Løs slough ved å bruke matrisemetoden online. Cramers regel

La det være en kvadratisk matrise av n-te orden

Matrise A -1 kalles invers matrise i forhold til matrise A, hvis A*A -1 = E, hvor E er identitetsmatrisen av n-te orden.

Identitetsmatrise- en slik firkantet matrise der alle elementene langs hoveddiagonalen, som går fra øvre venstre hjørne til nedre høyre hjørne, er enere, og resten er null, for eksempel:

Invers matrise kan eksistere bare for kvadratiske matriser de. for de matrisene der antall rader og kolonner sammenfaller.

Teorem for eksistensbetingelsen til en invers matrise

For at en matrise skal ha en invers matrise, er det nødvendig og tilstrekkelig at den er ikke-singular.

Matrisen A = (A1, A2,...A n) kalles ikke-degenerert, hvis kolonnevektorene er lineært uavhengige. Antallet lineært uavhengige kolonnevektorer i en matrise kalles rangeringen av matrisen. Derfor kan vi si at for at en invers matrise skal eksistere, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen av matrisen er lik dens dimensjon, dvs. r = n.

Algoritme for å finne den inverse matrisen

Skriv matrise A inn i tabellen for å løse ligningssystemer ved hjelp av Gauss-metoden og tilordne matrise E til den til høyre (i stedet for høyresiden av ligningene).
Bruk Jordan-transformasjoner, reduser matrise A til en matrise som består av enhetskolonner; i dette tilfellet er det nødvendig å transformere matrisen E samtidig.
Om nødvendig, omorganiser radene (ligningene) i den siste tabellen slik at du under matrisen A til den opprinnelige tabellen får identitetsmatrisen E.
Skriv ned den inverse matrisen A -1, som er plassert i den siste tabellen under matrisen E til den opprinnelige tabellen.

Eksempel 1

For matrise A, finn den inverse matrisen A -1

Løsning: Vi skriver matrise A og tildeler identitetsmatrisen E til høyre Ved hjelp av Jordan-transformasjoner reduserer vi matrise A til identitetsmatrisen E. Beregningene er gitt i Tabell 31.1.

La oss sjekke riktigheten av beregningene ved å multiplisere den opprinnelige matrisen A og den inverse matrisen A -1.

Som et resultat av matrisemultiplikasjon ble identitetsmatrisen oppnådd. Derfor ble beregningene gjort riktig.

Svare:

Løse matriseligninger

Matriseligninger kan se slik ut:

AX = B, HA = B, AXB = C,

hvor A, B, C er de spesifiserte matrisene, X er den ønskede matrisen.

Matriseligninger løses ved å multiplisere ligningen med inverse matriser.

For å finne matrisen fra ligningen, må du for eksempel gange denne ligningen med til venstre.

Derfor, for å finne en løsning på ligningen, må du finne den inverse matrisen og multiplisere den med matrisen på høyre side av ligningen.

Andre ligninger løses på samme måte.

Eksempel 2

Løs ligningen AX = B if

Løsning: Siden den inverse matrisen er lik (se eksempel 1)

Matrisemetode i økonomisk analyse

Sammen med andre brukes de også matrisemetoder. Disse metodene er basert på lineær og vektormatrisealgebra. Slike metoder brukes for å analysere komplekse og flerdimensjonale økonomiske fenomener. Oftest brukes disse metodene når det er nødvendig å foreta en komparativ vurdering av funksjonen til organisasjoner og deres strukturelle inndelinger.

I prosessen med å anvende matriseanalysemetoder kan flere stadier skilles.

På det første stadiet et system med økonomiske indikatorer blir dannet og på grunnlag av det kompileres en matrise med innledende data, som er en tabell der systemnumre vises i de individuelle radene. (i = 1,2,....,n), og i vertikale kolonner - antall indikatorer (j = 1,2,...,m).

På andre trinn For hver vertikal kolonne identifiseres den største av de tilgjengelige indikatorverdiene, som tas som én.

Etter dette deles alle beløp som reflekteres i denne kolonnen med den største verdien og en matrise av standardiserte koeffisienter dannes.

På tredje trinn alle komponentene i matrisen er kvadratisk. Hvis de har forskjellig betydning, blir hver matriseindikator tildelt en viss vektkoeffisient k. Verdien av sistnevnte bestemmes av ekspertuttalelse.

På den siste, fjerde trinn funnet vurderingsverdier Rj er gruppert i rekkefølge etter økning eller reduksjon.

Matrisemetodene som er skissert bør brukes for eksempel i en komparativ analyse av ulike investeringsprosjekter, samt i vurdering av andre økonomiske indikatorer for organisasjoners aktiviteter.

La oss vurdere system av lineære algebraiske ligninger(SLAU) relativt n ukjent x 1 , x 2 , ..., x n :

Dette systemet i en "kollapsert" form kan skrives som følger:

S n i=1 en ij x j = b jeg , i=1,2, ..., n.

I samsvar med matrisemultiplikasjonsregelen kan det betraktede systemet med lineære ligninger skrives inn matriseform Ax=b, Hvor

, ,.

Matrise EN, hvis kolonner er koeffisientene for de tilsvarende ukjente, og radene er koeffisientene for de ukjente i den tilsvarende ligningen kalles matrise av systemet. Kolonnematrise b, hvis elementer er høyresiden av likningene til systemet, kalles høyresidematrisen eller ganske enkelt høyre side av systemet. Kolonnematrise x , hvis elementer er de ukjente ukjente, kalles systemløsning.

Et system med lineære algebraiske ligninger skrevet i formen Ax=b, er matriseligning.

Hvis systemmatrisen ikke-degenerert, så har den en invers matrise og da er løsningen til systemet Ax=b er gitt av formelen:

x=A -1 b.

Eksempel Løs systemet matrisemetoden.

Løsning la oss finne den inverse matrisen for koeffisientmatrisen til systemet

La oss beregne determinanten ved å utvide langs den første linjen:

Siden Δ ≠ 0 , Det EN -1 finnes.

Den inverse matrisen ble funnet riktig.

La oss finne en løsning på systemet

Derfor, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Undersøkelse:

7. Kronecker-Capelli-teoremet om kompatibiliteten til et system av lineære algebraiske ligninger.

System av lineære ligninger har formen:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Her er a i j og b i (i = ; j = ) gitt, og x j er ukjente reelle tall. Ved å bruke konseptet produkt av matriser kan vi omskrive systemet (5.1) i formen:

hvor A = (a i j) er en matrise som består av koeffisienter for de ukjente i systemet (5.1), som kalles matrise av systemet, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T er kolonnevektorer sammensatt av henholdsvis ukjente x j og frie ledd bi.

Bestilt samling n reelle tall (c 1, c 2,..., c n) kalles systemløsning(5.1), hvis som et resultat av å erstatte disse tallene i stedet for de tilsvarende variablene x 1, x 2,..., x n, blir hver likning i systemet til en aritmetisk identitet; med andre ord, hvis det er en vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T slik at AC  B.

System (5.1) kalles ledd, eller løselig, hvis den har minst én løsning. Systemet kalles uforenlig, eller uløselig, hvis det ikke har noen løsninger.

dannet ved å tilordne en kolonne med frie termer til matrisen A til høyre kalles utvidet matrise av systemet.

Spørsmålet om systemets kompatibilitet (5.1) løses med følgende teorem.

Kronecker-Capelli teorem . Et system med lineære ligninger er konsistent hvis og bare hvis rekkene til matrisene A ogA sammenfaller, dvs. r(A) = r(A) = r.

For settet M av løsninger av system (5.1) er det tre muligheter:

1) M =  (i dette tilfellet er systemet inkonsekvent);

2) M består av ett element, dvs. systemet har en unik løsning (i dette tilfellet kalles systemet sikker);

3) M består av mer enn ett element (da kalles systemet usikker). I det tredje tilfellet har system (5.1) et uendelig antall løsninger.

Systemet har en unik løsning bare hvis r(A) = n. I dette tilfellet er antall ligninger ikke mindre enn antall ukjente (mn); hvis m>n, så er m-n likninger konsekvenser av de andre. Hvis 0

For å løse et vilkårlig system av lineære ligninger, må du kunne løse systemer der antall ligninger er lik antall ukjente - den s.k. Cramer type systemer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Systemer (5.3) løses på en av følgende måter: 1) Gauss-metoden, eller metoden for å eliminere ukjente; 2) i henhold til Cramers formler; 3) matrisemetode.

Eksempel 2.12. Utforsk ligningssystemet og løs det hvis det er konsistent:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Løsning. Vi skriver ut den utvidede matrisen til systemet:

 .

La oss beregne rangeringen av hovedmatrisen til systemet. Det er åpenbart at for eksempel andreordens moll i øvre venstre hjørne = 7  0; de mindreårige av tredje orden som inneholder det er lik null:

Følgelig er rangeringen av hovedmatrisen til systemet 2, dvs. r(A) = 2. For å beregne rangeringen til den utvidede matrisen A, betrakt den grensende moll

dette betyr at rangeringen til den utvidede matrisen r(A) = 3. Siden r(A)  r(A), er systemet inkonsekvent.

Emne 2. SYSTEMER AV LINEÆRE ALGEBRAISKE LIGNINGER.

Grunnleggende konsepter.

Definisjon 1. System m lineære ligninger med n ukjente er et system av formen:

hvor og er tall.

Definisjon 2. En løsning på system (I) er et sett med ukjente der hver likning av dette systemet blir en identitet.

Definisjon 3. System (I) kalles ledd, hvis den har minst én løsning og ikke-ledd, hvis det ikke har noen løsninger. Leddsystemet kalles sikker, hvis den har en unik løsning, og usikker noe annet.

Definisjon 4. Formens ligning

ringte null, og ligningen er av formen

ringte uforenlig. Åpenbart er et ligningssystem som inneholder en inkompatibel ligning inkonsekvent.

Definisjon 5. To systemer med lineære ligninger kalles tilsvarende, hvis hver løsning av ett system tjener som en løsning til et annet, og omvendt, hver løsning av det andre systemet er en løsning til det første.

Matriserepresentasjon av et system av lineære ligninger.

La oss vurdere system (I) (se §1).

La oss betegne:

Koeffisientmatrise for ukjente

Matrise - kolonne med frie termer

Matrise – kolonne med ukjente

Definisjon 1. Matrisen kalles hovedmatrisen til systemet(I), og matrisen er den utvidede matrisen til system (I).

Ved definisjonen av likhet av matriser, tilsvarer system (I) matriselikheten:

Høyresiden av denne likheten per definisjon av produktet av matriser ( se definisjon 3 § 5 kapittel 1) kan faktoriseres:

, dvs.

Likestilling (2) ringte matrisenotasjon av system (I).

Løse et system av lineære ligninger ved hjelp av Cramers metode.

Slipp inn system (I) (se §1) m=n, dvs. antall ligninger er lik antall ukjente, og hovedmatrisen til systemet er ikke-singular, dvs. . Da har system (I) fra §1 en unik løsning

hvor Δ = det A kalt hoved determinant for systemet(I), Δ jeg fås fra determinanten Δ ved å erstatte jeg kolonne til en kolonne med frie medlemmer av systemet (I).

Eksempel: Løs systemet ved å bruke Cramers metode:

Etter formler (3) .

Vi beregner determinantene til systemet:

For å få determinanten, erstattet vi den første kolonnen i determinanten med en kolonne med frie termer; erstatter den andre kolonnen i determinanten med en kolonne med frie termer, får vi ; på lignende måte, ved å erstatte den tredje kolonnen i determinanten med en kolonne med frie termer, får vi . Systemløsning:

Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av en invers matrise.

Slipp inn system (I) (se §1) m=n og hovedmatrisen til systemet er ikke-singular. La oss skrive system (I) i matriseform ( se §2):

fordi matrise EN ikke-singular, så har den en invers matrise ( se setning 1 §6 i kapittel 1). La oss multiplisere begge sider av likheten (2) til matrisen, da

Per definisjon av en invers matrise. Fra likestilling (3) vi har

Løs systemet ved å bruke den inverse matrisen

La oss betegne

I eksempel (§ 3) beregnet vi determinanten, derfor matrisen EN har en invers matrise. Da i kraft (4) , dvs.

. (5)

La oss finne matrisen ( se §6 kapittel 1)

, , ,

Gauss metode.

La et system med lineære ligninger gis:

. (JEG)

Det kreves å finne alle løsninger av system (I) eller å verifisere at systemet er inkonsekvent.

Definisjon 1.La oss kalle den elementære transformasjonen av systemet(I) en av tre handlinger:

1) krysse ut nullligningen;

2) å legge til begge sider av ligningen de tilsvarende delene av en annen ligning, multiplisert med tallet l;

3) bytte ledd i systemets likninger slik at ukjente med samme tall i alle likninger opptar samme plass, dvs. hvis vi for eksempel i 1. likning endret 2. og 3. ledd, så må det samme gjøres i alle likninger i systemet.

Gauss-metoden består i at system (I) ved hjelp av elementære transformasjoner reduseres til et ekvivalent system, hvis løsning er funnet direkte eller dets uløselighet er etablert.

Som beskrevet i §2, er system (I) unikt bestemt av dens utvidede matrise, og enhver elementær transformasjon av system (I) tilsvarer en elementær transformasjon av den utvidede matrisen:

Transformasjon 1) tilsvarer å slette nullraden i matrisen, transformasjon 2) tilsvarer å legge til en annen rad til den tilsvarende raden i matrisen, multiplisert med tallet l, transformasjon 3) tilsvarer å omorganisere kolonnene i matrisen.

Det er lett å se at tvert imot tilsvarer hver elementær transformasjon av matrisen en elementær transformasjon av systemet (I). På grunn av ovenstående vil vi i stedet for operasjoner med system (I) jobbe med den utvidede matrisen til dette systemet.

I matrisen består 1. kolonne av koeffisienter for x 1, 2. kolonne - fra koeffisientene for x 2 osv. Hvis kolonnene omorganiseres, bør det tas i betraktning at denne betingelsen brytes. For eksempel, hvis vi bytter 1. og 2. kolonne, vil nå 1. kolonne inneholde koeffisientene for x 2, og i 2. kolonne - koeffisientene for x 1.

Vi skal løse system (I) ved hjelp av Gauss-metoden.

1. Kryss ut alle null-rader i matrisen, hvis noen (dvs. kryss ut alle null-ligninger i system (I).

2. La oss sjekke om det blant radene i matrisen er en rad der alle elementene unntatt den siste er lik null (la oss kalle en slik rad inkonsistent). Åpenbart tilsvarer en slik linje en inkonsistent ligning i system (I), derfor har system (I) ingen løsninger og det er her prosessen slutter.

3. La matrisen ikke inneholde inkonsistente rader (system (I) inneholder ikke inkonsistente ligninger). Hvis a 11 = 0, så finner vi i 1. rad et element (bortsett fra det siste) annet enn null og omorganiserer kolonnene slik at det i 1. rad ikke er null på 1. plass. Vi vil nå anta at (dvs. vi vil bytte de tilsvarende leddene i likningene til system (I)).

4. Multipliser 1. linje med og legg til resultatet med 2. linje, gang deretter 1. linje med og legg til resultatet med 3. linje osv. Åpenbart tilsvarer denne prosessen å eliminere det ukjente x 1 fra alle likninger av system (I), bortsett fra 1. I den nye matrisen får vi nuller i 1. kolonne under elementet en 11:

5. La oss krysse ut alle nullrader i matrisen, hvis det er noen, og sjekke om det er en inkonsekvent rad (hvis det er en, så er systemet inkonsekvent og løsningen slutter der). La oss sjekke om det blir det a 22 / =0, hvis ja, så finner vi i 2. rad et annet element enn null og omorganiserer kolonnene slik at . Deretter multipliserer du elementene i den andre raden med og legg til med de tilsvarende elementene i den 3. linjen, deretter - elementene i den 2. linjen og legg til med de tilsvarende elementene i den 4. linjen, etc., til vi får nuller under en 22/

Handlingene som er iverksatt tilsvarer å eliminere det ukjente x 2 fra alle likninger av system (I), bortsett fra 1. og 2. Siden antall rader er endelig, får vi derfor etter et begrenset antall trinn at enten er systemet inkonsekvent, eller så ender vi opp med en trinnmatrise ( se definisjon 2 §7 kapittel 1) :

La oss skrive ut ligningssystemet som tilsvarer matrisen. Dette systemet tilsvarer system (I)

Fra den siste ligningen uttrykker vi; erstatte inn i forrige ligning, finne, etc., til vi får .

Merknad 1. Når vi løser system (I) ved hjelp av Gauss-metoden, kommer vi frem til en av følgende tilfeller.

1. System (I) er inkonsekvent.

2. System (I) har en unik løsning hvis antall rader i matrisen er lik antall ukjente ().

3. System (I) har et uendelig antall løsninger hvis antall rader i matrisen er mindre enn antall ukjente ().

Derfor gjelder følgende teorem.

Teorem. Et system med lineære ligninger er enten inkonsekvent, har en unik løsning eller har et uendelig antall løsninger.

Eksempler. Løs ligningssystemet ved å bruke Gauss-metoden eller bevis dets inkonsekvens:

b) ;

a) La oss omskrive det gitte systemet i formen:

Vi har byttet 1. og 2. likning av det opprinnelige systemet for å forenkle beregningene (i stedet for brøker, vil vi kun operere med heltall ved å bruke denne omorganiseringen).

La oss lage en utvidet matrise:

Det er ingen null-linjer; det er ingen inkompatible linjer, ; La oss ekskludere den første ukjente fra alle ligningene i systemet bortsett fra den første. For å gjøre dette, multipliser elementene i den første raden i matrisen med "-2" og legg dem til med de tilsvarende elementene i den andre raden, som tilsvarer å multiplisere den første ligningen med "-2" og legge den til med den andre. ligning. Deretter multipliserer vi elementene i den første linjen med "-3" og legger dem til med de tilsvarende elementene i den tredje linjen, dvs. multipliser den andre ligningen til det gitte systemet med "-3" og legg den til den tredje ligningen. Vi får

Matrisen tilsvarer et ligningssystem). - (se definisjon 3§7 i kapittel 1).

Ligninger generelt, lineære algebraiske ligninger og deres systemer, samt metoder for å løse dem, inntar en spesiell plass i matematikk, både teoretisk og anvendt.

Dette skyldes det faktum at de aller fleste fysiske, økonomiske, tekniske og til og med pedagogiske problemer kan beskrives og løses ved hjelp av en rekke ligninger og deres systemer. Nylig har matematisk modellering vunnet særlig popularitet blant forskere, forskere og praktikere innen nesten alle fagområder, noe som forklares med dens åpenbare fordeler i forhold til andre velkjente og utprøvde metoder for å studere objekter av forskjellig natur, spesielt det såkalte komplekset. systemer. Det er et stort utvalg av forskjellige definisjoner av en matematisk modell gitt av forskere til forskjellige tider, men etter vår mening er den mest vellykkede følgende uttalelsen. En matematisk modell er en idé uttrykt ved en ligning. Dermed er evnen til å komponere og løse ligninger og deres systemer en integrert egenskap for en moderne spesialist.

For å løse systemer med lineære algebraiske ligninger er de mest brukte metodene Cramer, Jordan-Gauss og matrisemetoden.

Matriseløsningsmetode er en metode for å løse systemer med lineære algebraiske ligninger med en determinant som ikke er null ved å bruke en invers matrise.

Hvis vi skriver ut koeffisientene for de ukjente mengdene xi i matrise A, samler de ukjente mengdene i vektorkolonnen X, og de frie leddene i vektorkolonnen B, så kan systemet med lineære algebraiske ligninger skrives i form av følgende matriseligning A · X = B, som har en unik løsning bare når determinanten til matrise A ikke er lik null. I dette tilfellet kan løsningen til ligningssystemet finnes på følgende måte X = EN-1 · B, Hvor EN-1 er den inverse matrisen.

Matriseløsningsmetoden er som følger.

La oss få et system av lineære ligninger med n ukjent:

Det kan skrives om i matriseform: ØKS = B, Hvor EN- hovedmatrisen til systemet, B Og X- kolonner med henholdsvis gratis vilkår og løsninger for systemet:

La oss multiplisere denne matriseligningen fra venstre med EN-1 - matrise invers av matrise EN: EN -1 (ØKS) = EN -1 B

Fordi EN -1 EN = E, får vi X= A -1 B. Høyre side av denne ligningen vil gi løsningskolonnen til det opprinnelige systemet. Betingelsen for anvendeligheten av denne metoden (så vel som den generelle eksistensen av en løsning til et inhomogent system av lineære ligninger med antall ligninger lik antall ukjente) er ikke-degenerasjonen til matrisen EN. En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for dette er at determinanten til matrisen ikke er lik null EN:det EN≠ 0.

For et homogent system av lineære ligninger, det vil si når vektoren B = 0 , faktisk den motsatte regelen: systemet ØKS = 0 har en ikke-triviell (det vil si ikke-null) løsning bare hvis det EN= 0. En slik sammenheng mellom løsninger av homogene og inhomogene systemer av lineære ligninger kalles Fredholm-alternativet.

Eksempel løsninger til et inhomogent system av lineære algebraiske ligninger.

La oss sørge for at determinanten til matrisen, sammensatt av koeffisientene til de ukjente til systemet med lineære algebraiske ligninger, ikke er lik null.

Det neste trinnet er å beregne de algebraiske komplementene for elementene i matrisen som består av koeffisientene til de ukjente. De vil være nødvendige for å finne den inverse matrisen.

Bruken av ligninger er utbredt i våre liv. De brukes i mange beregninger, konstruksjon av strukturer og til og med sport. Mennesket brukte ligninger i oldtiden, og siden har bruken bare økt. Matrisemetoden lar deg finne løsninger på SLAE-er (systemer med lineære algebraiske ligninger) av enhver kompleksitet. Hele prosessen med å løse SLAE-er kommer ned til to hovedhandlinger:

Bestemmelse av den inverse matrisen basert på hovedmatrisen:

Multiplisere den resulterende inverse matrisen med en kolonnevektor av løsninger.

Anta at vi får en SLAE av følgende form:

\[\venstre\(\begin(matrise) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrise)\høyre.\]

La oss begynne å løse denne ligningen ved å skrive ut systemmatrisen:

Høyre side matrise:

La oss definere den inverse matrisen. Du kan finne en 2. ordens matrise som følger: 1 - selve matrisen må være ikke-singular; 2 - dens elementer som er på hoveddiagonalen byttes, og for elementene i den sekundære diagonalen endrer vi tegnet til det motsatte, hvoretter vi deler de resulterende elementene med determinanten til matrisen. Vi får:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begynne(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 matriser regnes som like hvis deres tilsvarende elementer er like. Som et resultat har vi følgende svar for SLAE-løsningen:

Hvor kan jeg løse et ligningssystem ved å bruke matrisemetoden på nett?

Du kan løse ligningssystemet på nettsiden vår. Den gratis online løseren lar deg løse online ligninger av enhver kompleksitet i løpet av sekunder. Alt du trenger å gjøre er å legge inn dataene dine i løseren. Du kan også finne ut hvordan du løser ligningen på nettsiden vår. Og hvis du fortsatt har spørsmål, kan du stille dem i vår VKontakte-gruppe.