Like grader. Gradmål av en sirkelbue

En vinkel er en figur som består av et punkt - vinkelens toppunkt og to forskjellige halvlinjer som utgår fra dette punktet - sidene av vinkelen (fig. 14). Hvis sidene av en vinkel er komplementære halvlinjer, kalles vinkelen en utviklet vinkel.

En vinkel er utpekt enten ved å angi dens toppunkt, eller ved å indikere dens sider, eller ved å angi tre punkter: toppunktet og to punkter på sidene av vinkelen. Ordet "vinkel" blir noen ganger erstattet

Vinkelsymbolet i figur 14 kan angis på tre måter:

En stråle c sies å passere mellom sidene av en vinkel hvis den kommer fra toppunktet og skjærer et segment med endepunkter på sidene av vinkelen.

I figur 15 passerer stråle c mellom sidene av vinkelen når den skjærer segmentet

Når det gjelder en rett vinkel, passerer enhver stråle som kommer fra toppunktet og forskjellig fra sidene mellom sidene av vinkelen.

Vinkler måles i grader. Hvis du tar en rett vinkel og deler den med 180 like vinkler At gradsmål Hver av disse vinklene kalles en grad.

De grunnleggende egenskapene til vinkelmåling er uttrykt i følgende aksiom:

Hver vinkel har en viss grad, større enn null. Den roterte vinkelen er 180°. Gradmålet til en vinkel er lik summen av gradmålene til vinklene den er delt inn i av en hvilken som helst stråle som passerer mellom sidene.

Dette betyr at hvis en stråle c passerer mellom sidene av en vinkel, så er vinkelen lik summen av vinklene

Gradmålet for en vinkel finnes ved hjelp av en gradskive.

En vinkel lik 90° kalles en rett vinkel. En vinkel mindre enn 90° kalles en spiss vinkel. En vinkel større enn 90° og mindre enn 180° kalles stump.

La oss formulere hovedegenskapen ved å sette til side hjørner.

Fra en hvilken som helst halvlinje, inn i et gitt halvplan, kan du sette en vinkel med et gitt gradmål mindre enn 180°, og bare én.

Tenk på halvlinjen a. La oss strekke den utover startpunktet A. Den resulterende rette linjen deler planet i to halvplan. Figur 16 viser hvordan man ved hjelp av en gradskive plotter en vinkel med et gitt gradmål på 60° fra en halvlinje til det øvre halvplanet.

T. 1. 2. Hvis to vinkler fra en gitt halvlinje settes inn i ett halvplan, så passerer siden av den mindre vinkelen, forskjellig fra den gitte halvlinjen, mellom sidene av den større vinkelen.

La være vinklene lagt av fra en gitt halvlinje a inn i ett halvplan, og la vinkelen være mindre enn vinkelen . Teorem 1. 2 sier at strålen passerer mellom sidene av vinkelen (fig. 17).

Halveringslinjen til en vinkel er strålen som kommer fra toppunktet, passerer mellom sidene og deler vinkelen i to. I figur 18 er strålen halveringslinjen til vinkelen

I geometri er det konseptet med en plan vinkel. En planvinkel er en del av et plan avgrenset av to forskjellige stråler som kommer fra ett punkt. Disse strålene kalles sider av vinkelen. Det er to planvinkler med gitte sider. De kalles tillegg. På figur 19 er en av planvinklene med sidene a og skyggelagt.

Viktige notater!
1. Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. Hvordan du gjør dette i nettleseren din er skrevet her:
2. Før du begynner å lese artikkelen, vær mest oppmerksom på navigatoren vår nyttig ressurs Til

Grunnleggende vilkår.

Hvor godt husker du alle navnene knyttet til sirkelen? Bare i tilfelle, la oss minne deg om - se på bildene - oppdater kunnskapen din.

For det første - Sentrum av en sirkel er et punkt der avstandene fra alle punktene på sirkelen er like.

For det andre - radius - et linjestykke som forbinder sentrum og et punkt på sirkelen.

Det er mange radier (så mange som det er punkter på sirkelen), men Alle radier har samme lengde.

Noen ganger for korte radius de kaller det akkurat lengden på segmentet"senteret er et punkt på sirkelen," og ikke selve segmentet.

Og her er hva som skjer hvis du kobler to punkter på en sirkel? Også et segment?

Så dette segmentet kalles "akkord".

Akkurat som i tilfellet med radius, er diameter ofte lengden av et segment som forbinder to punkter på en sirkel og går gjennom sentrum. Forresten, hvordan henger diameter og radius sammen? Se nøye. Selvfølgelig, radiusen er lik halve diameteren.

I tillegg til akkorder er det også sekanter.

Husker du det enkleste?

Sentralvinkel er vinkelen mellom to radier.

Og nå - den innskrevne vinkelen

Innskrevet vinkel - vinkelen mellom to akkorder som skjærer hverandre i et punkt på en sirkel.

I dette tilfellet sier de at den innskrevne vinkelen hviler på en bue (eller på en akkord).

Se på bildet:

Målinger av buer og vinkler.

Omkrets. Buer og vinkler måles i grader og radianer. Først om grader. Det er ingen problemer med vinkler - du må lære å måle buen i grader.

Gradmålet (buestørrelsen) er verdien (i grader) til den tilsvarende midtvinkelen

Hva betyr ordet "passende" her? La oss se nøye:

Ser du to buer og to midtvinkler? Vel, en større bue tilsvarer en større vinkel (og det er greit at den er større), og en mindre bue tilsvarer en mindre vinkel.

Så vi ble enige: buen inneholder samme antall grader som den tilsvarende midtvinkelen.

Og nå om det skumle - om radianer!

Hva slags beist er denne "radianen"?

Tenk deg dette: Radianer er en måte å måle vinkler på... i radier!

En vinkel som måler radianer er slik sentral vinkel, hvis buelengde er lik radiusen til sirkelen.

Da oppstår spørsmålet - hvor mange radianer er det i en rett vinkel?

Med andre ord: hvor mange radier "passer" i en halv sirkel? Eller på en annen måte: hvor mange ganger er lengden på en halv sirkel større enn radiusen?

Forskere stilte dette spørsmålet tilbake i antikkens Hellas.

Og så, etter et langt søk, oppdaget de at forholdet mellom omkretsen og radiusen ikke ønsker å bli uttrykt i "menneskelige" tall som osv.

Og det er ikke engang mulig å uttrykke denne holdningen gjennom røtter. Det vil si at det viser seg at det er umulig å si at en halv sirkel er ganger eller ganger større enn radiusen! Kan du forestille deg hvor fantastisk det var for folk å oppdage dette for første gang?! For forholdet mellom lengden på en halv sirkel og radius var ikke "normale" tall nok. Jeg måtte skrive inn et brev.

Så, - dette er et tall som uttrykker forholdet mellom lengden på halvsirkelen og radien.

Nå kan vi svare på spørsmålet: hvor mange radianer er det i en rett vinkel? Den inneholder radianer. Nettopp fordi halve sirkelen er ganger større enn radiusen.

Gamle (og ikke så eldgamle) mennesker gjennom århundrene (!) prøvde å mer nøyaktig beregne dette mystiske tallet, for bedre å uttrykke det (i det minste omtrentlig) gjennom "vanlige" tall. Og nå er vi utrolig late - to tegn etter en travel dag er nok for oss, vi er vant til

Tenk på det, dette betyr for eksempel at lengden på en sirkel med en radius på en er omtrent lik, men denne nøyaktige lengden er rett og slett umulig å skrive ned med et "menneskelig" tall - du trenger en bokstav. Og da vil denne omkretsen være lik. Og selvfølgelig er omkretsen av radius lik.

La oss gå tilbake til radianer.

Vi har allerede funnet ut at en rett vinkel inneholder radianer.

Hva vi har:

Så glad, altså glad. På samme måte oppnås en plate med de mest populære vinklene.

Forholdet mellom verdiene til de innskrevne og sentrale vinklene.

Det er et utrolig faktum:

Den innskrevne vinkelen er halvparten av størrelsen av den tilsvarende midtvinkelen.

Se hvordan denne uttalelsen ser ut på bildet. En "tilsvarende" sentralvinkel er en hvis ender faller sammen med endene av den innskrevne vinkelen og hvis toppunkt er i sentrum. Og samtidig må den "tilsvarende" sentralvinkelen "se" på samme akkord () som den innskrevne vinkelen.

Hvorfor er det slik? La oss finne ut av det først enkel sak. La en av akkordene passere gjennom midten. Det skjer sånn noen ganger, ikke sant?

hva skjer her? La oss vurdere. Det er likebenet - tross alt, og - radier. Så, (merket dem).

La oss nå se på. Dette er det ytre hjørnet for! Vi husker at en ytre vinkel er lik summen av to indre vinkler som ikke er ved siden av den, og skriver:

Det er! Uventet effekt. Men det er også en sentral vinkling for det innskrevne.

Dette betyr at for dette tilfellet beviste de at midtvinkelen er to ganger den innskrevne vinkelen. Men det gjør for vondt spesielt tilfelle: Er det ikke sant at akkorden ikke alltid går rett gjennom midten? Men det er greit, nå vil denne spesielle saken hjelpe oss mye. Se: andre tilfelle: la midten ligge inne.

La oss gjøre dette: tegne diameteren. Og så... ser vi to bilder som allerede ble analysert i det første tilfellet. Derfor har vi det allerede

Dette betyr (på tegningen, a)

Vel, jeg ble siste tilfelle: senter utenfor hjørnet.

Vi gjør det samme: tegn diameteren gjennom punktet. Alt er likt, men i stedet for en sum er det en forskjell.

Det er alt!

La oss nå danne to hoved- og svært viktige konsekvenser av påstanden om at den innskrevne vinkelen er halve sentralvinkelen.

Konsekvens 1

Alle innskrevne vinkler basert på en bue er like med hverandre.

Vi illustrerer:

Innskrevne vinkler basert på samme bue (vi har denne buen) - utallige, de kan se helt forskjellige ut, men de har alle samme sentrale vinkel (), noe som betyr at alle disse innskrevne vinklene er like med hverandre.

Konsekvens 2

Vinkelen dekket av diameteren er en rett vinkel.

Se: hvilken vinkel er sentral for?

Gjerne,. Men han er lik! Vel, derfor (samt mange flere innskrevne vinkler hviler på) og er lik.

Vinkel mellom to akkorder og sekanter

Men hva om vinkelen vi er interessert i IKKE er innskrevet og IKKE sentral, men for eksempel slik:

eller sånn?

Er det mulig å uttrykke det gjennom noen sentrale vinkler? Det viser seg at det er mulig. Se: vi er interessert.

a) (som et utvendig hjørne for). Men - innskrevet, hviler på buen -. - innskrevet, hviler på buen - .

For skjønnhet sier de:

Vinkelen mellom akkordene er lik halvparten av summen av vinkelverdiene til buene som er innelukket i denne vinkelen.

De skriver dette for korthet, men selvfølgelig, når du bruker denne formelen, må du huske på de sentrale vinklene

b) Og nå - "utenfor"! Hvordan være? Ja, nesten det samme! Først nå (igjen bruker vi egenskapen til den ytre vinkelen for). Det er nå.

Og det betyr... La oss bringe skjønnhet og korthet til notatene og ordlyden:

Vinkelen mellom sekantene er lik halvparten av forskjellen i vinkelverdiene til buene som er innelukket i denne vinkelen.

Vel, nå er du bevæpnet med all grunnleggende kunnskap om vinkler relatert til en sirkel. Gå videre, ta utfordringene!

SIRKEL OG INSINALERT VINKEL. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Selv et fem år gammelt barn vet hva en sirkel er, ikke sant? Matematikere har som alltid en abstru definisjon på dette emnet, men vi vil ikke gi den (se), men la oss heller huske hva punktene, linjene og vinklene knyttet til en sirkel kalles.

Viktige vilkår

For det første:

sentrum av sirkelen- et punkt der alle punktene på sirkelen er like langt.

For det andre:

Det er et annet akseptert uttrykk: "akkorden trekker sammen buen." Her i figuren, for eksempel, underspenner akkorden buen. Og hvis en akkord plutselig passerer gjennom midten, har den et spesielt navn: "diameter".

Forresten, hvordan henger diameter og radius sammen? Se nøye. Selvfølgelig,

Og nå - navnene på hjørnene.

Naturlig, ikke sant? Sidene av vinkelen strekker seg fra midten - som betyr at vinkelen er sentral.

Det er her det noen ganger oppstår vanskeligheter. Følg med - IKKE NOEN vinkel inne i en sirkel er innskrevet, men bare en hvis toppunkt "sitter" på selve sirkelen.

La oss se forskjellen på bildene:

En annen måte de sier:

Det er ett vanskelig poeng her. Hva er den "tilsvarende" eller "egen" sentralvinkelen? Bare en vinkel med toppunktet i sentrum av sirkelen og endene i enden av buen? Ikke sikkert på den måten. Se på tegningen.

En av dem ser imidlertid ikke engang ut som et hjørne - den er større. Men i en trekant kan det ikke være flere vinkler, men i en sirkel kan det godt! Altså: den mindre buen AB tilsvarer en mindre vinkel (oransje), og den større buen tilsvarer en større. Bare sånn, ikke sant?

Forholdet mellom størrelsen på de innskrevne og sentrale vinklene

Husk denne svært viktige uttalelsen:

I lærebøker liker de å skrive dette samme faktum slik:

Er det ikke sant at formuleringen er enklere med en sentral vinkel?

Men la oss likevel finne en samsvar mellom de to formuleringene, og samtidig lære å finne i tegningene den "tilsvarende" sentralvinkelen og buen som den innskrevne vinkelen "hviler" på.

Se: her er en sirkel og en innskrevet vinkel:

Hvor er dens "tilsvarende" sentralvinkel?

La oss se igjen:

Hva er regelen?

Men! I dette tilfellet er det viktig at de påskrevne og sentrale vinklene "ser" på samme side ved buen. For eksempel:

Merkelig nok, blå! Fordi buen er lang, lengre enn halve sirkelen! Så ikke bli forvirret!

Hvilken konsekvens kan utledes av "halvdelen" av den innskrevne vinkelen?

Men for eksempel:

Vinkel dekket av diameter

Du har allerede lagt merke til at matematikere elsker å snakke om de samme tingene. med forskjellige ord? Hvorfor trenger de dette? Du skjønner, matematikkens språk, selv om det er formelt, er levende, og derfor, som i vanlig språk, hver gang jeg vil si det på en måte som er mer praktisk. Vel, vi har allerede sett hva "en vinkel hviler på en bue" betyr. Og forestill deg, det samme bildet kalles "en vinkel hviler på en akkord." På hva? Ja, selvfølgelig, til den som strammer denne buen!

Når er det mer praktisk å stole på en akkord enn på en bue?

Vel, spesielt når denne akkorden er en diameter.

Det er et overraskende enkelt, vakkert og nyttig utsagn for en slik situasjon!

Se: her er sirkelen, diameteren og vinkelen som hviler på den.

SIRKEL OG INSINALERT VINKEL. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

1. Grunnleggende begreper.

3. Målinger av buer og vinkler.

En vinkel med radianer er en sentral vinkel hvis buelengde er lik radiusen til sirkelen.

Dette er et tall som uttrykker forholdet mellom lengden av en halvsirkel og dens radius.

Omkretsen av radius er lik.

4. Forholdet mellom verdiene til de innskrevne og sentrale vinklene.

Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, betyr det at du er veldig kul.

Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du leser til slutten, så er du på disse 5%!

Nå er det viktigste.

Du har forstått teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, dette... dette er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok...

For hva?

Til vellykket gjennomføring Unified State Exam, for opptak til college på et budsjett og, VIKTIGST, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting...

Folk som mottok en god utdannelse, tjener mye mer enn de som ikke fikk det. Dette er statistikk.

Men dette er ikke hovedsaken.

Hovedsaken er at de er MER LYKKELIG (det finnes slike studier). Kanskje fordi det er mye mer åpent foran dem flere muligheter og livet blir lysere? Vet ikke...

Men tenk selv...

Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på Unified State-eksamenen og til slutt bli... lykkeligere?

FÅ HÅNDEN DIN VED Å LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNET.

Du vil ikke bli spurt om teori under eksamen.

Du vil trenge løse problemer mot tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MYE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke ha tid.

Det er som i sport - du må gjenta det mange ganger for å vinne sikkert.

Finn samlingen hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!

Du kan bruke oppgavene våre (valgfritt) og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For å bli bedre til å bruke oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

1. Lås opp alle skjulte oppgaver i denne artikkelen -
2. Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i læreboken - Kjøp en lærebok - 499 RUR

Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken vår og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.

Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for HELE nettstedets levetid.

For å konkludere...

Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke stopp ved teorien.

«Forstått» og «Jeg kan løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn problemer og løs dem!

Bruksanvisning

En bue er en del av en sirkel innelukket mellom to punkter som ligger på denne sirkelen. Enhver bue kan uttrykkes gjennom numeriske verdier. Henne hovedkjennetegn Sammen med lengden er verdien av gradmålet.

Men når en bue er isolert på en sirkel, dannes en annen. Derfor, for entydig å forstå hvilken bue vi snakker om, marker et annet punkt på den valgte buen, for eksempel C. Da vil den ha formen ABC.

Segmentet som er dannet av to punkter som begrenser buen er en akkord.

Gradmålet til en bue kan finnes gjennom verdien av den innskrevne vinkelen, som, med et toppunkt på selve sirkelen, hviler på denne buen. En slik vinkel kalles en innskrevet vinkel, og gradmålet er lik halve buen den hviler på.

Det er også en sentral vinkel i en sirkel. Den hviler også på ønsket bue, og toppen er ikke lenger på sirkelen, men i midten. Og ham numerisk verdi er ikke lenger lik halve gradmålet til buen, men hele verdien.

Etter å ha forstått hvordan en bue beregnes gjennom vinkelen som hviler på den, kan du bruke denne loven i motsatt retning og utlede regelen om at en innskrevet vinkel som er dekket av en diameter er en rett vinkel. Siden diameteren deler sirkelen i to like deler, betyr dette at hvilken som helst av buene har en verdi på 180 grader. Derfor er den innskrevne vinkelen 90 grader.

Basert på metoden for å søke etter gradverdien til en bue, er regelen sann at vinkler basert på en bue har lik verdi.

Gradmålet til en bue brukes ofte til å beregne lengden på en sirkel eller selve buen. For å gjøre dette, bruk formelen L= π*R*α/180.

Ordet "" har forskjellige tolkninger. I geometri er en vinkel en del av et plan avgrenset av to stråler som kommer fra ett punkt - toppunktet. Når vi snakker om om rette, spisse, utfoldede vinkler, da betyr det presist geometriske vinkler.

Som alle figurer i geometri, kan vinkler sammenlignes. Likhet av vinkler bestemmes ved hjelp av bevegelse. Det er enkelt å dele vinkelen i to like deler. Å dele inn i tre deler er litt vanskeligere, men det kan likevel gjøres ved hjelp av linjal og kompass. Denne oppgaven virket forresten ganske vanskelig. Å beskrive at en vinkel er større eller mindre enn en annen er geometrisk enkelt.

Måleenheten for vinkler er 1/180 av en utviklet vinkel. Størrelsen på vinkelen er et tall som indikerer hvor mye vinkelen som er valgt som måleenhet passer inn i den aktuelle figuren.

Hver vinkel har et gradmål større enn null. En rett vinkel er 180 grader. Gradmålet for en vinkel vurderes lik beløpet gradmål av vinklene den er delt inn i av en hvilken som helst stråle på et plan avgrenset av sidene.

Fra hvilken som helst stråle inn gitt fly Du kan plotte en vinkel med en viss grad som ikke overstiger 180. Dessuten vil det bare være én slik vinkel. Målet på en plan vinkel, som er en del av et halvplan, er gradmålet for en vinkel med lignende sider. Målet på planet til en vinkel som inneholder et halvplan er verdien 360– α, der α er gradmålet for den komplementære planvinkelen.

Gradmålet til en vinkel gjør det mulig å gå fra en geometrisk beskrivelse til en numerisk. Så, en rett vinkel er en vinkel lik 90 grader, en stump vinkel er en vinkel mindre enn 180 grader, men mer enn 90, skarpt hjørne ikke overstiger 90 grader.

I tillegg til grader er det et radianmål for vinkel. I planimetri er lengden L, radien er r, og den tilsvarende midtvinkelen er α. Dessuten er disse parameterne relatert av forholdet α = L/r. Dette er grunnlaget for radianmålet for vinkler. Hvis L=r, vil vinkelen α være lik en radian. Så radianmålet for en vinkel er forholdet mellom lengden på en bue tegnet med en vilkårlig radius og innelukket mellom sidene av denne vinkelen og buens radius. Full sving V gradsmåling(360 grader) tilsvarer 2π i radianer. Den ene er 57,2958 grader.

Video om emnet

Kilder:

• formel for gradsmål for vinkler

Målingen av flate mengder i grader ble oppfunnet i det gamle Babylon lenge før begynnelsen av vår tidsregning. Innbyggere i denne staten foretrakk det sexagesimale notasjonssystemet, så å dele inn vinkler i 180 eller 360 enheter ser litt rart ut i dag. Imidlertid er de som er foreslått i moderne system SI-måleenheter som er multipler av Pi er like merkelige. Disse to alternativene er ikke begrenset til betegnelsene på vinkler som brukes i dag, så oppgaven med å konvertere verdiene deres til gradmål oppstår ganske ofte.

Bruksanvisning

Hvis du trenger å konvertere størrelsen på en vinkel i radianer til et gradmål, gå ut fra det faktum at én grad tilsvarer et antall radianer lik 1/180 av tallet Pi. Denne matematiske konstanten har et uendelig antall desimaler, så konverteringsfaktoren er også en uendelig desimalbrøk. Dette er den absolutt eksakte verdien i formatet desimal du vil ikke kunne få det, så konverteringsfaktoren må avrundes. For eksempel, med en nøyaktighet på en milliarddel av en enhet, vil den beregnede koeffisienten være lik 0,017453293. Etter avrunding til nødvendig antall desimaler, del det opprinnelige antallet radianer med denne faktoren, og du vil få gradmålet på vinkelen.

Gradmål for vinkel. Radianmål for vinkel. Konvertering av grader til radianer og omvendt.

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

I forrige leksjon lærte vi hvordan vi måler vinkler på en trigonometrisk sirkel. Lærte å telle positivt og negative vinkler. Vi lærte å tegne en vinkel større enn 360 grader. Det er på tide å finne ut hvordan du måler vinkler. Spesielt med tallet "Pi", som prøver å forvirre oss i vanskelige oppgaver, ja...

Standardoppgaver i trigonometri med tallet "Pi" løses godt. Visuelt minne hjelper. Men ethvert avvik fra malen er en katastrofe! For å unngå å falle - forstå nødvendig. Det er det vi skal gjøre nå med suksess. Jeg mener, vi forstår alt!

Så, hva teller vinkler? I skolekurs trigonometri bruker to mål: gradsmål for vinkel Og mål for radianvinkel. La oss se på disse tiltakene. Uten dette er det ingen steder i trigonometri.

Gradmål for vinkel.

Vi ble på en måte vant til grader. Vi bestod i det minste geometri... Og i livet kommer vi ofte over uttrykket "snudd 180 grader", for eksempel. En grad, kort sagt, er en enkel ting...

Ja? Svar meg da hva er en grad? Hva, det går ikke opp med en gang? Det er det...

Grader ble oppfunnet i det gamle Babylon. Det var lenge siden... 40 århundrer siden... Og de kom opp med en enkel idé. Vi tok og delte sirkelen i 360 like deler. 1 grad er 1/360 av en sirkel. Det er alt. De kunne ha delt den i 100 deler. Eller 1000. Men de delte det inn i 360. Forresten, hvorfor akkurat 360? Hvordan er 360 bedre enn 100? 100 ser ut til å være jevnere på en eller annen måte... Prøv å svare på dette spørsmålet. Eller svakt imot Det gamle Babylon?

Et sted på samme tid, i Det gamle Egypt ble plaget av et annet spørsmål. Hvor mange ganger er lengden på en sirkel større enn lengden på dens diameter? Og de målte det på denne måten, og på den måten... Alt viste seg å være litt mer enn tre. Men på en eller annen måte ble det raggete, ujevnt... Men de, egypterne, har ikke skylden. Etter dem led de i ytterligere 35 århundrer. Helt til de endelig beviste at uansett hvor fint du skjærer en sirkel i like biter, av slike biter kan du lage glatt lengden på diameteren er umulig... I prinsippet er det umulig. Vel, hvor mange ganger omkretsen er større enn diameteren ble etablert, selvfølgelig. Omtrent. 3,1415926... ganger.

Dette er tallet "Pi". Så raggete, så raggete. Etter desimaltegnet er det et uendelig antall tall uten rekkefølge... Slike tall kalles irrasjonelle. Dette betyr forresten at fra like deler av en sirkel diameteren glatt ikke brett. Aldri.

Til praktisk anvendelse Det er vanlig å huske bare to sifre etter desimaltegn. Huske:

Siden vi forstår at omkretsen er større enn diameteren med "Pi" ganger, er det fornuftig å huske formelen for omkretsen:

Hvor L- omkrets, og d- diameteren.

Nyttig i geometri.

Til allmennutdanning Jeg vil legge til at tallet «Pi» ikke bare finnes i geometri... I ulike grener av matematikken, og spesielt i sannsynlighetsteori, dukker dette tallet opp hele tiden! Av seg selv. Utover våre ønsker. Som dette.

Men la oss gå tilbake til grader. Har du funnet ut hvorfor sirkelen i det gamle Babylon ble delt inn i 360 like deler? Og ikke med 100, for eksempel? Nei? OK. Jeg skal gi deg en versjon. Du kan ikke spørre de gamle babylonerne ... For konstruksjon, eller for eksempel astronomi, er det praktisk å dele en sirkel i like deler. Finn ut hvilke tall den er delelig med helt 100, og hvilke - 360? Og i hvilken versjon av disse divisorene helt- mer? Denne inndelingen er veldig praktisk for folk. Men...

Som det viste seg mye senere enn det gamle Babylon, er det ikke alle som liker grader. Høyere matematikk liker dem ikke... Høyere matematikk- en seriøs dame, organisert etter naturlovene. Og denne damen erklærer: "I dag brøt du sirkelen i 360 deler, i morgen vil du dele den inn i 100, i overmorgen til 245... Og hva skulle jeg gjøre Nei, egentlig..." Jeg måtte lytte? Du kan ikke lure naturen...

Vi måtte innføre et vinkelmål som ikke var avhengig av menneskelige oppfinnelser. Møt - radian!

Radianmål for vinkel.

Hva er en radian? Definisjonen av en radian er fortsatt basert på en sirkel. En vinkel på 1 radian er en vinkel som skjærer en bue fra en sirkel hvis lengde er ( L) er lik lengden på radiusen ( R). La oss se på bildene.

En så liten vinkel, den er nesten ikke-eksisterende... Vi flytter markøren over bildet (eller trykker på bildet på nettbrettet) og vi ser ca. radian. L = R

Føler du forskjellen?

En radian er mye mer enn én grad. Hvor mange ganger?

La oss se på neste bilde. Som jeg tegnet en halvsirkel på. Den utfoldede vinkelen er naturligvis 180°.

Nå skal jeg kutte denne halvsirkelen i radianer! Vi holder markøren over bildet og ser at 180° passer til 3 pluss radianer.

Hvem kan gjette hva denne halen er lik!?

Ja! Denne halen er 0,1415926.... Hei, nummer "Pi", vi har ikke glemt deg ennå!

Faktisk inneholder 180° grader 3,1415926... radianer. Som du selv forstår, er det upraktisk å skrive 3.1415926 hele tiden. Derfor, i stedet for dette uendelige antallet, skriver de alltid enkelt:

Men på Internett nummeret

Det er upraktisk å skrive ... Det er derfor jeg skriver navnet hans i teksten - "Pi". Ikke bli forvirret, ok?

Nå kan vi skrive ned en omtrentlig likhet på en fullstendig meningsfull måte:

Eller eksakt likhet:

La oss finne ut hvor mange grader det er i en radian. Hvordan? Enkelt! Hvis det er 180° grader i 3,14 radianer, så er det 3,14 ganger mindre i 1 radian! Det vil si at vi deler den første likningen (formelen er også en likning!) med 3,14:

Dette forholdet er nyttig å huske. En radian er omtrent 60°. I trigonometri må man ofte anslå og vurdere situasjonen. Det er her denne kunnskapen hjelper mye.

Men hovedferdigheten til dette emnet er konvertere grader til radianer og omvendt.

Hvis vinkelen er gitt i radianer med tallet "Pi", er alt veldig enkelt. Vi vet at "Pi" radianer = 180°. Så vi erstatter radianer med "Pi" - 180°. Vi får vinkelen i grader. Vi reduserer det som reduseres, og svaret er klart. Vi må for eksempel finne ut hvor mange grader i vinkel "Pi"/2 radian? Så vi skriver:

Eller et mer eksotisk uttrykk:

Enkelt, ikke sant?

Den omvendte oversettelsen er litt mer komplisert. Men ikke mye. Hvis vinkelen er gitt i grader, må vi finne ut hva en grad er lik i radianer og gange dette tallet med antall grader. Hva er 1° lik i radianer?

Vi ser på formelen og innser at hvis 180° = "Pi" radianer, så er 1° 180 ganger mindre. Eller, med andre ord, vi deler likningen (en formel er også en likning!) med 180. Det er ikke nødvendig å representere "Pi" da 3.14 alltid er skrevet med en bokstav. Vi finner at én grad er lik:

Det er alt. Vi multipliserer antall grader med denne verdien og får vinkelen i radianer. For eksempel:

Eller på samme måte:

Som du ser, i en rolig samtale med lyriske digresjoner Det viste seg at radianer er veldig enkle. Og oversettelsen er ikke noe problem... Og «Pi» er en helt utholdelig greie... Så hvor kommer forvirringen fra!?

Jeg skal avsløre hemmeligheten. Faktum er at i trigonometriske funksjoner skrives gradersymbolet. Alltid. For eksempel sin35°. Dette er sinus 35 grader . Og radianikonet ( glad) - ikke skrevet! Det er underforstått. Enten ble matematikere overveldet av latskap, eller noe annet... Men de bestemte seg for å ikke skrive. Hvis det ikke er noen symboler inne i sinus-cotangensen, er vinkelen i radianer ! For eksempel er cos3 cosinus av tre radianer .

Dette fører til forvirring... En person ser "Pi" og tror at den er 180°. Når som helst og hvor som helst. Dette fungerer forresten. Foreløpig er eksemplene standard. Men "Pi" er et tall! Tallet er 3,14, men ikke grader! Dette er "Pi" radianer = 180°!

Nok en gang: «Pi» er et tall! 3.14. Irrasjonelt, men et tall. Samme som 5 eller 8. Du kan for eksempel gjøre om "Pi"-trinn. Tre trinn og litt til. Eller kjøp "Pi"-kilogram godteri. Hvis en utdannet selger kommer over...

"Pi" er et tall! Hva, irriterte jeg deg med denne setningen? Har du allerede forstått alt for lenge siden? OK. La oss sjekke. Fortell meg, hvilket tall er høyest?

Eller hva er mindre?

Dette er ett av en rekke litt ikke-standardiserte spørsmål som kan drive deg inn i en døsighet...

Hvis du også har falt i stupor, husk trolldommen: "Pi" er et tall! 3.14. I den aller første sinus står det tydelig at vinkelen er i grader! Derfor er det umulig å erstatte "Pi" med 180°! "Pi" grader er omtrent 3,14°. Derfor kan vi skrive:

Det er ingen notasjoner i andre sinus. Så der - radianer! Det er her å erstatte "Pi" med 180° vil fungere helt fint. Konvertering av radianer til grader, som skrevet ovenfor, får vi:

Det gjenstår å sammenligne disse to sine. Hva. glemt hvordan? Ved hjelp av en trigonometrisk sirkel, selvfølgelig! Tegn en sirkel, tegn omtrentlige vinkler på 60° og 1,05°. La oss se hvilke sinus disse vinklene har. Kort fortalt er alt beskrevet som på slutten av emnet om den trigonometriske sirkelen. På en sirkel (selv den skjeve!) vil det være godt synlig at sin 60° betydelig mer enn sin 1,05°.

Vi vil gjøre akkurat det samme med kosinus. På sirkelen vil vi tegne vinkler på omtrent 4 grader og 4 radian(Har du glemt hva 1 radian er omtrent lik?). Sirkelen vil si alt! Selvfølgelig er cos4 mindre enn cos4°.

La oss øve på å bruke vinkelmål.

Konverter disse vinklene fra grader til radianer:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Du bør få disse verdiene i radianer (i en annen rekkefølge!)

0

Jeg fremhevet forresten svarene spesifikt på to linjer. Vel, la oss finne ut hva hjørnene er i den første linjen? I hvert fall i grader, i hvert fall i radianer?

Ja! Dette er aksene til koordinatsystemet! Hvis du ser på den trigonometriske sirkelen, så den bevegelige siden av vinkelen med disse verdiene passer nøyaktig på aksene. Disse verdiene må være kjent. Og jeg noterte vinkelen på 0 grader (0 radianer) med god grunn. Og så kan noen mennesker bare ikke finne denne vinkelen på en sirkel... Og følgelig blir de forvirret i de trigonometriske funksjonene til null... En annen ting er at posisjonen til den bevegelige siden ved null grader sammenfaller med posisjonen ved 360°, så det er alltid tilfeldigheter på sirkelen nær.

I den andre linjen er det også spesielle vinkler... Disse er 30°, 45° og 60°. Og hva er så spesielt med dem? Ikke noe spesielt. Den eneste forskjellen mellom disse vinklene og alle de andre er at du bør vite om disse vinklene Alle. Og hvor er de plassert, og hva er disse vinklene? trigonometriske funksjoner. La oss si verdien sin100° du trenger ikke vite. EN sin 45°- vær så snill! Dette er obligatorisk kunnskap, uten som det ikke er noe å gjøre i trigonometri... Men mer om dette i neste leksjon.

I mellomtiden, la oss fortsette å trene. Konverter disse vinklene fra radian til grad:

Du bør få resultater som dette (i uorden):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Skjedd? Da kan vi anta det konvertere grader til radianer og tilbake- ikke lenger ditt problem.) Men å oversette vinkler er det første trinnet for å forstå trigonometri. Der må du også jobbe med sinus og cosinus. Og med tangenter og cotangenter også...

Det andre kraftige trinnet er evne til å bestemme posisjonen til enhver vinkel på trigonometrisk sirkel. Både i grader og radianer. Jeg skal gi deg kjedelige hint om akkurat denne ferdigheten gjennom trigonometrien, ja...) Hvis du vet alt (eller tror du vet alt) om den trigonometriske sirkelen, og målingen av vinkler på den trigonometriske sirkelen, kan du sjekke det ut. Løs disse enkle oppgavene:

1. Hvilket kvartal faller vinklene inn i:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Enkelt? La oss fortsette:

2. Hvilket kvartal faller hjørnene inn i:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Ikke noe problem heller? Vel, se...)

3. Du kan plassere hjørnene i kvartaler:

Kan du? Vel, du gir det..)

4. Hvilke akser vil hjørnet falle på:

og hjørne:

Er det lett også? Hm...)

5. Hvilket kvartal faller hjørnene inn i:

Og det fungerte!? Vel, da vet jeg virkelig ikke...)

6. Bestem hvilken fjerdedel hjørnene faller inn i:

1, 2, 3 og 20 radianer.

Jeg vil gi et svar bare på det siste spørsmålet (det er litt vanskelig) i den siste oppgaven. En vinkel på 20 radianer vil falle inn i første kvartal.

Jeg vil ikke gi resten av svarene, ikke av grådighet.) Ganske enkelt, hvis du har ikke bestemt meg noe du tviler på det som et resultat, eller brukt på oppgave nr. 4 mer enn 10 sekunder, du er dårlig orientert i en sirkel. Dette vil være problemet ditt i all trigonometri. Det er bedre å bli kvitt det (problemet, ikke trigonometri!) umiddelbart. Dette kan gjøres i emnet: Praktisk arbeid med trigonometrisk sirkel i seksjon 555.

Den forteller deg hvordan du løser slike oppgaver enkelt og riktig. Vel, disse oppgavene er selvfølgelig løst. Og den fjerde oppgaven ble løst på 10 sekunder. Ja, det er bestemt at alle kan gjøre det!

Hvis du er helt sikker på svarene dine og du ikke er interessert i enkle og problemfrie måter å jobbe med radianer på, trenger du ikke besøke 555. Jeg insisterer ikke.)

God forståelse- nok god grunnå gå videre!)

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.