Er en stykkevis gitt funksjon diskontinuerlig. Bestemme relevansen av arbeidet

Stykkevise funksjoner er funksjonene gitt forskjellige formler på forskjellige numeriske intervaller. For eksempel,

Denne notasjonen betyr at verdien av funksjonen beregnes med formelen √x når x er større enn eller lik null. Når x er mindre enn null, bestemmes verdien av funksjonen av formelen –x 2 . For eksempel, hvis x = 4, så er f(x) = 2, fordi i denne saken ved å bruke rotformelen. Hvis x \u003d -4, så f (x) \u003d -16, siden i dette tilfellet brukes formelen - x 2 (først kvadrerer vi det, så tar vi hensyn til minus).

For å plotte en slik stykkevis funksjon, plotter vi først to ulike funksjoner uavhengig av verdien av x (det vil si på hele talllinjen i argumentet). Etter det blir bare de delene som tilhører de tilsvarende x-områdene tatt fra de oppnådde grafene. Disse delene av grafene er kombinert til én. Det er klart at i enkle saker du kan tegne deler av grafene samtidig, og utelate den foreløpige tegningen av deres "fullstendige" alternativer.

For eksempelet ovenfor, for formelen y = √x, får vi følgende graf:

Her kan ikke x i prinsippet ta negative verdier(dvs. det radikale uttrykket i dette tilfellet kan ikke være negativt). Derfor vil hele grafen til ligningen y = √x gå inn i grafen til den stykkevise funksjonen.

La oss plotte funksjonen f(x) = –x 2 . Vi får en invertert parabel:

I dette tilfellet tar vi inn i den stykkevise funksjonen bare den delen av parabelen som x tilhører intervallet (–∞; 0). Resultatet er et plott av en stykkevis funksjon:

Tenk på et annet eksempel:

Grafen til funksjonen f(x) = (0,6x - 0,5) 2 - 1,7 vil være en modifisert parabel. Grafen f(x) = 0,5x + 1 er en rett linje:

I en stykkevis funksjon kan x ta verdier i begrensede områder: fra 1 til 5 og fra -5 til 0. Grafen vil bestå av to separate deler. Vi tar en del på intervallet fra parabelen, den andre - på intervallet [–5; 0] fra den rette linjen:

Kontinuitet og grafisk fremstilling av stykkevis definerte funksjoner − vanskelig tema. Det er bedre å lære å bygge grafer direkte i en praktisk leksjon. Her vises i hovedsak studien om kontinuitet.

Det er kjent at elementær funksjon(se s. 16) er kontinuerlig på alle punkter der den er definert. Derfor er diskontinuiteten i elementære funksjoner kun mulig på to typer punkter:

a) på punkter hvor funksjonen er "overstyrt";

b) på punkter der funksjonen ikke eksisterer.

Følgelig kontrolleres kun slike punkter for kontinuitet under studiet, som vist i eksemplene.

For ikke-elementære funksjoner er studiet vanskeligere. For eksempel er en funksjon (heltallsdelen av et tall) definert på hele talllinjen, men får et brudd ved hvert heltall x. Spørsmål som dette er utenfor omfanget av denne veiledningen.

Før du studerer stoffet bør du gjenta fra en forelesning eller lærebok hva (hva slags) pausepunkter er.

Utredning av stykkevis gitte funksjoner for kontinuitet

Funksjonssett stykkevis, hvis det er gitt av forskjellige formler i forskjellige deler av definisjonsdomenet.

Hovedideen i studiet av slike funksjoner er å finne ut om funksjonen er definert på de punktene hvor den omdefineres, og hvordan. Deretter sjekkes det om verdiene til funksjonen til venstre og til høyre for slike punkter er de samme.

Eksempel 1 La oss vise at funksjonen
kontinuerlige.

Funksjon
er elementær og derfor kontinuerlig på punktene der den er definert. Men det er åpenbart definert på alle punkter. Derfor er den kontinuerlig på alle punkter, inkludert kl
, som kreves av betingelsen.

Det samme gjelder funksjonen
, og kl
den er kontinuerlig.

I slike tilfeller kan kontinuitet kun brytes der funksjonen omdefineres. I vårt eksempel er dette poenget
. La oss sjekke det, som vi finner grensene for til venstre og høyre:

Grensene til venstre og høyre er de samme. Det gjenstår å se:

a) om funksjonen er definert på selve punktet
;

b) i så fall stemmer det?
med grenseverdier til venstre og høyre.

Etter betingelse, hvis
, deretter
. Derfor
.

Vi ser det (alle er lik tallet 2). Dette betyr at på punktet
funksjonen er kontinuerlig. Så funksjonen er kontinuerlig på hele aksen, inkludert punktet
.

Løsningsmerknader

a) Det spilte ingen rolle i beregningene, erstatning vi er i en bestemt tallformel
eller
. Dette er vanligvis viktig når man skal dele med en uendelig verdi, da det påvirker uendelighetstegnet. Her
og
kun ansvarlig for funksjonsvalg;

b) som regel betegnelser
og
er like, gjelder det samme for betegnelsene
og
(og er sant for ethvert punkt, ikke bare for
). I det følgende, for korthets skyld, bruker vi notasjoner av formen
;

c) når grensene til venstre og høyre er like, for å teste for kontinuitet, gjenstår det faktisk å se om en av ulikhetene slapp. I eksemplet viste dette seg å være den 2. ulikheten.

Eksempel 2 Vi undersøker funksjonens kontinuitet
.

Av samme grunner som i eksempel 1 kan kontinuitet bare brytes på punktet
. La oss sjekke:

Grensene til venstre og høyre er like, men på selve punktet
funksjonen er ikke definert (ulikheter er strenge). Det betyr at
- punktum reparerbar gap.

"Fjernbar diskontinuitet" betyr at det er nok enten å gjøre noen av ulikhetene ikke-strenge, eller å finne på et eget punkt
funksjon, hvis verdi ved
er -5, eller bare angi det
slik at hele funksjonen
ble kontinuerlig.

Svar: punktum
– knekkepunkt.

Merknad 1. I litteraturen betraktes vanligvis et uttakbart gap som et spesialtilfelle av et gap av 1. type, men studenter blir oftere forstått som egen type mellomrom. For å unngå uoverensstemmelser, vil vi følge det første synspunktet, og vi vil spesifikt fastsette det "ufjernbare" gapet av den første typen.

Eksempel 3 Sjekk om funksjonen er kontinuerlig

På punktet

Grensene til venstre og høyre er forskjellige:
. Hvorvidt funksjonen er definert eller ikke
(ja) og i så fall det som er lik (er lik 2), punkt
–punkt med uavvikelig diskontinuitet av 1. slag.

På punktet
fortsette siste hopp(fra 1 til 2).

Svar: punktum

Merknad 2. I stedet for
og
vanligvis skrive
og
hhv.

Tilgjengelig spørsmål: hvordan er funksjonene forskjellige

og
,

og også deres diagrammer? Ikke sant svar:

a) 2. funksjon er ikke definert ved punkt
;

b) på grafen til den 1. funksjonen, punktet
"malt over", på graf 2 - nei ("punktert punkt").

Punktum
hvor grafen slutter
, er ikke skyggelagt på begge tomtene.

Det er vanskeligere å studere funksjoner som er definert annerledes på tre tomter.

Eksempel 4 Er funksjonen kontinuerlig?
?

Akkurat som i eksempel 1 - 3, hver av funksjonene
,
og er kontinuerlig på hele den numeriske aksen, inkludert seksjonen den er gitt på. Gapet er bare mulig på punktet
eller (og) på punktet
hvor funksjonen overstyres.

Oppgaven er delt inn i 2 deloppgaver: å undersøke funksjonens kontinuitet

og
,

dessuten poenget
ikke av interesse for funksjonen
, og poenget
- for funksjonen
.

1. trinn. Sjekker poenget
og funksjon
(vi skriver ikke indeksen):

Grensene stemmer overens. Etter betingelse,
(hvis grensene til venstre og høyre er like, så er funksjonen faktisk kontinuerlig når en av ulikhetene ikke er streng). Så på punktet
funksjonen er kontinuerlig.

2. trinn. Sjekker poenget
og funksjon
:

Fordi det
, punktum
er et diskontinuitetspunkt av 1. slag, og verdien
(og om det eksisterer i det hele tatt) spiller ingen rolle lenger.

Svar: funksjonen er kontinuerlig på alle punkter bortsett fra punktet
, hvor det er en uopprettelig diskontinuitet av den første typen - et hopp fra 6 til 4.

Eksempel 5 Finn funksjonsbruddpunkter
.

Vi handler på samme måte som i eksempel 4.

1. trinn. Sjekker poenget
:

en)
, fordi til venstre for
funksjonen er konstant og lik 0;

b) (
er en jevn funksjon).

Grensene er de samme, men
funksjonen er ikke definert av betingelsen, og det viser seg at
– knekkepunkt.

2. trinn. Sjekker poenget
:

en)
;

b)
- Verdien av funksjonen er ikke avhengig av variabelen.

Grensene er forskjellige: , punktum
er poenget med uløselig diskontinuitet av den første typen.

Svar:
- bruddpunkt,
er et punkt med uløselig diskontinuitet av 1. type, på andre punkter er funksjonen kontinuerlig.

Eksempel 6 Er funksjonen kontinuerlig?
?

Funksjon
bestemt kl
, så tilstanden
blir en tilstand
.

På den annen side, funksjonen
bestemt kl
, dvs. på
. Så tilstanden
blir en tilstand
.

Det viser seg at betingelsen må være oppfylt
, og definisjonsdomenet for hele funksjonen er segmentet
.

Selve funksjonene
og
er elementære og derfor kontinuerlige på alle punkter der de er definert - spesielt og for
.

Det gjenstår å sjekke hva som skjer på punktet
:

en)
;

Fordi det
, se om funksjonen er definert på punktet
. Ja, den 1. ulikheten er ikke streng mht
, og det er nok.

Svar: funksjonen er definert på intervallet
og kontinuerlig på den.

Mer komplekse tilfeller, når en av de inngående funksjonene er ikke-elementær eller ikke definert på noe punkt i sitt segment, ligger utenfor håndbokens omfang.

NF1. Plot funksjonsgrafer. Vær oppmerksom på om funksjonen er definert på det tidspunktet den er redefinert, og i så fall hva er verdien av funksjonen (ordet " hvis" er utelatt i funksjonsdefinisjonen for korthet):

1) a)
b)
i)
G)

2) a)
b)
i)
G)

3) a)
b)
i)
G)

4) a)
b)
i)
G)

Eksempel 7 La
. Så på siden
bygge en horisontal linje
, og på tomten
bygge en horisontal linje
. I dette tilfellet, punktet med koordinater
"guttet ut" og prikken
"malt over". På punktet
en diskontinuitet av 1. slag («hopp») oppnås, og
.

NF2. Undersøk for kontinuitet funksjonene definert forskjellig med 3 intervaller. Tegn grafene:

1) a)
b)
i)

G)
e)
e)

2) a)
b)
i)

G)
e)
e)

3) a)
b)
i)

G)
e)
e)

Eksempel 8 La
. Plassering på
bygge en rett linje
, som vi finner
og
. Se sammenhengen
og
segmentet. Vi tar ikke med selve punktene, siden for
og
funksjonen er ikke definert av betingelsen.

Plassering på
og
sirkle OX-aksen (på den
), men poengene
og
"slått ut". På punktet
vi oppnår en fjernbar diskontinuitet, og på punktet
– diskontinuitet av 1. slag («hopp»).

NF3. Plott funksjonsgrafene og sørg for at de er kontinuerlige:

1) a)
b)
i)

G)
e)
e)

2) a)
b)
i)

G)
e)
e)

NF4. Sørg for at funksjonene er kontinuerlige og bygg grafene deres:

1) a)
b)
i)

2 a)
b)
i)

3) a)
b)
i)

NF5. Plot funksjonsgrafer. Vær oppmerksom på kontinuitet:

1) a)
b)
i)

G)
e)
e)

2) a)
b)
i)

G)
e)
e)

3) a)
b)
i)

G)
e)
e)

4) a)
b)
i)

G)
e)
e)

5) a)
b)
i)

G)
e)
e)

NF6. Plott grafer av diskontinuerlige funksjoner. Legg merke til verdien av funksjonen på punktet der funksjonen er redefinert (og om den eksisterer):

1) a)
b)
i)

G)
e)
e)

2) a)
b)
i)

G)
e)
e)

3) a)
b)
i)

G)
e)
e)

4) a)
b)
i)

G)
e)
e)

5) a)
b)
i)

G)
e)
e)

NF7. Samme oppgave som i NF6:

1) a)
b)
i)

G)
e)
e)

2) a)
b)
i)

G)
e)
e)

3) a)
b)
i)

G)
e)
e)

4) a)
b)
i)

G)
e)
e)

Virkelige prosesser som skjer i naturen kan beskrives ved hjelp av funksjoner. Så vi kan skille to hovedtyper av flyten av prosesser som er motsatte av hverandre - disse er gradvis eller kontinuerlige og krampaktig(et eksempel kan være en ball som faller og spretter tilbake). Men hvis det er diskontinuerlige prosesser, er det spesielle midler for deres beskrivelse. For dette formålet settes funksjoner som har diskontinuiteter, hopp i sirkulasjon, det vil si at i forskjellige deler av den numeriske linjen oppfører funksjonen seg i henhold til forskjellige lover og følgelig gitt av forskjellige formler. Begrepene diskontinuitetspunkter og fjernbar diskontinuitet introduseres.

Du har sikkert allerede sett funksjoner definert av flere formler, avhengig av verdiene til argumentet, for eksempel:

y \u003d (x - 3, med x\u003e -3;
(-(x - 3), for x< -3.

Slike funksjoner kalles stykkevis eller stykkevis. Deler av nummerlinjen med forskjellige jobbformler, la oss ringe bestanddeler domene. Foreningen av alle komponenter er domenet til den stykkevise funksjonen. De punktene som deler domenet til en funksjon i komponenter kalles grensepunkter. Formler som definerer en stykkevis funksjon på hvert konstituerende definisjonsdomene kalles innkommende funksjoner. Grafer stykkevise funksjoner oppnås som et resultat av å kombinere deler av grafene bygget på hvert av partisjonsintervallene.

Øvelser.

Konstruer grafer av stykkevise funksjoner:

1) (-3, med -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0, for x = 0,
(1, ved 0< x ≤ 5.

Grafen til den første funksjonen er en rett linje som går gjennom punktet y = -3. Den utgår fra punktet med koordinatene (-4; -3), går parallelt med abscisseaksen til punktet med koordinatene (0; -3). Grafen til den andre funksjonen er et punkt med koordinater (0; 0). Den tredje grafen ligner den første - det er en rett linje som går gjennom punktet y \u003d 1, men allerede i området fra 0 til 5 langs Ox-aksen.

Svar: figur 1.

2) (3 hvis x ≤ -4,
f(x) = (|x 2 - 4|x| + 3| hvis -4< x ≤ 4,
(3 - (x - 4) 2 hvis x > 4.

Vurder hver funksjon separat og plott grafen.

Så f(x) = 3 er en rett linje parallelt med Ox-aksen, men den må bare tegnes i området der x ≤ -4.

Grafen til funksjonen f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| kan hentes fra parabelen y \u003d x 2 - 4x + 3. Etter å ha bygget sin graf, må delen av figuren som ligger over Ox-aksen forbli uendret, og delen som ligger under abscisseaksen må vises symmetrisk i forhold til okseaksen. Vis deretter symmetrisk den delen av grafen hvor
x ≥ 0 om Oy-aksen for negativ x. Grafen oppnådd som et resultat av alle transformasjoner er bare igjen i området fra -4 til 4 langs abscissen.

Grafen til den tredje funksjonen er en parabel, hvis grener er rettet nedover, og toppunktet er i punktet med koordinatene (4; 3). Tegningen er kun avbildet i området hvor x > 4.

Svar: figur 2.

3) (8 - (x + 6) 2 hvis x ≤ -6,
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8| hvis -6 ≤ x< 5,
(3 hvis x ≥ 5.

Konstruksjonen av den foreslåtte stykkevis gitte funksjonen ligner på forrige avsnitt. Her er grafene til de to første funksjonene hentet fra parabeltransformasjoner, og grafen til den tredje er en rett linje parallelt med Ox.

Svar: figur 3.

4) Tegn funksjonen y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Løsning. Domenet til denne funksjonen er alle reelle tall unntatt null. La oss åpne modulen. For å gjøre dette, vurder to tilfeller:

1) For x > 0 får vi y = x - x + (x - 1 - 1) 2 = (x - 2) 2 .

2) For x< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

Dermed har vi en stykkevis gitt funksjon:

y = ((x - 2) 2, for x > 0;
( x 2 + 2x, for x< 0.

Grafene til begge funksjonene er parabler, hvis grener er rettet oppover.

Svar: figur 4.

5) Tegn funksjonen y = (x + |x|/x – 1) 2 .

Løsning.

Det er lett å se at domenet til funksjonen er alle reelle tall unntatt null. Etter å ha utvidet modulen får vi en stykkevis gitt funksjon:

1) For x > 0 får vi y = (x + 1 - 1) 2 = x 2 .

2) For x< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

La oss skrive om.

y \u003d (x 2, for x\u003e 0;
((x – 2) 2 , for x< 0.

Grafene til disse funksjonene er parabler.

Svar: figur 5.

6) Er det en funksjon hvis graf er koordinatplan Det har felles poeng med noen linje?

Løsning.

Ja det er.

Et eksempel kan være funksjonen f(x) = x 3 . Faktisk skjærer grafen til den kubiske parabelen den vertikale linjen x = a ved punktet (a; a 3). La nå den rette linjen gis av ligningen y = kx + b. Så ligningen
x 3 - kx - b \u003d 0 har en reell rot x 0 (siden et polynom med oddetall alltid har minst en reell rot). Derfor skjærer grafen til funksjonen den rette linjen y \u003d kx + b, for eksempel ved punktet (x 0; x 0 3).

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Grafer stykkevis - gitt funksjoner

Murzalieva T.A. matematikklærer MBOU "Borskaya videregående omfattende skole» Boksitogorsk-distriktet Leningrad-regionen

Mål:

• mestre den lineære spline-metoden for å plotte grafer som inneholder modulen;
• lære å bruke det i enkle situasjoner.

Under spline(fra engelsk spline - bar, rail) forstår vanligvis en stykkevis gitt funksjon.

Slike funksjoner har vært kjent for matematikere i lang tid, fra Euler (1707-1783, sveitsisk, tysk og russisk matematiker), men deres intensive studie begynte faktisk først på midten av 1900-tallet.

I 1946 Isaac Schoenberg (1903-1990, rumensk og amerikansk matematiker) først brukte dette begrepet. Siden 1960, med utviklingen av datateknologi, begynte bruken av splines i datagrafikk og modellering.

en . Introduksjon

2. Definisjon av en lineær spline

3. Moduldefinisjon

4. Grafer

5. Praktisk jobb

Et av hovedformålene med funksjoner er beskrivelsen av virkelige prosesser som forekommer i naturen.

Men siden antikken har forskere - filosofer og naturforskere skilt to typer prosesser: gradvis ( kontinuerlige ) og krampaktig.

Når en kropp faller til bakken, den første kontinuerlig stigning bevegelsesfart , og i kollisjonsøyeblikket med bakken hastigheten svinger , blir null eller endre retning (tegn) når kroppen "spretter" fra bakken (for eksempel hvis kroppen er en ball).

Men siden det er diskontinuerlige prosesser, er det nødvendig med midler for deres beskrivelser. Til dette formålet introduseres funksjoner som har pauser .

a - formel y = h(x), og vi vil anta at hver av funksjonene g(x) og h(x) er definert for alle verdier av x og har ingen diskontinuiteter. Så hvis g(a) = h(a), så har funksjonen f(x) et hopp ved x=a; hvis g(a) = h(a) = f(a), så har den "kombinerte" funksjonen f ingen diskontinuiteter. Hvis begge funksjonene g og h er elementære, kalles f stykkevis elementær. "width="640"

• En måte å introdusere slike diskontinuiteter på neste:

La funksjon y = f(x)

på x definert av formelen y = g(x),

og kl xa - formel y = h(x), og vi vil vurdere at hver av funksjonene g(x) og h(x) er definert for alle x-verdier og har ingen pauser.

Deretter , hvis g(a) = h(a), deretter funksjonen f(x) har kl x=a hoppe;

hvis g(a) = h(a) = f(a), deretter "kombinert" funksjonen f har ingen pauser. Hvis begge funksjoner g og h elementær, deretter f kalles stykkevis elementært.

Grafer kontinuerlige funksjoner

Tegn funksjonen:

Y = |X-1| +1

X=1 - endringspunkt for formler

Ord "modul" kom fra latinsk ord"modul", som betyr "mål" i oversettelse.

modulo nummer en kalt avstand (i enkeltsegmenter) fra opprinnelsen til punkt A ( en) .

Denne definisjonen avslører geometrisk sans modul.

modul (absolutt verdi ) ekte nummer en ringte samme nummer en≥ 0, og motsatt tall -en hvis en

0 eller x=0 y = -3x -2 for x "width="640"

Tegn en funksjon y = 3|x|-2.

Per definisjon av modulen har vi: 3x - 2 for x0 eller x=0

-3x -2 ved x

x n) "width="640"

. La x 1 X 2 X n er endringspunkter for formler i stykkevis elementære funksjoner.

En funksjon f definert for alle x kalles stykkevis lineær hvis den er lineær på hvert intervall

og dessuten er samsvarsbetingelsene oppfylt, det vil si at ved endringspunktene for formler lider ikke funksjonen av en diskontinuitet.

Kontinuerlig stykkevis lineær funksjon kalt lineær spline . Henne rute det er brutt linje med to uendelige endelenker – venstre (tilsvarer x n ) og riktig ( tilsvarende x x n )

En stykkevis elementær funksjon kan defineres med mer enn to formler

Tidsplan - brutt linje med to uendelige ekstremlenker - den venstre (x1).

Y=|x| - |x – 1|

Formelbyttepunkter: x=0 og x=1.

Y(0)=-1, y(1)=1.

Det er praktisk å bygge en graf av en stykkevis lineær funksjon, peker på koordinatplanet polyline toppunkter.

I tillegg til å bygge n topper skal bygge også to prikker : en til venstre for toppen EN 1 ( x 1; y ( x 1)), den andre - til høyre for toppen An ( xn ; y ( xn )).

Merk at en diskontinuerlig stykkevis lineær funksjon ikke kan representeres som en lineær kombinasjon av moduler av binomialer .

Tegn en funksjon y = x+ |x -2| - |X|.

En kontinuerlig stykkevis lineær funksjon kalles en lineær spline

1. Formelbyttepunkter: X-2=0, X=2 ; X=0

2. La oss lage en tabell:

Y( 0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;

y( 2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;

på (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;

y( 3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .

Tegn funksjonen y = |x+1| +|x| – |х -2|.

1 . Skjemaendringspunkter:

x+1=0, x=-1 ;

x=0 ; x-2=0, x=2.

2 . La oss lage en tabell:

y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;

y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;

y(0)=1+0-2=-1;

y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;

y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.

|x – 1| = |x + 3|

Løs ligningen:

Løsning. Tenk på funksjonen y = |x -1| - |x +3|

La oss bygge en graf av funksjonen / ved å bruke den lineære splinemetoden /

• Formelbyttepunkter:

x-1 = 0, x = 1; x + 3 = 0, x = - 3.

2. La oss lage en tabell:

y(- 4) =|- 4–1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4;

y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;

y( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;

y(-1) = 0.

y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4.

Svar: -1.

1. Konstruer grafer av stykkevise lineære funksjoner ved å bruke den lineære splinemetoden:

y = |x – 3| + |x|;

1). Formelbyttepunkter:

2). La oss lage en tabell:

2. Bygg grafer over funksjoner ved å bruke CMC "Live Mathematics »

MEN) y = |2x – 4| + |x +1|

1) Formelbyttepunkter:

2) y() =

B) Bygg funksjonsgrafer, etablere et mønster :

a) y = |x – 4| b) y = |x| +1

y = |x + 3| y = |x| - 3

y = |x – 3| y = |x| - 5

y = |x + 4| y = |x| + 4

Bruk verktøyene punkt, linje, pil på verktøylinjen.

1. Kartmeny.

2. Fanen "Bygg en graf".

.3. Skriv inn formelen i Kalkulator-vinduet.

Tegn funksjonen:

1) Y \u003d 2x + 4

1. Kozina M.E. Matte. 8-9 klassetrinn: en samling valgfrie emner. - Volgograd: Lærer, 2006.

2. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov og S. B. Suvorova. Algebra: lærebok. For 7 celler. allmennutdanning institusjoner / utg. S. A. Telyakovsky. – 17. utg. - M. : Opplysning, 2011

3. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov og S. B. Suvorova. Algebra: lærebok. For 8 celler. allmennutdanning institusjoner / utg. S. A. Telyakovsky. – 17. utg. - M. : Opplysning, 2011

4. Wikipedia, det frie leksikonet

http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline