Løs et ligningssystem ved hjelp av matrisemetodekalkulatoren. Matrisemetode på nett

Et system av m lineære ligninger med n ukjente kalt et formsystem

Hvor en ij Og b i (jeg=1,…,m; b=1,…,n) er noen kjente tall, og x 1,...,x n– ukjent. I betegnelsen av koeffisienter en ij første indeks jeg angir ligningsnummeret, og det andre j– nummeret på de ukjente som denne koeffisienten står på.

Vi vil skrive koeffisientene for de ukjente i form av en matrise , som vi kaller matrise av systemet.

Tallene på høyre side av ligningene er b 1,...,b m kalles gratis medlemmer.

Totalitet n tall c 1,...,c n ringte avgjørelse av et gitt system, hvis hver likning i systemet blir en likhet etter å ha erstattet tall i den c 1,...,c n i stedet for de tilsvarende ukjente x 1,...,x n.

Vår oppgave blir å finne løsninger på systemet. I dette tilfellet kan tre situasjoner oppstå:

Et system med lineære ligninger som har minst én løsning kalles ledd. Ellers, dvs. hvis systemet ikke har noen løsninger, kalles det ikke-ledd.

La oss vurdere måter å finne løsninger på systemet på.

MATRISKE METODE FOR LØSE SYSTEMER AV LINEÆRE LIGNINGER

Matriser gjør det mulig å kort skrive ned et system med lineære ligninger. La et system med 3 ligninger med tre ukjente gis:

Tenk på systemmatrisen og matriser kolonner med ukjente og frie termer

La oss finne arbeidet

de. som et resultat av produktet får vi venstre side av likningene til dette systemet. Deretter, ved å bruke definisjonen av likhet av matriser, kan dette systemet skrives i form

eller kortere EN∙X=B.

Her er matrisene EN Og B er kjent, og matrisen X ukjent. Det er nødvendig å finne det, fordi... dens elementer er løsningen på dette systemet. Denne ligningen kalles matriseligning.

La determinanten til matrisen være forskjellig fra null | EN| ≠ 0. Da løses matriseligningen som følger. Multipliser begge sider av ligningen til venstre med matrisen A-1, invers av matrisen EN: . Fordi A -1 A = E Og E∙X = X, så får vi en løsning på matriseligningen i formen X = A -1 B .

Merk at siden den inverse matrisen bare kan finnes for kvadratiske matriser, kan matrisemetoden bare løse de systemene der antall ligninger sammenfaller med antall ukjente. Imidlertid er matriseregistrering av systemet også mulig i tilfellet når antall ligninger ikke er lik antall ukjente, da matrisen EN vil ikke være firkantet og derfor er det umulig å finne en løsning på systemet i skjemaet X = A -1 B.

Eksempler. Løse ligningssystemer.

CRAMERS REGEL

Tenk på et system med 3 lineære ligninger med tre ukjente:

Tredjeordens determinant som tilsvarer systemmatrisen, dvs. sammensatt av koeffisienter for ukjente,

ringte determinant for systemet.

La oss komponere ytterligere tre determinanter som følger: Erstatt kolonne 1, 2 og 3 i determinant D suksessivt med en kolonne med frie termer

Da kan vi bevise følgende resultat.

Teorem (Cramers regel). Hvis determinanten til systemet Δ ≠ 0, så har systemet som vurderes én og bare én løsning, og

Bevis. Så la oss vurdere et system med 3 ligninger med tre ukjente. La oss multiplisere den første ligningen i systemet med det algebraiske komplementet A 11 element en 11, 2. ligning – på A 21 og 3. – på A 31:

La oss legge til disse ligningene:

La oss se på hver av parentesene og høyre side av denne ligningen. Ved teoremet om utvidelse av determinanten i elementer i 1. kolonne

På samme måte kan det vises at og .

Til slutt er det lett å legge merke til det

Dermed oppnår vi likheten: .

Derfor,.

Likhetene og er avledet på samme måte, hvorfra setningen til teoremet følger.

Dermed legger vi merke til at hvis determinanten til systemet Δ ≠ 0, så har systemet en unik løsning og omvendt. Hvis determinanten til systemet er lik null, så har systemet enten et uendelig antall løsninger eller har ingen løsninger, dvs. uforenlig.

Eksempler. Løs ligningssystem

GAUSS-METODEN

De tidligere diskuterte metodene kan brukes til å løse bare de systemene der antall ligninger sammenfaller med antall ukjente, og determinanten til systemet må være forskjellig fra null. Gauss-metoden er mer universell og egnet for systemer med et hvilket som helst antall ligninger. Den består i å sekvensielt eliminere ukjente fra systemets ligninger.

Vurder igjen et system med tre ligninger med tre ukjente:

Vi vil la den første ligningen være uendret, og fra den andre og tredje vil vi ekskludere termene som inneholder x 1. For å gjøre dette, del den andre ligningen med EN 21 og gang med – EN 11, og legg den deretter til den første ligningen. På samme måte deler vi den tredje ligningen med EN 31 og gang med – EN 11, og legg den deretter til med den første. Som et resultat vil det opprinnelige systemet ha formen:

Nå fra den siste ligningen eliminerer vi begrepet som inneholder x 2. For å gjøre dette, del den tredje ligningen med, multipliser med og legg til med den andre. Da vil vi ha et ligningssystem:

Herfra, fra den siste ligningen er det lett å finne x 3, deretter fra 2. ligning x 2 og til slutt, fra 1. x 1.

Ved bruk av Gauss-metoden kan likningene byttes om nødvendig.

Ofte, i stedet for å skrive et nytt ligningssystem, begrenser de seg til å skrive ut den utvidede matrisen til systemet:

og deretter bringe den til en trekantet eller diagonal form ved hjelp av elementære transformasjoner.

TIL elementære transformasjoner matriser inkluderer følgende transformasjoner:

omorganisere rader eller kolonner;
multiplisere en streng med et annet tall enn null;
legge til andre linjer på en linje.

Eksempler: Løs ligningssystemer ved hjelp av Gauss-metoden.

Dermed har systemet et uendelig antall løsninger.

Dette er et konsept som generaliserer alle mulige operasjoner utført med matriser. Matematisk matrise - tabell over elementer. Om et bord hvor m linjer og n kolonner, sies denne matrisen å ha dimensjonen m på n.

Generell oversikt over matrisen:

Til matriseløsninger Det er nødvendig å forstå hva en matrise er og kjenne dens hovedparametre. Hovedelementer i matrisen:

Hoveddiagonalen, bestående av elementer a 11, a 22…..a mn.
Sidediagonal bestående av elementer a 1n , a 2n-1 .....a m1.

Hovedtyper av matriser:

Kvadrat er en matrise der antall rader = antall kolonner ( m=n).
Null - der alle matriseelementer = 0.
Transponert matrise - matrise I, som ble hentet fra den opprinnelige matrisen EN ved å erstatte rader med kolonner.
Enhet - alle elementer i hoveddiagonalen = 1, alle andre = 0.
En invers matrise er en matrise som, multiplisert med den opprinnelige matrisen, resulterer i en identitetsmatrise.

Matrisen kan være symmetrisk med hensyn til hoved- og sekundærdiagonalene. Det vil si hvis en 12 = en 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-ln =a mn-1, da er matrisen symmetrisk om hoveddiagonalen. Bare kvadratiske matriser kan være symmetriske.

Metoder for å løse matriser.

Nesten alt metoder for matriseløsning består i å finne dens determinant n-te orden og de fleste av dem er ganske tungvinte. For å finne determinanten for 2. og 3. orden finnes det andre, mer rasjonelle metoder.

Finne 2. ordens determinanter.

For å beregne determinanten til en matrise EN 2. orden, det er nødvendig å trekke produktet av elementene i den sekundære diagonalen fra produktet av elementene i hoveddiagonalen:

Metoder for å finne 3. ordens determinanter.

Nedenfor er reglene for å finne 3. ordens determinant.

Forenklet trekantregel som en av metoder for matriseløsning, kan avbildes på denne måten:

Med andre ord, produktet av elementer i den første determinanten som er forbundet med rette linjer tas med et "+"-tegn; Også for den andre determinanten tas de tilsvarende produktene med tegnet "-", det vil si i henhold til følgende skjema:

På løse matriser ved å bruke Sarrus sin regel, til høyre for determinanten, legg til de to første kolonnene og produktene til de tilsvarende elementene på hoveddiagonalen og på diagonalene som er parallelle med den er tatt med et "+" -tegn; og produktene av de tilsvarende elementene i sekundærdiagonalen og diagonalene som er parallelle med den, med tegnet "-":

Dekomponere determinanten i en rad eller kolonne ved løsning av matriser.

Determinanten er lik summen av produktene av elementene i raden av determinanten og deres algebraiske komplementer. Vanligvis velges raden/kolonnen som inneholder nuller. Raden eller kolonnen som dekomponeringen utføres langs vil være indikert med en pil.

Redusere determinanten til trekantform ved løsning av matriser.

På løse matriser metode for å redusere determinanten til en trekantet form, fungerer de slik: ved å bruke de enkleste transformasjonene på rader eller kolonner, blir determinanten trekantet i form, og deretter vil verdien, i samsvar med egenskapene til determinanten, være lik produktet av elementene som er på hoveddiagonalen.

Laplaces teorem for løsning av matriser.

Når du løser matriser ved hjelp av Laplaces teorem, må du kjenne til selve teoremet. Laplaces teorem: La Δ - Dette er en determinant n-te orden. Vi velger hvilken som helst k rader (eller kolonner), oppgitt k≤ n - 1. I dette tilfellet, summen av produktene til alle mindreårige k-te rekkefølgen i den valgte k rader (kolonner), ved deres algebraiske komplementer vil være lik determinanten.

Løse den inverse matrisen.

Rekkefølge av handlinger for invers matriseløsninger:

Bestem om en gitt matrise er kvadratisk. Hvis svaret er negativt, blir det klart at det ikke kan være en invers matrise for det.
Vi beregner algebraiske komplementer.
Vi komponerer en foreningsmatrise (gjensidig, tilstøtende). C.
Vi komponerer den inverse matrisen fra algebraiske addisjoner: alle elementer i den adjoint matrisen C dividere med determinanten til den opprinnelige matrisen. Den endelige matrisen vil være den nødvendige inverse matrisen i forhold til den gitte.
Vi sjekker arbeidet som er utført: multipliser den innledende matrisen og den resulterende matrisen, resultatet skal være en identitetsmatrise.

Løse matrisesystemer.

Til løsninger av matrisesystemer Gaussmetoden brukes oftest.

Gauss-metoden er en standardmetode for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger (SLAE) og den består i at variabler elimineres sekvensielt, dvs. ved hjelp av elementære endringer bringes ligningssystemet til et ekvivalent trekantsystem og fra det, sekvensielt, start fra sistnevnte (etter tall), finn hvert element i systemet.

Gauss metode er det mest allsidige og beste verktøyet for å finne matriseløsninger. Hvis et system har et uendelig antall løsninger eller systemet er inkompatibelt, kan det ikke løses ved hjelp av Cramers regel og matrisemetoden.

Gauss-metoden innebærer også direkte (redusere den utvidede matrisen til en trinnvis form, dvs. oppnå nuller under hoveddiagonalen) og revers (oppnå nuller over hoveddiagonalen til den utvidede matrisen). Forovertrekket er Gauss-metoden, det motsatte trekket er Gauss-Jordan-metoden. Gauss-Jordan-metoden skiller seg fra Gauss-metoden bare i rekkefølgen av å eliminere variabler.

Ligninger generelt, lineære algebraiske ligninger og deres systemer, samt metoder for å løse dem, inntar en spesiell plass i matematikk, både teoretisk og anvendt.

Dette skyldes det faktum at de aller fleste fysiske, økonomiske, tekniske og til og med pedagogiske problemer kan beskrives og løses ved hjelp av en rekke ligninger og deres systemer. Nylig har matematisk modellering vunnet særlig popularitet blant forskere, forskere og praktikere innen nesten alle fagområder, noe som forklares med dens åpenbare fordeler i forhold til andre velkjente og utprøvde metoder for å studere objekter av forskjellig natur, spesielt det såkalte komplekset. systemer. Det er et stort utvalg av forskjellige definisjoner av en matematisk modell gitt av forskere til forskjellige tider, men etter vår mening er den mest vellykkede følgende uttalelsen. En matematisk modell er en idé uttrykt ved en ligning. Dermed er evnen til å komponere og løse ligninger og deres systemer en integrert egenskap for en moderne spesialist.

For å løse systemer med lineære algebraiske ligninger er de mest brukte metodene Cramer, Jordan-Gauss og matrisemetoden.

Matriseløsningsmetode er en metode for å løse systemer med lineære algebraiske ligninger med en determinant som ikke er null ved å bruke en invers matrise.

Hvis vi skriver ut koeffisientene for de ukjente mengdene xi i matrise A, samler de ukjente mengdene i vektorkolonnen X, og de frie leddene i vektorkolonnen B, så kan systemet med lineære algebraiske ligninger skrives i form av følgende matriseligning A · X = B, som har en unik løsning bare når determinanten til matrise A ikke er lik null. I dette tilfellet kan løsningen til ligningssystemet finnes på følgende måte X = EN-1 · B, Hvor EN-1 er den inverse matrisen.

Matriseløsningsmetoden er som følger.

La oss få et system av lineære ligninger med n ukjent:

Det kan skrives om i matriseform: ØKS = B, Hvor EN- hovedmatrisen til systemet, B Og X- kolonner med henholdsvis gratis vilkår og løsninger for systemet:

La oss multiplisere denne matriseligningen fra venstre med EN-1 - matrise invers av matrise EN: EN -1 (ØKS) = EN -1 B

Fordi EN -1 EN = E, får vi X= A -1 B. Høyre side av denne ligningen vil gi løsningskolonnen til det opprinnelige systemet. Betingelsen for anvendeligheten av denne metoden (så vel som den generelle eksistensen av en løsning til et inhomogent system av lineære ligninger med antall ligninger lik antall ukjente) er ikke-degenerasjonen til matrisen EN. En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for dette er at determinanten til matrisen ikke er lik null EN:det EN≠ 0.

For et homogent system av lineære ligninger, det vil si når vektoren B = 0 , faktisk den motsatte regelen: systemet ØKS = 0 har en ikke-triviell (det vil si ikke-null) løsning bare hvis det EN= 0. En slik sammenheng mellom løsninger av homogene og inhomogene systemer av lineære ligninger kalles Fredholm-alternativet.

Eksempel løsninger til et inhomogent system av lineære algebraiske ligninger.

La oss sørge for at determinanten til matrisen, sammensatt av koeffisientene til de ukjente til systemet med lineære algebraiske ligninger, ikke er lik null.

Det neste trinnet er å beregne de algebraiske komplementene for elementene i matrisen som består av koeffisientene til de ukjente. De vil være nødvendige for å finne den inverse matrisen.

Bruken av ligninger er utbredt i våre liv. De brukes i mange beregninger, konstruksjon av strukturer og til og med sport. Mennesket brukte ligninger i oldtiden, og siden har bruken bare økt. Matrisemetoden lar deg finne løsninger på SLAE-er (systemer med lineære algebraiske ligninger) av enhver kompleksitet. Hele prosessen med å løse SLAE-er kommer ned til to hovedhandlinger:

Bestemmelse av den inverse matrisen basert på hovedmatrisen:

Multiplisere den resulterende inverse matrisen med en kolonnevektor av løsninger.

Anta at vi får en SLAE av følgende form:

\[\venstre\(\begin(matrise) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrise)\høyre.\]

La oss begynne å løse denne ligningen ved å skrive ut systemmatrisen:

Høyre side matrise:

La oss definere den inverse matrisen. Du kan finne en 2. ordens matrise som følger: 1 - selve matrisen må være ikke-singular; 2 - dens elementer som er på hoveddiagonalen byttes, og for elementene i den sekundære diagonalen endrer vi tegnet til det motsatte, hvoretter vi deler de resulterende elementene med determinanten til matrisen. Vi får:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begynne(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 matriser regnes som like hvis deres tilsvarende elementer er like. Som et resultat har vi følgende svar for SLAE-løsningen:

Hvor kan jeg løse et ligningssystem ved å bruke matrisemetoden på nettet?

Du kan løse ligningssystemet på nettsiden vår. Den gratis online løseren lar deg løse online ligninger av enhver kompleksitet i løpet av sekunder. Alt du trenger å gjøre er å legge inn dataene dine i løseren. Du kan også finne ut hvordan du løser ligningen på nettsiden vår. Og hvis du fortsatt har spørsmål, kan du stille dem i vår VKontakte-gruppe.

Denne online kalkulatoren løser et system med lineære ligninger ved hjelp av matrisemetoden. En meget detaljert løsning er gitt. For å løse et system med lineære ligninger, velg antall variabler. Velg en metode for å beregne den inverse matrisen. Skriv deretter inn dataene i cellene og klikk på "Beregn"-knappen.

Advarsel

Vil du fjerne alle celler?

Lukk Slett

Instruksjoner for dataregistrering. Tall legges inn som heltall (eksempler: 487, 5, -7623 osv.), desimaler (eks. 67., 102.54 osv.) eller brøker. Brøken skal legges inn på formen a/b, hvor a og b er heltall eller desimaler. Eksempler 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 osv.

Matrisemetode for å løse systemer av lineære ligninger

Tenk på følgende system med lineære ligninger:

Gitt definisjonen av en invers matrise, har vi EN −1 EN=E, Hvor E- identitetsmatrise. Derfor kan (4) skrives som følger:

For å løse systemet med lineære ligninger (1) (eller (2)), er det nok å multiplisere inversen til EN matrise per begrensningsvektor b.

Eksempler på løsning av et system med lineære ligninger ved hjelp av matrisemetoden

Eksempel 1. Løs følgende system med lineære ligninger ved å bruke matrisemetoden:

La oss finne inversen til matrise A ved å bruke Jordan-Gauss-metoden. På høyre side av matrisen EN La oss skrive identitetsmatrisen:

La oss ekskludere elementene i den første kolonnen i matrisen under hoveddiagonalen. For å gjøre dette, legg til linjene 2,3 med linje 1, multiplisert med henholdsvis -1/3, -1/3:

La oss ekskludere elementene i den andre kolonnen i matrisen under hoveddiagonalen. For å gjøre dette, legg til linje 3 med linje 2 multiplisert med -24/51:

La oss ekskludere elementene i den andre kolonnen i matrisen over hoveddiagonalen. For å gjøre dette, legg til linje 1 med linje 2 multiplisert med -3/17:

Skill høyre side av matrisen. Den resulterende matrisen er den inverse matrisen til EN :

Matriseform for å skrive et system med lineære ligninger: Ax=b, Hvor

La oss beregne alle algebraiske komplementer til matrisen EN: