Hemmelighetene til rask multiplikasjon og divisjon. Aritmetisk gjennomsnitt av flere tall

hemmeligheter rask multiplikasjon og divisjon

1. Multiplikasjon og divisjon med 5, 50, 500 osv.

Multiplikasjon med 5, 50, 500 osv. erstattes av multiplikasjon med 10, 100, 1000 osv., etterfulgt av divisjon med 2 av det resulterende produktet (eller divisjon med 2 og multiplikasjon med 10, 100, 1000 osv. = 100:2 osv.)

54*5=(54*10):2=540:2=*5 = (54:2)*10= 270).

For å dele et tall på 5,50, 500 osv., må du dele dette tallet på 10 100, 1000 osv. og gange med 2.

10800: 50 = 10800:100*2 =216

10800: 50 = 10800*2:100 =216

2. Multiplikasjon og divisjon med 25, 250, 2500 osv.

Å multiplisere med 25, 250, 2500 osv. erstattes med å multiplisere med 100, 1000, 10000 osv. og resultatet delt på = 100: 4)

542*25=(542*100):4=13*25=248: 4*100 = 6200)

(hvis tallet er delelig med 4, så tar ikke multiplikasjonen tid, enhver elev kan gjøre det).

For å dele et tall med 25, 25,250,2500 osv., må dette tallet deles på 100,1000,10000 osv. og multipliseres med 4

31200: 25 = 31200:100*4 = 1248.

3. Multiplikasjon og divisjon med 125, 1250, 12500 osv.

Multiplikasjon med 125, 1250 osv. erstattes av multiplikasjon med 1000, 10000 osv. og det resulterende produktet må deles på = 1000: 8)

72*125=72*1000:8=9000

Hvis tallet er delelig med 8, utfører vi først divisjonen med 8, og deretter multiplikasjonen med 1000, 10000 osv.

48*125 = 48:8*1000 = 6000

For å dele et tall på 125, 1250 osv., må du dele dette tallet på 1000, 10000 osv. og gange med 8.

7000: 125 = 7000:1000*8 = 56.

4. Multiplikasjon og divisjon med 75, 750 osv.

For å multiplisere et tall med 75, 750 osv., må du dele dette tallet med 4 og multiplisere med 300, 3000 osv. (75 \u003d 300: 4)

48* 75 = 48:4*300 = 3600

For å dele et tall med 75 750 osv., må du dele dette tallet på 300, 3000 osv. og gange med 4

7200: 75 = 7200: 300*4 = 96.

5. Multipliser med 15, 150.

Når du multipliserer med 15, hvis tallet er oddetall, multipliserer du det med 10 og legger til halvparten av det resulterende produktet:

23x15=23x(10+5)=230+115=345;

hvis tallet er partall, handler vi enda enklere - legg til halvparten av tallet og gang resultatet med 10:

18x15=(18+9)x10=27x10=270.

Når vi multipliserer et tall med 150, bruker vi samme teknikk og multipliserer resultatet med 10, fordi 150 = 15x10:

24x150=((24+12)x10)x10=(36x10)x10=3600.

På samme måte, multipliser raskt et tosifret tall (spesielt et partall) med et tosifret tall som slutter på 5:

24*35 = 24*(30 +5) = 24*30+24:2*10 = 720+120=840.

6. Multiplikasjon av tosifrede tall mindre enn 20.

Til ett av tallene må du legge til antall enheter for det andre, gang dette beløpet med 10 og legg til produktet av enhetene til disse tallene:

18x16=(18+6)x10+8x6= 240+48=288.

På den beskrevne måten kan du multiplisere tosifrede tall mindre enn 20, samt tall der samme antall tiere: 23x24 = (23+4)x20+4x6=27x20+12=540+12=562.

Forklaring:

(10+a)*(10+b) = 100 + 10a + 10b + a*b = 10*(10+a+b) + a*b = 10*((10+a)+b) + a* b.

7. Multipliser et tosifret tall med 101.

Den kanskje enkleste regelen er: legg nummeret ditt til seg selv. Multiplikasjon fullført.
Eksempel:

57 * 101 = 5> 5757

Forklaring: (10a+b)*101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b
På samme måte multipliseres tresifrede tall med 1001, firesifrede tall med 10001 osv.

8. Multipliser et tall med 11.

Du bør "spre" sifrene i tallet multiplisert med 11, og legge inn summen av disse sifrene i det resulterende gapet, og hvis denne summen er større enn 9, så, som med vanlig tillegg, skal enheten flyttes til det høyeste sifferet.

Eksempel:
34 * 11 \u003d 374, siden 3 + 4 \u003d 7, plasserer vi de syv mellom de tre og de fire
68 * 11 \u003d 748, siden 6 + 8 \u003d 14, plasserer vi de fire mellom de syv (seks pluss den overførte) og de åtte

Forklaring:
10a+b er et vilkårlig tall, der a er antall tiere, b er antall enheter.

Vi har:
(10a+b)*11 = 10a*11 + b*11 = 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a + 10*(a+b) + b,
hvor vi har en hundrevis a+b dusinvis og b enheter. dvs. resultatet inneholder a*(a+1) hundrevis, to tiere og fem enere.

Vi lager et produkt: 5 enheter, 5+2=7 tiere, 2+6=8 hundrevis, 6+3=9 tusen, 3+4=7 titusener, 4 hundretusener.

43625*11=479875.

Når multiplikatoren er mellom 1000 og 10000 (for eksempel 7543), kan du bruke neste vei multipliser med 11. Del først multiplikatoren 7543 i flater, to sifre hver, og finn deretter produktet av den første flaten (75) til venstre med 11, som angitt ved å multiplisere et tosifret tall med 11. Det resulterende tallet ( 75 * 11 \u003d 725) vil gi hundrevis av produkter, slik at de multipliserte hundrevis av multiplikander. Deretter må vi multiplisere den andre siden (43) med 11, vi får enhetene til produktet: 43*11=473. Til slutt legger vi til de resulterende produktene: 825 hundre. +473=82739. Derfor, 7543*11=82739.

Tenk på et annet eksempel: 8324*11.

83`24; 83 celler *11=913 celler.

24*11=264; 913 celler +264=91564. Derfor, 8324*11=91564.

9. Multipliser med 22, 33, ..., 99.

For å multiplisere et tosifret tall 22.33, ..., 99, må denne multiplikatoren representeres som et produkt av et ensifret tall med 11. Utfør multiplikasjon først med et enkeltsifret tall, og deretter med 11:

15 *33= 15*3*11=45*11=495.

10. Multipliser tosifrede tall med 111.

La oss først ta en multiplikasjon og et slikt tosifret tall, hvor summen av sifrene er mindre enn 10. La oss forklare med numeriske eksempler:

Siden 111=100+10+1, deretter 45*111=45*(100+10+1). Når du multipliserer et tosifret tall, hvis summen av sifrene er mindre enn 10, med 111, er det nødvendig å sette inn to ganger summen av sifrene (dvs. tallene de representerer) av tiere og enhetene 4 + 5 = 9 i midten mellom sifrene. 4500+450+45=4995. Derfor 45*111=4995. Når summen av sifrene i en tosifret multiplikator er større enn eller lik 10, for eksempel 68 * 11, må du legge til sifrene i multiplikatoren (6 + 8) og sette inn 2 enheter av den resulterende summen i midt mellom tallene 6 og 8. Til slutt legger du til 1100 til det kompilerte tallet 6448. Derfor, 68*111=7548.

11. Multipliser med 37.

Når du multipliserer et tall med 37, hvis det gitte tallet er et multiplum av 3, blir det delt på 3 og multiplisert med 111.

27*37=(27:3)*(37*3)=9*111=999

Hvis dette tallet ikke er et multiplum av 3, trekkes 37 fra produktet eller 37 legges til produktet.

23*37=(24-1)*37=(24:3)*(37*3)-37=888-37=851.

12. Kvadring av et hvilket som helst tosifret tall.

Hvis du husker kvadratene til alle tallene fra 1 til 25, er det lett å finne kvadratet til et tosifret tall større enn 25.

For å finne kvadratet av et tosifret tall, må du multiplisere forskjellen mellom dette tallet og 25 med 100 og legge til det resulterende produktet kvadratet av addisjonen av dette tallet til 50 eller kvadratet av dets overskudd over 50.

Tenk på et eksempel:

372=12*100+132=1200+169=1369

(M–25)*100+ (50-M) 2=100M-2500+2500–100M+M2=M2.

13. Multipliser tall nær 100.

Når vi øker (reduserer) en av faktorene med flere enheter, multipliserer vi det resulterende heltall og de adderte (fratrukket) enhetene med en annen faktor og trekker det andre produktet fra det første produktet (legg til de resulterende produktene)

98∙8=(100-2) ∙8=100∙8-2∙8=800-16=784.

Denne teknikken for å representere en av faktorene som en forskjell gjør det enkelt å multiplisere med 9, 99, 999.

For å gjøre dette er det nok å multiplisere tallet med 1000) og trekke tallet som ble multiplisert fra det resulterende heltall: 154x9=154x10-154==1386.

Men det er enda lettere å gjøre barn kjent med regelen - "for å multiplisere et tall med 9 (99, 999) er det nok å trekke fra dette tallet antall tiere (hundrevis, tusen) økt med en, og til det resulterende forskjell legg til tillegget av enhetssifferet til 10 (tillegg opp til tallet som dannes av de to siste (tre) sifrene i dette tallet):

154x9=(154-16)x10+(10-4)=138x10+6=1380+6=1386

14. Multiplikasjon av tosifrede tall, der summen av enheter er 10.

La to bli gitt tosifrede tall, hvis sum er lik 10:

М=10m + n, K=10a + 10 – n. La oss lage deres arbeid.

M * K= (10m+n) * (10a + 10 - n) =100am + 100m - 10mn + 10an + +10n - n2 = m * (a + 1) * 100 + n * (10a + 10 - n) – 10 min = (10m) * * (10 * (a + 1)) + n * (K – 10m).

La oss se på noen eksempler:

17 * 23= 10 * 30 + 7 * 13= 300 + 91= 391;

33 * 67= 30 * 70 + 3 * 37= 2100 + 111= 2211.

15 . Multiplikasjon med et tall skrevet i ni alene.

For å finne produktet av et tall skrevet i ni av et tall som har samme antall sifre med seg, må man trekke et fra multiplikatoren og legge til et annet tall til det resulterende tallet, hvis alle sifrene utfyller sifrene til det angitte resultatet opp til 9.

137 * 999= 136 863;

Tilstedeværelsen av en slik metode sees fra følgende metode for å løse de gitte eksemplene: 8 * 9 = 8 * (10 - 1) = 80 - 8 = 72,

46 * 99= 46 * (100 – 1)= 4600 – 54= 4554.

16. Kvaddre et tall som slutter på 5.

Multipliser antall tiere med neste antall tiere og legg til 25.

15*15 = 225 = 10*20+ 25 (eller 1*2 og tilordne 25 til høyre)

35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 og tilordne 25 til høyre)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 og tilordne 25 til høyre)

Hvordan multiplisere med en kolonne

Multiplikasjon flersifrede tall vanligvis utført i en kolonne, og skriver tall under hverandre slik at sifrene til de samme sifrene er under hverandre (enheter under enheter, tiere under tiere, osv.). For enkelhets skyld skrives vanligvis nummeret som har flere sifre på toppen. Et handlingsskilt er plassert mellom tallene til venstre. Tegn en linje under multiplikatoren. Under linjen skriver du numrene på arbeidet etter hvert som de mottas.

La oss først vurdere multiplikasjonen av et tall med flere verdier med et tall med én verdi. La det være nødvendig å multiplisere 846 med 5:

Å multiplisere 846 med 5 betyr å legge til 5 tall, som hver er lik 846. For å gjøre dette er det nok å ta først 5 ganger 6 enheter, deretter 5 ganger 4 tiere og til slutt 5 ganger 8 hundrevis.

5 ganger 6 enheter = 30 enheter, dvs. 3 tiere. Vi skriver 0 under linjen i stedet for enheter, og husker 3 tiere. For enkelhets skyld, for ikke å huske, kan du skrive 3 over titallene til multiplikanden:

5 ganger 4 tiere = 20 tiere, legg til 3 tiere til = 23 tiere, dvs. 2 hundre og 3 tiere. Vi skriver 3 tiere under streken i stedet for tiere, og husker 2 hundre:

5 ganger 8 hundre = 40 hundre, legg til 2 flere hundre = 42 hundre. Vi skriver under linjen 42 hundre, dvs. 4 tusen og 2 hundre. Dermed viser produktet av 846 x 5 å være 4230:

Vurder nå multiplikasjonen av tall med flere verdier. La det være nødvendig å multiplisere 3826 med 472:

Å multiplisere 3826 med 472 betyr å legge til 472 samme nummer, som hver er lik 3826. For å gjøre dette, legg til 3826 først 2 ganger, deretter 70 ganger, deretter 400 ganger, det vil si multipliser multiplikatoren separat med sifferet til hvert siffer i multiplikatoren og legg de resulterende produktene til ett sum.

2 ganger 3826 = 7652. Vi skriver det resulterende produktet under linjen:

Dette er ikke sluttproduktet, så lenge vi har multiplisert med bare ett siffer i multiplikatoren. Det resulterende nummeret kalles delprodukt. Nå er oppgaven vår å multiplisere multiplikanet med titallet. Men før det må du huske en viktig poeng: hvert delprodukt skal skrives under tallet som multiplikasjonen skjer med.

Multipliser 3826 med 7. Dette vil være det andre delproduktet (26782):

Vi multipliserer multiplikatoren med 4. Dette vil være det tredje delproduktet (15304):

Under det siste delproduktet trekker vi en linje og legger til alle de resulterende delproduktene. Vi får fullføre arbeidet (1 805 872):

Hvis null forekommer i multiplikatoren, multipliseres den vanligvis ikke med den, men går umiddelbart til neste siffer i multiplikatoren:

Når multiplikanten og (eller) multiplikatoren ender på null, kan multiplikasjonen utføres uten å ta hensyn til dem, og på slutten legges det like mange nuller til produktet som det er i multiplikatoren og i multiplikatoren til sammen.

For eksempel må du beregne 23 000 4500. Først multipliser 23 med 45, og ignorer nullene:

Og nå, til høyre, vil vi legge til så mange nuller til det resulterende produktet som det er i multiplikaden og i faktoren sammen. Det viser seg 103.500.000.

Kolonne multiplikasjonskalkulator

Denne kalkulatoren vil hjelpe deg med å utføre kolonnemultiplikasjon. Bare skriv inn multiplikatoren og multiplikatoren og klikk på Beregn-knappen.

Opsjon nr. 3329663

Ved fullføring av oppgave 1-23 er svaret ett siffer, som tilsvarer nummeret på riktig svar eller et tall, en sekvens av bokstaver eller tall. Svaret skal skrives uten mellomrom eller tilleggstegn.

Hvis alternativet er gitt av læreren, kan du legge inn svarene på oppgavene i del C eller laste dem opp til systemet i et av de grafiske formatene. Læreren vil se resultatene av oppgavene i del B og vil kunne vurdere de opplastede svarene til del C. Poengene gitt av læreren vil vises i statistikken din.

Versjon for utskrift og kopiering i MS Word

1. kvadrat,

2. legg til 1.

Den første av dem kvadrerer tallet på skjermen, den andre øker det med 1. Skriv rekkefølgen på kommandoene i et program som konverterer tallet 2 til 36 og inneholder ikke mer enn 4 kommandoer. Angi kun kommandonumre. (For eksempel programmet 2122 - Dette programmet

legg til 1

torget

legg til 1

legg til 1.

Dette programmet konverterer tallet 1 til tallet 6.

Svar:

1. legg til 1,

2. gang med 5.

Den første av dem øker tallet på skjermen med 1, den andre multipliserer det.

For eksempel spesifiserer program 121 følgende sekvens av kommandoer:

legg til 1

gange med 5

legg til 1

Dette programmet konverterer for eksempel tallet 7 til tallet 41.

Skriv i svaret et program som ikke inneholder mer enn fem kommandoer og oversetter tallet 2 til tallet 280.

Svar:

Inngangen til algoritmen er et naturlig tall N. Algoritmen bygger et nytt tall basert på det R på følgende måte.

1. En binær notasjon av et tall bygges N.

2. Ytterligere to sifre legges til denne oppføringen til høyre i henhold til følgende regel:

a) alle sifre i den binære notasjonen legges til, og resten av å dele summen med 2 legges til på slutten av tallet (til høyre). For eksempel konverteres oppføring 10000 til oppføring 100001;

b) de samme handlingene utføres på denne posten - resten av å dele summen av sifre med 2 legges til til høyre.

Posten oppnådd på denne måten (den inneholder to sifre mer enn i posten med det opprinnelige nummeret N) er den binære representasjonen av det ønskede tallet R.

Angi det minste tallet N, hvor resultatet av algoritmen er større enn 97. I svaret skriver du dette tallet i desimalsystem regning.

Svar:

Maskinen mottar et femsifret nummer som inndata. Basert på dette tallet konstrueres et nytt nummer etter følgende regler.

1. Det første, tredje og femte sifferet, samt det andre og fjerde sifferet, legges til separat.

2. De resulterende to tallene skrives etter hverandre i ikke-minkende rekkefølge uten skilletegn.

Eksempel. Opprinnelig nummer: 63 179. Sum: 6 + 1 + 9 = 16; 3 + 7 = 10. Resultat: 1016.

Angi det minste tallet, under behandlingen som maskinen produserer resultatet 621.

Svar:

1. Det første og andre sifferet multipliseres separat, samt det andre og tredje sifferet.

2. De resulterende to tallene skrives etter hverandre i ikke-økende rekkefølge uten skilletegn.

Eksempel. Startnummer: 179. Produkter: 1*7 = 7; 7*9 = 63. Resultat: 637. Angi det minste tallet, ved behandling som maskinen gir resultatet 205.

Svar:

Maskinen mottar et firesifret nummer som inndata. Basert på dette nummeret bygges et nytt nummer i henhold til følgende regler:

1. Det første og andre, samt det tredje og fjerde sifferet i det opprinnelige tallet multipliseres.

Eksempel. Originalnummer: 2466. Produkter: 2 × 4 = 8; 6 x 6 = 36.

Resultat: 368.

Angi det minste tallet, som et resultat av dette vil maskinen returnere tallet 124.

Svar:

Et ord er dannet av bokstavene i det russiske alfabetet. Det er kjent at ordet er dannet i henhold til følgende regler:

a) det er ingen gjentatte bokstaver i ordet;

b) alle bokstaver i ordet går i direkte eller omvendt alfabetisk rekkefølge, kanskje unntatt den første.

Hvilket av de følgende ordene oppfyller alle de følgende betingelsene?

Svar:

Accord-4-utøveren har to lag som er tildelt nummer:

1. trekke fra 1

2. gang med 4

Når du utfører den første av dem, trekker Chord-4 1 fra tallet på skjermen, og utfører det andre, multipliserer dette tallet med 4. Skriv ned rekkefølgen på kommandoene i et program som ikke inneholder mer enn fem kommandoer og konverterer tallet 5 til tallet 62. Hvis det er mer enn ett slikt program, skriv ned noen av dem.

I svaret angir du bare numrene til lagene. Ja, for programmet

gange med 4

du må skrive: 211. Dette programmet konverterer for eksempel tallet 7 til tallet 26.

Svar:

Utøverkalkulatoren har to lag som er tildelt nummer:

1. trekke fra 1

2. del på 3

Ved å utføre den første av dem trekker kalkulatoren 1 fra tallet på skjermen, og utfører den andre deler den på 3 (hvis divisjon er helt umulig, slår kalkulatoren seg av).

Skriv rekkefølgen på instruksjonene i programmet for å få fra nummer 37 nummer 1, som ikke inneholder mer enn 5 instruksjoner, og angir bare antall instruksjoner.

(For eksempel er program 21121 program

del på 3

Dette programmet konverterer for eksempel tallet 60 til tallet 5.)

Svar:

Masha glemte passordet for å starte datamaskinen, men hun husket algoritmen for å få det fra "KBMAM9KBK"-ledetekststrengen: hvis alle sekvenser av "MAM"-tegn erstattes med "RP", "KBK" med "1212", og deretter de tre siste tegnene slettes fra den resulterende strengen, og den resulterende sekvensen blir passordet. Definer et passord:

Svar:

Anya inviterte venninnen Natasha på besøk, men fortalte henne ikke koden fra den digitale låsen til inngangen hennes, men sendte følgende melding: "I sekvensen 4, 1, 9, 3, 7, 5, trekk 3 fra alle tall som er større enn 4, og fjern deretter alle oddetall fra den resulterende sekvensen. Etter å ha fullført handlingene som er angitt i meldingen, mottok Natasha følgende kode for den digitale låsen:

4) 4, 1, 6, 3, 4, 2

Svar:

Lyuba glemte passordet for å starte datamaskinen, men hun husket algoritmen for å få det fra tegnene "QWER3QWER1" i ledeteksten. Hvis alle sekvenser av tegn "QWER" erstattes av "QQ", og kombinasjoner av tegn "3Q" fjernes fra den resulterende strengen, vil den resulterende sekvensen være passordet:

Svar:

Tre-fem-utøveren har to lag som er tildelt nummer:

1. legg til 3,

2. gang med 5.

Når du utfører den første av dem, legger ThreeFive til 3 til tallet på skjermen, og utfører det andre, multipliserer dette tallet med 5.

Skriv rekkefølgen på kommandoene i et program som ikke inneholder mer enn 5 kommandoer og oversetter tallet 1 til tallet 515.

I svaret ditt angir du bare tallene til lagene, ikke sett mellomrom mellom tallene.

Ja, for programmet

gange med 5

legg til 3

du må skrive: 211. Dette programmet konverterer for eksempel tallet 4 til tallet 26.

Svar:

Utøveren Quadrator har to lag som er tildelt nummer:

1. legg til 1,

2. kvadrat.

Den første av disse kommandoene øker tallet på skjermen med 1, den andre - firkanter. Programmet for utførende Quadrator er en sekvens av kommandonumre.

For eksempel er 21211 programmet

torget

legg til 1

torget

legg til 1

Dette programmet konverterer tallet 2 til tallet 27.

Skriv et program som konverterer tallet 2 til tallet 102 og inneholder ikke mer enn 6 instruksjoner. Hvis det er mer enn ett slikt program, skriv ned noen av dem.

Svar:

Maskinen mottar et tresifret nummer som inndata. Basert på dette tallet konstrueres et nytt nummer etter følgende regler.

1. Det første og andre, samt andre og tredje siffer i det opprinnelige nummeret legges til.

2. De resulterende to tallene skrives etter hverandre i synkende rekkefølge (uten skilletegn).

Eksempel. Startnummer: 348. Summer: 3 + 4 = 7; 4 + 8 = 12. Resultat: 127. Angi det minste tallet, som et resultat av dette vil maskinen returnere tallet 1412.

Svar:

Maskinen mottar et firesifret oktalt tall som input. Basert på dette tallet konstrueres et nytt nummer etter følgende regler.

1. Det første og andre, samt tredje og fjerde siffer legges sammen.

2. De resulterende to tallene i det oktale tallsystemet skrives etter hverandre i stigende rekkefølge (uten skilletegn).

Eksempel. Startnummer: 4531. Summer: 4+5 = 9; 3+1 = 4. Resultat: 49. Bestem hvilken av følgende tall kan være et resultat av driften av maskinen.

Svar:

I noen informasjon System informasjon er kodet i seks-bits binære ord. Når data overføres, er deres forvrengning mulig, derfor legges den syvende (kontroll) biten til på slutten av hvert ord slik at summen av bitene til det nye ordet, teller kontroll en, er jevn. For eksempel vil 0 legges til til høyre for ordet 110011, og 1 legges til høyre for ordet 101100.

Etter at ordet er mottatt, behandles det. Samtidig kontrolleres summen av dens sifre, inkludert kontroll. Hvis det er oddetall, betyr det at overføringen av dette ordet mislyktes, og det erstattes automatisk av det reserverte ordet 0000000. Hvis det er partall, betyr det at det ikke var noen feil eller at det var mer enn én feil. I dette tilfellet endres ikke det mottatte ordet.

Opprinnelig melding

1100101 0001001 0011000

ble tatt i form

1100111 0001100 0011000

Hvordan vil den mottatte meldingen se ut etter behandling?

1) 0000000 0001100 0011000

2) 0000000 0000000 0011000

3) 1100111 0000000 0011000

4) 1100111 0001100 0000000

Svar:

Utøverkalkulator1 har to lag som er tildelt nummer:

1. legg til 1,

2. gang med 5.

Ved å utføre den første av dem, legger Kalkulator1 til 1 til tallet på skjermen, og utfører den andre, multipliserer den det med 5.

Programmet for denne utføreren er en sekvens av kommandonumre. For eksempel gir program 121 følgende sekvens av kommandoer:

legg til 1,

multipliser 5,

legg til 1,

Dette programmet konverterer for eksempel tallet 7 til tallet 41. Skriv i svaret et program som ikke inneholder mer enn seks kommandoer og konverterer tallet 1 til tallet 77.

Svar:

CALCULATOR-utøveren har bare to lag som er tildelt nummer:

2. gang med 2

Når du utfører kommando nummer 1, trekker KALKULATOREN 1 fra tallet på skjermen, og når du utfører

kommando nummer 2 multipliserer tallet på skjermen med 2. Skriv et program som inneholder nr

mer enn 4 lag, som fra tallet 3 får tallet 16. Angi kun numrene til lagene.

For eksempel er program 21211 programmet:

gange med 2

som konverterer tallet 1 til tallet 0.

Svar:

Vasya glemte passordet til Windows XP, men han husket algoritmen for å få det fra "B265C42GC4" ledetekststrengen: hvis alle sekvenser av "C4" tegn erstattes av "F16", og deretter slette alt fra den resulterende strengen tresifrede tall, så vil den resulterende sekvensen være passordet. Definer et passord:

Svar:

DvaPyat-utøveren har to lag som er tildelt nummer:

1. trekke fra 2

2. del på 5

Når du utfører den første av dem, trekker TwoFive 2 fra tallet på skjermen, og utfører det andre, deler du dette tallet med 5 (hvis divisjonen er helt umulig, er TwoFive slått av).

Skriv rekkefølgen på kommandoene i et program som ikke inneholder mer enn 5 kommandoer og oversetter tallet 152 til tallet 2.

I svaret ditt angir du bare tallene til lagene, ikke sett mellomrom mellom tallene. Ja, for programmet

del på 5

du må skrive 211. Dette programmet konverterer for eksempel tallet 55 til tallet 7.

Svar:

I noen informasjonssystem er informasjon kodet i binære seks-bits ord. Når data overføres, er deres forvrengning mulig, derfor legges den syvende (kontroll) biten til på slutten av hvert ord slik at summen av bitene til det nye ordet, teller kontroll en, er jevn. For eksempel vil 0 legges til til høyre for ordet 110011, og 1 legges til ordet 101100. Etter å ha mottatt ordet behandles det. Samtidig kontrolleres summen av dens sifre, inkludert kontroll. Hvis det er oddetall, betyr det at overføringen av dette ordet mislyktes, og det erstattes automatisk av det reserverte ordet 0000000. Hvis det er partall, betyr det at det ikke var noen feil eller at det var mer enn én feil. I dette tilfellet endres ikke det mottatte ordet. Den opprinnelige meldingen 1100101 0001001 1111000 ble mottatt som 1100111 0001100 1111000. Hvordan vil den mottatte meldingen se ut etter behandling?

1) 0000000 0001100 1111000

2) 0000000 0000000 1111000

3) 1100101 0000000 1111000

4) 1100111 0001100 0000000

Svar:

Mitya inviterte vennen Vasya på besøk, men fortalte ham ikke koden fra den digitale låsen til inngangen hans, men sendte følgende melding: "I sekvensen 4, 1, 8, 2, 6, del alle tall større enn 3 med 2, og slett deretter alle partall fra den resulterende sekvensen. Etter å ha fullført handlingene som er angitt i meldingen, mottok Vasya følgende kode for den digitale låsen:

Svar:

Kassereren glemte passordet til safen, men han husket algoritmen for å få det fra strengen "AYY1YABC55": hvis du sekvensielt sletter strengene med tegn "YY" og "ABC" fra strengen, og deretter bytter tegnene A og Y, da vil den resulterende sekvensen være passordet. Definer et passord.

(100-96) - første aksjon
320 delt på det som skjedde i parentes - den andre handlingen
gang med fem - den tredje handlingen
pluss 350 - den fjerde handlingen

1 350+320=670:4=167.5=837.5

Relaterte oppgaver:

1. Fyll ut hullene: 18t 4c = kg
6280g = kg g
48ts = kg
26302kg = t c kg
7350kg = q kg
35 kg=g
2. Sammenlign 18c 78kg 1t 878kg
22ts 63kg 2t 263kg
380 000g 38kg
5 kg 320 g 532 g
3kg 490g 349g
3. Fullfør opptaket:
1/4 av et tonn er kg
1/5 av et kilo er g
1/10 av en senter er kg
4. Uttrykk i mindre termer:
86ts =
3t =
25 kg =
2t 3ts =
5. Løs problemet.
Hver av de tre lastebilene fraktet 28 centners korn, og den fjerde - 16 centners. Alle fire lastebilene fraktet tonnevis med korn.
6. Løs problemet.
Butikken hadde med seg 3 tonn vannmeloner. Den første dagen solgte de 900 kg, den andre dagen solgte de dobbelt så mye som den første dagen, og den tredje dagen resten. Hvor mange kilo vannmeloner ble solgt den tredje dagen?
Løsning:
7. Løs problemet. Hvor mange kilo mel er det i to poser, hvis den ene er 1/4 centner, og den andre er 1/4 centner?
Svar:
8. Løs problemet 1/2 kg søtsaker koster 28 rubler. Hvor mye koster 1 kg søtsaker?
Svar:
9.* Løs problemet.
Gene har 900 rubler. Og Valentine har 9 ganger mindre. Hvor mange rubler skal Gena gi til Valentin slik at de har like penger?
Svar:
10. Løs problemet (muntlig):
72 kg agurker ble delt i 8 kurver likt. Har solgt tre av disse kurvene. Hvor mange kilo med agurker er det igjen?
Svar:

1. Fyll ut de tomme feltene:
3t 005 kg = kg
3t 5 c = kg
19 kg=g
39ts = kg
5830 kg = q kg
46500kg = t kg
2. Sammenlign
14t 260kg 14260kg
7670c 76t 7c
73000g 73kg
260 000g 26kg
345t 34500c
3. Fullfør opptaket:
1/4 av en senter er kg
1/5 av et tonn er ca
1/10 av en kilo er g
4. Uttrykk i større termer:
73ts =
640 kg =
2830g =
3200 kg =
5. Løs problemet.
Hver av de tre kjøperne kjøpte 18 kg gulrøtter, og den fjerde - 46 kg. Alle fire kjøpte gulrøtter
6. Løs problemet. Tre deltakere samlet inn 2 tonn gulrøtter. Det ble samlet inn 500 kg fra den første delen, 2 ganger mer fra den andre delen enn fra den første, og resten av gulrøttene fra den tredje. Hvor mange kilo gulrøtter ble samlet inn fra den tredje tomten?
Løsning:
Svar:
7. Sammenlign
1/4 kg 1/2 kg
1/2c 1/10c
1/10t 1/2c
8. Løs problemet.
En blåhvalhunn går ned 30 tonn i vekt mens den ammer en kalv. Dette er 1/4 av dens totale masse. Bestem massen til blåhvalens mor.
Svar:
9. Regn ut og skriv ned svaret:
816:6
x5
+490
:2
_________
100:2
x7
-250
:100
________
10.* Omorganiser sifrene i tallet 810 slik at det reduseres med 630.
Svar.

For å skrive et rasjonelt tall m / n som en desimalbrøk, må du dele telleren med nevneren. I dette tilfellet skrives kvotienten som endelig eller uendelig desimal.

Skriv det gitte tallet som en desimal.

Løsning. Del telleren for hver brøk med nevneren: en) del 6 med 25; b) del 2 med 3; i) del 1 med 2, og legg deretter den resulterende brøken til enhet - heltallsdelen av dette blandede tallet.

Irreduserbare vanlige brøker hvis nevnere ikke inneholder andre primdelere enn 2 og 5 , skrives som en siste desimalbrøk.

PÅ eksempel 1 når en) nevner 25=5 5; når i) nevneren er 2, så vi fikk de siste desimalene 0,24 og 1,5. Når b) nevneren er 3, så resultatet kan ikke skrives som en siste desimal.

Er det mulig å konvertere en slik desimalbrøk uten å dele opp i en kolonne vanlig brøk, hvis nevner ikke inneholder andre divisorer, bortsett fra 2 og 5? La oss finne ut av det! Hvilken brøk kalles desimal og skrives uten brøklinje? Svar: en brøk med en nevner på 10; 100; 1000 osv. Og hvert av disse tallene er et produkt lik antall toere og femmere. Faktisk: 10=2 5 ; 100=2 5 2 5; 1000=2 5 2 5 2 5 osv.

Derfor må nevneren til en irreduserbar ordinær brøk representeres som et produkt av toere og femmere, og deretter multipliseres med 2 og (eller) 5 slik at toere og femmere blir like. Da vil nevneren til brøken være lik 10 eller 100 eller 1000 osv. For at verdien av brøken ikke skal endres, multipliserer vi telleren til brøken med det samme tallet som nevneren ble multiplisert med.

Uttrykk følgende brøker som en desimal:

Løsning. Hver av disse fraksjonene er irreduserbare. La oss dekomponere nevneren til hver brøk til primære faktorer.

20=2 2 5. Konklusjon: en «fem» mangler.

8=2 2 2. Konklusjon: det er ikke nok tre «femmer».

25=5 5. Konklusjon: to «toere» mangler.

Kommentar. I praksis bruker de ofte ikke faktoriseringen av nevneren, men stiller ganske enkelt spørsmålet: hvor mye skal nevneren multipliseres slik at resultatet blir en enhet med null (10 eller 100 eller 1000 osv.). Og så multipliseres telleren med det samme tallet.

Så i tilfelle en)(eksempel 2) fra tallet 20 kan du få 100 ved å multiplisere med 5, derfor må du gange telleren og nevneren med 5.

Når b)(eksempel 2) fra tallet 8 vil ikke tallet 100 fungere, men tallet 1000 vil fås ved å multiplisere med 125. Både telleren (3) og nevneren (8) til brøken multipliseres med 125.

Når i)(eksempel 2) av 25 får du 100 når du multipliserer med 4. Dette betyr at telleren 8 også må multipliseres med 4.

tidsskrift desimalbrøk. Settet med repeterende sifre kalles perioden for denne brøkdelen. For korthets skyld skrives perioden til en brøk én gang, og omslutter den i parentes.

Når b)(eksempel 1) det gjentatte sifferet er ett og er lik 6. Derfor vil vårt resultat 0,66... skrives slik: 0,(6) . De leste: null heltall, seks i perioden.

Hvis det er ett eller flere engangssiffer mellom komma og første punktum, kalles en slik periodisk brøk en blandet periodisk brøk.

En irreduserbar fellesbrøk hvis nevner sammen med andre multiplikator inneholder multiplikator 2 eller 5 , blir til blandet periodisk brøk.

Skriv tallet som en desimal:

Ethvert rasjonelt tall kan skrives som en uendelig periodisk desimalbrøk.

Skriv som uendelig periodisk brøk tall:

Løsning.

Kjære venner!

Kjære venner! Snart vil du møte (eller allerede har møtt) behovet for å bestemme deg interesseoppgaver. De begynner å løse slike problemer i 5. klasse og fullfører ... men de blir ikke ferdige med å løse problemer for prosenter! Disse oppgavene finnes både i kontrollen og i eksamenene: begge overførbare, og OGE og Unified State Examination. Hva å gjøre? Vi må lære å løse disse problemene. Boken min Hvordan løse problemer med prosenter vil hjelpe deg med dette.

Addisjon av tall.

a+b=c, hvor a og b er ledd, er c summen.
Å finne ukjent begrep, må du trekke det kjente leddet fra summen.

Subtraksjon av tall.

a-b=c, hvor a er minuend, b er subtrahend, c er forskjellen.
For å finne den ukjente minuenden, må du legge til subtrahenden til forskjellen.
For å finne den ukjente subtrahenden, må du trekke forskjellen fra minuenden.

Multiplikasjon av tall.

a b=c, hvor a og b er faktorer, er c produktet.
For å finne den ukjente faktoren må du dele produktet på den kjente faktoren.

Inndeling av tall.

a:b=c, hvor a er utbyttet, b er divisor, c er kvotienten.
For å finne det ukjente utbyttet må du multiplisere divisoren med kvotienten.
Å finne ukjent deler, må du dele utbyttet på kvotienten.

Additionslovene.

a+b=b+a(forskyvning: summen endres ikke fra omorganiseringen av begrepene).
(a+b)+c=a+(b+c)(assosiativt: for å legge til et tredje tall til summen av to ledd, kan du legge til summen av det andre og tredje til det første tallet).

Tilleggstabell.

1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Lover for multiplikasjon.

a b=b a(forskyvning: permutasjon av faktorer endrer ikke produktet).
(a b) c=a (b c)(kombinativ: for å multiplisere produktet av to tall med et tredje tall, kan du multiplisere det første tallet med produktet av det andre og tredje).
(a+b) c=a c+b c(Distributiv lov om multiplikasjon med hensyn til addisjon: for å multiplisere summen av to tall med et tredje tall, kan du multiplisere hvert ledd med dette tallet og legge til resultatene).
(a-b) c=a c-b c(Distributiv lov om multiplikasjon med hensyn til subtraksjon: for å multiplisere forskjellen mellom to tall med et tredje tall, kan du multiplisere med dette tallet redusert og subtrahert separat og subtrahere det andre fra det første resultatet).

Gangetabell.

21=2; 31=3; 41=4; 51=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.

22=4; 32=6; 42=8; 52=10; 62=12; 72=14; 82=16; 9 2=18.

23=6; 33=9; 43=12; 53=15; 63=18; 73=21; 83=24; 9 3=27.

24=8; 34=12; 44=16; 54=20; 64=24; 74=28; 84=32; 9 4=36.

25=10; 35=15; 45=20; 55=25; 65=30; 75=35; 85=40; 9 5=45.

26=12; 36=18; 46=24; 56=30; 66=36; 76=42; 86=48; 9 6=54.

27=14; 37=21; 47=28; 57=35; 67=42; 77=49; 87=56; 97=63.

28=16; 38=24; 48=32; 58=40; 68=48; 78=56; 88=64; 9 8=72.

29=18; 39=27; 49=36; 59=45; 69=54; 79=63; 89=72; 9 9=81.

210=20; 3 10 = 30; 410=40; 510=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.

Divisorer og multipler.

deler naturlig tall en navngi det naturlige tallet som en delt uten rest. (Tallene 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 er divisorer av tallet 24, siden 24 er delelig med hver av dem uten en rest) 1-deler av et hvilket som helst naturlig tall. Største deler ethvert tall er selve tallet.
Flere naturlig tall b er et naturlig tall som er delelig uten rest med b. (Tallene 24, 48, 72, ... er multipler av tallet 24, siden de er delbare med 24 uten en rest). Det minste multiplumet av et tall er selve tallet.

Tegn på delbarhet naturlige tall.

Tallene som brukes ved telling av objekter (1, 2, 3, 4, ...) kalles naturlige tall. Settet med naturlige tall er angitt med bokstaven N.
Tall 0, 2, 4, 6, 8 kalt til og med tall. Tall som ender på partall kalles partall.
Tall 1, 3, 5, 7, 9 kalt merkelig tall. Tall som ender på oddetall kalles oddetall.
Tegn på delbarhet med nummer 2 . Alle naturlige tall som ender på et partall er delbare med 2.
Tegn på delbarhet med tallet 5 . Alle naturlige tall som slutter på 0 eller 5 er delbare med 5.
Tegn på delbarhet med tallet 10 . Alle naturlige tall som ender på 0 er delbare med 10.
Tegn på delbarhet med nummer 3 . Hvis summen av sifrene i et tall er delelig med 3, så er selve tallet delelig med 3.
Tegn på delbarhet med tallet 9 . Hvis summen av sifrene i et tall er delelig med 9, så er selve tallet delelig med 9.
Tegn på delbarhet med nummer 4 . Hvis tallet som består av de to siste sifrene i et gitt tall er delelig med 4, så er selve tallet delelig med 4.
Tegn på delbarhet med tallet 11. Hvis forskjellen mellom summen av sifrene på oddetall og summen av sifrene på partall er delelig med 11, så er selve tallet delelig med 11.

Et primtall er et tall som bare har to divisorer: en og selve tallet.
Et sammensatt tall er et tall som har mer enn to divisorer.
Tallet 1 er verken et primtall eller et sammensatt tall.
Skrive et sammensatt nummer kun som et produkt primtall kalles dekomponering av et sammensatt tall til primfaktorer. Ethvert sammensatt tall kan representeres unikt som et produkt av primfaktorer.

Den største felles deleren av gitte naturlige tall er det største naturlige tallet som hvert av disse tallene er delelig med.
Største felles deler av gitte tall er lik produktet vanlige primfaktorer i utvidelsen av disse tallene. Eksempel. GCD(24, 42)=2 3=6, siden 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, er deres vanlige primfaktorer 2 og 3.
Hvis naturlige tall bare har én felles divisor - én, kalles disse tallene coprime.

Det minste felles multiplum av gitte naturlige tall er det minste naturlige tall som er et multiplum av hvert av de gitte tallene. Eksempel. LCM(24; 42)=168. Akkurat dette lite antall, som er delelig med både 24 og 42.
For å finne LCM for flere gitte naturlige tall, er det nødvendig: 1) å dekomponere hvert av de gitte tallene til primfaktorer; 2) skriv ut utvidelsen av det største av tallene og gang den med de manglende faktorene fra utvidelsene til andre tall.
Det minste multiplumet av to coprimtall er lik produktet av disse tallene.

b Nevneren til en brøk viser hvor mye like deler delt;

en-telleren til brøken, viser hvor mange slike deler som ble tatt. Brøkstreken betyr divisjonstegnet.

Noen ganger, i stedet for en horisontal brøklinje, setter de en skråstrek, og en vanlig brøk skrives slik: a/b.

På riktig brøkdel telleren er mindre enn nevneren.
På uekte brøk telleren er større enn nevneren eller lik nevneren.

Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres eller divideres med det samme naturlige tallet, vil en brøk som er lik det fås.

Å dele både telleren og nevneren for en brøk med deres felles divisor annet enn én kalles brøkreduksjon.

Et tall som består av en heltallsdel og en brøkdel kalles et blandet tall.
For å representere en uekte brøk som et blandet tall, må du dele telleren for brøken med nevneren, så vil den ufullstendige kvotienten være hele delen blandet tall, resten er telleren til brøkdelen, og nevneren forblir den samme.
For å representere et blandet tall som en uekte brøk, må du multiplisere heltallsdelen av det blandede tallet med nevneren, legge til telleren til brøkdelen til resultatet og skrive det i telleren til uekte brøken, og la nevneren stå. det samme.

Stråle Åh med opprinnelse på punktet O, hvorpå enkelt kutt til og retning, kalt koordinatstråle.
Tall som tilsvarer et punkt koordinatstråle, er kalt koordinere dette punktet. For eksempel , A(3). Les: punkt A med koordinat 3.

Den laveste fellesnevneren ( NOZ) av disse irreduserbare fraksjonene er det minste felles multiplum ( INGEN C) nevnere av disse brøkene.
For å redusere brøker til det minste fellesnevner, må du: 1) finne det minste felles multiplum av nevnerne til disse brøkene, det vil være den minste fellesnevneren. 2) finn en tilleggsfaktor for hver av brøkene, som vi deler den nye nevneren på med nevneren til hver brøk. 3) multipliser telleren og nevneren for hver brøk med tilleggsfaktoren.

Fra to brøker samme nevnere den større er den med den største telleren, og den mindre er den med den mindre telleren.
Av to brøker med samme teller, er den med den minste nevneren den største, og den med den største nevneren er den minste.
For å sammenligne brøker med forskjellige tellere og ulike nevnere, må du redusere brøkene til laveste fellesnevner, og deretter sammenligne brøkene med de samme nevnerne.

Operasjoner på vanlige brøker.

For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere, og la nevneren være den samme.
Hvis du trenger å legge til brøker med forskjellige nevnere, reduserer du først brøkene til laveste fellesnevner, og legger deretter til brøkene med samme nevner.
For å trekke fra brøker med de samme nevnerne, trekkes telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og nevneren forblir den samme.
Hvis du trenger å trekke fra brøker med forskjellige nevnere, blir de først ført til en fellesnevner, og deretter trekkes brøker med samme nevner.
Når du utfører addisjons- eller subtraksjonsoperasjoner blandede tall disse operasjonene utføres separat for heltallsdeler og for brøkdeler, og deretter skrives resultatet som et blandet tall.

Produktet av to vanlige brøker er lik en brøk hvis teller er lik produktet av tellerne, og nevneren er produktet av nevnerne til de gitte brøkene.
For å multiplisere en vanlig brøk med et naturlig tall, må du multiplisere telleren til brøken med dette tallet, og la nevneren være den samme.
To tall hvis produkt er lik én kalles gjensidig gjensidige tall.
Når du multipliserer blandede tall, konverteres de først til uekte brøker.
For å finne en brøkdel av et tall, må du multiplisere tallet med den brøken.

For å dele en vanlig brøk med en vanlig brøk, må du multiplisere utbyttet med den gjensidige av divisor.
Når du deler blandede tall, konverteres de først til uekte brøker.
For å dele en vanlig brøk med et naturlig tall, må du multiplisere nevneren til brøken med dette naturlige tallet, og la telleren være den samme. ((2/7):5=2/(75)=2/35).
For å finne et tall med brøken må du dele tallet som tilsvarer det på denne brøken.

En desimalbrøk er et tall skrevet i desimalsystemet og har siffer mindre enn ett. (3,25; 0,1457 osv.)
Desimalplassene etter desimaltegn kalles desimalplasser.
Desimalbrøken vil ikke endres hvis nuller legges til eller forkastes på slutten av desimalbrøken.

For å legge til desimalbrøker, må du: 1) utjevne antall desimaler i disse brøkene; 2) skriv dem ned under hverandre slik at kommaet skrives under kommaet; 3) utfør addisjonen, ignorer kommaet, og sett et komma under kommaene i de summerte brøkene i summen.

For å utføre subtraksjon av desimalbrøker, må du: 1) utjevne antall desimalplasser i minuend og subtrahend; 2) signere det subtraherte under det reduserte slik at kommaet er under kommaet; 3) utfør subtraksjonen, ignorer kommaet, og i resultatet setter du kommaet under kommaene til minuend og subtrahend.

For å multiplisere en desimalbrøk med et naturlig tall, må du multiplisere den med dette tallet, ignorere kommaet, og i det resulterende produktet skiller du like mange sifre til høyre som det var etter desimaltegnet i den gitte brøken.
For å multiplisere en desimalbrøk med en annen, må du utføre multiplikasjonen, ignorere kommaene, og i det resulterende resultatet skille så mange sifre med komma til høyre som det var etter kommaene i begge faktorer sammen.
For å multiplisere en desimal med 10, 100, 1000 osv., må du flytte desimaltegnet til høyre med 1, 2, 3 osv. sifre.
Å multiplisere en desimal med 0,1; 0,01; 0,001 osv., må du flytte kommaet til venstre med 1, 2, 3 osv. sifre.

For å dele en desimalbrøk med et naturlig tall, må du dele brøken på dette tallet, da naturlige tall deles og settes i et privat komma når delingen av hele delen er over.
For å dele en desimal med 10, 100, 1000 osv., må du flytte kommaet til venstre med 1, 2, 3 osv. sifre.

For å dele et tall med en desimal, må du flytte kommaene i dividenden og divisoren like mange sifre til høyre som de er etter desimaltegnet i divisoren, og deretter dele med et naturlig tall.
For å dele en desimal med 0,1; 0,01; 0,001 osv., må du flytte kommaet til høyre med 1, 2, 3 osv. sifre. (Å dele en desimal med 0,1; 0,01; 0,001 osv. er det samme som å multiplisere den desimalen med 10, 100, 1000 osv.)

For å avrunde et tall til et bestemt siffer, understreker vi sifferet til dette sifferet, og så erstatter vi alle sifrene bak det understrekede med nuller, og hvis de er etter desimaltegnet, forkaster vi. Hvis det første null-erstattede eller forkastede sifferet er 0, 1, 2, 3 eller 4, forblir det understrekede sifferet uendret. Hvis det første sifferet erstattet med null eller forkastet er 5, 6, 7, 8 eller 9, økes det understrekede sifferet med 1.

Aritmetisk gjennomsnitt av flere tall.

Det aritmetiske gjennomsnittet av flere tall er kvotienten for å dele summen av disse tallene med antall ledd.

Rekkevidden til en serie tall.

Forskjellen mellom de største og de minste verdiene serier av data kalles rekkevidden av tallserien.

Nummerseriemote.

Nummeret knyttet til høyeste frekvens blant de gitte tallene i serien, kalles modusen til serien av tall.

En hundredel kalles en prosentandel.
For å uttrykke prosenter som en brøk eller et naturlig tall, må du dele prosenten på 100 %. (4 %=0,04; 32 %=0,32).
For å uttrykke et tall i prosent, må du gange det med 100 %. (0,65=0,65 100%=65%; 1,5=1,5 100%=150%).
For å finne en prosentandel av et tall, må du uttrykke prosentandelen som en ordinær eller desimalbrøk og multiplisere den resulterende brøken med det gitte tallet.
For å finne et tall med prosentandelen, må du uttrykke prosentandelen som en vanlig eller desimalbrøk og dele det gitte tallet med denne brøken.
For å finne prosentandelen av det første tallet fra det andre, må du dele det første tallet med det andre og multiplisere resultatet med 100 %.

Kvotienten av to tall kalles forholdet mellom disse tallene. a:b eller a/b er forholdet mellom tallene a og b, dessuten er a forrige ledd, b er neste ledd.
Hvis medlemmer gitt forhold utvekslet, så kalles den resulterende relasjonen den inverse av denne relasjonen. Relasjonene b/a og a/b er gjensidig omvendt.
Forholdet vil ikke endres hvis begge leddene i forholdet multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null.

Likheten mellom to forhold kalles proporsjon.
a:b=c:d. Dette er proporsjoner. Lese: en så gjelder b, hvordan c refererer til d. Tallene a og d kalles de ekstreme medlemmene av proporsjonen, og tallene b og c er de midterste delene av proporsjonen.

Produktet av de ekstreme leddene til en proporsjon er lik produktet av de midterste leddene. For proporsjoner a:b=c:d eller a/b=c/d hovedegenskapen er skrevet slik: a d=b c.
For å finne det ukjente ekstremleddet til andelen, må du dele produktet av gjennomsnittsleddet til andelen med det kjente ekstremleddet.
For å finne det ukjente mellomleddet av andelen, må du dele produktet av de ekstreme leddene til andelen med det kjente mellomleddet.

La verdien y avhenger av størrelsen X. Hvis med en økning X flere ganger størrelsen påøker med samme faktor, deretter slike verdier X og på kalles direkte proporsjonale.

Hvis to mengder er direkte proporsjonale, er forholdet mellom to vilkårlige verdier av den første mengden lik forholdet mellom de to tilsvarende verdiene for den andre kvantiteten.

Forholdet mellom lengden av segmentet på kartet og lengden på den tilsvarende avstanden på bakken kalles målestokken til kartet.

La verdien på avhenger av størrelsen X. Hvis med en økning X flere ganger størrelsen på reduseres med samme faktor, deretter slike verdier X og på kalles omvendt proporsjonal.

Hvis to mengder er omvendt proporsjonal avhengighet, da er forholdet mellom to vilkårlige verdier av en mengde lik det inverse forholdet mellom de tilsvarende verdiene til den andre mengden.

Et sett er en samling av noen objekter eller tall, kompilert i henhold til noen generelle egenskaper eller lover (mange bokstaver på en side, mange riktige brøker med en nevner på 5, mange stjerner på himmelen osv.).
Sett er sammensatt av elementer og er enten endelige eller uendelige. Et sett som ikke inneholder noe element kalles det tomme settet og betegnes Ø.
Masse av PÅ kalt en delmengde av settet MEN hvis alle elementene i settet PÅ er elementer i settet MEN.
Sett kryss MEN og PÅ er et sett hvis elementer tilhører settet MEN og mange PÅ.
Forening av sett MEN og PÅ er et sett hvis elementer tilhører minst ett av de gitte settene MEN og PÅ.

Sett med tall.

N– sett med naturlige tall: 1, 2, 3, 4,...
Z– sett med heltall: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …
Q er settet med rasjonelle tall som kan representeres som en brøk m/n, hvor m- hel, n- naturlig (-2; 3/5; √9; √25, etc.)

En koordinatlinje er en rett linje der det er gitt en positiv retning, et referansepunkt (punkt O) og et enhetssegment.
Hvert punkt på koordinatlinjen tilsvarer et visst tall, som kalles koordinaten til dette punktet. For eksempel, A(5). Les: punkt A med koordinat fem. AT 3). Les: punkt B med koordinat minus tre.

Modulen til tallet a (skriv ned |a|) kalles avstanden fra origo til punktet som tilsvarer gitt nummer en. Modulverdien til ethvert tall er ikke-negativ. |3|=3; |-3|=3, fordi avstanden fra origo til tallet -3 og til tallet 3 er lik tre enhetssegmenter. |0|=0 .
Ved definisjon av modulen til et tall: |a|=a, hvis a≥0 og |a|=-a, hvis en<0 .

Operasjoner med rasjonelle tall.

Summen av negative tall er et negativt tall. Modulen til summen er lik summen av modulene til leddene (-3-5=-8).

Summen av to tall med forskjellige fortegn har fortegnet til addisjonen med stor modul. For å finne modulen til summen, må du trekke den minste modulen fra den større (-4+6=2; -7+3=-4).

Produktet av to negative tall er et positivt tall. Modulen til produktet er lik produktet av modulene med disse tallene (-5 (-6)=30).

Produktet av to tall med forskjellige fortegn er et negativt tall. Modulen til produktet er lik produktet av modulene med disse tallene (-3 7=-21; 4 (-7)=-28).

Kvotienten av to negative tall er et positivt tall. Modulen til kvotienten er lik kvotienten til modulen til utbytte og divisor (-8:(-2)=4).

Kvotienten av to tall med forskjellige fortegn er et negativt tall. Kvotientmodulen er lik kvotienten til utbytte- og divisormodulene (-20:4=-5; 12:(-2)=-6).

For å skrive et rasjonelt tall m / n som en desimalbrøk, må du dele telleren med nevneren. I dette tilfellet skrives kvotienten enten som en endelig eller uendelig desimalbrøk.
Irreduserbare vanlige brøker, hvis nevnere ikke inneholder andre enkle divisorer, bortsett fra 2 og 5, skrives som en endelig desimalbrøk (3/2=1,5; 1/5=0,2).
En uendelig desimalbrøk der ett eller flere sifre alltid gjentas i samme rekkefølge kalles tidsskrift desimalbrøk. Settet med repeterende sifre kalles perioden for denne brøkdelen. For korthets skyld skrives perioden for brøken én gang, og omslutter den i parentes: 1/3=0,(3); 1/9=0,(1). Hvis det er ett eller flere ikke-repeterende sifre mellom kommaet og den første punktum, så kalles en slik periodisk brøk en blandet periodisk brøk: 7/15=0,4 (6); 5/12=0,41 (6).
En irreduserbar ordinær brøk, hvis nevner, sammen med andre faktorer, inneholder en faktor på 2 eller 5, blir til en blandet periodisk brøk.
Ethvert rasjonelt tall kan skrives som en uendelig periodisk desimalbrøk. Eksempler: 5=5,(0); 3/5=0,6 (0).

En uendelig periodisk desimalbrøk er lik en vanlig brøk, i telleren som er differansen mellom hele tallet etter desimaltegnet og tallet etter desimaltegnet før punktumet, og nevneren består av "ni" og "null". ”, dessuten er det like mange “nier” som det er sifre i perioden, og “nuller” like mange sifre etter desimaltegnet før punktum. Eksempler:

1) 0,41 (6)=(416-41)/900=375/900=5/12

2) 0,10 (6)=(106-10)/900=96/900=8/75

3) 0,6 (54)=(654-6)/990=648/990=36/55

4) 0,(15)=(15-0)/99=15/99=5/33

5) 0,5 (3)=(53-5)/90=48/90=8/15.

Settet med reelle tall.

Noen uendelig ikke-periodisk desimal kalt irrasjonelt tall. Eksempler: π ; √2 ; e etc.
Alle rasjonelle og irrasjonelle tall danner settet med reelle tall. Settet med reelle tall er angitt med bokstaven R.

Medianen av en gitt tallserie.

For å finne medianen til en gitt serie, må du ordne disse tallene i stigende eller synkende rekkefølge. Tallet i midten av den resulterende serien vil være medianen av denne tallserien. Hvis antallet gitte tall er partall, er medianen av serien lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to tallene i midten av serien sortert i stigende eller synkende rekkefølge.

Uttrykk der tall, tegn på aritmetiske operasjoner og parentes kan brukes sammen med bokstaver kalles algebraiske uttrykk.
Bokstavverdier som det algebraiske uttrykket gir mening kalles gyldige bokstavverdier.
Hvis bokstaver i et algebraisk uttrykk erstattes av deres verdier og de angitte handlingene utføres, kalles det resulterende tallet verdien til det algebraiske uttrykket.
To uttrykk sies å være identisk like hvis, for eventuelle tillatte verdier av variablene, de tilsvarende verdiene til disse uttrykkene er like.
En formel er et algebraisk uttrykk skrevet som en likhet som uttrykker forholdet mellom to eller flere variabler. Eksempel: baneformel s=v t(s er avstanden tilbakelagt, v er hastigheten, t er tiden).

Hvis det er et "+"-tegn før parentesene eller det ikke er noe tegn, vil tegnene til de algebraiske begrepene bli bevart når du åpner parentesene.
Hvis parentesene er innledet med " — ”, så når parentesene åpnes, endres tegnene til de algebraiske leddene til motsatte fortegn.

Termer som har samme bokstavdel kalles lignende termer. Å finne den algebraiske summen av like termer kalles å redusere like termer. For å bringe like termer, må du legge til koeffisientene deres og multiplisere resultatet med den vanlige bokstavdelen.

Likhet med en variabel kalles en ligning.
Å løse en ligning betyr å finne settet med røtter. En ligning kan ha én, to, flere, mange røtter eller ingen i det hele tatt.
Hver verdi av variabelen der den gitte ligningen blir til en sann likhet kalles roten til ligningen.
Ligninger som har samme røtter kalles ekvivalente ligninger.
Ethvert ledd i ligningen kan overføres fra en del av likheten til en annen, mens man endrer begrepets fortegn til det motsatte.
Hvis begge sider av ligningen multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, oppnås en ligning som er ekvivalent med denne ligningen.

a-b – positivt tall, deretter a>b.
Hvis, når man sammenligner tallene a og b, forskjellen a-b – et negativt tall, deretter en

Hvis ulikhetene er skrevet med tegn< или >, da kalles de strenge ulikheter.

Hvis ulikheter er skrevet med fortegn ≤ eller ≥, kalles de ikke-strenge ulikheter.

Egenskaper ved numeriske ulikheter.

Hvis en høyre side ulikheter byttes med venstre side, da vil ulikhetstegnet bli reversert. (Hvis en a>b, deretter b ).

Hvis nummer en flere tall b, og nummeret b flere tall c, deretter nummeret en flere tall c. (Hvis en en> b, b> c, deretter en> c).

Hvis det samme tallet legges til på begge sider av ulikheten, endres ikke tegnet på ulikheten. (Hvis en a>b, deretter a+c>b+c, hvor c er et hvilket som helst tall).

Ethvert begrep kan overføres fra en del av ulikheten til en annen ved å endre fortegnet til dette begrepet til det motsatte.

Hvis begge deler av ulikheten multipliseres eller divideres med det samme positive tallet, endres ikke ulikhetens fortegn. (Hvis en a>b; c er et positivt tall, da ac>bc; a/c>b/c).

Hvis begge sider av ulikheten multipliseres eller divideres med det samme negative tallet, blir fortegnet på ulikheten reversert. (Hvis en a>b; c er et negativt tall, da ac ).

Hvis et positivt tall en større enn et positivt tall b, deretter nummeret 1/ en mindre enn antall 1/ b. (Hvis en en> b; en>0; b>0 , deretter 1/ en<1/ b).

tallhull.

Intervallet mellom punktene som tilsvarer tallene a og b gitt på koordinatlinjen representerer det numeriske intervallet mellom tallene a og b. Typer numeriske intervaller: intervall, linjestykke, halvt intervall, Stråle, åpen Stråle. Løsninger av numeriske ulikheter kan avbildes på numeriske intervaller.

en) En ulikhet på formen x
b) En ulikhet på formen x≤a. Svar: (-∞; a].

i) En ulikhet på formen x>a. Svar: (a; +∞).

d) En ulikhet på formen x≥a. Svar: .

G) Dobbel ulikhet av formen a≤x≤b. Svar: .

Rette linjer på et fly.

Gjennom to punkter er det bare én rett linje. Den rette linjen er uendelig.

Kryssende linjer har bare ett felles punkt.

To linjer som skjærer hverandre i rette vinkler kalles vinkelrett. To vinkelrette linjer deler planet i fire rette vinkler.

En enkelt perpendikulær kan trekkes gjennom et gitt punkt til en gitt linje.

Lengden på en vinkelrett trukket fra et gitt punkt til en linje er lik avstanden fra det gitte punktet til denne linjen.

Hvis to linjer ikke skjærer hverandre i et plan, kalles de parallelle linjer.

Segmenter som ligger på parallelle linjer er parallelle.

Gjennom hvert punkt i et plan som ikke ligger på en linje, kan bare én linje trekkes parallelt med den gitte linjen.

Hvis to linjer i et plan er vinkelrett på en tredje linje, så er de parallelle.

To innbyrdes vinkelrette koordinatlinjer som skjærer hverandre i punktet O - origo, form rektangulært koordinatsystem, også kalt det kartesiske koordinatsystemet.

Planet som koordinatsystemet er valgt på kalles koordinatplan. Koordinatlinjene kalles koordinatakser. Horisontal - abscisseaksen (Ox), vertikal - ordinataksen (Oy).

Koordinataksene deler koordinatplanet i fire deler - kvartdeler. Serienumrene til kvartalene telles vanligvis mot klokken.

Ethvert punkt i koordinatplanet er gitt av dets koordinater − abscisse og ordinat. For eksempel, A(3; 4). De leser: punkt A med koordinatene 3 og 4. Her er 3 abscissen, 4 er ordinaten.

To prikker MEN og A 1 kalt symmetrisk til hverandre med hensyn til linjen m hvis rett m vinkelrett på segmentet AA 1 og går gjennom midten. direkte m kalt symmetriakse.

Når du bøyer tegneplanet i en rett linje m- symmetriaksene til de symmetriske figurene vil bli justert.

Rektangelet har to symmetriakser.

Et kvadrat har fire symmetriakser.

Enhver rett linje som går gjennom midten av en sirkel er dens symmetriakse. En sirkel har et uendelig antall symmetriakser.

sentral symmetri.

To prikker MEN og A 1 kalles symmetrisk med hensyn til punktet O hvis punkt O- midten av segmentet AA 1. punkt O kalt senter for symmetri.

Figuren heter sentralt symmetrisk i forhold til punktet O, hvis for hvert punkt i figuren det punktet som er symmetrisk til det i forhold til punktet O, også hører til denne figuren. Eksempler: sirkel, segment, rektangel - sentralt symmetriske figurer.

På koordinatplanet er koordinatene til punkter som er symmetriske om punktet O - opprinnelsen til koordinatene, motsatte tall.

Funksjon.

Avhengighet, der hver verdi av den uavhengige variabelen tilsvarer en enkelt verdi av den avhengige variabelen, kalles en funksjonell avhengighet eller funksjon. Skrive ned: y= f(x). uavhengig variabel x kalt et argument. avhengig variabel y kalles en funksjon.

Settet med verdier som en uavhengig variabel (argument) tar danner omfanget av funksjonen og angir D(x).

Settet med alle verdier til en funksjon kalles funksjonens rekkevidde og er betegnet E(x).

Funksjonen kan defineres på en grafisk, verbal, tabellform eller analytisk måte. Den analytiske måten å definere en funksjon på betyr at avhengigheten mellom variabler x og y spesifiseres ved hjelp av en formel (uttrykk).

En graf av en funksjon er et sett med punkter i koordinatplanet, hvis abscisse er lik verdiene til argumentet, og ordinatene er lik de tilsvarende verdiene til funksjonen.

Invers funksjon.

Regelen for å finne en funksjon invers til en gitt: 1) fra en gitt likhet, uttrykk x gjennom y; 2) i den resulterende likhet, i stedet for x skrive y, men istedet y skrive x. Grafer av gjensidig inverse funksjoner er symmetriske til hverandre med hensyn til den rette linjen y=x (halveringslinjer for I og III koordinatvinkler).

Lineær funksjon.

En funksjon definert av en formel for skjemaet y=kx+b(hvor x er den uavhengige variabelen, k og b er alle tall) kalles en lineær funksjon. Grafen til en lineær funksjon er en rett linje. Koeffisienten k kalles helningen til linjen.

Hvis helningene til linjene som er grafer for lineære funksjoner er forskjellige, så krysser linjene.

Hvis helningene til linjene som er grafer for lineære funksjoner er de samme, så er linjene parallelle.

direkte proporsjon.

Direkte proporsjonalitet er en funksjon gitt av en formel i formen y=kx, hvor x er en uavhengig variabel, k- koeffisient rett proporsjonalitet. En direkte proporsjonal graf er en rett linje som går gjennom origo.

Omvendt proporsjon.

Invers proporsjonalitet er en funksjon gitt av en formel i formen y=k/x, hvor x er en uavhengig variabel forskjellig fra null, k- koeffisient omvendt proporsjonalitet. Den omvendte proporsjonalitetsgrafen er en hyperbel som består av to grener. For k>0 er grenene til hyperbelen plassert i I og III, og for k<0 – во II и IV координатных четвертях.

Lineær ligning med to variabler og dens graf.

Lineær ligning med to variabler kalles en formlikning øks+by=c, hvor x og y- variabler, tall en og b— koeffisienter, antall Med- gratis medlem.

Et par variabelverdier der en lineær ligning med to variabler blir en sann numerisk likhet kalles en løsning på denne ligningen. Løsningen til ligningen er skrevet i parentes. For eksempel er (2; -1) en løsning på ligningen 3x+2y=4 fordi 3 2+2 (-1)=4.

Ligninger med to variabler som har samme løsninger kalles ekvivalente.

Settet med punkter i koordinatplanet hvis koordinater er løsningen på ligningen kalles rute ligninger.

Graf av en lineær ligning med to variabler øks+by=c, der minst én av koeffisientene til variablene ikke er lik null, er rett.

Systemer av lineære ligninger med to variabler.

Et par variabelverdier,å konvertere hver ligning av et system av lineære ligninger med to variabler til en sann likhet kalles løsning av et ligningssystem.

Å løse et ligningssystem betyr å finne alle løsningene eller bevise at det ikke finnes noen løsninger.

For å løse et system av lineære ligninger med to variabler, bruk grafisk metode, substitusjonsmetode og addisjonsmetode.

Metoden er plotte hver ligning inkludert i dette systemet, i ett koordinatplan og funn skjæringspunktene til disse grafene i. Koordinatene til dette punktet (x; y) og vil være beslutning gitt ligningssystem.

Hvis rett krysse, så har ligningssystemet den eneste tingen løsning.

Hvis rett, som er grafene til systemets likninger, er parallelle, deretter ligningssystemet har ingen løsninger.

Hvis rett, som er grafene til systemets likninger, kamp, så har ligningssystemet endeløs mange løsninger.

I en av ligningene er en variabel uttrykt i form av en annen, for eksempel uttrykt y gjennom X.

Erstatt det resulterende uttrykket med y inn i den andre ligningen - en ligning med en variabel oppnås X.

Finn verdien av denne variabelen fra den resulterende ligningen X.

Erstatningsverdi X inn i uttrykket oppnådd i 1) avsnitt og finn verdien av variabelen y.

Par (x; y) er en løsning på dette ligningssystemet.

Multipliser venstre og høyre side av en eller begge ligningene med et tall slik at odds for en av variablene i ligningene viste seg å være motsatte tall.

Brett termin for termin resulterende ligninger - ligningen med en variabel forblir, hvorfra verdien av denne variabelen er funnet.

Erstatt den funnet verdien til variabelen i en av disse ligningene og finn verdien til den andre variabelen.

Det resulterende paret med verdier av variabler fungerer som en løsning på dette ligningssystemet.

Løse systemer med lineære ulikheter med én variabel.

Verdien av en variabel, der hver ulikhet i systemet blir til en sann numerisk ulikhet, kalles løsningen av et system av ulikheter med én variabel.

Algoritme for å løse ulikhetssystemer med én variabel.

Finn settet med løsninger for hver ulikhet i systemet.

Tegn på én koordinatlinje settet med løsninger for hver av ulikhetene.

Skjæringspunktet mellom intervaller - settene med løsninger av disse ulikhetene - er løsningen til dette systemet.

Løsningen av et system av ulikheter kan skrives som en ulikhet eller som et numerisk intervall

Absolutte og relative feil.

Absolutt feil(angitt med Δx) er modulen til forskjellen mellom de gitte og omtrentlige verdiene til det gitte tallet. Δх= |x-x 0 |, hvor x er et gitt tall, er x 0 dens omtrentlige verdi.

Relativ feil(angitt med α) er modulen for forholdet mellom den absolutte feilen og den omtrentlige verdien av tallet. α=|Δx/x 0 |, hvor Δx er den absolutte feilen til tallet x, x 0 er dens omtrentlige verdi.

Side 1 av 1 1