Rektangulært koordinatsystem. Rektangulært koordinatsystem på et plan

Rektangulært system koordinater på planet er gitt av to innbyrdes vinkelrette rette linjer. Rette linjer kalles koordinatakser (eller koordinatakser). Skjæringspunktet mellom disse linjene kalles opprinnelsen og er betegnet med bokstaven O.

Vanligvis er en av linjene horisontal, den andre er vertikal. Den horisontale linjen er betegnet som x-aksen (eller Ox) og kalles abscisseaksen, den vertikale linjen er y-aksen (Oy), kalt ordinataksen. Hele koordinatsystemet er betegnet xOy.

Punkt O deler hver av aksene i to halvakser, hvorav den ene anses som positiv (angitt med en pil), den andre - negativ.

Hvert punkt F i planet er tildelt et tallpar (x;y) - dets koordinater.

X-koordinaten kalles abscissen. Det er lik Okse, tatt med passende tegn.

Y-koordinaten kalles ordinaten og er lik avstanden fra punkt F til Oy-aksen (med passende fortegn).

Akselavstander måles vanligvis (men ikke alltid) i samme lengdeenhet.

Punkter plassert til høyre for y-aksen har positive abscisser. Punkter som ligger til venstre for ordinataksen har negative abscisser. For ethvert punkt som ligger på Oy-aksen, er dens x-koordinat null.

Punkter med positiv ordinat ligger over x-aksen, og punkter med negativ ordinat ligger under. Hvis et punkt ligger på Ox-aksen, er dets y-koordinat null.

Koordinatakser deler planet i fire deler, som kalles koordinatkvartaler (eller koordinatvinkler eller kvadranter).

1 koordinatkvartal plassert til høyre øverste hjørne koordinatplan xOy. Begge koordinatene til punktene i første kvartal er positive.

Overgangen fra en fjerdedel til en annen utføres mot klokken.

2 koordinat kvartal er plassert i øvre venstre hjørne. Punkter som ligger i andre kvartal har en negativ abscisse og en positiv ordinat.

3 koordinat kvartal ligger i nedre venstre kvadrant av xOy-planet. Begge koordinatene til punktene som tilhører III-koordinatvinkelen er negative.

4 koordinat kvartal er det nedre høyre hjørnet av koordinatplanet. Ethvert punkt fra IV-kvartalet har en positiv førstekoordinat og en negativ andre.

Et eksempel på plasseringen av punkter i et rektangulært koordinatsystem:

1. Rektangulært koordinatsystem på et plan

Et rektangulært koordinatsystem på et plan er dannet av to innbyrdes vinkelrette koordinatakser X"X Og Y"Y O, som kalles origo, velges den positive retningen på hver akse. I høyresidig koordinatsystem, er den positive retningen til aksene valgt slik at når aksen rettes Y"Y opp, akse X"X så til høyre.

Fire hjørner (I, II, III, IV) dannet av koordinataksene X"X Og Y"Y, kalles koordinatvinkler eller kvadranter (se fig. 1).

Punktposisjon EN på planet bestemmes av to koordinater x Og y. Koordinere x lik lengden på segmentet O.B., koordinere y- lengden på segmentet O.C. i utvalgte måleenheter. Segmenter O.B. Og O.C. bestemmes av linjer trukket fra punktet EN parallelt med aksene Y"Y Og X"X hhv. Koordinere x ringte abscisse poeng EN, koordinere y - ordinere poeng EN. Skriv det ned slik: A ( x, y)

Hvis poenget EN ligger i koordinatvinkel Jeg peker da EN har en positiv abscisse og ordinat. Hvis poenget EN ligger i koordinatvinkel II, deretter punktet EN har en negativ abscisse og en positiv ordinat. Hvis poenget EN ligger i koordinatvinkel III, deretter punktet EN har negativ abscisse og ordinat. Hvis poenget EN ligger i koordinatvinkel IV, deretter punktet EN har en positiv abscisse og en negativ ordinat.

2. Polare koordinater.

Et polart rutenett der flere vinkler er plottet, markert i grader.

Polarsystemet koordinater- et todimensjonalt koordinatsystem der hvert punkt på planet er definert av to tall - vinkel og avstand. Det polare koordinatsystemet er spesielt nyttig i tilfeller hvor relasjoner mellom punkter er lettere representert i form av avstander og vinkler; i det mer vanlige kartesiske eller rektangulære koordinatsystemet kan slike sammenhenger bare etableres ved å bruke trigonometriske ligninger.

Det polare koordinatsystemet er definert av en stråle, som kalles null- eller polaraksen. Punktet der denne strålen kommer ut kalles opprinnelsen eller polen. Ethvert punkt på planet er definert av to polare koordinater: radial og vinkel. Radial koordinat (vanligvis betegnet r) tilsvarer avstanden fra punktet til origo. Vinkelkoordinaten, også kalt den polare vinkelen eller asimut og betegnet φ, er lik vinkelen som polaraksen må roteres mot klokken for å komme til det punktet.

Den radielle koordinaten definert på denne måten kan ta verdier fra null til uendelig, og vinkelkoordinaten varierer fra 0° til 360°. Men for enkelhets skyld rekkevidden polare koordinater kan utvides utover full vinkel, og også la henne ta negative verdier, som tilsvarer en rotasjon med klokken av polaraksen.

3. Deler inn segmenter i i denne forbindelse.

Det er nødvendig å dele segmentet AB-forbindelsespunktene A(x1;y1) og B(x2;y2) i et gitt forhold λ > 0, dvs..jpg" align="left" width="84 height=84" height= " 84">

Løsning: La oss introdusere vektorer https://pandia.ru/text/78/214/images/image006_41.gif" width="18" height="13 src=">..gif" width="79" height=" 15 src=">, dvs. og i.e.

Ligning (9.1) har formen

Med tanke på det like vektorer har like koordinater får vi:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_27.gif" width="56 height=28" height="28"> (9.2) og

https://pandia.ru/text/78/214/images/image016_26.gif" width="60 height=29" height="29"> (9.3)

Formler (9.2) og (9.3) kalles formler for å dele et segment i denne forbindelse. Spesielt for λ = 1, dvs. gif" width="54" height="29 src=">. I dette tilfellet er punktet M(x;y) midtpunktet av segmentet AB.

Kommentar:

Hvis λ = 0, betyr dette at punktene A og M faller sammen hvis λ< 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ - говорят, что точка M делит отрезок АВ eksternt, fordi ellers, dvs. AM + MB = 0, dvs. AB = 0).

4. Avstand mellom punktene.

Det er nødvendig å finne avstanden d mellom punktene A(x1;y1) og B(x2;y2) i planet.

Løsning: Den nødvendige avstanden d er lik lengden på vektoren, dvs.

5. Ligning av en linje som går gjennom to punkter.

Hvis vi på en rett linje i rommet markerer to vilkårlige poeng M1(x1, y1, z1) og M2(x2, y2, z2), så må koordinatene til disse punktene tilfredsstille den rettlinjede ligningen oppnådd ovenfor:

I tillegg, for punkt M1 kan vi skrive:

Løser vi disse ligningene sammen får vi:

Dette er ligningen til en linje som går gjennom to punkter i rommet.

6. Determinanter av 2. orden.

Verdien av 2. ordens determinant beregnes enkelt per definisjon ved hjelp av formelen.

7. Determinanter av 3. orden.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image030_15.gif" width="120" height="61 src="> skjema for å beregne determinanten ved hjelp av trekantmetoden, dvs.:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">DIV_ADBLOCK251">

9. Løse SLE ved hjelp av Cramers metode.

Cramers teorem: Et system med N ligninger med N ukjente, hvis determinant ikke er null, har alltid en løsning og en unik. Den finnes som følger: verdien av hver av de ukjente er lik en brøk, hvis nevner er determinanten for systemet, og telleren er hentet fra systemets determinant ved å erstatte kolonnen med koeffisienter for det ukjente ukjent med kolonnen med de nødvendige termene.

Dette ligningssystemet vil bare ha en unik løsning når determinanten som består av koeffisientene til X1 - n ikke er lik null. La oss betegne denne determinanten med tegnet - Δ. Hvis denne determinanten ikke er lik null, så løser vi videre. Da er hver Xi = Δi / Δ, hvor Δi er en determinant som består av koeffisienter for X1 - n, bare verdiene til koeffisientene i den i-te kolonnen erstattes med verdier etter likhetstegnet i systemet med ligninger, og Δ er hoveddeterminanten

Nte ordenssystem https://pandia.ru/text/78/214/images/image037_14.gif" width="112" height="46"> .gif" width="79" height="46">.gif" width="264" height="48">.gif" width="120" height="29">DIV_ADBLOCK252">

10. Løse SLE ved hjelp av matrisemetoden.

Matriser gjør det mulig å kort skrive ned systemet lineære ligninger. La et system med 3 ligninger med tre ukjente gis:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image046_13.gif" width="75" height="41"> og matriser kolonner med ukjente og gratis medlemmer

La oss finne arbeidet

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_13.gif" width="108" height="41"> eller kortere EN∙X=B.

Her er matrisene EN Og B er kjent, og matrisen X ukjent. Det er nødvendig å finne det, fordi dets elementer er løsningen på dette systemet. Denne ligningen kalles matriseligning.

La determinanten til matrisen være forskjellig fra null | EN| ≠ 0. Deretter matriseligning løses som følger. Multipliser begge sider av ligningen til venstre med matrisen A-1, invers av matrisen EN: https://pandia.ru/text/78/214/images/image051_13.gif" width="168" height="59">

Avgjøre matrisemetoden følgende system ligninger:

OBS: Null vises hvis én variabel mangler, det vil si for eksempel hvis X3 ikke er gitt i betingelsen, er den automatisk lik null. Samme med X1 og X2

https://pandia.ru/text/78/214/images/image057_9.gif" width="56 height=54" height="54">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image065_8.gif" width="160 height=51" height="51">

Svare:

# a) Gitt:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image074_5.gif" width="59 height=16" height="16"> Svare:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image081_5.gif" width="106" height="50 src=">

La oss finne den inverse matrisen.

Trekk den første linjen fra alle linjene under den. Denne handlingen motsier ikke elementære transformasjoner matriser.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image083_4.gif" width="172" height="52 src=">

Trekk den tredje linjen fra alle linjene over den. Denne handlingen motsier ikke elementære matrisetransformasjoner.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image085_5.gif" width="187" height="53 src=">

La oss redusere alle koeffisientene på hoveddiagonalen til matrisen til 1. Del hver rad i matrisen med koeffisienten til denne raden som ligger på hoveddiagonalen, hvis den ikke er lik 1. Den kvadratiske matrisen som viser seg til høyre av enheten en er den omvendte av den viktigste.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image087_4.gif" width="172" height="52 src=">

11. Vektorer. Vektor tillegg.

http://www. bigpi. *****/encicl/articles/15/1001553/1001553A. htm

Vektor navngi mengden karakterisert numerisk verdi, retning i rommet og legge opp til en annen, lignende mengde geometrisk.

Grafisk er vektorer avbildet som rettede rette segmenter av en viss lengde, som https://pandia.ru/text/78/214/images/image089_5.gif" width="17" height="17 src="> eller DIV_ADBLOCK254 ">

Vektortillegg: Summen av vektorene a(a1; a2) og b(b1; b2) er vektoren c(a1+b1; a2+b2). For alle vektorer a(a1; a2), b(b1; b2), c(с1; с2) er likhetene gyldige:

Teorem: Uansett de tre punktene A, B og C, er det en vektorlikhet https://pandia.ru/text/78/214/images/image094_4.gif" width="126" height="49">

Når du legger til to vektorer bruker ofte den såkalte " parallellogramregel" I dette tilfellet konstrueres et parallellogram ved å bruke summandvektorene som sine tilstøtende sider. Diagonalen til parallellogrammet trukket fra punktet der begynnelsen av vektorene forbinder er den nødvendige summen (fig. 4, venstre).

Det er lett å se (fig. 4, høyre) at denne regelen fører til samme resultat som metoden ovenfor. Når du legger til mer enn to vektorer " parallellogramregel» er praktisk talt ikke brukt på grunn av den tungvinte konstruksjonen. Vektoraddisjon er kommutativ, det vil si
EN + b = b + EN.

Og likevel avhenger ikke summen av et visst antall vektorer av rekkefølgen de legges til i, det vil si ( EN + b) + d = en + (b + d). I dette tilfellet sier de at tillegget av vektorer er assosiativt, det vil si at kombinasjonsloven er oppfylt for det.

12. Punktprodukt av vektorer.

http://www. dpva. info/Guide/GuideMathematics/linear Algebra/ScalarVectorsMultiplication/

Punktproduktet av vektorer er en operasjon på to vektorer som resulterer i et tall (ikke en vektor).

https://pandia.ru/text/78/214/images/image097_5.gif" width="86" height="23">

Med andre ord er skalarproduktet av vektorer lik produktet av lengdene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem. Det skal bemerkes at vinkelen mellom to vektorer er vinkelen de danner hvis de settes til side fra ett punkt, det vil si at opprinnelsen til vektorene må falle sammen.

Følgende enkleste egenskaper følger direkte av definisjonen:

1. Prikk produkt vilkårlig vektor men for deg selv (skalær kvadrat av vektor a) er alltid ikke-negativ, og lik kvadratet på lengden til denne vektoren. Dessuten er skalarkvadraten til en vektor lik null hvis og bare hvis gitt vektor- null.

2. Prikk produkt av evt vinkelrette vektorer a og b er lik null.

3. Skalarproduktet av to vektorer er null hvis og bare hvis de er vinkelrette eller minst én av dem er null.

4. Skalarproduktet av to vektorer a og b er positivt hvis og bare hvis det er en spiss vinkel mellom dem.

5. Skalarproduktet av to vektorer a og b er negativt hvis og bare hvis det er en stump vinkel mellom dem.

Alternativ definisjon prikkprodukt, eller beregne skalarproduktet av to vektorer spesifisert av deres koordinater.

(Å beregne koordinatene til en vektor hvis koordinatene til begynnelsen og slutten er gitt er veldig enkelt:

La det være en vektor AB, A - begynnelsen av vektoren, B - slutten og koordinatene til disse punktene

A=(a1,a2,a3), B=(b1,b2,b3)

Da er koordinatene til vektoren AB:

AB=(b1-a1, b2-a2, b3-a3) .

Tilsvarende i todimensjonalt rom - det er rett og slett ingen tredje koordinater)

Så la to vektorer gis, definert av et sett med koordinatene deres:

a) I todimensjonalt rom (på et plan)..gif" width="49" height="19 src=">

Deretter kan deres skalarprodukt beregnes ved å bruke formelen:

b) I tredimensjonalt rom: ;

I likhet med det todimensjonale tilfellet beregnes deres skalarprodukt ved å bruke formelen:

DIV_ADBLOCK257">

Så la oss ha to vektorer: https://pandia.ru/text/78/214/images/image104_4.gif" width="73" height="23 src=">

Og vi må finne vinkelen mellom dem. Ved å bruke koordinatene deres finner vi lengdene deres, og deretter likestiller vi de to formlene for skalarproduktet. På denne måten får vi cosinus til ønsket vinkel.

Vektorlengde EN beregnes som roten av skalarkvadraten til vektoren EN, som vi beregner ved å bruke formelen for skalarproduktet av vektorer spesifisert av koordinatene:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image107_3.gif" width="365" height="23">

Betyr, ,

Den nødvendige vinkelen er funnet.

13. Vektor kunstverk.

http://www. dpva. info/Guide/GuideMatematikk/lineær algebra/vektorVektorerMultiplikasjon/

Kryssprodukt av to vektorer a og b er en operasjon på dem, bare definert i tredimensjonalt rom, hvis resultat er vektor med følgende egenskaper:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image111_3.gif" width="83" height="27">, hvor en Og b.

3) Vektoren er rettet på en slik måte at hvis du tar med vektoren https://pandia.ru/text/78/214/images/image117_3.gif" width="13" height="24 src=">. gif" width=" 13" height="24"> til vektoren vil være MOT URVISEREN.

For større klarhet, la oss gi et eksempel - i figuren til høyre er vektoren vektorproduktet av vektorene a og b. Som det står i definisjonen har vi redusert alle tre vektorene til generell begynnelse, og så, hvis du ser på vektorene a og b fra slutten av vektoren, vil den korteste svingen fra vektor a til vektor b være mot klokken.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image119_3.gif" width="76" height="25">

Direkte fra definisjonen følger det også at for enhver skalarfaktor k (tall) er følgende sant:

det A https://pandia.ru/text/78/214/images/image182_2.gif" width="56 height=32" height="32">

7.2 Finne determinanten til en 3. ordens matrise ved å bruke trekantregelen

DIV_ADBLOCK261">

Hvert element i en kvadratisk matrise (hvis rekkefølgen er større enn eller lik tre) kan assosieres med to tall kalt MINOR eller ALGEBRAISK KOMPLEMENT. Minor av et element Aij i en kvadratisk matrise A (i hvilken som helst rekkefølge) kalles DETERMINANT FOR MATRIKSEN, hentet fra matrise A ved å slette raden og kolonnen i skjæringspunktet som elementet Aij står. Tegnet M er betegnelsen på Minor.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">.gif" width="35" height="19">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image194_1.gif" width="96 height=82" height="82">

ELEMENTER

Mindre

Algebraisk komplement

La A = en tredje-ordens matrise, så er determinanten til matrise A lik:

Merk: Determinanten kan beregnes fra elementene noen strenger eller noen kolonne i denne matrisen.

# Finn determinanten til matrisen ved elementene i den første raden og den første kolonnen:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image201_0.gif" width="58" height="56 src=">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image203_0.gif" width="253" height="34 src=">

7.3 N. ordens MATRISKE DETERMINANT

La A - kvadratisk matrise n. orden. Da vil determinanten for matrisen i n. orden se slik ut:

Etter å ha dekomponert elementene i 1 rad, finn elementene i matrise A

DIV_ADBLOCK262">

2) a12=0*(2*0*1+1*0*0+1*2*0)-0*(0*0*0+1*1*1+2*0*2)=0

3) a13=2*(2*2*1+1*1*0+0*0*2)-2*(0*2*0+1*0*1+2*2*1)=0

4) a14=-1*(2*2*0+1*1*1+0*0*0)-1*(1*2*0+1*0*0+2*1*0)=- 1

6. GRUNNLEGGENDE EGENSKAPER TIL DETERMINANTEN

1. Determinanten vil ikke endres hvis radene byttes med de tilsvarende kolonnene (transponer)

2. Når du omorganiserer to rader eller kolonner, vil definisjonen endre fortegn til det motsatte.

3. Fellesfaktoren for alle elementene i en rad (kolonne) kan tas utover fortegnet til determinanten

4. En determinant med to like rader eller kolonner er alltid lik null.

5. Hvis elementene i to rader (kolonner) i determinanten er proporsjonale, så er determinanten lik null.

6. Hvis vi i en rad eller kolonne i determinanten legger til henholdsvis elementene i en annen rad eller kolonne, multiplisert med samme tall, vil ikke determinanten endre verdien.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image208_0.gif" width="48" height="12"> osv.

Trekantet determinant- dette er determinanten som alle elementene som ligger over (eller under) hoveddiagonalen er null, lik produktet elementer i hoveddiagonalen.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image210_0.gif" width="37" height="28 src=">DIV_ADBLOCK263">

Hvis en invers matrise A eksisterer, kalles matrisen INVERTIBEL. Finne en kvadratisk matrise har stor verdi ved løsning av lineære systemlikninger.

17. Invers matrise.

http://www. mathjelp. *****/bok1/omatrix. htm

1. Finn determinanten til Matiritsa A

2. Finn det algebraiske komplementet til alle elementene i matrise A (Aij) og skriv en ny matrise

3. Transponer den nye matrisen

4. Multipliser den transponerte matrisen med inversen av determinanten. (For eksempel: til tallet 6 invers determinant det vil være et nummer)

La oss betegne ∆ =det A. For at en kvadratisk matrise A skal ha en invers, er det nødvendig og tilstrekkelig at matrisen er ikke-degenerert (ikke-null). Matrise, matrise invers A, betegnet med A-1, så B = A-1..gif" width="12" height="19 src=">.gif" width="82" height="34 src="> - normaliseringsplan multiplikator, hvis fortegn er valgt motsatt tegn D, hvis vilkårlig, hvis D=0.

21. Kurver av 2. (ligning av en sirkel).

Definisjon 11.1.Andre ordens kurver på et plan kalles skjæringslinjene til en sirkulær kjegle med plan som ikke går gjennom toppunktet.

Hvis et slikt plan krysser alle generatrisene til ett hulrom i kjeglen, viser det seg i seksjonen ellipse, i skjæringspunktet mellom generatrisene til begge hulrommene – hyperbel, og hvis skjæreplanet er parallelt med en hvilken som helst generatrise, så er seksjonen av kjeglen parabel.

Kommentar. Alle andreordenskurver er spesifisert av andregradsligninger i to variabler.

Klassifisering av andreordenskurver

Ikke-degenererte kurver

ikke-degenerert, hvis følgende alternativer kan forekomme:

Ikke-degenerert kurve andre orden kalles sentral if

· ellipse - forutsatt D> 0 og Δ jeg < 0;

et spesielt tilfelle av en ellipse - en sirkel - gitt jeg 2 = 4D eller en 11 = en 22,en 12 = 0;

imaginær ellipse (ikke et eneste reelt punkt) - underlagt Δ jeg > 0;

· hyperbole - gitt D < 0;

En ikke-degenerert andreordenskurve kalles ikke-sentral hvis Δ jeg = 0

parabel - forutsatt D = 0.

Degenererte kurver: Den andre ordenskurven kalles degenerert, hvis Δ = 0. Følgende alternativer kan forekomme:

· reelt punkt i skjæringspunktet mellom to imaginære linjer (degenerert ellipse) - gitt D > 0;

· et par reelle kryssende linjer (degenerert hyperbel) - gitt D < 0;

· degenerert parabel - forutsatt D = 0:

· et par ekte parallelle linjer - forutsatt B < 0;

· en reell linje (to sammenslåtte parallelle linjer) - gitt B = 0;

· et par imaginære parallelle linjer (ikke et enkelt reelt punkt) - gitt B > 0.

22. Ellipse og dens ligning.

Definisjon 11.2.Ellipse er settet med punkter i planet som summen av avstandene til to faste punkter er for F 1 og F 2 av dette flyet, kalt triks, er en konstant verdi.

Kommentar. Når punktene faller sammen F 1 og F 2 blir ellipsen til en sirkel.

Rektor Di ellipse som tilsvarer fokuset Fi, kalles en rett linje som ligger i samme halvplan med Fi i forhold til aksen Åh vinkelrett på aksen Åh på avstand a/e fra opprinnelsen.

Kommentar. Med et annet valg av koordinatsystem kan det hende at ellipsen ikke er spesifisert kanonisk ligning(11.1), men en annengradsligning av en annen type.

Ellipse egenskaper:

1) En ellipse har to innbyrdes vinkelrette symmetriakser (hovedaksene til ellipsen) og et symmetrisenter (senteret av ellipsen). Hvis en ellipse er gitt av en kanonisk ligning, er hovedaksene koordinataksene, og sentrum er opprinnelsen. Siden lengdene på segmentene dannet av skjæringspunktet mellom ellipsen og hovedaksene er lik 2 EN og 2 b (2en>2b), så kalles hovedaksen som går gjennom brennpunktene ellipsens hovedakse, og den andre hovedaksen kalles mindreaksen.

Deretter https://pandia.ru/text/78/214/images/image264.gif" width="141" height="122 src=">

La oss utlede den kanoniske ligningen til en hyperbel i analogi med utledningen av ligningen til en ellipse, ved å bruke samme notasjon.

|r1 - r2 | = 2en, hvor. Hvis vi utpeker b² = c² - en², herfra kan du få https://pandia.ru/text/78/214/images/image267.gif" width="38" height="30 src=">.gif" width="87" height= "44 src="> , (11.3`)

som den reelle og den imaginære aksen byttes for mens de samme asymptotene opprettholdes.

4) Eksentrisiteten til hyperbelen e> 1.

5) Avstandsforhold ri fra hyperbelpunkt til fokus Fi til avstanden di fra dette punktet til retningslinjen som tilsvarer fokus er lik eksentrisiteten til hyperbelen.

Beviset kan utføres på samme måte som for ellipsen.

23. Parabel.

Definisjon 11.8.Parabel er settet med punkter på planet som avstanden til et fast punkt er for F dette planet er lik avstanden til en fast rett linje. Prikk F ringte fokus parabler, og den rette linjen er dens rektor.

For å utlede ligningen til en parabel velger vi et kartesisk koordinatsystem slik at dets opprinnelse er midtpunktet til perpendikulæren FD, senket fra fokus til retningslinjen, og koordinataksene var plassert parallelt og vinkelrett på retningslinjen. La lengden på segmentet FD

D O F x er lik r. Så fra likestillingen r = d det følger at https://pandia.ru/text/78/214/images/image271.gif" width="101 height=38" height="38">,

Ved å bruke algebraiske transformasjoner kan denne ligningen reduseres til formen:

y² = 2 px, (11.4) ringte kanonisk parabelligning.

Størrelse r ringte parameter parabler.

Egenskaper til en parabel :

1) En parabel har en symmetriakse (parabelakse). Punktet der parabelen skjærer aksen kalles parabelens toppunkt. Hvis en parabel er gitt av en kanonisk ligning, er dens akse aksen Å, og toppunktet er opprinnelsen til koordinatene.

2) Hele parabelen er plassert i høyre halvplan av planet Ååå.

Kommentar. Ved å bruke egenskapene til retningslinjene til en ellipse og en hyperbel og definisjonen av en parabel, kan vi bevise følgende utsagn:

Settet med punkter på planet som forholdet e avstanden til et fast punkt til avstanden til en rett linje er en konstant verdi, det er en ellipse (med e<1), гиперболу (при e>1) eller parabel (med e=1).

Redusere en andreordens ligning til kanonisk form.

Definisjon 11.9. Linje definert generell ligning andre orden

https://pandia.ru/text/78/214/images/image274.gif" width="103 height=19" height="19"> du kan angi en matrise

https://pandia.ru/text/78/214/images/image276.gif" width="204" height="24 src="> (forutsatt at λ .

I tilfelle at en av egenverdier matriser EN er lik 0, ligning (11.5) som et resultat av to koordinattransformasjoner kan reduseres til formen: , (11.8) som er den kanoniske ligningen til en parabel.

24. Rektangulære koordinater i verdensrommet.

Rektangulært koordinatsystem i rommet dannet av tre innbyrdes vinkelrette koordinatakser OKSE, OY Og OZ. Koordinataksene skjærer hverandre i punktet O, som kalles opprinnelsen til koordinatene, på hver akse velges en positiv retning, indikert med piler, og en måleenhet for segmentene på aksene. Enhetene er vanligvis like for alle akser (noe som ikke er obligatorisk). OKSE- abscisse akse, OY- ordinatakse, OZ- applikatorakse.

Hvis tommel høyre hånd ta for retning X, peker for retning Y, og gjennomsnittet for retningen Z, så dannes det høyre koordinatsystem. Lignende fingre på venstre hånd danner venstre koordinatsystem. Med andre ord, den positive retningen til aksene er valgt slik at når aksen roterer OKSE mot klokken med 90° dens positive retning sammenfaller med den positive retningen til aksen OY, hvis denne rotasjonen observeres fra aksens positive retning OZ. Det er umulig å kombinere høyre og venstre koordinatsystem slik at de tilsvarende aksene faller sammen (se fig. 2).

Punktposisjon EN i rommet bestemmes av tre koordinater x, y Og z. Koordinere x lik lengden på segmentet O.B., koordinere y- lengden på segmentet O.C., koordinere z- lengden på segmentet O.D. i utvalgte måleenheter. Segmenter O.B., O.C. Og O.D. bestemmes av plan trukket fra punktet EN parallelt med flyene YOZ, XOZ Og XOY hhv. Koordinere x kalt abscissen til punktet EN, koordinere y- ordinaten til punktet EN, koordinere z- søknadspunkt EN. Skriv det ned slik: .

Hvis vi gjennom punkt O i rommet tegner tre vinkelrette rette linjer, kaller vi dem, du tar dem til høyre Hvis vi utpeker individuelle kutt, så får vi rektangulært system co-or-di-nat i rommet. Co-or-di-nat-aksene heter slik: Okse - ab-ciss-akse, Oy - eller-di-nat-akse og Oz - opp-pli-katten akse. Hele systemet med co-or-di-nat betyr Oxyz. Dermed dukker det opp tre co-eller-di-nat-fly: Oxy, Oxz, Oyz.

Her er et eksempel på konstruksjonen av punkt B(4;3;5) i et rektangulært koordinatsystem (se fig. 1).

Ris. 1. Konstruksjon av punkt B i rommet

Det første co-or-di-to-ta punktet B er 4, det er derfor fra-kla-dy-va-em på Ox 4, la oss gå rett til pa-ral-lel-but-aksen Oy til den skjærer rett linje som går gjennom y = 3. Dermed får vi punktet K. Dette punktet ligger i Oxy-planet og har koordinatene K(4;3;0). Nå må du lage en direkte parallell til Oz-aksen. Og den rette linjen, som går gjennom punktet med opp-pli-ka-leketøy 5 og pa-ral-lel-na dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram -ma i Oxy-planet. På deres re-se-se-che-nii får vi det nødvendige punktet B.

Tenk på plasseringen av punkter der en eller to koeffisienter er lik 0 (se fig. 2).

For eksempel punkt A(3;-1;0). Du må fortsette Oy-aksen til venstre til verdien -1, finne punkt 3 på Ox-aksen, og i skjæringspunktet mellom linjene som går gjennom disse verdiene La oss finne punkt A. Dette punktet har en omtrentlig verdi på 0, som betyr at den ligger i Oxy-planet.

Punkt C(0;2;0) har abs-cis-su og up-pli-ka-tu 0 - ikke fra-meg-cha-em. Or-di-na-ta er lik 2, noe som betyr at punkt C ligger kun på Oy-aksen, som ikke er flat stay Oxy og Oyz.

For å flytte punktet D(-4;0;3) utvider vi Ox-aksen tilbake utover begynnelsen til punkt -4. Nå gjenoppretter vi fra dette punktet per-pen-di-ku-lyar - den rette, parallellaksen Oz til per-re-se-che-niy med en rett, parallell okseakse og passerer gjennom verdi 3 på Oz akser. Vi får gjeldende D(-4;0;3). Siden rekkefølgen på punktet er lik 0, betyr dette at punktet D ligger i Oxz-planet.

Neste punkt E(0;5;-3). Or-di-na-ta punkter 5, a-pli-ka-ta -3, pro-vo-dim rette linjer som går gjennom disse verdiene på korrespondanse -th aksene, og ved deres skjæringspunkt får vi punkt E(0) ;5;-3). Dette punktet har en første koordinasjon på 0, som betyr at det ligger i Oyz-planet.

2. Vektorkoordinater

La oss se på det rektangulære systemet med co-or-di-nat i Oxyz-rommet. La oss lage et rektangulært system i rommet, co-or-di-nat Oxyz. På hver av de lineære aksene er det en enkelt vektor, dvs. vektor, lengden på noe er lik en. Vi betegner enhetsvektoren til ab-ciss-aksen, enhetsvektoren til or-di-nat-aksen og enhetsvektoren til opp-pl-cat-aksen (se . Fig. 1). Disse øyelokkene er på linje med høyrehendte økser, har en enkelt lengde og er or-to-go-nal-ny - i par - men per-pen-di-ku-lyar-ny. Slike århundrer kalles ko-or-di-nat-ny-mi århundre-til-ra-mi eller ba-zi-som.

Ris. 1. Dele øyelokkene i tre co-or-di-nat øyelokk

Ta en memevektor, plasser den i na-cha-lo co-or-di-nat, og del denne vektoren inn i tre ikke-plane - liggende - chim i forskjellige plan - århundre-til-rammer. For å gjøre dette, la oss senke projeksjonen av punktet M på Oxy-planet, og finne koordineringen av vektorene, og. La oss spise:. Vi ser på hvert av disse århundrene separat. Vektoren ligger på Ox-aksen, som betyr, i henhold til egenskapen til å multiplisere vektoren med et tall, kan den representeres som et eller annet tall x kone-til-ko-eller-di-nat-ny vektor-tor. , og lengden på øyelokket er nøyaktig x ganger større enn lengden . Vi gjør det samme med øyelokkene og, og vi deler øyelokkene i tre co-or-di-nat øyelokk -to-ram:

Koeffisientene til denne fordelingen av x, y og z er etterspurt ko-or-di-na-ta-mi århundre-ra i verdensrommet.

Vi ser på de opprinnelige prinsippene, som poserer-in-la-yut i henhold til co-eller-di-on-der i de gitte århundrene, for å finne co-or-di-na-du er deres summer og forskjeller, samt co-or-di-na-you pro-iz-ve-de-niya av det gitte århundret for et gitt tall.

1) Tillegg:

2) You-chi-ta-nie:

3) Multiplisere med et tall: ,

Vektor, na-cha-lo ko-ro-go faller sammen med na-cha-lom ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya radius-århundre-rom.(Fig. 2). Vektor - ra-di-us-vektor, der x, y og z er koeffisientene for fordelingen av denne vektoren i henhold til co-eller -di-nat-nym århundre-til-ram , , . I dette tilfellet er x den første co-op av punkt A på Ox-aksen, y er co-eller til punkt B på Oy-aksen, z er co-op -di-na-ta punkt C på Oz-aksen . Det er tydelig fra tegningen at ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra på en gang -on-that-mi peker M.

Ta punkt A(x1;y1;z1) og punkt B(x2;y2;z2) (se fig. 3). Vi ser for oss en vektor som en forskjell mellom en århundre-grøft og, i sin natur, en århundre-grøft. Dessuten, og - ra-di-us-vek-ry, og deres co-or-di-na-you samarbeider med co-or-di-na-ta-mi con- tsov i disse århundrene. Da kan vi presentere co-or-di-na-you århundre som forskjellen mellom co-or-di-nat århundrene og : . På denne måten, ko-eller-di-na-du århundre-til-ra kan vi utvikle gjennom ko-or-di-na-du slutten og na-cha-la århundre-til-ra .

La oss se på eksempler som illustrerer egenskapene til århundrer og deres uttrykk gjennom co-or-di-na-you. Ta et århundre meme, , . Vi blir spurt om et århundre. I dette tilfellet betyr å finne dette å finne et co-eller-di-on-you århundre, som helt bestemmer det. Å sette det på samme sted i stedet for hundre århundrer med medansvar for deres med-eller-di-na-du. La oss spise:

Nå multipliserer vi tallet 3 med hver co-eller-di-on-that i parentes, og gjør det samme med 2:

Vi har fått summen av tre århundrer, vi lagrer dem i henhold til egenskapen studert ovenfor:

Svare:

Eksempel nr. 2.

Gitt: Trekantet pi-ra-mi-da AOBC (se fig. 4). Flyene AOB, AOC og OCB er i par, men per-pen-di-ku-lyar-ny. OA=3, OB=7, OC=4; M - ser.AC; N - ser.OC; P - grå C.B.

Finn: ,,,,,,,.

Løsning: La oss introdusere et rektangulært system av koordinat Oxyz med utgangspunkt i punkt O. Ved betingelse kjenner vi punktene A, B og C på aksene og de se-re-di-ny kantene til pi- ra-mi-dy - M, P og N. I følge figuren går vi til co-or -di-na-you vert-shin pi-ra-mi-dy: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).

Når du introduserer et koordinatsystem på et plan eller i tredimensjonalt rom, en unik mulighet til å beskrive geometriske former og deres egenskaper ved å bruke likninger og ulikheter. Dette har et annet navn - algebrametoder.

Denne artikkelen vil hjelpe deg å forstå definisjonen av et rektangulært kartesisk koordinatsystem og bestemmelsen av koordinatene til punktene. Et mer tydelig og detaljert bilde er tilgjengelig i grafiske illustrasjoner.

For å introdusere et koordinatsystem på et plan, må du tegne to vinkelrette linjer på planet. Velge positiv retning, indikert med en pil. Må velges skala. La oss kalle skjæringspunktet mellom linjene bokstaven O. Hun blir vurdert utgangspunkt. Dette kalles rektangulært koordinatsystem på et fly.

Linjer med origo O som har retning og skala kalles koordinatlinje eller koordinataksen.

Det rektangulære koordinatsystemet er betegnet O x y. Koordinataksene kalles O x og O y, kalt henholdsvis abscisse akse Og ordinatakse.

Bilde av et rektangulært koordinatsystem på et plan.

Abscissen og ordinataksene har samme enhet for endring og skala, som vises som et primtall ved opprinnelsen til koordinataksene. Standardretningen til O x er fra venstre til høyre, og O y er fra bunn til topp. Noen ganger brukes en alternativ rotasjon i ønsket vinkel.

Det rektangulære koordinatsystemet ble kalt kartesisk til ære for oppdageren Rene Descartes. Du kan ofte finne navnet som et rektangulært kartesisk koordinatsystem.

Tredimensjonalt euklidisk rom har et lignende system, bare det består ikke av to, men av tre Ox, Oy, Oz-økser. Dette er tre innbyrdes vinkelrette linjer, der O z kalles applikatoraksen

I henhold til retningen til koordinataksene er de delt inn i høyre og venstre rektangulære koordinatsystemer tredimensjonalt rom.

Koordinataksene skjærer hverandre i et punkt O, kalt origo. Hver akse har en positiv retning, som er indikert med piler på aksene. Hvis, når O x roteres mot klokken med 90°, er dens positive retning den samme som positiv O y, så gjelder dette den positive retningen til O z. Et slikt system vurderes høyre. Med andre ord, hvis du sammenligner retningen til X med tommel hender, så er indeksen ansvarlig for Y, og midten for Z.

Det venstre koordinatsystemet er dannet på lignende måte. Det er umulig å kombinere begge systemene, siden de tilsvarende aksene ikke vil sammenfalle.

Til å begynne med, la oss plotte punktet M på O x-koordinataksen. Ethvert reelt tall x M er lik det eneste punktet M som ligger på en gitt linje. Hvis et punkt er plassert på koordinatlinjen i en avstand på 2 fra origo i positiv retning, er det lik 2, hvis - 3, er den tilsvarende avstanden 3. Null er opprinnelsen til koordinatlinjene.

Med andre ord, hvert punkt M som ligger på O x er lik det reelle tallet x M . Dette reelle tallet er null hvis punktet M ligger ved origo, det vil si i skjæringspunktet mellom O x og O y. Lengdetallet til et segment er alltid positivt hvis punktet fjernes i positiv retning og omvendt.

Det tilgjengelige nummeret x M kalles koordinere punkt M på en gitt koordinatlinje.

La oss ta punktet som en projeksjon av punktet M x på O x, og som en projeksjon av punktet M y på O y. Dette betyr at vi gjennom punktet M kan tegne rette linjer vinkelrett på O x- og O y-aksene, hvor vi får de tilsvarende skjæringspunktene M x og M y.

Da har punktet M x på O x-aksen det tilsvarende tallet x M, og M y på O y - y M. På koordinatakser det ser slik ut:

Hvert punkt M på gitt fly i en rektangulær Kartesisk system koordinater har ett tilsvarende tallpar (x M, y M), kalt dens koordinater. Abscissa M– dette er x M, ordinere M– dette er y M .

Det motsatte er også sant: hvert ordnet par (x M, y M) har et tilsvarende punkt definert i planet.

Bestemmelse av punkt M i tredimensjonalt rom. La det være M x, M y, M z, som er projeksjoner av punktet M på de tilsvarende aksene O x, O y, O z. Da vil verdiene til disse punktene på O x, O y, O z-aksene anta verdiene x M, y M, z M. La oss skildre dette på koordinatlinjer.

For å oppnå projeksjonene av punkt M, er det nødvendig å legge til vinkelrette rette linjer O x, O y, O z, fortsett og avbilde dem i form av plan som går gjennom M. Dermed vil flyene skjære hverandre ved M x , M y , M z

Hvert punkt i tredimensjonalt rom har sine egne data (x M, y M, z M), som kalles koordinater til punktet M, x M, y M, z M - dette er tall som kalles abscisse, ordinat Og søknad gitt punkt M. For denne proposisjonen er det motsatte utsagnet også sant: hver ordnet trippel reelle tall(x M, y M, z M) i et gitt rektangulært koordinatsystem har ett tilsvarende punkt M av tredimensjonalt rom.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Koordinatmetoden er selvfølgelig veldig bra, men i reelle C2-oppgaver er det ingen koordinater eller vektorer. Derfor må de introduseres. Ja, ja, ta det slik og skriv det inn: angi origo, enhetssegmentet og retningen til x-, y- og z-aksene.

Den mest bemerkelsesverdige egenskapen til denne metoden er at det ikke spiller noen rolle hvor nøyaktig koordinatsystemet legges inn. Hvis alle beregninger er riktige, vil svaret være riktig.

Kubekoordinater

Hvis problem C2 inneholder en kube, anser deg selv som heldig. Dette er det enkleste polyederet, det er alt dihedrale vinkler som er lik 90°.

Koordinatsystemet er også veldig enkelt å legge inn:

Opprinnelsen til koordinatene er ved punkt A;
Oftest er kanten på kuben ikke angitt, så vi tar det som et enhetssegment;
X-aksen er rettet langs kanten AB, y - langs kanten AD, og z-aksen - langs kanten AA 1.

Merk: z-aksen peker oppover! Etter et todimensjonalt koordinatsystem er dette noe uvanlig, men faktisk veldig logisk.

Så nå har hvert toppunkt i kuben koordinater. La oss samle dem i en tabell - separat for bunnplanet til kuben:

Det er lett å legge merke til at punktene til det øvre planet skiller seg fra de tilsvarende punktene i det nedre planet bare i z-koordinaten. For eksempel, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). Det viktigste er ikke å bli forvirret!

Prisme er allerede mye morsommere. Med riktig tilnærming er det nok å kjenne koordinatene til bare den nedre basen - den øvre vil bli beregnet automatisk.

I oppgave C2 er det bare vanlige trihedriske prismer (rette prismer basert på vanlig trekant). For dem er koordinatsystemet introdusert på nesten samme måte som for en kube. Forresten, hvis noen ikke vet, er en kube også et prisme, bare tetraeder.

Så la oss gå! Vi introduserer koordinatsystemet:

Opprinnelsen til koordinatene er ved punkt A;
Vi tar siden av prismet som et enkelt segment, med mindre annet er angitt i problemformuleringen;
X-aksen er rettet langs kanten AB, z - langs kanten AA 1, og y-aksen er plassert slik at OXY-planet faller sammen med basisplanet ABC.

Her kreves det noen avklaringer. Faktum er at y-aksen IKKE sammenfaller med kant AC, slik mange tror. Hvorfor stemmer det ikke? Tenk selv: trekant ABC er likesidet, alle vinkler i den er 60°. Og vinklene mellom koordinataksene skal være 90°, så bildet ovenfor vil se slik ut:

Jeg håper det nå er klart hvorfor y-aksen ikke vil gå langs AC. La oss tegne høyden CH i denne trekanten. Trekant ACH er en rettvinklet trekant, og AC = 1, så AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 sin A = sin 60°. Disse faktaene er nødvendige for å beregne koordinatene til punkt C.

La oss nå ta en titt på hele prismet sammen med det konstruerte koordinatsystemet:

Vi får følgende koordinater til punktene:

Som vi kan se, skiller punktene til den øvre bunnen av prismet seg igjen fra de tilsvarende punktene til den nedre bare ved z-koordinaten. Hovedproblemet er punktene C og C 1. De har irrasjonelle koordinater som du bare trenger å huske. Vel, eller forstå hvor de kommer fra.

Sekskantede prismekoordinater

Et sekskantet prisme er et "klonet" trekantet prisme. Du kan forstå hvordan dette skjer hvis du ser på den nedre basen - la oss kalle det ABCDEF. La oss utføre ytterligere konstruksjoner: segmentene AD, BE og CF. Resultatet er seks trekanter, som hver (for eksempel trekant ABO) er grunnlaget for et trihedrisk prisme.

La oss nå introdusere selve koordinatsystemet. Opprinnelsen til koordinatene - punkt O - vil bli plassert i sentrum av symmetrien til sekskanten ABCDEF. X-aksen vil gå langs FC, og y-aksen vil gå gjennom midtpunktene til segmentene AB og DE. Vi får dette bildet:

Vennligst merk: opprinnelsen faller IKKE sammen med toppunktet til polyederet! Faktisk, når du løser reelle problemer, vil du finne at dette er veldig praktisk fordi det kan redusere mengden beregninger betydelig.

Alt som gjenstår er å legge til z-aksen. I følge tradisjonen tegner vi den vinkelrett på OXY-planet og retter den vertikalt oppover. Vi får det endelige bildet:

La oss nå skrive ned koordinatene til punktene. La oss anta at alle kantene på vårt vanlige sekskantede prisme er lik 1. Så koordinatene til den nedre basen er:

Koordinatene til den øvre basen er forskjøvet med én langs z-aksen:

Pyramiden er generelt veldig hard. Vi vil analysere bare det enkleste tilfellet - en vanlig firkantet pyramide, hvor alle kanter er lik en. Men i ekte C2-problemer kan kantlengdene variere, så nedenfor er generell ordning koordinere beregninger.

Så, riktig firkantet pyramide. Dette er det samme som Cheops, bare litt mindre. La oss betegne det SABCD, der S er et toppunkt. La oss introdusere et koordinatsystem: origo er i punkt A, enhetssegmentet AB = 1, x-aksen er rettet langs AB, y-aksen er rettet langs AD, og z-aksen er rettet oppover, vinkelrett på OXY-planet . For ytterligere beregninger trenger vi høyden SH - så vi bygger den. Vi får følgende bilde:

La oss nå finne koordinatene til punktene. La oss først se på OXY-flyet. Alt er enkelt her: basen er en firkant, dens koordinater er kjent. Problemer oppstår med punkt S. Siden SH er høyden til OXY-planet, skiller punktene S og H seg bare i z-koordinaten. Egentlig er lengden på segmentet SH z-koordinaten for punktet S, siden H = (0,5; 0,5; 0).

Merk at trekanter ABC og ASC er like på tre sider (AS = CS = AB = CB = 1, og siden AC er felles). Derfor SH = BH. Men BH er halve diagonalen til kvadratet ABCD, dvs. BH = AB sin 45°. Vi får koordinatene til alle punktene:

Det er alt med koordinatene til pyramiden. Men ikke med koordinater i det hele tatt. Vi så bare på de vanligste polyedrene, men disse eksemplene er nok til uavhengig å beregne koordinatene til andre figurer. Derfor kan vi faktisk gå videre til metoder for å løse spesifikke problemer C2.