Biografier Kjennetegn Analyse
Utvide
Hjem ›

En ball i 4-dimensjonalt rom. 4D-rotasjon og kulepakking

  • Elementer og vær
  • Vitenskap og teknologi
  • Uvanlige fenomener
  • Naturovervåking
  • Forfatter seksjoner
  • Oppdager historien
  • Ekstrem verden
  • Inforeferanse
  • Filarkiv
  • Diskusjoner
  • Tjenester
  • Infofront
  • Informasjon fra NF OKO
  • RSS eksport
  • Nyttige lenker




    • Viktige emner

    I 1904 foreslo Henri Poincaré at ethvert tredimensjonalt objekt som har visse egenskaper til en 3-sfære kan konverteres til en 3-sfære. Det tok 99 år å bevise denne hypotesen. (Advarsel: En tredimensjonal sfære er ikke hva du tror den er.) Den russiske matematikeren Grigory Perelman beviste Poincarés hundre år gamle formodning og fullførte en katalog over former i tredimensjonale rom.

    Poincaré foreslo at 3-sfæren er unik og ingen andre kompakte 3-manifolder (Ikke-kompakte manifolder er uendelige eller har kanter. Nedenfor vurderes kun kompakte manifolder) har egenskapene som gjør det så enkelt. Mer komplekse 3-manifolder har grenser som står opp som en murvegg, eller flere forbindelser mellom visse områder, som en skogssti som forgrener seg og deretter går sammen igjen. Ethvert tredimensjonalt objekt med egenskapene til en 3-sfære kan transformeres til det selv, så for topologer ser det ut til å være en kopi av det. Perelmans bevis lar oss også svare på det tredje spørsmålet og klassifisere alle eksisterende 3-manifolder.
    Du trenger en god del fantasi for å forestille deg en 3-sfære. Heldigvis har den mye til felles med 2-sfæren, et typisk eksempel på dette er gummien til en rund ballong: den er todimensjonal, siden ethvert punkt på den er definert av bare to koordinater - breddegrad og lengdegrad. Hvis du undersøker et ganske lite område av det under et kraftig forstørrelsesglass, vil det virke som et stykke flatt ark. For et lite insekt som kryper på en ballong, vil det se ut til å være en flat overflate. Men hvis boogeren beveger seg i en rett linje lenge nok, vil den til slutt gå tilbake til utgangspunktet. På samme måte vil vi oppfatte en 3-sfære på størrelse med vårt univers som et "vanlig" tredimensjonalt rom. Etter å ha fløyet langt nok i en hvilken som helst retning, ville vi til slutt ha «omgått» den og havnet tilbake ved utgangspunktet vårt.
    Som du kanskje har gjettet, kalles en n-dimensjonal sfære en n-sfære. For eksempel er 1-sfæren kjent for alle: det er bare en sirkel.

    Matematikere som beviser teoremer om høyere dimensjonale rom trenger ikke forestille seg studieobjektet: de omhandler abstrakte egenskaper, styrt av intuisjoner basert på analogier med færre dimensjoner (slike analogier må behandles med forsiktighet og ikke tas bokstavelig). Vi vil også vurdere 3-sfæren, basert på egenskapene til objekter med færre dimensjoner.
    1. La oss starte med å se på en sirkel og dens omsluttende sirkel. For matematikere er en sirkel en todimensjonal ball, og en sirkel er en endimensjonal kule. Videre er en ball av hvilken som helst størrelse en fylt gjenstand, som ligner en vannmelon, og en kule er overflaten, mer som en ballong. En sirkel er endimensjonal fordi posisjonen til et punkt på den kan spesifiseres med et enkelt tall.

    2. Fra to sirkler kan vi konstruere en todimensjonal sfære, og gjøre en av dem til den nordlige halvkule og den andre til den sørlige halvkule. Det gjenstår bare å lime dem sammen, og 2-sfæren er klar.

    3. Se for deg en maur som kryper fra Nordpolen langs en stor sirkel dannet av prime og 180. meridianer (til venstre). Hvis vi kartlegger banen til de to opprinnelige sirklene (til høyre), ser vi at insektet beveger seg i en rett linje (1) til kanten av den nordlige sirkelen (a), deretter krysser grensen, treffer det tilsvarende punktet på den sørlige sirkelen og fortsetter å følge den rette linjen (2 og 3). Så når mauren igjen kanten (b), krysser den og finner seg igjen på den nordlige sirkelen, skyndende mot startpunktet - Nordpolen (4). Merk at når du reiser rundt i verden på en 2-sfære, blir bevegelsesretningen reversert når du beveger deg fra en sirkel til en annen.

    4. Vurder nå vår 2-sfære og volumet i den (en tredimensjonal ball) og gjør med dem det samme som med en sirkel og en sirkel: ta to kopier av ballen og lim grensene deres sammen. Det er umulig og ikke nødvendig å tydelig vise hvordan baller er forvrengt i fire dimensjoner og blir til en analog av halvkuler. Det er nok å vite at de tilsvarende punktene på overflatene, dvs. 2-sfærer er forbundet med hverandre på samme måte som ved sirkler. Resultatet av å koble sammen to kuler er en 3-sfære - overflaten til en firedimensjonal ball. (I fire dimensjoner, der en 3-kule og en 4-kule eksisterer, er overflaten til et objekt tredimensjonal.) La oss kalle en kule for den nordlige halvkule og den andre for den sørlige halvkule. I analogi med sirkler er polene nå plassert i midten av kulene.

    5. Tenk deg at de aktuelle ballene er store tomme områder. La oss si at en astronaut drar fra Nordpolen på en rakett. Over tid når den ekvator (1), som nå er en kule som omgir den nordlige ballen. Når raketten krysser den, går raketten inn på den sørlige halvkule og beveger seg i en rett linje gjennom sentrum - Sydpolen - til motsatt side av ekvator (2 og 3). Der skjer overgangen til den nordlige halvkule igjen, og den reisende vender tilbake til Nordpolen, d.v.s. til utgangspunktet (4). Dette er scenariet for en tur rundt i verden på overflaten av en 4-dimensjonal ball! Den tredimensjonale sfæren som vurderes er rommet det refereres til i Poincaré-formodningen. Kanskje vårt univers er nettopp en 3-sfære.

    Resonnementet kan utvides til fem dimensjoner og konstruere en 4-sfære, men dette er ekstremt vanskelig å forestille seg. Hvis du limer to n-kuler langs (n-1)-kulene som omgir dem, får du en n-kule som avgrenser (n+1)-kulen.

    Et halvt århundre gikk før saken om Poincaré-formodningen kom i gang. På 60-tallet XX århundre matematikere har bevist lignende utsagn for kuler med fem eller flere dimensjoner. I hvert tilfelle er n-sfæren faktisk den eneste og enkleste n-manifolden. Merkelig nok viste det seg å være lettere å oppnå resultater for flerdimensjonale kuler enn for 3- og 4-sfærer. Beviset for fire dimensjoner dukket opp i 1982. Og bare den originale Poincaré-formodningen om 3-sfæren forble ubekreftet.
    Det avgjørende skrittet ble tatt i november 2002, da Grigory Perelman, en matematiker fra St. Petersburg-avdelingen til Mathematical Institute. Steklov, sendte artikkelen til nettstedet www.arxiv.org, der fysikere og matematikere fra hele verden diskuterer resultatene av deres vitenskapelige aktiviteter. Topologer skjønte umiddelbart sammenhengen mellom den russiske forskerens arbeid og Poincaré-formodningen, selv om forfatteren ikke nevnte det direkte.

    Faktisk løser Perelmans bevis, hvis riktigheten ingen ennå har vært i stand til å stille spørsmål ved, et mye bredere spekter av problemer enn selve Poincaré-formodningen. Geometriseringsprosedyren foreslått av William P. Thurston fra Cornell University tillater en fullstendig klassifisering av 3-manifolder basert på 3-sfæren, unik i sin sublime enkelhet. Hvis Poincaré-formodningen var falsk, dvs. Hvis det var mange rom så enkle som en kule, ville klassifiseringen av 3-manifolder blitt til noe uendelig mye mer komplekst. Takket være Perelman og Thurston har vi en komplett katalog over alle de matematisk mulige formene for tredimensjonalt rom som vårt univers kan ta (hvis vi bare vurderer rom uten tid).

    For bedre å forstå Poincaré-formodningen og Perelmans bevis, bør du se nærmere på topologi. I denne grenen av matematikken spiller formen på en gjenstand ingen rolle, som om den var laget av deig som kan strekkes, komprimeres og bøyes på noen måte. Hvorfor skal vi tenke på ting eller rom laget av imaginær deig? Faktum er at den nøyaktige formen til et objekt - avstanden mellom alle punktene - refererer til et strukturelt nivå kalt geometri. Ved å undersøke et objekt fra en deig identifiserer topologer dets grunnleggende egenskaper som ikke avhenger av den geometriske strukturen. Å studere topologi ligner på å søke etter de vanligste egenskapene folk har ved å se på en "plastisinmann" som kan gjøres om til et bestemt individ.
    I populærlitteraturen er det ofte et skjært utsagn om at fra et topologisk synspunkt er en kopp ikke forskjellig fra en smultring. Faktum er at en kopp deig kan gjøres om til en smultring ved ganske enkelt å knuse materialet, dvs. uten å blende noe eller lage hull. På den annen side, for å lage en smultring fra en ball, må du definitivt lage et hull i den eller rulle den til en sylinder og forme endene, så en ball er ikke en smultring i det hele tatt.
    Topologer er mest interessert i sfæren og smultringoverflatene. Derfor, i stedet for solide kropper, bør du forestille deg ballonger. Topologien deres er fortsatt annerledes fordi en sfærisk ballong ikke kan omdannes til en ringformet, som kalles en torus. Først bestemte forskere seg for å finne ut hvor mange objekter med forskjellige topologier som finnes og hvordan de kan karakteriseres. For 2-manifolder, som vi er vant til å kalle overflater, er svaret elegant og enkelt: alt bestemmes av antall "hull" eller, hva som er det samme, antall håndtak. På slutten av 1800-tallet. Matematikere fant ut hvordan de skulle klassifisere overflater og fant ut at den enkleste av dem var sfæren. Naturligvis begynte topologer å tenke på 3-manifolder: er 3-sfæren unik i sin enkelhet? Den århundrelange historien med å søke etter et svar er full av feiltrinn og mangelfulle bevis.
    Henri Poincaré tok dette spørsmålet nøye opp. Han var en av de to mektigste matematikerne på begynnelsen av 1900-tallet. (den andre var David Gilbert). Han ble kalt den siste universalisten - han jobbet med suksess på alle områder av både ren og anvendt matematikk. I tillegg ga Poincaré enorme bidrag til utviklingen av himmelmekanikk, teorien om elektromagnetisme, samt til vitenskapsfilosofien, som han skrev flere populære bøker om.
    Poincaré ble grunnleggeren av algebraisk topologi, og ved å bruke metodene formulerte han i 1900 en topologisk karakteristikk av et objekt, kalt homotopi. For å bestemme homotopien til en manifold, må du mentalt fordype en lukket sløyfe i den. Deretter bør du finne ut om det alltid er mulig å trekke løkken sammen til et punkt ved å flytte den inne i manifolden. For en torus vil svaret være negativt: hvis du legger en løkke rundt omkretsen av torusen, vil du ikke kunne stramme den til et punkt, fordi smultring "hullet" vil komme i veien. Homotopi er antallet forskjellige baner som kan forhindre at en sløyfe trekker seg sammen.

    På n-sfæren kan enhver løkke, selv en intrikat vridd en, alltid nøstes opp og trekkes sammen til et punkt. (En løkke tillates å passere gjennom seg selv.) Poincaré antok at 3-sfæren er den eneste 3-manifolden som en løkke kan trekkes sammen til et punkt på. Dessverre klarte han aldri å bevise formodningen sin, som senere ble kjent som Poincaré-formodningen.

    Perelmans analyse av 3-manifolder er nært knyttet til geometriseringsprosedyren. Geometri omhandler selve formen til gjenstander og manifolder, ikke lenger laget av deig, men av keramikk. For eksempel er en kopp og en smultring geometrisk forskjellige fordi overflatene deres er buede annerledes. Det sies at en kopp og en smultring er to eksempler på en topologisk torus som får forskjellige geometriske former.
    For å forstå hvorfor Perelman brukte geometrisering, vurder klassifiseringen av 2-manifolder. Hver topologisk overflate er tildelt en unik geometri hvis krumning er jevnt fordelt over manifolden. For eksempel, for en kule, er dette en perfekt sfærisk overflate. En annen mulig geometri for en topologisk sfære er et egg, men dets krumning er ikke jevnt fordelt overalt: den skarpe enden er mer buet enn den butte enden.
    2-manifolder danner tre geometriske typer. Kulen er preget av positiv krumning. En geometrisert torus er flat og har null krumning. Alle andre 2-manifolder med to eller flere "hull" har negativ krumning. De tilsvarer en overflate som ligner på en sal, som buer oppover foran og bak, og nedover til venstre og høyre. Poincaré utviklet denne geometriske klassifiseringen (geometrisering) av 2-manifolder sammen med Paul Koebe og Felix Klein, som Klein-flasken er oppkalt etter.

    Det er et naturlig ønske om å bruke en lignende metode på 3-manifolder. Er det mulig å finne en unik konfigurasjon for hver av dem der krumningen vil bli jevnt fordelt over hele sorten?
    Det viste seg at 3-manifolder er mye mer komplekse enn deres todimensjonale motstykker, og de fleste av dem kan ikke tilordnes en homogen geometri. De skal deles inn i deler som tilsvarer en av de åtte kanoniske geometriene. Denne prosedyren minner om å dekomponere et tall i primfaktorer.

    Hvordan kan en manifold geometriseres og gis jevn krumning overalt? Du må ta litt vilkårlig geometri med forskjellige fremspring og fordypninger, og deretter jevne ut alle uregelmessighetene. På begynnelsen av 90-tallet. XX århundre Hamilton begynte å analysere 3-manifolder ved å bruke Ricci-flytligningen, oppkalt etter matematikeren Gregorio Ricci-Curbastro. Det ligner litt på varmeledningsligningen, som beskriver varmestrømmer som strømmer i et ujevnt oppvarmet legeme til temperaturen blir den samme overalt. På samme måte spesifiserer Ricci-strømningsligningen en endring i krumningen til manifolden som fører til justering av alle fremspring og utsparinger. Hvis du for eksempel starter med et egg, vil det gradvis bli sfærisk.

    Perelman la til et nytt begrep til Riccis strømningsligning. Denne endringen eliminerte ikke særegenhetsproblemet, men det tillot mye mer dybdeanalyse. Den russiske forskeren viste at en "kirurgisk" operasjon kan utføres på en hantelformet manifold: skjær av et tynt rør på begge sider av den nye innsnevringen og forsegl de åpne rørene som stikker ut fra kulene med sfæriske hetter. Deretter bør du fortsette å endre den "opererte" manifolden i samsvar med Ricci-strømningsligningen, og bruke prosedyren ovenfor på alle nye innsnevringer. Perelman viste også at sigarformede trekk ikke kan vises. Dermed kan enhver 3-manifold reduseres til et sett med deler med homogen geometri.
    Når Ricci-flow og "kirurgi" brukes på alle mulige 3-manifolder, vil enhver av dem, hvis den er så enkel som en 3-sfære (det vil si karakterisert ved samme homotopi), nødvendigvis reduseres til samme homogene geometri som og 3-sfære. Dette betyr, fra et topologisk synspunkt, at den aktuelle manifolden er en 3-sfære. Dermed er 3-sfæren unik.

    Verdien av Perelmans artikler ligger ikke bare i beviset for Poincaré-formodningen, men også i nye analysemetoder. Forskere over hele verden bruker allerede resultatene oppnådd av den russiske matematikeren i sitt arbeid og anvender metodene han utviklet på andre områder. Det viste seg at Ricci-strømmen er assosiert med den såkalte renormaliseringsgruppen, som bestemmer hvordan styrken til interaksjoner endres avhengig av partikkelkollisjonsenergien. For eksempel, ved lave energier er styrken til den elektromagnetiske interaksjonen karakterisert ved tallet 0,0073 (omtrent 1/137). Men når to elektroner frontkolliderer med nesten lysets hastighet, nærmer kraften seg 0,0078. Matematikken som beskriver endringen i fysiske krefter er svært lik matematikken som beskriver geometriseringen av manifolder.
    Å øke kollisjonsenergien tilsvarer å studere kraften på mindre avstander. Derfor ligner renormaliseringsgruppen på et mikroskop med variabel forstørrelsesfaktor, som lar deg studere prosessen på forskjellige detaljnivåer. På samme måte er Ricci flow et mikroskop for visning av manifolder. Fremspring og fordypninger som er synlige ved en forstørrelse forsvinner ved en annen. Det er sannsynlig at på Planck-lengdeskalaen (ca. 10 -35 m) ser rommet der vi bor ut som skum med en kompleks topologisk struktur. I tillegg er ligningene for generell relativitet, som beskriver egenskapene til tyngdekraften og universets storskalastruktur, nært knyttet til Ricci-strømningsligningen. Paradoksalt nok har begrepet Perelman lagt til uttrykket brukt av Hamilton sin opprinnelse i strengteori, som utgir seg for å være en kvanteteori om tyngdekraft. Det er mulig at i artiklene til den russiske matematikeren vil forskere finne mye mer nyttig informasjon, ikke bare om abstrakte 3-manifolder, men også om rommet vi bor i.

    For en tid siden dukket det opp to artikler på preprint-nettstedet arXiv.org, viet problemet med den tetteste pakkingen av baller i rom med dimensjon 8 og 24. Til nå var lignende resultater kjent kun for dimensjon 1, 2 og 3 (og ikke alt er så enkelt her, men mer om det nedenfor). Gjennombruddet – og vi snakker om et reelt revolusjonerende gjennombrudd – ble mulig takket være arbeidet til Marina Vyazovskaya, en matematiker av ukrainsk opprinnelse, som nå jobber i Tyskland. Vi skal fortelle historien om denne prestasjonen i ti noveller.

    1.

    På 1500-tallet bodde den kjente hofffiguren og poeten Sir Walter Raleigh i England. Han var først og fremst berømt for det faktum at han en gang kastet den dyre kappen sin i en sølepytt foran dronningen for at Hennes Majestet ikke skulle skitne til føttene hennes. Men det er ikke derfor han er interessant for oss.

    Sir Walter Raleigh hadde en lidenskap - han elsket å rane spanske skip og lete etter El Dorado. Og så en dag så Raleigh en haug med stablede kanonkuler på skipet. Og jeg tenkte (dette skjedde med britiske hoffmenn), sier de, det ville vært fint om det var mulig å finne ut hvor mange kjerner som er i haugen uten å telle dem. Fordelen med slik kunnskap, spesielt hvis du liker å plyndre den spanske flåten, er åpenbar.

    Walter Raleigh

    Raleigh selv var ikke så god i matematikk, så han tildelte dette problemet til sin assistent Thomas Herriot. Han var på sin side sterk i matematikk (Harriott, forresten, er oppfinneren av tegnene ">" og "<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.

    For kommentarer henvendte han seg til sin tids berømte matematiker, Johannes Kepler - på den tiden assistent for Tycho Brahe. Kepler ga ikke noe svar, men han husket problemet. I 1611 publiserte han en liten brosjyre der han diskuterte fire spørsmål: hvorfor bier har sekskantede honningkaker, hvorfor blomsterbladene oftest er gruppert i femmer ( Kepler mente nok bareRosaceae - ca. N+1), hvorfor granatkorn har form av dodekaeder (riktignok uregelmessige) og hvorfor, til slutt, snøflak har form av sekskanter.

    Johannes Kepler

    Brosjyren var ment som en gave, så den var mer en filosofisk og underholdende lesning enn et ekte vitenskapelig arbeid. Kepler assosierte svaret på det første spørsmålet med to forhold - det skal ikke være noen hull mellom cellene, og summen av arealene til cellene skal være minimal. Forfatteren koblet det andre spørsmålet med Fibonacci-tall, og samtalen om snøfnugg fikk Kepler til å snakke om atomsymmetrier.

    Det tredje spørsmålet ga opphav til hypotesen at sekskantet tett pakning(det er på bildet under) er den tetteste (som betyr at dette i matematisk forstand også er under). Kepler anså det selvfølgelig ikke som nødvendig å referere til Harriot. Derfor kalles denne påstanden Kepler-hypotesen. Stiglers lov – også kjent som Arnolds prinsipp – er i aksjon.


    Ja, 7 år etter utgivelsen av denne brosjyren ble hodet til Sir Walter Raleigh kuttet av. Dette hadde imidlertid ingenting med problemet med tett pakking å gjøre.

    2.

    Etter moderne standarder var ikke problemet som Harriot løste vanskelig. Derfor, la oss analysere det mer detaljert. Og samtidig vil vi bedre forstå hvordan sekskantet tett pakking fungerer.

    Så hovedbetingelsen er at haugen med kjerner ikke ruller ut under rulling. Så vi legger ut kjernene på rad på dekket. Vi legger kjernene i neste rad slik at ballene plasseres i hullene mellom kulene i den første raden. Hvis det er n baller i den første raden, så er det n - 1 i den andre raden (fordi det er ett mellomrom mindre mellom ballene enn selve ballene). Den neste raden vil ha en kjerne mindre. Og så videre til vi får en trekant som dette (hvis du ser på oppsettet ovenfra):


    De som husker hva en aritmetisk progresjon er, kan enkelt regne ut at hvis det var n kuler i første rad, så er det n(n + 1)/2 kuler totalt i en slik trekant. Hvis du ser ovenfra, er det praktiske riller mellom ballene. Det er her vi legger det andre laget med kuler. Resultatet er en trekant organisert som den første, bare med én mindre ball på siden. Dette betyr at vi har lagt til n(n - 1)/2 baller til haugen.


    La oss fortsette å legge til lag til vi får et lag med en ball. Vi har en trekantet pyramide av kjerner. For å finne ut hvor mange kjerner det er totalt, må du legge sammen antall kjerner i hvert lag. Hvis det første laget hadde side n, så får vi n lag, som totalt vil gi n(n + 1)(n + 2)/6. Den nysgjerrige leser vil legge merke til at dette er nøyaktig den binomiale koeffisienten C 3 n + 2. Denne kombinatoriske tilfeldigheten er ikke uten grunn, men vi skal ikke fordype oss i den.

    Forresten, i tillegg til denne oppgaven, var Herriot i stand til å bestemme omtrent hvilken andel kjernene opptar i en tilstrekkelig stor beholder, hvis vi tar formen til sistnevnte som en kube. Det viste seg at brøken er π/(3√2) ≈ 0,74048.

    3.

    Hva betyr ordet tetteste i problemstillingen? Raleigh, Harriot og Kepler selv ga ikke noe eksakt svar på dette. Det betydde tettere i en rimelig forstand. Denne formuleringen er imidlertid ikke egnet for matematikk. Det må avklares.

    La oss først gå ned én dimensjon og se hvordan alt fungerer på flyet. For det todimensjonale tilfellet går problemet over i dette: la planet gis et uendelig sett med sirkler som ikke skjærer hverandre i det indre (men muligens berører - det vil si å ha et felles punkt på grensen). La oss tegne en firkant. La oss beregne summen av arealene til bitene av sirkler som faller inne i kvadratet. La oss ta forholdet mellom denne summen og arealet av kvadratet, og vi vil øke siden av kvadratet, se på endringen i forholdet.

    Vi får funksjonen f(a), Hvor en- siden av plassen. Hvis vi er heldige, så denne funksjonen med vekst argumentet vil nærme seg asymptotisk til et visst tall. Dette tallet kalles tettheten til en gitt pakke. Det er viktig at selve funksjonen på et tidspunkt kan gi en verdi større enn tettheten. Faktisk, hvis firkanten er liten, passer den helt i en sirkel og et visst forhold er lik 1. Men vi er interessert i tettheten i gjennomsnitt, det vil si uformelt sett "for en firkant med en tilstrekkelig stor side. ”

    Blant alle slike tettheter kan maksimum finnes. Det er denne, samt emballasjen som implementerer den, som vil bli kalt den tetteste.


    "Den nærmeste pakningen er ikke nødvendigvis den eneste (i asymptotisk forstand). Det er et uendelig antall tette pakninger i 3-dimensjonalt rom, og Kepler visste dette, sier Oleg Musin fra University of Texas i Brownsville.

    Etter at vi har definert begrepet nærmest pakking, er det lett å forstå at en slik definisjon lett kan utvides til et rom med vilkårlig dimensjon n. Faktisk, la oss erstatte sirklene med kuler av den tilsvarende dimensjonen, det vil si et sett med punkter, hvor avstanden til et fast punkt (kalt sentrum) ikke overstiger en viss verdi kalt ballens radius. La oss igjen ordne dem slik at to, i beste fall, berører, og i verste fall ikke har noen felles punkter i det hele tatt. La oss definere den samme funksjonen som i forrige tilfelle, ved å ta volumet til en n-dimensjonal terning og summen av volumene til de tilsvarende n-dimensjonale kulene.

    4.

    Så vi forstår at Keplers hypotese er et problem om den tetteste pakkingen av tredimensjonale kuler i tredimensjonalt rom. Hva med flyet (siden vi begynte med det)? Eller til og med fra en rett linje? Med en rett linje er alt enkelt: en ball på en rett linje er et segment. En rett linje kan dekkes fullstendig med identiske segmenter som krysser hverandre i endene. Med slik dekning, funksjonen f(a) er konstant og lik 1.

    På flyet viste alt seg å være noe mer komplisert. Så la oss starte med et sett med punkter på flyet. Vi sier at dette settet med punkter danner et gitter hvis vi kan finne et vektorpar v og w slik at alle punktene er oppnådd som N*v + M*w, der N og M er heltall. På lignende måte kan et gitter defineres i et rom med vilkårlig store dimensjoner – det krever bare flere vektorer.

    Gitter er viktig av mange grunner (for eksempel er gittersteder der atomer foretrekker å være plassert når det gjelder faste materialer), men for matematikere er de gode fordi de er veldig praktiske å jobbe med. Derfor, fra alle pakkene, skilles det en klasse separat der sentrene til ballene er plassert ved gitternodene. Hvis vi begrenser oss til dette tilfellet, er det bare fem typer gitter på flyet. Den tetteste pakkingen av dem produseres av en der punktene er ordnet i hjørnene til vanlige sekskanter - som honningkaker i bier eller atomer i grafen. Dette faktum ble bevist av Lagrange i 1773. Mer presist: Lagrange var ikke interessert i tette pakninger, men var interessert i kvadratiske former. Allerede i XX ble det klart at fra hans resultater på former følger et resultat på pakkingstettheten for todimensjonale gitter.

    "I 1831 skrev Ludwig Sieber en bok om ternære kvadratiske former. Denne boken fremmer en formodning som tilsvarer Keplers formodning for gitterpakninger. Sieber selv var i stand til å bevise bare en svak form av hypotesen sin og teste den for et stort antall eksempler. Denne boken ble anmeldt av den store Carl Friedrich Gauss. I denne anmeldelsen gir Gauss et virkelig fantastisk bevis, som passer inn i 40 linjer. Dette, som vi nå sier, "Olympiaden"-beviset er forståelig for en videregående elev. Mange matematikere har forsøkt å finne den skjulte meningen i Gauss sitt bevis, men så langt har ingen lykkes, sier Oleg Musin.

    Hva skjer imidlertid hvis vi forlater nettverkstilstanden? Her viser alt seg å være noe mer komplisert. Det første fullverdige forsøket på å behandle denne saken ble gjort av den norske matematikeren Axel Thue. Hvis du ser på siden dedikert til Thue på Wikipedia, vil du ikke finne noe om tett innpakning der. Dette er forståelig - Thue publiserte to verk som minnet mer om essays enn vanlige matematiske verk, der han, slik det virket for ham, fullstendig løste problemet med tett pakking. Problemet var bare at ingen bortsett fra Thue selv ble overbevist av resonnementet hans.

    Laszlo Fejes Toth

    Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons

    Problemet ble til slutt løst av den ungarske matematikeren Laszlo Fejes Toth i 1940. Det viste seg forresten at arrangementet av sirkler på et fly som realiserer den tetteste pakkingen er den eneste.

    5.

    Nært knyttet til tett pakkingsproblemet er kontaktnummerproblemet. La oss se igjen på en sirkel på et fly. Hvor mange sirkler med samme radius kan plasseres rundt den slik at de alle berører den sentrale? Svaret er seks. La oss faktisk se på to nærliggende sirkler som berører vår sentrale. La oss se på avstanden fra sentrum av den sentrale sirkelen til sentrene til disse to. Det er likt 2R, Hvor R- radius av sirkelen. Avstanden mellom sentrene til tilstøtende sirkler overskrider ikke 2R. Ved å beregne vinkelen i sentrum av den sentrale sirkelen ved hjelp av cosinussetningen finner vi at den er ikke mindre enn 60 grader. Summen av alle sentrale vinkler skal gi 360 grader, noe som betyr at det ikke kan være mer enn 6 slike vinkler. Og vi vet plasseringen av sirkler med seks vinkler.

    Det resulterende nummeret kalles flykontaktnummeret. Et lignende spørsmål kan stilles for rom av alle dimensjoner. La enkelheten til løsningen på et fly ikke villede leseren - problemet med kontaktnumre, hvis det er enklere enn problemet med tett pakking, er ikke mye enklere. Men flere resultater har faktisk blitt oppnådd i denne retningen.


    For tredimensjonalt rom ble kontaktnummeret gjenstand for en offentlig strid mellom Isaac Newton selv og James Gregory i 1694. Den første mente at kontaktnummeret skulle være 12, og det andre - det 13. Saken er at det ikke er vanskelig å arrangere 12 baller rundt den sentrale - sentrene til slike baller ligger i toppunktene til et vanlig icosahedron (han har nøyaktig 12 av dem). Men disse ballene berører ikke! Ved første øyekast ser det ut til at de kan flyttes slik at en til, den 13. ballen, kan passe gjennom. Dette er nesten sant: hvis ballene flyttes litt fra hverandre, gjør avstanden mellom sentrene og midten av den sentrale 2R, men totalt 2.06R, da vil 13 baller allerede passe. Men for å berøre baller tok Gregory feil - dette faktum ble bevist av van der Waarden og Schutte i 1953.

    For dimensjon 4 ble dette problemet løst av Oleg Musin i 2003. Der viste kontaktnummeret seg å være 24.

    6.

    I tillegg til disse dimensjonene 1, 2, 3 og 4, er kontaktnumre også kjent i dimensjonene 8 og 24. Hvorfor akkurat disse dimensjonene? Faktum er at det er veldig interessante gitter for dem, kalt E8 og Leach-gitteret.

    Så vi har allerede funnet ut hva et gitter er. Et viktig kjennetegn ved et gitter for matematikk er dets symmetri. Med symmetri mener vi selvfølgelig ikke subjektive fornemmelser (og hvem ville forestille seg dette gitteret i dimensjoner, for eksempel fire?), men antallet forskjellige typer rombevegelser som oversetter dette gitteret til seg selv. La oss forklare med et eksempel.

    La oss ta det samme sekskantede gitteret som realiserer den nærmeste pakkingen på et fly. Det er lett å forstå at gitteret blir til seg selv hvis du forskyver det med vektorene v og w som var i definisjonen. Men i tillegg kan gitteret roteres rundt midten av sekskanten. Og det er 6 slike rotasjoner: 0, 60, 120, 180, 240, 300 grader. I tillegg kan gitteret vises symmetrisk om hvilken som helst symmetriakse til den sammensatte sekskanten. En liten øvelse viser at, uten å telle skift, får vi 12 transformasjoner. Andre gitter har færre slike transformasjoner, så vi sier de er mindre symmetriske.

    Så E8 og Leach-gitteret er utrolig symmetriske gitter. E8 ligger i 8-dimensjonalt rom. Dette gitteret ble oppfunnet i 1877 av russiske matematikere Korkin og Zolotarev. Den består av vektorer, hvis koordinater er heltall, og summen deres er partall. Et slikt gitter, minus forskyvninger, har 696 729 600 transformasjoner. The Lich Grid eksisterer i et tjuefiredimensjonalt rom. Den består av vektorer med heltallskoordinater og betingelsen - summen av koordinatene minus enhver koordinat multiplisert med 4 er delt med 8. Den har et ganske enkelt kolossalt antall symmetrier - 8.315.553.613.086.720.000 stykker.

    Så, i 8-dimensjonalt og 24-dimensjonalt rom, berører kulene som er plassert ved toppunktene til de samme gitterne henholdsvis 240 og 19650 kuler. Overraskende nok er dette nettopp kontaktnumrene (se punkt 5) for mellomrom med tilsvarende dimensjon.

    7.

    La oss nå gå tilbake til det tredimensjonale tilfellet og Keplers hypotese (den vi snakket om helt i begynnelsen). Denne oppgaven viste seg å være mange ganger vanskeligere enn forgjengerne.

    La oss starte med det faktum at det er uendelig mange pakninger med samme tetthet som den sekskantede tette. Vi begynte å legge det ut, og startet med kulene lagt ut ved nodene til det sekskantede gitteret. Men du kan gjøre det annerledes: for eksempel, på det første nivået, brett ballene til en firkant, det vil si slik at toppene til ballene er plassert ved nodene til et allerede firkantet gitter. I dette tilfellet berører hver ball fire naboer. Det andre laget, som i tilfellet med det sekskantede, vil bli plassert på toppen i hullene mellom kulene i det første laget. Denne emballasjen kalles ansiktssentrert kubikkpakning. Dette er forresten den eneste tetteste gitteremballasjen i verdensrommet.

    Ved første øyekast ser det ut til at denne pakningen burde være dårligere, fordi gapene mellom de fire kulene i det første laget er mye større (føles som) enn hullene i den sekskantede tette pakningen. Men når vi plasserer den andre raden, synker kulene - nettopp fordi hullene er større - dypere. Som et resultat, som det viser seg, er tettheten den samme som før. Faktisk er selvfølgelig trikset at en slik pakke får man hvis man ser på den sekskantede fra en annen vinkel.

    Det viser seg at i tredimensjonalt rom er det ikke så vakre unike gitter som for eksempel sekskantet på et plan eller E8 i 8-dimensjonalt rom. Ved første øyekast er det helt uklart hvordan man søker etter den tetteste pakningen i tredimensjonalt rom.

    8.

    Løsningen på Keplers hypotese ble født i flere stadier.

    Først fremsatte Fejes Tóth, den samme ungareren som løste problemet med tett pakking i et ikke-fly, følgende hypotese: for å forstå om pakkingen er nær eller ikke, er det nok å vurdere endelige klynger av kuler. Som vi fant ut, i motsetning til et fly, hvis den sentrale ballen berører 12 naboer, er det hull mellom dem. Derfor foreslo Fejes Toth å studere klynger som består av en sentral ball, dens naboer og naboer til naboer.

    Saken er at denne antagelsen ble gjort på 60-tallet av forrige århundre. Og problemet med å minimere volumet til en slik klynge er i hovedsak et ikke-lineært optimaliseringsproblem for en funksjon på omtrent 150 variabler (hver ball har et senter, den er spesifisert av tre koordinater). Grovt sett må en slik funksjon finne et minimum under noen tilleggsbetingelser. På den ene siden er oppgaven blitt begrenset, men på den andre siden er den helt uoverkommelig fra et beregningsmessig synspunkt for mennesker. Men Fejes Toth var ikke opprørt og sa at veldig snart ville datamaskiner ha den nødvendige datakraften. De vil hjelpe.

    Matematikere likte veldig Fejes Thoths hypotese og de begynte å aktivt jobbe i denne retningen. På begynnelsen av 90-tallet ble estimatene for den maksimale pakkingstettheten av kuler i tredimensjonalt rom gradvis avtagende. Tanken var at estimatet på et tidspunkt ville være lik tettheten til en ansiktssentrert kubisk pakking, og derfor ville Keplers hypotese bli bevist. I løpet av denne tiden publiserte matematikeren Thomas Hales sine første artikler om emballasje. For sitt arbeid valgte han et objekt kalt Delaunay-stjerner (etter den sovjetiske matematikeren Boris Delaunay). Dette var et dristig skritt - i det øyeblikket var effektiviteten til slike gjenstander for å studere emballasjeproblemet tvilsom.

    Etter bare 8 år med hardt arbeid, i 1998, fullførte Hales beviset på Kepler-hypotesen. Han reduserte beviset til et begrenset kombinatorisk søk ​​etter forskjellige strukturer som Delaunay-stjerner. For hver slik kombinatorisk struktur var det nødvendig å maksimere tettheten. Siden datamaskinen normalt bare fungerer med heltall (rett og slett fordi tall i matematikk oftest er uendelige brøker), så bygget Delaunay for hvert tilfelle automatisk en tilnærming ovenfra ved å bruke symbolske rasjonelle beregninger (rasjonelle tall, tross alt, hvis du ikke konverterer dem til desimalbrøker, bare et par heltall). Med denne tilnærmingen fikk han et estimat for maksimal tetthet ovenfra. Som et resultat viste alle estimater seg å være mindre enn de som ble gitt av den ansiktssentrerte kubiske pakningen.

    Mange matematikere ble imidlertid forvirret over situasjonen der en datamaskin ble bygget for å konstruere tilnærmingen. For å bevise at han ikke hadde noen feil i datadelen av beviset, begynte Hales formalisering og verifisering, om enn også ved hjelp av en datamaskin. Dette arbeidet, som ble utført av et ganske stort internasjonalt team, ble fullført i august 2014. Det ble ikke funnet feil i beviset.

    9.

    Korrekturene for dimensjon 8 og 24 krever ikke datamaskin og er noe enklere. For en tid siden ble det innhentet svært gode estimater for å estimere maksimal pakningstetthet i disse dimensjonene. Dette ble gjort av matematikerne Kohn og Elkies i 2003. Dette anslaget (også kalt Kohn-Elkies-grensen) ble forresten funnet av den russiske matematikeren Dmitrij Gorbatsjov fra Tula et par år før Kohn og Elkies selv. Imidlertid publiserte han dette verket på russisk og i magasinet Tula. Kon og Elkies kjente ikke til dette verket, og da de ble fortalt, refererte de forresten til det.

    "Kohn-Elkies-grensen dukket opp på grunnlag av arbeidet til Jean-Frederic Delsarte og våre fantastiske matematikere Grigory Kabatyansky og Vladimir Levenshtein. Det asymptotiske (når det gjelder romdimensjonen) estimatet av pakkingstettheten til kuler i n-dimensjonalt rom, oppnådd av Kabatyansky og Levenshtein, har "stående" siden 1978. Forresten, det var Levenshtein og uavhengig amerikanerne Odlyzhko og Sloan som løste problemet med kontaktnummer i dimensjon 8 og 24 i 1979. De brukte direkte Delsarte-Kabatyansky-Levenshtein-metoden, sier Oleg Musin.


    Kohn og Elkies sine estimater er faktisk korrekte for alle pakninger, men i dimensjon 8 og 24 gir de en veldig god tilnærming. For eksempel er matematikernes estimat bare omtrent 0,0001 prosent større enn tettheten til E8 i åttedimensjonalt rom. Derfor oppsto oppgaven med å forbedre denne vurderingen - tross alt er løsningen, ser det ut til, allerede i nærheten. Dessuten, i 2012, søkte den samme Dmitrij Gorbatsjov om (og vant) et tilskudd fra Dynasty Foundation. I søknaden opplyste han eksplisitt at han planla å bevise pakningstettheten til E8 i åttedimensjonalt rom.

    De sier at Gorbatsjov ble bedt om å komme med en så dristig uttalelse av en annen matematiker, Andrei Bondarenko, egentlig en mentor, en av de vitenskapelige veilederne til Marina Vyazovskaya, den som løste problemet for 8-dimensjonalt rom (og var medforfatter, for 24-dimensjonalt rom). Det er Bondarenko hun takker på slutten av sitt gjennombruddsarbeid. Så Bondarenko og Gorbatsjov lyktes ikke, men Vyazovskaya gjorde det. Hvorfor?

    Marina Vyazovskaya

    Humboldt-universitetet i Berlin

    Kohn-Elkies-estimatet relaterer pakkingstetthet til en egenskap for en eller annen funksjon fra et passende sett. Grovt sett konstrueres det et estimat for hver slik funksjon. Det vil si at hovedoppgaven er å finne en passende funksjon slik at det resulterende estimatet viser seg å være det vi trenger. Så nøkkelingrediensen i konstruksjonen av Vyazovskaya er modulære former. Vi har allerede nevnt dem i forhold til beviset på Fermats siste teorem, som. Dette er et ganske symmetrisk objekt som stadig dukker opp i ulike grener av matematikken. Det var dette verktøysettet som gjorde at vi kunne finne ønsket funksjon.

    I 24-dimensjonalt rom ble estimatet innhentet på samme måte. Dette verket har flere forfattere, men det er basert på den samme prestasjonen til Vyazovskaya (selv om det selvfølgelig er litt tilpasset). Forresten, et annet bemerkelsesverdig faktum ble bevist i arbeidet: Leach-gitteret realiserer den eneste periodiske nærmest pakkingen. Det vil si at alle andre periodiske pakker har en tetthet mindre enn dette. I følge Oleg Musin kan et lignende resultat for periodiske pakninger være sant i dimensjon 4 og 8.

    10.

    Fra et applikasjonssynspunkt er problemet med tett pakking i høydimensjonale rom først og fremst et problem med optimal feilkorrigerende koding.

    La oss forestille oss at Alice og Bob prøver å kommunisere ved hjelp av radiosignaler. Alice sier at hun vil sende Bob et signal bestående av 24 forskjellige frekvenser. Bob vil måle amplituden til hver frekvens. Som et resultat vil han ha et sett med 24 amplituder. De definerer selvfølgelig et punkt i det 24-dimensjonale rommet - det er tross alt 24 av dem. Bob og Alice tar for eksempel Dahl-ordboken og tildeler hvert ord sitt eget sett med 24 amplituder. Det viser seg at vi har kodet ord fra Dahls ordbok med punkter med 24-dimensjonalt rom.

    I en ideell verden er det ikke nødvendig med noe annet. Men ekte datakanaler legger til støy, noe som betyr at Bob under dekoding kan motta et sett med amplituder som ikke tilsvarer et enkelt ord. Men så kan han se på ordet nærmest den tydede versjonen. Hvis det er en, betyr det mest sannsynlig at dette er det. For å alltid kunne gjøre dette, er det nødvendig at plasspunktene er plassert så langt fra hverandre som mulig. Det vil si, for eksempel, hvis støynivået er slik at det introduseres en forvrengning som forskyver resultatet med en vektor med lengde ikke mer enn én, så må de to kodepunktene være nøyaktig i en avstand på minst to. Da, selv med forvrengninger, vil Bobs resultat alltid være nær ett enkelt ord - det som trengs.

    Samtidig ønsker jeg heller ikke å blåse opp mange ord - vi har et ganske begrenset område der vi kan overføre informasjon. For eksempel vil det være rart (og lite effektivt) hvis Alice og Bob begynner å kommunisere i røntgenområdet. Derfor, ideelt sett, bør avstanden mellom tilstøtende kodeord være nøyaktig to. Og dette betyr at ordene er plassert i toppunktene til kuler med radius 1, tett pakket i et 24-dimensjonalt rom.

    Da jeg var førsteårsstudent hadde jeg en heftig krangel med en av klassekameratene mine. Han sa at en firedimensjonal kube ikke kan representeres i noen form, men jeg forsikret at den kan representeres ganske tydelig. Så laget jeg til og med en projeksjon av en hyperkube på vårt tredimensjonale rom fra binders... Men la oss snakke om alt i orden.

    Hva er en hyperkube og firedimensjonalt rom

    Vår vanlige plass har tre dimensjoner. Fra et geometrisk synspunkt betyr dette at tre innbyrdes vinkelrette linjer kan angis i den. Det vil si at for enhver linje kan du finne en andre linje vinkelrett på den første, og for et par kan du finne en tredje linje vinkelrett på de to første. Det vil ikke lenger være mulig å finne en fjerde linje vinkelrett på de eksisterende tre.

    Firedimensjonalt rom skiller seg fra vår bare ved at den har en ytterligere retning. Hvis du allerede har tre innbyrdes vinkelrette linjer, kan du finne en fjerde, slik at den vil være vinkelrett på alle tre.

    Hyperkube det er bare en kube i firedimensjonalt rom.

    Er det mulig å forestille seg et firedimensjonalt rom og en hyperkube?

    Dette spørsmålet er beslektet med spørsmålet: "er det mulig å forestille seg nattverden ved å se på maleriet med samme navn (1495-1498) av Leonardo da Vinci (1452-1519)?"

    På den ene siden vil du selvfølgelig ikke forestille deg hva Jesus så (han sitter vendt mot betrakteren), spesielt siden du ikke vil lukte hagen utenfor vinduet og smake på maten på bordet, du vil ikke høre fuglene synge... Du vil ikke få et fullstendig bilde av hva som skjedde på den tiden kvelden, men det kan ikke sies at du ikke vil lære noe nytt og at bildet ikke er av interesse.

    Situasjonen er lik med spørsmålet om hyperkuben. Det er umulig å forestille seg det helt, men du kan komme nærmere å forstå hvordan det er.

    Konstruksjon av en hyperkube

    0-dimensjonal kube

    La oss starte fra begynnelsen - med en 0-dimensjonal kube. Denne kuben inneholder 0 gjensidig vinkelrette flater, det vil si at den bare er et punkt.

    1-dimensjonal kube

    I endimensjonalt rom har vi bare én retning. Vi flytter punktet i denne retningen og får et segment.

    Dette er en endimensjonal kube.

    2-dimensjonal kube

    Vi har en andre dimensjon, vi forskyver vår endimensjonale kube (segment) i retning av den andre dimensjonen og vi får en firkant.

    Det er en kube i todimensjonalt rom.

    3 dimensjonal kube

    Med ankomsten av den tredje dimensjonen gjør vi det samme: vi flytter kvadratet og får en vanlig tredimensjonal kube.

    4-dimensjonal kube (hyperkube)

    Nå har vi en fjerde dimensjon. Det vil si at vi har til rådighet en retning vinkelrett på alle de tre foregående. La oss bruke det på akkurat samme måte. En firedimensjonal kube vil se slik ut.

    Naturligvis kan tredimensjonale og firedimensjonale kuber ikke avbildes på et todimensjonalt skjermplan. Det jeg tegnet er projeksjoner. Vi skal snakke om anslag litt senere, men foreløpig noen få fakta og tall.

    Antall hjørner, kanter, ansikter

    Vær oppmerksom på at ansiktet til en hyperkube er vår vanlige tredimensjonale kube. Hvis du ser nøye på tegningen av en hyperkube, kan du faktisk finne åtte kuber.

    Projeksjoner og visjon av en beboer i firedimensjonalt rom

    Noen få ord om visjon

    Vi lever i en tredimensjonal verden, men vi ser den som todimensjonal. Dette skyldes det faktum at netthinnen i øynene våre ligger i et plan som bare har to dimensjoner. Dette er grunnen til at vi er i stand til å oppfatte todimensjonale bilder og finne dem lik virkeligheten.

    (Selvfølgelig, takket være overnatting, kan øyet estimere avstanden til et objekt, men dette er en bivirkning forbundet med optikken som er innebygd i øynene våre.)

    Øynene til en innbygger i firedimensjonalt rom må ha en tredimensjonal netthinnen. En slik skapning kan umiddelbart se hele den tredimensjonale figuren: alle dens ansikter og interiører. (På samme måte kan vi se en todimensjonal figur, alle dens ansikter og interiører.)

    Ved hjelp av synsorganene våre er vi derfor ikke i stand til å oppfatte en firedimensjonal kube slik en beboer i et firedimensjonalt rom ville oppfattet den. Akk. Alt som gjenstår er å stole på sinnets øye og fantasi, som heldigvis ikke har noen fysiske begrensninger.

    Men når jeg skildrer en hyperkube på et fly, blir jeg rett og slett tvunget til å gjøre dens projeksjon på todimensjonalt rom. Ta hensyn til dette når du studerer tegningene.

    Kantkryss

    Naturligvis krysser ikke kantene på hyperkuben seg. Kryss vises kun i tegninger. Dette bør imidlertid ikke komme som en overraskelse, for kantene på en vanlig kube på bildene krysser også hverandre.

    Ribbelengder

    Det er verdt å merke seg at alle flater og kanter av en firedimensjonal kube er like. På figuren er de ikke like bare fordi de er plassert i forskjellige vinkler i forhold til synsretningen. Det er imidlertid mulig å rotere en hyperkube slik at alle fremspring har samme lengde.

    Forresten, i denne figuren er åtte kuber, som er ansiktene til en hyperkube, tydelig synlige.

    Hyperkuben er tom inni

    Det er vanskelig å tro, men mellom kubene som binder hyperkuben, er det litt plass (et fragment av firedimensjonalt rom).

    For å forstå dette bedre, la oss se på en todimensjonal projeksjon av en vanlig tredimensjonal kube (jeg gjorde det bevisst noe skjematisk).

    Kan du gjette ut fra det at det er litt plass inne i kuben? Ja, men bare ved å bruke fantasien. Øyet ser ikke dette rommet.

    Dette skjer fordi kantene som ligger i den tredje dimensjonen (som ikke kan avbildes på en flat tegning) nå har blitt til segmenter som ligger i tegningens plan. De gir ikke lenger volum.

    Firkantene som omslutter rommet til kuben overlappet hverandre. Men man kan tenke seg at i den opprinnelige figuren (en tredimensjonal kube) var disse firkantene plassert i forskjellige plan, og ikke den ene oppå den andre i samme plan, slik det skjedde i figuren.

    Situasjonen er nøyaktig den samme med en hyperkube. Kubeflatene til en hyperkube overlapper faktisk ikke, slik det ser ut for oss på projeksjonen, men befinner seg i firedimensjonalt rom.

    Sveiper

    Så en beboer i firedimensjonalt rom kan se et tredimensjonalt objekt fra alle sider samtidig. Kan vi se en tredimensjonal kube fra alle sider samtidig? Med øyet - nei. Men folk har kommet opp med en måte å avbilde alle ansiktene til en tredimensjonal kube samtidig på en flat tegning. Et slikt bilde kalles en skanning.

    Utvikling av en tredimensjonal kube

    Alle vet sikkert hvordan utviklingen av en tredimensjonal kube dannes. Denne prosessen vises i animasjonen.

    For klarhetens skyld er kantene på kubeflatene gjort gjennomskinnelige.

    Det skal bemerkes at vi er i stand til å oppfatte dette todimensjonale bildet bare takket være fantasien vår. Betrakter vi utfoldelsesfasene fra et rent todimensjonalt synspunkt, vil prosessen virke merkelig og slett ikke oversiktlig.

    Det ser ut som det gradvise utseendet til først konturene av forvrengte firkanter, og deretter kryper de på plass samtidig som de får den nødvendige formen.

    Hvis du ser på den utfoldende kuben i retning av en av dens ansikter (fra dette synspunktet ser kuben ut som en firkant), så er prosessen med dannelsen av utfoldingen enda mindre klar. Alt ser ut som firkanter som kryper ut fra den første ruten (ikke den utfoldede kuben).

    Men ikke visuelt skann kun for øye.

    Hvordan forstå 4-dimensjonalt rom?

    Det er takket være fantasien din at du kan hente mye informasjon fra den.

    Utvikling av en firedimensjonal kube

    Det er rett og slett umulig å gjøre den animerte prosessen med å utfolde en hyperkube i det minste noe visuell. Men denne prosessen kan tenkes. (For å gjøre dette, må du se på det gjennom øynene til et firedimensjonalt vesen.)

    Skanningen ser slik ut.

    Alle de åtte kubene som avgrenser hyperkuben er synlige her.

    Kantene som skal justeres når de er brettet er malt med samme farger. Ansikter som parene ikke er synlige for, er grå. Etter bretting skal den øverste siden av den øverste kuben justeres med den nedre kanten av den nederste kuben. (Utfoldingen av en tredimensjonal kube er kollapset på lignende måte.)

    Vær oppmerksom på at etter konvolusjon vil alle flatene til de åtte kubene komme i kontakt, og lukke hyperkuben. Og til slutt, når du forestiller deg prosessen med å brette, ikke glem at når du bretter, er det ikke overlapping av kuber som oppstår, men innpakningen av dem rundt et visst (hyperkubisk) firedimensjonalt område.

    Salvador Dali (1904-1989) skildret korsfestelsen mange ganger, og kors vises i mange av maleriene hans. Maleriet "The Crucifixion" (1954) bruker en hyperkubeskanning.

    Romtid og euklidisk firedimensjonalt rom

    Jeg håper du klarte å forestille deg hyperkuben. Men har du klart å komme nærmere å forstå hvordan den firedimensjonale rom-tiden vi lever i fungerer? Akk, ikke helt.

    Her snakket vi om det euklidiske firdimensjonale rom, men rom-tid har helt andre egenskaper. Spesielt under enhver rotasjon forblir segmentene alltid skråstilt til tidsaksen, enten i en vinkel mindre enn 45 grader, eller i en vinkel større enn 45 grader.

    Jeg viet en serie notater til egenskapene til rom-tid.

    Tredimensjonalitet av bildet

    Verden er tredimensjonal. Bildet er todimensjonalt. En viktig oppgave med maleri og nå fotografi er å formidle rommets tredimensjonalitet. Romerne mestret allerede noen teknikker, så ble de glemt og begynte å vende tilbake til klassisk maleri med renessansen.

    Hovedteknikken for å skape tredimensjonalt rom i maleri er perspektiv. Jernbaneskinnene, som beveger seg bort fra betrakteren, er visuelt smale. Ved maling kan skinnene innsnevres fysisk. I fotografering skjer perspektiv automatisk: Kameraet vil fotografere skinnene så innsnevret som øyet ser dem. Men ikke la det nesten lukke seg: det vil ikke lenger se ut som et perspektiv, men en merkelig figur; Det må være et merkbart gap mellom skinnene, sidene av gaten og bredden av elven.

    Det er viktig å forstå at lineært perspektiv er den mest primitive, realistiske måten å formidle verden på.

    Postnavigering

    Det er ingen tilfeldighet at utseendet er assosiert med teatralsk natur (Florensky, "Omvendt perspektiv"). Konvensjonaliteten og enkelheten ved å formidle en teatralsk scene med liten dybde er veldig egnet for fotografering, som mangler mangfoldet av teknikker som er tilgjengelig i maleri.

    Det er perspektiver som er mye mer interessante enn det lineære. I verkene til kinesiske mestere er det et flytende perspektiv, når objekter er avbildet samtidig nedenfra, over og foran. Det var ikke en teknisk feil av inkompetente artister: den legendariske forfatteren av denne teknikken, Guo Xi, skrev at en slik visning lar en realisere verden i sin helhet. Teknikken til russisk ikonmaleri er lik, der betrakteren kan se karakterens ansikt og rygg på samme tid. En interessant teknikk for ikonmaleri, også funnet blant vesteuropeiske kunstnere, var omvendt perspektiv, der fjerne objekter tvert imot er større enn nære, og understreker viktigheten. Først i våre dager er det slått fast at et slikt perspektiv er riktig: i motsetning til fjerne objekter, oppfattes nærbildet faktisk i omvendt perspektiv (Rauschenbach). Ved å bruke Photoshop kan du oppnå omvendt perspektiv ved å forstørre bakgrunnsobjekter. For en seer som er vant til fotografiets lover, vil et slikt bilde se rart ut.

    Å introdusere hjørnet av en bygning i rammen, hvorfra veggene divergerer i begge retninger, skaper et utseende av et isometrisk perspektiv. Hjernen forstår at veggene er i rette vinkler og arrangerer resten av bildet deretter. Dette perspektivet er mer dynamisk enn det frontale og mer naturlig for nærbildet. Bare introduser endevinklene til objekter og bygninger i nærheten i rammen.

    På grunn av utvidelsen er det isometriske perspektivet stort, noe som sjelden er egnet for et klassisk portrett. Lineært perspektiv, på grunn av innsnevring, formidler bedre mindre følelser.

    På opptaksstadiet har fotografen en rekke verktøy tilgjengelig for å fremheve perspektiv. Gjenstander med lik bredde som strekker seg ut i det fjerne (spor, gater, søyler, furer) ved at de innsnevres og til og med ganske enkelt beveger seg bort, indikerer for betrakteren rommets tredimensjonalitet. Effekten er sterkere hvis du fotograferer fra en lav vinkel for å øke perspektivforvrengningen. Dette er nok for landskapsfotografering, men med en liten bildedybde for interiørfotografering er effekten knapt merkbar. Den kan forbedres litt i etterbehandling ved å begrense toppen av bildet (Transform Perspective). Men i et landskap kan et overdrevet perspektiv se interessant ut.

    Dybde kan være åpenbar i betydningen av bildet: bygninger er adskilt av en gate eller elv. Diagonalen understreker tredimensjonalitet; for eksempel en bro over en elv.

    Objekter av en størrelse kjent for betrakteren i bakgrunnen setter målestokken og danner følgelig perspektivet. I landskapsfotografering kan dette objektet være en bil, men i portrettfotografering kan du prøve å bøye benet ( vekk fra kameraet) under stolen slik at det virker mindre mens det forblir synlig. Du kan til og med gjøre dette beinet litt mindre i etterbehandling.

    Ornamentet formidler perspektiv ved å visuelt redusere elementene. Et eksempel kan være store fliser på gulvet, markering av linjer på veien.

    Det er en teknikk som kalles hypertrofiert forgrunn. Uforholdsmessig stor skaper den dybde i bildet. Ved å sammenligne skalaen til forgrunnen og modellen, kommer øyet til den konklusjon at modellen er mye lenger unna enn det ser ut til. Overdrivelsen bør forbli subtil slik at bildet ikke oppfattes som en feil. Denne teknikken fungerer ikke bare for etterbehandling, men også for fotografering: forvreng proporsjonene ved å fotografere med et 35 eller 50 mm objektiv. Fotografering med et vidvinkelobjektiv strekker rommet, og forbedrer dets tredimensjonalitet ved å bryte proporsjonene. Effekten er sterkere hvis du fotograferer modellen på nært hold, men pass deg for groteske proporsjoner: bare forfattere av religiøse bilder kan skildre en person som er større enn en bygning.

    Krysset fungerer utmerket. Hvis eplet delvis dekker pæren, vil ikke hjernen ta feil: eplet er foran pæren. Modellen dekker delvis møblene, og skaper dermed dybde i interiøret.

    Vekslingen av lyse og mørke flekker gir også dybde til bildet. Hjernen vet av erfaring at objekter i nærheten lyser omtrent likt, så den tolker forskjellig opplyste objekter som plassert i forskjellig avstand. For denne effekten veksler flekkene i retning av perspektivaksen - dypt inn i bildet, og ikke på tvers av det. For eksempel, når du fotograferer en modell som ligger borte fra kameraet i en mørk ramme, plasserer du høylys nær baken og nær bena. Du kan gjøre områder lysere/mørkere i etterbehandling.

    Rekkefølgen av stadig mørkere objekter oppfattes å avta. Ved gradvis skyggelegging av objekter langs den aktive linjen, kan du få en subtil følelse av perspektiv. På samme måte formidles dybde ved å svekke lyset: støp en lysstripe over møblene eller på gulvet.

    Et tredimensjonalt bilde kan oppnås på grunn av ikke bare lys, men også fargekontrast. Denne teknikken var kjent for flamske malere, som plasserte knallfargede flekker på stillebenene deres. Et rødt granateple og en gul sitron ved siden av hverandre vil se tredimensjonale ut selv i flat frontal belysning. De vil skille seg ut spesielt godt mot bakgrunnen av lilla druer: en varm farge mot en kald bakgrunn. Klare overflater kommer godt ut av mørket selv med svakt lys, typisk for stilleben. Fargekontrast fungerer bedre med primærfarger: rød, gul, blå, i stedet for nyanser.

    På svart bakgrunn kommer gult frem, blått skjuler seg tilbake. På hvit bakgrunn er det omvendt. Fargemetning forsterker denne effekten. Hvorfor skjer dette? Fargen gul er aldri mørk, så hjernen nekter å tro at en gul gjenstand kan senkes ned i en mørk bakgrunn, ikke belyses. Blått, tvert imot, er mørkt.

    Forbedring av perspektivet i etterbehandling kommer ned til å simulere atmosfærisk persepsjon: fjerne objekter virker lettere, uskarkere, med redusert kontrast i lysstyrke, metning og tone.

    Foruten lange avstander ser atmosfæriske effekter naturlig ut i morgendis, tåke eller en røykfylt bar. Tenk på været: på en overskyet dag eller i skumringen er det kanskje ikke en betydelig forskjell mellom forgrunnen og bakgrunnen.

    Den sterkeste faktoren er lysstyrkekontrast. I innstillingene er dette den vanlige kontrasten. Reduser kontrasten til fjerne objekter, øk kontrasten i forgrunnen - og bildet vil bli konveks. Vi snakker ikke om kontrasten mellom forgrunn og bakgrunn, men om kontrasten i bakgrunnen, som skal være lavere enn kontrasten i forgrunnen. Denne metoden passer ikke bare for landskaps- og sjangerfotografering, men også for studioportretter: øk kontrasten på fronten av ansiktet, reduser kontrasten på håret, kinnbeina og klærne. Portrettfiltre gjør noe lignende, gjør modellens hud uskarp og etterlater øynene og leppene harde.

    Kontrastjustering er den enkleste måten å gjøre 3D-bildeetterbehandling på. I motsetning til andre prosesser, vil seeren knapt merke noen endringer, noe som vil tillate å opprettholde maksimal naturlighet.

    Uskarphet ligner på kontrastreduksjon, men det er forskjellige prosesser. Bildet kan ha lav kontrast samtidig som det forblir skarpt. På grunn av begrenset dybdeskarphet er uskarphet for fjerne objekter fortsatt den mest populære måten å formidle tredimensjonalitet i fotografering på, og kan enkelt forbedres ved å uskarpe fjerne motiver i etterproduksjon. Derfor bør færre detaljer plasseres i bakgrunnen - hjernen forventer ikke gjenstander som kan skilles ut i det fjerne. I mellomtiden tilsvarer reduksjon av kontrasten bedre naturlig oppfatning: fjerne fjell er synlige i lav kontrast, og ikke uskarpe, fordi når man skanner landskapet, blir øyet konstant refokusert, og problemet med dybdeskarphet er fremmed for det. Ved å gjøre bakgrunnen uskarp kan du samtidig skjerpe forgrunnen. I tillegg kan du i forgrunnen forbedre bildelinjene (Høypassfilter eller Klarhet). Det er den høye skarpheten i forgrunnen som forklarer den karakteristiske ujevnheten i bildet til høykvalitetsobjektiver. Pass på: av hensyn til en liten økning i tredimensjonalitet, kan du gjøre bildet for stivt.

    Lettere gjenstander vises lenger unna. Dette skyldes det faktum at vi i naturen ser fjerne objekter gjennom tykkelsen av lysspredende luft; fjerne fjell virker lette. I landskapsfotografering bør du derfor være forsiktig med plasseringen av lyse objekter i forgrunnen.

    Lys opp fjerne objekter. Jo lenger unna de er, jo mer smelter de sammen med himmelens lysstyrke og tone. Vær oppmerksom på at horisontale objekter (jord, sjø) er bedre opplyst enn vertikale (vegger, trær), så ikke overdriv med å lette sistnevnte. I alle fall bør gjenstander forbli merkbart lettere enn himmelen.

    Vel, hvis du legger merke til at unnvike er en annen måte å redusere kontrasten i bakgrunnens lysstyrke. Gjør forgrunnen litt mørkere for å forbedre bump-effekten.

    Det ser ut til at alt i interiøret er omvendt. Hvis øyet på gaten er vant til det faktum at avstanden er lys, så i rommet er lyset ofte konsentrert om personen, og interiøret er nedsenket i mørket; hjernen er vant til forgrunnsbelysning, ikke bakgrunnsbelysning.

    I interiørbilder med liten scenedybde, i motsetning til landskapsbilder, stikker den opplyste modellen ut fra en mørk bakgrunn. Men det er også en motsatt faktor: for 99% av sin evolusjon observerte mennesket perspektivet i åpne områder, og med ankomsten av rom hadde hjernen ennå ikke hatt tid til å omstrukturere. Vermeer foretrakk en lys bakgrunn for portrettene sine, og portrettene hans er virkelig fremtredende. Å belyse en vertikal bakgrunn, anbefalt i fotografering, skiller ikke bare modellen fra den, men gir også, ved å lysne bakgrunnen, bildet en liten tredimensjonalitet. Her står vi overfor det faktum at hjernen analyserer objekters plassering etter flere faktorer, og de kan være motstridende.

    Studiobelysning ser interessant ut, der lysflekker ligger på områder av modellen fjernt fra kameraet. For eksempel er brystet som er lengst fra kameraet uthevet.

    Reduser fargemetning på fjerne objekter: På grunn av tykkelsen på luften som skiller oss, er fjerne fjell demettet nesten til nivået av monokrom og dekket med en blå dis. Forgrunnsmetningen kan økes.

    Siden gul er lys, og blå og rød er mørke, er fargekontrasten også en kontrast i lysstyrken.

    Når du avmetter den fjerne bakgrunnen, ikke la den forsvinne fra synet. Ofte, tvert imot, må du øke metningen av bakgrunnen for å avsløre den. Dette er viktigere enn tredimensjonalitet.

    Mange råd om 3D-fotografering fokuserer på temperaturkontrast. Faktisk er denne effekten veldig svak og blir lett avbrutt av lysstyrkekontrast. I tillegg er temperaturkontrasten irriterende og merkbar.

    Svært fjerne gjenstander virker kjøligere i fargen fordi luften absorberer varmt oransje lys. Når du fotograferer en modell på stranden med skip i horisonten i bakgrunnen, senk fargetemperaturen til det fjerne havet og skip i etterbehandling. En modell i rød badedrakt dukker opp fra det blå havet, og en modell i det gule lyset fra en gatelykt dukker opp fra det blåaktige skumringen.

    Dette er essensen av separat toning: vi gjør modellen varmere, bakgrunnen kjøligere. Hjernen forstår at det ikke er forskjellige fargetemperaturer i samme plan, og oppfatter et slikt tredimensjonalt bilde, der modellen stikker ut fra bakgrunnen. Delt toning gir dybde til landskap: gjør forgrunnen varmere, bakgrunnen kjøligere.

    Et viktig unntak fra separat toning: ved soloppgang og solnedgang er den fjerne bakgrunnen ikke kald i det hele tatt, men varm, med gule og rød-oransje toner. Den åpenbare løsningen - å bruke en hvit modell i en lilla badedrakt - fungerer ikke fordi solnedgangslyset gir en varm fargetone på modellens kropp også.

    La oss oppsummere: for å gi et bilde tredimensjonalitet basert på atmosfæriske effekter, er det nødvendig å kontrastere forgrunnen og bakgrunnen. Hovedkontrasten er basert på den vanlige kontrasten: forgrunnen har høy kontrast, bakgrunnen har lav kontrast. Den andre kontrasten er når det gjelder skarphet: forgrunnen er skarp, bakgrunnen er uskarp. Den tredje kontrasten er når det gjelder lyshet: forgrunnen er mørk, bakgrunnen er lys. Den fjerde kontrasten er når det gjelder metning: forgrunnsfargene er mettede, bakgrunnsfargene er desaturated. Den femte kontrasten er i temperatur: forgrunnen er varm, bakgrunnen er kald.

    De oppførte faktorene er ofte flerveis. Gult er lysere enn blått, og lyse gjenstander vises lenger unna mørke. Det ville være naturlig å forvente at gult ville avta og blått ville nærme seg betrakteren. Faktisk er det omvendt: en varm farge dukker opp fra en kald bakgrunn. Det vil si at farge viser seg å være en sterkere faktor enn lysstyrke. Noe som ved ettertanke ikke er overraskende: gult og rødt kan tydelig skilles bare på nært hold, og betrakteren forventer ikke å se dem på stor avstand.

    Bunnlinje: hold bakgrunnen lav kontrast, utvasket, lys, desaturated, blåaktig. Og vær forberedt på at seeren, som er vant til den hypertrofierte 3D-filmen, vil finne at tredimensjonaliteten du skapte knapt er merkbar eller fraværende.

    I portrettfotografering er det bedre å stole på den velprøvde chiaroscuro-effekten - spillet av lys og skygge på modellens ansikt, noe som vil gjøre bildet ganske fremtredende. I sjangerfotografering gir perspektiv den mest merkbare tredimensjonale effekten. I et stilleben vil hovedfaktoren være skjæringspunktet (overlapping) av objekter.

    Ikke la deg rive med av prospektet; det er bare en bakgrunn for frontplanet som bildet ditt flagrer på. I moderne maleri, som er langt fra realisme, er ikke perspektivet høyt verdsatt.

    Last ned hele boken: pdfepubazw3mobifb2litContents

    GEOMETRISK BILDE AV EN FIREDIMENSJONAL KULE.

    Egorov Nester Alexandrovich

    4. års student, Institutt for algebra og geometri IMI NEFU, Russland, Yakutsk

    E- post: egrvnester@ post. ru

    Popov Oleg Nikolaevich

    vitenskapelig veileder, Ph.D. tech. Sciences, førsteamanuensis IMI NEFU, Russland, Yakutsk

    Denne artikkelen gir en representasjon av en firedimensjonal ball i firedimensjonalt rom ved å bruke dens tredimensjonale seksjoner. For å forklare vanskene knyttet til persepsjon av objekter i firdimensjonalt rom, brukes en metode som går ut på å vurdere rom med lavere dimensjoner. Relevansen av denne tilnærmingen ligger i det faktum at den lar oss forstå strukturen til geometriske bilder av firdimensjonalt rom, og bidrar også til utviklingen av romlig og abstrakt tenkning. Dette arbeidet er av interesse for elever på videregående skoler, studenter ved de matematiske og naturvitenskapelige fakultetene, samt matematikklærere. Den presenteres ved hjelp av en visuell metode, uten bruk av formler, kun basert på et skolegeometrikurs.

    I vitenskapelig og populærlitteratur, i media nevnes ofte flerdimensjonale rom og objekter. Det finnes ulike teorier om universets multidimensjonalitet. Det er menneskelig natur å representere geometriske objekter i en visuell form. Derfor prøver mange, etter å ha hørt uttrykket "firedimensjonal ball", umiddelbart å visualisere det i fantasien. Vi ser godt for oss en todimensjonal ball (dette er en sirkel som ligger på et plan), en tredimensjonal ball er et objekt som ofte møter i livene våre. Men i det firedimensjonale tilfellet kan vi ikke på noen måte konstruere i fantasien et geometrisk bilde av en firedimensjonal ball. Dette er på grunn av fremveksten av den fjerde dimensjonen, utilgjengelig for oss.

    Å danne en intuitivt forståelig idé for leseren om det geometriske bildet av en firedimensjonal ball er målet med arbeidet vårt. Den bruker ikke strenge definisjoner eller matematiske formler. Alle begreper og termer som brukes forstås kun intuitivt. Alt materiale presenteres i en populær form.

    Relevansen til arbeidet ligger i det faktum at det lar oss forstå strukturen til geometriske bilder av firedimensjonalt rom, og bidrar også til utviklingen av romlig og abstrakt tenkning og er av interesse for elever på videregående skole, studenter ved fakultetene i matematikk og naturfag, samt matematikklærere.

    Figur 1. a) En rett linje i firedimensjonalt rom skjærer en tredimensjonal kule ved kun ett indre punkt; b) En rett linje på et plan skjærer en todimensjonal kule langs et segment; c) En rett linje som befinner seg i rommet skjærer en todimensjonal kule i bare ett punkt

    Firedimensjonalt rom er til en viss grad et uvanlig rom. Vi vet at i tredimensjonalt rom skjærer en rett linje et begrenset tredimensjonalt konveks volum (for eksempel en ball) langs et segment. Unntaket er når en rett linje berører et gitt objekt. I firedimensjonalt rom kan alt skje annerledes. En rett linje kan "stikke gjennom" en tredimensjonal ball tvers gjennom, og treffe bare ett indre punkt uten å forstyrre omgivelsene (fig. 1, a)). Dette gjør det mulig for en 4D-person (hvis han eksisterte) å ta alle tingene våre fra posen uten å åpne eller kutte den, noe som virker veldig uvanlig og uforklarlig. For å forstå dette, vurder et todimensjonalt rom (et todimensjonalt rom er et plan innebygd i et tredimensjonalt rom). En rett linje på planet vil skjære en sirkel som ligger i planet langs et segment, og en rett linje i rommet som ligger utenfor planet vil skjære sirkelen i bare ett punkt (Fig. 1, b), c)).

    For å gjøre episoden med ting som mangler i en pose mer forståelig, la oss tegne en todimensjonal person på brettet, tegne nyrene hans, en nyrestein. Deretter tar vi en fille i hendene og forsiktig, uten å berøre nyrene til en todimensjonal person, tørker vi av steinen (fig. 2). Nå kan vi gratulere oss selv med at vi nettopp har gjennomført en operasjon for å fjerne en nyrestein uten bruk av snitt, og at vår pasient er frisk. Det som er utenfor en todimensjonal kirurgs kontroll viser seg å være en enkel sak for en vanlig tredimensjonal person.

    Figur 2. Steinfjerning fra en todimensjonal nyre av en tredimensjonal lege uten reserver

    Videre vil vi bruke denne teknikken knyttet til overgangen til en lavere dimensjon for å forklare vanskelighetene knyttet til oppfatningen av objekter som befinner seg i firedimensjonalt rom. Vanskelighetene med å oppfatte en todimensjonal person når han prøver å forstå en tredimensjonal verden, ligner vår når han oppfatter firedimensjonalt rom, siden de i begge tilfeller er forbundet med utseendet til en ny utilgjengelig dimensjon.

    To tredimensjonale rom kan krysse eller være parallelle i firedimensjonale rom. La oss vurdere saken når de krysser hverandre.

    Figur 3. To tredimensjonale rom krysser hverandre i firedimensjonale rom langs et plan.

    Hvis to plan x og y skjærer hverandre langs en rett linje l (fig. 4), så skjærer de tredimensjonale rommene P og Q langs et plan α (fig. 3). For en todimensjonal person vil rett linje l (hvis den er ugjennomsiktig) være en vegg som deler hans verden i to deler. Og halvplanene y 1 og y 2 eksisterer ikke for ham, siden de er i den tredje dimensjonen, utilgjengelige for ham. For en tredimensjonal person vil en slik vegg, som deler hele rommet i to deler, være planet α (fig. 3).

    Deretter vurderer du to kryssende plan x og y, langs den ene ruller en todimensjonal kule (fig. 4). Merk at en todimensjonal person kun ser linjen l fra y-planet, siden den er i x-rommet hans. Halvplanene y 1 og y 2 er usynlige for ham, så en todimensjonal person som befinner seg i x-planet vil se et punkt (den flate ballen berørte linjen), som deretter deler seg (kulen krysset linjen). Videre, når ballen beveger seg, vil punktene divergere til den rette skjæringslinjen mellom flyene faller sammen med diameteren til ballen, da vil alt skje i motsatt rekkefølge.

    Figur 4. En todimensjonal person ser bare kontaktpunktet til sirkelen med planet

    Nå er det ikke vanskelig å forstå hva vi vil se, i det tredimensjonale rommet P, i tilfellet når ballen lansert av foten til en fotballspiller i Q krysser rommet vårt. Først på α-planet. et punkt vil dukke opp, som umiddelbart vil forvandle seg til en gradvis økende sirkel, som er skjæringspunktet mellom α-planet og ballen. Etter å ha nådd sitt maksimum, med en radius lik radiusen til en fotball, vil den gradvis begynne å avta til den degenererer tilbake til et punkt og forsvinner fra synet (fig. 5). Hva vi får se når fotballspilleren selv løper etter ballen, vil vi overlate til leseren å forestille seg. For moro skyld, la oss forestille oss hva som vil skje hvis en fotballspiller, på en utrolig måte, mens han er i rom Q, ved et uhell blir til vår plass P (se fig. 6).

    Figur 5. Visning av ballen som krysser observatørens rom i dynamikk

    Figur 6. Utseendet til en fotballspiller i verdensrommet P fra verdensrommet Q

    I en todimensjonal versjon er det lett å forestille seg to parallelle plan. Tredimensjonalt rom kan representeres som en uendelig samling av parallelle "sammenhengende" plan. Denne ideen kan fås ved å se på en kortstokk, der hvert kort er assosiert med et fly eller en bok, der rollen til fly spilles av arkene i denne boken.

    Firedimensjonalt rom representerer også en samling av "sammenhengende", men allerede tredimensjonale parallelle rom. Prøv å se for deg i fantasien to parallelle (som holder sammen), dvs. plassert svært nær hverandre, tredimensjonale rom. Du vil ikke lykkes. Mellomrommene som vi ønsker å forestille oss i fantasien begynner enten å krysse hverandre eller ønsker ikke å komme nærmere, og skyver bort fra hverandre. La oss finne ut årsaken til feilen vår. For å gjøre dette, la oss analysere hvordan en todimensjonal person som bor i x-planet vil prøve å forestille seg to parallelle plan y og z som ligger veldig nær hverandre. Siden for en todimensjonal person er det ingen tredje dimensjon h (fig. 7a)), vil han bli tvunget til å plassere dem i rommet sitt, selv om de i virkeligheten vil være plassert vinkelrett (eller i en eller annen vinkel) og skjære x-planet ( Fig. 7b)). Nå blir det umiddelbart åpenbart hva årsaken til feilen vår er. Vi prøver å plassere to tredimensjonale rom i ett tredimensjonalt rom der vi er (fig. 7c)), når de skal strekke seg langs den fjerde dimensjonen, utilgjengelige for oss. Det er tydelig at de ikke ser ut til å henge sammen.

    Merk at tredimensjonalt rom kan representeres som et spor etterlatt av et plan som et resultat av dets bevegelse i en gitt retning (fig. 8).

    Figur 7. a) En todimensjonal person prøver å forestille seg to parallelle plan; b) Den faktiske plasseringen av parallelle plan; c) Vi prøver å sette to tredimensjonale rom inn i ett tredimensjonalt rom

    Figur 8. Tredimensjonalt rom oppnådd ved bevegelse av et plan

    Betrakt nå som før mellomrommene P og Q som skjærer hverandre langs planet α (fig. 9a)). Hvert av mellomrommene kan oppnås ved å flytte planet α i henhold til retningene til x- og t-koordinataksene. La oss deretter tegne planet β i rommet P i en veldig nær avstand parallelt med planet α. Åpenbart vil ikke β være i rommet Q. La oss begynne å bevege disse planene i retningen t slik at de bevegelige planene til enhver tid t er parallelle og nær hverandre. Da er rommet Q og rommet Q β oppnådd ved bevegelsen av henholdsvis planene α og β parallelle, og vil være i svært nær avstand fra hverandre (i en avstand lik avstanden mellom planene α og β , langs x-dimensjonen). Da kan to tredimensjonale legemer, for eksempel to kuler, plassert i helt forskjellige, men parallelle rom Q og Q β tett inntil hverandre, vise seg å være veldig nærme («stuck together») (Fig. 9b)).

    Figur 9. a) Plan β fra glans P er nær og parallell med α-planet og er ikke i rommet Q ; b) Plansett oppnådd ved bevegelse av planene α og β i retningen t , danner parallelle rom nær hverandre Q Og Q β De avbildede ballene som er plassert i disse områdene er nær hverandre på alle punkter ("klebrige" baller)

    Alt firedimensjonalt rom kan betraktes som en samling av parallelle tredimensjonale rom med veldig tett avstand («fast sammen»). Hvis vi tar tid som den fjerde dimensjonen, vil bevegelsen til en person i en tidsmaskin tilsvare overgangen fra et parallelt rom til et annet. I dette tilfellet, i motsetning til kryssende rom, når vi bare ser et tverrsnitt av et objekt som beveger seg gjennom det andre rommet, krysser vårt, vil en tidsmaskin med en person som sitter i den plutselig dukke opp foran oss, som vil oppløses i fortiden eller fremtiden avhengig av bevegelsesretningen.

    Altså: vi forsto at tredimensjonale rom krysser hverandre langs et plan; firedimensjonalt rom kan representeres som et sett med "sammenhengende" parallelle tredimensjonale rom; fikk en idé om å "holde sammen" tredimensjonale kropper plassert i parallelle rom.

    Hva er en firedimensjonal ball? For å svare på dette spørsmålet, la oss analysere hvordan vår vanlige tredimensjonale ball er strukturert fra synspunktet til en todimensjonal person. Selvfølgelig kan han ikke se hele ballen i synsfeltet hans er det bare en todimensjonal sfære - en sirkel som grenser til en todimensjonal sirkel, og er skjæringspunktet mellom en todimensjonal persons verden og ballen; (det som er innenfor sirkelen er ikke synlig for ham. Fig. 10 a)). Når man beveger seg inn i parallelle rom, vil sirkelen smalne til den utarter seg til et punkt (fig. 10 b)).

    Figur 10. a) En todimensjonal person kan bare se en del av sirkelen, avgrenset av skjæringspunktet mellom flyet og ballen; b) Når en person beveger seg inn i parallelle plan, vil sirkelen gradvis degenerere til et punkt

    Når det gjelder en firedimensjonal ball, er en persons synsfelt begrenset av rommet han befinner seg i. I analogi kan vi anta at han ser en kule som grenser til ballen, som er skjæringspunktet mellom dette tredimensjonale rommet og en firedimensjonal ball. Når man beveger seg inn i parallelle rom, vil kulen også avta i radius til den degenererer til et punkt (fig. 11 a)). La oss nå prøve å forstå mer detaljert hva slags baller vi ser og hvordan de danner en firedimensjonal ball.

    La oss vurdere en tredimensjonal kule 2 (fig. 11 b)) og dens seksjoner etter parallelle plan. Helheten av disse parallelle planene danner et tredimensjonalt rom med dimensjonene y, z, t, der den ønskede kulen 2 er plassert i hver av disse planene, med sin bevegelse i x-retningen, danner "klebrig" tredimensjonale rom . Det er i disse rommene tredimensjonale kuler befinner seg (se kule 1), som vi observerer under (beskrevet ovenfor) overganger til parallelle rom (fig. 11a)). Kombinasjonen av disse kulene vil danne en firedimensjonal ball. Dermed er en firedimensjonal ball en samling av kuler som holder seg sammen på alle punkter, og avtar i størrelse, som danner det geometriske bildet av en firedimensjonal ball. Vi kan imidlertid ikke se det helhetlige bildet av ballen, siden vi ikke kan se utenfor rommet vårt.

    Figur 11. a) Baller som er synlige for mennesker under overganger til parallelle rom, reduseres i størrelse; b) En firedimensjonal ball er en samling av avtagende "sammenslåtte" kuler, som er deler av en firedimensjonal ball etter tredimensjonale rom parallelt med rommet P

    La oss se på en firedimensjonal ball fra forskjellige sider. En observatør som befinner seg i det tredimensjonale rommet P med dimensjonene y, z, t og ser i retningen t, vil se en kule (fig. 12), som består av seksjoner av kuler som danner en firedimensjonal ball (i fig. 11 denne er ball 2).

    En observatør som befinner seg i rom Q og ser i x-retningen vil også se en tredimensjonal ball (fig. 12). Dermed ser observatører som befinner seg i rom P og Q det samme bildet - en tredimensjonal ball. Ballene de observerer er imidlertid forskjellige geometriske objekter plassert i forskjellige rom og krysser hverandre i en todimensjonal sirkel.

    Figur 12. Observatører plassert i kryssende rom P Og Q se en tredimensjonal ball. Imidlertid observerer de i virkeligheten forskjellige baller som krysser hverandre langs en sti

    Dessverre, som nevnt ovenfor, er synsfeltet vårt begrenset til tredimensjonalt rom, så vi kan ikke se firedimensjonale bilder som en helhet. Imidlertid utviklet den britiske matematikeren Charles Hinton (1853-1907) en spesiell metode for å konstruere modeller av geometriske figurer i firdimensjonalt rom fra deres tredimensjonale seksjoner. Denne metoden er beskrevet i detalj i to av hans monografier. Hinton hevdet at som et resultat av mange års arbeid, som var basert på denne spesielle metoden, lærte han å mentalt representere geometriske bilder i firedimensjonalt rom. Han mente også at en person som mestret denne metoden godt nok ville få en intuitiv forståelse av firedimensjonalt rom.

    Referanser:

    1.Hinton Charles H. A New Era of Thought, orig. 1888, gjengitt 1900, av Swan Sonnenschein & Co. Ltd., London - s. 240.

    Fant du ikke svaret på spørsmålet ditt? Se her
    Kjemiske egenskaper til silan Silisiumhydrid 4Kjemiske egenskaper til silan Silisiumhydrid 4
    Laboratoriearbeid Laboratoriearbeid "Struktur av skjelettet til pattedyr Ekstern og indre struktur av pattedyr laboratoriearbeid
    Stolypin, Pyotr Arkadyevich - kort biografiStolypin, Pyotr Arkadyevich - kort biografi