n Eksempel 2.3. Finn røttene til ligningen

x- tg (x)= 0. (2.18)

Den første fasen av løsningen (stadiet rotseparasjon) ble implementert i del 2.1 (eksempel 2.2). Den ønskede roten av ligningen er på segmentet xО, som kan sees på grafen (fig. 2.9).

Fig.2.9. Rotseparasjonstrinn

Rotforedlingsstadiet implementert ved hjelp av Excel. La oss demonstrere dette med et eksempel metode halv divisjon . Beregningsordninger for tangentmetoder Og akkord litt forskjellig fra diagrammet nedenfor.

Sekvensering:

1. Lag en tabell som vist i figur 2.10 og skriv inn verdiene en, b, ε inn i henholdsvis cellene В3, В4, В5.

2. Fyll ut den første linjen i tabellen:

D4=0 iterasjonsnummer;

E4=B3, F4=B4, for å beregne f(a): G4=E4-TAN(E4),

Tilsvarende vil vi i cellene H4, I4, J4 introdusere formler for beregning av hhv. f(b), x n=(a+b)/2 og f(x n);

I celle K4 beregner du lengden på segmentet [ en, b]: K4=ABS(E4-F4).

3. D5=D4+1, for å danne iterasjonsnummeret.

4. I cellene E5, F5 introduserer vi formler for å danne endene av nestede segmenter i samsvar med algoritmen beskrevet i avsnitt 2.2.1:

E5=IF(J4*H4<0;I4;E4);

F5=IF(J4*H4>0;I4;F4).

5. Velg cellene G4:K4 og kopier dem ned til en linje.

6. Velg cellene D5:K5 og kopier dem ned til slutten av tabellen.

Fig.2.10. Skjema for å løse en ikke-lineær ligning ved hjelp av halveringsmetoden

Vi fortsetter å dele segmentene til lengden på sistnevnte blir mindre enn den gitte ε, dvs. til vilkåret er oppfylt.

For å visualisere slutten av den iterative prosessen bruker vi betinget formatering

Betinget formatering - dette er formatering av utvalgte celler basert på et eller annet kriterium, som et resultat av hvilke celler vil bli farget, hvis innhold tilfredsstiller den angitte betingelsen (i vårt tilfelle, ).

For å gjøre dette, utfør følgende trinn:

La oss velge cellene i den siste kolonnen (K) i beregningsskjemaet (fig. 2.10), hvor kriteriet for slutten av den iterative prosessen vil bli satt;

Utfør kommandoen

Hjem\Stiler\ Betinget formatering;

Fig.2.11. Vindu kl ordformatering

I vinduet som vises (fig. 2.11), velg linjen:

Cellevalgsregler \ Mindre enn;

På venstre side av dialogboksen som vises Mindre (Fig. 2.12) angi verdien som skal brukes som et kriterium (i vårt eksempel er dette adressen til celle B5, hvor verdien er plassert ε ).

Fig.2.12. Dialogvindu Mindre

På høyre side av vinduet Mindre velg fargen som skal brukes til å fargelegge cellene som oppfyller den angitte betingelsen; og trykk på knappen OK.

Som et resultat av denne formateringen vil cellene i kolonne K , hvis verdier mindre enn 0,1, tonet, Fig.2.10.

Altså for den omtrentlige verdien av roten av ligningen x- tg (x)= 0 med en nøyaktighet på e=0,1, aksepteres 3. iterasjon, dvs. x*" 4,46875. For e=0,01 - x * » 4,49609(6. iterasjon).

Løsning Ikke lineære ligninger ved å bruke "Velg parameter"-tillegget

Løsningen av ikke-lineære ligninger kan implementeres i MS-applikasjonen utmerke ved hjelp av tilleggsparametervalg, der en iterativ prosess implementeres.

La oss finne røttene til ligningen ovenfor (2.18).

For nulltilnærmingen til løsningen av ligningen, som man kan se av fig. 2.13, kan vi ta X 0 =4 eller X 0 =4,5.

Sekvensering

1. Lag en tabell, som vist i figur 2.13. Til celle A2 angi en verdi x 0 (For eksempel X 0 =4) fra ODZ-funksjonen y=f(x). Dette vil være den første tilnærmingen for den iterative prosessen implementert av applikasjonen Parametervalg.

2. Celle AT 2 er foranderlig celle mens tillegget kjører. La oss legge denne verdien i den. x 0 , og i cellen C3 beregne verdien av funksjonen f(xn) for denne tilnærmingen.

3. Velg en kommando:

Data \ Arbeide med data \ "Hva-hvis"-analyse \ Valg av en parameter.

4. I vinduet "Parametervalg" gjør du innstillingene som vist i Fig. 2.13 og trykker på OK-knappen.

Fig.2.13. Løse en ikke-lineær ligning ved å bruke tillegget Parameter Lookup

Hvis alt ble gjort riktig, vil det i celle B2 (fig. 2.13) fås en omtrentlig verdi av roten til ligningen vår.

Gjør alle disse operasjonene på nytt med en annen verdi av den første tilnærmingen, for eksempel x 0 \u003d 4.5.

Kontrollspørsmål

1. Hvilken ligning kalles ikke-lineær. Hva er løsningen av den ikke-lineære ligningen.

2. Geometrisk tolkning av løsningen av en ikke-lineær ligning.

3. Metoder for å løse en ikke-lineær ligning (direkte og iterativ), hva er forskjellen.

4. To trinn numerisk løsning ikke-lineær ligning. Hva er oppgavene i første og andre trinn.

5. Det første trinnet for å løse en ikke-lineær ligning. Hvordan nulltilnærmingen (nulliterasjon) velges.

6. Konstruksjon av en iterativ sekvens. Konseptet med konvergens av en iterativ sekvens. Finne en omtrentlig verdi av roten til en ikke-lineær ligning med en nøyaktighet på ε.

7. Geometrisk tolkning av numeriske metoder for å løse en ikke-lineær ligning: halvdivisjon, Newton (tangens), akkorder.

kapittel 3

Ligningen F(x)=0 er gitt. dette - generell form ikke-lineær ligning med en ukjent. Som regel består algoritmen for å finne roten av to trinn:

1. Finne den omtrentlige verdien av roten eller segmentet på x-aksen som inneholder det.

2. Forfining av den omtrentlige verdien av roten til en viss nøyaktighet.

På det første trinnet brukes trinnmetoden for rotseparasjon, i den andre - en av foredlingsmetodene (halvdelingsmetode, Newtons metode, akkordmetode eller enkel iterasjonsmetode).

trinn metode

Som et eksempel kan du vurdere ligningen x 2 - 11x + 30 = 0. Søkeintervall , trinn h = 0,3. La oss løse det ved å bruke spesielle evner Excel-pakke. Rekkefølgen av handlinger (se fig. 1):

1. Stil overskriften på linje 1" Numeriske metoder løsninger av ikke-lineære ligninger".

2. Design overskriften i linje 3 "Trinnmetode".

3. Skriv ned dataene på oppgaven i cellene A6 og C6 og B6.

4. I celle B9 og C9 skriver du titlene på radene - henholdsvis x og F(x).

5. I cellene B10 og B11 skriver du inn de to første verdiene av argumentet - 3 og 3.3.

6. Velg cellene B5-B6 og dra dataserien til den endelige verdien (3.3), og pass på at den aritmetiske progresjonen er riktig justert.

7. Skriv inn formelen i celle C10"=B10*B10-11*B10+30".

8. Kopier formelen til resten av raden ved å dra og slipp. I intervallet C10:C18 oppnås en rekke resultater ved beregning av funksjonen F(x). Det kan sees at funksjonen skifter fortegn én gang. Roten til ligningen ligger i intervallet.

9. For å bygge en avhengighetsgraf F(x) bruk Insert - Diagram ("Spot" type, markører er forbundet med jevne kurver).

Halvdelingsmetode

Som et eksempel kan du vurdere ligningen x 2 - 11x + 30 = 0. Søkeintervall , med en nøyaktighet på ε=0,01. La oss løse det ved å bruke spesialfunksjonene til Excel-pakken.

1. Skriv inn overskriften "Metode for å dele segmenter i to" i celle B21.

2. Skriv inn oppgavedataene i celle A23, C23, E23.

3. I området B25:H25 tegner du overskriften til tabellen (rad B - venstre kant av segmentet "a", rad C - midten av segmentet "x", rad D - høyre kant av segmentet "b ", rad E - verdien av funksjonen på venstre kant av segmentet "F( a)", serie F - verdien av funksjonen i midten av segmentet "F(x)", serie G - produktet "F(a) * F(x)", serie H - kontrollerer oppnåelse av nøyaktighet "ê F(x)ê<е».

4. Skriv inn startverdiene til endene av segmentet: i celle B26 "4.8", i celle D26 "5.1".

5. Skriv inn formelen "=(B26+D26)/2" i celle C26.

6. Skriv inn formelen i celle E26"=B26*B26-11*B26+30".

7. Skriv inn formelen i celle F26"=C26*C26-11*C26+30".

8. Skriv inn formelen "=E26*F26" i celle G26.

9. Skriv inn formelen "=IF(ABS(F26) i celle H26<0.01; ² root² )".

1 0. Velg område B21:H21 og dra det vertikalt til meldingen "root" vises i rad H (celle H29, H30).

Tangentmetode (Newton)

1. Skriv inn overskriften "Tangentmetode (Newton)" i celle J23.

2. Skriv inn teksten "e=" i celle L23, og verdien for nøyaktighet "0,00001" i celle M23.

3. I K25:N25-området tegner du overskriften til tabellen (rad K - verdien av argumentet "x", rad L - verdien av funksjonen "F (x)", rad M - den deriverte av funksjonen " F¢ (x)", serie N - kontrollerer oppnåelse av nøyaktighet "ê F(x)ê<е».

4. I celle K26 skriver du inn den første Opprinnelig verdi argument"-2".

5. Skriv inn formelen "=K26*K26*K26+2*K26*K26+3*K26+5" i celle L26.

6. Skriv inn formelen "=3*K26*K26+4*K26+3" i celle M26.

7. Skriv inn formelen "=IF(ABS(L26) i celle N26<$M$23;"корень")».

8. Skriv inn formelen i celle K27"=K26-L26/M26".

9. Velg område L27:N27 og dra det vertikalt til meldingen "root" vises i rad N (celle N30).

akkord metode

Som et eksempel kan du vurdere ligningen x 3 +2x 2 +3x+5= 0. Nøyaktighet ε=0,01. La oss løse det ved å bruke spesialfunksjonene til Excel-pakken.

1. Skriv inn overskriften "Akkordmetode" i celle B32.

2. Skriv inn teksten "e=" i celle C34, og verdien "0,00001" i celle E34.

3. I området B36:D36, tegn overskriften til tabellen (rad B - verdien av argumentet "x", rad C - verdien av funksjonen "F (x)", rad D - kontroller oppnåelse av nøyaktighet "ê F(x)ê<е».

4. I cellene B37 og B38 skriver du inn startverdien til argumentet"-2" og. "-1"

5. Skriv inn i celle C37 formelen "=B37*B37*B37+2*B37*B37+3*B37+5".

6. Skriv inn formelen i celle D37"=HVIS(ABS(B38-B37)<$D$34;"корень")».

7. Skriv inn formelen i celle B39"=B38-C38*(B38-B37)/(C38-C37)".

8. Velg område C39:D39 og dra det vertikalt til meldingen "root" vises i rad D (celle D43).

Enkel iterasjonsmetode

Som et eksempel kan du vurdere ligningen x 2 - 11x + 30 = 0. Søkeintervallet er , med en nøyaktighet på e = 0,05.

1. Skriv inn overskriften "Metode for enkel iterasjon" i celle K32

2. Skriv inn teksten "e =" i celle N34, og nøyaktighetsverdien "0,05" i celle O34.

3. Velg en funksjon j (x) som tilfredsstiller konvergensbetingelsen. I vårt tilfelle er en slik funksjon funksjonen S(x)=(x*x+30)/11.

4. I K38:N38-området tegner du overskriften til tabellen (rad K - verdien av argumentet "x", rad L - verdien av funksjonen "F (x)", rad M - verdien av hjelpefunksjonen "S (x)", rad N - kontrollerer oppnåelse av nøyaktighet "ê F(x)ê<е».

5. I celle K39 skriver du inn startverdien til argumentet "4.8".

6. Skriv inn formelen i celle L39"=K39*K39-11*K39+30".

7. Skriv inn formelen "=(K39*K39+30)/11" i celle M39.

8. Skriv inn formelen "=IF(ABS(L39) i celle N39<$O$34;"корень")».

9. Skriv inn formelen "=M39" i celle K40.

1 0. Kopier cellene L39:N39 til cellene L40:N40.

elleve. Velg område L40:N40 og dra det vertikalt til meldingen "root" vises i rad N (celle N53).

Fig.1 Løse ikke-lineære ligninger i Excel

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FØDERASJON

FORBUNDSSTATSBUDSJETT

UTDANNINGSINSTITUSJON

HØYERE PROFESJONELL UTDANNING

«SAMARA STAT

ARKITEKTUR- OG KONSTRUKSJONSUVERSITET»

Institutt for anvendt matematikk og datateknikk

utmerkeOgMathcad

METODOLOGISKE INSTRUKSJONER

for laboratoriearbeid

i faget "Computational Mathematics"

Løsning av ikke-lineære ligninger iExcel ogMathcad: Metode. dekret. / Komp. , - Samara: SGASU, 20p.

Metodiske instruksjoner er utviklet i samsvar med den statlige utdanningsstandarden for å studere disiplinen "Computational Mathematics".

Implementering av numeriske metoder for å løse ikke-lineære ligninger og ligningssystemer i Excel og MathCad vurderes. Varianter av oppgaver for individuell utførelse og spørsmål for egenkontroll og testing er gitt.

Designet for studenter med spesialitet 230201 - "Informasjonssystemer og teknologier" for alle former for utdanning.

Anmelder Ph.D. n.

Ó , samling, 2012

ã SGASU, 2012

1.2 Separasjon av røtter
1.5 Akkordmetode
1.6 Newtons metode (tangenter)
1.7 Kombinert metode
1.8 Iterasjonsmetode
2.2 Løse systemer av ikke-lineære ligninger ved Newtons metode
3 Oppgaver for laboratoriearbeid
Laboratorium nr. 1. Rotseparasjon og standardverktøy for å løse en ikke-lineær ligning
Laboratorium nr. 2. Sammenligning av metoder for å foredle røttene til en ikke-lineær ligning
Laboratorium nr. 3. Løse systemer av ikke-lineære ligninger
Laboratorium nr. 4. Programmeringsmetoder for løsning av ikke-lineære ligninger og systemer
4 Spørsmål og tester for selvkontroll

1 Løse en ikke-lineær ligning

1.1 Generell informasjon om løsning av en ikke-lineær ligning

Som regel ikke-lineære ligninger av generell form f(x)=0 kan ikke løses analytisk. For praktiske problemer er det nok å finne en omtrentlig verdi x, som i en viss forstand er nær den eksakte løsningen av ligningen khtochn.

I de fleste tilfeller innebærer søket etter en omtrentlig løsning to trinn. På første trinn skille røtter, dvs. finne slike segmenter, innenfor hvilke det er nøyaktig en rot. På andre trinn avklare rot på et av disse segmentene, dvs. finne verdien med den nødvendige nøyaktigheten.

Den oppnådde nøyaktigheten kan evalueres enten "etter funksjon" (på det funnet punktet x, er funksjonen tilstrekkelig nær 0, dvs. betingelsen | f(x)|≤ef, Hvor ef den nødvendige nøyaktigheten langs y-aksen), eller "ved argument" (det ble funnet et tilstrekkelig lite segment [ en,b], innenfor hvilken det er en rot, dvs. | b–a|≤ex, Hvor ex nødvendig nøyaktighet på x-aksen).

1.2 Separasjon av røtter

Rotseparasjon kan gjøres ved en kombinasjon grafikk Og analytisk funksjonsforskning. En slik studie er basert på Weierstrass-teoremet, ifølge hvilken for en kontinuerlig på et segment [ en,b] funksjoner f(x) og et hvilket som helst nummer y, som oppfyller vilkåret f(a)≤y≤f(b), det er et poeng på dette segmentet x, der funksjonen er lik y. Derfor, for en kontinuerlig funksjon, er det tilstrekkelig å finne et segment i endene som funksjonen har forskjellige fortegn, og du kan være sikker på at dette segmentet har en rot av ligningen f(x)=0.

For en rekke foredlingsmetoder er det ønskelig at segmentet funnet i det første trinnet inneholder kun én rot av ligningen. Denne betingelsen er oppfylt dersom funksjonen på intervallet er monoton. Monotonicitet kan kontrolleres enten ved grafen til funksjonen, eller ved tegnet til den deriverte.

Eksempel Finn opp til heltall Alle røttene til den ikke-lineære ligningen y(x)=x3-10x+7=0 a) ved å konstruere en tabell og b) ved å konstruere en graf. Finn roten til ligningen på det valgte segmentet ved å bruke alternativene "Parametervalg" og "Søk etter en løsning".

Løsning La oss lage en tabell i Excel som inneholder argumentene og verdiene til funksjonen og bygge videre på den spredningsplott . Figur 1 er et øyeblikksbilde av løsningen.

Grafen viser at ligningen har tre røtter som tilhører segmentene [-4, -3] og . Disse segmentene kan også identifiseres ved å observere endringen av tegn til funksjonen i tabellen. I henhold til den konstruerte grafen kan vi konkludere med at funksjonen på de angitte segmentene f(x) er monoton, og derfor inneholder hver av dem bare én rot.

Den samme analysen kan utføres i Mathcad-pakken. For å gjøre dette er det nok å skrive definisjonen av funksjonen f(x) , ved å bruke tilordningsoperatoren (:=) og de naturlige konvensjonene for matematiske operasjoner og standardfunksjoner, sett opp en sløyfe for å endre argumentet, for eksempel, og vis deretter tabellen med funksjonsverdier​(plassert på samme linje med kommandoer x= f(x)= ) og graf. Syklusen kan spesifiseres for eksempel med kommandoen x:=-5,-4.5…5 . Syklustrinnet dannes ved å angi de innledende og følgende verdiene for variabelen, og før den endelige verdien av variabelen plasseres et semikolon, som vises visuelt på skjermen som en ellipse.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image002_56.jpg" width="640" height="334">

Figur 1 - Tabell og graf for å skille røttene til en ikke-lineær ligning

1.3 Foredling av røtter ved hjelp av standard Excel- og Mathcad-verktøy

I alle metoder for å foredle røttene, er det nødvendig å angi den første tilnærmingen, som deretter vil bli foredlet. Hvis ligningen har flere røtter, vil en av dem bli funnet avhengig av den valgte innledende tilnærmingen. Med en mislykket innledende tilnærming kan det hende at løsningen ikke blir funnet. Hvis, som et resultat av det første trinnet av beregninger, et segment som inneholder en enkelt rot av ligningen allerede er valgt, kan et hvilket som helst punkt i dette segmentet tas som en innledende tilnærming.

I Excel, for å avgrense verdiene til røttene, kan du bruke alternativene "Parametervalg" og "Søk etter en løsning". Et eksempel på utforming av en løsning er vist i figur 2 og 3.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image004_31.jpg" width="501" height="175 src=">

Figur 3 - Resultatene av å bruke metodene for å løse ligningen iutmerke

I Mathcad, for å avgrense røttene til en ligning, kan du bruke funksjonen rot(….) eller beslutningsblokk. Et eksempel på bruk av root(...)-funksjonen er vist i figur 4, og en beslutningsblokk i figur 5. Merk at i beslutningsblokken (etter blokkoverskriften Gitt) mellom venstre og høyre side av ligningen skal være fet likhetstegn(identiteter), som kan fås ved å velge fra den tilsvarende verktøypaletten, eller ved å trykke på tasten samtidig ctrl Og = .

243" høyde="31">

Figur 5 - Løsning av ligningen ved å bruke løsningsblokken iMathcad

Som du kan se, finner hvert standardverktøy en løsning på ligningen med en viss nøyaktighet. Denne nøyaktigheten avhenger av metoden som brukes i pakken og til en viss grad innstillingene til pakken. Å kontrollere nøyaktigheten av resultatet her er ganske vanskelig, og ofte umulig.

Samtidig er det veldig enkelt å bygge din egen tabell eller skrive et program som implementerer en av rotforedlingsmetodene. Her kan du bruke kriteriene for beregningsnøyaktighet spesifisert av brukeren. Samtidig oppnås også en forståelse av beregningsprosessen uten å stole på Mitrofanushka-prinsippet: "Det er en sjåfør, han vil ta deg."

Nedenfor er noen av de mer vanlige metodene. Legg merke til det åpenbare poenget: for andre like forhold den metoden foredling av røttene vil være mer effektiv, der resultatet med samme feil er funnet med mindre antall funksjonsevalueringer f(x)(dette oppnår også maksimal nøyaktighet ved samme nummer funksjonsberegninger).

1.4 Halvdelingsmetode

I denne metoden, på hvert trinn, er segmentet delt inn i to like deler. Deretter sammenligner de tegnene til funksjonen i endene av hver av de to halvdelene (for eksempel ved tegnet til produktet av verdiene til funksjonene i endene), bestemmer den som inneholder løsningen (tegnene) av funksjonen i endene må være forskjellige), og. begrense segmentet, og overføre grensen til det funnet punktet ( EN eller b). Avslutningsbetingelsen er litenheten til segmentet som inneholder roten ("nøyaktighet i x”), eller nærheten til 0 av funksjonsverdien i midten av segmentet ("nøyaktighet i y"). Løsningen av ligningen er midten av segmentet funnet på siste trinn.

Eksempel. Bygg en tabell for å avgrense roten til ligningen x3 –10 x+7=0 på segmentet [-4, -3] ved å dele segmentet i to. Bestem hvor mange trinn som må tas ved å dele segmentet i to og hvilken nøyaktighet som oppnås i dette tilfellet. X,å oppnå nøyaktighet i y lik 0,1; 0,01; 0,001.

Løsning Du kan bruke et regneark til å løse Excel-prosessor, som lar linjer fortsette automatisk. I det første trinnet legger vi inn verdiene til venstre og høyre ende av det valgte startsegmentet i tabellen og beregner verdien av midten av segmentet Med=(en+b)/2, og så introduserer vi en formel for å beregne funksjonen i et punkt en (f(en)) og strekk (kopier) det for å beregne f(c) Og f(b). I den siste kolonnen beregner vi uttrykket ( b-en)/2 som karakteriserer graden av beregningsnøyaktighet. Alle innskrevne formler kan kopieres til den andre raden i tabellen.

På det andre trinnet må du automatisere prosessen med å finne den halvparten av segmentet som inneholder roten. For å gjøre dette, bruk den logiske funksjonen IF ( Meny: InsertFunctionBoolean). For den nye venstre kanten av segmentet sjekker vi sannheten til tilstanden f(en)*f(c)>0, hvis det er sant, tar vi tallet som den nye verdien til venstre ende av segmentet c en, c en. På samme måte, for den nye høyre kanten av segmentet, sjekker vi sannheten til tilstanden f(c)* f(b)>0, hvis det er sant, tar vi tallet som den nye verdien til høyre ende av segmentet c(fordi denne tilstanden viser at roten på intervallet [ c, b] nei), ellers la verdien stå b.

Den andre linjen i tabellen kan fortsettes (kopieres) for ønsket antall påfølgende linjer.

Den iterative prosessen avsluttes når neste verdi i den siste kolonnen blir mindre enn den angitte nøyaktigheten f.eks. I dette tilfellet blir verdien av midten av segmentet i den siste tilnærmingen tatt som en omtrentlig verdi av den ønskede roten av den ikke-lineære ligningen. Figur 6 viser et øyeblikksbilde av løsningen. For å bygge en lignende prosess i Mathcad kan du bruke et skjema som ligner på det som er vist i figur 7. Antall trinn N kan variere til den nødvendige nøyaktigheten er oppnådd i resultattabellen. Bordet vil automatisk forlenges eller forkortes.

Så en av de tre røttene til den ikke-lineære ligningen x 3 – 10x+ 7=0 funnet med presisjon e=0,0001 er x= - 3,46686. Som vi kan se, tilhører den virkelig segmentet [-4; -3].

https://pandia.ru/text/78/157/images/image018_6.jpg" width="563" height="552 src=">

Figur 7 - Foredling av roten ved å dele segmentet i toMathcad

1.5 Akkordmetode

I denne metoden ikke-lineær funksjon f(x) på det atskilte intervallet [ a, b] erstattes av en lineær - ligningen til en akkord, dvs. en rett linje som forbinder grensepunktene til grafen på segmentet. Betingelsen for anvendeligheten av metoden er monotonisiteten til funksjonen på det innledende segmentet, noe som sikrer unikheten til roten på dette segmentet. Beregningen ved akkordmetoden ligner beregningen ved hjelp av metoden for å dele segmentet i to, men nå ved hvert trinn nytt punkt x inne i segmentet [ en, b] beregnes ved å bruke en av følgende formler:

(x) > 0 ), eller dens høyre grense: x0 = b(Hvis f (b) f "(x)> 0). Beregning av en ny tilnærming i neste trinn Jeg+1 produsert av formelen:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image021_4.jpg" width="596" height="265 src=">

Figur 8 - Foredling av roten ved tangentmetoden i Excel

Beregninger i Mathcad utføres på lignende måte. Samtidig er en betydelig lettelse gitt av tilstedeværelsen i denne pakken av en operatør som automatisk beregner den deriverte av en funksjon.

Det mest tidkrevende elementet i Newtons beregninger er beregningen av den deriverte ved hvert trinn.

Kan brukes under visse forhold forenklet Newtons metode, der den deriverte bare beregnes én gang - ved utgangspunktet. I dette tilfellet brukes en modifisert formel

.

Naturligvis krever den forenklede metoden som regel mer trinn.

Hvis beregningen av den deriverte er forbundet med alvorlige vanskeligheter (for eksempel hvis funksjonen ikke er gitt av et analytisk uttrykk, men av et program som beregner verdiene), brukes den modifisert metode Newton, kalt sekantmetode. Her beregnes den deriverte omtrentlig fra verdiene til funksjonen ved to påfølgende punkter, det vil si at formelen brukes

.

I sekantmetoden er det nødvendig å spesifisere ikke ett, men to utgangspunkt - x0 Og x1 . Punktum x1 vanligvis gitt av et skift x0 til den andre grensen til segmentet med et lite beløp, for eksempel med 0,01.

1.7 Kombinert metode

Det kan vises at hvis på det første segmentet av funksjonen f(x) tegnene til første og andre deriverte forblir uendret, så nærmer metodene til akkorder og Newton roten fra forskjellige punkter. Den kombinerte metoden bruker begge algoritmene samtidig for å øke effektiviteten ved hvert trinn. I dette tilfellet reduseres intervallet som inneholder roten på begge sider, noe som fører til en annen betingelse for å avslutte søket. Søket kan stoppes så snart i midten av intervallet oppnådd ved neste trinn, blir verdien av funksjonen modulo mindre enn den forhåndsbestemte feilen ef.

Hvis, i samsvar med regelen formulert ovenfor, Newtons metode brukes til høyre grense av segmentet, brukes følgende formler for beregninger:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image025_10.gif" width="107" height="45 src=">.

Hvis Newtons metode brukes på venstre grense, - i de foregående formlene, blir betegnelsene reversert en Og b.

1.8 Iterasjonsmetode

For å bruke denne metoden, den opprinnelige ligningen f(x)=0 konvertert til skjemaet: x=y(X). Velg deretter startverdien x0 og erstatte det på venstre side av ligningen, få inn generell sak, x1 = y(x0)¹ x0¹ y(x1), fordi det x0 tatt vilkårlig og er ikke en rot av ligningen. Mottatt verdi x1 betraktet som en annen tilnærming til roten. Han er igjen rammet inn høyre side ligninger og få neste verdi x2=y(x1)). Beregningen fortsettes i henhold til formelen xi+1=y(xi). Den resulterende sekvensen er: x0, x1, x2, x3 x4,... konvergere til roten under visse forhold khtochn.

Det kan vises at den iterative prosessen konvergerer under tilstanden
|y’ (x) | < 1 на [en, b].

Eksistere ulike måter likningstransformasjoner f(x)= 0 til snill y(X) = X, og i et spesifikt tilfelle vil noen av dem føre til en konvergent, og andre til en divergerende beregningsprosess.

En måte er å bruke formelen

https://pandia.ru/text/78/157/images/image027_10.gif" width="188" height="44 src=">

Hvor M= maks | y’ (x)| på [ en, b].

2 Løse systemer av ikke-lineære ligninger

2.1 Generell informasjon om løsning av systemer av ikke-lineære ligninger

system n ikke-lineære ligninger med n ukjent x1, x2, ..., xn er skrevet i formen:

Hvor F1, F2,…, fn er funksjoner av uavhengige variabler, blant dem er det ikke-lineære.

Som i tilfellet med systemer med lineære ligninger, er løsningen av systemet en slik vektor X*, som, når den erstattes, samtidig gjør alle likningene i systemet til identiteter.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image030_8.gif" width="191" height="56">

Startverdier x0 Og y0 definert grafisk. For å finne hver påfølgende tilnærming (xi+1 , yi+1 ) bruk en vektor med funksjonsverdier og en matrise med verdier av deres første deriverte beregnet på forrige punkt (xi, yi) .

https://pandia.ru/text/78/157/images/image032_5.gif" width="276" height="63 src=">

For å beregne nye tilnærminger i trinn i+1 matriseformelen brukes

https://pandia.ru/text/78/157/images/image034_4.gif" width="303" height="59 src=">.

Ovennevnte formler er spesielt enkle å skrive i Mathcad, hvor det er operatorer for å beregne deriverte og operasjoner med matriser. Men når riktig bruk matriseoperasjoner disse formlene er ganske enkelt skrevet i Excel. Riktignok er det nødvendig å skaffe formler for beregning av derivater på forhånd. Mathcad kan også brukes til å beregne derivater analytisk.

2.3 Løse systemer av ikke-lineære ligninger ved iterasjonsmetoder

For å implementere disse metodene må det opprinnelige ligningssystemet være algebraiske transformasjoner uttrykke eksplisitt hver variabel i form av de andre. For tilfellet med to ligninger med to ukjente nytt system vil se ut

https://pandia.ru/text/78/157/images/image036_5.gif" width="114" height="57 src=">.

Hvis en av løsningene til systemet og startverdiene x0 Og y0 ligge i området D gitt av ulikhetene: en ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, deretter beregningen etter metoden enkle iterasjoner konvergerer når den utføres i regionen D forholdstall:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image038_5.gif" width="75 height=48" height="48">< 1.

I Seidel iterasjonsmetode for hver beregning brukes de mest nøyaktige verdiene som allerede er funnet for hver variabel. For det betraktede tilfellet med to variabler, fører slik logikk til formlene

0 "style="border-collapse:collapse;border:none">

Verktøy (alternativ)

Innledende tilnærming

Rotx

f(x)

3. Sorter resultatene etter nøyaktigheten til løsningen.

La den omtrentlige verdien av roten av ligningen bli funnet f(x) = 0, angir det x n. Beregningsformel Newtons metode for å bestemme neste tilnærming x n+1 kan oppnås på to måter.

Den første måten uttrykker geometrisk sans Newtons metode og består i det faktum at i stedet for skjæringspunktet til grafen til funksjonen y = f(x) med akse OKSE, leter vi etter skjæringspunktet med aksen OKSE tangent trukket til grafen til funksjonen i punktet ( x n, f(x n)) som vist i fig. 2.6. Tangentligningen har formen .

Ris. 2.7. Newtons metode (tangens)

I skjæringspunktet mellom tangenten og aksen OKSE variabel y= 0. Likestilling y null, uttrykker vi x og få formelen tangentmetode:

(2.6)

Den andre måten. Utvid funksjonen f(x) inn i en Taylor-serie i nærheten av punktet x = x n:

Vi begrenser oss til lineære med hensyn til ( x-xn) termer, tilsvarer vi null f(x) og uttrykker det ukjente fra den resulterende ligningen x og betegner det gjennom x n+1 , vi får formel (2.6).

La oss presentere tilstrekkelige betingelser for konvergensen av Newtons metode.

Teorem 2.3. La følgende betingelser være oppfylt på segmentet:

1) funksjonen og dens deriverte er begge kontinuerlige;

2) derivater og er forskjellige fra null og beholder visse konstante tegn;

3) (funksjonen endrer fortegn på segmentet).

Så er det et segment som inneholder den nødvendige roten av ligningen , som den iterative sekvensen konvergerer på. Hvis vi som nulltilnærming velger grensepunktet der funksjonens fortegnet faller sammen med tegnet til den andre deriverte, dvs. , så konvergerer den iterative sekvensen monotont (fig. 2.8).

Bevis. Siden den er kontinuerlig, skifter fortegn og er monoton på , så er rotisolasjonsintervallet. La oss betegne ønsket rot med . Vurder funksjonen og finne dens deriverte. Så, er kontinuerlig på , forsvinner på punktet , siden funksjonen forsvinner på dette punktet. Derfor er det et slikt segment () som . Hvis vi tar den delen av segmentet hvor , da er derfor funksjonen økende, men da er sekvensen monoton.

Ris. 2.8. Tilstrekkelige forhold konvergens av Newtons metode

Kommentar. Merk at akkordmetoden bare følger med motsatt side, og begge disse metodene dermed kan utfylle hverandre, og en kombinasjon er også mulig akkord-tangens metode.

Eksempel 2.7. Avgrens til 0,000001 ved Newtons metode roten til ligningen
synd 5 x+ x 2 – 1 = 0. Ta som startverdi x 0 = – 0,7.

Løsning. La oss finne den deriverte .

I Excel-program introdusere beregningsformler:

1) La oss introdusere formler og notasjon i cellene i området EN 1:D 3 og kopier den ned med fyllmarkøren til cellen med formler: B 3 - før B 5,
C 2 - før C 5, D 2 - før D 5;

Tabell 2.9

	EN	B	C	D
	k	x	f(x)	f"(x)
		–0,7	=SIN(5*B2)+B2^2–1	=5*COS(5*B2)+2*B2
		=B2–C2/D2

Beregningsresultatene er vist i tabell 2.10. Rotverdien ble oppnådd - 0,726631609 ≈ - 0,726632 med en feil på 0,000001.

Tabell 2.10

	EN	B	C	D	EN
	k	x	f(x)	f"(x)
		-0,7	-0,159216772	-6,082283436
		-0,726177138	-0,002664771	-5,865681044	0,026177138
		-0,726631437	-1.00787E-06	-5,861240228	0,000454299
		-0,726631609	-1.45328E-13	-5,861238543	1.71955E-07

La oss lage funksjoner i Excelå løse ligningen fra eksempel 2.7 ved Newtons metode.

"I motsetning til metoden for akkorder, i metoden for tangenter, i stedet for en akkord, tegnes en tangent til kurven ved hvert trinn y=F(x) på x=x n og skjæringspunktet for tangenten med abscisseaksen søkes:

Formelen for (n+1) tilnærmingen er:

Hvis F(a)*F"(a)>0, x 0 =a, ellers x 0 =b.

Den iterative prosessen fortsetter til det blir funnet at:

Eksempel:

La følgende oppgave bli gitt: Avgrens røttene til ligningen cos(2x)+x-5=0 tangentmetode med en nøyaktighet på 0,00001.

Til å begynne med må du bestemme hva x0 er lik: enten a eller b. For å gjøre dette, må du utføre følgende trinn:

Finn den første ordensderiverte av funksjonen f(x)=cos(2x)+x-5. Det vil se slik ut: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Finn den andre ordensderiverte av funksjonen f(x)=cos(2x)+x-5. Det vil se slik ut: f2(x)=-4cos(2x).

Resultatet er følgende:

Siden x0=b, må du gjøre følgende:

Fyll ut cellene på følgende måte (vær oppmerksom på navn og nummer på kolonnene når du fyller ut - de må være de samme som på figuren):

I celle A6 skriver du inn formelen =D5.

Velg celleområdet B5:E5 og fyll ut celleområdet B6:E6 ved å dra.

Velg celleområdet A6:E5 og fyll ut området med lavereliggende celler ved å dra til resultatet er oppnådd i en av cellene i kolonne E (celleområde A6:E9).

Som et resultat får vi følgende:

4. Kombinert metode for akkorder og tangenter

For å oppnå den mest nøyaktige feilen, er det nødvendig å bruke metodene for akkorder og tangenter samtidig. "I henhold til formelen for akkorder, finner de x n+1, og i henhold til formelen for tangenter - z n+1. Prosessen med å finne en omtrentlig rot stopper så snart:

Som en omtrentlig rot, ta en verdi lik (11) :"[2 ]

La det være nødvendig å avgrense røttene til ligningen cos(2x)+x-5=0 ved den kombinerte metoden med en nøyaktighet på 0,00001.

For å løse et slikt problem ved hjelp av Excel, må du utføre følgende trinn:

Siden det i den kombinerte metoden er nødvendig å bruke en av formlene for akkorder og formelen for tangenter, for enkelhets skyld, bør følgende notasjon introduseres:

For formler for akkorder, angi:

Variabelen c vil spille rollen som a eller b avhengig av situasjonen.

De resterende notasjonene ligner de som er gitt i akkordformlene, bare med tanke på variablene introdusert ovenfor.

For tangentformelen angir du:

De resterende betegnelsene ligner de som er gitt i tangentformelen, bare tatt i betraktning variablene introdusert ovenfor.

Finn den første ordensderiverte av funksjonen f(x)=cos(2x)+x-5. Det vil se slik ut: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Finn den andre ordensderiverte av funksjonen f(x)=cos(2x)+x-5. Det vil se slik ut: f2(x)=-4cos(2x).

Fyll ut cellene på følgende måte (vær oppmerksom på navn og nummer på kolonnene når du fyller ut - de må være de samme som på figuren):

Resultatet er følgende:

I celle G1 skriver du inn e, og i G2 skriver du inn tallet 0,00001.

I celle H1, skriv inn c, og i H2, skriv inn tallet 6, siden c=b (se celle F2).

I celle I1 skriv inn f(c), og i I2 skriv inn formelen =COS(2*H2)+H2-5.

Fyll ut cellene sekvensielt som følger (vær oppmerksom på navnene og numrene på kolonnene når du fyller ut - de må være de samme som i figuren):

I celle A6 skriver du inn formelen =E5.

I celle F6 skriver du inn formelen =I5.

Velg celleområdet B5:E5 og bruk autofyllmarkøren for å fylle ut celleområdet B6:E6.

Velg celleområdet G5:K5 og fyll ut celleområdet G6:K6 med autofyllmarkøren.

Velg celleområdet A6:K6 og fyll ut alle de nederste cellene ved å dra til svaret er mottatt i en av cellene i kolonne K (celleområde A6:K9).

Som et resultat får vi følgende:

Svar: Roten av ligningen cos(2x)+x-5=0 er 5,32976.