Tilsvarer konstant e Math jeg liker

Alle vet geometrisk betydning tall π er lengden på en sirkel med en enhetsdiameter:

Men her er meningen med en annen viktig konstant, e, har en tendens til å bli raskt glemt. Det vil si, jeg vet ikke med deg, men hver gang det koster meg anstrengelsene å huske hvorfor dette tallet lik 2,7182818284590 er så bemerkelsesverdig... (jeg skrev imidlertid ned verdien fra minnet). Så jeg bestemte meg for å skrive en lapp slik at ingenting annet skulle gli ut av hukommelsen.

Tall e per definisjon - grensen for en funksjon y = (1 + 1 / x) x på x → ∞:

x	y
1	(1 + 1 / 1) 1	= 2
2	(1 + 1 / 2) 2	= 2,25
3	(1 + 1 / 3) 3	= 2,3703703702...
10	(1 + 1 / 10) 10	= 2,5937424601...
100	(1 + 1 / 100) 100	= 2,7048138294...
1000	(1 + 1 / 1000) 1000	= 2,7169239322...
∞	lim× → ∞	= 2,7182818284590...

Denne definisjonen er dessverre ikke klar. Det er ikke klart hvorfor denne grensen er bemerkelsesverdig (til tross for at den kalles "den andre bemerkelsesverdige"). Tenk bare, de tok en klønete funksjon og regnet ut grensen. En annen funksjon vil ha en annen.

Men antallet e av en eller annen grunn dukker det opp i en hel haug med de fleste ulike situasjoner i matematikk.

For meg hovedbetydning tall e avsløres i oppførselen til en annen, mye mer interessant funksjon, y = k x. Denne funksjonen har unik eiendom på k = e, som kan vises grafisk slik:

Ved punkt 0 tar funksjonen verdien e 0 = 1. Hvis du tegner en tangent i punktet x= 0, så vil den gå til x-aksen i en vinkel med tangenten 1 (in gul trekant forholdet mellom motsatt side 1 og tilstøtende side 1 er 1). Ved punkt 1 tar funksjonen verdien e 1 = e. Hvis du tegner en tangent i et punkt x= 1, så vil den passere i vinkel med en tangent e(V grønn trekant motsatt sideforhold e til tilstøtende 1 er lik e). Ved punkt 2 er verdien e 2 av funksjonen sammenfaller igjen med tangenten til helningsvinkelen til tangenten til den. På grunn av dette, samtidig skjærer tangentene selv x-aksen nøyaktig ved punktene −1, 0, 1, 2, etc.

Blant alle funksjonene y = k x(for eksempel 2 x , 10 x , π x etc.), funksjon e x- den eneste som har en slik skjønnhet at tangenten til helningsvinkelen på hvert av punktene sammenfaller med verdien av selve funksjonen. Dette betyr per definisjon at verdien av denne funksjonen på hvert punkt sammenfaller med verdien av dens deriverte på dette tidspunktet: ( e x)´ = e x. Av en eller annen grunn nummeret e= 2,7182818284590... må heves til ulike grader for å få et bilde som dette.

Dette er, etter min mening, meningen.

Tall π Og e er inkludert i favorittformelen min - Eulers formel, som forbinder de 5 viktigste konstantene - null, en, imaginær enhet jeg og faktisk tall π Og e:

e iπ + 1 = 0

Hvorfor er tallet 2.7182818284590... in kompleks grad 3,1415926535...jeg plutselig lik minus én? Svaret på dette spørsmålet ligger utenfor omfanget av dette notatet og kan fylle innholdet i en kort bok, som vil kreve en viss grunnleggende forståelse av trigonometri, grenser og serier.

Jeg har alltid vært overrasket over skjønnheten i denne formelen. Kanskje er det mer i matematikk fantastiske fakta, men for mitt nivå (en C i fysikk og matematikk Lyceum og en A i omfattende analyse ved universitetet) er dette det viktigste miraklet.

NUMBER e
Et tall omtrent lik 2,718, som ofte finnes i matematikk og naturvitenskap. For eksempel under kollapsen radioaktivt stoff etter tid t gjenstår en brøk lik e-kt av den opprinnelige stoffmengden, der k er et tall som karakteriserer nedbrytningshastigheten av dette stoffet. Den gjensidige verdien 1/k kalles gjennomsnittlig levetid for et atom av et gitt stoff, siden et atom i gjennomsnitt eksisterer i en tid på 1/k før det forfaller. Verdien 0,693/k kalles halveringstiden til et radioaktivt stoff, dvs. tiden hvor halvparten av den opprinnelige mengden av et stoff desintegrerer; tallet 0,693 er omtrent lik loge 2, dvs. logaritme av tallet 2 til grunntall e. Tilsvarende, hvis bakterier i et næringsmedium formerer seg med en hastighet som er proporsjonal med antallet i nåværende øyeblikk, så etter tid t innledende mengde bakterie N omdannes til Nekt. Dempning elektrisk strøm Jeg i en enkel krets med seriell tilkobling, motstand R og induktans L oppstår i henhold til loven I = I0e-kt, hvor k = R/L, I0 er strømstyrken ved tidspunktet t = 0. Lignende formler beskriver spenningsrelaksasjon i en viskøs væske og dempning magnetisk felt. Tallet 1/k kalles ofte avspenningstiden. I statistikk finnes verdien e-kt som sannsynligheten for at det i løpet av tid t ikke skjedde hendelser som skjedde tilfeldig med en gjennomsnittlig frekvens på k hendelser per tidsenhet. Hvis S er mengden penger investert til r rente med kontinuerlig sammensetning i stedet for sammensetning med diskrete intervaller, vil ved tid t det opprinnelige beløpet ha økt til Setr/100. Grunnen til "allestedsnærvær" av tallet e er at formlene matematisk analyse, som inneholder eksponentielle funksjoner eller logaritmer, skrives enklere hvis logaritmene tas til basen e i stedet for 10 eller en annen base. For eksempel er den deriverte av log10 x (1/x)log10 e, mens den deriverte av log x ganske enkelt er 1/x. På samme måte er den deriverte av 2x 2xloge 2, mens den deriverte av ex ganske enkelt er eks. Dette betyr at tallet e kan defineres som grunntallet b hvor grafen til funksjonen y = logb x har en tangent c i punktet x = 1 skråning lik 1, eller hvor kurven y = bx har en tangent ved x = 0 med en helning lik 1. Logaritmer til grunntall e kalles "naturlig" og betegnes ln x. Noen ganger kalles de også "ikke-Pierre", noe som er feil, siden faktisk J. Napier (1550-1617) oppfant logaritmer med en annen base: den nepierske logaritmen til tallet x er lik 107 log1/e (x/ 107) (se også LOGARITME). Ulike kombinasjoner av potenser av e forekommer så ofte i matematikk at de har spesielle navn. Disse er f.eks. hyperbolske funksjoner

Grafen til funksjonen y = cosh x kalles en kjedelinje; Dette er formen på en tung, ubøyelig tråd eller kjede hengt opp fra endene. Eulers formler

hvor i2 = -1, koble tallet e med trigonometri. Spesialtilfelle x = p fører til den berømte relasjonen eip + 1 = 0, som forbinder de 5 mest kjente tallene i matematikk. Når du beregner verdien av e, kan noen andre formler brukes (den første av dem brukes oftest):

Verdien av e med 15 desimaler er 2,718281828459045. I 1953 ble verdien av e beregnet med 3333 desimaler. Symbolet e for å betegne dette tallet ble introdusert i 1731 av L. Euler (1707-1783). Desimalutvidelsen av tallet e er ikke-periodisk (e er et irrasjonelt tall). I tillegg er e, som p, et transcendentalt tall (det er ikke roten til noen algebraisk ligning med rasjonelle koeffisienter). Dette ble bevist i 1873 av S. Hermit. For første gang ble det vist at et tall som oppstår så naturlig i matematikk er transcendentalt.
Se også
MATEMATISK ANALYSE;
FORTSATT BRUK;
TALLTEORI;
ANTALL p;
RANGER.

Colliers leksikon. – Åpent samfunn. 2000 .

Se hva "NUMBER e" er i andre ordbøker:

tall- Mottakskilde: GOST 111 90: Plateglass. Tekniske spesifikasjoner originaldokument Se også relaterte termer: 109. Antall betatronoscillasjoner ... Ordbok-referansebok med vilkår for normativ og teknisk dokumentasjon

Substantiv, s., brukt. veldig ofte Morfologi: (nei) hva? tall, hva? nummer, (se) hva? nummer, hva? nummer, om hva? om antall; pl. Hva? tall, (nei) hva? tall, hvorfor? tall, (se) hva? tall, hva? tall, om hva? om tall matematikk 1. Etter tall... ... Ordbok Dmitrieva

NUMBER, tall, flertall. tall, tall, tall, jfr. 1. Konsept, uttrykksfulle mengde, det som gjenstander og fenomener telles med (mat.). Heltall. Brøktal. Navngitt nummer. Primetall. (se enkel 1 i 1 verdi).… … Ushakovs forklarende ordbok

En abstrakt betegnelse uten spesielt innhold for ethvert medlem av en bestemt serie, der dette medlemmet er foran eller etterfulgt av et annet spesifikt medlem; abstrakt individuell attributt som skiller ett sett fra... ... Filosofisk leksikon

Tall- Antall grammatisk kategori, uttrykker kvantitative egenskaper tankeobjekter. Grammatisk tall en av manifestasjonene av en mer generell språkkategori mengder (se Språkkategori) sammen med leksikalsk manifestasjon("leksikalsk ... ... Språklig encyklopedisk ordbok

EN; pl. tall, satt, smell; ons 1. En regneenhet som uttrykker en bestemt mengde. Brøk, heltall, primtallstimer. Telle i runde tall (omtrent i hele enheter eller tiere). Naturlig h (positivt heltall... Encyklopedisk ordbok

ons. mengde, etter antall, til spørsmålet: hvor mye? og selve tegnet som uttrykker mengde, antall. Uten nummer; det er ingen tall, uten å telle, mange, mange. Sett opp bestikk etter antall gjester. romerske, arabiske eller kirkenummer. Heltall, motsatt. brøkdel ... ... Dahls forklarende ordbok

NUMBER, a, flertall. tall, satt, smell, jfr. 1. Det grunnleggende begrepet i matematikk er mengde, ved hjelp av dette gjøres utregning. Heltall h positivt tall). Enkel del ( naturlig tall, Ikke … … Ozhegovs forklarende ordbok

NUMMER "E" (EXP), et irrasjonelt tall som tjener som grunnlag for naturlige LOGARITMER. Dette er gyldig desimaltall, en uendelig brøk lik 2,7182818284590...., er grensen for uttrykk (1/) da n har en tendens til uendelig. I hovedsak ... ... Vitenskapelig og teknisk encyklopedisk ordbok

Mengde, tilgjengelighet, sammensetning, styrke, kontingent, mengde, tall; dag.. Ons. . Se dag, mengde. Ikke stort antall, det er ingen tall, for å vokse i antall... Ordbok med russiske synonymer og uttrykk som ligner i betydning. under. utg. N. Abramova, M.: Russere... ... Ordbok for synonymer

Bøker

Navnenummer. Hemmelighetene til numerologi. Ut-av-kroppen flukt for de late. Lærebok om ekstrasensorisk persepsjon (antall bind: 3)
Navnenummer. Et nytt blikk på tall. Numerologi - kunnskapens vei (antall bind: 3), Lawrence Shirley. Navnenummer. Hemmelighetene til numerologi.

Shirley B. Lawrence sin bok er en omfattende studie av det eldgamle esoteriske systemet for numerologi. For å lære hvordan du bruker tallvibrasjoner for... Å beskrive e som "en konstant omtrentlig lik 2,71828 ..." er som å kalle tallet pi " irrasjonelt tall

, omtrent lik 3,1415...". Dette er utvilsomt sant, men poenget unngår oss likevel. Pi er forholdet mellom omkretsen og diameteren, det samme for alle sirkler . Dette er den grunnleggende andelen som deles av alle sirkler og er derfor involvert i å beregne omkrets, areal, volum og overflateareal for sirkler, kuler, sylindre, etc. Pi viser at alle sirkler henger sammen, for ikke å snakke om trigonometriske funksjoner

, avledet fra sirkler (sinus, cosinus, tangens). Tallet e er det grunnleggende vekstforholdet for alle kontinuerlig voksende prosesser.

e-tallet lar deg ta en enkel vekstrate (hvor forskjellen bare er synlig på slutten av året) og beregne komponentene i denne indikatoren, normal vekst, der alt vokser litt for hvert nanosekund (eller enda raskere). flere. Tallet e er involvert i begge systemene med eksponentiell og konstant vekst: befolkning, radioaktivt forfall

, beregne renter, og mange, mange andre. Selv trinnsystemer som ikke vokser jevnt, kan tilnærmes ved å bruke tallet e. Akkurat som et hvilket som helst tall kan betraktes som en "skalert" versjon av 1 (grunnenheten), kan enhver sirkel betraktes som en "skalert" versjon enhetssirkel

(med radius 1). Og enhver vekstfaktor kan betraktes som en "skalert" versjon av e ("enhetsvekstfaktoren").

Så tallet e er ikke et tilfeldig tall tatt tilfeldig. Tallet e legemliggjør ideen om at alle kontinuerlig voksende systemer er skalerte versjoner av samme metrikk.

Begrepet eksponentiell vekst La oss starte med å se på det grunnleggende systemet som dobler til viss periode

tid. For eksempel:
Bakterier deler seg og "dobler" i antall hver 24. time
Vi får dobbelt så mange nudler hvis vi deler dem i to

Pengene dine dobles hvert år hvis du tjener 100 % (heldig!)

Å dele på to eller doble er en veldig enkel progresjon. Selvfølgelig kan vi tredoble eller firedoble, men dobling er mer praktisk for forklaring.

Matematisk, hvis vi har x-divisjoner, ender vi opp med 2^x ganger mer god enn vi startet med. Hvis det bare lages 1 partisjon, får vi 2^1 ganger mer. Hvis det er 4 partisjoner, får vi 2^4=16 deler. Generell formel ser slik ut:

høyde= 2 x

En dobling er med andre ord en 100 % økning. Vi kan omskrive denne formelen slik:

høyde= (1+100%) x

Dette er den samme likheten, vi delte bare "2" inn i komponentene, som i hovedsak er dette tallet: startverdi(1) pluss 100 %. Smart, ikke sant?

Selvfølgelig kan vi erstatte et hvilket som helst annet tall (50%, 25%, 200%) i stedet for 100% og få vekstformelen for denne nye koeffisienten. Den generelle formelen for x perioder av tidsserien vil være:

høyde = (1+øke) x

Dette betyr ganske enkelt at vi bruker returraten, (1 + gevinst), "x" ganger på rad.

La oss ta en nærmere titt

Formelen vår antar at veksten skjer i diskrete trinn. Bakteriene våre venter og venter, og så bam! siste minutt de dobles i antall. Vår fortjeneste på renter på innskuddet vises på magisk vis om nøyaktig 1 år. Basert på formelen skrevet ovenfor, vokser fortjenesten i trinn. Grønne prikker vises plutselig.

Men verden er ikke alltid slik. Hvis vi zoomer inn, kan vi se at bakterievennene våre hele tiden deler seg:

Den grønne karen oppstår ikke av ingenting: han vokser sakte ut av den blå forelderen. Etter 1 periode (24 timer i vårt tilfelle) er den grønne vennen allerede helt moden. Etter å ha blitt modnet, blir han et fullverdig blått medlem av flokken og kan selv lage nye grønne celler.

Vil denne informasjonen endre ligningen vår på noen måte?

Nei. Når det gjelder bakterier, kan halvformede grønne celler fortsatt ikke gjøre noe før de vokser opp og skiller seg helt fra sine blå foreldre. Så ligningen er riktig.

TALL e. Et tall som er omtrent lik 2,718, som ofte finnes i matematikk og naturfag. For eksempel når et radioaktivt stoff forfaller over tid t av den opprinnelige mengden av stoffet forblir en brøkdel lik e–kt, Hvor k– et tall som karakteriserer nedbrytningshastigheten til et gitt stoff. Gjensidig på 1/ k kalles gjennomsnittlig levetid for et atom til et gitt stoff, siden et atom i gjennomsnitt eksisterer i en tid på 1/ før det forfaller k. Verdi 0,693/ k kalles halveringstiden til et radioaktivt stoff, dvs. tiden hvor halvparten av den opprinnelige mengden av et stoff desintegrerer; tallet 0,693 er omtrent lik log e 2, dvs. logaritme av tall 2 til grunntall e. Tilsvarende, hvis bakterier i et næringsmedium formerer seg med en hastighet som er proporsjonal med antallet for øyeblikket, så over tid t første antall bakterier N blir til Ne kt. Dempning av elektrisk strøm jeg i en enkel krets med seriekobling, motstand R og induktans L skjer i henhold til loven jeg = jeg 0 e–kt, Hvor k = R/L, jeg 0 – gjeldende styrke i øyeblikket t= 0. Lignende formler beskriver spenningsrelaksasjon i en viskøs væske og demping av magnetfeltet. Nummer 1/ k ofte kalt avslappingstid. I statistikk, verdien e–kt oppstår som sannsynligheten for at over tid t det var ingen hendelser som skjedde tilfeldig med gjennomsnittlig frekvens k hendelser per tidsenhet. Hvis S- hvor mye penger som er investert under r renter med kontinuerlig periodisering i stedet for periodisering med diskrete intervaller, deretter etter tiden t det opprinnelige beløpet vil øke til Setr/100.

Årsaken til "allestedsnærværet" av nummeret e ligger i det faktum at matematiske analyseformler som inneholder eksponentielle funksjoner eller logaritmer skrives enklere hvis logaritmene tas til grunnen e, og ikke 10 eller noen annen base. For eksempel den deriverte av log 10 x lik (1/ x)logg 10 e, mens den deriverte av log e x er ganske enkelt lik 1/ x. På samme måte er den deriverte av 2 x tilsvarer 2 x logg e 2, mens den deriverte av e x er rett og slett lik e x. Dette betyr at tallet e kan defineres som grunnlag b, hvor grafen til funksjonen y = logg b x har på punktet x= 1 tangent med en helning lik 1, eller ved hvilken kurven y = b x har i x= 0 tangent med helning lik 1. Logaritmer til grunnflaten e kalles "naturlig" og er betegnet ln x. Noen ganger kalles de også "Nepier", noe som er feil, siden J. Napier (1550–1617) faktisk oppfant logaritmer med en annen base: Nepier-logaritmen til tallet x tilsvarer 10 7 log 1/ e (x/10 7) .

Ulike gradskombinasjoner e De forekommer så ofte i matematikk at de har spesielle navn. Dette er for eksempel hyperbolske funksjoner

Graf av en funksjon y= kap x kalt en kontaktledning; Dette er formen på en tung, ubøyelig tråd eller kjede hengt opp fra endene. Eulers formler

Hvor jeg 2 = –1, bind nummer e med trigonometri. Spesialtilfelle x = p fører til det berømte forholdet e ip+ 1 = 0, som forbinder de 5 mest kjente tallene i matematikk.

| Euler-nummer (E)

e - grunnlaget for den naturlige logaritmen, en matematisk konstant, et irrasjonelt og transcendentalt tall. Omtrent lik 2,71828. Noen ganger ringes nummeret Euler-nummer eller Napier nummer. Indikert med små bokstaver latinsk bokstav « e».

Historie

Tall e dukket først opp i matematikk som noe ubetydelig. Dette skjedde i 1618. I vedlegget til John Napiers arbeid om logaritmer ble det gitt en tabell over naturlige logaritmer forskjellige tall. Ingen skjønte imidlertid at dette er logaritmer til basen e , siden konseptet med en logaritme fra den tiden ikke inkluderte noe slikt som en base. Dette er det vi nå kaller en logaritme, potensen som basen må heves til for å få det nødvendige tallet. Vi kommer tilbake til dette senere. Tabellen i vedlegget er mest sannsynlig laget av Augthred, selv om forfatteren ikke ble identifisert. Noen år senere, i 1624, dukker den opp igjen i matematisk litteratur. e , men igjen på en tilslørt måte. I år ga Briggs en numerisk tilnærming til desimallogaritmen e , men selve nummeret e ikke nevnt i hans arbeid.

Neste forekomst av nummeret e igjen tvilsomt. I 1647 beregnet Saint-Vincent arealet til hyperbelsektoren. Om han forsto sammenhengen med logaritmer kan man bare gjette på, men selv om han gjorde det, er det usannsynlig at han kunne ha kommet frem til selve tallet e . Det var først i 1661 at Huygens forsto sammenhengen mellom den likesidede hyperbelen og logaritmene. Han beviste at området under grafen til en likesidet hyperbel xy = 1 likesidet hyperbel på intervallet fra 1 til e er lik 1. Denne egenskapen gjør e grunnlaget for naturlige logaritmer, men dette ble ikke forstått av datidens matematikere, men de nærmet seg sakte denne forståelsen.

Huygens tok neste steg i 1661. Han definerte en kurve som han kalte logaritmisk (i vår terminologi vil vi kalle den eksponentiell). Dette er en kurve av formen y = ka x . Og desimallogaritmen vises igjen e , som Huygens finner nøyaktig til 17 desimaler. Imidlertid oppsto det fra Huygens som en slags konstant og var ikke assosiert med logaritmen til et tall (så igjen kom vi nær e , men selve nummeret e forblir ukjent).

I videre arbeid med logaritmer, igjen tallet e vises ikke eksplisitt. Studiet av logaritmer fortsetter imidlertid. I 1668 ga Nicolaus Mercator ut et verk Logaritmoteknikk, som inneholder en serieutvidelse log(1 + x) . I dette arbeidet bruker Mercator først navnet " naturlig logaritme" for logaritme til base e . Tall e dukker tydeligvis ikke opp igjen, men forblir unnvikende et sted til siden.

Det er overraskende at antallet e vises eksplisitt for første gang ikke i forbindelse med logaritmer, men i forbindelse med uendelige produkter. I 1683 prøver Jacob Bernoulli å finne

Han bruker binomiale teoremet for å bevise at denne grensen er mellom 2 og 3, som vi kan tenke på som en første tilnærming av tallet e . Selv om vi tar dette som en definisjon e , dette er første gang et tall er definert som en grense. Bernoulli forsto selvfølgelig ikke sammenhengen mellom arbeidet hans og arbeidet med logaritmer.

Det ble tidligere nevnt at logaritmer i begynnelsen av studien deres ikke var forbundet på noen måte med eksponenter. Selvfølgelig, fra ligningen x = a t det finner vi t = log a x , men dette er en mye senere måte å oppfatte på. Her mener vi faktisk en funksjon med en logaritme, mens logaritmen først ble betraktet som et tall som hjalp i beregninger. Kanskje Jacob Bernoulli var den første som innså det logaritmisk funksjon er den inverse eksponentielle. På den annen side kan den første personen som koblet logaritmer og potenser ha vært James Gregory. I 1684 anerkjente han sikkert sammenhengen mellom logaritmer og potenser, men han var kanskje ikke den første.

Vi vet at antallet e dukket opp i sin nåværende form i 1690. Leibniz brukte i et brev til Huygens betegnelsen for det b . Endelig e en betegnelse dukket opp (selv om den ikke falt sammen med den moderne), og denne betegnelsen ble anerkjent.

I 1697 begynte Johann Bernoulli å studere den eksponentielle funksjonen og publiserte Principia calculi exponentialum seu percurrentium. I dette arbeidet beregnes summene av ulike eksponentielle serier, og noen resultater oppnås ved deres term-for-term integrasjon.

Leonhard Euler introduserte så mye matematisk notasjon, som ikke er overraskende, at betegnelsen e tilhører ham også. Det virker latterlig å si at han brukte brevet e på grunn av at det er den første bokstaven i navnet hans. Det er nok ikke engang fordi e hentet fra ordet "eksponentiell", er det ganske enkelt den neste vokalen etter "a", og Euler hadde allerede brukt notasjonen "a" i sitt arbeid. Uansett årsak dukker notasjonen først opp i et brev fra Euler til Goldbach i 1731. Han gjorde mange oppdagelser mens han studerte e senere, men først i 1748 Introduksjon i Analysin infinitorum han ga full begrunnelse for alle ideer knyttet til e . Det viste han

Euler fant også de første 18 desimalene i tallet e :

Riktignok uten å forklare hvordan han fikk dem. Det ser ut som han har beregnet denne verdien selv. Faktisk, hvis vi tar omtrent 20 termer av serie (1), får vi nøyaktigheten som Euler oppnådde. Blant annet interessante resultater hans arbeid viser sammenhengen mellom funksjonene sinus og cosinus og kompleks eksponentiell funksjon, som Euler hentet fra Moivres formel.

Interessant nok fant Euler til og med en dekomponering av tallet e i fortsatte brøker og ga eksempler på slik ekspansjon. Spesielt fikk han

Euler ga ikke bevis for at disse brøkene fortsetter på samme måte, men han visste at hvis det var et slikt bevis, ville det bevise irrasjonalitet e . Faktisk, hvis den fortsatte brøken for (e - 1) / 2 , fortsatte på samme måte som i eksemplet ovenfor, 6,10,14,18,22,26, (vi legger til 4 hver gang), så ville den aldri blitt avbrutt, og (e -1) / 2 (og derfor e ) kunne ikke være rasjonell. Dette er åpenbart det første forsøket på å bevise irrasjonalitet e .

Den første som beregnet et ganske stort antall desimaler av et tall e , var Shanks i 1854. Glaisher viste at de første 137 tegnene beregnet av Shanks var riktige, men fant så en feil. Shanks korrigerte det, og 205 desimaler av tallet ble oppnådd e . Faktisk er det nødvendig med omtrent 120 utvidelsesbetingelser (1) for å få 200 riktige sifre i tallet e .

I 1864 sto Benjamin Peirce ved en tavle som var skrevet på

I sine forelesninger kan han si til studentene sine: «Mine herrer, vi har ikke den minste anelse om hva dette betyr, men vi kan være sikre på at det betyr noe veldig viktig.»

De fleste mener at Euler beviste irrasjonaliteten til tallet e . Dette ble imidlertid gjort av Hermite i 1873. Det gjenstår fortsatt åpent spørsmål, er tallet e e algebraisk. Det endelige resultatet i denne retningen er at minst ett av tallene e e Og e e 2 er transcendental.

Deretter ble følgende desimaler av tallet beregnet e . I 1884 beregnet Boorman 346 sifre e , hvorav de første 187 falt sammen med Shanks tegn, men de påfølgende skilte seg. I 1887 beregnet Adams 272 sifre desimal logaritme e .

J. J. Connor, E. F. Robertson. Antallet e.