Utvid den periodiske funksjonen i en Fourier-serie 2n. Fourierrekker i eksempler og oppgaver

Fourierrekker av periodiske funksjoner med periode 2π.

Fourier-serien lar deg studere periodiske funksjoner ved å dekomponere dem i komponenter. Vekselstrømmer og spenninger, forskyvninger, hastighet og akselerasjon av sveivmekanismer og akustiske bølger er typiske praktiske eksempler på anvendelse av periodiske funksjoner i ingeniørberegninger.

Fourier-serieutvidelsen er basert på antakelsen om at alle funksjoner av praktisk betydning i intervallet -π ≤ x ≤ π kan uttrykkes som konvergerende trigonometriske serier (en serie anses som konvergent hvis sekvensen av delsummer som består av dens medlemmer konvergerer) :

Standard (=vanlig) notasjon gjennom summen av sinx og cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

hvor a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. er reelle konstanter, dvs.

Hvor, for området fra -π til π, beregnes koeffisientene til Fourier-serien med formlene:

Koeffisientene a o ,a n og b n kalles Fourier koeffisienter, og hvis de kan bli funnet, kalles serie (1). nær Fourier, tilsvarende funksjonen f(x). For serie (1) kalles begrepet (a 1 cosx+b 1 sinx) det første eller hoved munnspill,

En annen måte å skrive en serie på er å bruke relasjonen acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Der a o er en konstant, er c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 amplitudene til de forskjellige komponentene, og er lik a n \ u003d arctg a n /b n.

For serie (1) kalles begrepet (a 1 cosx + b 1 sinx) eller c 1 sin (x + α 1) den første eller hoved munnspill,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) eller c 2 sin(2x+α 2) kalles andre harmoniske og så videre.

For å representere et komplekst signal nøyaktig, kreves vanligvis et uendelig antall termer. I mange praktiske problemer er det imidlertid tilstrekkelig å vurdere kun de første begrepene.

Fourierrekker av ikke-periodiske funksjoner med periode 2π.

Dekomponering av ikke-periodiske funksjoner.

Hvis funksjonen f(x) er ikke-periodisk, kan den ikke utvides i en Fourier-serie for alle verdier av x. Imidlertid er det mulig å definere en Fourier-serie som representerer en funksjon over et hvilket som helst område av bredden 2π.

Gitt en ikke-periodisk funksjon, kan man komponere en ny funksjon ved å velge f(x)-verdier innenfor et visst område og gjenta dem utenfor dette området med 2π-intervaller. Siden den nye funksjonen er periodisk med en periode på 2π, kan den utvides i en Fourier-serie for alle verdier av x. For eksempel er ikke funksjonen f(x)=x periodisk. Men hvis det er nødvendig å utvide den til en Fourier-serie på intervallet fra 0 til 2π, så konstrueres en periodisk funksjon med en periode på 2π utenfor dette intervallet (som vist i figuren nedenfor).

For ikke-periodiske funksjoner som f(x)=x, er summen av Fourier-serien lik verdien av f(x) på alle punkter i det gitte området, men den er ikke lik f(x) for punkter utenfor rekkevidden. For å finne Fourier-serien til en ikke-periodisk funksjon i området 2π, brukes samme formel for Fourier-koeffisientene.

Partall og odde funksjoner.

De sier funksjonen y=f(x) til og med hvis f(-x)=f(x) for alle verdier av x. Grafer av jevne funksjoner er alltid symmetriske om y-aksen (det vil si at de er speilvendt). To eksempler på partallsfunksjoner: y=x 2 og y=cosx.

De sier at funksjonen y=f(x) merkelig, hvis f(-x)=-f(x) for alle verdier av x. Grafer av odde funksjoner er alltid symmetriske om opprinnelsen.

Mange funksjoner er verken partall eller rare.

Fourier-serieutvidelse i kosinus.

Fourierserien til en jevn periodisk funksjon f(x) med periode 2π inneholder bare cosinusledd (dvs. inneholder ikke sinusledd) og kan inkludere et konstantledd. Følgelig

hvor er koeffisientene til Fourier-serien,

Fourier-serien til en odde periodisk funksjon f(x) med periode 2π inneholder bare ledd med sinus (dvs. inneholder ikke ledd med cosinus).

Følgelig

hvor er koeffisientene til Fourier-serien,

Fourierserie på halvsyklus.

Hvis en funksjon er definert for et område, for eksempel 0 til π, og ikke bare 0 til 2π, kan den utvides til en serie bare i form av sinus eller bare i form av cosinus. Den resulterende Fourier-serien kalles nær Fourier på en halv syklus.

Hvis du ønsker å få en nedbrytning Fourier på halvsyklus i kosinus funksjoner f(x) i området fra 0 til π, så er det nødvendig å komponere en jevn periodisk funksjon. På fig. nedenfor er funksjonen f(x)=x bygget på intervallet fra x=0 til x=π. Siden den jevne funksjonen er symmetrisk om f(x)-aksen, tegner vi linjen AB, som vist i fig. under. Hvis vi antar at utenfor det betraktede intervallet, er den resulterende trekantformen periodisk med en periode på 2π, så har den endelige grafen formen, display. i fig. under. Siden det er nødvendig å få Fourier-utvidelsen i cosinus, som før, beregner vi Fourier-koeffisientene a o og a n

Hvis du trenger å få sinus halvsyklus Fourier-utvidelse funksjon f(x) i området fra 0 til π, så er det nødvendig å komponere en oddetall periodisk funksjon. På fig. nedenfor er funksjonen f(x)=x bygget på intervallet fra x=0 til x=π. Siden den odde funksjonen er symmetrisk med hensyn til opprinnelsen, konstruerer vi linjen CD, som vist i fig. Hvis vi antar at utenfor det betraktede intervallet, er det mottatte sagtannsignalet periodisk med en periode på 2π, så har den endelige grafen formen vist i fig. Siden det er nødvendig å oppnå Fourier-utvidelsen på en halvsyklus når det gjelder sinus, som før, beregner vi Fourier-koeffisienten. b

Fourier-serier for et vilkårlig intervall.

Utvidelse av en periodisk funksjon med periode L.

Den periodiske funksjonen f(x) gjentas når x øker med L, dvs. f(x+L)=f(x). Overgangen fra de tidligere betraktede funksjonene med periode 2π til funksjoner med periode L er ganske enkel, siden den kan gjøres ved hjelp av en endring av variabel.

For å finne Fourier-serien til funksjonen f(x) i området -L/2≤x≤L/2, introduserer vi en ny variabel u slik at funksjonen f(x) har en periode på 2π i forhold til u. Hvis u=2πx/L, så er x=-L/2 for u=-π og x=L/2 for u=π. La også f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Fourierserien F(u) har formen

(Integrasjonsgrenser kan erstattes av et hvilket som helst intervall med lengde L, for eksempel fra 0 til L)

Fourierrekker på en halvsyklus for funksjoner gitt i intervallet L≠2π.

For substitusjonen u=πx/L tilsvarer intervallet fra x=0 til x=L intervallet fra u=0 til u=π. Derfor kan funksjonen utvides til en serie bare når det gjelder cosinus eller bare når det gjelder sinus, dvs. i Fourierserie på halv syklus.

Utvidelsen i cosinus i området fra 0 til L har formen

Hvordan sette inn matematiske formler på nettstedet?

Hvis du noen gang trenger å legge til en eller to matematiske formler på en nettside, er den enkleste måten å gjøre dette på som beskrevet i artikkelen: matematiske formler settes enkelt inn på nettstedet i form av bilder som Wolfram Alpha genererer automatisk. I tillegg til enkelhet, vil denne universelle metoden bidra til å forbedre synligheten til nettstedet i søkemotorer. Det har fungert lenge (og jeg tror det vil fungere for alltid), men det er moralsk utdatert.

Hvis du stadig bruker matematiske formler på nettstedet ditt, anbefaler jeg at du bruker MathJax, et spesielt JavaScript-bibliotek som viser matematisk notasjon i nettlesere som bruker MathML, LaTeX eller ASCIIMathML-markering.

Det er to måter å begynne å bruke MathJax på: (1) ved hjelp av en enkel kode kan du raskt koble et MathJax-skript til nettstedet ditt, som automatisk lastes fra en ekstern server til rett tid (liste over servere); (2) last opp MathJax-skriptet fra en ekstern server til serveren din og koble det til alle sidene på nettstedet ditt. Den andre metoden er mer kompleks og tidkrevende og vil tillate deg å øke hastigheten på lasting av sidene på nettstedet ditt, og hvis den overordnede MathJax-serveren blir midlertidig utilgjengelig av en eller annen grunn, vil dette ikke påvirke ditt eget nettsted på noen måte. Til tross for disse fordelene, valgte jeg den første metoden, da den er enklere, raskere og ikke krever tekniske ferdigheter. Følg mitt eksempel, og innen 5 minutter vil du kunne bruke alle funksjonene til MathJax på nettstedet ditt.

Du kan koble til MathJax-biblioteksskriptet fra en ekstern server ved å bruke to kodealternativer hentet fra MathJax hovednettsted eller fra dokumentasjonssiden:

Ett av disse kodealternativene må kopieres og limes inn i koden til nettsiden din, helst mellom taggene og eller rett etter taggen . I henhold til det første alternativet laster MathJax raskere og bremser siden mindre. Men det andre alternativet sporer og laster automatisk de nyeste versjonene av MathJax. Hvis du setter inn den første koden, må den oppdateres med jevne mellomrom. Hvis du limer inn den andre koden, vil sidene lastes saktere, men du trenger ikke å overvåke MathJax-oppdateringer konstant.

Den enkleste måten å koble MathJax på er i Blogger eller WordPress: i nettstedets kontrollpanel, legg til en widget som er utformet for å sette inn tredjeparts JavaScript-kode, kopier den første eller andre versjonen av lastekoden ovenfor inn i den, og plasser widgeten nærmere begynnelsen av malen (forresten, dette er ikke nødvendig i det hele tatt, siden MathJax-skriptet lastes asynkront). Det er alt. Lær nå MathML-, LaTeX- og ASCIIMathML-markeringssyntaksen, og du er klar til å bygge inn matematiske formler på nettsidene dine.

Enhver fraktal er bygget i henhold til en bestemt regel, som konsekvent brukes et ubegrenset antall ganger. Hver slik tid kalles en iterasjon.

Den iterative algoritmen for å konstruere en Menger-svamp er ganske enkel: den originale kuben med side 1 er delt av plan parallelt med flatene i 27 like terninger. En sentral kube og 6 terninger ved siden av den langs ansiktene fjernes fra den. Det viser seg et sett bestående av 20 gjenværende mindre kuber. Gjør vi det samme med hver av disse kubene, får vi et sett bestående av 400 mindre terninger. Hvis vi fortsetter denne prosessen på ubestemt tid, får vi Menger-svampen.

Mange prosesser som skjer i naturen og teknologien har egenskapen til å gjenta seg selv med jevne mellomrom. Slike prosesser kalles periodiske og er matematisk beskrevet av periodiske funksjoner. Disse funksjonene inkluderer synd(x) , cos(x) , synd(wx), cos(wx) . Summen av to periodiske funksjoner, for eksempel en funksjon av formen , generelt, er ikke lenger periodisk. Men det kan vises at dersom forholdet w 1 / w 2 er et rasjonelt tall, så er denne summen en periodisk funksjon.

De enkleste periodiske prosessene - harmoniske oscillasjoner - beskrives av periodiske funksjoner synd(wx) og cos(wx). Mer komplekse periodiske prosesser er beskrevet av funksjoner som er sammensatt enten av en endelig eller et uendelig antall ledd av formen synd(wx) og cos(wx).

3.2. trigonometrisk serie. Fourier koeffisienter

Tenk på en funksjonell serie av skjemaet:

Denne raden kalles trigonometrisk; tall en 0 , b 0 , en 1 , b 1 ,en 2 , b 2 …, en n , b n ,… kalt koeffisienter trigonometrisk serie. Serie (1) er ofte skrevet som følger:

. (2)

Siden medlemmene av den trigonometriske serien (2) har en felles periode
, så er summen av rekken, hvis den konvergerer, også en periodisk funksjon med periode
.

La oss anta at funksjonen f(x) er summen av denne serien:

. (3)

I dette tilfellet sies funksjonen å være f(x) utvides til en trigonometrisk serie. Forutsatt at denne serien konvergerer jevnt over intervallet
, kan du bestemme koeffisientene ved formlene:

,
,
. (4)

Koeffisientene til rekken bestemt av disse formlene kalles Fourier koeffisienter.

Den trigonometriske rekken (2), hvis koeffisienter bestemmes av Fourier-formlene (4), kalles nær Fourier tilsvarende funksjonen f(x).

Således, hvis den periodiske funksjonen f(x) er summen av en konvergent trigonometrisk serie, så er denne serien dens Fourier-serie.

3.3. Fourier-serien konvergens

Formler (4) viser at Fourier-koeffisientene kan beregnes for et hvilket som helst intervall som er integrerbart

-periodisk funksjon, dvs. for en slik funksjon kan man alltid komponere en Fourier-serie. Men vil denne serien konvergere til funksjonen f(x) og under hvilke forhold?

Husk at funksjonen f(x), definert på segmentet [ en; b] , kalles stykkevis glatt hvis den og dens deriverte har høyst et begrenset antall diskontinuitetspunkter av den første typen.

Følgende teorem gir tilstrekkelige betingelser for utvidelse av en funksjon til en Fourier-serie.

Dirichlets teorem. La
-periodisk funksjon f(x) er stykkevis glatt på
. Deretter konvergerer Fourier-serien til f(x) på hvert av dets kontinuitetspunkter og til verdien 0,5(f(x+0)+ f(x-0)) ved bristepunktet.

Eksempel 1.

Utvid funksjonen i en Fourier-serie f(x)= x, gitt på intervallet
.

Løsning. Denne funksjonen tilfredsstiller Dirichlet-betingelsene og kan derfor utvides til en Fourier-serie. Anvendelse av formler (4) og metoden for integrering av deler
, finner vi Fourier-koeffisientene:

Dermed Fourier-serien for funksjonen f(x) har en titt.

transkripsjon

1 UDDANNINGS- OG VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FØDERASJON NOVOSIBIRSK STATE UNIVERSITY FAKULTET FOR FYSISK R. K. Belkheeva FOURIER-SERIEN I EKSEMPLER OG OPPGAVER Veiledning Novosibirsk 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R. K. Fourier-serien i eksempler og oppgaver: Lærebok / Novosib. stat un-t. Novosibirsk, s. ISBN Opplæringen gir grunnleggende informasjon om Fourier-serier, gir eksempler for hvert emne som studeres. Et eksempel på bruk av Fourier-metoden for å løse problemet med tverrgående vibrasjoner av en streng analyseres i detalj. Illustrasjonsmateriale er gitt. Det er oppgaver for selvstendig løsning. Det er beregnet på studenter og lærere ved fakultetet for fysikk ved Novosibirsk State University. Publisert i henhold til vedtak fra Metodekommisjonen ved Det fysiske fakultet ved NSU. Anmelder Dr. fys.-matte. Vitenskaper. V. A. Aleksandrov ISBN c Novosibirsk State University, 211 c Belkheeva R. K., 211

3 1. Fourierserieutvidelse av en 2π-periodisk funksjon Definisjon. Fourierserien til funksjonen f(x) er funksjonsserien a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) hvor koeffisientene a n, b n beregnes av formlene: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Formler (2) (3) kalles Euler Fourier-formlene . Det faktum at funksjonen f(x) tilsvarer Fourier-serien (1) skrives som en formel f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) og de sier at høyre side av formel ( 4) er en formell serie Fourier-funksjoner f(x). Med andre ord betyr formel (4) bare at koeffisientene a n, b n finnes av formlene (2), (3). 3

4 Definisjon. En 2π-periodisk funksjon f(x) kalles stykkevis glatt hvis intervallet [, π] inneholder et begrenset antall punkter = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Fig. 1. Graf av funksjonen f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, for oddetall n, for partall n, f(x ) sin nxdx = fordi funksjonen f(x) er partall. Vi skriver den formelle Fourier-serien for funksjonen f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Finn ut om funksjonen f(x) er stykkevis jevn. Siden den er kontinuerlig, beregner vi bare grensene (6) ved endepunktene til intervallet x = ±π og ved bruddpunktet x = : og f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h Grensene eksisterer og er endelige, derfor er funksjonen stykkevis jevn. Ved den punktvise konvergenssetningen konvergerer Fourier-serien til tallet f(x) i hvert punkt, dvs. f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Figurene 2 og 3 viser karakteren til tilnærmingen av delsummene til Fourier-serien S n (x), hvor S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1, til funksjonen f(x) i intervallet [, π] . 6

7 Fig. Fig. 2. Graf av funksjonen f(x) med overlagrede grafer av delsummer S (x) = a 2 og S 1(x) = a 2 + a 1 cos x 3. Graf av funksjonen f (x) med en delsum graf overlagret på den S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Ved å erstatte i (7) x = får vi: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, hvorfra vi finner summen av tallrekken: = π2 8. Når vi kjenner summen av denne rekken, er det lett å finne følgende sum Vi har: S = ( ) S = ()= π S, derav S = π2 6, det vil si 1 n = π Summen av denne berømte serien ble først funnet av Leonhard Euler. Det finnes ofte i matematisk analyse og dens anvendelser. EKSEMPEL 2. Tegn en graf, finn Fourier-serien til funksjonen gitt av formelen f(x) = x for x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Fig. 4. Graf over funksjonen f(x) Funksjonen f(x) er kontinuerlig differensierbar på intervallet (, π). Ved punktene x = ±π har den endelige grenser (5): f() =, f(π) = π. I tillegg er det endelige grenser (6): f(+ h) f(+) lim = 1 og h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Derfor er f(x) stykkevis jevn funksjon. Siden funksjonen f(x) er oddetall, så er a n =. Koeffisientene b n finnes ved integrering av deler: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 )n+ en. n La oss komponere den formelle Fourier-serien til funksjonen 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =

10 I henhold til punktvis konvergensteoremet for en stykkevis jevn 2π-periodisk funksjon, konvergerer Fourier-serien til funksjonen f(x) til summen: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x hvis π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Fig. Fig. 6. Graf for funksjonen f(x) med grafen for partialsummen S 2 (x) overlagret. 7. Graf for funksjonen f(x) med grafen for partialsummen S 3 (x) 11 lagt over den

12 Fig. 8. Graf av funksjonen f(x) med grafen til partialsummen S 99 (x) overlagret. Vi bruker den oppnådde Fourier-serien for å finne summene av to tallrekker. Vi setter inn (8) x = π/2. Da 2 () +... = π 2, eller = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Vi fant enkelt summen av den velkjente Leibniz-serien. Setter vi x = π/3 i (8), finner vi () +... = π 2 3, eller (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 EKSEMPEL 3. Tegn en graf, finn Fourier-serien til funksjonen f(x) = sin x, forutsatt at den har en periode på 2π, og 1 regn ut summen av tallserien 4n 2 1. Løsning. Grafen til funksjonen f(x) er vist i fig. 9. Det er klart at f(x) = sin x er en kontinuerlig jevn funksjon med periode π. Men 2π er også perioden for funksjonen f(x). Ris. 9. Graf for funksjonen f(x) La oss beregne Fourier-koeffisientene. Alle b n = fordi funksjonen er partall. Ved å bruke trigonometriske formler beregner vi a n for n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 hvis n = 2k, = π n 2 1 hvis n = 2k

14 Denne beregningen lar oss ikke finne koeffisienten a 1 fordi ved n = 1 går nevneren til null. Derfor beregner vi koeffisienten a 1 direkte: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Siden f(x) er kontinuerlig differensierbar på (,) og (, π) og i punktene kπ, (k er et heltall), er det endelige grenser (5) og (6), konvergerer Fourier-serien til funksjonen til det ved hvert punkt: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. Graf for funksjonen f(x) med grafen for partialsummen S(x) lagt over den 14

15 Fig. Fig. 11. Graf for funksjonen f(x) med grafen for partialsummen S 1 (x) overlagret. Fig. 12. Graf for funksjonen f(x) med grafen for partialsummen S 2 (x) overlagret. 13. Graf for funksjonen f(x) med grafen for partialsummen S 99 (x) 15 lagt over den

16 1 Regn ut summen av tallserien. For å gjøre dette setter vi 4n 2 1 i (9) x =. Da er cosnx = 1 for alle n = 1, 2,... og derfor er 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. EKSEMPEL 4. La oss bevise at hvis en stykkevis jevn kontinuerlig funksjon f(x) tilfredsstiller betingelsen f(x π) = f(x) for alle x (dvs. er π-periodisk) , da a 2n 1 = b 2n 1 = for alle n 1, og omvendt, hvis a 2n 1 = b 2n 1 = for alle n 1, så er f(x) π-periodisk. Løsning. La funksjonen f(x) være π-periodisk. La oss beregne Fourier-koeffisientene a 2n 1 og b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x ) cos (2n 1)xdx. I det første integralet gjør vi endringen av variabel x = t π : f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 Ved å bruke det faktum at cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t og f(t π) = f(t), får vi: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Det er på samme måte bevist at b 2n 1 =. Omvendt, la a 2n 1 = b 2n 1 =. Siden funksjonen f(x) er kontinuerlig, har vi da, ved teoremet om representabiliteten til en funksjon i et punkt ved Fourier-serien, da f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), som betyr at f(x) er en π-periodisk funksjon. EKSEMPEL 5. La oss bevise at hvis en stykkevis jevn funksjon f(x) tilfredsstiller betingelsen f(x) = f(x) for alle x, så a = og a 2n = b 2n = for alle n 1, og omvendt , hvis a = a 2n = b 2n =, så f(x π) = f(x) for alle x. Løsning. La funksjonen f(x) tilfredsstille betingelsen f(x π) = f(x). La oss beregne Fourier-koeffisientene: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. I det første integralet gjør vi endringen av variabel x = t π. Da f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Ved å bruke det faktum at cos n(t π) = (1) n cosnt og f(t π) = f(t), får vi: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = if n partall, = 2 π f(t) cos nt dt, hvis n er oddetall. π Det er på samme måte bevist at b 2n =. Omvendt, la a = a 2n = b 2n =, for alle n 1. Siden funksjonen f(x) er kontinuerlig, tilfredsstiller dens Fourier-serie likheten f( ved hjelp av teoremet om representabiliteten til en funksjon i et punkt). x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). atten

19 Da = f(x π) = = = f(x). EKSEMPEL 6. La oss studere hvordan vi utvider funksjonen f(x) som er integrerbar på intervallet [, π/2] til intervallet [, π], slik at dens Fourier-serie har formen: a 2n 1 cos(2n 1) x. (1) Løsning. La grafen til funksjonen ha formen vist i fig. 14. Siden i serie (1) a = a 2n = b 2n = for alle n, følger det av eksempel 5 at funksjonen f(x) må tilfredsstille likheten f(x π) = f(x) for alle x. Denne observasjonen gir en måte å utvide funksjonen f(x) til intervallet [, /2] : f(x) = f(x+π), fig. 15. Fra det faktum at serie (1) bare inneholder cosinus, konkluderer vi med at den fortsatte funksjonen f (x) må være jevn (dvs. grafen må være symmetrisk om Oy-aksen), fig.

20 Fig. 14. Graf over funksjonen f(x) 15. Graf over fortsettelsen av funksjonen f(x) på intervallet [, /2] 2

21 Så den ønskede funksjonen har formen vist i fig. 16. Fig. 16. Graf over fortsettelsen av funksjonen f(x) på intervallet [, π] Oppsummering konkluderer vi med at funksjonen bør fortsettes som følger: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), det vil si intervall [π/2, π], grafen til funksjonen f(x) er sentralt symmetrisk om punktet (π/2,), og på intervallet [, π] er grafen dens symmetrisk om Oy-aksen. 21

22 GENERALISERING AV EKSEMPLER 3 6 La l >. Tenk på to forhold: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. Fra et geometrisk synspunkt betyr betingelse (a) at grafen til funksjonen f(x) er symmetrisk i forhold til den vertikale linjen x = l/2, og betingelse (b) at grafen f(x) er sentralt. symmetrisk med hensyn til punktet (l/2;) på aksen abscisse. Da er følgende utsagn sanne: 1) hvis funksjonen f(x) er partall og betingelse (a) er oppfylt, så er b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) hvis funksjonen f(x) er partall og betingelse (b) er oppfylt, så b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) hvis funksjonen f(x) er oddetall og betingelse (a) er oppfylt, så a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) hvis funksjonen f(x) er oddetall og betingelse (b) er oppfylt, så er a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. PROBLEMER I oppgave 1 7 tegn grafer og finn Fourier-serien for funksjonene, (forutsatt at de har en periode på 2π: hvis< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 ( 1 hvis /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Utvidelse av en funksjon gitt i intervallet [, π] bare i form av sinus eller kun i form av cosinus La en funksjon f være gitt i intervallet [, π]. For å utvide det i dette intervallet til en Fourier-serie, utvider vi først f inn i intervallet [, π] på en vilkårlig måte, og deretter bruker vi Euler Fourier-formlene. Vilkårligheten i fortsettelsen av en funksjon fører til at vi for samme funksjon f: [, π] R kan få forskjellige Fourierrekker. Men det er mulig å bruke denne vilkårligheten på en slik måte at man oppnår en utvidelse bare i sinus eller bare i cosinus: i det første tilfellet er det tilstrekkelig å fortsette f på en merkelig måte, og i det andre på en jevn måte. Løsningsalgoritme 1. Fortsett funksjonen på en oddetall (partall) måte på (,), og deretter periodisk med en periode på 2π fortsett funksjonen til hele aksen. 2. Regn ut Fourier-koeffisientene. 3. Komponer Fourier-serien til funksjonen f(x). 4. Sjekk betingelsene for konvergens av serien. 5. Spesifiser funksjonen som denne serien skal konvergere til. EKSEMPEL 7. Utvid funksjonen f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Fig. 17. Graf over den fortsatte funksjonen. Det er klart at funksjonen f (x) er stykkevis jevn. La oss beregne Fourier-koeffisientene: a n = for alle n fordi funksjonen f (x) er oddetall. Hvis n 1, så er b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1 hvis n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n hvis n = 2k. π n 2 1 For n = 1 i de foregående beregningene forsvinner nevneren, slik at koeffisienten b 1 kan beregnes direkte.

26 I hovedsak: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Komponer Fourier-serien til funksjonen f (x): f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Siden funksjonen f (x) er stykkevis glatt, konvergerer Fourier-serien til funksjonen f (x) ved hjelp av punktvis konvergensteoremet til summen cosx hvis π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Fig. Fig. 18. Graf for funksjonen f (x) med grafen for partialsummen S 1 (x) overlagret. 19. Grafen for funksjonen f(x) med grafen for partialsummen S 2 (x) lagt over den 27

28 Fig. Fig. 2. Graf for funksjonen f (x) med grafen for partialsummen S 3 (x) overlagret. 21 viser grafer for funksjonen f (x) og dens delsum S 99 (x). Ris. 21. Graf av funksjonen f (x) med en graf av delsummen S 99 (x) 28 lagt over den

29 EKSEMPEL 8. La oss utvide funksjonen f(x) = e ax, a >, x [, π], i en Fourier-serie kun i cosinus. Løsning. Vi fortsetter funksjonen på en jevn måte til (,) (dvs. slik at likheten f(x) = f(x) gjelder for alle x (, π)), og deretter periodisk med en periode på 2π til hele den reelle akser. Vi får funksjonen f (x), hvis graf er vist i fig. 22. Funksjon f (x) ved punkter 22. Grafen til den fortsatte funksjonen f (x) x = kπ, k er et heltall, har knekk. La oss beregne Fourier-koeffisientene: b n =, siden f (x) er partall. Ved integrering etter deler får vi 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2a πa (e πa ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2 a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Derfor er a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Siden f (x) er kontinuerlig, konvergerer dens Fourier-serie i henhold til punktvis konvergensteoremet til f (x). For alle x [, π] har vi derfor f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Figurer viser den gradvise tilnærmingen av delsummene til Fourier-serien til en gitt diskontinuerlig funksjon. 3

31 Fig. 23. Grafer over funksjonene f (x) og S (x) 24. Grafer over funksjonene f (x) og S 1 (x) 25. Grafer over funksjonene f (x) og S 2 (x) 26. Grafer over funksjonene f (x) og S 3 (x) 31

32 Fig. 27. Grafer over funksjonene f (x) og S 4 (x) 28. Grafer over funksjonene f (x) og S 99 (x) OPPGAVE 9. Utvid funksjonen f (x) = cos x, x π, i en Fourier-serie kun i cosinus. 1. Utvid funksjonen f (x) \u003d e ax, a >, x π, i en Fourier-serie bare når det gjelder sinus. 11. Utvid funksjonen f (x) \u003d x 2, x π, i en Fourier-serie bare i sinus. 12. Utvid funksjonen f (x) \u003d sin ax, x π, i en Fourier-serie kun når det gjelder cosinus. 13. Utvid funksjonen f (x) \u003d x sin x, x π, i en Fourier-serie bare i sinus. Svar 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Hvis a ikke er et heltall, så er sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; hvis a = 2m er et partall, så sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; hvis a = 2m 1 er et positivt oddetall, så er sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Fourierrekker av en funksjon med en vilkårlig periode Anta at funksjonen f(x) er definert i intervallet [ l, l], l >. Ved å erstatte x = ly, y π, får vi funksjonen g(y) = f(ly/π) definert i intervallet π [, π]. Denne funksjonen g(y) tilsvarer den (formelle) Fourier-serien () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny), hvis koeffisienter er funnet av Euler Fourier-formlene: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cosny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π l, får vi en litt modifisert trigonometrisk serie for funksjonen f(x): hvor f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2 ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Formler (11) (13) sies å definere utvidelse i en Fourier-serie av en funksjon med en vilkårlig periode. EKSEMPEL 9. Finn Fourier-serien til funksjonen gitt i intervallet (l, l) ved uttrykket ( A hvis l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = hvis n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn Komponer Fourier-serien til funksjonen f (x) : f(x) A + B π (B A Siden cosπn = (1) n, så er n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l for n = 2k får vi b n = b 2k =, for n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1).

36 Derav f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l I følge punktvis konvergenssetningen er Fourier-serien til funksjonen f(x) konvergerer til summen A, hvis l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Fig. 29. Graf for funksjonen f (x) med overlagrede grafer for harmoniske S (x) = a 2 og S 1 (x) = b 1 sinx. For klarhetens skyld er grafene til de tre høyere harmoniske S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx, S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l og S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx forskjøvet vertikalt opp l 37

38 Fig. Fig. 3. Graf av funksjonen f(x) med grafen for partialsummen S 99 (x) overlagret. 31. Fragment av fig. 3 i en annen skala 38

39 PROBLEMER Ved problemer utvides de spesifiserte funksjonene i Fourier-serier i gitte intervaller. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).( 2 1 hvis 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n) l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Kompleks form av Fourier-serien Dekomponering f(x) = c n e inx, hvor c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., kalles den komplekse formen av Fourier-serien. Funksjonen utvides til en kompleks Fourier-serie under de samme forholdene som den utvides til en ekte Fourier-serie. fire

41 EKSEMPEL 1. Finn Fourier-serien i kompleks form av funksjonen gitt av formelen f(x) = e ax i intervallet [, π), der a er et reelt tall. Løsning. La oss beregne koeffisientene: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Den komplekse Fourier-serien til funksjonen f har formen f(x) sh aπ π n= (1) n a i einx. La oss verifisere at funksjonen f(x) er stykkevis jevn: i intervallet (, π) er den kontinuerlig differensierbar, og i punktene x = ±π er det endelige grenser (5), (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Derfor kan funksjonen f(x) representeres av en Fourier-serie sh aπ π n= (1) n a i einx, som konvergerer til summen: ( e S(x) = ax if π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 EKSEMPEL 11. Finn Fourier-serien i kompleks og reell form av funksjonen gitt av formelen f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, hvor a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Husk at summen av en uendelig geometrisk progresjon med nevneren q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 La oss nå finne Fourier-serien i ekte form. For å gjøre dette grupperer vi leddene med tallene n og n for n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Siden c = 1, så er 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Dette er en Fourier-serie i den virkelige formen av funksjonen f(x). Dermed, uten å beregne et eneste integral, fant vi Fourier-serien til funksjonen. Ved å gjøre dette beregnet vi et hardt integral avhengig av parameteren cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (za)(za 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Vi utvider hver av de enkle brøkene i henhold til den geometriske progresjonsformelen: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Dette er mulig fordi az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, eller kortere sagt c n = 1 2i a n sgnn. Dermed er Fourier-serien i kompleks form funnet. Ved å gruppere ledd med tallene n og n får vi Fourier-serien til funksjonen i reell form: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. Igjen klarte vi å beregne følgende komplekse integral: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 OPPGAVE 24. Bruk (15), beregn integralet cos nxdx 1 2a cosx + a 2 for reell a, a > Bruk (16), beregn integralet sin x sin nxdx for reell a, a > a cosx + a2 I oppgaver , finn serien Fourier i kompleks form for funksjoner. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Lyapunovs likhetsteorem (Lyapunovs likhet). La en funksjon f: [, π] R være slik at f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Derfor har Lyapunov-likheten for funksjonen f(x) formen: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Fra den siste likheten for en π finner vi sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Forutsatt a = π 2, får vi sin2 na = 1 for n = 2k 1 og sin 2 na = for n = 2k. Derfor er k=1 1 (2k 1) 2 = π2 8. EKSEMPEL 14. La oss skrive Lyapunov-likheten for funksjonen f(x) = x cosx, x [, π], og bruke den til å finne summen av tallet serie (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Løsning. Direkte beregninger gir = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Siden f(x) er en jevn funksjon, så har vi for alle n b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 hvis n = 2k, 2 hvis n = 2k + 1. Koeffisienten a 1 må beregnes separat, siden i den generelle formelen for n = 1 forsvinner nevneren til brøken . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Dermed har Lyapunov-likheten for funksjonen f(x) formen: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π OPPGAVE 32. Skriv Lyapunov-likheten for funksjonen ( x f(x) = 2 πx hvis x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Svar + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, hvor c n er Fourierkoeffisienten 2π til f(x), og d n er Fourier-koeffisientfunksjonene g(x). 6. Differensiering av Fourierrekker La f: R R være en kontinuerlig differensierbar 2π-periodisk funksjon. Fourier-serien har formen: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Den deriverte f (x) av denne funksjonen vil være en kontinuerlig og 2π-periodisk funksjon, for hvilken en formell Fourier-serie kan skrives: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), hvor a, a n , b n, n = 1 , 2,... Fourierkoeffisienter til funksjonen f (x). 51

52 Teorem (om ledd-for-ledd differensiering av Fourier-rekker). Under forutsetningene ovenfor er likhetene a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 sanne EKSEMPEL 15. La en stykkevis jevn funksjon f(x) være kontinuerlig i intervallet [, π]. La oss bevise at når betingelsen f(x)dx = er oppfylt, gjelder ulikheten 2 dx 2 dx, kalt Steklovs ulikhet, og vi verifiserer at likhet i den er realisert bare for funksjoner av formen f(x) = A cosx. Med andre ord, Steklovs ulikhet gir betingelser hvor litenheten til den deriverte (i rms) innebærer funksjonens litenhet (i rms). Løsning. La oss utvide funksjonen f(x) til intervallet [, ] jevnt. Angi den utvidede funksjonen med det samme symbolet f(x). Da vil den fortsatte funksjonen være kontinuerlig og stykkevis jevn på intervallet [, π]. Siden funksjonen f(x) er kontinuerlig, er f 2 (x) kontinuerlig på intervallet og 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Siden den fortsatte funksjonen er partall, så er b n =, a = etter betingelse. Følgelig har Lyapunov-likheten formen 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) La oss forsikre oss om at f (x) tilfredsstiller konklusjonen av teoremet om ledd-for-ledd-differensiering av Fourier-serien, det vil si at a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. La den deriverte f (x) gjennomgå brudd i punktene x 1, x 2,..., x N i intervallet [, π]. Angi x =, x N+1 = π. La oss dele integrasjonsintervallet [, π] inn i N +1 intervaller (x, x 1),..., (x N, x N+1), hvor f(x) er kontinuerlig differensierbar. Deretter, ved å bruke additivitetsegenskapen til integralet og deretter integrere med deler, får vi: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x) ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= På samme måte får vi a n = nb n. Vi har vist at teoremet om ledd-for-ledd differensiering av Fourier-rekker for en kontinuerlig stykkevis jevn 2π-periodisk funksjon hvis deriverte i intervallet [, π] gjennomgår diskontinuiteter av den første typen er sann. Så f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, siden a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Fordi 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Siden hvert ledd i serien i (18) er større enn eller lik det tilsvarende leddet i serien i (17), så 2 dx 2 dx. Når vi husker at f(x) er en jevn fortsettelse av den opprinnelige funksjonen, har vi 2 dx 2 dx. Noe som beviser Steklov-likheten. La oss nå undersøke hvilke funksjoner likhet har i Steklovs ulikhet. Hvis for minst én n 2 er koeffisienten a n ikke null, så er a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 PROBLEMER 37. La en stykkevis jevn funksjon f(x) være kontinuerlig på intervallet [, π]. Bevis at under betingelsen f() = f(π) = ulikheten 2 dx 2 dx, også kalt Steklovs ulikhet, gjelder, og sørg for at likhet i den gjelder bare for funksjoner av formen f(x) = B sin x . 38. La en funksjon f være kontinuerlig i intervallet [, π] og ha i seg (med mulig unntak av bare et endelig antall punkter) en kvadratintegrerbar derivert f(x). Bevis at hvis betingelsene f() = f(π) og f(x) dx = er oppfylt, så gjelder ulikheten 2 dx 2 dx, kalt Wirtinger-ulikheten, og likheten i den finner kun sted for funksjoner av form f(x) = A cosx + B sinx. 56

57 7. Anvendelse av Fourier-serier for å løse partielle differensialligninger Når man studerer et reelt objekt (naturfenomener, produksjonsprosess, kontrollsystem, etc.), viser to faktorer seg å ha betydning: nivået av akkumulert kunnskap om objektet som studeres og graden av utvikling av det matematiske apparatet. På det nåværende stadiet av vitenskapelig forskning er følgende kjede utviklet: et fenomen en fysisk modell en matematisk modell. Den fysiske formuleringen (modellen) av problemet er som følger: betingelsene for utviklingen av prosessen og hovedfaktorene som påvirker den identifiseres. Den matematiske formuleringen (modellen) består i å beskrive faktorene og betingelsene som er valgt i den fysiske formuleringen i form av et likningssystem (algebraisk, differensial, integral osv.). Et problem sies å være godt stilt hvis løsningen av problemet eksisterer i et visst funksjonelt rom, unikt og kontinuerlig avhenger av start- og randbetingelsene. Den matematiske modellen er ikke identisk med objektet som vurderes, men er dens omtrentlige beskrivelse Utledning av ligningen av frie små tverrvibrasjoner av strengen Vi vil følge læreboken. La endene av strengen festes, og selve strengen stram. Hvis strengen tas ut av likevekt (for eksempel ved å trekke eller slå på den), vil strengen starte 57

58 nøl. Vi vil anta at alle punktene på strengen beveger seg vinkelrett på dens likevektsposisjon (tverrvibrasjoner), og at strengen i hvert øyeblikk ligger i samme plan. La oss ta et system med rektangulære koordinater xou i dette planet. Så, hvis på det første tidspunktet t = strengen var plassert langs aksen Ox, vil u bety avviket til strengen fra likevektsposisjonen, det vil si posisjonen til strengpunktet med abscissen x på et vilkårlig tidspunkt t tilsvarer verdien av funksjonen u(x, t). For hver fast verdi av t, representerer grafen til funksjonen u(x, t) formen på den vibrerende strengen på tidspunktet t (fig. 32). Ved en konstant verdi på x gir funksjonen u(x, t) bevegelsesloven til et punkt med abscissen x langs en rett linje parallelt med Ou-aksen, den deriverte u t er hastigheten til denne bevegelsen, og den andre derivat 2 u t 2 er akselerasjonen. Ris. 32. Krefter påført en uendelig liten del av en streng La oss skrive en ligning som funksjonen u(x, t) må tilfredsstille. For å gjøre dette gjør vi noen mer forenklede antakelser. Vi vil anta at strengen er absolutt fleksibel.

59 coy, det vil si at vi vil anta at strengen ikke motstår bøyning; dette betyr at spenningene som oppstår i strengen alltid er rettet tangentielt til dens momentane profil. Strengen antas å være elastisk og underlagt Hookes lov; dette betyr at endringen i størrelsen på strekkkraften er proporsjonal med endringen i lengden på strengen. La oss anta at strengen er homogen; dette betyr at dens lineære tetthet ρ er konstant. Vi neglisjerer ytre krefter. Dette betyr at vi vurderer frie svingninger. Vi vil kun studere små vibrasjoner av en streng. Hvis vi betegner med ϕ(x, t) vinkelen mellom abscisseaksen og tangenten til strengen i punktet med abscissen x på tidspunktet t, så er betingelsen for små svingninger at verdien av ϕ 2 (x, t) kan neglisjeres i sammenligning med ϕ (x, t), dvs. ϕ 2. Siden vinkelen ϕ er liten, så kan cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u, derfor verdien (u x x,) 2 også bli neglisjert. Det følger umiddelbart av dette at i prosessen med oscillasjon kan vi neglisjere endringen i lengden til en hvilken som helst seksjon av strengen. Faktisk, lengden på et stykke streng M 1 M 2 projisert inn i intervallet til x-aksen, hvor x 2 = x 1 + x, er lik l = x 2 x () 2 u dx x. x La oss vise at under våre forutsetninger vil verdien av strekkkraften T være konstant langs hele strengen. For å gjøre dette tar vi en del av strengen M 1 M 2 (fig. 32) ved tidspunkt t og erstatter handlingen til de kasserte delene

60 kov av strekkkreftene T 1 og T 2. Siden, i henhold til betingelsen, alle punkter på strengen beveger seg parallelt med Ou-aksen og det ikke er noen ytre krefter, er summen av projeksjonene av strekkkreftene på Ox-aksen må være lik null: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Derfor, på grunn av de små vinklene ϕ 1 = ϕ(x 1, t) og ϕ 2 = ϕ(x 2, t), konkluderer vi med at T 1 = T 2. Angi den generelle verdien av T 1 = T 2 av T. Nå beregner vi summen av projeksjoner F u av de samme kreftene på Ou-aksen: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Siden for små vinkler sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t), og tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x, kan ligning (2) skrives om som F u T (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Siden punktet x 1 er valgt vilkårlig, så F u T 2 u x2(x, t) x. Etter at alle kreftene som virker på seksjonen M 1 M 2 er funnet, bruker vi Newtons andre lov på den, ifølge hvilken produktet av masse og akselerasjon er lik summen av alle virkende krefter. Massen til et strengstykke M 1 M 2 er lik m = ρ l ρ x, og akselerasjonen er lik 2 u(x, t). Newtons t 2-ligning har formen: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, hvor α 2 = T ρ er et konstant positivt tall. 6

61 Reduserer vi med x, får vi 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) Som et resultat har vi oppnådd en lineær homogen partiell differensialligning av andre orden med konstante koeffisienter. Det kalles strengvibrasjonsligningen eller den endimensjonale bølgeligningen. Ligning (21) er i hovedsak en omformulering av Newtons lov og beskriver bevegelsen til en streng. Men i den fysiske formuleringen av problemet var det krav om at endene av strengen er faste og at posisjonen til strengen på et tidspunkt er kjent. Vi vil skrive disse betingelsene i ligninger som følger: a) vi vil anta at endene av strengen er fiksert i punktene x = og x = l, dvs. vi vil anta at for alle t relasjonene u(, t) = , u(l, t) = ; (22) b) vi vil anta at på tidspunktet t = posisjonen til strengen sammenfaller med grafen til funksjonen f(x), dvs. vi vil anta at for alle x [, l] er likheten u(x, ) = f( x); (23) c) vil vi anta at på tidspunktet t = punktet til strengen med abscissen x gis hastighet g(x), dvs. vi vil anta at u (x,) = g(x). (24) t Relasjoner (22) kalles grensebetingelser, og relasjoner (23) og (24) kalles initialbetingelser. Matematisk modell av fri liten tverrgående 61

62 strengvibrasjoner er at det er nødvendig å løse ligning (21) med grensebetingelser (22) og startbetingelser (23) og (24) Løsning av ligningen av frie små tverrvibrasjoner av strengen ved Fouriermetoden< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Setter vi inn (25) i (21), får vi: X T = α 2 X T, (26) eller T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Det sies at det har vært en separasjon av variabler. Siden x og t ikke er avhengige av hverandre, er ikke venstre side i (27) avhengig av x, men høyre side er ikke avhengig av t, og den totale verdien av disse forholdstallene er 62

63 må være konstant, som vi betegner med λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Derfor får vi to vanlige differensialligninger: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) I dette tilfellet har grensebetingelsene (22) formen X()T(t) = og X(l)T(t) =. Siden de må være oppfylt for alle t, t >, så X() = X(l) =. (3) La oss finne løsninger på ligning (28) som tilfredsstiller grensebetingelser (3). La oss vurdere tre tilfeller. Tilfelle 1: λ >. Angi λ = β 2. Ligning (28) har formen X (x) β 2 X(x) =. Dens karakteristiske ligning k 2 β 2 = har røtter k = ±β. Derfor har den generelle løsningen av ligning (28) formen X(x) = C e βx + De βx. Vi må velge konstantene C og D slik at grensebetingelsene (3) oppfylles, dvs. X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Siden β har dette ligningssystemet en unik løsning C = D =. Derfor X(x) og 63

64 u(x, t). I tilfelle 1 har vi altså fått en triviell løsning, som vi ikke vil vurdere nærmere. Tilfelle 2: λ =. Så har ligning (28) formen X (x) = og løsningen er åpenbart gitt av formelen: X(x) = C x+d. Ved å erstatte denne løsningen i grensebetingelsene (3), får vi X() = D = og X(l) = Cl =, derav C = D =. Derfor X(x) og u(x, t), og vi har igjen en triviell løsning. Tilfelle 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 I det følgende vil vi tilordne n bare positive verdier n = 1, 2,..., siden for negativ n vil løsninger av samme form (nπ) fås. Verdiene λ n = er kalt egenverdier, og funksjonene X n (x) = C n sin πnx egenfunksjonene til differensialligning (28) med grensebetingelser (3). La oss nå løse ligning (29). For ham har den karakteristiske ligningen formen k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Siden vi fant ut ovenfor at ikke-trivielle løsninger X(x) av ligning (28) eksisterer kun for negativ λ lik λ = n2 π 2, er det disse λ vi skal vurdere nedenfor. Røttene til ligning (32) er k = ±iα λ, og løsningene til ligning (29) har formen: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l hvor A n og B n er vilkårlige konstanter. Ved å erstatte formlene (31) og (33) i (25), finner vi spesielle løsninger av ligning (21) som tilfredsstiller grensebetingelsene (22): (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n sin pnx. l l l Ved å legge inn faktoren C n i parentes og introdusere notasjonen C n A n = b n og B n C n = a n, skriver vi u n (X, T) som (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt ) sin pnx. (34) l l l 65

66 Vibrasjonene til strengen som tilsvarer løsningene u n (x, t) kalles naturlige vibrasjoner av strengen. Siden ligning (21) og grensebetingelser (22) er lineære og homogene, vil en lineær kombinasjon av løsninger (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l være en løsning til ligning (21) som tilfredsstiller grensebetingelsene (22) med et spesielt valg av koeffisientene a n og b n, som sikrer ensartet konvergens av serien. Nå velger vi koeffisientene a n og b n til løsning (35) slik at den tilfredsstiller ikke bare grensebetingelsene, men også startbetingelsene (23) og (24), hvor f(x), g(x) er gitt funksjoner ( dessuten f() = f (l) = g() = g(l) =). Vi antar at funksjonene f(x) og g(x) tilfredsstiller Fourier-ekspansjonsbetingelsene. Ved å erstatte verdien t = i (35), får vi u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Ved å differensiere serier (35) med hensyn til t og erstatte t =, får vi u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), og dette er utvidelsen av funksjonene f(x) og g(x) inn i Fourier-serien. Derfor er a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnal (36) 66

67 Ved å erstatte uttrykkene for koeffisientene a n og b n i serier (35), får vi en løsning på ligning (21) som tilfredsstiller grensebetingelsene (22) og startbetingelsene (23) og (24). Dermed har vi løst problemet med frie små tverrvibrasjoner av en streng. La oss klargjøre den fysiske betydningen av egenfunksjonene u n (x, t) til problemet med frie vibrasjoner av en streng, definert av formel (34). La oss omskrive det slik at u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n Formel (37) viser at alle punktene på strengen utfører harmoniske svingninger med samme frekvens ω n = πnα og fase πnα δ n. Oscillasjonsamplituden avhenger av l l abscissen x til strengpunktet og er lik α n sin πnx. Med en slik svingning når alle punkter på strengen samtidig deres l maksimale avvik i en eller annen retning og passerer samtidig likevektsposisjonen. Slike svingninger kalles stående bølger. En stående bølge vil ha n + 1 faste punkter gitt av røttene til ligningen sin πnx = i intervallet [, l]. De faste punktene kalles nodene til den stående bølgen. I midten mellom nodene - l mi er punktene der avvikene når et maksimum; slike punkter kalles antinoder. Hver streng kan ha sine egne oscillasjoner med strengt definerte frekvenser ω n = πnα, n = 1, 2,.... Disse frekvensene kalles strengens naturlige frekvenser. Den laveste l-tonen som en streng kan produsere, bestemmes av seg selv 67

68 lav egenfrekvens ω 1 = π T og kalles grunntonen til strengen. De resterende tonene som tilsvarer l ρ frekvenser ω n, n = 2, 3,..., kalles overtoner eller harmoniske. For klarhetens skyld vil vi skildre de typiske profilene til en streng som avgir grunntonen (fig. 33), den første overtonen (fig. 34) og den andre overtonen (fig. 35). Ris. Fig. 33. Profil av strengen som avgir grunntonen. Fig. 34. Profil av en streng som sender ut den første overtonen. Fig. 35. Profil av en streng som sender ut en andre overtone Hvis strengen utfører frie vibrasjoner bestemt av startbetingelsene, er funksjonen u(x, t) representert, som man kan se av formel (35), som en sum av individuelle harmoniske. Dermed vilkårlig oscillasjon 68

Den 69. strengen er en superposisjon av stående bølger. I dette tilfellet vil naturen til strengens lyd (tone, lydstyrke, klang) avhenge av forholdet mellom amplitudene til individuelle harmoniske.. Styrke, tonehøyde og klang av lyden En vibrerende streng eksiterer luftvibrasjoner som oppfattes av mennesket øre som en lyd som sendes ut av en streng. Lydens styrke er preget av energien eller amplituden til vibrasjoner: jo større energi, desto større styrke har lyden. Tonehøyden til en lyd bestemmes av dens frekvens eller svingeperiode: jo høyere frekvens, jo høyere lyd. Lydens klang bestemmes av tilstedeværelsen av overtoner, fordelingen av energi over harmoniske, dvs. metoden for eksitering av vibrasjoner. Amplitudene til overtonene er generelt sett mindre enn amplituden til grunntonen, og fasene til overtonene kan være vilkårlige. Øret vårt er ikke følsomt for svingningsfasen. Sammenlign for eksempel de to kurvene i fig. 36, lånt fra . Dette er et opptak av lyd med samme grunntone, hentet fra klarinetten (a) og pianoet (b). Begge lydene er ikke enkle sinusformede oscillasjoner. Grunnfrekvensen til lyden i begge tilfeller er den samme, og dette skaper samme tone. Men kurvemønstrene er forskjellige fordi forskjellige overtoner er lagt over grunntonen. På en måte viser disse tegningene hva klang er. 69

RUSSLANDS UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education MATI Russian State Technological University oppkalt etter K. E. Tsiolkovsky

Federal Agency for Education Federal State Educational Institute of Higher Professional Education SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodisk

Utdanningsdepartementet i Republikken Hviterussland Vitebsk State Technological University Emne. "Rows" Institutt for teoretisk og anvendt matematikk. utviklet av Assoc. E.B. Dunina. Hoved

Forelesning 4. Harmonisk analyse. Fourierserien Periodiske funksjoner. Harmonisk analyse I vitenskap og teknologi må man ofte forholde seg til periodiske fenomener, dvs. de som gjentar seg gjennom

MOSKVA STATE TEKNISK UNIVERSITET FOR SIVIEL LUFTFART V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov

INNHOLD Fourierserie 4 Konseptet med en periodisk funksjon 4 Trigonometrisk polynom 6 3 Ortogonale funksjonssystemer 4 Trigonometriske Fourierrekker 3 5 Fourierrekker for partalls- og oddetallsfunksjoner 6 6 Dekomponering

DEFINITIV INTEGRAL. Integral summer og bestemt integral La en funksjon y = f () definert på segmentet [, b ], hvor< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

SERIETEORI Serieteorien er den viktigste komponenten i matematisk analyse og finner både teoretiske og mange praktiske anvendelser. Skille mellom numeriske og funksjonelle serier.

TEMA V FOURIER-SERIEN FOREDRAG 6 Utvidelse av en periodisk funksjon i en Fourier-serie Mange prosesser som forekommer i naturen og teknologien har egenskapene til å gjentas med visse intervaller Slike prosesser

6 Fourierrekker 6 Ortogonale funksjonssystemer Fourierrekker i form av et ortogonalt funksjonssystem Funksjonene ϕ () og ψ (), definerte og integrerbare på segmentet [, ], kalles ortogonale på dette segmentet hvis

Federal Agency for Railway Transport Ural State University of Railway Transport Department "Higher and Applied Mathematics" N. P. Chuev Elements of Harmonic Analysis Methodical

Hviterussisk statsuniversitet FAKULTET FOR ANVENDT MATEMATIKK OG INFORMASJONSVITENSKAP Institutt for høyere matematikk Læremiddel for studenter ved fakultetet for anvendt matematikk og informatikk

Forklaringer til teksten: tegnet leses som "ekvivalent" og betyr at likningene til høyre for tegnet og til venstre for tegnet har samme sett med løsninger, tegnet IR betegner settet med reelle tall, tegnet I

LIGNINGER AV MATEMATISK FYSIKK 1. Partielle differensialligninger

1 2 Innholdsfortegnelse 1 Fourierserie 5 1.1 Trigonometrisk Fourierserie .................. 5 1.2 Kun sin & cos ............. ............ 7 1.3 Fourierrekker i kompleks form............. 11 1,4 f(x) = c k?......... ......

82 4. Del 4. Funksjons- og effektserier 4.2. Leksjon 3 4.2. Leksjon 3 4.2.. Taylor-utvidelse av en funksjon DEFINISJON 4.2.. La funksjonen y = f(x) være uendelig differensierbar i noen nabolag

Forelesning 8 4 Sturm-Liouville problem

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I RUSSIA FEDERAL STATE BUDGETARY EDUCATIONAL EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION "SAMARA STATE TECHNICAL UNIVERSITY" Institutt for anvendt matematikk

Integrerbarhet av en funksjon (ifølge Riemann) og et bestemt integral Eksempler på problemløsning 1. Konstantfunksjonen f(x) = C er integrerbar på , siden for alle partisjoner og ethvert valg av punkter ξ i integralet

METODOLOGISKE INSTRUKSJONER FOR BEREGNINGSOPPGAVE PÅ KURS I HØYERE MATEMATIKK "ORDINÆRE DIFFERENSIALLIGNINGER SERIE DOBBELT INTEGRALER" DEL III TEMASERIE Innhold Serie Numerisk serie Konvergens og divergens

RADER. Talllinjer. Grunnleggende definisjoner La en uendelig rekkefølge av tall gis Uttrykket (uendelig sum) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= kalles en nummerserie. Tall

Tittel Introduksjon. Grunnleggende begreper.... 4 1. Volterra-integralligninger... 5 Leksealternativer.... 8 2. Oppløsningsevne for Volterra-integralligningen. 10 leksealternativer.... 11

Forelesning 3 Taylor- og Maclaurin-serier Anvendelse av potensserier Utvidelse av funksjoner til potensserier Taylor- og Maclaurin-serier For applikasjoner er det viktig å kunne utvide en gitt funksjon til en potensserie, disse funksjonene

35 7 Trigonometrisk Fourierrekke Fourierrekker for periodiske funksjoner med periode T. La f(x) være en stykkevis kontinuerlig periodisk funksjon med periode T. Betrakt det grunnleggende trigonometriske systemet

SPISE. MATEMATISK ANALYSE. NUMERISK OG FUNKSJONELL SERIE NOVOSIBIRSK 200 2 RUSSISK UDDANNINGS- OG VITENSKAPSDEPARTEMENT SEI HPE "NOVOSIBIRSK STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY" E.M. Rudoy MATEMATISK ANALYSE.

Jeg selvfølgelig, oppgave. Bevis at Riemann-funksjonen, hvis 0, m m R(), hvis, m, m 0, og brøken er irreduserbar, 0, hvis irrasjonell, er diskontinuerlig ved hvert rasjonelt punkt og kontinuerlig ved hvert irrasjonelt. Løsning.

1. Elektrostatikk 1 1. Elektrostatikk Leksjon 6 Separasjon av variabler i kartesiske koordinater 1.1. (Oppgave 1.49) Z = planet er ladet med tetthet σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), hvor σ, α, β er konstanter.

Ch Potensrekke a a a En rekke av formen a a a a a () kalles en potensrekke, der, a, er konstanter, kalt koeffisientene til rekken. Noen ganger vurderes en potensrekke av en mer generell form: a a (a) a ( a) a (a) (), hvor

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Forelesning Fourier transform Konsept for integral transformasjon Metoden for integral transformasjoner er en av de kraftige metodene i matematisk fysikk og er en kraftig løsning

Differensialregning Introduksjon til matematisk analyse Sekvens- og funksjonsgrense. Avsløring av usikkerhet innenfor. Funksjonsderivat. Differensieringsregler. Anvendelse av derivatet

FOREDRAG N 7 .Kraft

Det metallurgiske fakultet Institutt for høyere matematikk

9. Antiderivert og ubestemt integral 9.. La funksjonen f() gis på intervallet I R. Funksjonen F () kalles antiderivertefunksjonen f() på intervallet I, hvis F () = f() for en hvilken som helst I, og antideriverten

Moskva institutt for fysikk og teknologi (State University) O.V. Besov TRIGONOMETRIC FOURIER SERIES Lærehjelp Moskva, 004 Kompilert av O.V.Besov UDC 517. Trigonometrisk serie

8. Potensrekke 8.. En funksjonell rekke av formen c n (z) n, (8.) n= hvor c n er en tallsekvens, R er et fast tall, og z R kalles en potensrekke med koeffisienter c n . Ved å endre variablene

Institutt for matematikk og informatikk Elementer i høyere matematikk Utdannings- og metodologisk kompleks for studenter på videregående yrkesutdanning som studerer ved bruk av fjernteknologi Modul Differensialregning Satt sammen av:

1. Bestemt integral 1.1. La f være en avgrenset funksjon definert på segmentet [, b] R. En partisjon av segmentet [, b] er et sett med punkter τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] slik at = x< x 1 < < x n 1

SPØRSMÅL OG TYPISKE OPPGAVER til avsluttende eksamen i faget "Matematisk analyse" Anvendt matematikk Ved muntlig eksamen får studenten to teoretiske spørsmål og to oppgaver Totalt 66 spørsmål pr.

Modul Emne Funksjonssekvenser og serier Egenskaper for enhetlig konvergens av sekvenser og serier Effektserier Forelesning Definisjoner av funksjonssekvenser og serier Ensartet

~ ~ Ubestemte og bestemte integraler Konseptet med antiderivative og ubestemte integraler. Definisjon: En funksjon F kalles en antiderivert med hensyn til en funksjon f hvis disse funksjonene er relatert som følger

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i den russiske føderasjonen Federal State Budgetary Education Institute of Higher Professional Education "Siberian State Industrial University"

KVADRATISKE LIGNINGER

EKSEMPLER PÅ MILITÆR UTDANNING OG VITENSKAPLIG SENTER FOR LUFTVÅPET "AIR FORCE ACADEMY oppkalt etter professor N. E. ZHUKOVSKY og Yu. A. GAGARIN"

FORBUNDSBYRÅ FOR UTDANNING STATLIG UTDANNINGSINSTITUSJON FOR HØYERE PROFESJONELL UTDANNELSE Moscow State University of Instrument Engineering and Informatics Department of Higher

Kapittel 5. Fourier-serien 5 .. Leksjon 5 5 ... Grunnleggende definisjoner En funksjonell serie av formen a 2 + (a k cos x + b k si x) (5 ..) kalles en trigonometrisk

Fourier-serien Ortogonale funksjonssystemer Fra et algebras synspunkt betyr likheten hvor er funksjoner av en gitt klasse og er koeffisienter fra R eller C ganske enkelt at vektoren er en lineær kombinasjon av vektorer B

3724 SERIE AV MULTIPLE OG KRUVILINERE INTEGRALER 1 ARBEIDSPROGRAM AV SEKSJONER "SERIEN AV MULTIPLE OG KURVILINEÆRE INTEGRALER" 11 Nummerserie Konseptet med en tallserie Egenskaper til tallserier Et nødvendig kriterium for konvergens

DIFFERENSIERING AV FUNKSJONER TIL EN VARIABEL Begrepet en derivert, dens geometriske og fysiske betydning Problemer som fører til konseptet av en derivert Definisjon av Tangent S til linjen y f (x) i punktet A x ; f(

DIFFERENSIALLIGNINGER 1. Grunnleggende begreper En differensialligning med hensyn til en funksjon er en ligning som forbinder denne funksjonen med dens uavhengige variabler og med dens deriverte.

VANLIGE DIFFERENSIALLIGNINGER AV FØRSTE ORDEN Grunnleggende begreper En differensialligning er en likning der en ukjent funksjon kommer inn under det deriverte eller differensialtegnet.

DIFFERENSIALLIGNINGER Generelle begreper Differensialligninger har mange og svært forskjellige anvendelser innen mekanikk, fysikk, astronomi, teknologi og i andre grener av høyere matematikk (f.eks.

Funksjonell serie Funksjonell serie dens sum og areal av funksjonelle o La en sekvens av funksjoner k (k 1) gis i området Δ av reelle eller komplekse tall

SYSTEMER AV ORTOGONALE POLYNOMIER OG DERES APPLIKASJONER A. Chebyshev-Hermite polynomer

Forelesninger utarbeidet av førsteamanuensis Musina MV Definisjon Uttrykk for formen Numerisk og funksjonell serie Tallserie: grunnleggende begreper (), hvor det kalles en tallserie (eller bare en serie) Tall, medlemmer av en serie (avhenger av