Løs ligningen y 0. Ulike metoder for å løse ligninger
La oss analysere to typer løsninger på ligningssystemer:
1. Løse systemet ved hjelp av substitusjonsmetoden.
2. Løse systemet ved ledd-for-ledd addisjon (subtraksjon) av systemlikningene.
For å løse ligningssystemet etter substitusjonsmetode du må følge en enkel algoritme:
1. Express. Fra enhver ligning uttrykker vi én variabel.
2. Vikar. Vi erstatter den resulterende verdien i en annen ligning i stedet for den uttrykte variabelen.
3. Løs den resulterende ligningen med én variabel. Vi finner en løsning på systemet.
Å bestemme system etter term-for-term addisjon (subtraksjon) metode trenger å:
1. Velg en variabel som vi skal lage identiske koeffisienter for.
2. Vi legger til eller subtraherer ligninger, noe som resulterer i en ligning med én variabel.
3. Løs den resulterende lineære ligningen. Vi finner en løsning på systemet.
Løsningen på systemet er skjæringspunktene til funksjonsgrafene.
La oss vurdere i detalj løsningen av systemer ved å bruke eksempler.
Eksempel #1:
La oss løse med substitusjonsmetode
Løse et ligningssystem ved hjelp av substitusjonsmetoden2x+5y=1 (1 ligning)
x-10y=3 (andre ligning)
1. Express
Man kan se at i den andre ligningen er det en variabel x med koeffisient 1, som betyr at det er lettest å uttrykke variabelen x fra den andre ligningen.
x=3+10y
2.Etter at vi har uttrykt det, erstatter vi 3+10y i den første ligningen i stedet for variabelen x.
2(3+10y)+5y=1
3. Løs den resulterende ligningen med én variabel.
2(3+10y)+5y=1 (åpne parentesene)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Løsningen til ligningssystemet er skjæringspunktene til grafene, derfor må vi finne x og y, fordi skjæringspunktet består av x og y La oss finne x, i det første punktet der vi uttrykte det, erstatter vi y der .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Det er vanlig å skrive poeng i første omgang skriver vi variabelen x, og for det andre variabelen y.
Svar: (1; -0,2)
Eksempel #2:
La oss løse ved å bruke term-for-term addisjon (subtraksjon) metoden.
Løse et ligningssystem ved hjelp av addisjonsmetoden3x-2y=1 (1 ligning)
2x-3y=-10 (andre ligning)
1. Vi velger en variabel, la oss si at vi velger x. I den første likningen har variabelen x en koeffisient på 3, i den andre - 2. Vi må gjøre koeffisientene like, for dette har vi rett til å multiplisere likningene eller dele med et hvilket som helst tall. Vi multipliserer den første ligningen med 2, og den andre med 3 og får en total koeffisient på 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Trekk den andre fra den første ligningen for å bli kvitt variabelen x Løs den lineære ligningen.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Finn x. Vi erstatter funnet y i hvilken som helst av ligningene, la oss si inn i den første ligningen.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Skjæringspunktet vil være x=4,6; y=6,4
Svar: (4.6; 6.4)
Vil du forberede deg til eksamen gratis? Lærer online gratis. Ingen spøk.
4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = 0
Først må du finne én rot ved å bruke utvalgsmetoden. Vanligvis er det en divisor av fribegrepet. I dette tilfellet, divisorene til tallet 6 er ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ tall 1
-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ tall -1 er ikke en rot av et polynom
2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ tall 2 er roten til polynomet
Vi har funnet 1 av røttene til polynomet. Roten til polynomet er 2, som betyr at det opprinnelige polynomet må være delelig med x - 2. For å utføre delingen av polynomer bruker vi Horners skjema:
4 | -19 | 19 | 6 | |
2 |
Koeffisientene til det opprinnelige polynomet vises i den øverste linjen. Roten vi fant er plassert i den første cellen i den andre raden 2. Den andre linjen inneholder koeffisientene til polynomet som er resultatet av divisjon. De telles slik:
|
I den andre cellen i den andre raden skriver vi tallet 1, ganske enkelt ved å flytte den fra den tilsvarende cellen i den første raden. | ||||||||||
|
2 ∙ 4 - 19 = -11 | ||||||||||
|
2 ∙ (-11) + 19 = -3 | ||||||||||
|
2 ∙ (-3) + 6 = 0 |
Det siste tallet er resten av divisjonen. Hvis det er lik 0, så har vi regnet ut alt riktig.
Dermed faktoriserte vi det opprinnelige polynomet:
4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = (x - 2)(4x 2 - 11x - 3)
Og nå gjenstår det bare å finne røttene til kvadratisk ligning
4x 2 - 11x - 3 = 0
D = b 2 - 4ac = (-11) 2 - 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ ligningen har 2 røtter
Vi har funnet alle røttene til ligningen.
I. Lineære ligninger
II. Kvadratiske ligninger
øks 2 + bx +c= 0, en≠ 0, ellers blir ligningen lineær
Røttene til en kvadratisk ligning kan beregnes på forskjellige måter, for eksempel:
Vi er flinke til å løse andregradsligninger. Mange ligninger av høyere grader kan reduseres til andregradsligninger.
III.
Ligninger redusert til kvadratisk. øks endring av variabel: a) biquadratisk ligning bx 2n+ c = 0,en ≠ 0,n+ ≥ 2
n
2) symmetrisk ligning av grad 3 – formens ligning
øks 4 + bx 3 + 3) symmetrisk ligning av grad 4 – formens ligning 2 +cx + bx = 0, bx en ≠ 0, koeffisienter a b c b a
øks 4 + bx 3 + 3) symmetrisk ligning av grad 4 – formens ligning 2 –cx + bx = 0, bx eller ≠ 0, koeffisienter
a b c (–b) a Fordi x Fordi= 0 er ikke en rot av ligningen, da er det mulig å dele begge sider av ligningen med
2, da får vi:. bx(Ved å gjøre substitusjonen løser vi den andregradsligningen 2 – 2) + t + bt = 0
c Fordi 4 – 2Fordi 3 – Fordi 2 – 2Fordi La oss for eksempel løse ligningen Fordi 2 ,
+ 1 = 0, del begge sider med Ved å gjøre substitusjonen løser vi den andregradsligningen 2 – 2Ved å gjøre substitusjonen løser vi den andregradsligningen – 3 = 0
– ligningen har ingen røtter.
4) Formens ligning ( x–a)(x–b)(x–c)(x–d) = Øks 2, koeffisienter ab = cd
For eksempel, ( x+2)(x +3)(x+8)(x+12) = 4x 2. Ved å multiplisere 1–4 og 2–3 parentes får vi ( Fordi 2 + 14Fordi+ 24)(Fordi 2 +11Fordi + 24) = 4Fordi 2, del begge sider av ligningen med Fordi 2, får vi:
vi har ( Ved å gjøre substitusjonen løser vi den andregradsligningen+ 14)(Ved å gjøre substitusjonen løser vi den andregradsligningen + 11) = 4.
5) Homogen ligning av grad 2 - en ligning av formen P(x,y) = 0, hvor P(x,y) er et polynom, hvor hvert ledd har grad 2.
Svar: -2; -0,5; 0
IV. Alle likningene ovenfor er gjenkjennelige og typiske, men hva med likninger av vilkårlig form?
La et polynom gis P n ( Fordi) = bx n Fordi n+ bx n-1 Fordi n-1 + ...+ bx 1x+ en 0, hvor bx n ≠ 0
La oss vurdere metoden for å redusere graden av ligningen.
Det er kjent at hvis koeffisientene bx er heltall og bx n = 1, deretter heltallsrøttene til ligningen P n ( Fordi) = 0 er blant deler av frileddet bx 0 . For eksempel Fordi 4 + 2Fordi 3 – 2Fordi 2 – 6Fordi+ 5 = 0, delere av tallet 5 er tallene 5; –5; 1; –1. Da P 4 (1) = 0, dvs. Fordi= 1 er roten til ligningen. La oss senke graden av ligningen P 4 (Fordi) = 0 ved å dele polynomet med et “hjørne” med faktoren x –1, får vi
P 4 (Fordi) = (Fordi – 1)(Fordi 3 + 3Fordi 2 + Fordi – 5).
Likeledes, P 3 (1) = 0, da P 4 (Fordi) = (Fordi – 1)(Fordi – 1)(Fordi 2 + 4Fordi+5), dvs. ligning P 4 (x) = 0 har røtter Fordi 1 = Fordi 2 = 1. La oss vise en kortere løsning på denne ligningen (ved hjelp av Horners skjema).
1 | 2 | –2 | –6 | 5 | |
1 | 1 | 3 | 1 | –5 | 0 |
1 | 1 | 4 | 5 | 0 |
Betyr, Fordi 1 = 1 betyr Fordi 2 = 1.
Så, ( Fordi– 1) 2 (Fordi 2 + 4Fordi + 5) = 0
Hva gjorde vi? Vi senket graden av ligningen.
V. Tenk på symmetriske ligninger av grad 3 og 5.
EN) øks 3 + bx 2 + bx + bx= 0, åpenbart Fordi= –1 er roten til ligningen, så senker vi graden av ligningen til to.
b) øks 5 + bx 4 + 3) symmetrisk ligning av grad 4 – formens ligning 3 + 3) symmetrisk ligning av grad 4 – formens ligning 2 + bx + bx= 0, åpenbart Fordi= –1 er roten til ligningen, så senker vi graden av ligningen til to.
La oss for eksempel vise løsningen til ligning 2 Fordi 5 + 3Fordi 4 – 5Fordi 3 – 5Fordi 2 + 3Fordi + = 0
2 | 3 | –5 | –5 | 3 | 2 | |
–1 | 2 | 1 | –6 | 1 | 2 | 0 |
1 | 2 | 3 | –3 | –2 | 0 | |
1 | 2 | 5 | 2 | 0 |
Fordi = –1
Vi får ( Fordi – 1) 2 (Fordi + 1)(2Fordi 2 + 5Fordi+ 2) = 0. Dette betyr at røttene til ligningen er: 1; 1; –1; –2; –0,5.
VI. Her er en liste over forskjellige ligninger som skal løses i klassen og hjemme.
Jeg foreslår at leseren løser ligning 1–7 selv og får svarene...
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Først må du finne én rot ved å bruke utvalgsmetoden. Vanligvis er det en divisor av fribegrepet. I dette tilfellet, divisorene til tallet 12 er ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. La oss begynne å erstatte dem én etter én:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ tall 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ tall -1 er ikke en rot av et polynom
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ tall 2 er roten til polynomet
Vi har funnet 1 av røttene til polynomet. Roten til polynomet er 2, som betyr at det opprinnelige polynomet må være delelig med x - 2. For å utføre delingen av polynomer bruker vi Horners skjema:
2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
2 |
Koeffisientene til det opprinnelige polynomet vises i den øverste linjen. Roten vi fant er plassert i den første cellen i den andre raden 2. Den andre linjen inneholder koeffisientene til polynomet som er resultatet av divisjon. De telles slik:
|
I den andre cellen i den andre raden skriver vi tallet 2, ganske enkelt ved å flytte den fra den tilsvarende cellen i den første raden. | ||||||||||||
|
2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
|
2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
|
2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
|
2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Det siste tallet er resten av divisjonen. Hvis det er lik 0, så har vi regnet ut alt riktig.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Men dette er ikke slutten. Du kan prøve å utvide polynomet på samme måte 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Igjen leter vi etter en rot blant deler av det frie begrepet. Talldelere -6 er ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ tall 1 er ikke en rot av et polynom
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ tall -1 er ikke en rot av et polynom
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ tall 2 er ikke en rot av et polynom
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ tall -2 er roten til polynomet
La oss skrive den funnet roten inn i vårt Horner-skjema og begynne å fylle ut de tomme cellene:
|
I den andre cellen i den tredje raden skriver vi tallet 2, ganske enkelt ved å flytte den fra den tilsvarende cellen i den andre raden. | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Dermed faktoriserte vi det opprinnelige polynomet:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Polynom 2x 2 + 5x - 3 kan også faktoriseres. For å gjøre dette kan du løse andregradsligningen gjennom diskriminanten, eller du kan se etter roten blant divisorene til tallet -3. På en eller annen måte vil vi komme til den konklusjon at roten til dette polynomet er tallet -3
|
I den andre cellen i den fjerde raden skriver vi tallet 2, ganske enkelt ved å flytte den fra den tilsvarende cellen i den tredje raden. | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Dermed dekomponerte vi det opprinnelige polynomet i lineære faktorer:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)
Og røttene til ligningen er.