C 8 30 rasjonelle brøklikninger. Fraksjonelle rasjonelle ligninger

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse e-post osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Vi introduserte ligningen ovenfor i § 7. La oss først huske hva et rasjonelt uttrykk er. Dette er et algebraisk uttrykk som består av tall og variabelen x ved å bruke operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og eksponentiering med en naturlig eksponent.

Hvis r(x) er et rasjonelt uttrykk, kalles ligningen r(x) = 0 en rasjonell ligning.

I praksis er det imidlertid mer praktisk å bruke en litt bredere tolkning av begrepet "rasjonell ligning": dette er en ligning av formen h(x) = q(x), hvor h(x) og q(x) er rasjonelle uttrykk.

Til nå har vi ikke kunnet løse noen rasjonell ligning, men bare en som, som følge av ulike transformasjoner og resonnementer, ble redusert til lineær ligning. Nå er våre evner mye større: vi vil være i stand til å løse en rasjonell ligning som reduserer ikke bare til lineær
mu, men også til andregradsligningen.

La oss huske hvordan vi løste rasjonelle ligninger før og prøve å formulere en løsningsalgoritme.

Eksempel 1. Løs ligningen

Løsning. La oss omskrive ligningen i skjemaet

I dette tilfellet utnytter vi som vanlig at likhetene A = B og A - B = 0 uttrykker samme forhold mellom A og B. Dette gjorde at vi kunne flytte leddet til venstre side av ligningen med motsatt tegn.

La oss transformere venstre side av ligningen. Vi har

La oss minne om vilkårene for likhet brøker null: hvis og bare hvis to relasjoner er tilfredsstilt samtidig:

1) telleren for brøken er null (a = 0); 2) nevneren til brøken er forskjellig fra null).
Ved å likestille telleren til brøken på venstre side av ligning (1) med null, får vi

Det gjenstår å kontrollere oppfyllelsen av den andre betingelsen angitt ovenfor. Relasjonen betyr for ligning (1) at . Verdiene x 1 = 2 og x 2 = 0,6 tilfredsstiller de angitte sammenhengene og fungerer derfor som røttene til ligning (1), og samtidig røttene til den gitte ligningen.

1) La oss transformere ligningen til formen

2) La oss transformere venstre side av denne ligningen:

(endret samtidig tegnene i telleren og
brøker).
Slik, til gitt ligning tar formen

3) Løs ligningen x 2 - 6x + 8 = 0. Finn

4) For de funnet verdiene, kontroller oppfyllelsen av betingelsen . Tallet 4 tilfredsstiller denne betingelsen, men tallet 2 gjør det ikke. Dette betyr at 4 er roten til den gitte ligningen, og 2 er en fremmed rot.
SVAR: 4.

2. Løsning rasjonelle ligninger ved å introdusere en ny variabel

Metoden for å introdusere en ny variabel er kjent for deg, vi har brukt den mer enn én gang. La oss vise med eksempler hvordan det brukes til å løse rasjonelle ligninger.

Eksempel 3. Løs ligningen x 4 + x 2 - 20 = 0.

Løsning. La oss introdusere en ny variabel y = x 2 . Siden x 4 = (x 2) 2 = y 2, kan den gitte ligningen skrives om som

y 2 + y - 20 = 0.

dette - andregradsligning, hvis røtter vi vil finne ved å bruke det kjente formler; vi får y 1 = 4, y 2 = - 5.
Men y = x 2, som betyr at problemet er redusert til å løse to ligninger:
x 2 = 4; x 2 = -5.

Fra den første ligningen finner vi at den andre ligningen ikke har noen røtter.
Svar: .
En ligning av formen ax 4 + bx 2 +c = 0 kalles en biquadratisk ligning ("bi" er to, dvs. en slags "dobbel kvadratisk" ligning). Ligningen som nettopp ble løst, var nøyaktig biquadratisk. Noen biquadratisk ligning løses på samme måte som ligningen fra eksempel 3: introduser en ny variabel y = x 2, løs den resulterende kvadratiske ligningen med hensyn til variabelen y, og gå tilbake til variabelen x.

Eksempel 4. Løs ligningen

Løsning. Merk at det samme uttrykket x 2 + 3x vises to ganger her. Dette betyr at det er fornuftig å introdusere en ny variabel y = x 2 + 3x. Dette vil tillate oss å omskrive ligningen i en enklere og mer behagelig form (som faktisk er hensikten med å introdusere en ny variabel- og forenkle innspillingen
blir klarere, og strukturen til ligningen blir klarere):

La oss nå bruke algoritmen for å løse en rasjonell ligning.

1) La oss flytte alle leddene i ligningen til én del:

= 0
2) Transformer venstre side av ligningen

Så vi har transformert den gitte ligningen til formen

3) Fra ligningen - 7y 2 + 29y -4 = 0 finner vi (du og jeg har allerede løst ganske mange andregradsligninger, så det er nok ikke verdt å alltid gi detaljerte beregninger i læreboken).

4) La oss sjekke de funnet røttene ved å bruke betingelse 5 (y - 3) (y + 1). Begge røttene tilfredsstiller denne betingelsen.
Så den kvadratiske ligningen for den nye variabelen y er løst:
Siden y = x 2 + 3x, og y, som vi har fastslått, har to verdier: 4 og , må vi fortsatt løse to likninger: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Røttene til den første ligningen er tallene 1 og - 4, røttene til den andre ligningen er tallene

I de betraktede eksemplene var metoden for å introdusere en ny variabel, som matematikere liker å si, tilstrekkelig til situasjonen, det vil si at den samsvarte godt med den. Hvorfor? Ja, fordi det samme uttrykket tydelig dukket opp i ligningen flere ganger og det var grunn til å betegne dette uttrykket med en ny bokstav. Men dette skjer ikke alltid noen ganger en ny variabel "dukker opp" bare under transformasjonsprosessen. Dette er nøyaktig hva som vil skje i neste eksempel.

Eksempel 5. Løs ligningen
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Løsning. Vi har
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.

Dette betyr at den gitte ligningen kan skrives om i skjemaet

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Nå har en ny variabel "dukket opp": y = x 2 - 3x.

Med dens hjelp kan ligningen skrives om i formen y (y + 2) = 24 og deretter y 2 + 2y - 24 = 0. Røttene til denne ligningen er tallene 4 og -6.

Går vi tilbake til den opprinnelige variabelen x, får vi to likninger x 2 - 3x = 4 og x 2 - 3x = - 6. Fra den første likningen finner vi x 1 = 4, x 2 = - 1; den andre ligningen har ingen røtter.

SVAR: 4, - 1.

Leksjonens innhold leksjonsnotater støttende frame leksjon presentasjon akselerasjon metoder interaktive teknologier Øv oppgaver og øvelser selvtestverksteder, treninger, case, oppdrag leksediskusjonsspørsmål retoriske spørsmål fra studenter Illustrasjoner lyd, videoklipp og multimedia fotografier, bilder, grafikk, tabeller, diagrammer, humor, anekdoter, vitser, tegneserier, lignelser, ordtak, kryssord, sitater Tillegg sammendrag artikler triks for nysgjerrige cribs lærebøker grunnleggende og tilleggsordbok med begreper andre Forbedre lærebøker og leksjonerrette feil i læreboka oppdatere et fragment i en lærebok, elementer av innovasjon i leksjonen, erstatte utdatert kunnskap med ny Kun for lærere perfekte leksjoner kalenderplan i et år metodiske anbefalinger diskusjonsprogrammer Integrerte leksjoner

Enkelt sagt er dette ligninger der det er minst én variabel i nevneren.

For eksempel:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Eksempel Ikke rasjonelle brøklikninger:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Hvordan løses rasjonelle brøklikninger?

Det viktigste å huske om rasjonelle brøklikninger er at du må skrive i dem. Og etter å ha funnet røttene, sørg for å sjekke dem for tillatelse. Ellers kan det dukke opp fremmede røtter, og hele løsningen vil bli vurdert som feil.

Algoritme for å løse en rasjonell brøkligning:

Skriv ned og "løs" ODZ.

Multipliser hvert ledd i ligningen med fellesnevner og reduser de resulterende fraksjonene. Nevnerne vil forsvinne.

Skriv ligningen uten å åpne parentesen.

Løs den resulterende ligningen.

Sjekk de funnet røttene med ODZ.

Skriv ned i svaret ditt røttene som besto testen i trinn 7.

Ikke husk algoritmen, 3-5 løste ligninger, og den vil bli husket av seg selv.

Eksempel . Løs rasjonell brøkligning \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Løsning:

Svare: \(3\).

Eksempel . Finn røttene til den rasjonelle brøklikningen \(=0\)

Løsning:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Vi skriver ned og "løser" ODZ. Vi utvider \(x^2+7x+10\) til i henhold til formelen: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Heldigvis har vi allerede funnet \(x_1\) og \(x_2\).
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Det er klart at fellesnevneren for brøkene er \((x+2)(x+5)\). Vi multipliserer hele ligningen med den.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Redusere fraksjoner
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Åpne brakettene
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Vi presenterer lignende vilkår
\(2x^2+9x-5=0\)		Finne røttene til ligningen
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		En av røttene passer ikke til ODZ, så vi skriver bare den andre roten i svaret.

Svare: \(\frac(1)(2)\).

La oss fortsette å snakke om løse ligninger. I denne artikkelen vil vi gå i detalj om rasjonelle ligninger og prinsipper for å løse rasjonelle ligninger med én variabel. La oss først finne ut hvilken type ligninger som kalles rasjonelle, gi en definisjon av hele rasjonelle og brøkformelle rasjonelle ligninger, og gi eksempler. Deretter vil vi skaffe algoritmer for å løse rasjonelle ligninger, og selvfølgelig vil vi vurdere løsninger på typiske eksempler med alle nødvendige forklaringer.

Sidenavigering.

Basert på de oppgitte definisjonene gir vi flere eksempler på rasjonelle ligninger. For eksempel er x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , alle rasjonelle ligninger.

Fra de viste eksemplene er det klart at rasjonelle ligninger, så vel som ligninger av andre typer, kan være med én variabel, eller med to, tre osv. variabler. I de følgende avsnittene vil vi snakke om å løse rasjonelle ligninger med én variabel. Løse ligninger i to variabler og dem et stort antall fortjener spesiell oppmerksomhet.

I tillegg til å dele rasjonelle ligninger med antall ukjente variabler, er de også delt inn i heltall og brøk. La oss gi de tilsvarende definisjonene.

Definisjon.

Den rasjonelle ligningen kalles hel, hvis både venstre og høyre del er heltall rasjonelle uttrykk.

Definisjon.

Hvis minst en av delene av en rasjonell ligning er et brøkuttrykk, kalles en slik ligning brøkdel rasjonell(eller brøkrasjonal).

Det er klart at hele ligninger ikke inneholder divisjon med en variabel, tvert imot inneholder rasjonelle brøklikninger nødvendigvis divisjon med en variabel (eller en variabel i nevneren). Så 3 x+2=0 og (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– dette er hele rasjonelle ligninger, begge deler er hele uttrykk. A og x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 er eksempler på rasjonelle brøklikninger.

Avsluttende dette punktet, la oss ta hensyn til det faktum at de lineære ligningene og kvadratiske ligningene kjent til dette punktet er hele rasjonelle ligninger.

Løse hele ligninger

En av hovedtilnærmingene for å løse hele ligninger er å redusere dem til likeverdige algebraiske ligninger. Dette kan alltid gjøres ved å utføre følgende ekvivalente transformasjoner av ligningen:

• først blir uttrykket fra høyre side av den opprinnelige heltallsligningen overført til venstre side med motsatt fortegn for å oppnå null på høyre side;
• etter dette, på venstre side av ligningen den resulterende standard visning.

Resultatet er algebraisk ligning, som tilsvarer den opprinnelige heltallsligningen. Så i det meste enkle sakerå løse hele ligninger reduseres til å løse lineære eller kvadratiske ligninger, og i generell sak– løse en algebraisk ligning av grad n. For klarhet, la oss se på løsningen på eksempelet.

Eksempel.

Finn røttene til hele ligningen 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Løsning.

La oss redusere løsningen av hele denne ligningen til løsningen av en ekvivalent algebraisk ligning. For å gjøre dette overfører vi først uttrykket fra høyre side til venstre, som et resultat kommer vi til ligningen 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Og for det andre transformerer vi uttrykket dannet på venstre side til et polynom av standardform ved å fullføre det nødvendige: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Dermed reduseres løsningen av den opprinnelige heltallsligningen til å løse den andregradsligningen x 2 −5·x−6=0.

Vi beregner dens diskriminerende D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, den er positiv, noe som betyr at ligningen har to reelle røtter, som vi finner ved å bruke formelen for røttene til en kvadratisk ligning:

For å være helt sikker, la oss gjøre det sjekke de funnet røttene til ligningen. Først sjekker vi roten 6, erstatter den i stedet for variabelen x i den opprinnelige heltallsligningen: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, som er det samme, 63=63. Dette er en gyldig numerisk ligning, derfor er x=6 faktisk roten til ligningen. Nå sjekker vi roten −1, vi har 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, hvorfra 0=0 . Når x=−1, blir den opprinnelige ligningen også til en korrekt numerisk likhet, derfor er x=−1 også en rot av ligningen.

Svare:

6 , −1 .

Her bør det også bemerkes at begrepet "grad av hele ligningen" er assosiert med representasjonen av en hel ligning i form av en algebraisk ligning. La oss gi den tilsvarende definisjonen:

Definisjon.

Kraften til hele ligningen kalles graden av en ekvivalent algebraisk ligning.

I følge denne definisjonen har hele ligningen fra forrige eksempel andre grad.

Dette kunne vært slutten på å løse hele rasjonelle ligninger, hvis ikke for én ting... Som kjent er det å løse algebraiske ligninger med høyere grad enn den andre forbundet med betydelige vanskeligheter, og for ligninger med grader høyere enn den fjerde er det ingen generelle formler røtter. Derfor, for å løse hele likninger av tredje, fjerde og mer høye grader Ofte må man ty til andre løsningsmetoder.

I slike tilfeller en tilnærming til å løse hele rasjonelle ligninger basert på faktoriseringsmetode. I dette tilfellet følges følgende algoritme:

• først sørger de for at det er en null på høyre side av ligningen for å gjøre dette, overfører de uttrykket fra høyre side av hele ligningen til venstre;
• deretter blir det resulterende uttrykket på venstre side presentert som et produkt av flere faktorer, som lar oss gå videre til et sett med flere enklere ligninger.

Den gitte algoritmen for å løse en hel ligning gjennom faktorisering krever en detaljert forklaring ved hjelp av et eksempel.

Eksempel.

Løs hele ligningen (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Løsning.

Først, som vanlig, overfører vi uttrykket fra høyre side til venstre side av ligningen, og ikke glemmer å endre tegnet, får vi (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Her er det ganske åpenbart at det ikke er tilrådelig å transformere venstre side av den resulterende ligningen til et polynom av standardformen, siden dette vil gi en algebraisk ligning av formens fjerde grad x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, hvis løsning er vanskelig.

På den annen side er det åpenbart at på venstre side av den resulterende ligningen kan vi x 2 −10 x+13 , og dermed presentere det som et produkt. Vi har (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Den resulterende ligningen er ekvivalent med den opprinnelige hele ligningen, og den kan på sin side erstattes av et sett med to andregradsligninger x 2 −10·x+13=0 og x 2 −2·x−1=0. Finne sine røtter ved kjente formler røtter gjennom diskriminanten er ikke vanskelig, røttene er like. De er de ønskede røttene til den opprinnelige ligningen.

Svare:

Også nyttig for å løse hele rasjonelle ligninger metode for å introdusere en ny variabel. I noen tilfeller lar den deg gå til ligninger hvis grad er lavere enn graden til den opprinnelige hele ligningen.

Eksempel.

Finn de virkelige røttene til en rasjonell ligning (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Løsning.

Å redusere hele denne rasjonelle ligningen til en algebraisk ligning er mildt sagt ikke en veldig god idé, siden vi i dette tilfellet vil komme til behovet for å løse en fjerdegradsligning som ikke har rasjonelle røtter. Derfor må du se etter en annen løsning.

Her er det lett å se at du kan introdusere en ny variabel y og erstatte uttrykket x 2 +3·x med den. Denne erstatningen fører oss til hele ligningen (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , som, etter å ha flyttet uttrykket −2·(y−4) til venstre side og påfølgende transformasjon av uttrykket dannet der, reduseres til en andregradsligning y 2 +4·y+3=0. Røttene til denne ligningen y=−1 og y=−3 er enkle å finne, for eksempel kan de velges basert på teoremet invers til Vietas teorem.

Nå går vi videre til den andre delen av metoden for å introdusere en ny variabel, det vil si å utføre en omvendt erstatning. Etter å ha utført den omvendte substitusjonen får vi to likninger x 2 +3 x=−1 og x 2 +3 x=−3, som kan skrives om til x 2 +3 x+1=0 og x 2 +3 x+3 =0 . Ved å bruke formelen for røttene til en kvadratisk ligning, finner vi røttene til den første ligningen. Og den andre andregradsligningen har ingen reelle røtter, siden dens diskriminant er negativ (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Svare:

Generelt, når vi har å gjøre med hele ligninger av høye grader, må vi alltid være forberedt på å søke ikke-standard metode eller en kunstig metode for å løse dem.

Løse rasjonelle brøklikninger

Først vil det være nyttig å forstå hvordan man løser rasjonelle brøklikninger av formen , der p(x) og q(x) er rasjonelle heltallsuttrykk. Og så vil vi vise hvordan man reduserer løsningen av andre brøkrasjonelle ligninger til løsningen av ligninger av den angitte typen.

En av tilnærmingene til å løse ligningen er basert på følgende utsagn: numerisk brøk u/v , der v er et tall som ikke er null (ellers vil vi møte , som er udefinert), er lik null hvis og bare hvis telleren er null, det vil si hvis og bare hvis u=0 . I kraft av denne setningen reduseres løsning av ligningen til å oppfylle to betingelser p(x)=0 og q(x)≠0.

Denne konklusjonen tilsvarer følgende algoritme for å løse en rasjonell brøkligning. For å løse en rasjonell brøkligning av formen trenger du

• løs hele den rasjonelle ligningen p(x)=0 ;
• og sjekk om betingelsen q(x)≠0 er oppfylt for hver rot funnet, mens
• hvis det er sant, er denne roten roten til den opprinnelige ligningen;
• hvis den ikke er oppfylt, er denne roten fremmed, det vil si at den ikke er roten til den opprinnelige ligningen.

La oss se på et eksempel på bruk av den annonserte algoritmen når vi løser en rasjonell brøkligning.

Eksempel.

Finn røttene til ligningen.

Løsning.

Dette er en rasjonell brøkligning, og av formen , hvor p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

I henhold til algoritmen for å løse rasjonelle brøklikninger av denne typen, må vi først løse ligningen 3 x−2=0. Dette lineær ligning, hvis rot er x=2/3.

Det gjenstår å sjekke for denne roten, det vil si å sjekke om den tilfredsstiller betingelsen 5 x 2 −2≠0. Vi erstatter tallet 2/3 i uttrykket 5 x 2 −2 i stedet for x, og vi får . Betingelsen er oppfylt, så x=2/3 er roten til den opprinnelige ligningen.

Svare:

2/3 .

Du kan nærme deg å løse en rasjonell brøkligning fra en litt annen posisjon. Denne ligningen er ekvivalent med heltallsligningen p(x)=0 på variabelen x i den opprinnelige ligningen. Det vil si at du kan holde deg til dette algoritme for å løse en rasjonell brøkligning :

• løs ligningen p(x)=0 ;
• finn ODZ for variabel x;
• slå røtter som tilhører området akseptable verdier, - de er de ønskede røttene til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen.

La oss for eksempel løse en rasjonell brøkligning ved å bruke denne algoritmen.

Eksempel.

Løs ligningen.

Løsning.

Først løser vi den andregradsligningen x 2 −2·x−11=0. Røttene kan beregnes ved å bruke rotformelen for den partall andre koeffisienten vi har D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Og .

For det andre finner vi ODZ til variabelen x for den opprinnelige ligningen. Den består av alle tall for hvilke x 2 +3·x≠0, som er det samme som x·(x+3)≠0, hvorav x≠0, x≠−3.

Det gjenstår å sjekke om røttene som ble funnet i det første trinnet er inkludert i ODZ. Åpenbart ja. Derfor har den opprinnelige rasjonelle brøklikningen to røtter.

Svare:

Merk at denne tilnærmingen er mer lønnsom enn den første hvis ODZ er lett å finne, og er spesielt fordelaktig hvis røttene til ligningen p(x) = 0 er irrasjonelle, for eksempel eller rasjonelle, men med en ganske stor teller og /eller nevner, for eksempel 127/1101 og -31/59. Dette skyldes det faktum at i slike tilfeller vil kontroll av tilstanden q(x)≠0 kreve betydelig beregningsinnsats, og det er lettere å ekskludere fremmede røtter ved å bruke ODZ.

I andre tilfeller, når man løser ligningen, spesielt når røttene til ligningen p(x) = 0 er heltall, er det mer lønnsomt å bruke den første av de gitte algoritmene. Det vil si at det er tilrådelig å umiddelbart finne røttene til hele ligningen p(x)=0, og deretter sjekke om betingelsen q(x)≠0 er oppfylt for dem, i stedet for å finne ODZ, og deretter løse ligningen p(x)=0 på denne ODZ. Dette skyldes at det i slike tilfeller vanligvis er lettere å sjekke enn å finne DZ.

La oss vurdere løsningen av to eksempler for å illustrere de spesifiserte nyansene.

Eksempel.

Finn røttene til ligningen.

Løsning.

La oss først finne røttene til hele ligningen (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, komponert ved hjelp av telleren til brøken. Venstre side av denne ligningen er et produkt, og høyre side er null, derfor, i henhold til metoden for å løse ligninger gjennom faktorisering, tilsvarer denne ligningen et sett med fire ligninger 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tre av disse ligningene er lineære og en er kvadratisk vi kan løse dem. Fra den første ligningen finner vi x=1/2, fra den andre - x=6, fra den tredje - x=7, x=−2, fra den fjerde - x=−1.

Med røttene funnet, er det ganske enkelt å sjekke om nevneren til brøken på venstre side av den opprinnelige ligningen forsvinner, men å bestemme ODZ, tvert imot, er ikke så enkelt, siden for dette må du løse en algebraisk ligning av femte grad. Derfor, la oss gi opp finne ODZ til fordel for å sjekke røttene. For å gjøre dette, erstatter vi dem én etter én i stedet for variabelen x i uttrykket x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, oppnådd etter substitusjon, og sammenlign dem med null: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Dermed er 1/2, 6 og −2 de ønskede røttene til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen, og 7 og −1 er fremmede røtter.

Svare:

1/2 , 6 , −2 .

Eksempel.

Finn røttene til en rasjonell brøkligning.

Løsning.

La oss først finne røttene til ligningen (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Denne ligningen tilsvarer et sett med to ligninger: kvadrat 5 x 2 −7 x−1=0 og lineær x−2=0. Ved å bruke formelen for røttene til en kvadratisk ligning finner vi to røtter, og fra den andre ligningen har vi x=2.

Å sjekke om nevneren går til null ved de funnet verdiene til x er ganske ubehagelig. Og å bestemme utvalget av tillatte verdier for variabelen x i den opprinnelige ligningen er ganske enkelt. Derfor vil vi handle gjennom ODZ.

I vårt tilfelle består ODZ for variabelen x i den opprinnelige rasjonelle brøklikningen av alle tall unntatt de som betingelsen x 2 +5·x−14=0 er oppfylt for. Røttene til denne kvadratiske ligningen er x=−7 og x=2, hvorfra vi trekker en konklusjon om ODZ: den består av alle x slik at .

Det gjenstår å sjekke om de funnet røttene og x=2 tilhører utvalget av akseptable verdier. Røttene tilhører, derfor er de røttene til den opprinnelige ligningen, og x=2 hører ikke hjemme, derfor er det en fremmed rot.

Svare:

Det vil også være nyttig å dvele separat ved tilfellene når det i en rasjonell brøkligning av formen er et tall i telleren, det vil si når p(x) er representert med et tall. Samtidig

• hvis dette tallet ikke er null, har ligningen ingen røtter, siden en brøk er lik null hvis og bare hvis telleren er lik null;
• hvis dette tallet er null, er roten av ligningen et hvilket som helst tall fra ODZ.

Eksempel.

Løsning.

Siden telleren til brøken på venstre side av ligningen inneholder et tall som ikke er null, kan ikke verdien av denne brøken være lik null for enhver x. Derfor har denne ligningen ingen røtter.

Svare:

ingen røtter.

Eksempel.

Løs ligningen.

Løsning.

Telleren til brøken på venstre side av denne rasjonelle brøklikningen inneholder null, så verdien av denne brøken er null for enhver x som den gir mening for. Med andre ord, løsningen på denne ligningen er en hvilken som helst verdi av x fra ODZ til denne variabelen.

Det gjenstår å bestemme dette området av akseptable verdier. Den inkluderer alle verdier av x der x 4 +5 x 3 ≠0. Løsningene til likningen x 4 +5 x 3 =0 er 0 og −5, siden denne likningen tilsvarer likningen x 3 (x+5)=0, og den igjen tilsvarer kombinasjonen av to likninger x 3 =0 og x +5=0, hvorfra disse røttene er synlige. Derfor er det ønskede området av akseptable verdier hvilken som helst x unntatt x=0 og x=−5.

Dermed har en rasjonell brøkligning uendelig mange løsninger, som er alle tall bortsett fra null og minus fem.

Svare:

Til slutt er det på tide å snakke om å løse rasjonelle brøklikninger av vilkårlig form. De kan skrives som r(x)=s(x), der r(x) og s(x) er rasjonelle uttrykk, og minst ett av dem er brøk. Når vi ser fremover, la oss si at løsningen deres kommer ned til å løse ligninger av den formen som allerede er kjent for oss.

Det er kjent at overføring av et ledd fra en del av ligningen til en annen med motsatt fortegn fører til ekvivalent ligning, derfor er ligningen r(x)=s(x) ekvivalent med ligningen r(x)−s(x)=0.

Vi vet også at alle , identisk lik dette uttrykket, er mulig. Dermed kan vi alltid transformere det rasjonelle uttrykket på venstre side av ligningen r(x)−s(x)=0 til en identisk lik rasjonell brøkdel av formen .

Så vi går fra den opprinnelige rasjonelle brøklikningen r(x)=s(x) til ligningen, og løsningen, som vi fant ut ovenfor, reduseres til å løse ligningen p(x)=0.

Men her er det nødvendig å ta hensyn til det faktum at når du erstatter r(x)−s(x)=0 med , og deretter med p(x)=0, kan området av tillatte verdier til variabelen x utvides .

Følgelig kan den opprinnelige likningen r(x)=s(x) og likningen p(x)=0 som vi kom frem til vise seg å være ulik, og ved å løse likningen p(x)=0 kan vi få røtter som vil være fremmede røtter til den opprinnelige ligningen r(x)=s(x) . Du kan identifisere og ikke inkludere fremmede røtter i svaret enten ved å utføre en sjekk eller ved å sjekke at de tilhører ODZ-en til den opprinnelige ligningen.

La oss oppsummere denne informasjonen i algoritme for å løse rasjonell brøkligning r(x)=s(x). For å løse den rasjonelle brøkligningen r(x)=s(x), trenger du

• Få null til høyre ved å flytte uttrykket fra høyre side med motsatt fortegn.
• Utfør operasjoner med brøker og polynomer på venstre side av ligningen, og transformer den dermed til en rasjonell brøkdel av formen.
• Løs ligningen p(x)=0.
• Identifiser og eliminer fremmede røtter, noe som gjøres ved å sette dem inn i den opprinnelige ligningen eller ved å sjekke at de tilhører ODZ-en til den opprinnelige ligningen.

For større klarhet vil vi vise hele kjeden for å løse rasjonelle brøklikninger:
.

La oss se på løsningene til flere eksempler med en detaljert forklaring av løsningsprosessen for å avklare den gitte informasjonsblokken.

Eksempel.

Løs en rasjonell brøkligning.

Løsning.

Vi vil handle i samsvar med løsningsalgoritmen som nettopp er oppnådd. Og først flytter vi leddene fra høyre side av ligningen til venstre, som et resultat går vi videre til ligningen.

I det andre trinnet må vi konvertere det rasjonelle brøkuttrykket på venstre side av den resulterende ligningen til formen av en brøk. For å gjøre dette utfører vi en rollebesetning rasjonelle brøker til en fellesnevner og forenkle det resulterende uttrykket: . Så vi kommer til ligningen.

I neste trinn må vi løse ligningen −2·x−1=0. Vi finner x=−1/2.

Det gjenstår å sjekke om det funnet tallet −1/2 ikke er en ekstern rot av den opprinnelige ligningen. For å gjøre dette kan du sjekke eller finne VA til variabelen x i den opprinnelige ligningen. La oss demonstrere begge tilnærmingene.

La oss begynne med å sjekke. Vi erstatter tallet −1/2 i den opprinnelige ligningen i stedet for variabelen x, og vi får det samme, −1=−1. Substitusjonen gir riktig numerisk likhet, så x=−1/2 er roten til den opprinnelige ligningen.

Nå skal vi vise hvordan det siste punktet i algoritmen utføres gjennom ODZ. Utvalget av akseptable verdier til den opprinnelige ligningen er settet med alle tall unntatt −1 og 0 (ved x=−1 og x=0 forsvinner nevnerne til brøkene). Roten x=−1/2 funnet i forrige trinn tilhører ODZ, derfor er x=−1/2 roten til den opprinnelige ligningen.

Svare:

−1/2 .

La oss se på et annet eksempel.

Eksempel.

Finn røttene til ligningen.

Løsning.

Vi må løse en rasjonell brøkligning, la oss gå gjennom alle trinnene i algoritmen.

Først flytter vi begrepet fra høyre side til venstre, vi får .

For det andre transformerer vi uttrykket dannet på venstre side: . Som et resultat kommer vi til ligningen x=0.

Roten er åpenbar - den er null.

På det fjerde trinnet gjenstår det å finne ut om den funnet roten er fremmed for den opprinnelige rasjonelle brøklikningen. Når det er substituert inn i den opprinnelige ligningen, oppnås uttrykket. Det er åpenbart ikke fornuftig fordi det inneholder divisjon med null. Derfra konkluderer vi med at 0 er en fremmed rot. Derfor har den opprinnelige ligningen ingen røtter.

7, som fører til lign. Av dette kan vi konkludere med at uttrykket i nevneren på venstre side må være lik det på høyre side, det vil si . Nå trekker vi fra begge sider av trippelen: . I analogi, hvorfra og videre.

Kontrollen viser at begge røttene som ble funnet er røtter til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen.

Svare:

Referanser.

• Algebra: lærebok for 8. klasse. generell utdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : syk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Kl. 14. Del 1. Lærebok for elever utdanningsinstitusjoner/ A. G. Mordkovich. - 11. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2009. - 271 s. : syk. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Hele uttrykket er matematisk uttrykk, sammensatt av tall og alfabetiske variabler ved hjelp av operasjonene addisjon, subtraksjon og multiplikasjon. Heltall inkluderer også uttrykk som involverer divisjon med et hvilket som helst annet tall enn null.

Konseptet med et rasjonelt brøkuttrykk

Et brøkuttrykk er et matematisk uttrykk som i tillegg til operasjonene addisjon, subtraksjon og multiplikasjon utført med tall og bokstavvariabler, samt divisjon med et tall som ikke er lik null, også inneholder deling i uttrykk med bokstavvariabler.

Rasjonelle uttrykk er alle hele og brøkuttrykk. Rasjonelle ligninger er ligninger der venstre og høyre side er rasjonelle uttrykk. Hvis venstre og høyre side i en rasjonell ligning er heltallsuttrykk, kalles en slik rasjonell ligning et heltall.

Hvis i en rasjonell ligning er venstre eller høyre side brøkuttrykk, så kalles en slik rasjonell ligning brøk.

Eksempler på rasjonelle brøkuttrykk

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Opplegg for å løse en rasjonell brøkligning

1. Finn fellesnevneren for alle brøkene som inngår i ligningen.

2. Multipliser begge sider av ligningen med en fellesnevner.

3. Løs den resulterende hele ligningen.

4. Sjekk røttene og ekskluder de som får fellesnevneren til å forsvinne.

Siden vi løser rasjonelle brøklikninger, vil det være variabler i nevnerne til brøkene. Det betyr at de vil være en fellesnevner. Og i det andre punktet i algoritmen multipliserer vi med en fellesnevner, så kan det dukke opp fremmede røtter. Ved hvilken fellesnevneren vil være lik null, noe som betyr å multiplisere med det vil være meningsløst. Derfor er det på slutten nødvendig å sjekke de oppnådde røttene.

La oss se på et eksempel:

Løs den rasjonelle brøklikningen: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Vi vil holde oss til generell ordning: La oss først finne fellesnevneren for alle brøkene. Vi får x*(x-5).

Multipliser hver brøk med en fellesnevner og skriv den resulterende hele ligningen.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

La oss forenkle den resulterende ligningen. Vi får:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Vi får en enkel redusert andregradsligning. Vi løser det med noen av kjente metoder, får vi røttene x=-2 og x=5.

Nå sjekker vi de oppnådde løsningene:

Bytt inn tallene -2 og 5 i fellesnevneren. Ved x=-2 forsvinner ikke fellesnevneren x*(x-5), -2*(-2-5)=14. Dette betyr at tallet -2 vil være roten til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen.

Ved x=5 blir fellesnevneren x*(x-5) null. Derfor er ikke dette tallet roten til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen, siden det vil være en divisjon med null.