Løse trigonometriske ligninger med grader. Trigonometriske ligninger

De enkleste trigonometriske ligningene løses som regel ved hjelp av formler. La meg minne deg på at de enkleste trigonometriske ligningene er:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x er vinkelen som skal finnes,
a er et hvilket som helst tall.

Og her er formlene som du umiddelbart kan skrive ned løsningene til disse enkleste ligningene med.

For sinus:

For kosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

For tangent:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

For cotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Egentlig er dette den teoretiske delen av å løse de enkleste trigonometriske ligningene. Dessuten alt!) Ingenting i det hele tatt. Imidlertid er antallet feil på dette emnet rett og slett utenfor listene. Spesielt hvis eksemplet avviker litt fra malen. Hvorfor?

Ja, fordi mange mennesker skriver ned disse bokstavene, uten å forstå meningen deres i det hele tatt! Han skriver ned med forsiktighet, for at det ikke skal skje noe...) Dette må ordnes. Trigonometri for mennesker, eller folk for trigonometri, tross alt!?)

La oss finne ut av det?

Én vinkel vil være lik arccos a, sekund: -arccos a.

Og det vil alltid gå slik. For enhver EN.

Hvis du ikke tror meg, hold musen over bildet eller trykk på bildet på nettbrettet.) Jeg endret nummeret EN til noe negativt. Uansett, vi har ett hjørne arccos a, sekund: -arccos a.

Derfor kan svaret alltid skrives som to serier med røtter:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

La oss kombinere disse to seriene til én:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Og det er alt. Vi har fått en generell formel for å løse den enkleste trigonometriske ligningen med cosinus.

Hvis du forstår at dette ikke er en slags overvitenskapelig visdom, men bare en forkortet versjon av to serier med svar, Du vil også kunne håndtere oppgavene "C". Med ulikheter, med å velge røtter fra et gitt intervall... Der fungerer ikke svaret med pluss/minus. Men hvis du behandler svaret på en forretningsmessig måte og deler det opp i to separate svar, vil alt løses.) Det er faktisk derfor vi ser nærmere på det. Hva, hvordan og hvor.

I den enkleste trigonometriske ligningen

sinx = a

vi får også to serier med røtter. Alltid. Og disse to seriene kan også spilles inn på én linje. Bare denne linjen vil være vanskeligere:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Men essensen forblir den samme. Matematikere designet ganske enkelt en formel for å lage en i stedet for to oppføringer for serier med røtter. Det er alt!

La oss sjekke matematikerne? Og man vet aldri...)

I forrige leksjon ble løsningen (uten noen formler) av en trigonometrisk ligning med sinus diskutert i detalj:

Svaret resulterte i to serier med røtter:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Hvis vi løser den samme ligningen med formelen, får vi svaret:

x = (-1) n lysbue 0,5 + π n, n ∈ Z

Egentlig er dette et uferdig svar.) Det må eleven vite arcsin 0,5 = π /6. Det komplette svaret vil være:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Dette reiser et interessant spørsmål. Svar via x 1; x 2 (dette er det riktige svaret!) og gjennom ensom X (og dette er det riktige svaret!) - er de det samme eller ikke? Vi finner ut av det nå.)

Vi erstatter i svaret med x 1 verdier n =0; 1; 2; osv., vi teller, vi får en rekke røtter:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 og så videre.

Med samme erstatning som svar med x 2 , vi får:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 og så videre.

La oss nå erstatte verdiene n (0; 1; 2; 3; 4...) inn i den generelle formelen for singel X . Det vil si at vi hever minus én til null potens, deretter til den første, andre osv. Vel, selvfølgelig bytter vi 0 inn i andre ledd; 1; 2 3; 4 osv. Og vi teller. Vi får serien:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 og så videre.

Det er alt du kan se.) Den generelle formelen gir oss nøyaktig de samme resultatene som er de to svarene hver for seg. Bare alt på en gang, i rekkefølge. Matematikerne ble ikke lurt.)

Formler for å løse trigonometriske ligninger med tangent og cotangens kan også sjekkes. Men vi vil ikke.) De er allerede enkle.

Jeg skrev ut all denne erstatningen og sjekken spesifikt. Her er det viktig å forstå en enkel ting: det er formler for å løse elementære trigonometriske ligninger, bare en kort oppsummering av svarene. For denne kortheten måtte vi sette inn pluss/minus i cosinusløsningen og (-1) n i sinusløsningen.

Disse innleggene forstyrrer ikke på noen måte i oppgaver der du bare trenger å skrive ned svaret på en elementær ligning. Men hvis du trenger å løse en ulikhet, eller så må du gjøre noe med svaret: velg røtter på et intervall, se etter ODZ osv., kan disse innsettingene lett forstyrre en person.

Så hva bør jeg gjøre? Ja, enten skriv svaret i to serier, eller løs likningen/ulikheten ved å bruke den trigonometriske sirkelen. Da forsvinner disse innsettingene og livet blir lettere.)

Vi kan oppsummere.

For å løse de enkleste trigonometriske ligningene finnes det ferdige svarformler. Fire stykker. De er gode for øyeblikkelig å skrive ned løsningen til en ligning. For eksempel må du løse ligningene:

sinx = 0,3

Enkelt: x = (-1) n lysbue 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Ikke noe problem: x = ± buer 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Enkelt: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

En igjen: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Hvis du, skinnende av kunnskap, umiddelbart skriv svaret:

x= ± buer 1,8 + 2π n, n ∈ Z

da skinner du allerede, dette... det... fra en sølepytt.) Riktig svar: det finnes ingen løsninger. Forstår ikke hvorfor? Les hva arc cosinus er. I tillegg, hvis på høyre side av den opprinnelige ligningen er det tabellverdier av sinus, cosinus, tangens, cotangens, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 osv. – svaret gjennom buene vil være uferdig. Buer skal gjøres om til radianer.

Og hvis du kommer over ulikhet, som

da er svaret:

x πn, n ∈ Z

det er sjelden tull, ja...) Her må du løse ved hjelp av den trigonometriske sirkelen. Hva vi skal gjøre i det tilsvarende emnet.

For de som heroisk leser til disse linjene. Jeg kan rett og slett ikke annet enn å sette pris på din gigantiske innsats. Bonus til deg.)

Bonus:

Når du skriver ned formler i en alarmerende kampsituasjon, blir selv erfarne nerder ofte forvirret over hvor πn, og hvor 2π n. Her er et enkelt triks for deg. I alle formler verdt πn. Bortsett fra den eneste formelen med buekosinus. Den står der 2πn. To peen. Søkeord - to. I denne samme formelen er det to tegn i begynnelsen. Pluss og minus. Og der, og der - to.

Så hvis du skrev to tegn før buen cosinus, er det lettere å huske hva som vil skje på slutten to peen. Og det skjer også omvendt. Personen vil savne skiltet ± , kommer til slutten, skriver riktig to Pien, og han kommer til fornuft. Det er noe fremover to skilt! Personen vil gå tilbake til begynnelsen og rette opp feilen! Som dette.)

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Trigonometriske ligninger er ikke et lett tema. De er for forskjellige.) For eksempel disse:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Og lignende...

Men disse (og alle andre) trigonometriske monstre har to felles og obligatoriske trekk. For det første - du vil ikke tro det - det er trigonometriske funksjoner i ligningene.) For det andre: alle uttrykk med x finnes innenfor de samme funksjonene. Og bare der! Hvis X vises et sted utenfor, For eksempel sin2x + 3x = 3, dette vil allerede være en likning av blandet type. Slike ligninger krever en individuell tilnærming. Vi vil ikke vurdere dem her.

Vi skal heller ikke løse onde ligninger i denne leksjonen.) Her skal vi ta for oss de enkleste trigonometriske ligningene. Hvorfor? Ja fordi løsningen noen trigonometriske ligninger består av to trinn. På det første stadiet reduseres den onde ligningen til en enkel gjennom en rekke transformasjoner. På den andre er denne enkleste ligningen løst. Ellers, ingen måte.

Så hvis du har problemer i det andre trinnet, gir ikke det første trinnet mye mening.)

Hvordan ser elementære trigonometriske ligninger ut?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Her EN står for et hvilket som helst tall. Noen.

Forresten, inne i en funksjon er det kanskje ikke en ren X, men et slags uttrykk, som:

cos(3x+π /3) = 1/2

og lignende. Dette kompliserer livet, men påvirker ikke metoden for å løse en trigonometrisk ligning.

Hvordan løse trigonometriske ligninger?

Trigonometriske ligninger kan løses på to måter. Den første måten: ved hjelp av logikk og den trigonometriske sirkelen. Vi skal se på denne veien her. Den andre måten - ved å bruke minne og formler - vil bli diskutert i neste leksjon.

Den første måten er tydelig, pålitelig og vanskelig å glemme.) Den er god for å løse trigonometriske ligninger, ulikheter og alle slags vanskelige ikke-standardiserte eksempler. Logikk er sterkere enn minne!)

Løse ligninger ved hjelp av en trigonometrisk sirkel.

Vi inkluderer elementær logikk og evnen til å bruke den trigonometriske sirkelen. Vet du ikke hvordan? Imidlertid ... Du vil ha det vanskelig i trigonometri ...) Men det spiller ingen rolle. Ta en titt på leksjonene "Trigonometrisk sirkel...... Hva er det?" og "Måle vinkler på en trigonometrisk sirkel." Alt er enkelt der. I motsetning til lærebøker...)

Å, vet du!? Og til og med mestret "Praktisk arbeid med den trigonometriske sirkelen"!? Gratulerer. Dette emnet vil være nært og forståelig for deg.) Det som er spesielt gledelig er at den trigonometriske sirkelen ikke bryr seg om hvilken ligning du løser. Sinus, cosinus, tangent, cotangens - alt er det samme for ham. Det er bare ett løsningsprinsipp.

Så vi tar en hvilken som helst elementær trigonometrisk ligning. I det minste dette:

cosx = 0,5

Vi må finne X. Snakker på menneskelig språk, du trenger finn vinkelen (x) hvis cosinus er 0,5.

Hvordan brukte vi sirkelen tidligere? Vi tegnet en vinkel på den. I grader eller radianer. Og med en gang sag trigonometriske funksjoner til denne vinkelen. La oss nå gjøre det motsatte. La oss tegne en cosinus på sirkelen lik 0,5 og umiddelbart vi får se hjørne. Det gjenstår bare å skrive ned svaret.) Ja, ja!

Tegn en sirkel og merk cosinus lik 0,5. På cosinus-aksen, selvfølgelig. Slik:

La oss nå tegne vinkelen som denne cosinus gir oss. Hold musen over bildet (eller trykk på bildet på nettbrettet ditt), og du får se akkurat dette hjørnet X.

Hvilken vinkel er cosinus 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Noen mennesker vil humre skeptisk, ja... Som, var det verdt å lage en sirkel når alt allerede er klart... Du kan selvfølgelig humre...) Men faktum er at dette er et feilsvar. Eller rettere sagt, utilstrekkelig. Sirkelkjennere forstår at det er en hel haug med andre vinkler her som også gir en cosinus på 0,5.

Hvis du snur den bevegelige siden OA full sving, vil punkt A gå tilbake til sin opprinnelige posisjon. Med samme cosinus lik 0,5. De. vinkelen vil endre seg med 360° eller 2π radianer, og kosinus - nei. Den nye vinkelen 60° + 360° = 420° vil også være en løsning på ligningen vår, fordi

Et uendelig antall slike komplette omdreininger kan gjøres... Og alle disse nye vinklene vil være løsninger på vår trigonometriske ligning. Og de må alle skrives ned på en eller annen måte som svar. Alle. Ellers teller ikke avgjørelsen, ja...)

Matematikk kan gjøre dette enkelt og elegant. Skriv ned i ett kort svar uendelig sett beslutninger. Slik ser det ut for ligningen vår:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Jeg skal tyde det. Skriv fortsatt meningsfullt Det er mer behagelig enn å tegne noen mystiske bokstaver dumt, ikke sant?)

π /3 – dette er det samme hjørnet som vi sag på sirkelen og bestemt i henhold til cosinustabellen.

2π er en fullstendig revolusjon i radianer.

n - dette er antallet komplette, dvs. hel rpm Det er klart det n kan være lik 0, ±1, ±2, ±3.... og så videre. Som indikert av en kort oppføring:

n ∈ Z

n tilhører ( ∈ ) sett med heltall ( Z ). Forresten, i stedet for bokstaven n bokstaver kan godt brukes k, m, t osv.

Denne notasjonen betyr at du kan ta et hvilket som helst heltall n . Minst -3, minst 0, minst +55. Uansett hva du vil. Hvis du erstatter dette tallet i svaret, vil du få en spesifikk vinkel, som definitivt vil være løsningen på vår harde ligning.)

Eller med andre ord, x = π /3 er den eneste roten til et uendelig sett. For å få alle de andre røttene er det nok å legge til et hvilket som helst antall hele omdreininger til π /3 ( n ) i radianer. De. 2π n radian.

Alle? Ingen. Jeg forlenger gleden bevisst. For å huske bedre.) Vi fikk bare deler av svarene på ligningen vår. Jeg vil skrive denne første delen av løsningen slik:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ikke bare én rot, men en hel rekke røtter, skrevet ned i kort form.

Men det finnes også vinkler som også gir en cosinus på 0,5!

La oss gå tilbake til bildet vårt som vi skrev ned svaret fra. Her er det:

Hold musen over bildet og vi ser en annen vinkel det gir også en cosinus på 0,5. Hva tror du det er lik? Trekantene er like... Ja! Det er lik vinkelen X , bare forsinket i negativ retning. Dette er hjørnet -X. Men vi har allerede beregnet x. π /3 eller 60°. Derfor kan vi trygt skrive:

x 2 = - π /3

Vel, selvfølgelig legger vi til alle vinklene som oppnås gjennom hele omdreininger:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Det er alt nå.) På den trigonometriske sirkelen vi sag(hvem forstår, selvfølgelig)) Alle vinkler som gir en cosinus på 0,5. Og vi skrev ned disse vinklene i en kort matematisk form. Svaret resulterte i to uendelige serier med røtter:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Dette er det riktige svaret.

Håp, generelt prinsipp for å løse trigonometriske ligningerå bruke en sirkel er tydelig. Vi markerer cosinus (sinus, tangens, cotangens) fra den gitte ligningen på en sirkel, tegner vinklene som tilsvarer den og skriver ned svaret. Selvfølgelig må vi finne ut hvilke hjørner vi er sag på sirkelen. Noen ganger er det ikke så tydelig. Vel, jeg sa at logikk kreves her.)

La oss for eksempel se på en annen trigonometrisk ligning:

Vennligst ta i betraktning at tallet 0,5 ikke er det eneste mulige tallet i ligninger!) Det er bare mer praktisk for meg å skrive det enn røtter og brøker.

Vi jobber etter det generelle prinsippet. Vi tegner en sirkel, markerer (på sinusaksen, selvfølgelig!) 0,5. Vi tegner alle vinklene som tilsvarer denne sinusen samtidig. Vi får dette bildet:

La oss ta for oss vinkelen først X i første kvartal. Vi husker tabellen over sinus og bestemmer verdien av denne vinkelen. Det er en enkel sak:

x = π /6

Vi husker om fulle svinger, og med god samvittighet skriver vi ned den første serien med svar:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Halve jobben er gjort. Men nå må vi bestemme andre hjørnet... Det er vanskeligere enn å bruke kosinus, ja... Men logikken vil redde oss! Hvordan bestemme den andre vinkelen gjennom x? Det er enkelt! Trekantene på bildet er de samme, og det røde hjørnet X lik vinkel X . Bare det telles fra vinkelen π i negativ retning. Det er derfor den er rød.) Og for svaret trenger vi vinkelen, regnet riktig, fra den positive halvaksen OX, dvs. fra en vinkel på 0 grader.

Vi holder markøren over tegningen og ser alt. Jeg fjernet det første hjørnet for ikke å komplisere bildet. Vinkelen vi er interessert i (tegnet i grønt) vil være lik:

π - x

X vi vet dette π /6 . Derfor vil den andre vinkelen være:

π - π /6 = 5π /6

Igjen husker vi å legge til hele omdreininger og skrive ned den andre serien med svar:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Det er det. Et fullstendig svar består av to serier med røtter:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangent- og cotangensligninger kan enkelt løses ved å bruke det samme generelle prinsippet for å løse trigonometriske ligninger. Hvis du selvfølgelig vet hvordan du tegner tangent og cotangens på en trigonometrisk sirkel.

I eksemplene ovenfor brukte jeg tabellverdien for sinus og cosinus: 0,5. De. en av de betydningene som eleven kjenner til forpliktet. La oss nå utvide våre evner til alle andre verdier. Bestem, så bestem!)

Så la oss si at vi må løse denne trigonometriske ligningen:

Det er ingen slik cosinusverdi i de korte tabellene. Vi ignorerer kaldt dette forferdelige faktum. Tegn en sirkel, merk 2/3 på cosinus-aksen og tegn de tilsvarende vinklene. Vi får dette bildet.

La oss først se på vinkelen i første kvartal. Hvis vi bare visste hva x er lik, ville vi umiddelbart skrevet ned svaret! Vi vet ikke ... Feil!? Rolig! Matematikk etterlater ikke sine egne folk i trøbbel! Hun kom opp med buekosinus til denne saken. Vet ikke? Forgjeves. Finn ut, det er mye enklere enn du tror. Det er ikke en eneste vanskelig spell om "inverse trigonometriske funksjoner" på denne lenken... Dette er overflødig i dette emnet.

Hvis du vet, bare si til deg selv: "X er en vinkel hvis cosinus er lik 2/3." Og umiddelbart, rent av definisjonen av arc cosinus, kan vi skrive:

Vi husker de ekstra revolusjonene og skriver rolig ned den første serien med røtter til vår trigonometriske ligning:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Den andre serien med røtter for den andre vinkelen skrives nesten automatisk ned. Alt er det samme, bare X (arccos 2/3) vil ha et minus:

x 2 = - buer 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Og det er det! Dette er det riktige svaret. Enda enklere enn med tabellverdier. Det er ikke nødvendig å huske noe.) De mest oppmerksomme vil forresten legge merke til at dette bildet viser løsningen gjennom buekosinus i hovedsak ikke forskjellig fra bildet for ligningen cosx = 0,5.

Det stemmer! Det generelle prinsippet er nettopp det! Jeg har bevisst tegnet to nesten like bilder. Sirkelen viser oss vinkelen X ved sin kosinus. Om det er en tabellformet cosinus eller ikke er ukjent for alle. Hva slags vinkel dette er, π /3, eller hva buekosinus er - det er opp til oss å bestemme.

Samme sang med sinus. For eksempel:

Tegn en sirkel igjen, merk sinus lik 1/3, tegn vinklene. Dette er bildet vi får:

Og igjen er bildet nesten det samme som for ligningen sinx = 0,5. Igjen starter vi fra hjørnet i første kvarter. Hva er X lik hvis sinus er 1/3? Ingen spørsmål!

Nå er den første pakken med røtter klar:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

La oss ta for oss den andre vinkelen. I eksemplet med en tabellverdi på 0,5 var den lik:

π - x

Det blir akkurat det samme her også! Bare x er forskjellig, arcsin 1/3. Så hva!? Du kan trygt skrive ned den andre pakken med røtter:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Dette er et helt riktig svar. Selv om det ikke ser veldig kjent ut. Men det er klart, håper jeg.)

Slik løses trigonometriske ligninger ved hjelp av en sirkel. Denne veien er tydelig og forståelig. Det er han som sparer i trigonometriske ligninger med utvalg av røtter på et gitt intervall, i trigonometriske ulikheter - de løses stort sett alltid i en sirkel. Kort sagt, i alle oppgaver som er litt vanskeligere enn standardoppgaver.

La oss bruke kunnskap i praksis?)

Løs trigonometriske ligninger:

Først, enklere, rett fra denne leksjonen.

Nå er det mer komplisert.

Hint: her må du tenke på sirkelen. Personlig.)

Og nå er de utad enkle... De kalles også spesielle tilfeller.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Hint: her må du finne ut i en sirkel hvor det er to serier med svar og hvor det er en ... Og hvordan du skriver en i stedet for to serier med svar. Ja, slik at ikke en eneste rot fra et uendelig antall går tapt!)

Vel, veldig enkelt):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Hint: her må du vite hva arcsine og arccosine er? Hva er arctangens, arccotangent? De enkleste definisjonene. Men du trenger ikke å huske noen tabellverdier!)

Svarene er selvfølgelig et rot):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Ikke alt ordner seg? Skjer. Les leksjonen på nytt. Bare ettertenksomt(det er et så utdatert ord...) Og følg linkene. Hovedlenkene handler om sirkelen. Uten den er trigonometri som å krysse veien med bind for øynene. Noen ganger fungerer det.)

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

De enkleste trigonometriske ligningene er ligningene

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Ligning cos(x) = a

Forklaring og begrunnelse

1. Røttene til ligningen cosx = a. Når | en | > 1 ligningen har ingen røtter, siden | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 eller kl< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

La | en |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. På intervallet reduseres funksjonen y = cos x fra 1 til -1. Men en avtagende funksjon tar hver av verdiene bare på ett punkt av sitt definisjonsdomene, derfor har ligningen cos x = a bare én rot på dette intervallet, som per definisjon av arccosine er lik: x 1 = arccos a (og for denne roten cos x = A).

Cosinus er en jevn funksjon, så på intervallet [-n; 0] ligningen cos x = og har også bare én rot - tallet motsatt x 1, dvs.

x 2 = -arccos a.

Således, på intervallet [-n; p] (lengde 2p) ligning cos x = a med | en |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Funksjonen y = cos x er periodisk med en periode på 2n, derfor skiller alle andre røtter seg fra de som finnes av 2n (n € Z). Vi får følgende formel for røttene til ligningen cos x = a når

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. Spesielle tilfeller av å løse ligningen cosx = a.

Det er nyttig å huske spesielle notasjoner for røttene til ligningen cos x = a når

a = 0, a = -1, a = 1, som enkelt kan oppnås ved å bruke enhetssirkelen som referanse.

Siden cosinus er lik abscissen til det tilsvarende punktet i enhetssirkelen, får vi at cos x = 0 hvis og bare hvis det tilsvarende punktet i enhetssirkelen er punkt A eller punkt B.

På samme måte er cos x = 1 hvis og bare hvis det tilsvarende punktet i enhetssirkelen er punktet C, derfor,

x = 2πп, k € Z.

Også cos x = -1 hvis og bare hvis det tilsvarende punktet i enhetssirkelen er punktet D, dermed x = n + 2nn,

Ligning sin(x) = a

Forklaring og begrunnelse

1. Røttene til ligningen sinx = a. Når | en | > 1 ligningen har ingen røtter, siden | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 eller kl< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Forholdet mellom de grunnleggende trigonometriske funksjonene - sinus, cosinus, tangens og cotangens - er gitt trigonometriske formler. Og siden det er ganske mange sammenhenger mellom trigonometriske funksjoner, forklarer dette overfloden av trigonometriske formler. Noen formler forbinder trigonometriske funksjoner med samme vinkel, andre - funksjoner av flere vinkler, andre - lar deg redusere graden, fjerde - uttrykke alle funksjoner gjennom tangenten til en halv vinkel, etc.

I denne artikkelen vil vi liste opp i rekkefølge alle de grunnleggende trigonometriske formlene, som er tilstrekkelige til å løse de aller fleste trigonometriproblemer. For å gjøre det enklere å huske og bruke, vil vi gruppere dem etter formål og legge dem inn i tabeller.

Sidenavigering.

Grunnleggende trigonometriske identiteter

Grunnleggende trigonometriske identiteter definere forholdet mellom sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel. De følger av definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens, samt begrepet enhetssirkelen. De lar deg uttrykke en trigonometrisk funksjon i form av en hvilken som helst annen.

For en detaljert beskrivelse av disse trigonometriformlene, deres utledning og eksempler på anvendelse, se artikkelen.

Reduksjonsformler

Reduksjonsformler følger av egenskapene til sinus, cosinus, tangens og cotangens, det vil si at de gjenspeiler egenskapen periodisitet til trigonometriske funksjoner, egenskapen til symmetri, samt egenskapen til forskyvning med en gitt vinkel. Disse trigonometriske formlene lar deg gå fra å jobbe med vilkårlige vinkler til å jobbe med vinkler fra null til 90 grader.

Begrunnelsen for disse formlene, en mnemonisk regel for å huske dem og eksempler på deres anvendelse kan studeres i artikkelen.

Addisjonsformler

Trigonometriske addisjonsformler vis hvordan trigonometriske funksjoner av summen eller forskjellen av to vinkler uttrykkes i form av trigonometriske funksjoner til disse vinklene. Disse formlene tjener som grunnlag for å utlede følgende trigonometriske formler.

Formler for dobbel, trippel osv. vinkel

Formler for dobbel, trippel osv. vinkel (de kalles også flere vinkelformler) viser hvordan trigonometriske funksjoner av dobbel, trippel, etc. vinkler () uttrykkes i form av trigonometriske funksjoner til en enkelt vinkel. Deres utledning er basert på addisjonsformler.

Mer detaljert informasjon er samlet i artikkelformlene for dobbel, trippel osv. vinkel

Halvvinkelformler

Halvvinkelformler vis hvordan trigonometriske funksjoner til en halv vinkel uttrykkes i form av cosinus til en hel vinkel. Disse trigonometriske formlene følger av dobbelvinkelformlene.

Deres konklusjon og eksempler på anvendelse finner du i artikkelen.

Formler for gradreduksjon

Trigonometriske formler for å redusere grader er designet for å lette overgangen fra naturlige krefter til trigonometriske funksjoner til sinus og cosinus i første grad, men flere vinkler. Med andre ord lar de deg redusere kreftene til trigonometriske funksjoner til den første.

Formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner

Hovedformål formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner er å gå til produktet av funksjoner, som er veldig nyttig når man forenkler trigonometriske uttrykk. Disse formlene er også mye brukt for å løse trigonometriske ligninger, da de lar deg faktorisere summen og forskjellen av sinus og cosinus.

Formler for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus

Overgangen fra produktet av trigonometriske funksjoner til en sum eller forskjell utføres ved å bruke formlene for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus.

Universell trigonometrisk substitusjon

Vi fullfører vår gjennomgang av de grunnleggende formlene for trigonometri med formler som uttrykker trigonometriske funksjoner i form av tangenten til en halv vinkel. Denne erstatteren ble kalt universell trigonometrisk substitusjon. Dens bekvemmelighet ligger i det faktum at alle trigonometriske funksjoner uttrykkes i form av tangenten til en halv vinkel rasjonelt uten røtter.

Referanser.

• Algebra: Lærebok for 9. klasse. gj.sn. skole/Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Utdanning, 1990. - 272 s.: ill
• Bashmakov M. I. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok. for 10-11 klassetrinn. gj.sn. skole - 3. utg. - M.: Utdanning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 klassetrinn. generell utdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. utg. - M.: Utdanning, 2004. - 384 s.: ill.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

Opphavsrett av smartstudenter

Alle rettigheter forbeholdt.
Beskyttet av lov om opphavsrett. Ingen del av nettstedet, inkludert internt materiale og utseende, kan reproduseres i noen form eller brukes uten skriftlig forhåndstillatelse fra opphavsrettsinnehaveren.

Du kan bestille en detaljert løsning på problemet ditt!!!

En likhet som inneholder en ukjent under tegnet til en trigonometrisk funksjon (`sin x, cos x, tan x` eller `ctg x`) kalles en trigonometrisk ligning, og det er deres formler vi skal vurdere nærmere.

De enkleste ligningene kalles `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, hvor `x` er vinkelen som skal finnes, `a` er et hvilket som helst tall. La oss skrive ned rotformlene for hver av dem.

1. Ligning `sin x=a`.

For `|a|>1` har den ingen løsninger.

Når `|a| \leq 1` har et uendelig antall løsninger.

Rotformel: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ligning `cos x=a`

For `|a|>1` - som for sinus, har den ingen løsninger blant reelle tall.

Når `|a| \leq 1` har et uendelig antall løsninger.

Rotformel: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Spesielle tilfeller for sinus og cosinus i grafer.

3. Ligning `tg x=a`

Har et uendelig antall løsninger for alle verdier av `a`.

Rotformel: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ligning `ctg x=a`

Har også et uendelig antall løsninger for alle verdier av `a`.

Rotformel: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formler for røttene til trigonometriske ligninger i tabellen

For sinus:
For kosinus:
For tangent og cotangens:
Formler for å løse ligninger som inneholder inverse trigonometriske funksjoner:

Metoder for å løse trigonometriske ligninger

Å løse enhver trigonometrisk ligning består av to trinn:

• ved hjelp av å transformere den til den enkleste;
• løs den enkleste ligningen oppnådd ved å bruke rotformlene og tabellene skrevet ovenfor.

La oss se på de viktigste løsningsmetodene ved å bruke eksempler.

Algebraisk metode.

Denne metoden innebærer å erstatte en variabel og erstatte den med en likhet.

Eksempel. Løs ligningen: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

gjør en erstatning: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, deretter `2y^2-3y+1=0`,

vi finner røttene: `y_1=1, y_2=1/2`, hvorfra to tilfeller følger:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Svar: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisering.

Eksempel. Løs ligningen: `sin x+cos x=1`.

Løsning. La oss flytte alle leddene i likheten til venstre: `sin x+cos x-1=0`. Ved å bruke transformerer og faktoriserer vi venstre side:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Svar: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reduksjon til en homogen ligning

Først må du redusere denne trigonometriske ligningen til en av to former:

`a sin x+b cos x=0` (homogen ligning av første grad) eller `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogen ligning av andre grad).

Deretter deler du begge delene med `cos x \ne 0` - for det første tilfellet, og med `cos^2 x \ne 0` - for det andre. Vi får ligninger for `tg x`: `a tg x+b=0` og `a tg^2 x + b tg x +c =0`, som må løses med kjente metoder.

Eksempel. Løs ligningen: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Løsning. La oss skrive høyresiden som `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Dette er en homogen trigonometrisk ligning av andre grad, vi deler venstre og høyre side med `cos^2 x \ne 0`, vi får:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. La oss introdusere erstatningen `tg x=t`, som resulterer i `t^2 + t - 2=0`. Røttene til denne ligningen er `t_1=-2` og `t_2=1`. Da:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Svare. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Flytter til halv vinkel

Eksempel. Løs ligningen: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Løsning. La oss bruke dobbeltvinkelformlene, noe som resulterer i: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0'

Ved å bruke den algebraiske metoden beskrevet ovenfor får vi:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Svare. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Innføring av hjelpevinkel

I den trigonometriske ligningen `a sin x + b cos x =c`, der a,b,c er koeffisienter og x er en variabel, del begge sider med `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Koeffisientene på venstre side har egenskapene til sinus og cosinus, nemlig summen av kvadratene deres er lik 1 og modulene deres er ikke større enn 1. La oss betegne dem som følger: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, deretter:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

La oss se nærmere på følgende eksempel:

Eksempel. Løs ligningen: `3 sin x+4 cos x=2`.

Løsning. Del begge sider av likheten med `sqrt (3^2+4^2)`, vi får:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

La oss betegne `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Siden `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, tar vi `\varphi=arcsin 4/5` som en hjelpevinkel. Så skriver vi vår likestilling i formen:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Ved å bruke formelen for summen av vinkler for sinusen, skriver vi vår likhet i følgende form:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Svare. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fraksjonelle rasjonelle trigonometriske ligninger

Dette er likheter med brøker hvis tellere og nevnere inneholder trigonometriske funksjoner.

Eksempel. Løs ligningen. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Løsning. Multipliser og del høyre side av likheten med `(1+cos x)`. Som et resultat får vi:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Tatt i betraktning at nevneren ikke kan være lik null, får vi `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

La oss likestille telleren til brøken til null: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Deretter `sin x=0` eller `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Gitt at ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, er løsningene `x=2\pi n, n \in Z` og `x=\pi /2+2\pi n` , `n \i Z`.

Svare. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometri, og spesielt trigonometriske ligninger, brukes i nesten alle områder av geometri, fysikk og ingeniørfag. Studiet begynner i 10. klasse, det er alltid oppgaver for Unified State Exam, så prøv å huske alle formlene for trigonometriske ligninger - de vil definitivt være nyttige for deg!

Imidlertid trenger du ikke engang å huske dem, det viktigste er å forstå essensen og være i stand til å utlede den. Det er ikke så vanskelig som det ser ut til. Se selv ved å se videoen.