Løsning av eksponentielle funksjoner kalkulator online. Løse eksponentialligninger i matematikk

På 7. trinns matematikkkurs møter de først med ligninger med to variabler, men de studeres bare i sammenheng med ligningssystemer med to ukjente. Det er grunnen til at en rekke problemer faller ut av syne, der visse forhold introduseres på koeffisientene til ligningen som begrenser dem. I tillegg ignoreres også metoder for å løse problemer som "Løs en ligning i naturlige eller heltall", selv om problemer av denne typen støter på stadig oftere i USE-materialene og ved opptaksprøver.

Hvilken ligning vil bli kalt en ligning med to variabler?

Så for eksempel er ligningene 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, eller xy = 12 to-variable ligninger.

Tenk på ligningen 2x - y = 1. Den blir til en sann likhet ved x = 2 og y = 3, så dette paret med variabelverdier er løsningen på ligningen som vurderes.

Dermed er løsningen av enhver ligning med to variabler settet med ordnede par (x; y), verdiene til variablene som denne ligningen gjør om til en sann numerisk likhet.

En ligning med to ukjente kan:

EN) har én løsning. For eksempel har ligningen x 2 + 5y 2 = 0 en unik løsning (0; 0);

b) har flere løsninger. For eksempel har (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 løsninger: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) har ingen løsninger. For eksempel har likningen x 2 + y 2 + 1 = 0 ingen løsninger;

G) har uendelig mange løsninger. For eksempel, x + y = 3. Løsningene til denne ligningen vil være tall hvis sum er 3. Settet med løsninger til denne ligningen kan skrives som (k; 3 - k), der k er et hvilket som helst reelt tall.

Hovedmetodene for å løse ligninger med to variabler er metoder basert på faktoriseringsuttrykk, fremheving av hele kvadratet, bruk av egenskapene til en kvadratisk ligning, avgrensede uttrykk og evalueringsmetoder. Ligningen omdannes som regel til en form som et system for å finne ukjente kan hentes fra.

Faktorisering

Eksempel 1

Løs ligningen: xy - 2 = 2x - y.

Løsning.

Vi grupperer vilkårene med det formål å faktorisere:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Ta ut fellesfaktoren fra hver parentes:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Vi har:

y = 2, x er et hvilket som helst reelt tall eller x = -1, y er et hvilket som helst reelt tall.

Dermed, svaret er alle parene av formen (x; 2), x € R og (-1; y), y € R.

Lik null av ikke-negative tall

Eksempel 2

Løs ligningen: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Løsning.

Gruppering:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Nå kan hver parentes skjules ved å bruke kvadratforskjellsformelen.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Summen av to ikke-negative uttrykk er null bare hvis 3x - 2 = 0 og 2y - 3 = 0.

Så x = 2/3 og y = 3/2.

Svar: (2/3; 3/2).

Evalueringsmetode

Eksempel 3

Løs ligningen: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Løsning.

I hver parentes velger du hele firkanten:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Estimat betydningen av uttrykkene i parentes.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 og (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, så er venstre side av ligningen alltid minst 2. Likhet er mulig hvis:

(x + 1) 2 + 1 = 1 og (y - 2) 2 + 2 = 2, så x = -1, y = 2.

Svar: (-1; 2).

La oss bli kjent med en annen metode for å løse likninger med to variabler av andre grad. Denne metoden er at ligningen anses som kvadrat med hensyn til en variabel.

Eksempel 4

Løs ligningen: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Løsning.

La oss løse ligningen som en kvadratisk en med hensyn til x. La oss finne diskriminanten:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Ligningen vil bare ha en løsning når D = 0, dvs. hvis y = 4. Vi erstatter verdien av y i den opprinnelige ligningen og finner at x = 3.

Svar: (3; 4).

Ofte i ligninger med to ukjente indikerer restriksjoner på variabler.

Eksempel 5

Løs ligningen i heltall: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Løsning.

La oss skrive om likningen på formen x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Høyresiden av den resulterende likningen, når den deles på 5, gir en rest av 2. Derfor er ikke x 2 delelig med 5. Men kvadratet av et tall som ikke er delelig med 5 gir en rest av 1 eller 4. Dermed er likhet umulig og det finnes ingen løsninger.

Svar: ingen røtter.

Eksempel 6

Løs ligningen: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Løsning.

La oss velge hele rutene i hver parentes:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Venstre side av ligningen er alltid større enn eller lik 3. Likhet er mulig hvis |x| – 2 = 0 og y + 3 = 0. Dermed er x = ± 2, y = -3.

Svar: (2; -3) og (-2; -3).

Eksempel 7

For hvert par negative heltall (x; y) som tilfredsstiller ligningen
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, beregn summen (x + y). Svar på det minste beløpet.

Løsning.

Velg hele firkanter:

(x 2 - 2 xy + y 2) + (y 2 + 4 y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Siden x og y er heltall, er kvadratene deres også heltall. Summen av kvadratene av to heltall, lik 37, får vi hvis vi legger til 1 + 36. Derfor:

(x - y) 2 = 36 og (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 og (y + 2) 2 = 36.

Ved å løse disse systemene og ta i betraktning at x og y er negative, finner vi løsninger: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Svar: -17.

Fortvil ikke hvis du har problemer med å løse likninger med to ukjente. Med litt øvelse vil du kunne mestre enhver ligning.

Har du noen spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser ligninger med to variabler?
For å få hjelp av en veileder - registrer deg.
Den første leksjonen er gratis!

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Tjenesteoppdrag. Matrisekalkulatoren er designet for å løse systemer med lineære ligninger på en matrisemåte (se et eksempel på å løse lignende problemer).

Instruksjon. For en nettbasert løsning må du velge type ligning og angi dimensjonen til de tilsvarende matrisene.

Type ligning: A X = B X A = B A X B = C
Dimensjon på matrise A
Dimensjon på matrise B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dimensjon på matrise C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

hvor A, B, C er gitt matriser, er X den ønskede matrisen. Matriseligninger av formen (1), (2) og (3) løses gjennom den inverse matrisen A -1 . Hvis uttrykket A X - B = C er gitt, er det nødvendig å først legge til matrisene C + B og finne en løsning for uttrykket A X = D , hvor D = C + B (). Hvis uttrykket A*X = B 2 er gitt, må matrisen B først kvadreres. Det anbefales også å gjøre deg kjent med de grunnleggende operasjonene på matriser.

Eksempel #1. Trening. Finn en løsning på en matriseligning
Løsning. Betegn:
Da vil matriseligningen skrives på formen: A·X·B = C.
Determinanten til matrise A er detA=-1
Siden A er en ikke-singular matrise, er det en invers matrise A-1. Multipliser begge sider av ligningen til venstre med A -1: Multipliser begge sider av denne ligningen til venstre med A -1 og til høyre med B -1: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . Siden A A -1 = B B -1 = E og E X = X E = X, så er X = A -1 C B -1

Invers matrise A -1:
Finn den inverse matrisen B -1 .
Transponer matrise B T:
Invers matrise B -1:
Vi leter etter matrisen X ved formelen: X = A -1 C B -1

Svar:

Eksempel #2. Trening. Løs matriseligningen
Løsning. Betegn:
Da vil matriseligningen skrives på formen: A X = B.
Determinanten til matrise A er detA=0
Siden A er en degenerert matrise (determinanten er 0), har ligningen derfor ingen løsning.

Eksempel #3. Trening. Finn en løsning på en matriseligning
Løsning. Betegn:
Da vil matriseligningen skrives på formen: X·A = B.
Determinanten til matrise A er detA=-60
Siden A er en ikke-singular matrise, er det en invers matrise A-1. Multipliser til høyre på begge sider av ligningen med A -1: X A A -1 = B A -1 , hvorfra vi finner at X = B A -1
Finn den inverse matrisen A -1 .
Transponert matrise A T:
Invers matrise A -1:
Vi leter etter matrisen X ved formelen: X = B A -1


Svar: >

På forberedelsesstadiet til den endelige testingen må elever på videregående skole forbedre kunnskapen om emnet "Eksponentielle ligninger". Erfaringene fra de siste årene tilsier at slike oppgaver forårsaker visse vanskeligheter for skolebarn. Derfor må elever på videregående skole, uavhengig av deres forberedelsesnivå, nøye mestre teorien, huske formlene og forstå prinsippet for å løse slike ligninger. Etter å ha lært å takle denne typen oppgaver, vil nyutdannede kunne regne med høye poengsummer når de består eksamen i matematikk.

Gjør deg klar for eksamensprøven sammen med Shkolkovo!

Når de gjentar materialet som dekkes, står mange elever overfor problemet med å finne formlene som trengs for å løse likningene. En skolelærebok er ikke alltid tilgjengelig, og valget av nødvendig informasjon om et emne på Internett tar lang tid.

Shkolkovo utdanningsportal inviterer studenter til å bruke kunnskapsbasen vår. Vi implementerer en helt ny metode for å forberede den siste testen. Når du studerer på nettstedet vårt, vil du kunne identifisere hull i kunnskap og ta hensyn til nettopp de oppgavene som forårsaker de største vanskelighetene.

Lærere av "Shkolkovo" samlet, systematiserte og presenterte alt materialet som var nødvendig for vellykket bestått eksamen i den enkleste og mest tilgjengelige formen.

Hoveddefinisjonene og formlene er presentert i delen "Teoretisk referanse".

For en bedre assimilering av stoffet anbefaler vi at du øver på oppgavene. Se nøye gjennom eksemplene på eksponentialligninger med løsninger presentert på denne siden for å forstå beregningsalgoritmen. Deretter fortsetter du med oppgavene i delen "Kataloger". Du kan starte med de enkleste oppgavene eller gå rett til å løse komplekse eksponentialligninger med flere ukjente eller . Databasen med øvelser på nettsiden vår suppleres og oppdateres kontinuerlig.

Eksemplene med indikatorer som forårsaket problemer kan legges til i "Favoritter". Så du kan raskt finne dem og diskutere løsningen med læreren.

For å bestå eksamen, studer på Shkolkovo-portalen hver dag!

Bruken av ligninger er utbredt i våre liv. De brukes i mange beregninger, konstruksjon av strukturer og til og med sport. Ligninger har blitt brukt av mennesker siden antikken og siden har bruken bare økt. Potens- eller eksponentialligninger kalles ligninger der variablene er i potenser, og grunntallet er et tall. For eksempel:

Å løse eksponentialligningen kommer ned til 2 ganske enkle trinn:

1. Det er nødvendig å sjekke om basene til ligningen til høyre og venstre er de samme. Hvis basene ikke er de samme, ser vi etter alternativer for å løse dette eksemplet.

2. Etter at basene er blitt like, setter vi likhetstegn mellom gradene og løser den resulterende nye ligningen.

Anta at vi får en eksponentiell ligning av følgende form:

Det er verdt å starte løsningen av denne ligningen med en analyse av basen. Basene er forskjellige - 2 og 4, og for løsningen trenger vi at de er like, så vi transformerer 4 i henhold til følgende formel - \ [ (a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

Legg til den opprinnelige ligningen:

La oss ta ut parentesene \

Express \

Siden gradene er de samme, forkaster vi dem:

Svar: \

Hvor kan jeg løse en eksponentiell ligning online med en løser?

Du kan løse ligningen på vår nettside https: // site. Gratis online løser lar deg løse en online ligning av enhver kompleksitet på sekunder. Alt du trenger å gjøre er å legge inn dataene dine i løseren. Du kan også se videoinstruksjonen og lære hvordan du løser ligningen på nettsiden vår. Og hvis du har spørsmål, kan du stille dem i vår Vkontakte-gruppe http://vk.com/pocketteacher. Bli med i gruppen vår, vi er alltid glade for å hjelpe deg.

I denne videoen skal vi analysere et helt sett med lineære ligninger som er løst ved hjelp av samme algoritme - det er derfor de kalles de enkleste.

Til å begynne med, la oss definere: hva er en lineær ligning og hvilken av dem skal kalles den enkleste?

En lineær ligning er en der det bare er én variabel, og bare i første grad.

Den enkleste ligningen betyr konstruksjonen:

Alle andre lineære ligninger reduseres til de enkleste ved hjelp av algoritmen:

1. Åpne parenteser, hvis noen;
2. Flytt termer som inneholder en variabel til den ene siden av likhetstegnet, og termer uten variabel til den andre;
3. Bring like termer til venstre og høyre for likhetstegnet;
4. Del den resulterende ligningen med koeffisienten til variabelen $x$ .

Selvfølgelig hjelper ikke denne algoritmen alltid. Faktum er at noen ganger, etter alle disse manipulasjonene, viser seg at koeffisienten til variabelen $x$ er lik null. I dette tilfellet er to alternativer mulig:

1. Ligningen har ingen løsninger i det hele tatt. For eksempel, når du får noe som $0\cdot x=8$, dvs. til venstre er null, og til høyre er et tall som ikke er null. I videoen nedenfor skal vi se på flere årsaker til at denne situasjonen er mulig.
2. Løsningen er alle tall. Det eneste tilfellet når dette er mulig er når ligningen er redusert til konstruksjonen $0\cdot x=0$. Det er ganske logisk at uansett hvilken $x$ vi erstatter, vil det fortsatt vise seg "null er lik null", dvs. riktig numerisk likhet.

Og la oss nå se hvordan det hele fungerer på eksemplet med virkelige problemer.

Eksempler på løsning av ligninger

I dag tar vi for oss lineære ligninger, og bare de enkleste. Generelt betyr en lineær ligning enhver likhet som inneholder nøyaktig én variabel, og den går bare til første grad.

Slike konstruksjoner løses på omtrent samme måte:

1. Først av alt, må du åpne parentesene, hvis noen (som i vårt siste eksempel);
2. Ta så med lignende
3. Til slutt isolerer du variabelen, dvs. alt som er forbundet med variabelen - begrepene den er inneholdt i - overføres til den ene siden, og alt som forblir uten den overføres til den andre siden.

Deretter må du som regel bringe lignende på hver side av den resulterende likheten, og etter det gjenstår det bare å dele med koeffisienten ved "x", og vi vil få det endelige svaret.

I teorien ser dette pent og enkelt ut, men i praksis kan selv erfarne videregående elever gjøre støtende feil i ganske enkle lineære ligninger. Vanligvis gjøres feil enten når man åpner parenteser, eller når man teller "pluss" og "minus".

I tillegg hender det at en lineær ligning ikke har noen løsninger i det hele tatt, eller slik at løsningen er hele tallinjen, dvs. hvilket som helst tall. Vi vil analysere disse finessene i dagens leksjon. Men vi starter, som du allerede har forstått, med de enkleste oppgavene.

Opplegg for å løse enkle lineære ligninger

Til å begynne med, la meg igjen skrive hele skjemaet for å løse de enkleste lineære ligningene:

1. Utvid eventuelt parentesene.
2. Utelukke variabler, dvs. alt som inneholder "x" overføres til den ene siden, og uten "x" - til den andre.
3. Vi presenterer lignende termer.
4. Vi deler alt med koeffisienten ved "x".

Selvfølgelig fungerer ikke denne ordningen alltid, den har visse finesser og triks, og nå skal vi bli kjent med dem.

Løse virkelige eksempler på enkle lineære ligninger

Oppgave 1

I det første trinnet er vi pålagt å åpne brakettene. Men de er ikke i dette eksemplet, så vi hopper over dette trinnet. I det andre trinnet må vi isolere variablene. Vennligst merk: vi snakker kun om individuelle vilkår. La oss skrive:

Vi gir lignende vilkår til venstre og høyre, men dette er allerede gjort her. Derfor går vi videre til det fjerde trinnet: del med en faktor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Her fikk vi svaret.

Oppgave #2

I denne oppgaven kan vi observere parentesene, så la oss utvide dem:

Både til venstre og til høyre ser vi omtrent samme konstruksjon, men la oss handle etter algoritmen, dvs. sequester variabler:

Her er noen som:

Ved hvilke røtter fungerer dette? Svar: for enhver. Derfor kan vi skrive at $x$ er et hvilket som helst tall.

Oppgave #3

Den tredje lineære ligningen er allerede mer interessant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Det er flere parenteser her, men de multipliseres ikke med noe, de har bare forskjellige tegn foran seg. La oss bryte dem ned:

Vi utfører det andre trinnet som allerede er kjent for oss:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

La oss regne ut:

Vi utfører det siste trinnet - vi deler alt med koeffisienten ved "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ting å huske på når du løser lineære ligninger

Hvis vi ignorerer for enkle oppgaver, vil jeg gjerne si følgende:

• Som jeg sa ovenfor, har ikke alle lineære ligninger en løsning - noen ganger er det rett og slett ingen røtter;
• Selv om det er røtter, kan null komme inn blant dem - det er ikke noe galt med det.

Null er det samme tallet som resten, du bør ikke på en eller annen måte diskriminere det eller anta at hvis du får null, så har du gjort noe galt.

En annen funksjon er knyttet til utvidelse av parenteser. Vennligst merk: når det er et "minus" foran dem, fjerner vi det, men i parentes endrer vi skiltene til motsatte. Og så kan vi åpne den i henhold til standardalgoritmer: vi får det vi så i beregningene ovenfor.

Å forstå dette enkle faktum vil hjelpe deg å unngå å gjøre dumme og sårende feil på videregående, når slike handlinger tas for gitt.

Løse komplekse lineære ligninger

La oss gå videre til mer komplekse ligninger. Nå vil konstruksjonene bli mer kompliserte og en kvadratisk funksjon vil dukke opp når man utfører ulike transformasjoner. Du bør imidlertid ikke være redd for dette, for hvis vi i henhold til forfatterens intensjoner løser en lineær ligning, vil nødvendigvis alle monomialer som inneholder en kvadratisk funksjon reduseres i prosessen med transformasjon.

Eksempel #1

Det første trinnet er selvsagt å åpne brakettene. La oss gjøre dette veldig nøye:

La oss nå ta personvernet:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Her er noen som:

Denne ligningen har åpenbart ingen løsninger, så i svaret skriver vi som følger:

\[\variasjon \]

eller ingen røtter.

Eksempel #2

Vi utfører de samme trinnene. Første skritt:

La oss flytte alt med en variabel til venstre, og uten den - til høyre:

Her er noen som:

Denne lineære ligningen har åpenbart ingen løsning, så vi skriver det slik:

\[\varnothing\],

eller ingen røtter.

Nyanser av løsningen

Begge ligningene er fullstendig løst. På eksemplet med disse to uttrykkene sørget vi nok en gang for at selv i de enkleste lineære ligningene, kan alt ikke være så enkelt: det kan være enten en, eller ingen, eller uendelig mange. I vårt tilfelle vurderte vi to ligninger, i begge er det rett og slett ingen røtter.

Men jeg vil gjerne trekke oppmerksomheten din til et annet faktum: hvordan du jobber med parenteser og hvordan du utvider dem hvis det er et minustegn foran dem. Tenk på dette uttrykket:

Før du åpner, må du multiplisere alt med "x". Vennligst merk: multiplisere hvert enkelt semester. Inne er det to ledd - henholdsvis to ledd og multipliseres.

Og først etter at disse tilsynelatende elementære, men svært viktige og farlige transformasjonene er fullført, kan braketten åpnes fra det synspunkt at det er et minustegn etter den. Ja, ja: først nå, når transformasjonene er gjort, husker vi at det er et minustegn foran parentesene, som betyr at alt under bare skifter fortegn. Samtidig forsvinner selve brakettene, og viktigst av alt forsvinner også den fremre "minusen".

Vi gjør det samme med den andre ligningen:

Det er ingen tilfeldighet at jeg legger merke til disse små, tilsynelatende ubetydelige fakta. Fordi å løse likninger er alltid en sekvens av elementære transformasjoner, hvor manglende evne til tydelig og kompetent å utføre enkle handlinger fører til at elever på videregående kommer til meg og lærer å løse slike enkle likninger igjen.

Selvfølgelig vil dagen komme da du vil finpusse disse ferdighetene til automatisme. Du trenger ikke lenger utføre så mange transformasjoner hver gang, du vil skrive alt på én linje. Men mens du bare lærer, må du skrive hver handling separat.

Løse enda mer komplekse lineære ligninger

Det vi skal løse nå kan neppe kalles den enkleste oppgaven, men meningen forblir den samme.

Oppgave 1

\[\venstre(7x+1 \høyre)\venstre(3x-1 \høyre)-21((x)^(2))=3\]

La oss multiplisere alle elementene i den første delen:

La oss ta en retrett:

Her er noen som:

La oss gjøre det siste trinnet:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Her er vårt endelige svar. Og til tross for at vi i prosessen med å løse hadde koeffisienter med en kvadratisk funksjon, ble de gjensidig utlignet, noe som gjør ligningen nøyaktig lineær, ikke kvadratisk.

Oppgave #2

\[\venstre(1-4x \høyre)\venstre(1-3x \høyre)=6x\venstre(2x-1 \høyre)\]

La oss gjøre det første trinnet nøye: multipliser hvert element i den første parentesen med hvert element i den andre. Totalt bør fire nye termer oppnås etter transformasjoner:

Og utfør nå multiplikasjonen nøye i hvert ledd:

La oss flytte begrepene med "x" til venstre, og uten - til høyre:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Her er lignende termer:

Vi har fått et definitivt svar.

Nyanser av løsningen

Den viktigste bemerkningen om disse to ligningene er denne: så snart vi begynner å multiplisere parenteser der det er mer enn et ledd, så gjøres dette i henhold til følgende regel: vi tar det første leddet fra det første og multipliserer med hvert element fra den andre; så tar vi det andre elementet fra det første og multipliserer på samme måte med hvert element fra det andre. Som et resultat får vi fire terminer.

På den algebraiske summen

Med det siste eksemplet vil jeg minne elevene på hva en algebraisk sum er. I klassisk matematikk mener vi med $1-7$ en enkel konstruksjon: vi trekker sju fra én. I algebra mener vi med dette følgende: til tallet "én" legger vi til et annet tall, nemlig "minus syv." Denne algebraiske summen skiller seg fra den vanlige aritmetiske summen.

Så snart når du utfører alle transformasjonene, hver addisjon og multiplikasjon, begynner du å se konstruksjoner som ligner på de som er beskrevet ovenfor, du vil rett og slett ikke ha noen problemer i algebra når du arbeider med polynomer og ligninger.

Avslutningsvis, la oss se på et par flere eksempler som vil være enda mer komplekse enn de vi nettopp så på, og for å løse dem må vi utvide standardalgoritmen vår litt.

Løse ligninger med en brøk

For å løse slike oppgaver, må ett trinn til legges til algoritmen vår. Men først vil jeg minne om algoritmen vår:

1. Åpne parenteser.
2. Separate variabler.
3. Ta med lignende.
4. Del med en faktor.

Akk, denne fantastiske algoritmen, på tross av all dens effektivitet, er ikke helt passende når vi har brøker foran oss. Og i det vi skal se nedenfor, har vi en brøk til venstre og høyre i begge ligningene.

Hvordan jobbe i dette tilfellet? Ja, det er veldig enkelt! For å gjøre dette må du legge til ett trinn til i algoritmen, som kan utføres både før den første handlingen og etter den, nemlig å bli kvitt brøker. Algoritmen vil derfor være som følger:

1. Bli kvitt brøker.
2. Åpne parenteser.
3. Separate variabler.
4. Ta med lignende.
5. Del med en faktor.

Hva vil det si å "bli kvitt brøker"? Og hvorfor er det mulig å gjøre dette både etter og før det første standardtrinn? Faktisk, i vårt tilfelle er alle brøker numeriske når det gjelder nevneren, dvs. overalt er nevneren bare et tall. Derfor, hvis vi multipliserer begge deler av ligningen med dette tallet, vil vi bli kvitt brøker.

Eksempel #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

La oss bli kvitt brøkene i denne ligningen:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vennligst merk: alt multipliseres med "fire" én gang, dvs. bare fordi du har to parenteser betyr det ikke at du må gange hver av dem med "fire". La oss skrive:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

La oss nå åpne den:

Vi utfører isolering av en variabel:

Vi gjennomfører reduksjonen av lignende vilkår:

\[-4x=-1\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi har mottatt den endelige løsningen, vi går videre til den andre ligningen.

Eksempel #2

\[\frac(\venstre(1-x \høyre)\venstre(1+5x \høyre))(5)+((x)^(2))=1\]

Her utfører vi alle de samme handlingene:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem løst.

Det er faktisk alt jeg ønsket å fortelle i dag.

Viktige punkter

De viktigste funnene er som følger:

• Kjenne til algoritmen for å løse lineære ligninger.
• Evne til å åpne parentes.
• Ikke bekymre deg hvis du har kvadratiske funksjoner et sted, mest sannsynlig, i ferd med ytterligere transformasjoner, vil de bli redusert.
• Røttene i lineære ligninger, selv de enkleste, er av tre typer: én enkelt rot, hele tallinjen er en rot, det er ingen røtter i det hele tatt.

Jeg håper denne leksjonen vil hjelpe deg å mestre et enkelt, men veldig viktig emne for videre forståelse av all matematikk. Hvis noe ikke er klart, gå til nettstedet, løs eksemplene som presenteres der. Følg med, det er mange flere interessante ting som venter på deg!