz :

ENyz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Som det følger av den teoretiske delen av denne leksjonen, er projeksjonen av et punkt på x-aksen plassert på selve x-aksen, det vil si aksen Okse, og har derfor en abscisse lik abscissen til selve punktet, og ordinaten og applikatet til projeksjonen er lik null (siden ordinat- og applikataksene skjærer abscissen i punkt 0). Vi får følgende koordinater for projeksjonene av disse punktene på x-aksen:

ENx(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) Projeksjonen av et punkt på y-aksen er plassert på selve y-aksen, det vil si aksen Oy, og har derfor en ordinat lik ordinaten til selve punktet, og projeksjonens abscisse og applikat er lik null (siden abscissen og applikataksene skjærer ordinataksen i punktet 0). Vi får følgende koordinater for projeksjonene av disse punktene på y-aksen:

ENy(0;3;0);

By(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) Projeksjonen av et punkt på applikataksen er plassert på selve applikataksen, det vil si aksen Oz, og har derfor en applikat lik applikatet til selve punktet, og abscissen og ordinaten til projeksjonen er lik null (siden abscissen og ordinataksene skjærer applikataksen ved punkt 0). Vi får følgende koordinater for projeksjonene av disse punktene på applikataksen:

ENz(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Eksempel 9 Poeng er gitt i det kartesiske koordinatsystemet i rommet

EN(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Finn koordinatene til punktene som er symmetriske til disse punktene med hensyn til:

1) fly Oxy ;

2) fly Oxz ;

3) fly Oyz ;

4) abscisse-akse;

5) y-akse;

6) applikasjonsakse;

7) opprinnelsen til koordinatene.

1) "Forskyv" punktet på den andre siden av aksen Oxy Oxy, vil ha en abscisse og en ordinat lik abscissen og ordinaten til det gitte punktet, og en applikat som er lik i størrelsesorden applikaten til det gitte punktet, men motsatt i fortegn til det. Så vi får følgende koordinater av punkter symmetriske til dataene med hensyn til planet Oxy :

EN"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Forskyv" punktet på den andre siden av aksen Oxz for samme avstand. I henhold til figuren som viser koordinatrommet, ser vi at punktet er symmetrisk til det gitte i forhold til aksen Oxz, vil ha en abscisse og applikat lik abscissen og applikatet til det gitte punktet, og en ordinat lik ordinaten til det gitte punktet, men motsatt i fortegn til det. Så vi får følgende koordinater av punkter symmetriske til dataene med hensyn til planet Oxz :

EN"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Forskyv" punktet på den andre siden av aksen Oyz for samme avstand. I henhold til figuren som viser koordinatrommet, ser vi at punktet er symmetrisk til det gitte i forhold til aksen Oyz, vil ha en ordinat og en applikat lik ordinaten og en applikat av det gitte punktet, og en abscisse lik i størrelsesorden abscissen til det gitte punktet, men motsatt i fortegn til det. Så vi får følgende koordinater av punkter symmetriske til dataene med hensyn til planet Oyz :

EN"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

I analogi med symmetriske punkter på planet og punkter i rommet som er symmetriske med data med hensyn til plan, merker vi at når det gjelder symmetri om en akse av det kartesiske koordinatsystemet i rommet, koordinaten på aksen som symmetrien er satt om vil beholde sitt fortegn, og koordinatene på de to andre aksene vil være de samme i absolutt verdi som koordinatene til det gitte punktet, men motsatt i fortegn.

4) Abscissen vil beholde fortegn, mens ordinat og applikat vil skifte fortegn. Så vi får følgende koordinater av punkter symmetriske til dataene om x-aksen:

EN"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordinaten vil beholde fortegn, mens abscisse og applikat vil skifte fortegn. Så vi får følgende koordinater av punkter symmetriske til dataene om y-aksen:

EN"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Applikatet vil beholde sitt fortegn, og abscissen og ordinaten vil endre fortegn. Så vi får følgende koordinater av punkter symmetriske til dataene om applikataksen:

EN"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) I analogi med symmetri når det gjelder punkter på et plan, når det gjelder symmetri om origo, vil alle koordinater til et punkt som er symmetrisk til et gitt punkt være lik i absolutt verdi med koordinatene til et gitt punkt, men motsatt i tegn til dem. Så vi får følgende koordinater av punkter som er symmetriske til dataene med hensyn til opprinnelsen.