Kopyevskaya landlige ungdomsskole

10 løsninger andregradsligninger

Leder: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematikklærer

landsbyen Kopevo, 2007

1. Historie om utviklingen av andregradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

1.2 Hvordan Diophantus komponerte og løste andregradsligninger

1.3 Kvadratiske ligninger i India

1.4 Kvadratiske ligninger av al-Khorezmi

1,5 kvadratiske ligninger i Europa XIII- XVII århundrer

1.6 Om Vietas teorem

2. Metoder for å løse andregradsligninger

Konklusjon

Litteratur

1. Historie om utviklingen av andregradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder tomter og med jordarbeider av militær karakter, samt med utviklingen av astronomi og matematikk selv. Kvadratiske ligninger kunne løses rundt 2000 f.Kr. e. babylonere.

Ved å bruke moderne algebraisk notasjon kan vi si at i deres kileskrifttekster er det, i tillegg til ufullstendige, slike for eksempel komplette kvadratiske ligninger:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Regelen for å løse disse ligningene, som er angitt i de babylonske tekstene, er i hovedsak sammenfallende med den moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom frem til denne regelen. Nesten alle kileskriftstekster som er funnet så langt gir kun problemer med løsninger lagt opp i form av oppskrifter, uten indikasjon på hvordan de ble funnet.

På tross av høy level utvikling av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene begrepet et negativt tall og generelle metoder løse andregradsligninger.

1.2 Hvordan Diophantus komponerte og løste andregradsligninger.

Diophantus' Aritmetikk inneholder ikke en systematisk presentasjon av algebra, men den inneholder en systematisk rekke problemer, ledsaget av forklaringer og løst ved å konstruere ligninger av ulike grader.

Når du komponerer ligninger, velger Diophantus dyktig ukjente for å forenkle løsningen.

Her er for eksempel en av oppgavene hans.

Oppgave 11."Finn to tall, vel vitende om at summen deres er 20 og produktet deres er 96"

Diophantus begrunner som følger: fra betingelsene for problemet følger det at de nødvendige tallene ikke er like, siden hvis de var like, ville deres produkt ikke være lik 96, men til 100. Dermed vil en av dem være mer enn halvparten av summen deres, dvs. 10 + x, den andre er mindre, dvs. 10-tallet. Forskjellen mellom dem 2x .

Derav ligningen:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Herfra x = 2. Ett av de nødvendige tallene er lik 12 , annet 8 . Løsning x = -2 for Diophantus eksisterer ikke, siden gresk matematikk bare kjente positive tall.

Hvis vi løser dette problemet ved å velge et av de nødvendige tallene som det ukjente, vil vi komme til en løsning på ligningen

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Det er klart at ved å velge halvforskjellen til de nødvendige tallene som det ukjente, forenkler Diophantus løsningen; han klarer å redusere problemet til å løse en ufullstendig andregradsligning (1).

1.3 Kvadratiske ligninger i India

Problemer med kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske avhandlingen "Aryabhattiam", kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk vitenskapsmann, Brahmagupta (7. århundre), skisserte generell regel løse andregradsligninger redusert til en enhetlig kanonisk form:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

I ligning (1), koeffisientene, unntatt EN, kan også være negativ. Brahmaguptas styre er i hovedsak det samme som vårt.

I Det gamle India Offentlige konkurranser om å løse vanskelige problemer var vanlig. En av de gamle indiske bøkene sier følgende om slike konkurranser: «Som solen formørker stjernene med sin glans, så lærd mann overskygge en annens herlighet i populære forsamlinger ved å foreslå og løse algebraiske problemer.» Problemer ble ofte presentert i poetisk form.

Dette er et av problemene til den berømte indiske matematikeren på 1100-tallet. Bhaskars.

Oppgave 13.

"En flokk med sprø aper og tolv langs vinrankene ...

Etter å ha spist hadde myndighetene det gøy. De begynte å hoppe, henge...

Det er dem på torget, del 8. Hvor mange aper var det?

Jeg koste meg i lysningen. Fortell meg, i denne pakken?

Bhaskaras løsning indikerer at han visste at røttene til kvadratiske ligninger er toverdier (fig. 3).

Ligningen som tilsvarer oppgave 13 er:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara skriver under dekke:

x 2 - 64x = -768

og for å fullføre venstre side av denne ligningen til kvadrat, legger du til begge sider 32 2 , så får du:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratiske ligninger i al - Khorezmi

I den algebraiske avhandlingen til al-Khorezmi er det gitt en klassifisering av lineære og kvadratiske ligninger. Forfatteren teller 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

1) «Kvadrater er lik røtter», dvs. akse 2 + c = b X.

2) «Kvadrater er lik tall», dvs. øks 2 = c.

3) «Røttene er lik tallet», dvs. ah = s.

4) «Kvadrater og tall er lik røtter», dvs. akse 2 + c = b X.

5) «Kvadrater og røtter er lik tall», dvs. ah 2+ bx = s.

6) «Røtter og tall er lik kvadrater», dvs. bx + c = akse 2.

For al-Khorezmi, som unngikk bruken av negative tall, er vilkårene for hver av disse ligningene addisjoner og ikke subtraherbare. I dette tilfellet er det åpenbart ikke tatt hensyn til ligninger som ikke har positive løsninger. Forfatteren skisserer løsninger ligningene ovenfor, ved å bruke teknikkene til al-jabr og al-muqabala. Hans avgjørelser er selvsagt ikke helt sammenfallende med våre. For ikke å nevne at det er rent retorisk, bør det for eksempel bemerkes at når man løser en ufullstendig andregradsligning av den første typen

al-Khorezmi, som alle matematikere før 1600-tallet, tar ikke hensyn til nullløsningen, sannsynligvis fordi det i spesifikke praktiske problemer ikke spiller noen rolle. Når du løser komplette andregradsligninger al-Khorezmi på partial numeriske eksempler legger ut reglene for løsningen og deretter de geometriske bevisene.

Oppgave 14.«Kvadraten og tallet 21 er lik 10 røtter. Finn roten" (antyder roten av ligningen x 2 + 21 = 10x).

Forfatterens løsning er omtrent slik: del antall røtter i to, du får 5, gang 5 med seg selv, trekk 21 fra produktet, det som gjenstår er 4. Ta roten fra 4, du får 2. Trekk fra 2 fra 5 , får du 3, dette vil være ønsket rot. Eller legg til 2 til 5, som gir 7, dette er også en rot.

Avhandlingen om al-Khorezmi er den første boken som har kommet ned til oss, som systematisk setter opp klassifiseringen av kvadratiske ligninger og gir formler for løsningen deres.

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - XVII bb

Formler for å løse kvadratiske ligninger på linje med al-Khwarizmi i Europa ble først satt frem i Abacus-boken, skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrike arbeidet, som gjenspeiler påvirkningen av matematikk, både islamske land og Antikkens Hellas, kjennetegnes ved både fullstendighet og klarhet i presentasjonen. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler løse problemer og var den første i Europa som innførte negative tall. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange problemer fra Abacus-boken ble brukt i nesten alle europeiske lærebøker på 1500- og 1600-tallet. og delvis XVIII.

Den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

x 2 + bx = c,

for alle mulige kombinasjoner av koeffisienttegn b , Med ble formulert i Europa først i 1544 av M. Stiefel.

Utledning av formelen for å løse en andregradsligning i generelt syn Viet har det, men Viet bare anerkjente det positive røtter. Italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. I tillegg til positive, tas også negative røtter i betraktning. Først på 1600-tallet. Takket være arbeidet til Girard, Descartes, Newton og andre vitenskapsmenns måte løse andregradsligninger tar en moderne form.

1.6 Om Vietas teorem

Teoremet som uttrykker forholdet mellom koeffisientene til en kvadratisk ligning og dens røtter, oppkalt etter Vieta, ble formulert av ham for første gang i 1591 som følger: "Hvis B + D, ganget med EN - EN 2 , er lik BD, Det EN er lik I og likeverdig D ».

For å forstå Vieta, bør vi huske det EN, som enhver vokalbokstav, betydde det ukjente (vår X), vokaler I, D- koeffisienter for det ukjente. På språket til moderne algebra betyr Vieta-formuleringen ovenfor: hvis det finnes

(et + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Uttrykke forholdet mellom røttene og koeffisientene til ligningene generelle formler skrevet ved hjelp av symboler, etablerte Viet enhetlighet i metodene for å løse ligninger. Men symbolikken til Viet er fortsatt langt fra moderne utseende. Han gjenkjente ikke negative tall, og derfor vurderte han, når han løste ligninger, bare tilfeller der alle røttene var positive.

2. Metoder for å løse andregradsligninger

Kvadratiske ligninger er grunnlaget som det majestetiske byggverket til algebra hviler på. Kvadratiske ligninger er mye brukt for å løse trigonometriske, eksponentielle, logaritmiske, irrasjonelle og transcendentale ligninger og ulikheter. Vi vet alle hvordan vi løser andregradsligninger fra skolen (8. klasse) til eksamen.

Kvadratiske ligninger.

Kvadratisk ligning- algebraisk ligning generelt syn

hvor x er en fri variabel,

a, b, c, er koeffisienter, og

Uttrykk kalt et kvadratisk trinomium.

Metoder for å løse andregradsligninger.

1. METODE : Faktorer venstre side av ligningen.

La oss løse ligningen x 2 + 10x - 24 = 0. La oss faktorisere venstre side:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Derfor kan ligningen skrives om som følger:

(x + 12)(x - 2) = 0

Siden produktet er null, er minst en av faktorene null. Derfor blir venstre side av ligningen null kl x = 2, og også når x = - 12. Dette betyr at tallet 2 Og - 12 er røttene til ligningen x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METODE : Metode for å velge en komplett firkant.

La oss løse ligningen x 2 + 6x - 7 = 0. Velg på venstre side perfekt firkant.

For å gjøre dette, skriv uttrykket x 2 + 6x in følgende skjema:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

I det resulterende uttrykket er det første leddet kvadratet av tallet x, og det andre er dobbelt produkt x med 3. Derfor, for å få en komplett firkant, må du legge til 3 2, siden

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

La oss nå transformere venstre side av ligningen

x 2 + 6x - 7 = 0,

legge til og trekke fra 3 2. Vi har:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Dermed, gitt ligning kan skrives slik:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Derfor, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, eller x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODE :Løse kvadratiske ligninger ved hjelp av formelen.

La oss multiplisere begge sider av ligningen

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

på 4a og sekvensielt har vi:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Eksempler.

EN) La oss løse ligningen: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, to forskjellige røtter;

Ved en positiv diskriminant, dvs. på

b 2 - 4ac >0, ligningen ax 2 + bx + c = 0 har to ulike røtter.

b) La oss løse ligningen: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, en rot;

Så hvis diskriminanten er null, dvs. b 2 - 4ac = 0, deretter ligningen

ax 2 + bx + c = 0 har en enkelt rot

V) La oss løse ligningen: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Denne ligningen har ingen røtter.

Så hvis diskriminanten er negativ, dvs. b 2 - 4ac< 0 , ligningen

ax 2 + bx + c = 0 har ingen røtter.

Formel (1) for røttene til en kvadratisk ligning ax 2 + bx + c = 0 lar deg finne røtter noen andregradsligning (hvis noen), inkludert redusert og ufullstendig. Formel (1) uttrykkes verbalt som følger: røttene til en kvadratisk ligning er lik en brøk hvis teller er lik den andre koeffisienten tatt fra motsatt tegn, pluss minus kvadratroten av kvadratet av denne koeffisienten uten å firedoble produktet av den første koeffisienten med frileddet, og nevneren er to ganger den første koeffisienten.

4. METODE: Løse ligninger ved hjelp av Vietas teorem.

Som kjent har den reduserte andregradsligningen formen

x 2 + px + c = 0.(1)

Dens røtter tilfredsstiller Vietas teorem, som, når a =1 ser ut som

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Fra dette kan vi trekke følgende konklusjoner (fra koeffisientene p og q kan vi forutsi tegnene til røttene).

a) Dersom halvmedlemmet q gitt ligning (1) er positiv ( q > 0), så har ligningen to røtter med likhetstegn og dette avhenger av den andre koeffisienten s. Hvis R< 0 , så er begge røttene negative hvis R< 0 , da er begge røttene positive.

For eksempel,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 Og x 2 = 1, fordi q = 2 > 0 Og p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 Og x 2 = - 1, fordi q = 7 > 0 Og p= 8 > 0.

b) Hvis et gratis medlem q gitt ligning (1) er negativ ( q< 0 ), så har ligningen to røtter med forskjellig fortegn, og den større roten vil være positiv hvis s< 0 , eller negativ hvis p > 0 .

For eksempel,

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 Og x 2 = 1, fordi q= - 5< 0 Og p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 Og x 2 = - 1, fordi q = - 9< 0 Og p = -8< 0.

Eksempler.

1) La oss løse ligningen 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Løsning. Fordi a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), At

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Svar: 1; -208/345.

2) Løs ligningen 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Løsning. Fordi a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), At

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Svar: 1; 115/132.

B. Hvis den andre koeffisienten b = 2k er et partall, deretter rotformelen

Eksempel.

La oss løse ligningen 3x2 - 14x + 16 = 0.

Løsning. Vi har: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, to forskjellige røtter;

Svar: 2; 8/3

I. Redusert ligning

x 2 + px + q= 0

sammenfaller med en generell ligning der a = 1, b = p Og c = q. Derfor, for den reduserte andregradsligningen, er rotformelen

Tar formen:

Formel (3) er spesielt praktisk å bruke når R- partall.

Eksempel. La oss løse ligningen x 2 – 14x – 15 = 0.

Løsning. Vi har: x 1,2 =7±

Svar: x 1 = 15; x 2 = -1.

5. METODE: Løse ligninger grafisk.

Eksempel. Løs ligningen x2 - 2x - 3 = 0.

La oss plotte funksjonen y = x2 - 2x - 3

1) Vi har: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. Dette betyr at toppunktet til parablen er punktet (1; -4), og at parablens akse er den rette linjen x = 1.

2) Ta to punkter på x-aksen som er symmetriske om parabelens akse, for eksempel punktene x = -1 og x = 3.

Vi har f(-1) = f(3) = 0. La oss bygge videre koordinatplan poeng (-1; 0) og (3; 0).

3) Gjennom punktene (-1; 0), (1; -4), (3; 0) tegner vi en parabel (fig. 68).

Røttene til ligningen x2 - 2x - 3 = 0 er abscissen til skjæringspunktene til parabelen med x-aksen; Dette betyr at røttene til ligningen er: x1 = - 1, x2 - 3.

Med dette matematikkprogrammet kan du løse andregradsligningen.

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men viser også løsningsprosessen på to måter:
- ved å bruke en diskriminant
- ved å bruke Vietas teorem (hvis mulig).

Dessuten vises svaret som nøyaktig, ikke omtrentlig.
For eksempel, for ligningen \(81x^2-16x-1=0\) vises svaret i følgende form:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ og ikke slik: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Dette programmet kan være nyttig for videregående elever ungdomsskoler som forberedelse til tester og eksamener, når du tester kunnskap før Unified State Exam, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? hjemmelekser i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger.

På denne måten kan du bruke dine egen trening og/eller trene deres yngre brødre eller søstre, mens utdanningsnivået i feltet problemer som løses øker.

Hvis du ikke er kjent med reglene for å legge inn et kvadratisk polynom, anbefaler vi at du gjør deg kjent med dem.

Regler for å legge inn et kvadratisk polynom

Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.
For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Tall kan legges inn som hele eller brøktall.
Dessuten, brøktall kan angis ikke bare som en desimal, men også som en vanlig brøk.

Regler for inntasting av desimalbrøker.
I desimalbrøker kan brøkdelen skilles fra hele delen med enten punktum eller komma.
For eksempel kan du gå inn desimaler slik: 2,5x - 3,5x^2

Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.

Nevneren kan ikke være negativ.

Når du legger inn en numerisk brøk, skilles telleren fra nevneren med et divisjonstegn: /
Hele delen atskilt fra brøken med et og-tegnet: &
Inngang: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Når du legger inn et uttrykk du kan bruke parenteser. I dette tilfellet, når du løser en kvadratisk ligning, blir det introduserte uttrykket først forenklet.
For eksempel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Bestemme seg for

Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Kvadratisk ligning og dens røtter. Ufullstendige andregradsligninger

Hver av ligningene
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ser ut som
\(ax^2+bx+c=0, \)
hvor x er en variabel, a, b og c er tall.
I den første ligningen a = -1, b = 6 og c = 1,4, i den andre a = 8, b = -7 og c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 og c = 4/9. Slike ligninger kalles andregradsligninger.

Definisjon.
Kvadratisk ligning kalles en ligning av formen ax 2 +bx+c=0, der x er en variabel, a, b og c er noen tall, og \(a \neq 0 \).

Tallene a, b og c er koeffisientene til andregradsligningen. Tallet a kalles den første koeffisienten, tallet b er den andre koeffisienten, og tallet c er frileddet.

I hver av likningene på formen ax 2 +bx+c=0, hvor \(a\neq 0\), er den største potensen til variabelen x en kvadrat. Derav navnet: andregradsligning.

Merk at en kvadratisk ligning også kalles en ligning av andre grad, siden venstre side er et polynom av andre grad.

En annengradsligning der koeffisienten til x 2 er lik 1 kalles gitt andregradsligning. For eksempel er de gitte kvadratiske ligningene ligningene
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Hvis i en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 er minst én av koeffisientene b eller c lik null, kalles en slik ligning ufullstendig andregradsligning. Dermed er ligningene -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ufullstendige andregradsligninger. I den første av dem er b=0, i den andre c=0, i den tredje b=0 og c=0.

Det er tre typer ufullstendige kvadratiske ligninger:
1) ax 2 +c=0, hvor \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, hvor \(b \neq 0 \);
3) akse 2 =0.

La oss vurdere å løse ligninger for hver av disse typene.

For å løse en ufullstendig kvadratisk ligning av formen ax 2 +c=0 for \(c \neq 0 \), overføres dens friledd til høyre side og del begge sider av ligningen med a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Høyrepil x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Siden \(c \neq 0 \), deretter \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Hvis \(-\frac(c)(a)>0\), så har ligningen to røtter.

Hvis \(-\frac(c)(a) For å løse en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 med \(b \neq 0 \) faktor dens venstre side og få ligningen
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrise)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Dette betyr at en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 \) alltid har to røtter.

En ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 =0 tilsvarer ligningen x 2 =0 og har derfor en enkelt rot 0.

Formel for røttene til en kvadratisk ligning

La oss nå vurdere hvordan vi løser kvadratiske ligninger der begge koeffisientene til de ukjente og det frie leddet ikke er null.

La oss løse den andregradsligningen i generell form, og som et resultat får vi formelen for røttene. Denne formelen kan deretter brukes til å løse enhver kvadratisk ligning.

Løs den andregradsligningen ax 2 +bx+c=0

Ved å dele begge sider med a, får vi den ekvivalente reduserte andregradsligningen
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

La oss transformere denne ligningen ved å velge kvadratet til binomialet:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2- \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Høyrepil \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 - \frac(c)(a) \Høyrepil \) \(\venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Høyrepil \venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Høyrepil \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Høyrepil x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Høyrepil \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Det radikale uttrykket kalles diskriminant av en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 ("diskriminerende" på latin - diskriminator). Det er betegnet med bokstaven D, dvs.
\(D = b^2-4ac\)

Nå, ved å bruke diskriminantnotasjonen, omskriver vi formelen for røttene til den kvadratiske ligningen:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), hvor \(D= b^2-4ac \)

Det er åpenbart at:
1) Hvis D>0, så har andregradsligningen to røtter.
2) Hvis D=0, så har den andregradsligningen én rot \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Hvis D Altså, avhengig av verdien av diskriminanten, kan en andregradsligning ha to røtter (for D > 0), en rot (for D = 0) eller ha ingen røtter (for D Når du løser en andregradsligning ved å bruke denne formel, er det tilrådelig å gjøre følgende:
1) beregne diskriminanten og sammenligne den med null;
2) hvis diskriminanten er positiv eller lik null, bruk rotformelen; hvis diskriminanten er negativ, skriv ned at det ikke er noen røtter.

Vietas teorem

Den gitte andregradsligningen ax 2 -7x+10=0 har røttene 2 og 5. Summen av røttene er 7, og produktet er 10. Vi ser at summen av røttene er lik den andre koeffisienten tatt med det motsatte tegn, og produktet av røttene er lik frileddet. Enhver redusert kvadratisk ligning som har røtter har denne egenskapen.

Summen av røttene til den ovennevnte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

De. Vietas teorem sier at røttene x 1 og x 2 av den reduserte kvadratiske ligningen x 2 +px+q=0 har egenskapen:
\(\venstre\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Første nivå

Kvadratiske ligninger. Omfattende guide (2019)

I begrepet "kvadratisk ligning" er nøkkelordet "kvadratisk." Dette betyr at ligningen nødvendigvis må inneholde en variabel (den samme x) i annen, og det skal ikke være x-er til den tredje (eller større) potensen.

Løsningen av mange ligninger kommer ned til å løse andregradsligninger.

La oss lære å bestemme at dette er en andregradsligning og ikke en annen ligning.

Eksempel 1.

La oss kvitte oss med nevneren og gange hvert ledd i ligningen med

La oss flytte alt til venstre side og ordne begrepene i synkende rekkefølge av potenser til X

Nå kan vi med sikkerhet si at denne ligningen er kvadratisk!

Eksempel 2.

Multipliser venstre og høyre side med:

Denne ligningen, selv om den opprinnelig var i den, er ikke kvadratisk!

Eksempel 3.

La oss gange alt med:

Skummelt? Den fjerde og andre graden... Men hvis vi gjør en erstatning, vil vi se at vi har en enkel andregradsligning:

Eksempel 4.

Det ser ut til å være der, men la oss se nærmere. La oss flytte alt til venstre side:

Se, det er redusert - og nå er det en enkel lineær ligning!

Prøv nå å bestemme selv hvilke av følgende ligninger som er kvadratiske og hvilke som ikke er det:

Eksempler:

Svar:

1. torget;
2. torget;
3. ikke firkantet;
4. ikke firkantet;
5. ikke firkantet;
6. torget;
7. ikke firkantet;
8. torget.

Matematikere deler konvensjonelt alle kvadratiske ligninger inn i følgende typer:

• Fullfør andregradsligninger- ligninger der koeffisientene og, samt frileddet c, ikke er lik null (som i eksempelet). I tillegg er det blant komplette andregradsligninger gitt- dette er ligninger der koeffisienten (ligningen fra eksempel en ikke bare er fullstendig, men også redusert!)

• Ufullstendige andregradsligninger- ligninger der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

  De er ufullstendige fordi de mangler et element. Men ligningen må alltid inneholde x i annen!!! Ellers vil det ikke lenger være en andregradsligning, men en annen ligning.

Hvorfor kom de med en slik inndeling? Det ser ut til at det er et X i kvadrat, og det er greit. Denne inndelingen bestemmes av løsningsmetodene. La oss se på hver av dem mer detaljert.

Løse ufullstendige andregradsligninger

La oss først fokusere på å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er mye enklere!

Det finnes typer ufullstendige kvadratiske ligninger:

1. , i denne ligningen er koeffisienten lik.
2. , i denne ligningen er frileddet lik.
3. , i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

1. jeg. Fordi vi vet hvordan vi skal trekke ut Kvadratrot, så la oss uttrykke fra denne ligningen

Uttrykket kan enten være negativt eller positivt. Et tall i annen kan ikke være negativt, for når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være positivt tall, så: hvis, så har ligningen ingen løsninger.

Og hvis, så får vi to røtter. Det er ikke nødvendig å huske disse formlene. Det viktigste er at du må vite og alltid huske at det ikke kan være mindre.

La oss prøve å løse noen eksempler.

Eksempel 5:

Løs ligningen

Nå gjenstår det bare å trekke ut roten fra venstre og høyre side. Tross alt, husker du hvordan du trekker ut røtter?

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!!!

Eksempel 6:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 7:

Løs ligningen

Åh! Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter!

For slike ligninger som ikke har røtter, kom matematikere opp med et spesielt ikon - (tomt sett). Og svaret kan skrives slik:

Svar:

Dermed har denne kvadratiske ligningen to røtter. Det er ingen begrensninger her, siden vi ikke hentet ut roten.
Eksempel 8:

Løs ligningen

La oss ta den felles faktoren ut av parentes:

Dermed,

Denne ligningen har to røtter.

Svar:

Den enkleste typen ufullstendige kvadratiske ligninger (selv om de alle er enkle, ikke sant?). Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Vi vil avstå fra eksempler her.

Løse komplette andregradsligninger

Vi minner om at en komplett kvadratisk ligning er en ligning av formen ligning der

Å løse komplette andregradsligninger er litt vanskeligere (bare litt) enn disse.

Huske, Enhver kvadratisk ligning kan løses ved hjelp av en diskriminant! Til og med ufullstendig.

De andre metodene vil hjelpe deg å gjøre det raskere, men hvis du har problemer med kvadratiske ligninger, må du først mestre løsningen ved å bruke diskriminanten.

1. Løse andregradsligninger ved hjelp av en diskriminant.

Å løse kvadratiske ligninger ved hjelp av denne metoden er veldig enkelt; det viktigste er å huske rekkefølgen av handlinger og et par formler.

Hvis, så har ligningen en rot. Spesiell oppmerksomhet Ta et skritt. Diskriminant () forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, vil formelen i trinnet reduseres til. Dermed vil ligningen kun ha en rot.
• Hvis, så vil vi ikke være i stand til å trekke ut roten til diskriminanten på trinnet. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

La oss gå tilbake til ligningene våre og se på noen eksempler.

Eksempel 9:

Løs ligningen

Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at ligningen har to røtter.

Trinn 3.

Svar:

Eksempel 10:

Løs ligningen

Ligningen er presentert i standardform, så Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at ligningen har én rot.

Svar:

Eksempel 11:

Løs ligningen

Ligningen er presentert i standardform, så Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at vi ikke vil være i stand til å trekke ut roten til diskriminanten. Det er ingen røtter til ligningen.

Nå vet vi hvordan vi skal skrive ned slike svar riktig.

Svar: ingen røtter

2. Løse andregradsligninger ved hjelp av Vietas teorem.

Hvis du husker, er det en type ligning som kalles redusert (når koeffisienten a er lik):

Slike ligninger er veldig enkle å løse ved å bruke Vietas teorem:

Summen av røtter gitt andregradsligningen er lik, og produktet av røttene er lik.

Eksempel 12:

Løs ligningen

Denne ligningen kan løses ved å bruke Vietas teorem fordi .

Summen av røttene til ligningen er lik, dvs. vi får den første ligningen:

Og produktet er lik:

La oss komponere og løse systemet:

• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Svar: ; .

Eksempel 13:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 14:

Løs ligningen

Ligningen er gitt, som betyr:

Svar:

KVADRATISKE LIGNINGER. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Hva er en andregradsligning?

Med andre ord, en andregradsligning er en ligning av formen, hvor - det ukjente, - noen tall, og.

Tallet kalles det høyeste eller første koeffisient kvadratisk ligning, - andre koeffisient, A - gratis medlem.

Hvorfor? For hvis ligningen umiddelbart blir lineær, fordi vil forsvinne.

I dette tilfellet kan og være lik null. I denne stolen kalles ligningen ufullstendig. Hvis alle vilkårene er på plass, det vil si at ligningen er komplett.

Løsninger på ulike typer kvadratiske ligninger

Metoder for å løse ufullstendige andregradsligninger:

La oss først se på metoder for å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er enklere.

Vi kan skille mellom følgende typer ligninger:

I., i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

II. , i denne ligningen er koeffisienten lik.

III. , i denne ligningen er frileddet lik.

La oss nå se på løsningen for hver av disse undertypene.

Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Et kvadratert tall kan ikke være negativt, for når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være et positivt tall. Derfor:

hvis, så har ligningen ingen løsninger;

hvis vi har to røtter

Det er ikke nødvendig å huske disse formlene. Det viktigste å huske er at det ikke kan være mindre.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!

Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter.

For å kort skrive ned at et problem ikke har noen løsninger, bruker vi det tomme sett-ikonet.

Svar:

Så denne ligningen har to røtter: og.

Svar:

La oss ta den felles faktoren ut av parentes:

Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Dette betyr at ligningen har en løsning når:

Så denne andregradsligningen har to røtter: og.

Eksempel:

Løs ligningen.

Løsning:

La oss faktorisere venstre side av ligningen og finne røttene:

Svar:

Metoder for å løse komplette kvadratiske ligninger:

1. Diskriminerende

Å løse kvadratiske ligninger på denne måten er enkelt, det viktigste er å huske handlingssekvensen og et par formler. Husk at enhver annengradsligning kan løses ved hjelp av en diskriminant! Til og med ufullstendig.

La du merke til roten fra diskriminanten i formelen for røtter? Men diskriminanten kan være negativ. Hva å gjøre? Vi må være spesielt oppmerksomme på trinn 2. Diskriminanten forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, så har ligningen røtter:
• Hvis, så har ligningen de samme røttene, og faktisk en rot:

  Slike røtter kalles dobbeltrøtter.

• Hvis, så trekkes ikke roten til diskriminanten ut. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

Hvorfor er det mulig forskjellige mengder røtter? La oss gå til geometrisk sans kvadratisk ligning. Grafen til funksjonen er en parabel:

I et spesielt tilfelle, som er en andregradsligning, . Dette betyr at røttene til en kvadratisk ligning er skjæringspunktene med abscisseaksen (aksen). En parabel kan ikke krysse aksen i det hele tatt, eller kan krysse den ved ett (når parabelens toppunkt ligger på aksen) eller to punkter.

I tillegg er koeffisienten ansvarlig for retningen til grenene til parablen. Hvis, så er grenene til parablen rettet oppover, og hvis, så nedover.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Svar: .

Svar:

Dette betyr at det ikke finnes noen løsninger.

Svar: .

2. Vietas teorem

Det er veldig enkelt å bruke Vietas teorem: du trenger bare å velge et tallpar hvis produkt er lik ligningens frie ledd, og summen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn.

Det er viktig å huske at Vietas teorem kun kan brukes i reduserte andregradsligninger ().

La oss se på noen eksempler:

Eksempel #1:

Løs ligningen.

Løsning:

Denne ligningen kan løses ved å bruke Vietas teorem fordi . Andre koeffisienter: ; .

Summen av røttene til ligningen er:

Og produktet er lik:

La oss velge par med tall hvis produkt er likt og sjekke om summen deres er lik:

• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Dermed og er røttene til ligningen vår.

Svar: ; .

Eksempel #2:

Løsning:

La oss velge tallpar som gir i produktet, og så sjekke om summen deres er lik:

og: de gir totalt.

og: de gir totalt. For å få det er det nok å bare endre tegnene på de antatte røttene: og tross alt produktet.

Svar:

Eksempel #3:

Løsning:

Frileddet til ligningen er negativ, og derfor er produktet av røttene et negativt tall. Dette er bare mulig hvis en av røttene er negativ og den andre er positiv. Derfor er summen av røttene lik forskjellene på modulene deres.

La oss velge par med tall som gir produktet, og hvis forskjell er lik:

og: deres forskjell er lik - passer ikke;

og: - ikke egnet;

og: - ikke egnet;

og: - egnet. Alt som gjenstår er å huske at en av røttene er negativ. Siden summen deres må være lik, må roten med den mindre modulen være negativ: . Vi sjekker:

Svar:

Eksempel #4:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er gitt, som betyr:

Frileddet er negativt, og derfor er produktet av røttene negativt. Og dette er bare mulig når en rot av ligningen er negativ og den andre er positiv.

La oss velge par med tall hvis produkt er likt, og deretter bestemme hvilke røtter som skal ha et negativt fortegn:

Åpenbart er bare røttene og egnet for den første tilstanden:

Svar:

Eksempel #5:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er gitt, som betyr:

Summen av røttene er negativ, noe som betyr at minst én av røttene er negativ. Men siden deres produkt er positivt, betyr det at begge røttene har et minustegn.

La oss velge par med tall hvis produkt er lik:

Åpenbart er røttene tallene og.

Svar:

Enig, det er veldig praktisk å komme opp med røtter muntlig, i stedet for å regne denne ekle diskriminanten. Prøv å bruke Vietas teorem så ofte som mulig.

Men Vietas teorem er nødvendig for å lette og fremskynde å finne røttene. For at du skal dra nytte av å bruke den, må du bringe handlingene til automatikk. Og for dette, løs fem flere eksempler. Men ikke juks: du kan ikke bruke en diskriminant! Bare Vietas teorem:

Løsninger på oppgaver for selvstendig arbeid:

Oppgave 1. ((x)^(2))-8x+12=0

I følge Vietas teorem:

Som vanlig starter vi utvalget med stykket:

Ikke egnet fordi mengden;

: beløpet er akkurat det du trenger.

Svar: ; .

Oppgave 2.

Og igjen vår favoritt Vieta-setning: summen må være lik, og produktet må være lik.

Men siden det må være ikke, men, vi endrer tegnene til røttene: og (totalt).

Svar: ; .

Oppgave 3.

Hmm... Hvor er det?

Du må flytte alle termene til én del:

Summen av røttene er lik produktet.

Ok, stopp! Ligningen er ikke gitt. Men Vietas teorem er kun anvendelig i de gitte ligningene. Så først må du gi en ligning. Hvis du ikke kan lede, gi opp denne ideen og løs den på en annen måte (for eksempel gjennom en diskriminant). La meg minne deg på at å gi en kvadratisk ligning betyr å gjøre den ledende koeffisienten lik:

Flott. Da er summen av røttene lik og produktet.

Her er det like enkelt som å avskalle pærer å velge: det er tross alt et primtall (beklager tautologien).

Svar: ; .

Oppgave 4.

Det gratis medlemmet er negativt. Hva er spesielt med dette? Og faktum er at røttene vil ha forskjellige tegn. Og nå, under utvalget, sjekker vi ikke summen av røttene, men forskjellen i modulene deres: denne forskjellen er lik, men et produkt.

Så røttene er lik og, men en av dem er minus. Vietas teorem forteller oss at summen av røttene er lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn, altså. Dette betyr at den mindre roten vil ha minus: og siden.

Svar: ; .

Oppgave 5.

Hva bør du gjøre først? Det stemmer, gi ligningen:

Igjen: vi velger faktorene til tallet, og forskjellen deres skal være lik:

Røttene er lik og, men en av dem er minus. Hvilken? Summen deres skal være lik, noe som betyr at minus vil ha en større rot.

Svar: ; .

La meg oppsummere:

1. Vietas teorem brukes bare i de andregradsligningene som er gitt.
2. Ved å bruke Vietas teorem kan du finne røttene ved seleksjon, muntlig.
3. Hvis ligningen ikke er gitt eller det ikke finnes et passende par av faktorer for frileddet, er det ingen hele røtter, og du må løse det på en annen måte (for eksempel gjennom en diskriminant).

3. Metode for å velge en komplett firkant

Hvis alle ledd som inneholder det ukjente er representert i form av termer fra forkortede multiplikasjonsformler - kvadratet av summen eller differansen - så etter å ha erstattet variabler, kan ligningen presenteres i form av en ufullstendig kvadratisk ligning av typen.

For eksempel:

Eksempel 1:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

Eksempel 2:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

Generelt vil transformasjonen se slik ut:

Dette innebærer: .

Minner deg ikke om noe? Dette er en diskriminerende ting! Det var akkurat slik vi fikk diskriminantformelen.

KVADRATISKE LIGNINGER. KORT OM HOVEDTINGENE

Kvadratisk ligning- dette er en likning av formen, der - det ukjente, - koeffisientene til kvadratisk likning, - frileddet.

Fullfør andregradsligningen- en ligning der koeffisientene ikke er lik null.

Redusert andregradsligning- en ligning der koeffisienten, det vil si: .

Ufullstendig andregradsligning- en ligning der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

• hvis koeffisienten, ser ligningen slik ut: ,
• hvis det er et fritt ledd, har ligningen formen: ,
• hvis og, ser ligningen slik ut: .

1. Algoritme for å løse ufullstendige andregradsligninger

1.1. En ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) La oss uttrykke det ukjente: ,

2) Sjekk tegnet til uttrykket:

• hvis, så har ligningen ingen løsninger,
• hvis, så har ligningen to røtter.

1.2. En ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) La oss ta den felles faktoren ut av parentes: ,

2) Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Derfor har ligningen to røtter:

1.3. En ufullstendig andregradsligning av formen, der:

Denne ligningen har alltid bare én rot: .

2. Algoritme for å løse komplette andregradsligninger av formen hvor

2.1. Løsning ved hjelp av diskriminant

1) La oss redusere ligningen til standard visning: ,

2) La oss beregne diskriminanten ved å bruke formelen: , som indikerer antall røtter til ligningen:

3) Finn røttene til ligningen:

• hvis, så har ligningen røtter, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen en rot, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen ingen røtter.

2.2. Løsning ved hjelp av Vietas teorem

Summen av røttene til den reduserte andregradsligningen (ligningen av formen hvor) er lik, og produktet av røttene er lik, dvs. , A.

2.3. Løsning ved å velge en komplett firkant

Andregradsligninger studeres i 8. klasse, så det er ikke noe komplisert her. Evnen til å løse dem er helt nødvendig.

En andregradsligning er en ligning av formen ax 2 + bx + c = 0, hvor koeffisientene a, b og c er vilkårlige tall, og a ≠ 0.

Før du studerer spesifikke metoder løsninger, merk at alle kvadratiske ligninger kan deles inn i tre klasser:

1. Har ingen røtter;
2. Ha nøyaktig én rot;
3. De har to forskjellige røtter.

Dette er en viktig forskjell mellom kvadratiske ligninger og lineære, der roten alltid eksisterer og er unik. Hvordan bestemme hvor mange røtter en ligning har? Det er en fantastisk ting for dette - diskriminerende.

Diskriminerende

La andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0. Da er diskriminanten ganske enkelt tallet D = b 2 − 4ac.

Du må kunne denne formelen utenat. Hvor det kommer fra er ikke viktig nå. En annen ting er viktig: ved fortegnet til diskriminanten kan du bestemme hvor mange røtter en kvadratisk ligning har. Nemlig:

1. Hvis D< 0, корней нет;
2. Hvis D = 0, er det nøyaktig én rot;
3. Hvis D > 0, vil det være to røtter.

Vær oppmerksom på: diskriminanten indikerer antall røtter, og ikke i det hele tatt deres tegn, som mange av en eller annen grunn tror. Ta en titt på eksemplene og du vil forstå alt selv:

Oppgave. Hvor mange røtter har kvadratiske ligninger:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

La oss skrive ut koeffisientene for den første ligningen og finne diskriminanten:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Så diskriminanten er positiv, så ligningen har to forskjellige røtter. Vi analyserer den andre ligningen på lignende måte:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminanten er negativ, det er ingen røtter. Den siste ligningen som er igjen er:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminanten er null - roten vil være én.

Vær oppmerksom på at koeffisienter er skrevet ned for hver ligning. Ja, det er langt, ja, det er kjedelig, men du vil ikke blande oddsen og gjøre dumme feil. Velg selv: hastighet eller kvalitet.

Forresten, hvis du får taket på det, trenger du etter en stund ikke å skrive ned alle koeffisientene. Du vil utføre slike operasjoner i hodet ditt. De fleste begynner å gjøre dette et sted etter 50-70 løste ligninger - generelt sett ikke så mye.

Røttene til en andregradsligning

La oss nå gå videre til selve løsningen. Hvis diskriminanten D > 0, kan røttene bli funnet ved å bruke formlene:

Grunnformel for røttene til en andregradsligning

Når D = 0, kan du bruke hvilken som helst av disse formlene - du vil få samme tall, som vil være svaret. Til slutt, hvis D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Første ligning:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ligningen har to røtter. La oss finne dem:

Andre ligning:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ligningen har igjen to røtter. La oss finne dem

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Til slutt den tredje ligningen:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ligningen har én rot. Enhver formel kan brukes. For eksempel den første:

Som du kan se fra eksemplene, er alt veldig enkelt. Hvis du kan formlene og kan telle, vil det ikke være noen problemer. Oftest oppstår feil når du erstatter negative koeffisienter i formelen. Her igjen vil teknikken beskrevet ovenfor hjelpe: se på formelen bokstavelig talt, skriv ned hvert trinn - og veldig snart vil du bli kvitt feil.

Ufullstendige andregradsligninger

Det hender at en andregradsligning er litt forskjellig fra det som er gitt i definisjonen. For eksempel:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Det er lett å legge merke til at disse ligningene mangler ett av begrepene. Slike kvadratiske ligninger er enda enklere å løse enn standardligninger: de krever ikke engang beregning av diskriminanten. Så la oss introdusere et nytt konsept:

Ligningen ax 2 + bx + c = 0 kalles en ufullstendig andregradsligning hvis b = 0 eller c = 0, dvs. koeffisienten til variabelen x eller det frie elementet er lik null.

Selvfølgelig er et veldig vanskelig tilfelle mulig når begge disse koeffisientene er lik null: b = c = 0. I dette tilfellet har ligningen formen ax 2 = 0. En slik ligning har åpenbart en enkelt rot: x = 0.

La oss vurdere de resterende tilfellene. La b = 0, så får vi en ufullstendig andregradsligning på formen ax 2 + c = 0. La oss transformere den litt:

Siden den aritmetiske kvadratroten kun eksisterer av et ikke-negativt tall, gir den siste likheten bare mening for (−c /a) ≥ 0. Konklusjon:

1. Hvis ulikheten (−c /a) ≥ 0 er tilfredsstilt i en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c = 0, vil det være to røtter. Formelen er gitt ovenfor;
2. Hvis (−c /a)< 0, корней нет.

Som du kan se, var det ikke nødvendig med en diskriminant - det er ingen komplekse beregninger i det hele tatt i ufullstendige kvadratiske ligninger. Faktisk er det ikke engang nødvendig å huske ulikheten (−c /a) ≥ 0. Det er nok å uttrykke verdien x 2 og se hva som er på den andre siden av likhetstegnet. Hvis det er et positivt tall, vil det være to røtter. Hvis det er negativt, blir det ingen røtter i det hele tatt.

La oss nå se på ligninger av formen ax 2 + bx = 0, der det frie elementet er lik null. Alt er enkelt her: det vil alltid være to røtter. Det er nok å faktorisere polynomet:

Å ta den felles faktoren ut av parentes

Produktet er null når minst én av faktorene er null. Det er her røttene kommer fra. Avslutningsvis, la oss se på noen av disse ligningene:

Oppgave. Løs kvadratiske ligninger:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Det er ingen røtter, fordi et kvadrat kan ikke være lik et negativt tall.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.