Løse ulikheter av sinus cosinus. En algoritme for å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene og gjenkjenne måter å løse trigonometriske ulikheter på

Flest studenter trigonometriske ulikheter misliker. Men til ingen nytte. Som en karakter pleide å si,

“Du vet bare ikke hvordan du skal lage dem”

Så hvordan "lage mat" og med hva du skal sende inn en ulikhet med en sinus, vil vi finne ut av i denne artikkelen. Vi bestemmer på en enkel måte- ved bruk av enhetssirkel.

Så først og fremst trenger vi følgende algoritme.

Algoritme for å løse ulikheter med en sinus:

legg tallet $a$ på sinusaksen og tegn en rett linje parallelt med cosinusaksen til den skjærer sirkelen;
skjæringspunktene mellom denne linjen og sirkelen vil bli fylt ut hvis ulikheten ikke er streng, og ikke fylt ut hvis ulikheten er streng;
løsningsområdet for ulikheten vil være over linjen og opp til sirkelen hvis ulikheten inneholder tegnet "$>$", og under linjen og opp til sirkelen hvis ulikheten inneholder tegnet "$<$”;
for å finne skjæringspunktene løser vi den trigonometriske ligningen $\sin(x)=a$, vi får $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
ved å sette $n=0$ finner vi det første skjæringspunktet (det ligger enten i første eller fjerde kvadrant);
for å finne det andre punktet, ser vi i hvilken retning vi går over området til det andre skjæringspunktet: hvis i positiv retning, skal $n=1$ tas, og hvis i negativ retning, så $n=- 1$;
som svar blir intervallet fra det mindre skjæringspunktet $+ 2\pi n$ til det større $+ 2\pi n$ skrevet ut.

Algoritmebegrensning

Viktig: d denne algoritmen virker ikke for ulikheter på formen $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Spesielle tilfeller ved løsning av en ulikhet med en sinus

Det er også viktig å merke seg følgende tilfeller, som er mye mer praktisk å løse logisk uten å bruke algoritmen ovenfor.

spesielt tilfelle 1. Løs ulikheten:

$\sin(x) \leq 1.$

På grunn av at rekkevidden trigonometrisk funksjon$y=\sin(x)$ er høyst modulo $1$, deretter venstre side av ulikheten for noen$x$ fra domenet (og domenet til sinusen er alt reelle tall) maksimalt $1$. Og derfor skriver vi som svar: $x \in R$.

Konsekvens:

$\sin(x) \geq -1.$

Spesialtilfelle 2. Løs ulikheten:

$\sin(x)< 1.$

Ved å bruke argumenter som ligner på spesialtilfellet 1, får vi at venstre side av ulikheten er mindre enn $1$ for alle $x \i R$, bortsett fra punktene som er løsningen av ligningen $\sin(x) = 1$. Ved å løse denne ligningen vil vi ha:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Og derfor skriver vi som svar: $x \in R \backslash \left$(-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right$$.

Konsekvens: ulikheten løses på samme måte

$\sin(x) > -1.$

Eksempler på å løse ulikheter ved hjelp av en algoritme.

Eksempel 1: Løs ulikheten:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

Legg merke til koordinaten $\frac(1)(2)$ på sinusaksen.
Tegn en linje parallelt med cosinus-aksen og passerer gjennom dette punktet.
Legg merke til skjæringspunktene. De vil bli skyggelagt fordi ulikheten ikke er streng.
Ulikhetstegnet er $\geq$, som betyr at vi maler over området over streken, dvs. mindre halvsirkel.
Finn det første skjæringspunktet. For å gjøre dette, gjør du ulikheten til en likhet og løser den: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Vi setter videre $n=0$ og finner det første skjæringspunktet: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
Vi finner det andre punktet. Området vårt går i positiv retning fra det første punktet, så vi setter $n$ lik $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Dermed vil løsningen ha formen:

$x \in \venstre[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \ n \i Z.$

Eksempel 2: Løs ulikheten:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Vi markerer koordinaten $- \frac(1)(2)$ på sinusaksen og tegner en rett linje parallelt med cosinusaksen og går gjennom dette punktet. Legg merke til skjæringspunktene. De vil ikke skygges, siden ulikheten er streng. Ulikhet tegn $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\venstre(-\frac(1)(2)\høyre))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Setter vi ytterligere $n=0$, finner vi det første skjæringspunktet: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Området vårt går i negativ retning fra det første punktet, så vi setter $n$ lik $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6) ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Så løsningen på denne ulikheten vil være intervallet:

$x \i \venstre(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\høyre), \ n \i Z.$

Eksempel 3: Løs ulikheten:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Dette eksemplet kan ikke løses umiddelbart ved hjelp av en algoritme. Først må du konvertere den. Vi gjør akkurat som vi ville gjort med ligningen, men glem ikke tegnet. Å dele eller multiplisere med et negativt tall reverserer det!

Så, la oss flytte alt som ikke inneholder en trigonometrisk funksjon til høyre side. Vi får:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Del venstre og høyre side med $-2$ (ikke glem skiltet!). Vil ha:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Igjen fikk vi en ulikhet som vi ikke kan løse ved hjelp av algoritmen. Men her er det nok å gjøre en endring av variabel:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Vi får en trigonometrisk ulikhet, som kan løses ved hjelp av algoritmen:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Denne ulikheten ble løst i eksempel 1, så vi vil låne svaret derfra:

$t \in \venstre[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\høyre].$

Avgjørelsen er imidlertid ikke over ennå. Vi må gå tilbake til den opprinnelige variabelen.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \i \venstre[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\høyre].$

La oss representere gapet som et system:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

På venstre side av systemet er det et uttrykk ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), som hører til intervallet. Den venstre grensen av intervallet er ansvarlig for den første ulikheten, og den høyre grensen er ansvarlig for den andre. Dessuten spiller parentesene en viktig rolle: hvis parentesen er firkantet, vil ulikheten være ikke-streng, og hvis den er rund, så streng. vår oppgave er å få $x$ til venstre i begge ulikhetene.

La oss flytte $\frac(\pi)(6)$ fra venstre side til høyre side, vi får:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$

For å forenkle vil vi ha:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(matrise) \right.$

Multipliserer venstre og høyre side med $4$, får vi:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Ved å sette sammen systemet til et intervall får vi svaret:

$x \i \venstre[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \ n \i Z.$

Ulikheter som inneholder trigonometriske funksjoner, når de er løst, reduseres til de enkleste ulikhetene av formen cos(t)>a, sint(t)=a og lignende. Og allerede er de enkleste ulikhetene løst. vurdere på ulike eksempler måter å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene på.

Eksempel 1. Løs ulikheten sin(t) > = -1/2.

Tegn en enkelt sirkel. Siden sin (t) per definisjon er y-koordinaten, markerer vi punktet y \u003d -1/2 på Oy-aksen. Vi tegner en rett linje gjennom den parallelt med x-aksen. Merk punktene Pt1 og Pt2 i skjæringspunktene til den rette linjen med enhetssirkelgrafen. Vi kobler opprinnelsen til koordinatene med punktene Pt1 og Pt2 med to segmenter.

Løsningen på denne ulikheten vil være alle punktene i enhetssirkelen som ligger over disse punktene. Med andre ord vil løsningen være buen l.. Nå er det nødvendig å angi forholdene under hvilke vilkårlig poeng vil tilhøre buen l.

Pt1 ligger i høyre halvsirkel, ordinaten er -1/2, deretter t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Følgende formel kan skrives for å beskrive punktet Pt1:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Som et resultat får vi følgende ulikhet for t:

Vi beholder ulikhetsskiltene. Og siden sinusfunksjonen er en periodisk funksjon, vil løsningene gjentas hver 2 * pi. Vi legger denne betingelsen til den resulterende ulikheten for t og skriver ned svaret.

Svar: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Eksempel 2 Løs ulikheten cos(t)<1/2.

La oss tegne en enhetssirkel. Siden dette ifølge definisjonen av cos(t) er x-koordinaten, markerer vi punktet x = 1/2 på grafen på x-aksen.
Vi trekker en rett linje gjennom dette punktet parallelt med y-aksen. Merk punktene Pt1 og Pt2 i skjæringspunktene til den rette linjen med enhetssirkelgrafen. Vi kobler opprinnelsen til koordinatene med punktene Pt1 og Pt2 med to segmenter.

Løsningene er alle punkter i enhetssirkelen som hører til buen l.. La oss finne punktene t1 og t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Vi fikk ulikheten for t: pi/3

Siden cosinus er en periodisk funksjon, vil løsningene gjentas hver 2 * pi. Vi legger denne betingelsen til den resulterende ulikheten for t og skriver ned svaret.

Svar: pi/3+2*pi*n

Eksempel 3 Løs ulikheten tg(t)< = 1.

Perioden til tangenten er pi. La oss finne løsninger som hører til intervallet (-pi/2;pi/2) den høyre halvsirkelen. Deretter, ved å bruke periodisiteten til tangenten, skriver vi ned alle løsninger av denne ulikheten. La oss tegne en enhetssirkel og markere tangentlinjen på den.

Hvis t er en løsning på ulikheten, må ordinaten til punktet T = tg(t) være mindre enn eller lik 1. Settet med slike punkter vil utgjøre strålen AT. Settet med punkter Pt som vil tilsvare punktene til denne strålen er buen l. Dessuten hører ikke punktet P(-pi/2) til denne buen.

I den praktiske leksjonen vil vi gjenta hovedtyper av oppgaver fra emnet "Trigonometri", vi vil i tillegg analysere problemer med økt kompleksitet og vurdere eksempler på å løse ulike trigonometriske ulikheter og deres systemer.

Denne leksjonen vil hjelpe deg å forberede deg til en av oppgavetypene B5, B7, C1 og C3.

La oss starte med å gjenta hovedtypene av oppgaver som vi gjennomgikk i Trigonometri-emnet og løse flere ikke-standardoppgaver.

Oppgave 1. Konverter vinkler til radianer og grader: a) ; b) .

a) Bruk formelen for å konvertere grader til radianer

Bytt den gitte verdien inn i den.

b) Bruk formelen for å konvertere radianer til grader

La oss utføre erstatningen .

Svar. a) ; b) .

Oppgave #2. Beregn: a) ; b) .

a) Siden vinkelen er langt utenfor tabellen, reduserer vi den ved å trekke fra perioden til sinusen. Fordi vinkelen er gitt i radianer, da vil perioden regnes som .

b) I dette tilfellet er situasjonen lik. Siden vinkelen er spesifisert i grader, vil vi vurdere perioden til tangenten som .

Den resulterende vinkelen, selv om den er mindre enn perioden, er større, noe som betyr at den ikke lenger refererer til hoveddelen, men til den utvidede delen av tabellen. For ikke å trene hukommelsen vår igjen ved å huske en utvidet tabell med trigofunksjonsverdier, trekker vi fra tangentperioden igjen:

Vi utnyttet rariteten til tangentfunksjonen.

Svar. a) 1; b) .

Oppgave #3. Regne ut , hvis .

Vi bringer hele uttrykket til tangenter ved å dele telleren og nevneren til brøken med . Samtidig kan vi ikke være redde for det, fordi i dette tilfellet vil verdien av tangenten ikke eksistere.

Oppgave #4. Forenkle uttrykket.

De angitte uttrykkene konverteres ved hjelp av cast-formler. Det er bare det at de er uvanlig skrevet med grader. Det første uttrykket er vanligvis et tall. Forenkle alle trigofunksjoner etter tur:

Fordi , så endres funksjonen til en kofunksjon, dvs. til cotangensen, og vinkelen faller inn i andre kvartal, der tegnet til den opprinnelige tangenten er negativt.

Av samme grunner som i forrige uttrykk endres funksjonen til en kofunksjon, dvs. til cotangensen, og vinkelen faller inn i det første kvartalet, der initialtangensen har et positivt fortegn.

Bytter ut alt til et forenklet uttrykk:

Oppgave #5. Forenkle uttrykket.

La oss skrive tangenten til dobbeltvinkelen i henhold til den tilsvarende formelen og forenkle uttrykket:

Den siste identiteten er en av de universelle erstatningsformlene for cosinus.

Oppgave #6. Regne ut .

Hovedsaken er å ikke gjøre en standardfeil og ikke gi et svar som uttrykket er lik . Det er umulig å bruke hovedegenskapen til buetangensen mens det er en faktor i form av en to i nærheten av den. For å bli kvitt det skriver vi uttrykket i henhold til formelen for tangenten til en dobbel vinkel, mens vi behandler det som et vanlig argument.

Nå er det allerede mulig å bruke hovedegenskapen til buetangensen, husk at det ikke er noen begrensninger på det numeriske resultatet.

Oppgave #7. Løs ligningen.

Når du løser en brøkligning som tilsvarer null, indikeres det alltid at telleren er null og nevneren ikke, fordi du kan ikke dele på null.

Den første ligningen er et spesialtilfelle av den enkleste ligningen, som løses ved hjelp av en trigonometrisk sirkel. Tenk på denne løsningen selv. Den andre ulikheten løses som den enkleste ligningen ved å bruke den generelle formelen for røttene til tangenten, men bare med tegnet ikke likt.

Som vi kan se, utelukker en familie av røtter en annen nøyaktig samme familie av røtter som ikke tilfredsstiller ligningen. De. det er ingen røtter.

Svar. Det er ingen røtter.

Oppgave #8. Løs ligningen.

Merk umiddelbart at du kan ta ut den felles faktoren og gjøre det:

Ligningen er redusert til en av standardformene, når produktet av flere faktorer er lik null. Vi vet allerede at i dette tilfellet er enten en av dem lik null, eller den andre eller den tredje. Vi skriver dette som et sett med ligninger:

De to første ligningene er spesielle tilfeller av de enkleste, vi har allerede møtt lignende ligninger mange ganger, så vi vil umiddelbart indikere løsningene deres. Vi reduserer den tredje ligningen til én funksjon ved å bruke sinusformelen med dobbel vinkel.

La oss løse den siste ligningen separat:

Denne ligningen har ingen røtter, fordi verdien av sinus kan ikke gå utover .

Dermed er det bare de to første familiene av røtter som er løsningen, de kan kombineres til en, som er lett å vise på en trigonometrisk sirkel:

Dette er en familie på alle halvdeler, dvs.

La oss gå videre til å løse trigonometriske ulikheter. La oss først analysere tilnærmingen til å løse et eksempel uten å bruke generelle løsningsformler, men ved hjelp av en trigonometrisk sirkel.

Oppgave #9. Løs ulikheten.

Tegn en hjelpelinje på den trigonometriske sirkelen som tilsvarer verdien av sinusen lik , og vis intervallet av vinkler som tilfredsstiller ulikheten.

Det er veldig viktig å forstå nøyaktig hvordan man spesifiserer det resulterende vinkelintervallet, dvs. hva er begynnelsen og hva er slutten. Begynnelsen av gapet vil være vinkelen som tilsvarer punktet som vi kommer inn helt i begynnelsen av gapet hvis vi beveger oss mot klokken. I vårt tilfelle er dette punktet som er til venstre, fordi beveger oss mot klokken og passerer det riktige punktet, tvert imot går vi ut av det nødvendige vinkelintervallet. Det riktige punktet vil derfor tilsvare slutten av gapet.

Nå må vi forstå verdiene til begynnelses- og sluttvinklene til gapet vårt av løsninger på ulikheten. En typisk feil er å umiddelbart angi at det høyre punktet tilsvarer vinkelen , det venstre og gi svaret. Dette er ikke sant! Vær oppmerksom på at vi nettopp har angitt intervallet som tilsvarer den øvre delen av sirkelen, selv om vi er interessert i den nedre, med andre ord, vi har blandet sammen begynnelsen og slutten av intervallet med løsninger vi trenger.

For at intervallet skal starte ved hjørnet av høyre punkt og slutte ved hjørnet av venstre punkt, må den første angitte vinkelen være mindre enn den andre. For å gjøre dette må vi måle vinkelen til det rette punktet i negativ referanseretning, dvs. med klokken og det vil være lik . Deretter, med utgangspunkt i det i positiv retning med klokken, vil vi komme til høyre punkt etter venstre punkt og få vinkelverdien for det. Nå er begynnelsen av vinkleintervallet mindre enn slutten av , og vi kan skrive løsningsintervallet uten å ta hensyn til perioden:

Tatt i betraktning at slike intervaller vil gjenta et uendelig antall ganger etter et hvilket som helst heltall av rotasjoner, får vi den generelle løsningen, tatt i betraktning sinusperioden:

Vi setter runde parenteser fordi ulikheten er streng, og vi punkterer punktene på sirkelen som tilsvarer endene av intervallet.

Sammenlign svaret ditt med formelen for den generelle løsningen som vi ga i forelesningen.

Svar. .

Denne metoden er god for å forstå hvor formlene for generelle løsninger av de enkleste trigonale ulikhetene kommer fra. I tillegg er det nyttig for de som er for late til å lære seg alle disse tungvinte formlene. Selve metoden er imidlertid heller ikke lett, velg hvilken tilnærming til løsningen som er mest praktisk for deg.

For å løse trigonometriske ulikheter kan du også bruke funksjonsgrafene som hjelpelinjen er bygget på, på samme måte som metoden vist ved bruk av enhetssirkelen. Hvis du er interessert, prøv å forstå denne tilnærmingen til løsningen selv. I det følgende skal vi bruke generelle formler for å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene.

Oppgave #10. Løs ulikheten.

Vi bruker den generelle løsningsformelen, og tar i betraktning at ulikheten ikke er streng:

Vi får i vårt tilfelle:

Svar.

Oppgave #11. Løs ulikheten.

Vi bruker den generelle løsningsformelen for den tilsvarende strenge ulikheten:

Svar. .

Oppgave #12. Løs ulikheter: a) ; b) .

I disse ulikhetene bør man ikke skynde seg å bruke formler for generelle løsninger eller en trigonometrisk sirkel, det er nok bare å huske verdien av sinus og cosinus.

a) Fordi , da er ulikheten meningsløs. Derfor finnes det ingen løsninger.

b) Fordi på samme måte tilfredsstiller sinusen til ethvert argument alltid ulikheten spesifisert i betingelsen. Derfor er ulikheten tilfredsstilt av alle reelle verdier av argumentet.

Svar. a) det er ingen løsninger; b) .

Oppgave 13. Løs ulikheten .

En algoritme for å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene og gjenkjenne måter å løse trigonometriske ulikheter på.

Lærere av høyeste kvalifikasjonskategori:

Shirko F.M. Fremskrittslandsby, MOBU-SOSH №6

Sankina L.S. Armavir, PEI Secondary School "New Way"

Det finnes ingen universelle metoder for undervisning i natur-matematiske disipliner. Hver lærer finner sine egne måter å undervise på som bare er akseptable for ham.

Vår mangeårige undervisningserfaring viser at studentene lettere lærer stoff som krever konsentrasjon av oppmerksomhet og lagring av store mengder informasjon i minnet hvis de blir lært opp til å bruke algoritmer i aktivitetene sine i den innledende fasen av å lære et komplekst emne. Et slikt tema er etter vår mening temaet for å løse trigonometriske ulikheter.

Så før vi begynner med elevene for å identifisere teknikker og metoder for å løse trigonometriske ulikheter, utarbeider og fikser vi algoritmen for å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene.

Algoritme for å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene

Vi markerer punkter på den tilsvarende aksen ( til synd x- y-akse, forcos x- OX-akse)

Vi gjenoppretter vinkelrett på aksen, som vil krysse sirkelen på to punkter.

Først på sirkelen signerer vi punktet som hører til intervallet for verdiområdet til buefunksjonen per definisjon.

Fra det signerte punktet skygger vi buen til en sirkel som tilsvarer den skyggelagte delen av aksen.

Vi legger spesielt merke til retningen på omkjøringsveien. Hvis krysset er med klokken (det vil si at det er en overgang gjennom 0), vil det andre punktet på sirkelen være negativt, hvis mot klokken - positivt.

Vi skriver svaret som et intervall, tar hensyn til periodisiteten til funksjonen.

La oss vurdere driften av algoritmen med eksempler.

1) synd ≥ 1/2;

Løsning:

Tegn en enhetssirkel.;

Vi markerer et punkt ½ på y-aksen.

Gjenopprett vinkelrett på aksen,

som skjærer sirkelen i to punkter.

Ved definisjonen av arcsine markerer vi først

punkt π/6.

Vi skygger den delen av aksen som tilsvarer

gitt ulikhet, over punktet ½.

Vi skygger buen til en sirkel som tilsvarer den skyggelagte delen av aksen.

Omkjøringen gjøres mot klokken, vi fikk punktet 5π/6.

Vi skriver svaret som et intervall, tar hensyn til periodisiteten til funksjonen;

Svar:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.

Den enkleste ulikheten løses ved hjelp av samme algoritme hvis det ikke er noen tabellverdi i svarposten.

Elever, i de første leksjonene, løser ulikheter på tavlen, uttaler hvert trinn i algoritmen høyt.

2) 5 cos x – 1 ≥ 0;

R Løsning:på

5 cos x – 1 ≥ 0;

cos x ≥ 1/5;

Tegn en enhetssirkel.

Vi markerer på OX-aksen et punkt med koordinaten 1/5.

Vi gjenoppretter vinkelrett på aksen, som

skjærer sirkelen i to punkter.

Først på sirkelen signerer vi punktet som tilhører intervallet for verdiområdet til arccosinus per definisjon (0; π).

Vi skygger den delen av aksen som tilsvarer denne ulikheten.

Starter fra signert punkt arccos 1/5, skyggelegg buen til en sirkel som tilsvarer den skraverte delen av aksen.

Omløpet gjøres med klokken (dvs. det er en overgang gjennom 0), noe som betyr at det andre punktet på sirkelen vil være negativt - arccos 1/5.

Vi skriver svaret som et intervall, tar hensyn til periodisiteten til funksjonen, fra en mindre verdi til en større.

Svar: x  [-arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], n Z.

Å forbedre evnen til å løse trigonometriske ulikheter er lettet av spørsmålene: "Hvordan vil vi løse en gruppe ulikheter?"; "Hvordan skiller en ulikhet seg fra en annen?"; "Hvordan er en ulikhet lik en annen?"; Hvordan ville svaret endret seg hvis en streng ulikhet ble gitt? Hvordan ville svaret endret seg hvis det var et tegn i stedet for tegnet ""

Oppgaven med å analysere listen over ulikheter fra synspunktet om måter å løse dem på, lar deg finne ut deres anerkjennelse.

Elevene får ulikheter å løse i klassen.

Spørsmål: Fremheve ulikhetene som krever bruk av ekvivalente transformasjoner når du reduserer den trigonometriske ulikheten til det enkleste?

Svar 1, 3, 5.

Spørsmål: Hva er ulikhetene der det kreves å betrakte et komplekst argument som et enkelt?

Svar: 1, 2, 3, 5, 6.

Spørsmål: Hva er ulikhetene der trigonometriske formler kan brukes?

Svar: 2, 3, 6.

Spørsmål: Hva er ulikhetene der du kan bruke metoden for å introdusere en ny variabel?

Svar: 6.

Oppgaven med å analysere listen over ulikheter fra synspunktet om måter å løse dem på, lar deg finne ut deres anerkjennelse. Når du utvikler ferdigheter, er det viktig å skille ut stadiene i implementeringen og formulere dem i en generell form, som presenteres i algoritmen for å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene.

Ulikheter er relasjoner av formen a › b, der a og b er uttrykk som inneholder minst én variabel. Ulikheter kan være strenge - ‹, › og ikke-strenge - ≥, ≤.

Trigonometriske ulikheter er uttrykk for formen: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, der F(x) er representert ved en eller flere trigonometriske funksjoner .

Et eksempel på den enkleste trigonometriske ulikheten er: sin x ‹ 1/2. Det er vanlig å løse slike problemer grafisk, det er utviklet to metoder for dette.

Metode 1 - Løse ulikheter ved å plotte en funksjon

For å finne et intervall som tilfredsstiller betingelsene for ulikheten sin x ‹ 1/2, må du gjøre følgende:

På koordinataksen, konstruer en sinusformet y = sin x.
På samme akse tegner du en graf av det numeriske argumentet for ulikheten, dvs. en rett linje som går gjennom punktet ½ av OY-ordinaten.
Merk skjæringspunktene til de to grafene.
Skyggelegg segmentet som er løsningen i eksempelet.

Når det er sterke tegn i et uttrykk, er ikke skjæringspunktene løsninger. Siden den minste positive perioden til sinusoiden er 2π, skriver vi svaret som følger:

Hvis fortegnene til uttrykket ikke er strenge, må løsningsintervallet omsluttes av hakeparenteser - . Svaret på problemet kan også skrives som en annen ulikhet:

Metode 2 - Løse trigonometriske ulikheter ved hjelp av enhetssirkelen

Lignende problemer løses enkelt ved hjelp av en trigonometrisk sirkel. Søkealgoritmen er veldig enkel:

Tegn først en enhetssirkel.
Deretter må du merke deg verdien av buefunksjonen til argumentet til høyre side av ulikheten på sirkelbuen.
Det er nødvendig å tegne en rett linje som går gjennom verdien av buefunksjonen parallelt med x-aksen (OX).
Etter det gjenstår det bare å velge sirkelbuen, som er settet med løsninger på den trigonometriske ulikheten.
Skriv svaret i ønsket skjema.

La oss analysere løsningstrinnene ved å bruke ulikheten sin x › 1/2 som eksempel. Punktene α og β er markert på sirkelen – verdiene

Punktene på buen plassert over α og β er intervallet for å løse den gitte ulikheten.

Hvis du trenger å løse et eksempel for cos, vil svarbuen være plassert symmetrisk til OX-aksen, og ikke OY. Du kan vurdere forskjellen mellom løsningsintervallene for sin og cos i diagrammene under i teksten.

Grafiske løsninger for tangent- og cotangente ulikheter vil avvike fra både sinus og cosinus. Dette skyldes egenskapene til funksjoner.

Arktangensen og arccotangensen er tangenter til den trigonometriske sirkelen, og den minste positive perioden for begge funksjonene er π. For raskt og riktig å bruke den andre metoden, må du huske på hvilken akse verdiene for sin, cos, tg og ctg er plottet.

Tangenttangenten går parallelt med OY-aksen. Hvis vi plotter verdien av arctg a på enhetssirkelen, vil det andre nødvendige punktet være plassert i diagonalkvartalet. hjørner

De er bruddpunkter for funksjonen, ettersom grafen har en tendens til dem, men aldri når dem.

Når det gjelder cotangens, løper tangenten parallelt med OX-aksen, og funksjonen avbrytes i punktene π og 2π.

Komplekse trigonometriske ulikheter

Hvis argumentet til ulikhetsfunksjonen ikke bare er representert av en variabel, men av et helt uttrykk som inneholder en ukjent, så snakker vi om en kompleks ulikhet. Forløpet og rekkefølgen til løsningen er noe forskjellig fra metodene beskrevet ovenfor. Anta at vi må finne en løsning på følgende ulikhet:

Den grafiske løsningen sørger for konstruksjon av en vanlig sinusformet y = sin x for vilkårlig valgte verdier av x. La oss beregne en tabell med koordinater for diagrammets referansepunkter:

Resultatet skal være en fin kurve.

For å gjøre det lettere å finne en løsning, erstatter vi det komplekse funksjonsargumentet