Taylor-serien utvidelse 1 x. Utvidelse av funksjoner til potensserier

Hvis funksjonen f(x) har på et eller annet intervall som inneholder punktet EN, derivater av alle ordrer, kan Taylor-formelen brukes på den:

Hvor r n– den såkalte resttermen eller resten av serien, den kan estimeres ved å bruke Lagrange-formelen:

, hvor tallet x er mellom X Og EN.

Hvis for noen verdi x r n®0 kl n®¥, så blir Taylor-formelen i grensen til en konvergent formel for denne verdien Taylor-serien:

Så funksjonen f(x) kan utvides til en Taylor-serie på det aktuelle punktet X, Hvis:

1) den har derivater av alle ordrer;

2) den konstruerte serien konvergerer på dette punktet.

På EN=0 får vi en serie kalt nær Maclaurin:

Eksempel 1 f(x)= 2x.

Løsning. La oss finne verdiene til funksjonen og dens deriverte ved X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Ved å erstatte de oppnådde verdiene av derivatene i Taylor-seriens formel, får vi:

Konvergensradiusen til denne serien er lik uendelig, derfor er denne utvidelsen gyldig for -¥<x<+¥.

Eksempel 2 X+4) for funksjon f(x)= e x.

Løsning. Finne de deriverte av funksjonen e x og deres verdier på punktet X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Derfor har den nødvendige Taylor-serien av funksjonen formen:

Denne utvidelsen er også gyldig for -¥<x<+¥.

Eksempel 3 . Utvid en funksjon f(x)=ln x i en serie i makter ( X- 1),

(dvs. i Taylor-serien i nærheten av punktet X=1).

Løsning. Finn de deriverte av denne funksjonen.

Ved å erstatte disse verdiene i formelen får vi den ønskede Taylor-serien:

Ved å bruke d'Alemberts test kan du verifisere at serien konvergerer når

½ X- 1½<1. Действительно,

Serien konvergerer hvis ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 får vi en alternerende serie som tilfredsstiller betingelsene til Leibniz-kriteriet. På X=0 funksjon er ikke definert. Dermed er konvergensområdet til Taylor-serien det halvåpne intervallet (0;2].

La oss presentere utvidelsene oppnådd på denne måten i Maclaurin-serien (dvs. i nærheten av punktet X=0) for noen elementære funksjoner:

(2) ,

(3) ,

( den siste dekomponeringen kalles binomial serie)

Eksempel 4 . Utvid funksjonen til en potensserie

Løsning. I utvidelse (1) erstatter vi X på - X 2, vi får:

Eksempel 5 . Utvid funksjonen i en Maclaurin-serie

Løsning. Vi har

Ved å bruke formel (4) kan vi skrive:

erstatte i stedet X inn i formelen -X, vi får:

Herfra finner vi:

Å åpne parentesene, omorganisere vilkårene i serien og bringe lignende vilkår, får vi

Denne serien konvergerer i intervallet

(-1;1), siden den er hentet fra to serier, som hver konvergerer i dette intervallet.

Kommentar .

Formler (1)-(5) kan også brukes til å utvide de tilsvarende funksjonene til en Taylor-serie, dvs. for å utvide funksjoner i positive heltallspotenser ( Ha). For å gjøre dette er det nødvendig å utføre slike identiske transformasjoner på en gitt funksjon for å oppnå en av funksjonene (1)-(5), der i stedet X koster k( Ha) m , der k er et konstant tall, m er et positivt heltall. Det er ofte praktisk å gjøre en endring av variabel t=Ha og utvide den resulterende funksjonen med hensyn til t i Maclaurin-serien.

Denne metoden illustrerer teoremet om det unike ved en potensserieutvidelse av en funksjon. Essensen av denne teoremet er at i nærheten av samme punkt ikke kan oppnås to forskjellige potensserier som vil konvergere til samme funksjon, uansett hvordan utvidelsen utføres.

Eksempel 6 . Utvid funksjonen i en Taylor-serie i nærheten av et punkt X=3.

Løsning. Dette problemet kan løses, som før, ved å bruke definisjonen av Taylor-serien, som vi trenger å finne derivatene av funksjonen og deres verdier for X=3. Det vil imidlertid være enklere å bruke den eksisterende utvidelsen (5):

Den resulterende serien konvergerer kl eller –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Eksempel 7 . Skriv Taylor-serien i makter ( X-1) funksjoner .

Løsning.

Serien konvergerer kl , eller 2< x£5.

Utvidelse av en funksjon til en Taylor-, Maclaurin- og Laurent-serie på et nettsted for trening av praktiske ferdigheter. Denne serieutvidelsen av en funksjon lar matematikere estimere den omtrentlige verdien av funksjonen på et tidspunkt i definisjonsdomenet. Det er mye lettere å beregne en slik funksjonsverdi sammenlignet med å bruke Bredis-tabellen, som er så irrelevant i datateknologiens tidsalder. Å utvide en funksjon til en Taylor-serie betyr å beregne koeffisientene til de lineære funksjonene i denne serien og skrive den i riktig form. Elever forveksler disse to seriene, og forstår ikke hva som er det generelle tilfellet og hva som er et spesielt tilfelle av det andre. La oss minne deg en gang for alle om at Maclaurin-serien er et spesialtilfelle av Taylor-serien, det vil si at dette er Taylor-serien, men på punktet x = 0. Alle korte oppføringer for utvidelse av kjente funksjoner, slik som e^x, Sin(x), Cos(x) og andre, dette er Taylor-serieutvidelser, men på punkt 0 for argumentet. For funksjoner av et komplekst argument er Laurent-serien det vanligste problemet i TFCT, siden den representerer en tosidig uendelig serie. Det er summen av to serier. Vi foreslår at du ser på et eksempel på dekomponering direkte på nettstedet; dette er veldig enkelt å gjøre ved å klikke på "Eksempel" med et hvilket som helst tall, og deretter "Løsning"-knappen. Det er nettopp denne utvidelsen av en funksjon til en serie som er assosiert med en majoriserende serie som begrenser den opprinnelige funksjonen i et bestemt område langs ordinataksen dersom variabelen tilhører abscisseområdet. Vektoranalyse sammenlignes med en annen interessant disiplin innen matematikk. Siden hvert begrep må undersøkes, krever prosessen ganske mye tid. Enhver Taylor-serie kan assosieres med en Maclaurin-serie ved å erstatte x0 med null, men for en Maclaurin-serie er det noen ganger ikke opplagt å representere Taylor-serien i revers. Som om dette ikke kreves gjort i sin rene form, er det interessant for generell selvutvikling. Hver Laurent-serie tilsvarer en tosidig uendelig potensserie i heltallspotenser av z-a, med andre ord en serie av samme Taylor-type, men litt forskjellig i beregningen av koeffisientene. Vi vil snakke om konvergensområdet til Laurent-serien litt senere, etter flere teoretiske beregninger. Som i forrige århundre kan en trinnvis utvidelse av en funksjon til en serie neppe oppnås bare ved å bringe begrepene til en fellesnevner, siden funksjonene i nevnerne er ikke-lineære. En omtrentlig beregning av funksjonsverdien kreves ved formulering av problemer. Tenk på det faktum at når argumentet til en Taylor-serie er en lineær variabel, så skjer utvidelsen i flere trinn, men bildet er et helt annet når argumentet til funksjonen som utvides er en kompleks eller ikke-lineær funksjon, da blir prosessen med Å representere en slik funksjon i en potensserie er åpenbart, siden det på denne måten er enkelt å beregne, om enn en omtrentlig verdi, når som helst i definisjonsområdet, med en minimumsfeil som har liten effekt på videre beregninger. Dette gjelder også Maclaurin-serien. når det er nødvendig å beregne funksjonen ved nullpunktet. Selve Laurent-serien er imidlertid representert her ved en utvidelse på flyet med imaginære enheter. Den riktige løsningen av problemet under den generelle prosessen vil heller ikke være uten suksess. Denne tilnærmingen er ikke kjent i matematikk, men den eksisterer objektivt sett. Som et resultat kan du komme til konklusjonen av de såkalte punktvise delmengdene, og i utvidelsen av en funksjon i en serie må du bruke metoder kjent for denne prosessen, for eksempel anvendelsen av teorien om derivater. Nok en gang er vi overbevist om at læreren hadde rett, som gjorde sine antagelser om resultatene av post-beregningsmessige beregninger. La oss merke seg at Taylor-serien, oppnådd i henhold til alle matematikkens kanoner, eksisterer og er definert på hele den numeriske aksen, men kjære brukere av nettstedstjenesten, ikke glem typen av den opprinnelige funksjonen, fordi det kan vise seg at det i utgangspunktet er nødvendig å etablere definisjonsdomenet for funksjonen, det vil si å skrive og ekskludere fra videre vurdering de punktene der funksjonen ikke er definert i domenet til reelle tall. Så å si vil dette vise effektiviteten din i å løse problemet. Konstruksjonen av en Maclaurin-serie med null argumentverdi vil ikke være et unntak fra det som er sagt. Prosessen med å finne definisjonsdomenet til en funksjon er ikke avbrutt, og du må nærme deg denne matematiske operasjonen med fullt alvor. I tilfellet med en Laurent-serie som inneholder hoveddelen, vil parameteren "a" bli kalt et isolert entallspunkt, og Laurent-serien vil utvides i en ring - dette er skjæringspunktet mellom konvergensområdene til delene, derfor det tilsvarende teoremet vil følge. Men ikke alt er så komplisert som det kan virke ved første øyekast for en uerfaren student. Etter å ha studert Taylor-serien, kan du lett forstå Laurent-serien - et generalisert tilfelle for å utvide tallrommet. Enhver serieutvidelse av en funksjon kan bare utføres på et punkt i definisjonsdomenet til funksjonen. Egenskaper til funksjoner som periodisitet eller uendelig differensierbarhet bør tas i betraktning. Vi foreslår også at du bruker tabellen over ferdige Taylor-serieutvidelser av elementære funksjoner, siden en funksjon kan representeres av opptil dusinvis av forskjellige potensserier, som du kan se ved å bruke vår online kalkulator. Den elektroniske Maclaurin-serien er enkel å finne ut, hvis du bruker den unike nettsidetjenesten trenger du bare å angi riktig skriftlig funksjon og du vil motta det presenterte svaret i løpet av sekunder, det er garantert nøyaktig og i en standard skriftlig form. Du kan kopiere resultatet direkte til en ren kopi for innlevering til læreren. Det vil være riktig å først bestemme analytisiteten til den aktuelle funksjonen i ringer, og deretter utvetydig slå fast at den kan utvides i en Laurent-serie i alle slike ringer. Det er viktig å ikke miste av syne betingelsene i Laurent-serien som inneholder negative krefter. Fokuser så mye som mulig på dette. Gjør god bruk av Laurents teorem om utvidelse av en funksjon i heltallspotenser.

"Finn Maclaurin-seriens utvidelse av funksjonen f(x)"– det er akkurat slik oppgaven i høyere matematikk høres ut, som noen elever kan gjøre, mens andre ikke takler eksemplene. Det er flere måter å utvide en serie i potenser på; her vil vi gi en teknikk for å utvide funksjoner til en Maclaurin-serie. Når du utvikler en funksjon i en serie, må du være flink til å beregne deriverte.

Eksempel 4.7 Utvid en funksjon i potenser av x

Beregninger: Vi utfører utvidelsen av funksjonen i henhold til Maclaurin-formelen. La oss først utvide nevneren til funksjonen til en serie

Til slutt multipliserer du utvidelsen med telleren.
Det første leddet er verdien av funksjonen ved null f (0) = 1/3.
La oss finne de deriverte av funksjonen til første og høyere orden f (x) og verdien av disse deriverte i punktet x=0

Deretter, basert på mønsteret av endringer i verdien av derivater ved 0, skriver vi formelen for den n-te deriverte

Så vi representerer nevneren i form av en utvidelse i Maclaurin-serien

Vi multipliserer med telleren og får ønsket utvidelse av funksjonen i en rekke i potenser av x

Som du kan se, er det ikke noe komplisert her.
Alle nøkkelpunkter er basert på evnen til å beregne derivater og raskt generalisere verdien av høyere ordens derivater til null. Følgende eksempler vil hjelpe deg å lære hvordan du raskt kan ordne en funksjon i en serie.

Eksempel 4.10 Finn Maclaurin-seriens utvidelse av funksjonen

Beregninger: Som du kanskje har gjettet, vil vi sette cosinus i telleren i en serie. For å gjøre dette kan du bruke formler for uendelig små mengder, eller utlede ekspansjonen av cosinus gjennom derivater. Som et resultat kommer vi til følgende serie i potenser av x

Som du ser har vi et minimum av beregninger og en kompakt representasjon av serieutvidelsen.

Eksempel 4.16 Utvid en funksjon i potenser av x:
7/(12-x-x^2)
Beregninger: I denne typen eksempler er det nødvendig å utvide brøken gjennom summen av enkle brøker.
Vi skal ikke vise hvordan dette skal gjøres nå, men ved hjelp av ubestemte koeffisienter kommer vi frem til summen av brøker.
Deretter skriver vi nevnerne i eksponentiell form

Det gjenstår å utvide begrepene ved å bruke Maclaurin-formelen. Ved å oppsummere leddene i de samme potensene av "x", komponerer vi en formel for den generelle termen for utvidelse av en funksjon i en serie

Den siste delen av overgangen til serien i begynnelsen er vanskelig å implementere, siden det er vanskelig å kombinere formlene for parede og uparrede indekser (grader), men med øvelse vil du bli bedre på det.

Eksempel 4.18 Finn Maclaurin-seriens utvidelse av funksjonen

Beregninger: La oss finne den deriverte av denne funksjonen:

La oss utvide funksjonen til en serie ved å bruke en av McLarens formler:

Vi summerer serien begrep for begrep basert på det faktum at begge er helt identiske. Etter å ha integrert hele serien ledd for ledd, får vi utvidelsen av funksjonen til en rekke i potenser av x

Det er en overgang mellom de to siste linjene i utvidelsen som vil ta mye av din tid i begynnelsen. Å generalisere en serieformel er ikke lett for alle, så ikke bekymre deg for ikke å kunne få en fin, kompakt formel.

Eksempel 4.28 Finn Maclaurin-seriens utvidelse av funksjonen:

La oss skrive logaritmen som følger

Ved å bruke Maclaurins formel utvider vi logaritmefunksjonen i en serie i potenser av x

Den endelige konvolusjonen er kompleks ved første øyekast, men ved vekslende tegn vil du alltid få noe lignende. Input leksjon om emnet planlegging av funksjoner på rad er fullført. Andre like interessante nedbrytningsskjemaer vil bli diskutert i detalj i de følgende materialene.

I teorien om funksjonelle serier er den sentrale plassen okkupert av delen som er viet utvidelsen av en funksjon til en serie.

Dermed er oppgaven satt: for en gitt funksjon vi må finne en slik kraftserie

som konvergerte på et visst intervall og summen var lik
, de.

= ..

Denne oppgaven kalles problemet med å utvide en funksjon til en potensserie.

En nødvendig betingelse for nedbrytbarheten av en funksjon i en potensserie er dens differensierbarhet et uendelig antall ganger - dette følger av egenskapene til konvergerende potensserier. Denne betingelsen er som regel oppfylt for elementære funksjoner i deres definisjonsdomene.

Så la oss anta at funksjonen
har derivater av hvilken som helst rekkefølge. Er det mulig å utvide den til en power-serie?Hvordan kan vi i så fall finne denne serien? Den andre delen av problemet er lettere å løse, så la oss begynne med det.

La oss anta at funksjonen
kan representeres som summen av en potensserie som konvergerer i intervallet som inneholder punktet X 0 :

= .. (*)

Hvor EN 0 ,EN 1 ,EN 2 ,...,EN P ,... – ukjente (ennå) koeffisienter.

La oss sette inn likhet (*) verdien x = x 0 , så får vi

La oss skille potensserien (*) ledd for ledd

= ..

og tro her x = x 0 , vi får

Med neste differensiering får vi serien

= ..

tro x = x 0 , vi får
, hvor
.

Etter P-multippel differensiering får vi

Forutsatt i siste likestilling x = x 0 , vi får
, hvor

Så, koeffisientene er funnet

,
,
, …,
,….,

erstatte som i serien (*), får vi

Den resulterende serien kalles ved siden av Taylor for funksjon
.

Dermed har vi slått fast det hvis funksjonen kan utvides til en potensserie i potenser (x - x 0 ), så er denne utvidelsen unik og den resulterende serien er nødvendigvis en Taylor-serie.

Legg merke til at Taylor-serien kan fås for alle funksjoner som har derivater av hvilken som helst rekkefølge på punktet x = x 0 . Men dette betyr ikke at et likhetstegn kan plasseres mellom funksjonen og den resulterende rekken, dvs. at summen av rekken er lik den opprinnelige funksjonen. For det første kan en slik likhet bare gi mening i konvergensområdet, og Taylor-serien oppnådd for funksjonen kan divergere, og for det andre, hvis Taylor-serien konvergerer, vil summen kanskje ikke sammenfalle med den opprinnelige funksjonen.

3.2. Tilstrekkelige betingelser for nedbrytbarheten til en funksjon i en Taylor-serie

La oss formulere en uttalelse ved hjelp av hvilken oppgaven skal løses.

Hvis funksjonen
i et eller annet nabolag til punkt x 0 har derivater opp til (n+ 1) av orden inklusive, så i dette nabolaget har viformel skredder

HvorR n (X)-resten av Taylor-formelen - har formen (Lagrange-form)

Hvor punktumξ ligger mellom x og x 0 .

Merk at det er en forskjell mellom Taylor-serien og Taylor-formelen: Taylor-formelen er en endelig sum, dvs. P - fast nummer.

Husk at summen av serien S(x) kan defineres som grensen for en funksjonell sekvens av delsummer S P (x) med et eller annet intervall X:

I følge dette betyr å utvide en funksjon til en Taylor-serie å finne en serie slik at for enhver XX

La oss skrive Taylors formel i formen hvor

Legg merke til det
definerer feilen vi får, erstatte funksjonen f(x) polynom S n (x).

Hvis
, Det
,de. funksjonen utvides til en Taylor-serie. Omvendt, hvis
, Det
.

Dermed beviste vi kriterium for nedbrytbarheten til en funksjon i en Taylor-serie.

For funksjonenf(x) utvides til en Taylor-serie, er det nødvendig og tilstrekkelig at på dette intervallet
, HvorR n (x) er resten av Taylor-serien.

Ved å bruke det formulerte kriteriet kan man få tilstrekkeligbetingelser for nedbrytbarheten til en funksjon i en Taylor-serie.

Hvis inoe nabolag til punkt x 0 de absolutte verdiene til alle deriverte av funksjonen er begrenset til det samme tallet M≥ 0, dvs.

, To i dette nabolaget utvides funksjonen til en Taylor-serie.

Av ovenstående følger det algoritmefunksjon utvidelse f(x) i Taylor-serien i nærheten av et punkt X 0 :

1. Finne deriverte av funksjoner f(x):

f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (n) (x),...

2. Beregn verdien av funksjonen og verdiene av dens deriverte ved punktet X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f"(x 0 ), f'"(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Vi skriver formelt Taylor-serien og finner konvergensområdet til den resulterende potensserien.

4. Vi kontrollerer oppfyllelsen av tilstrekkelige betingelser, d.v.s. vi etablerer for hvilket X fra konvergensregionen, restledd R n (x) har en tendens til null som
eller
.

Utvidelsen av funksjoner til en Taylor-serie ved hjelp av denne algoritmen kalles utvidelse av en funksjon til en Taylor-serie per definisjon eller direkte nedbrytning.

16.1. Utvidelse av elementære funksjoner til Taylor-serier og

Maclaurin

La oss vise at hvis en vilkårlig funksjon er definert på et sett
, i nærheten av punktet
har mange deriverte og er summen av en potensserie:

så kan du finne koeffisientene til denne serien.

La oss erstatte i en kraftserie
. Deretter
.

La oss finne den første deriverte av funksjonen
:

På
:
.

For den andre deriverte får vi:

På
:
.

Fortsetter denne prosedyren n når vi får:
.

Dermed fikk vi en potensserie av formen:

som kalles ved siden av Taylor for funksjon
i nærheten av punktet
.

Et spesielt tilfelle av Taylor-serien er Maclaurin-serien på
:

Resten av Taylor (Maclaurin)-serien oppnås ved å forkaste hovedserien n første medlemmer og er betegnet som
. Deretter funksjonen
kan skrives som en sum n første medlemmer av serien
og resten
:,

Resten er vanligvis
uttrykt i forskjellige formler.

En av dem er i Lagrange-form:

, Hvor
.
.

Merk at i praksis brukes Maclaurin-serien oftere. Altså, for å skrive funksjonen
i form av en potensseriesum er det nødvendig:

1) finn koeffisientene til Maclaurin (Taylor)-serien;

2) finn konvergensområdet til den resulterende potensserien;

3) bevis at denne serien konvergerer til funksjonen
.

Teorem1 (en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for konvergens av Maclaurin-serien). La radius av konvergens av serien
. For at denne serien skal konvergere i intervallet
å fungere
, er det nødvendig og tilstrekkelig for at betingelsen skal være oppfylt:
i det angitte intervallet.

Teorem 2. Hvis derivater av hvilken som helst rekkefølge av funksjonen
i et eller annet intervall
begrenset i absolutt verdi til samme tall M, det er
, så i dette intervallet funksjonen
kan utvides til en Maclaurin-serie.

Eksempel1 . Utvid i en Taylor-serie rundt punktet
funksjon.

Løsning.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Konvergensregion
.

Eksempel2 . Utvid en funksjon i en Taylor-serie rundt et punkt
.

Løsning:

Finn verdien av funksjonen og dens deriverte ved
.

,
;

...........……………………………

,
.

La oss sette disse verdiene på rad. Vi får:

eller
.

La oss finne konvergensområdet til denne serien. I følge d'Alemberts test konvergerer en serie hvis

Derfor, for evt denne grensen er mindre enn 1, og derfor vil konvergensområdet for serien være:
.

La oss vurdere flere eksempler på Maclaurin-seriens utvidelse av grunnleggende elementære funksjoner. Husk at Maclaurin-serien:

konvergerer på intervallet
å fungere
.

Merk at for å utvide en funksjon til en serie er det nødvendig:

a) finn koeffisientene til Maclaurin-serien for denne funksjonen;

b) beregne konvergensradius for den resulterende serien;

c) bevise at den resulterende rekken konvergerer til funksjonen
.

Eksempel 3. Vurder funksjonen
.

Løsning.

La oss beregne verdien av funksjonen og dens deriverte ved
.

Da har de numeriske koeffisientene til serien formen:

for alle n. La oss erstatte de funnet koeffisientene i Maclaurin-serien og få:

La oss finne konvergensradiusen til den resulterende serien, nemlig:

Derfor konvergerer serien på intervallet
.

Denne serien konvergerer til funksjonen for eventuelle verdier , fordi på et hvilket som helst intervall
funksjon og dens absolutte verdiderivater er begrenset i antall .

Eksempel4 . Vurder funksjonen
.

Løsning.

Det er lett å se at derivater av jevn rekkefølge
, og derivatene er av oddetall. La oss erstatte de funnet koeffisientene i Maclaurin-serien og få utvidelsen:

La oss finne konvergensintervallet til denne serien. I følge d'Alemberts tegn:

for alle . Derfor konvergerer serien på intervallet
.

Denne serien konvergerer til funksjonen
, fordi alle dens derivater er begrenset til enhet.

Eksempel5 .
.

Løsning.

La oss finne verdien av funksjonen og dens deriverte ved
:

Dermed er koeffisientene til denne serien:
Og
, derav:

I likhet med forrige rad, konvergensområdet
. Serien konvergerer til funksjonen
, fordi alle dens derivater er begrenset til enhet.

Vær oppmerksom på at funksjonen
odde- og serieutvidelse i oddetall, funksjon
– jevn og utvidelse til en serie med jevne styrker.

Eksempel6 . Binomial serie:
.

Løsning.

La oss finne verdien av funksjonen og dens deriverte ved
:

Av dette kan man se at:

La oss erstatte disse koeffisientverdiene i Maclaurin-serien og få utvidelsen av denne funksjonen til en potensserie:

La oss finne konvergensradiusen til denne serien:

Derfor konvergerer serien på intervallet
. Ved grensepunktene kl
Og
en serie kan eller ikke kan konvergere avhengig av eksponenten
.

Den studerte serien konvergerer på intervallet
å fungere
, altså summen av serien
på
.

Eksempel7 . La oss utvide funksjonen i Maclaurin-serien
.

Løsning.

For å utvide denne funksjonen til en serie bruker vi binomialserien på
. Vi får:

Basert på egenskapen til potensserier (en potensserie kan integreres i området for dens konvergens), finner vi integralet til venstre og høyre side av denne serien:

La oss finne konvergensområdet til denne serien:
,

det vil si at området for konvergens av denne serien er intervallet
. La oss bestemme konvergensen til serien ved enden av intervallet. På

. Denne serien er en harmonisk serie, det vil si at den divergerer. På
vi får en tallserie med et felles begrep
.

Serien konvergerer i henhold til Leibniz sin test. Dermed er konvergensområdet for denne serien intervallet
.

16.2. Anvendelse av effektserier i omtrentlige beregninger

I omtrentlige beregninger spiller potensserier en ekstremt viktig rolle. Med deres hjelp er det kompilert tabeller med trigonometriske funksjoner, logaritmertabeller, verditabeller for andre funksjoner, som brukes i ulike kunnskapsfelt, for eksempel i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. I tillegg er utvidelsen av funksjoner til en potensserie nyttig for deres teoretiske studie. Hovedproblemet ved bruk av potensserier i omtrentlige beregninger er spørsmålet om å estimere feilen når summen av en serie erstattes med summen av dens første n medlemmer.

La oss vurdere to tilfeller:

funksjonen utvides til en tegnvekslende serie;

funksjonen utvides til en serie med konstanttegn.

Beregning ved hjelp av alternerende serier

La funksjonen
utvidet til en vekslende kraftserie. Deretter når du beregner denne funksjonen for en bestemt verdi vi får en tallserie som vi kan anvende Leibniz-kriteriet på. I samsvar med dette kriteriet, hvis summen av en serie erstattes med summen av dens første n termer, så overskrider ikke den absolutte feilen den første termen i resten av denne serien, det vil si:
.

Eksempel8 . Regne ut
med en nøyaktighet på 0,0001.

Løsning.

Vi skal bruke Maclaurin-serien til
, erstatter vinkelverdien i radianer:

Hvis vi sammenligner første og andre ledd i serien med en gitt nøyaktighet, så: .

Tredje utvidelsesperiode:

mindre enn den angitte beregningsnøyaktigheten. Derfor å beregne
det er nok å forlate to termer av serien, altså

Dermed
.

Eksempel9 . Regne ut
med en nøyaktighet på 0,001.

Løsning.

Vi skal bruke binomialserieformelen. For å gjøre dette, la oss skrive
som:
.

I dette uttrykket
,

La oss sammenligne hver av termene i serien med nøyaktigheten som er spesifisert. Det er klart det
. Derfor å beregne
det er nok å forlate tre termer av serien.

eller
.

Beregning ved hjelp av positive serier

Eksempel10 . Beregn antall med en nøyaktighet på 0,001.

Løsning.

På rad for en funksjon
la oss erstatte
. Vi får:

La oss estimere feilen som oppstår når summen av en serie erstattes med summen av den første medlemmer. La oss skrive ned den åpenbare ulikheten:

altså 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

I henhold til problemet må du finne n slik at følgende ulikhet gjelder:
eller
.

Det er lett å sjekke at når n= 6:
.

Derfor,
.

Eksempel11 . Regne ut
med en nøyaktighet på 0,0001.

Løsning.

Merk at for å beregne logaritmer kan man bruke en serie for funksjonen
, men denne serien konvergerer veldig sakte og for å oppnå den gitte nøyaktigheten ville det være nødvendig å ta 9999 termer! Derfor, for å beregne logaritmer, brukes som regel en serie for funksjonen
, som konvergerer på intervallet
.