Løse ligninger ved hjelp av enkel iterasjon i Excel. Liste over referanser som er brukt

Excel har et bredt utvalg av verktøy for å løse ulike typer ligninger ved hjelp av ulike metoder.

La oss se på noen løsninger ved å bruke eksempler.

Løse ligninger ved å velge Excel-parametere

Parametervalgverktøyet brukes i en situasjon der resultatet er kjent, men argumentene er ukjente. Excel justerer verdiene til beregningen gir ønsket total.

Sti til kommandoen: "Data" - "Arbeid med data" - "Hva hvis-analyse" - "Parametervalg".

La oss se på eksempelet på å løse den kvadratiske ligningen x 2 + 3x + 2 = 0. Prosedyren for å finne roten ved hjelp av Excel:

Programmet bruker en syklisk prosess for å velge en parameter. For å endre antall iterasjoner og feil, må du gå til Excel-alternativene. På "Formler"-fanen angir du maksimalt antall iterasjoner og relativ feil. Merk av for "aktiver iterative beregninger".

Hvordan løse et ligningssystem ved hjelp av matrisemetoden i Excel

Ligningssystemet er gitt:

Røttene til ligningene oppnås.

Løse et ligningssystem ved hjelp av Cramer-metoden i Excel

La oss ta ligningssystemet fra forrige eksempel:

For å løse dem ved hjelp av Cramers metode, beregner vi determinantene til matrisene oppnådd ved å erstatte en kolonne i matrise A med kolonnematrisen B.

For å beregne determinantene bruker vi MOPRED-funksjonen. Argumentet er et område med den tilsvarende matrisen.

La oss også beregne determinanten til matrise A (matrise - rekkevidde av matrise A).

Determinanten til systemet er større enn 0 – løsningen kan finnes ved å bruke Cramers formel (D x / |A|).

For å beregne X 1: =U2/$U$1, hvor U2 – D1. For å beregne X 2: =U3/$U$1. Osv. La oss finne røttene til ligningene:

Løse ligningssystemer ved hjelp av Gauss-metoden i Excel

La oss for eksempel ta det enkleste ligningssystemet:

3a + 2b – 5c = -1
2a – b – 3c = 13
a + 2b – c = 9

Vi skriver koeffisientene i matrise A. Frie termer - i matrise B.

For klarhetens skyld fremhever vi gratisvilkårene ved å fylle ut. Hvis den første cellen i matrise A inneholder 0, må du bytte radene slik at en annen verdi enn 0 vises her.

Eksempler på å løse ligninger ved hjelp av iterasjonsmetoden i Excel

Beregningene i arbeidsboken bør settes opp som følger:

Dette gjøres på "Formler"-fanen i "Excel-alternativer". La oss finne roten til ligningen x – x 3 + 1 = 0 (a = 1, b = 2) ved iterasjon ved hjelp av sykliske referanser. Formel:

Х n+1 = X n – F (X n) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – maksimal verdi av modulo-deriverten. For å finne M, la oss utføre følgende beregninger:

f' (1) = -2 * f' (2) = -11.

Den resulterende verdien er mindre enn 0. Derfor vil funksjonen ha motsatt fortegn: f (x) = -x + x 3 – 1. M = 11.

I celle A3 legger vi inn verdien: a = 1. Nøyaktighet – tre desimaler. For å beregne gjeldende verdi av x i den tilstøtende cellen (B3), skriv inn formelen: =IF(B3=0;A3;B3-(-B3+POWER(B3;3)-1/11)).

I celle C3, la oss kontrollere verdien av f (x): ved å bruke formelen =B3-POWER(B3,3)+1.

Roten av ligningen er 1,179. La oss legge inn verdien 2 i celle A3. Vi får samme resultat:

Det er bare én rot på et gitt intervall.

Finne røttene til ligninger

En grafisk måte å finne røtter på er å plotte funksjonen f(x) på segmentet. Skjæringspunktet for grafen til en funksjon med x-aksen gir en omtrentlig verdi av roten av ligningen.

De omtrentlige verdiene til røttene funnet på denne måten gjør det mulig å velge segmenter som, om nødvendig, røttene kan foredles på.

Når man finner røtter ved beregning for kontinuerlige funksjoner f(x), er man styrt av følgende hensyn:

– hvis funksjonen har forskjellige fortegn ved enden av segmentet, er det mellom punktene a og b på x-aksen et oddetall røtter;

– hvis funksjonen har identiske fortegn ved enden av intervallet, er det mellom a og b et jevnt antall røtter eller ingen i det hele tatt;

– hvis funksjonen i enden av segmentet har forskjellige fortegn og enten den første deriverte eller den andre deriverte ikke endrer fortegn på dette segmentet, så har ligningen en enkelt rot på segmentet.

La oss finne alle de reelle røttene til ligningen x 5 –4x–2=0 på intervallet [–2,2]. La oss lage et regneark.

Tabell 1

Tabell 2 viser beregningsresultatene.

Tabell 2

Løsningen finnes tilsvarende på intervallene [-2,-1], [-1,0].

Avklare røttene til ligningen

Bruke "Søk etter løsninger"-modus

For ligningen gitt ovenfor, bør alle røttene til ligningen x 5 –4x–2=0 foredles med en feil på E=0,001.

For å tydeliggjøre røttene på intervallet [-2,-1], lager vi et regneark.

Tabell 3

Vi starter "Søk etter en løsning"-modus i "Service"-menyen. Utfør moduskommandoer. Visningsmodusen vil vise de funnet røttene. På samme måte finpusser vi røttene på andre intervaller.

Avklare røttene til ligninger

Bruke iterasjonsmodus

Den enkle iterasjonsmetoden har to moduser: "Manuell" og "Automatisk". For å starte «Iterasjon»-modus, åpne «Alternativer»-fanen i «Verktøy»-menyen. Følgende er moduskommandoer. På fanen "Beregninger" kan du velge automatisk eller manuell modus.

Løse ligningssystemer

Løsning av ligningssystemer i Excel utføres ved hjelp av invers matrisemetoden. Løs ligningssystemet:

La oss lage et regneark.

Tabell 4

EN	B	C	D	E
Løse et ligningssystem.

	Ax=b

Startmatrise A		Høyre side b
-8
		-3
		-2		-2

Invers matrise (1/A)		Løsningsvektor x=(1/A)/b
=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MUULT(A11:C13;E6:E8)
=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MUULT(A11:C13;E6:E8)
=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MUULT(A11:C13;E6:E8)

MOBR-funksjonen returnerer en rekke verdier som settes inn i en hel kolonne med celler samtidig.

Tabell 5 viser beregningsresultatene.

Tabell 5

EN	B	C	D	E
Løse et ligningssystem.

	Ax=b

Startmatrise A		Høyre side b
-8
		-3
		-2		-2

Invers matrise (1/A)		Løsningsvektor x=(1/A)/b
-0,149	0,054	-0,230
0,054	0,162	-0,189
-0,122	0,135	-0,824

Liste over referanser som er brukt

1. Turchak L.I. Grunnleggende om numeriske metoder: Lærebok. håndbok for universiteter / utg. V.V. Shchennikov – M.: Nauka, 1987. – 320 s.

2. Bundy B. Optimaliseringsmetoder. Introduksjonskurs – M.: Radio og kommunikasjon, 1988. – 128 s.

3. Evseev A.M., Nikolaeva L.S. Matematisk modellering av kjemiske likevekter – M.: Forlag Mosk. Univ., 1988.–192 s.

4. Bezdenezhnykh A.A. Tekniske metoder for kompilering av reaksjonshastighetsligninger og beregning av kinetiske konstanter – Leningrad: Khimiya, 1973. – 256 s.

5. Stepanova N.F., Erlykina M.E., Filippov G.G. Metoder for lineær algebra i fysisk kjemi – M.: Forlag Mosk. Univ., 1976.–359 s.

6. Bakhvalov N.S. og andre Numeriske metoder i oppgaver og øvelser: Proc. håndbok for universiteter / Bakhvalov N.S., Lapin A.V., Chizhonkov E.V. - M.: Høyere. skole, 2000.-190-tallet. - (Høyere matematikk / Sadovnichy V.A.)

7. Anvendelse av beregningsmatematikk i kjemisk og fysisk kinetikk, red. L.S. Polak, M.: Nauka, 1969, 279 s.

8. Algoritmisering av beregninger i kjemisk teknologi B.A. Zhidkov, A.G. Cooper

9. Beregningsmetoder for kjemiingeniører. H. Rosenbrock, S. Storey

10. Orvis V.D. Excel for forskere, ingeniører og studenter. – Kiev: Junior, 1999.

11. Yu.Yu. Tarasevich Numeriske metoder på Mathcade - Astrakhan State Pedagogical University: Astrakhan, 2000.

Eksempel 3.1 . Finn en løsning på systemet med lineære algebraiske ligninger (3.1) ved å bruke Jacobi-metoden.

Iterative metoder kan brukes for et gitt system, fordi betingelsen er oppfylt "overvekt av diagonalkoeffisienter", som sikrer konvergens av disse metodene.

Beregningsskjemaet til Jacobi-metoden er vist i fig. (3.1).

Gi systemet (3.1). til normal form:

, (3.2)

eller i matriseform

, (3.3)

Fig.3.1.

For å bestemme antall iterasjoner som kreves for å oppnå en gitt nøyaktighet e, og omtrentlig løsning av systemet er nyttig i kolonnen N installere Betinget format. Resultatet av denne formateringen er synlig i Fig. 3.1. Kolonneceller N, hvis verdier tilfredsstiller betingelsen (3.4) er skyggelagt.

(3.4)

Ved å analysere resultatene tar vi den fjerde iterasjonen som en omtrentlig løsning av det opprinnelige systemet med en gitt nøyaktighet e=0,1,

de. x 1=10216; x 2= 2,0225, x 3= 0,9912

Endre verdien e i en celle H5 det er mulig å få en ny omtrentlig løsning av det opprinnelige systemet med ny nøyaktighet.

Analyser konvergensen til den iterative prosessen ved å plotte endringer i hver komponent av SLAE-løsningen avhengig av iterasjonsnummeret.

For å gjøre dette, velg en blokk med celler A10:D20 og bruker Diagramveiviser, konstruer grafer som gjenspeiler konvergensen til den iterative prosessen, Fig. 3.2.

Et system med lineære algebraiske ligninger løses på samme måte ved Seidel-metoden.

Laboratoriearbeid nr. 4

Tema. Numeriske metoder for å løse lineære ordinære differensialligninger med randbetingelser. Endelig forskjellsmetode

Øvelse. Løs grenseverdiproblemet med endelig forskjellsmetoden ved å konstruere to tilnærminger (to iterasjoner) med et trinn h og med et trinn h/2.

Analyser de oppnådde resultatene. Alternativer for oppgaver er gitt i vedlegg 4.

Arbeidsordre

1. Bygg manuelt finitt forskjell tilnærming av grenseverdiproblemet (endelig forskjell SLAE) med trinn h , gitt alternativ.

2. Bruk endelige forskjellsmetoden, form inn Excel system av lineære algebraiske endelige forskjellslikninger for trinnet h segmentoppdeling . Skriv denne SLAE på arbeidsarket til boken Excel. Designdiagrammet er vist i fig. 4.1.

3. Løs den resulterende SLAE ved å bruke sveipemetoden.

4. Kontroller riktigheten av SLAE-løsningen ved hjelp av tillegget Excel Søk etter en løsning.

5. Reduser rutenettet med 2 ganger og løs problemet igjen. Presenter resultatene i grafisk form.

6. Sammenlign resultatene dine. Trekk en konklusjon om behovet for å fortsette eller avslutte kontoen.

Løse et grenseverdiproblem ved å bruke Microsoft Excel-regneark.

Eksempel 4.1. Finn en løsning på grenseverdiproblemet ved å bruke den endelige forskjellsmetoden , y(1)=1, y ’ (2)=0,5 på segmentet xÎ med trinn h=0,2 og med trinn h=0,1. Sammenlign de oppnådde resultatene og trekk en konklusjon om behovet for å fortsette eller avslutte kontoen.

Designdiagrammet for trinn h=0,2 er vist i fig. 4.1.

Den resulterende løsningen (rutenettfunksjon) Y {1.000, 1.245, 1.474, 1.673, 1.829, 1.930}, X (1; 1.2; 1.4; 1.6; 1.8;2) i kolonne L og B kan tas som første iterasjon (første tilnærming) av den opprinnelige oppgaven.

Å finne andre iterasjon gjør rutenettet dobbelt så tykt (n=10, trinn h=0,1) og gjenta algoritmen ovenfor.

Dette kan gjøres på samme eller på et annet ark i boken. Excel. Løsningen (andre tilnærming) er vist i fig. 4.2.

Sammenlign de oppnådde omtrentlige løsningene. For klarhetens skyld kan du plotte grafer av disse to tilnærmingene (to rutenettfunksjoner), Fig. 4.3.

Prosedyren for å konstruere grafer av omtrentlige løsninger av et grenseverdiproblem

1. Konstruer en graf for å løse problemet for et differansenett med trinnet h=0,2 (n=5).

2. Aktiver det allerede bygde diagrammet og velg kommandoen meny Kart\Legg til data

3. I vinduet Nye data gi detaljer x i, y i for differansegitter med trinn h/2 (n=10).

4. I vinduet Spesialinnsats merk av i boksene:

Ø nye rader,

Som det fremgår av de presenterte dataene, skiller to omtrentlige løsninger av grenseverdiproblemet (to rutenettfunksjoner) seg fra hverandre med ikke mer enn 5 %. Derfor tar vi den andre iterasjonen som en omtrentlig løsning på det opprinnelige problemet, dvs.

Y{1, 1.124, 1.246, 1.364, 1.478, 1.584, 1.683, 1.772, 1.849, 1.914, 1.964}

Laboratoriearbeid nr. 5

Utdanningsdepartementet

Den russiske føderasjonen

Ural State Technical University-UPI

filial i Krasnoturinsk

Institutt for informatikk

Kursarbeid

Med numeriske metoder

Løse lineære ligninger ved hjelp av enkel iterasjonsmetode

ved hjelp av Microsoft Excel

Leder Kuzmina N.V.

Student Nigmatzyanov T.R.

Gruppe M-177T

Emne: "Finn med en gitt nøyaktighet roten til ligningen F(x) = 0 på et intervall ved å bruke den enkle iterasjonsmetoden."

Testeksempel: 0,25x+sinx=0

Problembetingelser: for en gitt funksjon F(x) på et intervall, finn roten til ligningen F(x)=0 ved enkel iterasjon.

Beregn roten to ganger (ved hjelp av automatisk og manuell beregning).

Sørg for konstruksjon av en graf for en funksjon over et gitt intervall.

Innledning 4

1. Teoretisk del 5

2. Beskrivelse av fremdriften i arbeidet 7

3. Inn- og utdata 8

Konklusjon 9

Vedlegg 10

Bibliografi 12

Introduksjon.

I løpet av dette arbeidet må jeg sette meg inn i ulike metoder for å løse ligningen og finne roten til den ikke-lineære ligningen 0,25-x+sin(x) = 0 ved hjelp av en numerisk metode – den enkle iterasjonsmetoden. For å sjekke om roten er funnet riktig, må du løse ligningen grafisk, finne den omtrentlige verdien og sammenligne den med det oppnådde resultatet.

1. Teoretisk del.

Enkel iterasjonsmetode.

Den iterative prosessen består i å suksessivt avgrense den innledende tilnærmingen x0 (roten av ligningen). Hvert slikt trinn kalles en iterasjon.

For å bruke denne metoden skrives den opprinnelige ikke-lineære ligningen på formen: x=j(x), dvs. x er uthevet; j(x) er kontinuerlig og differensierbar på intervallet (a; b). Vanligvis kan dette gjøres på flere måter:

For eksempel:

arcsin(2x+1)-x 2 =0 (f(x)=0)

Metode 1.

arcsin(2x+1)=x 2

sin(arcsin(2x+1))=sin(x 2)

x=0,5(sinx 2 -1) (x=j(x))

Metode 2.

x=x+arcsin(2x+1)-x 2 (x=j(x))

Metode 3.

x 2 =arcsin(2x+1)

x= (x=j(x)), tegnet tas avhengig av intervallet [a;b].

Transformasjonen må være slik at ½j(x)<1½ для всех принадлежащих интервалу .В таком случае процесс итерации сходится.

La den første tilnærmingen til roten x=c 0 være kjent. Ved å sette inn denne verdien på høyre side av ligningen x=j(x), får vi en ny tilnærming av roten: c=j(c 0). hver gang vi erstatter en ny verdi av roten i x=j( x), får vi en sekvens av verdier

cn =j(c n-1) n=1,2,3,...

Iterasjonsprosessen bør fortsette til betingelsen er oppfylt for to påfølgende tilnærminger: ½c n -c n -1 ½

Du kan løse likninger numerisk ved hjelp av programmeringsspråk, men Excel gjør det mulig å løse oppgaven på en enklere måte.

Excel implementerer den enkle iterasjonsmetoden på to måter ved hjelp av manuell beregning og automatisk nøyaktighetskontroll.

y y=x

j (fra 0)

s 0 s 2 s 4 s 6 s 8 rot s 9 s 7 s 5 s 3 s 1

Ris. Iterativ prosessgraf

2. Beskrivelse av fremdriften i arbeidet.

1. Lanserte ME.

2. Jeg bygde en graf av funksjonen y=x og y=0,25+sin(x) på et segment med trinnet 0,1 og ga arket navnet «Graph».

3. Valgte et lag Service ® Alternativer.
Åpnet en fane Beregninger .
Skru på modusen Manuelt .
Deaktiverte avmerkingsboksen Omberegning før lagring . Laget feltverdien Begrens antall iterasjoner lik 1, relativ feil 0,001.

4. Skrev inn linjen «Løse ligningen x=0,25+sin(x) ved enkel iterasjon» i celle A1.

5. Skriv inn teksten "Initial value" i celle A3, teksten "Initial flag" i celle A4, verdien 0,5 i celle B3, og ordet TRUE i celle B4.

6. Tildelte navnene "beg_zn" og "begin" til celle B3 og B4.
Celle B6 vil sjekke om sann er lik verdien til celle "start" I så fall vil x settes lik startverdien, ellers lik celle B7, dvs. 0,25 + sinus x I celle B7 beregnes 0,25 sinus til celle B6, og dermed er en syklisk referanse organisert.

7. I celle A6 skrev inn y=x, og i celle A7 y=0,25+sin(x) I celle B6 er formelen:
=HVIS(start;starttegn;B7).
I celle B7 formelen: y=0,25+sin(B6).

8. I celle A9 skrev jeg inn ordet Feil.

9. I celle B9 skrev jeg inn formelen: =B7-B6.

10. Bruke en kommando Format-celler (tab Tall ) konverterte celle B9 til eksponentielt format med to desimaler.

11. Så organiserte jeg en andre syklisk lenke for å telle antall iterasjoner I celle A11 skrev jeg inn teksten "Antall iterasjoner".

12. I celle B11 skrev jeg inn formelen: =IF(start;0;B12+1).

13. I celle B12 skrev jeg inn =B11.

14. For å utføre beregningen, plasser tabellmarkøren i celle B4 og trykk på F9-tasten (Beregn) for å begynne å løse problemet.

15. Endret verdien av det opprinnelige flagget til FALSE, og trykket F9 igjen. Hver gang du trykker på F9, utføres en iterasjon og den neste omtrentlige verdien av x beregnes.

16. Trykk på F9-tasten til x-verdien nådde den nødvendige nøyaktigheten.
Med automatisk beregning:

17. Flyttet til et annet ark.

18. Gjentatte trinn 4 til 7, skrev bare inn verdien FALSE i celle B4.

19. Velg et lag Service ® Alternativer (tab Beregninger ).Angi feltverdien Begrens antall iterasjoner lik 100, relativ feil lik 0,0000001 Slått på rkm Automatisk .