Løse logaritmer for dummies. Overgang til ny stiftelse

Logaritme av b (b > 0) til grunntall a (a > 0, a ≠ 1) er eksponenten du må heve tallet a til for å få b.

Grunntallet 10 logaritmen til b kan skrives som logg(b), og logaritmen til grunntallet e (naturlig logaritme) - ln(b).

Ofte brukt når du løser problemer med logaritmer:

Egenskaper til logaritmer

Det er fire hoved egenskapene til logaritmer.

La a > 0, a ≠ 1, x > 0 og y > 0.

Egenskap 1. Logaritme av produktet

Logaritme av produktet er lik summen av logaritmer:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Egenskap 2. Logaritme av kvotienten

Logaritme av kvotienten er lik forskjellen av logaritmer:

log a (x / y) = log a x – log a y

Egenskap 3. Logaritme av graden

Gradslogaritme er lik produktet av graden og logaritmen:

Hvis basen til logaritmen er i eksponenten, gjelder en annen formel:

Egenskap 4. Logaritme av roten

Denne egenskapen kan fås fra egenskapen til logaritmen til graden, siden roten av den n-te graden er lik potensen 1/n:

Formelen for å gå fra en logaritme i en base til en logaritme i en annen base

Denne formelen brukes også ofte når du løser ulike oppgaver for logaritmer:

Spesielt tilfelle:

Sammenligning av logaritmer (ulikheter)

Anta at vi har 2 funksjoner f(x) og g(x) under logaritmer med samme base og det er et ulikhetstegn mellom dem:

For å sammenligne dem, må du først se på bunnen av logaritmene a:

Hvis a > 0, så f(x) > g(x) > 0
Hvis 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Hvordan løse problemer med logaritmer: eksempler

Oppgaver med logaritmer inngår i BRUK i matematikk for klasse 11 i oppgave 5 og oppgave 7, kan du finne oppgaver med løsninger på våre nettsider i de aktuelle avsnittene. Også oppgaver med logaritmer finnes i oppgavebanken i matematikk. Du finner alle eksemplene ved å søke på nettstedet.

Hva er en logaritme

Logaritmer har alltid vært ansett som et vanskelig tema i skolens matematikkkurs. Det finnes mange forskjellige definisjoner av logaritmen, men av en eller annen grunn bruker de fleste lærebøker den mest komplekse og uheldige av dem.

Vi vil definere logaritmen enkelt og tydelig. La oss lage en tabell for dette:

Så vi har to krefter.

Logaritmer - egenskaper, formler, hvordan løses

Hvis du tar tallet fra bunnlinjen, kan du enkelt finne kraften du må heve en toer til for å få dette tallet. For eksempel, for å få 16, må du heve to til den fjerde potensen. Og for å få 64, må du heve to til sjette potens. Dette kan sees fra tabellen.

Og nå - faktisk, definisjonen av logaritmen:

base a av argumentet x er potensen som tallet a må heves til for å få tallet x.

Notasjon: logg a x \u003d b, der a er basen, x er argumentet, b er faktisk det logaritmen er lik.

For eksempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (grunntall 2-logaritmen av 8 er tre fordi 2 3 = 8). Kan like gjerne logge 2 64 = 6, fordi 2 6 = 64.

Operasjonen med å finne logaritmen til et tall til en gitt base kalles. Så la oss legge til en ny rad i tabellen vår:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Dessverre er ikke alle logaritmer vurdert så lett. Prøv for eksempel å finne log 2 5. Tallet 5 er ikke i tabellen, men logikken tilsier at logaritmen vil ligge et sted på segmentet. Fordi 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Slike tall kalles irrasjonelle: tallene etter desimaltegn kan skrives i det uendelige, og de gjentas aldri. Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, er det bedre å la det være slik: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det er viktig å forstå at logaritmen er et uttrykk med to variabler (grunnlag og argument). Til å begynne med forvirrer mange mennesker hvor basen er og hvor argumentasjonen er. For å unngå irriterende misforståelser er det bare å ta en titt på bildet:

Foran oss er ikke noe mer enn definisjonen av logaritmen. Huske: logaritmen er potensen, som du må heve grunnlaget til for å få argumentet. Det er basen som er hevet til en potens – på bildet er den uthevet i rødt. Det viser seg at basen alltid er nederst! Jeg forteller denne fantastiske regelen til elevene mine allerede i den første leksjonen - og det er ingen forvirring.

Hvordan telle logaritmer

Vi fant ut definisjonen - det gjenstår å lære å telle logaritmer, dvs. bli kvitt "logg"-tegnet. Til å begynne med merker vi at to viktige fakta følger av definisjonen:

Argumentet og grunnlaget må alltid være større enn null. Dette følger av definisjonen av graden ved en rasjonell eksponent, som definisjonen av logaritmen reduseres til.
Basen må være forskjellig fra enhet, siden en enhet til enhver kraft fortsatt er en enhet. På grunn av dette er spørsmålet "til hvilken makt må man heves for å få to" meningsløst. Det er ingen slik grad!

Slike restriksjoner kalles gyldig område(ODZ). Det viser seg at ODZ til logaritmen ser slik ut: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Merk at det ikke er noen begrensninger på at tallet b (verdien av logaritmen) ikke er pålagt. For eksempel kan logaritmen godt være negativ: log 2 0,5 = −1, fordi 0,5 = 2 −1 .

Men nå vurderer vi bare numeriske uttrykk, der det ikke er nødvendig å kjenne ODZ til logaritmen. Alle begrensninger er allerede tatt i betraktning av kompilatorene av problemene. Men når logaritmiske ligninger og ulikheter spiller inn, vil DHS-kravene bli obligatoriske. I grunnlaget og argumentasjonen kan det faktisk være veldig sterke konstruksjoner, som ikke nødvendigvis samsvarer med begrensningene ovenfor.

Vurder nå det generelle opplegget for beregning av logaritmer. Den består av tre trinn:

Uttrykk grunntallet a og argumentet x som en potens med minst mulig grunntall større enn én. Underveis er det bedre å kvitte seg med desimalbrøker;
Løs ligningen for variabelen b: x = a b ;
Det resulterende tallet b vil være svaret.

Det er alt! Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, vil dette sees allerede ved første trinn. Kravet om at grunnlaget skal være større enn én er svært relevant: dette reduserer sannsynligheten for feil og forenkler beregningene betydelig. Tilsvarende med desimalbrøker: hvis du umiddelbart konverterer dem til vanlige, vil det være mange ganger færre feil.

La oss se hvordan denne ordningen fungerer med spesifikke eksempler:

En oppgave. Regn ut logaritmen: log 5 25

La oss representere grunnlaget og argumentet som en potens av fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

La oss lage og løse ligningen:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Fikk svar: 2.

En oppgave. Regn ut logaritmen:

En oppgave. Regn ut logaritmen: log 4 64

La oss representere basen og argumentet som en potens av to: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
La oss lage og løse ligningen:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Fikk svar: 3.

En oppgave. Regn ut logaritmen: log 16 1

La oss representere basen og argumentet som en potens av to: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
La oss lage og løse ligningen:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Fikk svar: 0.

En oppgave. Regn ut logaritmen: log 7 14

La oss representere basen og argumentet som en potens av syv: 7 = 7 1 ; 14 er ikke representert som en potens av syv, fordi 7 1< 14 < 7 2 ;
Det følger av forrige avsnitt at logaritmen ikke vurderes;
Svaret er ingen endring: logg 7 14.

En liten merknad til det siste eksemplet. Hvordan sikre at et tall ikke er en eksakt potens av et annet tall? Veldig enkelt - bare dekomponer det i hovedfaktorer. Hvis det er minst to forskjellige faktorer i utvidelsen, er ikke tallet en eksakt potens.

En oppgave. Finn ut om de nøyaktige potensene til tallet er: 8; 48; 81; 35; fjorten.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - den nøyaktige graden, fordi det er bare én multiplikator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 er ikke en eksakt potens fordi det er to faktorer: 3 og 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - nøyaktig grad;
35 = 7 5 - igjen ikke en eksakt grad;
14 \u003d 7 2 - igjen ikke en eksakt grad;

Merk også at selve primtallene alltid er eksakte potenser av seg selv.

Desimal logaritme

Noen logaritmer er så vanlige at de har et spesielt navn og betegnelse.

av x-argumentet er base 10-logaritmen, dvs. potensen som 10 må heves til for å oppnå x. Betegnelse: lgx.

For eksempel log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Fra nå av, når en setning som "Finn lg 0.01" vises i læreboken, må du vite at dette ikke er en skrivefeil. Dette er desimallogaritmen. Men hvis du ikke er vant til en slik betegnelse, kan du alltid skrive den om:
log x = log 10 x

Alt som er sant for vanlige logaritmer, er også sant for desimaler.

naturlig logaritme

Det er en annen logaritme som har sin egen notasjon. På en måte er det enda viktigere enn desimal. Dette er den naturlige logaritmen.

av x-argumentet er logaritmen til grunntallet e, dvs. potensen som tallet e må heves til for å få tallet x. Betegnelse: lnx.

Mange vil spørre: hva er tallet e? Dette er et irrasjonelt tall, dets eksakte verdi kan ikke finnes og skrives ned. Her er bare de første tallene:
e = 2,718281828459 …

Vi skal ikke gå nærmere inn på hva dette tallet er og hvorfor det trengs. Bare husk at e er grunnlaget for den naturlige logaritmen:
ln x = log e x

Således ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. På den annen side er ln 2 et irrasjonelt tall. Generelt er den naturlige logaritmen til ethvert rasjonelt tall irrasjonal. Bortsett fra, selvfølgelig, enhet: ln 1 = 0.

For naturlige logaritmer er alle reglene som er sanne for vanlige logaritmer gyldige.

Se også:

Logaritme. Egenskaper til logaritmen (styrken til logaritmen).

Hvordan representere et tall som en logaritme?

Vi bruker definisjonen av en logaritme.

Logaritmen er en indikator på potensen som grunntallet må heves til for å få tallet under logaritmens fortegn.

Derfor, for å representere et visst tall c som en logaritme til grunntallet a, må du sette en grad med samme grunntall som logaritmen under fortegnet til logaritmen, og skrive dette tallet c inn i eksponenten:

I form av en logaritme kan du representere absolutt et hvilket som helst tall - positivt, negativt, heltall, brøk, rasjonelt, irrasjonelt:

For ikke å forveksle a og c under stressende forhold under en test eller eksamen, kan du bruke følgende regel for å huske:

det som er under går ned, det som er over går opp.

For eksempel vil du representere tallet 2 som en logaritme til grunntallet 3.

Vi har to tall - 2 og 3. Disse tallene er grunntallet og eksponenten, som vi skal skrive under logaritmens fortegn. Det gjenstår å bestemme hvilke av disse tallene som skal skrives ned, i bunnen av graden, og hvilke - opp, i eksponenten.

Grunntallet 3 i registreringen av logaritmen er nederst, noe som betyr at når vi representerer toeren som en logaritme til grunntallet på 3, vil vi også skrive 3 ned til grunntallet.

2 er høyere enn 3. Og i notasjonen av graden skriver vi de to over de tre, det vil si i eksponenten:

Logaritmer. Første nivå.

Logaritmer

logaritme positivt tall b av grunn en, hvor a > 0, a ≠ 1, er eksponenten som tallet må heves til. en, For å oppnå b.

Definisjon av logaritme kan kort skrives slik:

Denne likestillingen gjelder for b > 0, a > 0, a ≠ 1. Han kalles vanligvis logaritmisk identitet.
Handlingen med å finne logaritmen til et tall kalles logaritme.

Egenskaper til logaritmer:

Logaritmen til produktet:

Logaritme av kvotienten fra divisjon:

Bytte ut basen til logaritmen:

Gradslogaritme:

rotlogaritme:

Logaritme med potensbase:

Desimal og naturlige logaritmer.

Desimal logaritme tall kaller basis 10-logaritmen til det tallet og skriver lg b
naturlig logaritme tall kaller logaritmen til dette tallet til basen e, hvor e er et irrasjonelt tall, omtrent lik 2,7. Samtidig skriver de ln b.

Andre merknader om algebra og geometri

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og konverteres på alle mulige måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles grunnleggende egenskaper.

Disse reglene må være kjent - ingen alvorlige logaritmiske problemer kan løses uten dem. I tillegg er det svært få av dem – alt kan læres på en dag. Så la oss komme i gang.

Addisjon og subtraksjon av logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme grunntall: logg a x og logg a y. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

Så summen av logaritmene er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er - samme grunn. Hvis grunnlagene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe til med å beregne det logaritmiske uttrykket selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

logg 6 4 + logg 6 9.

Siden basisene til logaritmene er de samme, bruker vi sumformelen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

En oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 2 48 − log 2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

En oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 3 135 − log 3 5.

Igjen, basene er de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se, er de opprinnelige uttrykkene bygd opp av "dårlige" logaritmer, som ikke vurderes separat. Men etter transformasjoner viser ganske normale tall seg. Mange tester er basert på dette faktum. Ja, kontroll - lignende uttrykk i fullt alvor (noen ganger - med praktisk talt ingen endringer) tilbys på eksamen.

Fjerne eksponenten fra logaritmen

La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om det er en grad i basen eller argumentet til logaritmen? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ-logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt, dvs. du kan legge inn tallene før tegnet for logaritmen i selve logaritmen.

Hvordan løse logaritmer

Dette er det som oftest kreves.

En oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 7 49 6 .

La oss bli kvitt graden i argumentet i henhold til den første formelen:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

En oppgave. Finn verdien av uttrykket:

Merk at nevneren er en logaritme hvis grunntall og argument er eksakte potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Vi har:

Jeg tror det siste eksemplet trenger avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. De presenterte basen og argumentet for logaritmen som sto der i form av grader og tok ut indikatorene - de fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren har samme tall: log 2 7. Siden log 2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, noe som ble gjort. Resultatet er svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om basene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?

Formler for overgang til en ny base kommer til unnsetning. Vi formulerer dem i form av et teorem:

La logaritmen logg a x gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Det følger av den andre formelen at det er mulig å bytte ut basen og argumentet til logaritmen, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen er i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid oppgaver som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra å flytte til en ny stiftelse. La oss vurdere et par av disse:

En oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 5 16 log 2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene er eksakte eksponenter. La oss ta ut indikatorene: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

La oss nå snu den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endres fra permutasjon av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og fant deretter ut logaritmene.

En oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive det ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i prosessen med å løse er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base.

I dette tilfellet vil formlene hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er verdien av logaritmen.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter slik:

Ja, hva vil skje hvis tallet b heves til en slik grad at tallet b i denne graden gir tallet a? Det stemmer: dette er det samme tallet a. Les dette avsnittet nøye igjen - mange mennesker "henger" på det.

I likhet med de nye formlene for basekonvertering er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

En oppgave. Finn verdien av uttrykket:

Legg merke til at log 25 64 = log 5 8 - tok bare ut kvadratet fra grunnflaten og argumentet til logaritmen. Gitt reglene for å multiplisere potenser med samme grunntall, får vi:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Examination 🙂

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som er vanskelige å kalle egenskaper – snarere er dette konsekvenser fra definisjonen av logaritmen. De blir stadig funnet i problemer og skaper overraskende problemer selv for "avanserte" elever.

log a a = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a fra selve basen er lik én.
log a 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet er ett, er logaritmen null! Fordi en 0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs oppgavene.

Med utviklingen av samfunnet, kompleksiteten i produksjonen, utviklet også matematikken seg. Bevegelse fra enkelt til komplekst. Fra den vanlige regnskapsmetoden addisjon og subtraksjon, med sin gjentatte repetisjon, kom de til begrepet multiplikasjon og divisjon. Reduksjonen av den multiplisere gjentatte operasjonen ble begrepet eksponentiering. De første tabellene over talls avhengighet av basen og antall eksponentiering ble kompilert tilbake på 800-tallet av den indiske matematikeren Varasena. Fra dem kan du telle tidspunktet for forekomsten av logaritmer.

Historisk omriss

Gjenopplivingen av Europa på 1500-tallet stimulerte også utviklingen av mekanikk. T krevde mye beregning knyttet til multiplikasjon og divisjon av flersifrede tall. De gamle bordene gjorde en god tjeneste. De gjorde det mulig å erstatte komplekse operasjoner med enklere - addisjon og subtraksjon. Et stort skritt fremover var arbeidet til matematikeren Michael Stiefel, publisert i 1544, der han realiserte ideen til mange matematikere. Dette gjorde det mulig å bruke tabeller ikke bare for grader i form av primtall, men også for vilkårlige rasjonelle.

I 1614 introduserte skotten John Napier, som utviklet disse ideene, det nye begrepet "logaritme av et tall." Nye komplekse tabeller ble satt sammen for å beregne logaritmene til sinus og cosinus, samt tangenter. Dette reduserte astronomenes arbeid kraftig.

Nye tabeller begynte å dukke opp, som ble brukt av forskere i tre århundrer. Det gikk mye tid før den nye operasjonen i algebra fikk sin ferdige form. Logaritmen ble definert og dens egenskaper ble studert.

Først på 1900-tallet, med fremkomsten av kalkulatoren og datamaskinen, forlot menneskeheten de eldgamle bordene som hadde vært vellykket i drift gjennom det 13. århundre.

I dag kaller vi logaritmen til b for å basere a tallet x, som er potensen til a, for å få tallet b. Dette skrives som en formel: x = log a(b).

For eksempel vil log 3(9) være lik 2. Dette er åpenbart hvis du følger definisjonen. Hvis vi hever 3 i potensen 2, får vi 9.

Dermed setter den formulerte definisjonen kun én begrensning, tallene a og b må være reelle.

Varianter av logaritmer

Den klassiske definisjonen kalles den reelle logaritmen og er egentlig en løsning på ligningen a x = b. Alternativet a = 1 er grenselinje og har ingen interesse. Merk: 1 til enhver potens er 1.

Virkelig verdi av logaritmen definert bare hvis grunntallet og argumentet er større enn 0, og grunntallet ikke må være lik 1.

Spesiell plass innen matematikk spill logaritmer, som vil bli navngitt avhengig av verdien av basen deres:

Regler og begrensninger

Den grunnleggende egenskapen til logaritmer er regelen: logaritmen til et produkt er lik den logaritmiske summen. log abp = log a(b) + log a(p).

Som en variant av denne uttalelsen vil den være: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), kvotientfunksjonen er lik forskjellen mellom funksjonene.

Det er lett å se fra de to foregående reglene at: log a(b p) = p * log a(b).

Andre eiendommer inkluderer:

Kommentar. Ikke gjør en vanlig feil - logaritmen av summen er ikke lik summen av logaritmene.

I mange århundrer var operasjonen med å finne logaritmen en ganske tidkrevende oppgave. Matematikere brukte den velkjente formelen til den logaritmiske teorien om utvidelse til et polynom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), der n er et naturlig tall som er større enn 1, som bestemmer nøyaktigheten av beregningen.

Logaritmer med andre baser ble beregnet ved å bruke teoremet om overgangen fra en base til en annen og egenskapen til logaritmen til produktet.

Siden denne metoden er veldig arbeidskrevende og når man løser praktiske problemer vanskelig å implementere, brukte de forhåndskompilerte tabeller med logaritmer, noe som akselererte hele arbeidet kraftig.

I noen tilfeller ble det brukt spesialkompilerte grafer av logaritmer, noe som ga mindre nøyaktighet, men satte betydelig fart på søket etter ønsket verdi. Kurven til funksjonen y = log a(x), bygget på flere punkter, gjør det mulig å bruke den vanlige linjalen til å finne verdiene til funksjonen på et hvilket som helst annet punkt. I lang tid brukte ingeniører det såkalte millimeterpapiret til disse formålene.

På 1600-tallet dukket de første ekstra analoge databehandlingsforholdene opp, som på 1800-tallet hadde fått en ferdig form. Den mest vellykkede enheten ble kalt lysbilderegelen. Til tross for enkelheten til enheten, akselererte utseendet betydelig prosessen med alle tekniske beregninger, og dette er vanskelig å overvurdere. For øyeblikket er det få som er kjent med denne enheten.

Fremkomsten av kalkulatorer og datamaskiner gjorde det meningsløst å bruke andre enheter.

Ligninger og ulikheter

Følgende formler brukes til å løse ulike ligninger og ulikheter ved hjelp av logaritmer:

Overgang fra en base til en annen: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Som en konsekvens av forrige versjon: log a(b) = 1 / log b(a).

For å løse ulikheter er det nyttig å vite:

Verdien av logaritmen vil bare være positiv hvis både basen og argumentet er større enn eller mindre enn én; hvis minst én betingelse brytes, vil verdien av logaritmen være negativ.
Hvis logaritmefunksjonen brukes på høyre og venstre side av ulikheten, og basen til logaritmen er større enn én, så beholdes tegnet på ulikheten; ellers endres det.

Eksempler på oppgaver

Vurder flere alternativer for bruk av logaritmer og deres egenskaper. Eksempler på å løse ligninger:

Vurder muligheten for å plassere logaritmen i graden:

Oppgave 3. Regn ut 25^log 5(3). Løsning: under betingelsene for problemet, er notasjonen lik følgende (5^2)^log5(3) eller 5^(2 * log 5(3)). La oss skrive det annerledes: 5^log 5(3*2), eller kvadratet av et tall som funksjonsargument kan skrives som kvadratet til selve funksjonen (5^log 5(3))^2. Ved å bruke egenskapene til logaritmer er dette uttrykket 3^2. Svar: Som et resultat av beregningen får vi 9.

Praktisk bruk

Siden det er et rent matematisk verktøy, virker det fjernt fra det virkelige liv at logaritmen plutselig har blitt av stor betydning for å beskrive objekter i den virkelige verden. Det er vanskelig å finne en vitenskap der den ikke brukes. Dette gjelder fullt ut ikke bare de naturlige, men også de humanistiske kunnskapsfeltene.

Logaritmiske avhengigheter

Her er noen eksempler på numeriske avhengigheter:

Mekanikk og fysikk

Historisk sett har mekanikk og fysikk alltid utviklet seg ved hjelp av matematiske forskningsmetoder og samtidig fungert som et insentiv for utvikling av matematikk, inkludert logaritmer. Teorien om de fleste fysikkens lover er skrevet på matematikkspråket. Vi gir bare to eksempler på beskrivelsen av fysiske lover ved bruk av logaritmen.

Det er mulig å løse problemet med å beregne en så kompleks mengde som hastigheten til en rakett ved å bruke Tsiolkovsky-formelen, som la grunnlaget for teorien om romutforskning:

V = I * ln(M1/M2), hvor

V er den endelige hastigheten til flyet.
I er den spesifikke impulsen til motoren.
M 1 er startmassen til raketten.
M 2 - sluttmasse.

Et annet viktig eksempel- dette er bruken i formelen til en annen stor vitenskapsmann, Max Planck, som tjener til å evaluere likevektstilstanden i termodynamikk.

S = k * ln (Ω), hvor

S er en termodynamisk egenskap.
k er Boltzmann-konstanten.
Ω er den statistiske vekten av forskjellige tilstander.

Kjemi

Mindre åpenbart ville være bruken av formler i kjemi som inneholder forholdet mellom logaritmer. Her er bare to eksempler:

Nernst-ligningen, tilstanden til redokspotensialet til mediet i forhold til aktiviteten til stoffer og likevektskonstanten.
Beregningen av slike konstanter som autoprolyseindeksen og surheten til løsningen er heller ikke komplett uten vår funksjon.

Psykologi og biologi

Og det er helt uforståelig hva psykologien har med det å gjøre. Det viser seg at sansestyrken er godt beskrevet av denne funksjonen som det omvendte forholdet mellom stimulusintensitetsverdien og den lavere intensitetsverdien.

Etter eksemplene ovenfor er det ikke lenger overraskende at temaet logaritmer også er mye brukt i biologi. Hele bind kan skrives om biologiske former som tilsvarer logaritmiske spiraler.

Andre områder

Det ser ut til at verdens eksistens er umulig uten forbindelse med denne funksjonen, og den styrer alle lover. Spesielt når naturlovene er forbundet med en geometrisk progresjon. Det er verdt å henvise til MatProfi-nettstedet, og det er mange slike eksempler på følgende aktivitetsområder:

Listen kan være uendelig. Etter å ha mestret de grunnleggende lovene for denne funksjonen, kan du stupe inn i en verden av uendelig visdom.

Så vi har to krefter. Hvis du tar tallet fra bunnlinjen, kan du enkelt finne kraften du må heve en toer til for å få dette tallet. For eksempel, for å få 16, må du heve to til den fjerde potensen. Og for å få 64, må du heve to til sjette potens. Dette kan sees fra tabellen.

Og nå - faktisk, definisjonen av logaritmen:

Logaritmen til grunntallet a i argumentet x er potensen som tallet a må heves til for å få tallet x .

Notasjon: logg a x \u003d b, der a er basen, x er argumentet, b er faktisk det logaritmen er lik.

For eksempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (grunntall 2-logaritmen av 8 er tre fordi 2 3 = 8). Kan like gjerne logge 2 64 = 6 fordi 2 6 = 64 .

Operasjonen med å finne logaritmen til et tall til en gitt base kalles logaritmen. Så la oss legge til en ny rad i tabellen vår:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Dessverre er ikke alle logaritmer vurdert så lett. Prøv for eksempel å finne logg 2 5 . Tallet 5 er ikke i tabellen, men logikken tilsier at logaritmen vil ligge et sted på segmentet. Fordi 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Vi fant ut definisjonen - det gjenstår å lære å telle logaritmer, dvs. bli kvitt "logg"-tegnet. Til å begynne med merker vi at to viktige fakta følger av definisjonen:

Argumentet og grunnlaget må alltid være større enn null. Dette følger av definisjonen av graden ved en rasjonell eksponent, som definisjonen av logaritmen reduseres til.
Basen må være forskjellig fra enhet, siden en enhet til enhver kraft fortsatt er en enhet. På grunn av dette er spørsmålet "til hvilken makt må man heves for å få to" meningsløst. Det er ingen slik grad!

Slike restriksjoner kalles gyldig område(ODZ). Det viser seg at ODZ til logaritmen ser slik ut: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Merk at det ikke er noen begrensninger på at tallet b (verdien av logaritmen) ikke er pålagt. For eksempel kan logaritmen godt være negativ: log 2 0,5 \u003d -1, fordi 0,5 = 2 −1 .

Vurder nå det generelle opplegget for beregning av logaritmer. Den består av tre trinn:

Uttrykk grunntallet a og argumentet x som en potens med minst mulig grunntall større enn én. Underveis er det bedre å kvitte seg med desimalbrøker;
Løs ligningen for variabelen b: x = a b ;
Det resulterende tallet b vil være svaret.

La oss se hvordan denne ordningen fungerer med spesifikke eksempler:

En oppgave. Regn ut logaritmen: log 5 25

La oss representere grunnlaget og argumentet som en potens av fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

La oss lage og løse ligningen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Fikk svar: 2.

En oppgave. Regn ut logaritmen:

En oppgave. Regn ut logaritmen: log 4 64

La oss representere basen og argumentet som en potens av to: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
La oss lage og løse ligningen:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Fikk svar: 3.

En oppgave. Regn ut logaritmen: log 16 1

La oss representere basen og argumentet som en potens av to: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
La oss lage og løse ligningen:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Fikk svar: 0.

En oppgave. Regn ut logaritmen: log 7 14

La oss representere basen og argumentet som en potens av syv: 7 = 7 1 ; 14 er ikke representert som en potens av syv, fordi 7 1< 14 < 7 2 ;
Det følger av forrige avsnitt at logaritmen ikke vurderes;
Svaret er ingen endring: logg 7 14.

En oppgave. Finn ut om de nøyaktige potensene til tallet er: 8; 48; 81; 35; fjorten .

Merk også at selve primtallene alltid er eksakte potenser av seg selv.

Desimal logaritme

Noen logaritmer er så vanlige at de har et spesielt navn og betegnelse.

Desimallogaritmen til x-argumentet er basis 10-logaritmen, dvs. kraften du må heve tallet 10 til for å få tallet x. Betegnelse: lg x .

For eksempel log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Alt som er sant for vanlige logaritmer, er også sant for desimaler.

naturlig logaritme

Det er en annen logaritme som har sin egen notasjon. På en måte er det enda viktigere enn desimal. Dette er den naturlige logaritmen.

Den naturlige logaritmen til x er basen e-logaritmen, dvs. potensen som tallet e må heves til for å oppnå tallet x. Betegnelse: ln x .

Mange vil spørre: hva annet er tallet e? Dette er et irrasjonelt tall, dets eksakte verdi kan ikke finnes og skrives ned. Her er bare de første tallene:
e = 2,718281828459...

Vi skal ikke gå nærmere inn på hva dette tallet er og hvorfor det trengs. Bare husk at e er grunnlaget for den naturlige logaritmen:
ln x = log e x

Dermed ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. På den annen side er ln 2 et irrasjonelt tall. Generelt er den naturlige logaritmen til ethvert rasjonelt tall irrasjonal. Bortsett fra, selvfølgelig, enhet: ln 1 = 0.

For naturlige logaritmer er alle reglene som er sanne for vanlige logaritmer gyldige.

I dag skal vi snakke om logaritmeformler og gi demonstrasjon eksempler på løsninger.

I seg selv innebærer de løsningsmønstre i henhold til de grunnleggende egenskapene til logaritmer. Før vi bruker logaritmeformlene på løsningen, husker vi først alle egenskapene for deg:

Nå, basert på disse formlene (egenskapene), viser vi eksempler på løsning av logaritmer.

Eksempler på løsning av logaritmer basert på formler.

Logaritme et positivt tall b i grunntall a (betegnet log a b) er eksponenten som a må heves til for å få b, med b > 0, a > 0 og 1.

I følge definisjonen log a b = x, som tilsvarer a x = b, så log a a x = x.

Logaritmer, eksempler:

log 2 8 = 3, fordi 2 3 = 8

log 7 49 = 2 fordi 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, fordi 5 -1 = 1/5

Desimal logaritme er en vanlig logaritme, hvis basis er 10. Angitt som lg.

log 10 100 = 2 fordi 10 2 = 100

naturlig logaritme- også den vanlige logaritmelogaritmen, men med basen e (e \u003d 2,71828 ... - et irrasjonelt tall). Referert til som ln.

Det er ønskelig å huske formlene eller egenskapene til logaritmer, fordi vi vil trenge dem senere når vi skal løse logaritmer, logaritmiske ligninger og ulikheter. La oss gå gjennom hver formel på nytt med eksempler.

Grunnleggende logaritmisk identitet
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
Logaritmen til kvotienten er lik differansen til logaritmene
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Egenskaper for graden av et logaritmerbart tall og basisen til logaritmen
Eksponenten for et logaritmetall log a b m = mlog a b

Eksponent for basen til logaritmen log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

hvis m = n, får vi log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Overgang til ny stiftelse
log a b = log c b / log c a,
hvis c = b, får vi log b b = 1

så log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Som du kan se, er ikke logaritmeformlene så kompliserte som de ser ut til. Nå, etter å ha vurdert eksempler på løsning av logaritmer, kan vi gå videre til logaritmiske ligninger. Vi vil vurdere eksempler på løsning av logaritmiske ligninger mer detaljert i artikkelen: "". Ikke gå glipp!

Hvis du fortsatt har spørsmål om løsningen, skriv dem i kommentarene til artikkelen.

Merk: bestemte seg for å få en utdanning av en annen klasse studere i utlandet som et alternativ.

Hva er en logaritme?

Merk følgende!
Det er flere
materiale i spesialseksjon 555.
For de som sterkt "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Hva er en logaritme? Hvordan løse logaritmer? Disse spørsmålene forvirrer mange nyutdannede. Tradisjonelt anses temaet logaritmer som komplekst, uforståelig og skummelt. Spesielt - ligninger med logaritmer.

Dette er absolutt ikke sant. Absolutt! Tror du ikke? God. Nå, i 10-20 minutter:

1. Forstå hva er en logaritme.

2. Lær å løse en hel klasse eksponentialligninger. Selv om du ikke har hørt om dem.

3. Lær å regne ut enkle logaritmer.

Dessuten, for dette trenger du bare å vite multiplikasjonstabellen, og hvordan et tall heves til en potens ...

Jeg føler at du tviler ... Vel, hold tiden! Gå!

Løs først følgende ligning i tankene dine:

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)

du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.