T. Kosyakova,
skole N№ 80, Krasnodar

Løsning av andregrads- og brøkrasjonale ligninger som inneholder parametere

Leksjon 4

Leksjonsemne:

Hensikten med leksjonen:å danne evnen til å løse brøk-rasjonelle ligninger som inneholder parametere.

Leksjonstype: introduksjon av nytt materiale.

1. (Munlig.) Løs ligningene:

Eksempel 1. Løs ligningen

Løsning.

Finn ugyldige verdier en:

Svar. Hvis en hvis en = – 19 , da er det ingen røtter.

Eksempel 2. Løs ligningen

Løsning.

Finn ugyldige parameterverdier en :

10 – en = 5, en = 5;

10 – en = en, en = 5.

Svar. Hvis en en = 5 en № 5 , deretter x=10– en .

Eksempel 3. Ved hvilke verdier av parameteren b ligningen Det har:

a) to røtter b) den eneste roten?

Løsning.

1) Finn ugyldige parameterverdier b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 eller b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 eller b = – 2.

2) Løs ligningen x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

en)

Ekskluderer ugyldige parameterverdier b , får vi at ligningen har to røtter, if b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, men dette er en ugyldig parameterverdi b ; hvis b 2 –1=0 , dvs. b=1 eller.

Svar: a) hvis b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , deretter to røtter; b) hvis b=1 eller b=-1 , da den eneste roten.

Selvstendig arbeid

valg 1

Løs ligningene:

Alternativ 2

Løs ligningene:

Svar

I 1. hva om en=3 , da er det ingen røtter; hvis b) hvis hvis en № 2 , da er det ingen røtter.

I 2. Hvis en en=2 , da er det ingen røtter; hvis en=0 , da er det ingen røtter; hvis
b) hvis en=– 1 , da mister ligningen sin betydning; hvis det da ikke er røtter;
hvis

Hjemmelekse.

Løs ligningene:

Svar: a) Hvis en № –2 , deretter x= en ; hvis en=–2 , da er det ingen løsninger; b) hvis en № –2 , deretter x=2; hvis en=–2 , da er det ingen løsninger; c) hvis en=–2 , deretter x- et hvilket som helst annet tall enn 3 ; hvis en № –2 , deretter x=2; d) hvis en=–8 , da er det ingen røtter; hvis en=2 , da er det ingen røtter; hvis

Leksjon 5

Leksjonsemne:"Løsning av brøkrasjonelle ligninger som inneholder parametere".

Leksjonens mål:

lære å løse ligninger med en ikke-standard tilstand;
bevisst assimilering av studenter av algebraiske konsepter og relasjoner mellom dem.

Leksjonstype: systematisering og generalisering.

Sjekker lekser.

Eksempel 1. Løs ligningen

a) i forhold til x; b) i forhold til y.

Løsning.

a) Finn ugyldige verdier y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– ugyldig parameterverdi y.

Hvis en y№ 0 , deretter x=y-2; hvis y=0, da mister ligningen sin betydning.

b) Finn ugyldige parameterverdier x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– ugyldig parameterverdi x; y(2+x-y)=0, y=0 eller y=2+x;

y=0 tilfredsstiller ikke betingelsen y(y–x)№ 0 .

Svar: a) hvis y=0, da mister ligningen sin betydning; hvis y№ 0 , deretter x=y-2; b) hvis x=0 x№ 0 , deretter y=2+x .

Eksempel 2. For hvilke heltallsverdier av parameteren a er røttene til ligningen tilhører intervallet

D = (3 en + 2) 2 – 4en(en+ 1) 2 = 9 en 2 + 12en + 4 – 8en 2 – 8en,

D = ( en + 2) 2 .

Hvis en en № 0 eller en № – 1 , deretter

Svar: 5 .

Eksempel 3. Finn relativt x hele løsningen av ligningen

Svar. Hvis en y=0, da gir ikke ligningen mening; hvis y=–1, deretter x- et hvilket som helst heltall annet enn null; hvis y# 0, y# – 1, da er det ingen løsninger.

Eksempel 4 Løs ligningen med parametere en og b .

Hvis en en№ – b , deretter

Svar. Hvis en a= 0 eller b= 0 , da mister ligningen sin betydning; hvis en№ 0,b№ 0, a=-b , deretter x- et hvilket som helst annet tall enn null; hvis en№ 0,b№ 0,a№ -b deretter x=-a, x=-b .

Eksempel 5. Bevis at for en hvilken som helst ikke-null verdi av parameteren n, ligningen har en enkelt rot lik – n .

Løsning.

dvs. x=-n, som skulle bevises.

Hjemmelekse.

1. Finn hele løsninger av ligningen

2. Ved hvilke verdier av parameteren c ligningen Det har:
a) to røtter b) den eneste roten?

3. Finn alle heltallsrøtter til ligningen hvis en O N .

4. Løs ligningen 3xy - 5x + 5y = 7: a) relativt y; b) relativt x .

1. Ligningen er tilfredsstilt av alle like verdier av heltall av x og y annet enn null.
2. a) Når
b) ved eller
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Hvis det da ikke er røtter; hvis
b) hvis det ikke er noen røtter; hvis

Test

valg 1

1. Bestem type ligning 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 på: a) c=-3; b) c=2; i) c=4 .

2. Løs ligningene: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; i)

3. Løs ligningen 3x-xy-2y=1:

a) relativt x ;
b) relativt y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0,å vite at parameteren n bare tar heltallsverdier.

5. For hvilke verdier av b gjør ligningen Det har:

a) to røtter
b) den eneste roten?

Alternativ 2

1. Bestem type ligning 5c(c + 4)x2 +(c–7)x+7=0 på: a) c=-4; b) c=7; i) c=1 .

2. Løs ligningene: a) y2 +cy=0; b) ny2 –8y+2=0; i)

3. Løs ligningen 6x-xy+2y=5:

a) relativt x ;
b) relativt y .

4. Finn heltallsrøttene til ligningen nx 2 -22x+2n=0 ,å vite at parameteren n bare tar heltallsverdier.

5. For hvilke verdier av parameteren a ligningen Det har:

a) to røtter
b) den eneste roten?

Svar

I 1. 1. a) Lineær ligning;
b) ufullstendig andregradsligning; c) en andregradsligning.
2. a) Hvis b=0, deretter x=0; hvis b#0, deretter x=0, x=b;
b) hvis cО (9;+Ґ ), da er det ingen røtter;
c) hvis en=–4 , da mister ligningen sin betydning; hvis en№ –4 , deretter x=- en .
3. a) Hvis y=3, da er det ingen røtter; hvis);
b) en=–3, en=1.

Tilleggsoppgaver

Løs ligningene:

Litteratur

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Om parametrene helt fra begynnelsen. - Veileder, nr. 2/1991, s. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Nødvendige forhold i oppgaver med parametere. – Kvant, nr. 11/1991, s. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Løse problemer som inneholder parametere. Del 2. - M., Perspektiv, 1990, s. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Fem hundre og fjorten oppgaver med parametere. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Oppgaver med parametere. - M., utdanning, 1986.

§ 1 Hel- og brøkrasjonelle ligninger

I denne leksjonen vil vi analysere begreper som en rasjonell ligning, et rasjonelt uttrykk, et heltallsuttrykk, et brøkuttrykk. Tenk på løsningen av rasjonelle ligninger.

En rasjonell ligning er en ligning der venstre og høyre side er rasjonelle uttrykk.

Rasjonelle uttrykk er:

Brøk.

Et heltallsuttrykk er bygd opp av tall, variabler, heltallspotenser ved å bruke operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon med et annet tall enn null.

For eksempel:

I brøkuttrykk er det en divisjon med en variabel eller et uttrykk med en variabel. For eksempel:

Et brøkuttrykk gir ikke mening for alle verdiene av variablene som er inkludert i det. For eksempel uttrykket

ved x = -9 gir det ikke mening, fordi ved x = -9 går nevneren til null.

Dette betyr at en rasjonell ligning kan være heltall og brøk.

En rasjonell heltallsligning er en rasjonell ligning der venstre og høyre side er heltallsuttrykk.

For eksempel:

En rasjonell brøkligning er en rasjonell likning der enten venstre eller høyre side er brøkuttrykk.

For eksempel:

§ 2 Løsning av en hel rasjonell ligning

Tenk på løsningen av en hel rasjonell ligning.

For eksempel:

Multipliser begge sider av ligningen med den minste fellesnevneren av nevnerne til brøkene som er inkludert i den.

For dette:

1. finn en fellesnevner for nevnerne 2, 3, 6. Den er lik 6;

2. finn en tilleggsfaktor for hver brøk. For å gjøre dette deler du fellesnevneren 6 med hver nevner

tilleggsmultiplikator for brøken

tilleggsmultiplikator for brøken

3. multipliser tellerne til brøkene med tilleggsfaktorene som tilsvarer dem. Dermed får vi ligningen

som tilsvarer denne ligningen

La oss åpne parentesene til venstre, flytte den høyre delen til venstre, endre begrepets tegn under overføringen til det motsatte.

Vi gir lignende termer for polynomet og oppnår

Vi ser at ligningen er lineær.

Når vi løser det, finner vi at x = 0,5.

§ 3 Løsning av en rasjonell brøkligning

Tenk på løsningen av en rasjonell brøkligning.

For eksempel:

1. Multipliser begge sider av ligningen med den minste fellesnevneren av nevnerne til de rasjonelle brøkene som er inkludert i den.

Finn fellesnevneren for nevnerne x + 7 og x - 1.

Det er lik deres produkt (x + 7) (x - 1).

2. La oss finne en tilleggsfaktor for hver rasjonell brøk.

For å gjøre dette deler vi fellesnevneren (x + 7) (x - 1) med hver nevner. Ekstra multiplikator for brøker

er lik x - 1,

tilleggsmultiplikator for brøken

er lik x+7.

3. Multipliser tellerne av brøker med deres tilsvarende tilleggsfaktorer.

Vi får ligningen (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), som tilsvarer denne ligningen

4. Venstre og høyre multipliser binomialet med binomialet og få følgende ligning

5. Vi overfører høyre del til venstre, og endrer tegnet for hvert begrep når vi overfører til det motsatte:

6. Vi presenterer lignende medlemmer av polynomet:

7. Du kan dele begge deler med -1. Vi får en andregradsligning:

8. Etter å ha løst det, finner vi røttene

Siden i ligningen

venstre og høyre del er brøkuttrykk, og i brøkuttrykk, for noen verdier av variablene, kan nevneren forsvinne, da er det nødvendig å sjekke om fellesnevneren ikke forsvinner når x1 og x2 blir funnet.

Ved x = -27 forsvinner ikke fellesnevneren (x + 7)(x - 1), ved x = -1 er fellesnevneren også ikke-null.

Derfor er både røttene -27 og -1 røttene til ligningen.

Når du løser en rasjonell brøkligning, er det bedre å umiddelbart indikere området med tillatte verdier. Eliminer de verdiene der fellesnevneren går til null.

Tenk på et annet eksempel på løsning av en rasjonell brøkligning.

La oss for eksempel løse ligningen

Vi dekomponerer nevneren til brøken på høyre side av ligningen i faktorer

Vi får ligningen

Finn en fellesnevner for nevnerne (x - 5), x, x (x - 5).

Det vil være uttrykket x (x - 5).

la oss nå finne rekkevidden av tillatte verdier av ligningen

For å gjøre dette, likestiller vi fellesnevneren til null x (x - 5) \u003d 0.

Vi får en ligning som løser den, vi finner at ved x \u003d 0 eller ved x \u003d 5, forsvinner fellesnevneren.

Så x = 0 eller x = 5 kan ikke være røttene til ligningen vår.

Nå kan du finne flere multiplikatorer.

Ekstra multiplikator for rasjonelle brøker

tilleggsmultiplikator for brøker

vil være (x - 5),

og tilleggsfaktoren til fraksjonen

Vi multipliserer tellerne med de tilsvarende tilleggsfaktorene.

Vi får ligningen x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

La oss åpne parentesene til venstre og høyre, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

La oss flytte begrepene fra høyre til venstre ved å endre tegnet på begrepene som skal flyttes:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Og etter å ha brakt lignende termer, får vi den kvadratiske ligningen x2 - 3x - 10 \u003d 0. Etter å ha løst det, finner vi røttene x1 \u003d -2; x2 = 5.

Men vi har allerede funnet ut at ved x = 5 forsvinner fellesnevneren x(x - 5). Derfor roten til ligningen vår

vil være x = -2.

§ 4 Oppsummering av leksjonen

Viktig å huske:

Når du løser rasjonelle brøklikninger, må du gjøre følgende:

1. Finn fellesnevneren for brøkene som inngår i ligningen. Videre, hvis nevnerne til brøker kan dekomponeres til faktorer, så dekomponer dem til faktorer og finn deretter fellesnevneren.

2. Multipliser begge sider av ligningen med en fellesnevner: finn tilleggsfaktorer, gang tellere med tilleggsfaktorer.

3. Løs den resulterende hele ligningen.

4. Ekskluder fra røttene de som snur fellesnevneren til null.

Liste over brukt litteratur:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Under redaksjon av Telyakovsky S.A. Algebra: lærebok. for 8 celler. allmennutdanning institusjoner. - M.: Utdanning, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. Karakter 8: I to deler. Del 1: Pros. for allmennutdanning institusjoner. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Leksjonsutvikling i algebra: Karakter 8. - M .: VAKO, 2010.
4. Algebra klasse 8: leksjonsplaner i henhold til læreboken til Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-komp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Lærer, 2005.

Minste fellesnevner brukes for å forenkle denne ligningen. Denne metoden brukes når du ikke kan skrive den gitte ligningen med ett rasjonelt uttrykk på hver side av ligningen (og bruke kryssmultiplikasjonsmetoden). Denne metoden brukes når du får en rasjonell ligning med 3 eller flere brøker (ved to brøker er kryssmultiplikasjon bedre).

Finn den minste fellesnevneren for brøker (eller minste felles multiplum). NOZ er det minste tallet som er jevnt delelig med hver nevner.

• Noen ganger er NOZ et åpenbart tall. For eksempel, hvis ligningen er gitt: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, så er det åpenbart at det minste felles multiplum av tallene 3, 2 og 6 vil være 6.
• Hvis NOD ikke er åpenbar, skriv ned multiplene av den største nevneren og finn blant dem en som også er et multiplum av de andre nevnerne. Du kan ofte finne NOD ved ganske enkelt å multiplisere to nevnere sammen. For eksempel, hvis ligningen x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 er gitt, så er NOZ = 8*9 = 72.
• Hvis en eller flere nevnere inneholder en variabel, er prosessen noe mer komplisert (men ikke umulig). I dette tilfellet er NOZ et uttrykk (som inneholder en variabel) som er delelig med hver nevner. For eksempel, i ligningen 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), fordi dette uttrykket er delelig med hver nevner: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Multipliser både telleren og nevneren for hver brøk med et tall som er lik resultatet av å dele NOZ med den tilsvarende nevneren for hver brøk. Siden du multipliserer både telleren og nevneren med samme tall, multipliserer du en brøkdel med 1 (for eksempel 2/2 = 1 eller 3/3 = 1).

• Så i vårt eksempel, multipliser x/3 med 2/2 for å få 2x/6, og gang 1/2 med 3/3 for å få 3/6 (3x + 1/6 trenger ikke å multipliseres fordi nevneren er 6).
• Fortsett på samme måte når variabelen er i nevneren. I vårt andre eksempel NOZ = 3x(x-1), så 5/(x-1) ganger (3x)/(3x) er 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x ganger 3(x-1)/3(x-1) for å få 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) multipliser med (x-1)/(x-1) og du får 2(x-1)/3x(x-1).

Finn x. Nå som du har redusert brøkene til en fellesnevner, kan du kvitte deg med nevneren. For å gjøre dette, multipliser hver side av ligningen med en fellesnevner. Løs deretter den resulterende ligningen, det vil si finn "x". For å gjøre dette, isoler variabelen på den ene siden av ligningen.

• I vårt eksempel: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Du kan legge til 2 brøker med samme nevner, så skriv ligningen som: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Multipliser begge sider av ligningen med 6 og bli kvitt nevnerne: 2x+3 = 3x +1. Løs og få x = 2.
• I vårt andre eksempel (med en variabel i nevneren) ser ligningen slik ut (etter reduksjon til en fellesnevner): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Ved å multiplisere begge sider av ligningen med NOZ, blir du kvitt nevneren og får: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), eller 15x = 3x - 3 + 2x -2, eller 15x = x - 5 Løs og få: x = -5/14.

Leksjonens mål:

Opplæringen:

• dannelse av konseptet med rasjonelle brøklikninger;
• å vurdere ulike måter å løse rasjonelle brøklikninger på;
• vurdere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger, inkludert betingelsen om at brøken er lik null;
• å lære løsningen av rasjonelle brøklikninger i henhold til algoritmen;
• sjekke nivået av assimilering av emnet ved å utføre testarbeid.

Utvikler:

• utvikling av evnen til å fungere korrekt med den ervervede kunnskapen, til å tenke logisk;
• utvikling av intellektuelle ferdigheter og mentale operasjoner - analyse, syntese, sammenligning og generalisering;
• utvikling av initiativ, evnen til å ta beslutninger, ikke stoppe der;
• utvikling av kritisk tenkning;
• utvikling av forskningskompetanse.

Pleie:

• utdanning av kognitiv interesse for emnet;
• utdanning av uavhengighet i å løse pedagogiske problemer;
• utdanning av vilje og utholdenhet for å oppnå de endelige resultatene.

Leksjonstype: leksjon - forklaring av nytt stoff.

I løpet av timene

1. Organisatorisk øyeblikk.

Hei folkens! Ligninger er skrevet på tavlen, se nøye på dem. Kan du løse alle disse ligningene? Hvilke er det ikke og hvorfor?

Ligninger der venstre og høyre side er rasjonelle brøkuttrykk kalles rasjonelle brøklikninger. Hva tror du vi skal studere i dag i leksjonen? Formuler temaet for leksjonen. Så vi åpner notatbøker og skriver ned emnet for leksjonen "Løsning av rasjonelle brøklikninger".

2. Aktualisering av kunnskap. Frontalundersøkelse, muntlig arbeid med klassen.

Og nå vil vi gjenta det viktigste teoretiske materialet som vi trenger for å studere et nytt emne. Vennligst svar på følgende spørsmål:

1. Hva er en ligning? ( Likhet med en variabel eller variabler.)
2. Hva kalles ligning #1? ( Lineær.) Metode for å løse lineære ligninger. ( Flytt alt med det ukjente til venstre side av ligningen, alle tall til høyre. Ta med like vilkår. Finn den ukjente multiplikatoren).
3. Hva kalles ligning 3? ( Torget.) Metoder for å løse andregradsligninger. ( Valg av hele kvadratet, etter formler, ved å bruke Vieta-setningen og dens konsekvenser.)
4. Hva er en proporsjon? ( Likestilling av to relasjoner.) Hovedegenskapen til proporsjoner. ( Hvis andelen er sann, er produktet av de ekstreme leddene lik produktet av de midterste leddene.)
5. Hvilke egenskaper brukes til å løse ligninger? ( 1. Hvis vi i likningen overfører begrepet fra en del til en annen, og endrer fortegn, får vi en likning tilsvarende den gitte. 2. Hvis begge deler av ligningen multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, vil det fås en ligning som tilsvarer den gitte.)
6. Når er en brøk lik null? ( En brøk er null når telleren er null og nevneren ikke er null.)

3. Forklaring av nytt materiale.

Løs ligning nr. 2 i notatbøker og på tavlen.

Svar: 10.

Hvilken rasjonell brøkligning kan du prøve å løse ved å bruke den grunnleggende egenskapen proporsjon? (nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Løs likning nr. 4 i notatbøker og på tavlen.

Svar: 1,5.

Hvilken rasjonell brøklikning kan du prøve å løse ved å multiplisere begge sider av ligningen med nevneren? (nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Svar: 3;4.

Prøv nå å løse ligning #7 på en av måtene.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Svar: 0;5;-2.			Svar: 5;-2.

Forklar hvorfor dette skjedde? Hvorfor er det tre røtter i det ene tilfellet og to i det andre? Hvilke tall er røttene til denne rasjonelle brøklikningen?

Til nå har elevene ikke møtt begrepet en fremmed rot, det er egentlig veldig vanskelig for dem å forstå hvorfor dette skjedde. Hvis ingen i klassen kan gi en klar forklaring på denne situasjonen, stiller læreren ledende spørsmål.

• Hvordan skiller ligning nr. 2 og 4 seg fra ligning nr. 5,6,7? ( I ligning nr. 2 og 4 i nevneren av tallet, nr. 5-7 - uttrykk med en variabel.)
• Hva er roten til ligningen? ( Verdien av variabelen der ligningen blir en ekte likhet.)
• Hvordan finne ut om et tall er roten til en ligning? ( Gjør en sjekk.)

Når de gjør en test, merker noen elever at de må dele på null. De konkluderer med at tallene 0 og 5 ikke er røttene til denne ligningen. Spørsmålet oppstår: er det en måte å løse rasjonelle brøklikninger på som eliminerer denne feilen? Ja, denne metoden er basert på betingelsen om at brøken er lik null.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Hvis x=5, så er x(x-5)=0, så 5 er en fremmed rot.

Hvis x=-2, så x(x-5)≠0.

Svar: -2.

La oss prøve å formulere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger på denne måten. Barna formulerer selv algoritmen.

Algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger:

1. Flytt alt til venstre.
2. Bring brøker til en fellesnevner.
3. Lag et system: en brøk er null når telleren er null og nevneren ikke er null.
4. Løs ligningen.
5. Sjekk ulikhet for å utelukke fremmede røtter.
6. Skriv ned svaret.

Diskusjon: hvordan formalisere løsningen hvis den grunnleggende egenskapen proporsjon brukes og multiplikasjon av begge sider av ligningen med en fellesnevner. (Suppler løsningen: ekskluder fra røttene de som snur fellesnevneren til null).

4. Primær forståelse av nytt materiale.

Arbeid i par. Elevene velger hvordan de skal løse ligningen på egenhånd, avhengig av type ligning. Oppgaver fra læreboken "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: nr. 600 (b, c, i); nr. 601(a, e, g). Læreren kontrollerer gjennomføringen av oppgaven, svarer på spørsmålene som har dukket opp, og gir bistand til dårlig presterende elever. Selvtest: Svar skrives på tavlen.

b) 2 er en fremmed rot. Svar: 3.

c) 2 er en fremmed rot. Svar: 1.5.

a) Svar: -12.5.

g) Svar: 1; 1.5.

5. Uttalelse av lekser.

1. Les punkt 25 fra læreboka, analyser eksempel 1-3.
2. Lær algoritmen for å løse rasjonelle brøklikninger.
3. Løs i notatbøker nr. 600 (a, d, e); nr. 601 (g, h).
4. Prøv å løse #696(a) (valgfritt).

6. Gjennomføring av kontrolloppgaven på det studerte temaet.

Arbeidet gjøres på ark.

Eksempel på jobb:

A) Hvilke av ligningene er brøkrasjonelle?

B) En brøk er null når telleren er ___________ og nevneren er _______________________.

Sp) Er tallet -3 roten til ligning #6?

D) Løs ligning nr. 7.

Kriterier for oppgaveevaluering:

• «5» gis dersom eleven har fullført mer enn 90 % av oppgaven riktig.
• "4" - 75 % -89 %
• "3" - 50 % -74 %
• «2» gis til en elev som fullførte mindre enn 50 % av oppgaven.
• Karakter 2 settes ikke i journalen, 3 er valgfritt.

7. Refleksjon.

På brosjyrene med selvstendig arbeid, sett:

• 1 - hvis leksjonen var interessant og forståelig for deg;
• 2 - interessant, men ikke klart;
• 3 - ikke interessant, men forståelig;
• 4 - ikke interessant, ikke klart.

8. Oppsummering av leksjonen.

Så, i dag i leksjonen ble vi kjent med rasjonelle brøklikninger, lærte å løse disse ligningene på forskjellige måter, testet kunnskapen vår ved hjelp av pedagogisk uavhengig arbeid. Du vil lære resultatene av selvstendig arbeid i neste leksjon, hjemme vil du ha muligheten til å konsolidere den oppnådde kunnskapen.

Hvilken metode for å løse rasjonelle brøklikninger er etter din mening enklere, mer tilgjengelig, mer rasjonell? Uansett metode for å løse rasjonelle brøklikninger, hva bør ikke glemmes? Hva er "sluen" med rasjonelle brøklikninger?

Takk alle sammen, leksjonen er over.

\(\bullet\) En rasjonell ligning er en ligning uttrykt som \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] hvor \(P(x), \ Q(x)\) - polynomer (summen av "xes" i forskjellige grader, multiplisert med forskjellige tall).
Uttrykket på venstre side av ligningen kalles det rasjonelle uttrykket.
ODV (området av akseptable verdier) til en rasjonell ligning er alle verdier \(x\) som nevneren IKKE forsvinner for, dvs. \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) For eksempel ligninger \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] er rasjonelle ligninger.
I den første ligningen er ODZ all \(x\) slik at \(x\ne 3\) (de skriver \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); i den andre ligningen er disse alle \(x\) , slik at \(x\ne -1; x\ne 1\) (skriv \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); og i den tredje ligningen er det ingen begrensninger på ODZ, det vil si at ODZ er alle \(x\) (de skriver \(x\in\mathbb(R)\) ). \(\bullet\) Teoremer:
1) Produktet av to faktorer er lik null hvis og bare hvis en av dem er lik null, mens den andre ikke mister sin betydning, derfor er ligningen \(f(x)\cdot g(x)=0 \) tilsvarer systemet \[\begin(cases) \venstre[ \begin(samlet)\begin(justert) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(justert) \end(samlet) \right.\\ \ tekst(ODV-ligninger) \end(cases)\] 2) Brøken er lik null hvis og bare hvis telleren er lik null og nevneren ikke er lik null, derfor ligningen \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) er ekvivalent med ligningssystemet \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) La oss se på noen eksempler.

1) Løs ligningen \(x+1=\dfrac 2x\) . La oss finne ODZ for denne ligningen - dette er \(x\ne 0\) (siden \(x\) er i nevneren).
Så ODZ kan skrives som følger: .
La oss overføre alle begrepene til én del og redusere til en fellesnevner: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( tilfeller) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(cases)\] Løsningen til den første ligningen i systemet vil være \(x=-2, x=1\) . Vi ser at begge røttene er ikke-null. Derfor er svaret: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Løs ligningen \(\venstre(\dfrac4x - 2\høyre)\cdot (x^2-x)=0\). La oss finne ODZ for denne ligningen. Vi ser at den eneste verdien \(x\) som venstre side ikke gir mening er \(x=0\) . Så OD kan skrives som følger: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Dermed er denne ligningen ekvivalent med systemet:

\[\begin(cases) \venstre[ \begin(samlet)\begin(justert) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(justert) \end(samlet) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(justert) \end(samlet) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(justert) \end(samlet) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(samlet) \begin(justert) &x=2\\ &x=1 \end(justert) \end(samlet) \right.\] Faktisk, til tross for at \(x=0\) er roten til den andre faktoren, hvis du erstatter \(x=0\) i den opprinnelige ligningen, vil det ikke gi mening, fordi uttrykket \(\dfrac 40\) er ikke definert.
Så løsningen på denne ligningen er \(x\in \(1;2\)\) .

3) Løs ligningen \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] I vår ligning \(4x^2-1\ne 0\) , hvorfra \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , dvs. \(x\ne -\frac12; \frac12\) .
Vi overfører alle begrepene til venstre side og reduserer til en fellesnevner:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet) \begin( justert) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(justert)\end(samlet) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Venstre-høyrepil \quad x=-3\)

Svar: \(x\i \(-3\)\) .

Kommentar. Hvis svaret består av et begrenset sett med tall, kan de skrives gjennom et semikolon med krøllete parenteser, som vist i de foregående eksemplene.

Oppgaver som krever å løse rasjonelle ligninger møter man hvert år i Unified State Examination i matematikk, derfor, som forberedelse til å bestå sertifiseringstesten, bør kandidater definitivt gjenta teorien om dette emnet på egen hånd. For å kunne takle slike oppgaver, må kandidater som består både grunnleggende og profilnivå på eksamen nødvendigvis. Etter å ha mestret teorien og håndtert praktiske øvelser om emnet "rasjonelle ligninger", vil studentene kunne løse problemer med et hvilket som helst antall handlinger og forvente å motta konkurransedyktige poeng på slutten av eksamen.

Hvordan forberede seg til eksamen med utdanningsportalen "Shkolkovo"?

Noen ganger er det ganske vanskelig å finne en kilde der den grunnleggende teorien for å løse matematiske problemer er fullt presentert. Læreboken er kanskje rett og slett ikke for hånden. Og noen ganger er det ganske vanskelig å finne de nødvendige formlene selv på Internett.

Utdanningsportalen "Shkolkovo" vil avlaste deg fra behovet for å søke etter det riktige materialet og hjelpe deg med å forberede deg godt til å bestå sertifiseringstesten.

All nødvendig teori om emnet "Rasjonelle ligninger" ble utarbeidet av våre spesialister og presentert i den mest tilgjengelige formen. Ved å studere informasjonen som presenteres, vil studentene kunne fylle ut kunnskapshullene.

For å lykkes med å forberede seg til eksamen, trenger nyutdannede ikke bare å oppdatere minnet om det grunnleggende teoretiske materialet om emnet "rasjonelle ligninger", men å øve på å gjøre oppgaver ved å bruke spesifikke eksempler. Et stort utvalg av oppgaver er presentert i Katalog-delen.

For hver øvelse på nettstedet har ekspertene våre foreskrevet en løsningsalgoritme og angitt riktig svar. Elevene kan øve på å løse problemer med ulik vanskelighetsgrad avhengig av treningsnivå. Listen over oppgaver i den tilsvarende delen blir kontinuerlig supplert og oppdatert.

Du kan studere teoretisk materiale og finpusse ferdighetene dine i å løse problemer om emnet "rasjonelle ligninger", lik de som er inkludert i USE-testene, online. Om nødvendig kan alle de presenterte oppgavene legges til "Favoritter"-delen. Etter å ha gjentatt den grunnleggende teorien om emnet "rasjonelle ligninger", vil videregående eleven kunne gå tilbake til problemet i fremtiden for å diskutere fremdriften til løsningen med læreren i algebratimen.