Løse ligninger med enkel iterasjon i Excel. Forfining av ligningsrøtter

Eksempel 3.1 . Finn en løsning på et lineært system algebraiske ligninger(3.1) etter Jacobi-metoden.

Iterative metoder kan brukes til gitt system, fordi tilstanden "overvekt av diagonalkoeffisienter", som sikrer konvergens av disse metodene.

Designskjemaet til Jacobi-metoden er vist i figur (3.1).

Ta med systemet (3.1). til normal visning:

, (3.2)

eller i matriseform

, (3.3)

Fig.3.1.

For å bestemme antall iterasjoner som kreves for å oppnå en gitt nøyaktighet e, og en omtrentlig løsning av systemet er nyttig i kolonnen H installere Betinget format. Resultatet av slik formatering er synlig i figur 3.1. Kolonneceller H, hvis verdier tilfredsstiller betingelsen (3.4) er skyggelagt.

(3.4)

Ved å analysere resultatene tar vi den fjerde iterasjonen som en omtrentlig løsning av det opprinnelige systemet med en gitt nøyaktighet e=0,1,

de. x 1=10216; x 2= 2,0225, x 3= 0,9912

Endre verdien e i en celle H5 det er mulig å få en ny omtrentlig løsning av det opprinnelige systemet med en ny nøyaktighet.

Analyser konvergensen til den iterative prosessen ved å plotte endringer i hver komponent i SLAE-løsningen avhengig av iterasjonsnummeret.

For å gjøre dette, velg en blokk med celler A10:D20 og bruker Diagramveiviser, bygg grafer som gjenspeiler konvergensen til den iterative prosessen, Fig.3.2.

Systemet med lineære algebraiske ligninger løses på samme måte ved Seidel-metoden.

Laboratoriearbeid №4

Emne. Numeriske metoder for å løse lineær ordinær differensiallikninger med grensebetingelser. Endelig forskjellsmetode

Trening. Løs grenseverdiproblemet ved å konstruere to tilnærminger (to iterasjoner) med trinn h og trinn h/2.

Analyser resultatene. Oppgavealternativer er gitt i vedlegg 4.

Arbeidsordre

1. Bygg manuelt finitt forskjell tilnærming av grenseverdiproblemet (finite difference SLAE) med trinn h , gitt alternativ.

2. Bruk endelige forskjellsmetoden, form inn utmerke system av lineære algebraiske endelige forskjellslikninger for trinnet h segmentoppdeling . Noter denne SLAE på arbeidsarket til boken. utmerke. Designskjemaet er vist i figur 4.1.

3. Løs den resulterende SLAE ved hjelp av sveipemetoden.

4. Kontroller riktigheten av SLAE-løsningen ved hjelp av tillegget Excel Finn løsning.

5. Reduser rutenettet med 2 ganger og løs problemet på nytt. Presenter resultatene grafisk.

6. Sammenlign resultatene dine. Lag en konklusjon om behovet for å fortsette eller avslutte kontoen.

Løsning av et grenseverdiproblem ved hjelp av regneark Microsoft Excel.

Eksempel 4.1. Bruke den endelige forskjellsmetoden for å finne en løsning på grenseverdiproblemet , y(1)=1, y’(2)=0,5 på segmentet xО med trinn h=0,2 og med trinn h=0,1. Sammenlign resultatene og trekk en konklusjon om behovet for å fortsette eller avslutte kontoen.

Beregningsskjemaet for trinn h=0,2 er vist i Fig.4.1.

Den resulterende løsningen (rutenettfunksjon) Y {1.000, 1.245, 1.474, 1.673, 1.829, 1.930}, X (1; 1.2; 1.4; 1.6; 1.8; 2) i kolonne L og B kan tas som første iterasjon (første tilnærming) originalt problem.

For å finne andre iterasjon gjør rutenettet dobbelt så tykt (n=10, skritt h=0,1) og gjenta algoritmen ovenfor.

Dette kan gjøres på samme eller på et annet ark i boken. utmerke. Løsningen (andre tilnærming) er vist i figur 4.2.

Sammenlign de oppnådde omtrentlige løsningene. For klarhetens skyld kan du bygge grafer av disse to tilnærmingene (to rutenettfunksjoner), Fig.4.3.

Fremgangsmåten for å konstruere grafer med omtrentlige løsninger på et grenseverdiproblem

1. Bygg en graf for å løse oppgaven for et differansenett med trinn h=0,2 (n=5).

2. Aktiver det allerede bygde diagrammet og velg kommandoen meny Kart\Legg til data

3. I vinduet Nye data legge inn data x i, y i for differansegitter med trinn h/2 (n=10).

4. I vinduet Spesialinnsats merk av i boksene i feltene:

Ø nye rader,

Som det fremgår av de presenterte dataene, skiller to omtrentlige løsninger av grenseverdiproblemet (to rutenettfunksjoner) seg fra hverandre med ikke mer enn 5 %. Derfor tar vi den andre iterasjonen som en omtrentlig løsning på det opprinnelige problemet, dvs.

Y{1, 1.124, 1.246, 1.364, 1.478, 1.584, 1.683, 1.772, 1.849, 1.914, 1.964}

Lab #5

Tilnærmet numeriske metoder

LØSNING AV EN IKKELINEÆR LIGNING med en ukjent.

En likning med en ukjent kan skrives i kanonisk form

Løsningen av ligningen er å finne røttene, dvs. verdier av x som gjør ligningen til en identitet. Avhengig av hvilke funksjoner som inngår i ligningen, deles to store klasser av ligninger – algebraiske og transcendentale. En funksjon kalles algebraisk hvis, for å få verdien av funksjonen fra gitt verdi x må utføre aritmetiske operasjoner og eksponentiering. Transcendentale funksjoner inkluderer eksponentiell, logaritmisk, trigonometrisk direkte og invers, etc.

Du kan finne de nøyaktige verdiene til røttene bare i unntakstilfeller. Som regel benyttes metoder for tilnærmet beregning av røtter med en gitt nøyaktighetsgrad E. Dette betyr at dersom det fastslås at den ønskede roten ligger innenfor intervallet , hvor a er venstre kant, og b er høyre kant av intervallet og lengden på intervallet (b-a)<= E, то за приближенное значение корня можно принять любое число, находящееся внутри этого интервала.

Prosessen med å finne omtrentlige verdier av røttene er delt inn i to stadier: 1) separasjon av røttene og 2) foredling av røttene til en gitt grad av nøyaktighet. La oss vurdere disse stadiene mer detaljert.

1.1 Separasjon av røtter.

Enhver rot av en ligning anses å være atskilt på et segment hvis ligningen som studeres ikke har andre røtter på dette segmentet.

Å skille røttene betyr å dele hele spekteret av tillatte verdier av x i segmenter, som hver inneholder bare én rot. Denne operasjonen kan utføres på to måter - grafisk og tabellform.

Hvis funksjonen f (x) er slik at det er lett å bygge en kvalitativ graf av dens endring, så finner man i henhold til denne grafen grovt sett to tall, mellom disse ligger ett skjæringspunkt for funksjonen med x-aksen. Noen ganger, for å lette konstruksjonen, er det tilrådelig å representere den opprinnelige kanoniske ligningen i formen f 1 (x) = f 2 (x), deretter plotte grafene til disse funksjonene og abscissen til skjæringspunktet mellom grafene tjene som røttene til denne ligningen.

I nærvær av en datamaskin er den tabellformede metoden for å skille røttene mest vanlig. Den består i å tabulere funksjonen f(x) når du endrer x fra en viss verdi på x initial til en verdi på x endelig med et trinn på dx. Oppgaven er å finne i denne tabellen slike to tilstøtende x-verdier som funksjonen har forskjellige fortegn for. La oss anta at slike to verdier a og b=a+dx finnes, dvs. f(a)*f(b)<0. Тогда согласно теореме Больцано-Коши внутри отрезка , если функция f(x) непрерывна, существует точка с, в которой f(c)=0. EXCEL позволяет легко реализовать оба способа отделения корней. Рассмотрим их на примере.

Eksempel 1.1.

Det er nødvendig å skille røttene til ligningen

For å gjøre dette må du tabulere funksjonen f (X) \u003d exp (X) - 10 * X, skrevet i henhold til EXCEL-reglene, og bygge grafen når X endres fra en X-start til X slutter med et trinn dX . La disse verdiene først være som følger: X start = 0, X slutt = 5, dX = 0,5. Hvis vi, innenfor disse grensene for endring i X, ikke klarer å skille en enkelt rot, vil det være nødvendig å sette nye initiale og endelige verdier av x og kanskje endre trinnet.

For å bygge en tabell, er det tilrådelig å bruke en spesiell subrutine TABELL. For å gjøre dette, på et nytt regneark i celle B1, skriv inn teksten: DEPARTMENT OF ROOTS. Deretter, i celle A2, skriv inn teksten: x, og i celle B2 ved siden av den, skriv inn teksten: f (x). Deretter lar vi celle A3 stå tom, men i celle B3 legger vi inn formelen til funksjonen som studeres i henhold til EXCEL-reglene, nemlig

Deretter fyller du inn tallserien med endringer X på linjene A4:A14 fra 0 til 5 med et trinn på 0,5.

Velg blokken med celle A3:B14. La oss nå gi menykommandoen Data bord. Tabellresultatene vil bli plassert i celleblokken B4:B14. For å gjøre dem mer visuelle, må du formatere blokk B4:B14 slik at negative tall farges rødt. I dette tilfellet er det lett å finne to tilstøtende verdier av X der funksjonsverdiene har forskjellige fortegn. De bør tas som endene av rotseparasjonsintervallet. I vårt tilfelle er det to slike intervaller, som det fremgår av tabellen - og [3.5;4].

Deretter bør vi plotte funksjonen vår ved å velge blokk A4:B14 og ringe Diagramveiviser. Som et resultat får vi på skjermen et diagram av endringen i f (X), hvorfra følgende intervaller for å skille røttene og er synlige.

Hvis du nå endrer de numeriske verdiene til x i blokk A4:A14, vil funksjonsverdiene i cellene B4:B14 og grafen endres automatisk.

1.2 Foredling av røtter: iterasjonsmetode.

For å avgrense roten ved å bruke iterasjonsmetoden, bør følgende spesifiseres:

Selve metoden kan deles inn i to stadier:
a) overgang fra den kanoniske formen for å skrive ligningen f(X)=0 til den iterative formen X = g(X),
b) beregningsmessig iterativ prosedyre for oppdatering av roten.

Du kan gå fra den kanoniske formen av ligningen til den iterative på forskjellige måter, det er bare viktig at i dette tilfellet tilstrekkelig betingelse for konvergens av metoden: çg’(X)ç<1 на , dvs. modulen til den første deriverte av den itererende funksjonen må være mindre enn 1 på intervallet. Dessuten, jo mindre denne modulen er, desto større er konvergenshastigheten.

Beregningsprosedyren for metoden er som følger. Vi velger den første tilnærmingen, vanligvis lik X 0 = (a+b)/2. Deretter beregner vi X 1 =g(X 0) og D= X 1 - X 0 . Hvis modul D<= E, то X 1 является корнем уравнения. В противном случае переходим ко второй итерации: вычисляем Х 2 =g(X 1) и новое значение D=X 2 - X 1 . Опять проводим проверку на точность и при необходимости продолжаем итерации. Если g(X) выбрано правильно и удовлетворяет достаточному условию сходимости, то эта итерирующая процедура сойдется к корню. Следует отметить, что от знака g’(X) зависит характер сходимости: for g’(X)>0 vil konvergensen være monoton, dvs. med økende iterasjoner vil D nærme seg E monotont (uten å skifte fortegn), mens for g'(X)<0 сходимость будет колебательной , dvs. D vil nærme seg E modulo, og skifter fortegn ved hver iterasjon.

Vurder implementeringen av iterasjonsmetoden i EXCEL ved å bruke et eksempel.

Eksempel 1.2

La oss avgrense ved iterasjon av verdien til røttene som er separert i eksempel 2.1. Så la f(X)= exp(X) - 10*X, for den første roten a=0 og b=0,5. La E=0,00001. Hvordan velge en iterabel funksjon? For eksempel, så g(X)=0,1*exp(X). På intervallet çg’(X)ç<1 и достаточное условие сходимости выполняется. Кроме того, эта производная >1 på intervallet og konvergensens karakter vil være monotont.

La oss programmere iterasjonsmetoden for dette eksemplet på det samme regnearket der vi gjorde rotseparasjonen. I celle A22 skriver du inn tallet lik 0. I celle B22 skriver du formelen =0,1*EXP(A22), og i celle C22, formelen =A22-B22. Linje 22 inneholder således dataene for den første iterasjonen. For å få data om den andre iterasjonen i linje 23, kopierer vi innholdet i celle B22 inn i celle A23, og skriver formelen =B22 i A23. Deretter må du kopiere formlene til cellene B22 og C22 inn i cellene B23 og C23. For å få data fra alle andre iterasjoner, velg cellene A23, B23, C23 og kopier innholdet til blokk A24:C32. Etter det bør du analysere endringen D \u003d X - g (X) i kolonne C, finn D<0,00001 по модулю и выбрать соответствующее ему значение Х из столбца А. Это и есть приближенное значение корня.

For større klarhet kan du bygge et diagram for iterasjonsmetoden. Velge blokk A22:C32 og bruke Diagramveiviser, får vi tre grafer med endringer i X, g (X) og D avhengig av antall iterasjoner, for hvilke trinn 3 av 5 velg format 2, og videre trinn 4 av 5 For å konstruere diagrammet må du tilordne nullkolonner for etiketter på X-aksen. Nå er den monotone karakteren til konvergensen D tydelig synlig.

For å avgrense den andre roten av denne ligningen på intervallet , må du velge en annen iterasjonsfunksjon, slik at dens første deriverte er mindre enn én i absolutt verdi. Velg g(X)= LN(X)+LN(10). I celle A22 vil vi legge inn en ny X0 = 3,75, og i celle B22 - en ny formel =LN(A22)+LN(10). La oss kopiere formelen fra B22 til blokk B23:B32 og umiddelbart få nye data og et gjenoppbygd diagram. La oss bestemme den omtrentlige verdien av den andre roten.

1.3 Foredling av røtter: Newtons metode.

For å avgrense roten ved Newtons metode, bør følgende gis:

1) ligningen f(X) = 0, og f(X) må gis i form av en formel,

2) tallene a - venstre kant og b - høyre kant av intervallet, innenfor som ligger en rot,

3) tallet E er den gitte nøyaktigheten for å oppnå roten,

4) funksjonen f(X) må være to ganger differensierbar, og formlene f’(X) og f”(X) må være kjent.

Metoden består i iterative beregninger av sekvensen

X i+1 = X i - f(X i)/f’(X i), hvor i=0,1,2, ...,

går ut fra den innledende tilnærmingen Х 0 som tilhører intervallet og tilfredsstiller betingelsen f(X 0)*f”(X 0)>0. Tilstrekkelige betingelser for konvergens metoden er at første og andre deriverte av funksjonen som studeres må beholde fortegn på intervallet. Som en innledende tilnærming velges vanligvis enten a eller b, avhengig av hvilken av dem som tilsvarer X 0-seleksjonsformelen.

Newtons metode gir mulighet for en enkel geometrisk tolkning. Hvis en tangent til kurven f(X) trekkes gjennom et punkt med koordinater (X i ;f(X i)), er abscissen til skjæringspunktet for denne tangenten med 0X-aksen den neste tilnærmingen til roten Х i+1.

Newtons metode kan betraktes som en modifikasjon av iterasjonsmetoden som gir den beste iterasjonsfunksjonen g(X) ved hvert iterasjonstrinn. La oss utføre følgende transformasjoner med den opprinnelige kanoniske ligningen f(X)=0. La oss multiplisere dens venstre og høyre del med et tall som ikke er null. Så legger vi til til venstre og til høyre langs X. Da skal vi ha

X \u003d g (X) \u003d X + l * f (X).

Ved å differensiere g(X), får vi g'(X) = 1 + l*f'(X). Fra en tilstrekkelig betingelse for konvergens av iterasjonsmetoden çg’(X)ç<1. Потребуем, чтобы на i-том шаге итерации сходимость была самой быстрой, т.е. çg’(X i)ç =0. Тогда l=-1/ f’(X i) и мы пришли к методу Ньютона.

Beregningsprosedyren for metoden er som følger. Vi velger den første tilnærmingen X 0 , vanligvis lik a eller b. Regn deretter ut X 1 = X 0 - f(X 0)/f’(X 0) og D= X 1 - X 0 . Hvis modul D<= E, то X 1 является корнем уравнения. В противном случае переходим ко второй итерации: вычисляем Х 2 и новое значение D=X 2 - X 1 . Опять проводим проверку на точность и при необходимости продолжаем итерации. Если X 0 выбрано правильно, а функция удовлетворяет достаточному условию сходимости, то эта итерирующая процедура быстро сойдется к корню.

Eksempel 1.3.

La oss avgrense verdien av roten separert i eksempel 1.1 ved Newtons metode. Så la f(X)= exp(X) - 10*X, for den første roten a=0 og b=0,5. La E=0,00001. Formlene for den første og andre deriverte av f(X) er som følger

f’(X) = exp(X) - 10 og f”(X) = exp(X).

Åpenbart er X 0 = a = 0, fordi f(0)*f”(0) = 1 >0.

For å få data om den andre iterasjonen i linje 43, kopierer vi innholdet i celle D42 til celle A43, og skriver formelen =D42 i A43. Deretter må du kopiere formlene til cellene B42, C42, D42, E42 inn i cellene B43, C43, D43, E43. For å få data fra alle andre iterasjoner, er det nødvendig å velge cellene i linje 43 og kopiere innholdet til blokk A44:E47. Etter det bør du analysere endringen i D i kolonne E, finn D<0,00001 по модулю и выбрать соответствующее ему значение Х из столбца А. Это и есть приближенное значение корня. При правильно введенных формулах метод Ньютона сходится за 3 или 4 итерации. Поэтому строить диаграмму для этого метода нет необходимости.

1.4. Forfining av røttene: halveringsmetoden (deler segmentet i to).

For å avgrense roten ved hjelp av halveringsmetoden, bør følgende gis:

1) ligningen f(X) = 0, og f(X) må gis i form av en formel,

2) tallene a - venstre kant og b - høyre kant av intervallet, innenfor som ligger en rot,

3) tallet E - den gitte nøyaktigheten for å oppnå roten.

Husk at funksjonen f(X) har forskjellige fortegn i enden av intervallet. Beregningsprosedyren til metoden er at ved hvert iterasjonstrinn på intervallet velges et mellompunkt c slik at det er midten av intervallet, dvs. c=(a+b)/2. Deretter vil intervallet deles med dette punktet i to like segmenter og , hvor lengdene er lik (b-a)/2. Fra de to oppnådde segmentene velger vi den i enden av funksjonen f(X) tar verdier av motsatte fortegn. La oss betegne det igjen som . Dette avslutter den første iterasjonen. Deretter deler vi det nye segmentet i to igjen og utfører den andre og påfølgende iterasjonene. Prosessen med å dele segmentet i to utføres til det nylig oppnådde segmentet på et eller annet K-te trinn blir mindre enn eller lik nøyaktighetsverdien E. Verdien av trinn K kan enkelt beregnes fra formelen

(b-a)/2k<=E,

hvor a og b er startverdiene til venstre og høyre grense for intervallet.

Biseksjonsmetoden konvergerer for alle kontinuerlige funksjoner, inkludert ikke-differensierbare.

Eksempel 1.4.

La oss avgrense verdien av roten skilt i eksempel 1.1 ved hjelp av halveringsmetoden. Så la f(X)= exp(X) - 10*X, for den første roten a=0 og b=0,5. La E=0,00001.

La oss programmere halveringsmetoden for dette eksemplet på det samme regnearket der vi gjorde rotseparasjonen. I cellene A52 og B52 må du angi de numeriske verdiene av a og b, i celle C52 - formelen \u003d (A52 + B52) / 2. Deretter, i celle D52, skriv inn formelen =EXP(A52)-10*A52, i celle E52 - formel =EXP(C52)-10*C52, i celle F52 - formel =D52*E52, og til slutt, i celle G52, skriv formelen =B52-A52. På linje 52 har vi generert den første iterasjonen. På den andre iterasjonen avhenger verdiene i cellene A53 og B53 av tegnet på tallet i celle F52. Hvis F52>0, er verdien av A53 lik C52. Ellers må den være lik A52. I celle B53 er det motsatte: hvis F52<0, то значение В53 равно С52, иначе В52.

Den innebygde EXCEL-funksjonen, som kalles IF, vil bidra til å løse dette problemet. La oss lage den nåværende cellen A53. I formellinjen, ved siden av det grønne merket, klikker du på knappen med bildet f(x). Så kalt Funksjon Master. I dialogboksen som vises, velg i feltet Kategorier Funksjoner kategori hjernetrim, og i felten Funksjonsnavn- navn IF. På det andre trinnet i dialogen fyller du ut de tre ledige feltene som følger: i feltet boolsk_uttrykk skriv inn "F52>0" (selvfølgelig uten anførselstegn!), i feltet verdi_hvis_sant skriv inn C52, og i feltet verdi_hvis_falsk- A52. La oss klikke på knappen bli ferdig. Det er alt.

Det samme må gjøres med celle B53. Bare boolsk uttrykk vil være "F52<0”, verdi_hvis_sant vil være C52, og verdi_hvis_falsk henholdsvis B52.

Deretter må du kopiere formlene i celleblokken C52:G52 til blokken C53:G53. Etter det vil den andre iterasjonen utføres i linje 53. For å få de neste iterasjonene er det nok å kopiere formlene fra linje 53 i blokk A53:E53 til blokk A54:E68. Da skal du som vanlig finne en rad i kolonne E hvor verdien av D vil være mindre enn E. Da er tallet i kolonne C i denne raden den omtrentlige verdien av roten.

Du kan plotte endringene i verdiene i kolonnene A, B og C fra den første iterasjonen til den siste iterasjonen. For å gjøre dette, velg en blokk med celler A52:C68. Se eksempel 1.2 for ytterligere instruksjoner.

La oss spesifisere verdien av roten skilt i eksempel 1.1. Så la f(X)= exp(X) - 10*X. La oss finne en rot som ligger på intervallet . La oss la celle A70 stå tom. I celle B70 skriver du formelen =EXP(A70)-10*A70. Velg menykommando Service- Parametervalg. En dialog åpnes Parametervalg, der i feltet Sett i celle skriv B70, i feltet Betydning skriv inn 0 (null) i feltet Endre cellen la oss si A70. Klikk på OK-knappen og en ny dialogboks vises som viser resultatet av operasjonen. I vinduet Beslutningstilstand den funnet verdien vises. Hvis du nå klikker på OK-knappen, vil den funnet rotverdien bli lagt inn i celle A70, og verdien av funksjonen vil bli lagt inn i celle B70.

For å finne en annen rot som ligger på intervallet, er det nødvendig å endre den innledende tilnærmingen, som i tabellen vår er i celle A70. La oss skrive i denne cellen en av grensene for intervallet, for eksempel 4, og igjen utføre parametervalgsprosedyren. Innholdet i cellene A70 og B70 vil endre seg, nå vil koordinatene til den større roten vises i disse cellene.

2. SYSTEMER AV LINEÆRE ALGEBRAISKE LIGNINGER

Generelt er systemet med lineære algebraiske ligninger skrevet som følger: a 11 x 1 +a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1

a 21 x 1 +a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2

......................

a n1 x n +a n2 x 2 +... +a nn x n = b n

Vi skriver settet med koeffisienter til dette systemet i form av en kvadratisk matrise EN fra n linjer og n kolonner

a 11 a 12 ... a 1n

a 21 a 22 ... a 2n

a n1 a n2 ... a nn

Ved å bruke matriseregning kan det opprinnelige ligningssystemet skrives som

A * X \u003d B,

hvor X- kolonnevektor av ukjente dimensjoner n, a PÅ- vektor-kolonne av gratis medlemmer, også dimensjon n.

Dette systemet kalles ledd hvis den har minst én løsning, og sikker hvis den har en enkelt løsning. Hvis alle frie ledd er lik null, kalles systemet homogen.

En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for eksistensen av en unik løsning til systemet er betingelsen DET=0, hvor DET er determinanten for matrisen MEN. I praksis, når man regner på en datamaskin, er det ikke alltid mulig å oppnå den nøyaktige likheten mellom DET og null. Når DET er nær null, sies systemene å være dårlig kondisjonerte. Når de løses på en datamaskin, kan små feil i startdata føre til betydelige feil i løsningen. Tilstanden DET~0 er nødvendig for at systemet skal være dårlig kondisjonert, men ikke tilstrekkelig. Derfor, når du løser et system på en datamaskin, er det nødvendig å estimere feilen knyttet til begrensningen av bitnettet til datamaskinen.

Det er to mengder som karakteriserer graden av avvik for den oppnådde løsningen fra den eksakte. La Hk er den sanne løsningen av systemet, Xc- løsningen oppnådd med en eller annen metode på en datamaskin, deretter feilen i løsningen:
E \u003d Xk - Xc. Den andre verdien er avviket lik R = B - A*Xc. I praktiske beregninger styres nøyaktigheten ved hjelp av residualer, selv om dette ikke er helt korrekt.

2.1. matrisemetode.

EXCEL gjør det mulig å løse et system av lineære algebraiske ligninger ved en matrisemetode, dvs.

X \u003d A -1 * B.

Dermed kan algoritmen for å løse systemet ved matrisemetoden representeres som følgende sekvens av beregningsprosedyrer:

1) få matrise A -1, den inverse av matrisen MEN;

2) få løsningen av systemet ved formelen Xc \u003d A -1 * B;

3) beregne en ny vektor av frie termer Sol \u003d A * Xs;

4) beregn rest R=B-Bc;

5) få løsningen av systemet ved formelen dXc \u003d A -1 * R;

6) sammenlign alle vektorkomponenter dXc modulo med en gitt feil E: hvis alle er mindre enn E, fullfør beregningene, ellers gjenta beregningene fra punkt 2, der Xc = Xc + dXc.

Tenk på matrisemetoden for å løse systemet ved hjelp av EXCEL ved å bruke et eksempel.

Eksempel 2.1.

Løs et ligningssystem

20,9x1 + 1,2x2 + 2,1x3 + 0,9x4 = 21,7

1,2x1 +21,2x2 + 1,5x3 + 2,5x4 = 27,46

2,1x1 + 1,5x2 +19,8x3 + 1,3x4 = 28,76

0,9x1 + 2,5x2 + 1,3x3 +32,1x4 = 49,72

EXCEL har følgende innebygde funksjoner som implementerer matriseberegninger:

a) MOBR - matriseinversjon,

b) MULTIPPlikasjon av to matriser,

c) MOPRED - beregning av matrisedeterminanten.

Når du bruker disse funksjonene, er det viktig å riktig og kompakt ordne celleblokkene på regnearket som tilsvarer kilde- og arbeidsmatrisene og kolonnevektorene. Åpne et nytt regneark ved å klikke på fanen du ønsker. Ta under matrisen MEN blokk av celler A3:D6. For klarhetens skyld legger vi den inn i en svart ramme. For å gjøre dette, velg blokk A3:D6, gi menykommandoen Format - Celler og velg fanen i dialogboksen som åpnes Ramme. En ny dialog åpnes, der vi klikker på feltet Ramme - Disposisjon og velg i feltet Ramme- stil den tykkeste linjebredden. Bekreft avgjørelsen ved å klikke på OK-knappen. Velg nå blokken A8:D11 for matrisen A -1 og omslutt den også i en svart ramme, følg trinnene som ligner på matriseblokken MEN. Deretter velger du blokker med celler for kolonnevektorer (skisserer dem med en svart ramme): blokk F8:F11 - for en vektor PÅ, blokk H8:H11 - under vektoren Xs A -1 *B, blokk H3:H6 - under vektoren Sol som følge av multiplikasjonen A*Xs, og for klarhetens skyld velger vi en ekstra blokk F3:F6, hvor vi kopierer komponentene til vektoren Xs fra blokk H8:H11. Og til slutt vil vi legge inn multiplikasjonstegnet * i cellene E4 og E9, og likhetstegnet = i cellene G4 og G9, deretter, ved å velge kolonnene E og G etter tur, vil vi gi menykommandoen Format - Kolonne - Tilpass bredde. Derfor har vi utarbeidet et arbeidsark for å løse problemet vårt.

La oss legge inn de første dataene: matrisetall MEN inn i cellene i blokken A3:D6, og tallene til vektoren av frie medlemmer PÅ- i cellene i blokken F8:F11.

Vi starter algoritmen ved å invertere matrisen MEN. For å gjøre dette, velg blokk A8:D11, hvor resultatet av operasjonen skal plasseres. Denne blokken blir svart, bortsett fra celle A8. La oss klikke på knappen f x på panelet Standard ved å ringe Funksjonsveivisere. En dialog åpnes der fra feltet Funksjonskategori velg en rad Matte. og trigonometri, og fra feltet Funksjonsnavn- linje MOBR. La oss gå videre til det andre trinnet i dialogboksen ved å klikke på knappen Trinn>. Her i felten array du må skrive A3: D6 fra tastaturet, som tilsvarer blokken med celler som er okkupert av matrisen MEN. Ved å klikke på knappen bli ferdig, kan du se at i blokk A8:D11 er bare celle A8 fylt. For å fullføre samtaleoperasjonen krever EXCEL ytterligere to trinn. Først må du gjøre formellinjen aktiv ved å klikke på den (hvor som helst i linjen!) - musepekeren vil da ha formen I. Kontroll av at handlingene dine er korrekte, vil være utseendet til fire knapper til venstre for formelen stolpe, inkludert med grønt hake. Etter det, trykk på "Ctrl"-tasten på tastaturet, deretter uten å slippe den - "Shift"-tasten, og uten å slippe den - "Enter"-tasten, dvs. som et resultat må alle tre tastene trykkes samtidig! Nå vil hele blokken A8:D11 bli fylt med tall, og du kan velge blokken H8:H11 for å starte multiplikasjonsoperasjonen A -1 *B.

Med denne blokken valgt, ring igjen Funksjonsveiviser og i felten Funksjonsnavn- velg MULTIP-funksjonen. Ved å klikke på knappen Trinn>, la oss gå videre til det andre trinnet i dialogen, hvor i feltet Matrise1 skriv inn adressen А8:D11, og i feltet Matrise2- adresse F8:F11. La oss klikke på knappen bli ferdig og finn ut at i blokk H8:H11 er bare celle H8 fylt. Aktiver formellinjen (et grønt hakemerke skal vises!) Og ved å bruke metoden beskrevet ovenfor, trykk de tre tastene "Ctrl"-"Shift"-"Enter" samtidig. Resultatet av multiplikasjonen vil vises i blokk H8:H11.

For å sjekke nøyaktigheten til den oppnådde løsningen av systemet, utfører vi beregningsoperasjonen Sol=A*Hs. For dette formålet kopierer vi bare de numeriske verdiene (og ikke formlene!) til cellene fra H8:H11-blokken til F3:F6-cellene. Dette må gjøres på følgende måte. Velg blokk H8:H11. Gi menykommandoen Redigere- Kopiere. Velg blokk F3:F6. Gi menykommandoen Redigere- Spesialinnsats. En dialog åpnes der, i feltet Sett inn modus må velges Verdier. Bekreft avgjørelsen ved å klikke på OK-knappen.

Etter denne operasjonen fylles blokkene A3:D6 og F3:F6 med tall. La oss starte med matrisemultiplikasjon. MEN per vektor Xs. For å gjøre dette, velg H3:H6-blokken, ring Funksjon Master og fortsetter på samme måte som i beregningen Xc \u003d A -1 * B, få Sol. Som det fremgår av tabellen, er de numeriske verdiene til vektorene PÅ og Sol sammenfaller, noe som indikerer en god nøyaktighet av beregninger, dvs. resten i vårt eksempel er null.

Vi bekrefter den gode betingelsen til matrisen MEN beregner dens determinant. For å gjøre dette, la oss gjøre celle D13 aktiv. Ved bruk av Funksjonsveivisere kall opp MOPRED-funksjonen. I matrisefeltet skriver du inn adressen til blokken A3:D6. Ved å klikke på knappen bli ferdig, får vi i celle D13 den numeriske verdien av determinanten til matrisen MEN. Som man kan se, er den mye større enn null, noe som indikerer en god kondisjonalitet av matrisen.

2.2. Metode for omtrentlige beregninger.

En av de vanligste iterative metodene for å løse systemer med lineære algebraiske ligninger, som er preget av enkelhet og enkel programmering, er metoden for omtrentlige beregninger eller Jacobi-metoden.

La systemet løses

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2

a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3

Anta at de diagonale elementene a 11, a 22, a 33 er ikke-null. Ellers kan du omorganisere ligningene. Vi uttrykker variablene fra henholdsvis første, andre og tredje ligning. Deretter

x 1 = / a 11

x 2 \u003d / a 22

x 3 = / a 33

La oss angi de første tilnærmingene til de ukjente

Ved å erstatte dem på høyre side av det transformerte systemet, får vi en ny første tilnærming

Finne røttene til ligninger

Den grafiske måten å finne røttene på er å plotte funksjonen f (x) på segmentet. Skjæringspunktet for grafen til funksjonen med abscisseaksen gir en omtrentlig verdi av roten til ligningen.

De omtrentlige verdiene til røttene funnet på denne måten gjør det mulig å skille ut segmenter som det om nødvendig er mulig å foredle røttene på.

Når du finner røttene ved beregning for kontinuerlige funksjoner f(x), brukes følgende betraktninger:

- hvis funksjonen har forskjellige fortegn ved enden av segmentet, så er det et oddetall røtter mellom punktene a og b på x-aksen;

- hvis funksjonen har de samme tegnene i enden av intervallet, så er det et jevnt antall røtter mellom a og b, eller det er ingen i det hele tatt;

- hvis funksjonen i enden av segmentet har forskjellige fortegn og enten den første deriverte eller den andre deriverte ikke endrer fortegn på dette segmentet, så har ligningen en enkelt rot på segmentet.

Finn alle reelle røtter til ligningen x 5 –4x–2=0 på segmentet [–2,2]. La oss lage et regneark.

Tabell 1

Tabell 2 viser beregningsresultatene.

tabell 2

På samme måte finnes en løsning på intervallene [-2,-1], [-1,0].

Forfining av røttene til ligningen

Bruke "Søk etter løsninger"-modus

For ligningen gitt ovenfor, bør alle røttene til ligningen x 5 –4x–2=0 avklares med en feil på E = 0,001.

For å tydeliggjøre røttene i intervallet [-2,-1], vil vi sette sammen et regneark.

Tabell 3

Vi starter "Søk etter en løsning"-modus i "Verktøy"-menyen. Utfør moduskommandoer. Visningsmodusen vil vise de funnet røttene. På samme måte foredler vi røttene på andre intervaller.

Forfining av ligningsrøtter

Bruke "Iterasjoner"-modus

Den enkle iterasjonsmetoden har to moduser "Manuell" og "Automatisk". For å starte "Iterasjoner"-modus i "Verktøy"-menyen, åpne fanen "Parametere". Følgende er moduskommandoer. I kategorien Beregninger kan du velge automatisk eller manuell modus.

Løse ligningssystemer

Løsningen av ligningssystemer i Excel utføres ved metoden for inverse matriser. Løs ligningssystemet:

La oss lage et regneark.

Tabell 4

EN	B	C	D	E
Løsning av ligningssystemet.

	øks=b

Startmatrise A		Høyre side b
-8
		-3
		-2		-2

Invers matrise (1/A)		Løsningsvektor x=(1/A)/b
=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MULTI(A11:C13;E6:E8)
=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MULTI(A11:C13;E6:E8)
=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MULTI(A11:C13;E6:E8)

MIN-funksjonen returnerer en rekke verdier som settes inn i en hel kolonne med celler samtidig.

Tabell 5 viser beregningsresultatene.

Tabell 5

EN	B	C	D	E
Løsning av ligningssystemet.

	øks=b

Startmatrise A		Høyre side b
-8
		-3
		-2		-2

Invers matrise (1/A)		Løsningsvektor x=(1/A)/b
-0,149	0,054	-0,230
0,054	0,162	-0,189
-0,122	0,135	-0,824

Liste over brukte litterære kilder

1. Turchak L.I. Grunnleggende om numeriske metoder: Proc. godtgjørelse for universiteter / utg. V.V. Shchennikov.–M.: Nauka, 1987.–320s.

2. Bundy B. Optimaliseringsmetoder. Introduksjonskurs.–M.: Radio og kommunikasjon, 1988.–128s.

3. Evseev A.M., Nikolaeva L.S. Matematisk modellering av kjemiske likevekter.–M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1988.–192s.

4. Bezdenezhnykh A.A. Tekniske metoder for sammenstilling av reaksjonshastighetsligninger og beregning av kinetiske konstanter.–L.: Chemistry, 1973.–256s.

5. Stepanova N.F., Erlykina M.E., Filippov G.G. Metoder for lineær algebra i fysisk kjemi.–M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1976.–359s.

6. Bakhvalov N.S. mfl. Numeriske metoder i oppgaver og øvelser: Proc. håndbok for universiteter / Bakhvalov N.S., Lapin A.V., Chizhonkov E.V. - M.: Høyere. skole., 2000.-190-tallet. - (Høyere matematikk / Sadovnichiy V.A.)

7. Anvendelse av beregningsmatematikk i kjemisk og fysisk kinetikk, red. L.S. Polak, M.: Nauka, 1969, 279 s.

8. Algoritmering av beregninger i kjemisk teknologi B.A. Zhidkov, A.G. Cooper

9. Beregningsmetoder for kjemiingeniører. H. Rosenbrock, S. Story

10. Orvis V.D. Excel for forskere, ingeniører og studenter. - Kiev: Junior, 1999.

11. Yu.Yu. Tarasevich Numeriske metoder ved Mathcade - Astrakhan State Pedagogical University: Astrakhan, 2000.

Gitt system n algebraiske ligninger med n ukjent:

Dette systemet kan skrives i matriseform:
,

;;.

hvor EN - kvadratkoeffisientmatrise, X - kolonnevektor av ukjente, B - kolonnevektor med frie termer.

Numeriske metoder for å løse systemer av lineære ligninger er delt inn i direkte og iterative. Førstnevnte bruker endelige forhold for å beregne ukjente. Et eksempel er Gauss-metoden. Sistnevnte er basert på suksessive tilnærminger. Eksempler er den enkle iterasjonsmetoden og Seidelmetoden.

Gauss metode

Metoden er basert på å bringe systemmatrisen til en trekantet form. Dette oppnås ved sekvensiell eliminering av de ukjente fra systemets ligninger. Først, ved å bruke den første ligningen, eliminerer vi x 1 fra alle påfølgende ligninger. Så, ved hjelp av den andre ligningen, x 2 fra etterfølgende osv. Denne prosessen kalles foroverkjøringen av Gauss-metoden og fortsetter til venstre side av den siste n ligning, bare ett ledd med en ukjent x n. Som et resultat av den direkte flyttingen tar systemet formen:

(2)

Det omvendte forløpet til Gauss-metoden består i sekvensiell beregning av de nødvendige ukjente, fra kl. x n og slutt x 1 .

Enkel iterasjonsmetode og Seidelmetode

Løsningen av systemer med lineære ligninger ved bruk av iterative metoder er redusert til følgende. Den første tilnærmingen til vektoren av ukjente er satt, som vanligvis er nullvektoren:

Deretter organiseres en syklisk beregningsprosess, hvor hver syklus er én iterasjon. Som et resultat av hver iterasjon oppnås en ny verdi av vektoren av ukjente. Den iterative prosessen avsluttes hvis for hver Jeg komponenten av vektoren av ukjente, tilstanden

(3)

hvor k- iterasjonsnummer,  - spesifisert nøyaktighet.

Ulempen med iterative metoder er den strenge betingelsen for konvergens. For konvergens av metoden er det nødvendig og tilstrekkelig at i matrisen EN de absolutte verdiene til alle diagonale elementer var større enn summen av modulene til alle andre elementer i den tilsvarende raden:

(4)

Hvis konvergensbetingelsen er oppfylt, kan en iterativ prosess organiseres ved å skrive system (1) i redusert form. I dette tilfellet normaliseres begrepene på hoveddiagonalen og forblir til venstre for likhetstegnet, mens resten overføres til høyre side. For den enkle iterasjonsmetoden har det reduserte likningssystemet formen:

(5)

Forskjellen mellom Seidel-metoden og den enkle iterasjonsmetoden er at når man beregner neste tilnærming av vektoren av ukjente, brukes allerede raffinerte verdier i samme iterasjonstrinn. Dette sikrer raskere konvergens av Seidel-metoden. Det gitte ligningssystemet har formen:

(6)

3.4. Implementering i Excel

Som et eksempel, se på likningssystemet:

Dette systemet tilfredsstiller konvergensbetingelsen og kan løses både ved direkte og iterative metoder. Rekkefølgen av handlinger (fig. 7):

Lag en overskrift i linje 1 "Numeriske metoder for å løse systemer av lineære ligninger."

I området D3:H6 legger du inn startdata, som vist på figuren.

Skriv inn i celle F8 tittelteksten "Gauss-metoden" (senterjustering).

Kopier originaldata E4:H6 til område B10:E12. Dette er de første dataene for det direkte forløpet til Gauss-metoden. La oss betegne de tilsvarende radene A1, A2 og A3.

Klargjør plass for første passering ved å merke i G10:G12-området navnene på linjene B1, B2 og B3.

Skriv inn formelen "=B10/$B$10" i celle H10. Kopier denne formelen til cellene I10:K10. Dette er normaliseringen til koeffisienten 11 .

Skriv inn formelen "=B11-H10*$B$11" i celle H11. Kopier denne formelen til cellene I11:K11.

Skriv inn formelen "=B12-H10*$B$12" i celle H12. Kopier denne formelen til cellene I12:K12.

Klargjør plass for andre passering ved å merke i området A14:A16 navnene på linjene C1, C2 og C3.

Skriv inn formelen "=H10" i celle B14. Kopier denne formelen til cellene C14:E14.

Skriv inn formelen "=H11/$I$11" i celle B15. Kopier denne formelen til cellene C15:E15.

12. Skriv inn formelen "=H12-B15*$I$12" i celle B16. Kopier denne formelen til cellene C16:E16.

13. Klargjør plass for tredje passering ved å merke i området G14:G16 navnene på linjene D1, D2 og D3.

14. Skriv inn formelen "=B14" i celle H14. Kopier denne formelen til cellene I14:K14.

15. Skriv inn formelen "=B15" i celle H15. Kopier denne formelen til cellene I15:K15.

16. Skriv inn formelen "=B16/$D$16" i celle H16. Kopier denne formelen til cellene I16:K16.

17. Forbered et sted for omvendt bevegelse av Gauss-metoden ved å skrive inn de passende tekstene "x3=", "x2=" og "x1=" i cellene B18, E18 og H18.

18. Skriv inn formelen "=K16" i celle C18. Få verdien av en variabel X 3.

19. Skriv inn formelen "=K15-J15*K16" i celle F18. Få verdien av en variabel X 2.

20. Skriv inn formelen "=K10-I10*F18-J10*C18" i celle I18. Få verdien av en variabel X 1.

21. Skriv inn tittelteksten "Metode for enkel iterasjon" i celle F21 (senterjustering).

22. Skriv inn teksten "e =" (høyrejustering) i celle J21.

23. Skriv inn nøyaktighetsverdien e (0,0001) i celle K21.

24. Angi navnene på variablene i området A23:A25.

25. I området B23:B25 setter du startverdiene til variablene (null).

26. Skriv inn formelen "=($H$4-$F$4*B24-$G$4*B25)/$E$4" i celle C23. Få verdien av en variabel X 1 på den første iterasjonen.

27. Skriv inn formelen "=($H$5-$E$5*B23-$G$5*B25)/$F$5" i celle C24. Få verdien av en variabel X 2 på den første iterasjonen.

28. Skriv inn formelen "=($H$6-$E$6*B23-$F$6*B24)/$G$6" i celle C25. Få verdien av en variabel X 3 på den første iterasjonen.

29. Skriv inn i celle C26 formelen "=IF(ABS(C23-B23)>$K$21;" "; IF(ABS(C24-B24)>$K$21;" ";IF(ABS(C25-B25) > $К$21;" "; ""røtter")))".

30. Velg området C23:C26 og kopier det opp til kolonne K ved hjelp av drateknikken. Når meldingen "røtter" vises i linje 26, vil den tilsvarende kolonnen inneholde omtrentlige verdier av variablene X 1,x 2, x 3, som er løsningen av et ligningssystem med en gitt nøyaktighet.

31. I området A27:K42, konstruer et diagram som viser prosessen med å tilnærme verdiene til variabler X 1,X 2,x 3 til løsningen av systemet. Diagrammet er bygget i "Graph"-modus, hvor iterasjonsnummeret er plottet langs abscissen.

32. Skriv inn i celle F43 tittelteksten "Seidel Method" (senterjustering).

33. Skriv inn teksten "e =" (høyrejustering) i celle J43.

34. Skriv inn nøyaktighetsverdien e (0,0001) i celle K43.

35. Angi navnene på variablene i området A45: A47.

36. I området B45:B47 setter du startverdiene til variablene (null).

37. Skriv inn formelen "=($H$4-$F$4*B46-$G$4*B47)/$E$4" i celle C45. Få verdien av en variabel X 1 på den første iterasjonen.

38. Skriv inn formelen "=($H$5-$E$5*C45-$G$5*B47)/$F$5" i celle C46. Få verdien av en variabel X 2 på den første iterasjonen.

39. Skriv inn formelen "=($H$6-$E$6*C45-$F$6*C46)/$G$6" i celle C47. Få verdien av en variabel x 3 ved første iterasjon.

40. Skriv inn i celle C48 formelen "=IF(AB5(C45-B45)>$K$43;" "; IF(ABS(C46-B46)>$K$43;" ";IF(ABS(C47-B47) > $K$43;" ";"røtter")))".

41. Velg området C45:C48 og kopier det opp til kolonne K ved å bruke drateknikken. Når meldingen "røtter" vises i linje 26, vil den tilsvarende kolonnen inneholde omtrentlige verdier av variablene X 1,X 2,x 3, som er løsningen av ligningssystemet med en gitt nøyaktighet. Man kan se at Seidel-metoden konvergerer raskere enn den enkle iterasjonsmetoden, det vil si at den angitte nøyaktigheten oppnås her i færre iterasjoner.

42. I området A49:K62, konstruer et diagram som viser prosessen med å nærme seg verdiene til variablene x1, x2, x3 til løsningen av systemet. Diagrammet er bygget i "Graph"-modus, hvor iterasjonsnummeret er plottet langs abscissen.

Excel har et bredt utvalg av verktøy for å løse ulike typer ligninger ved hjelp av ulike metoder.

La oss se på noen eksempler på løsninger.

Løse ligninger ved å velge Excel-parametere

Parametersøk-verktøyet brukes i en situasjon der resultatet er kjent, men argumentene er ukjente. Excel velger verdier inntil beregningen gir ønsket total.

Sti til kommandoen: "Data" - "Arbeid med data" - "Hva hvis-analyse" - "Parametervalg".

Tenk for eksempel på løsningen av den kvadratiske ligningen x 2 + 3x + 2 = 0. Rekkefølgen for å finne roten ved hjelp av Excel:

Programmet bruker en syklisk prosess for å velge parameteren. For å endre antall iterasjoner og feilen, må du gå til Excel-alternativene. På "Formler"-fanen angir du maksimalt antall iterasjoner, den relative feilen. Merk av i boksen "aktiver iterative beregninger".

Hvordan løse ligningssystem med matrisemetode i Excel

Ligningssystemet er gitt:

Ligningsrøtter oppnås.

Løse et ligningssystem ved Cramers metode i Excel

La oss ta ligningssystemet fra forrige eksempel:

For å løse dem ved Cramer-metoden, beregner vi determinantene til matrisene oppnådd ved å erstatte en kolonne i matrise A med en kolonnematrise B.

For å beregne determinantene bruker vi MOPRED-funksjonen. Argumentet er et område med den tilsvarende matrisen.

Vi beregner også determinanten til matrise A (matrise - rekkevidde av matrise A).

Determinanten til systemet er større enn 0 - løsningen kan finnes ved å bruke Cramer-formelen (D x / |A|).

For å beregne X 1: \u003d U2 / $ U $ 1, hvor U2 - D1. For å beregne X 2: =U3/$U$1. Etc. Vi får røttene til ligningene:

Løse ligningssystemer ved Gauss-metoden i Excel

La oss for eksempel ta det enkleste ligningssystemet:

3a + 2c - 5c = -1
2a - c - 3c = 13
a + 2b - c \u003d 9

Vi skriver koeffisientene i matrise A. Frie termer - i matrise B.

For klarhetens skyld fremhever vi de gratis medlemmene ved å fylle ut. Hvis den første cellen i matrisen A er 0, må du bytte radene slik at det er en annen verdi enn 0.

Eksempler på løsning av ligninger ved iterasjon i Excel

Beregningene i arbeidsboken må settes opp som følger:

Dette gjøres på "Formler"-fanen i "Excel-alternativer". La oss finne roten til ligningen x - x 3 + 1 = 0 (a = 1, b = 2) ved iterasjon ved hjelp av sykliske referanser. Formel:

X n+1 \u003d X n - F (X n) / M, n \u003d 0, 1, 2, ....

M er den maksimale verdien av modulo-deriverten. For å finne M, la oss gjøre beregningene:

f' (1) = -2 * f' (2) = -11.

Den resulterende verdien er mindre enn 0. Derfor vil funksjonen være med motsatt fortegn: f (x) \u003d -x + x 3 - 1. M \u003d 11.

I celle A3 skriver du inn verdien: a = 1. Nøyaktighet - tre desimaler. For å beregne gjeldende verdi av x i den tilstøtende cellen (B3), skriv inn formelen: =IF(B3=0;A3;B3-(-B3+POWER(B3;3)-1/11)).