Det er kjent at å formulere et problem ofte er viktigere og vanskeligere enn å løse det. «I vitenskapen», skrev den engelske kjemikeren F. Soddy, «er et problem som er riktig stilt mer enn halvparten løst. Den mentale forberedelsesprosessen som kreves for å finne ut at det er et bestemt problem, tar ofte mer tid enn selve løsningen av problemet.
Formene der problemsituasjonen manifesteres og realiseres er svært forskjellige. Langt fra alltid åpenbarer det seg i form av et direkte spørsmål som dukket opp helt i begynnelsen av studien. Problemenes verden er like kompleks som prosessen med erkjennelse som genererer dem. Å identifisere problemer er kjernen i kreativ tenkning. Paradokser er det mest interessante tilfellet av implisitte, spørsmålsløse måter å stille problemer på. Paradokser er vanlige i de tidlige stadiene av utviklingen av vitenskapelige teorier, når de første skritt tas i et ennå uutforsket område og de mest generelle prinsippene for tilnærming til det famles etter.

Paradokser og logikk

I vid forstand er et paradoks en posisjon som avviker kraftig fra allment aksepterte, etablerte, ortodokse meninger. "Generelt aksepterte meninger og hva som anses som et spørsmål om langsiktige beslutninger, fortjener oftest forskning" (Glichtenberg). Paradoks er begynnelsen på slik forskning.
Et paradoks i snevrere og mer spesialisert forstand er to motstridende, uforenlige utsagn, for hver av dem finnes det tilsynelatende overbevisende argumenter.
Den skarpeste formen for paradoks er antinomi, et resonnement som beviser ekvivalensen til to utsagn, hvorav det ene er en negasjon av det andre.
Paradokser er spesielt kjent i de mest strenge og nøyaktige vitenskapene - matematikk og logikk. Og dette er ingen tilfeldighet.

Logikk- abstrakt vitenskap. Det er ingen eksperimenter i det, ikke engang fakta i ordets vanlige betydning. Når man bygger sine systemer, fortsetter logikken til slutt fra analysen av reell tenkning. Men resultatene av denne analysen er syntetiske, udifferensierte. De er ikke uttalelser om noen separate prosesser eller hendelser som teorien skal forklare. En slik analyse kan selvsagt ikke kalles en observasjon: et konkret fenomen observeres alltid.
Ved å konstruere en ny teori, tar forskeren vanligvis utgangspunkt i fakta, fra det som kan observeres i eksperimentet. Uansett hvor fri hans kreative fantasi er, må den regne med én uunnværlig omstendighet: en teori gir mening bare hvis den stemmer overens med fakta som gjelder den. En teori som er uenig med fakta og observasjoner er langt inne og har ingen verdi.
Men hvis det ikke er eksperimenter i logikk, ingen fakta og ingen observasjon i seg selv, hva holder da tilbake logisk fantasi? Hvilke faktorer, om ikke fakta, tas i betraktning når man lager nye logiske teorier?
Avviket mellom logisk teori og praksisen med reell tenkning avsløres ofte i form av et mer eller mindre akutt logisk paradoks, og noen ganger til og med i form av en logisk antinomi, som snakker om teoriens indre inkonsekvens. Dette forklarer bare viktigheten som legges til paradokser i logikk, og den store oppmerksomheten de nyter i den.

Varianter av "Løgner"-paradokset

Det mest kjente og kanskje det mest interessante av alle logiske paradokser er "Løgner"-paradokset. Det var han som forherliget navnet til Eubulides fra Milet som oppdaget det.
Det finnes varianter av dette paradokset, eller antinomien, hvorav mange bare tilsynelatende er paradoksale.
I den enkleste versjonen av "Liar" sier en person bare en setning: "Jeg lyver." Eller han sier: "Uttalelsen jeg nå kommer med er falsk." Eller: "Denne påstanden er falsk."

Hvis utsagnet er usant, så fortalte taleren sannheten, og derfor er det han sa ikke løgn. Hvis påstanden ikke er usann, og taleren hevder at den er usann, så er denne påstanden usann. Det viser seg derfor at hvis taleren lyver, snakker han sannheten, og omvendt.

I middelalderen var følgende ordlyd vanlig:

"Det Platon sa er usant," sier Sokrates.

"Det Sokrates sa er sant," sier Platon.

Spørsmålet oppstår, hvem av dem uttrykker sannheten, og hvilken er løgn?
Og her er et moderne paradoks av dette paradokset. La oss anta at bare ordene er skrevet på forsiden av kortet: "På den andre siden av dette kortet er det skrevet et sant utsagn." Det er tydelig at disse ordene representerer en meningsfull uttalelse. Når vi snur kortet, må vi enten finne den lovede uttalelsen, eller så er den ikke der. Hvis det er skrevet på baksiden, så er det enten sant eller ikke. På baksiden står imidlertid ordene: "Det er en falsk erklæring skrevet på den andre siden av dette kortet" - og ingenting mer. Anta at påstanden på forsiden er sann. Da må påstanden på baksiden være sann, og derfor må påstanden på forsiden være usann. Men hvis påstanden på forsiden er usann, så må påstanden på baksiden også være usann, og derfor må påstanden på forsiden være sann. Sluttresultatet er et paradoks.
Løgnerparadokset gjorde et enormt inntrykk på grekerne. Og det er lett å se hvorfor. Spørsmålet det stiller ved første øyekast virker ganske enkelt: lyver han som bare sier at han lyver? Men svaret "ja" fører til svaret "nei", og omvendt. Og refleksjon avklarer ikke situasjonen i det hele tatt. Bak spørsmålets enkelhet og til og med rutine, avslører det en uklar og umåtelig dybde.
Det er til og med en legende om at en viss Filit Kossky, desperat etter å løse dette paradokset, begikk selvmord. Det sies også at en av de berømte eldgamle greske logikerne, Diodorus Kronos, allerede i sine nedadgående år, sverget å ikke spise før han fant løsningen til "løgneren", og snart døde, etter å ikke ha oppnådd noe.
I middelalderen ble dette paradokset referert til de såkalte uløselige setningene og ble gjenstand for systematisk analyse.I moderne tid vakte ikke «løgneren» oppmerksomhet på lenge. De så ingen, selv mindre, vanskeligheter med bruken av språket. Og først i vår, såkalte moderne tid, nådde utviklingen av logikken endelig et nivå da det ble mulig å formulere problemene som ser ut til å ligge bak dette paradokset i strenge termer.
Nå blir «Liar» – denne typiske tidligere sofismen – ofte omtalt som kongen av logiske paradokser. En omfattende vitenskapelig litteratur er viet ham. Og likevel, som i tilfellet med mange andre paradokser, er det fortsatt ikke helt klart hvilke problemer som ligger bak og hvordan man kan bli kvitt det.

Språk og metaspråk

Nå regnes "Løgneren" vanligvis som et karakteristisk eksempel på vanskelighetene som forvirringen av to språk fører til: språket man snakker om en virkelighet som ligger utenfor den, og språket man snakker om selve morsmål.

I dagligspråket er det ingen forskjell mellom disse nivåene: vi snakker samme språk om virkeligheten og om språket. For eksempel, en person som har russisk som morsmål, ser ikke mye forskjell mellom utsagnene: "Glass er gjennomsiktig" og "Det er sant at glass er gjennomsiktig", selv om en av dem snakker om glass og den andre om en uttalelse om glass .
Hvis noen hadde ideen om behovet for å snakke om verden på ett språk, og om egenskapene til dette språket på et annet, kunne han bruke to forskjellige eksisterende språk, la oss si russisk og engelsk. I stedet for bare å si "Ku er et substantiv", vil jeg si "Ku er et substantiv", og i stedet for "utsagnet "Glass er ikke gjennomsiktig" er usant", vil jeg si "påstanden "Glass er ikke gjennomsiktig" er falsk". Med denne bruken av to forskjellige språk ville det som sies om verden være klart forskjellig fra det som sies om språket man snakker om verden med. Faktisk vil de første uttalelsene referere til russisk, mens den andre til engelsk.

Hvis vår ekspert på språk videre ønsker å snakke ut om noen forhold som allerede angår det engelske språket, kan han bruke et annet språk. La oss si tysk. For å snakke om dette siste kan man ty, la oss si, til det spanske språket, og så videre.
Det viser seg derfor en slags stige, eller hierarki, av språk, som hver brukes til et veldig spesifikt formål: i den første snakker de om den objektive verden, i den andre - om dette førstespråket, i tredje - om andrespråket osv. Et slikt skille mellom språk i henhold til deres bruksområde er en sjelden forekomst i hverdagen. Men i vitenskapene, som i likhet med logikk spesifikt omhandler språk, viser det seg noen ganger å være veldig nyttig. Språket som brukes til å snakke om verden kalles vanligvis objektspråk. Språket som brukes for å beskrive fagspråket kalles et metaspråk.

Det er klart at dersom språk og metaspråk avgrenses på denne måten, kan ikke utsagnet «jeg lyver» lenger formuleres. Den snakker om falskheten i det som sies på russisk, og tilhører derfor metaspråket og må uttrykkes på engelsk. Konkret skal det høres slik ut: «Alt jeg snakker på russisk er falskt» («Alt jeg sier på russisk er falsk»); denne engelske uttalelsen sier ingenting om seg selv, og det oppstår ikke noe paradoks.
Skillet mellom språk og metaspråk gjør det mulig å eliminere «Løgner»-paradokset. Dermed blir det mulig å korrekt, uten motsetning, definere det klassiske sannhetsbegrepet: et utsagn er sant som samsvarer med den virkeligheten den beskriver.
Sannhetsbegrepet, som alle andre semantiske begreper, har en relativ karakter: det kan alltid tilskrives et bestemt språk.

Som den polske logikeren Atarsky viste, må den klassiske definisjonen av sannhet formuleres på et språk som er bredere enn språket den er ment for. Med andre ord, hvis vi ønsker å indikere hva uttrykket "et utsagn sant på et gitt språk" betyr, må vi i tillegg til uttrykkene til dette språket også bruke uttrykk som ikke er i det.
Tarski introduserte begrepet et semantisk lukket språk. Et slikt språk inkluderer, i tillegg til uttrykkene, navnene deres, og også, som er viktig å understreke, uttalelser om sannheten til setningene som er formulert i det.

Det er ingen grense mellom språk og metaspråk i et semantisk lukket språk. Dens midler er så rike at de ikke bare tillater å hevde noe om utenomspråklig virkelighet, men også å vurdere sannheten i slike utsagn. Disse midlene er spesielt tilstrekkelige til å gjengi antinomien "Løgner" i språket. Et semantisk lukket språk viser seg dermed å være selvmotsigende. Ethvert naturlig språk er åpenbart semantisk lukket.
Den eneste akseptable måten å eliminere antinomi, og dermed intern inkonsekvens, er ifølge Tarski å forlate bruken av et semantisk lukket språk. Denne veien er selvfølgelig akseptabel bare i tilfelle av kunstige, formaliserte språk som tillater en klar inndeling i språk og metaspråk. I naturlige språk, med sin obskure struktur og evnen til å snakke om alt på samme språk, er denne tilnærmingen lite realistisk. Det gir ingen mening å reise spørsmålet om den interne konsistensen til disse språkene. Deres rike uttrykksmuligheter har også sin bakside – paradokser.

Andre løsninger på paradokset

Så det er utsagn som snakker om deres egen sannhet eller usannhet. Tanken om at slike utsagn ikke er meningsfulle er veldig gammel. Det ble forsvart av den gamle greske logikeren Chrysippus.
I middelalderen uttalte den engelske filosofen og logikeren W. Ockham at utsagnet «Every statement is false» er meningsløst, siden det blant annet snakker om sin egen usannhet. En selvmotsigelse følger direkte av denne uttalelsen. Hvis hver påstand er usann, så er også påstanden i seg selv; men at det er usant betyr at ikke alle påstander er falske.

Situasjonen er lik med utsagnet "Hvert forslag er sant". Det må også klassifiseres som meningsløst og fører også til en selvmotsigelse: hvis hvert utsagn er sant, så er negasjonen av dette utsagnet i seg selv også sant, det vil si utsagnet om at ikke alle utsagn er sanne.
Hvorfor kan imidlertid ikke en uttalelse på en meningsfull måte snakke om sin egen sannhet eller usannhet?
Allerede en samtid av Ockham, den franske filosofen på 1400-tallet. J. Buridan var ikke enig i avgjørelsen hans. Fra synspunktet til vanlige ideer om meningsløshet, uttrykk som "Jeg lyver", "Hver utsagn er sann (falsk)", etc. ganske meningsfylt. Hva du kan tenke på, hva du kan si - slik er det generelle prinsippet til Buridan. En person kan tenke på sannheten i utsagnet han uttaler, noe som betyr at han kan snakke om det. Ikke alle utsagn om seg selv er meningsløse. For eksempel er påstanden "Denne setningen er skrevet på russisk" sant, men påstanden "Det er ti ord i denne setningen" er usann. Og begge gir perfekt mening. Hvis det innrømmes at et utsagn kan snakke om seg selv, hvorfor er det da ikke i stand til å snakke meningsfullt om en slik egenskap ved seg selv som sannhet?
Buridan selv anså påstanden "Jeg lyver" som ikke meningsløs, men falsk. Han begrunnet det slik.

Når en person bekrefter et forslag, hevder han dermed at det er sant. Hvis setningen sier om seg selv at den i seg selv er usann, så er den bare en forkortet formulering av et mer komplekst uttrykk som hevder både dens sannhet og dens falskhet. Dette uttrykket er selvmotsigende og derfor falskt. Men det er på ingen måte meningsløst.

Buridans argumentasjon anses fortsatt noen ganger som overbevisende.
Det er andre linjer med kritikk av løsningen på "Liar"-paradokset, som ble utviklet i detalj av Tarski. Finnes det virkelig ingen motgift mot paradokser av denne typen i semantisk lukkede språk – og alle naturlige språk er det tross alt?
Hvis dette var tilfelle, så kunne begrepet sannhet bare defineres på en streng måte i formaliserte språk. Bare i dem er det mulig å skille mellom det objektive språket som folk snakker om omverdenen på og metaspråket de snakker om dette språket på. Dette hierarkiet av språk er modellert på tilegnelse av et fremmedspråk ved hjelp av et morsmål. Studiet av et slikt hierarki førte til mange interessante konklusjoner, og i visse tilfeller er det avgjørende. Men det finnes ikke i naturlig språk. Diskrediterer det ham? Og i så fall i hvilken grad? Tross alt brukes sannhetsbegrepet fortsatt i det, og vanligvis uten komplikasjoner. Er det å innføre et hierarki den eneste måten å eliminere paradokser som "Løgneren?"

På 1930-tallet virket svarene på disse spørsmålene utvilsomt bekreftende. Men nå er det ingen tidligere enstemmighet, selv om tradisjonen med å eliminere paradokser av denne typen ved å "stratifisere" språket fortsatt er dominerende.
I det siste har egosentriske uttrykk vakt mer og mer oppmerksomhet. De inneholder ord som "jeg", "dette", "her", "nå", og deres sannhet avhenger av når, av hvem, hvor de brukes.

I utsagnet "Denne påstanden er falsk", forekommer ordet "dette". Hvilket objekt refererer det til? "Løgner" kan indikere at ordet "det" ikke refererer til betydningen av det gitte utsagnet. Men hva refererer det til, hva betyr det? Og hvorfor kan ikke denne betydningen fortsatt betegnes med ordet "dette"?
Uten å gå i detaljer her, er det bare verdt å merke seg at i sammenheng med analysen av egosentriske uttrykk, er «Liar» fylt med et helt annet innhold enn tidligere. Det viser seg at han ikke lenger advarer mot forveksling av språk og metaspråk, men påpeker farene forbundet med misbruk av ordet «dette» og lignende egosentriske ord.
Problemstillingene som har knyttet til seg «Løgneren» gjennom århundrene har endret seg radikalt avhengig av om den ble sett på som et eksempel på tvetydighet, eller som et uttrykk utad presentert som et eksempel på en blanding av språk og metaspråk, eller til slutt som et typisk eksempel på misbruk av egosentriske uttrykk. Og det er ingen sikkerhet for at andre problemer ikke vil være forbundet med dette paradokset i fremtiden.

Den kjente moderne finske logikeren og filosofen H. von Wright skrev i sitt arbeid om «Løgneren» at dette paradokset på ingen måte skal forstås som en lokal, isolert hindring som kan fjernes med én oppfinnsom tankebevegelse. Liar berører mange av de viktigste temaene innen logikk og semantikk. Dette er definisjonen av sannhet, og tolkningen av selvmotsigelse og bevis, og en hel rekke viktige forskjeller: mellom en setning og tanken uttrykt av den, mellom bruken av et uttrykk og dets omtale, mellom betydningen av et navn og objektet det betegner.
Situasjonen er lik andre logiske paradokser. "Logikkens antinomier," skriver von Wrigg, "har undret oss siden oppdagelsen og vil sannsynligvis fortsette å forvirre oss for alltid. Vi bør, synes jeg, se på dem ikke så mye som problemer som venter på å bli løst, men som et uuttømmelig råstoff for ettertanke. De er viktige fordi å tenke på dem berører de mest grunnleggende spørsmålene i all logikk, og derfor i all tanke.»

Som avslutning på denne samtalen om "Løgneren" kan vi minne om en merkelig episode fra tiden da formell logikk fortsatt ble undervist på skolen. I en logikklærebok utgitt på slutten av 1940-tallet, ble elever i åttende klasse bedt om som en lekseoppgave – som en oppvarming, så å si – om å finne feilen som ble gjort i denne enkle utsagn: «Jeg lyver». Og la det ikke virke rart, det ble antatt at flertallet av skolebarn klarte en slik oppgave.

§ 2. Russells paradoks

Det mest kjente av paradoksene som ble oppdaget allerede i vårt århundre er antinomien som ble oppdaget av B. Russell og formidlet av ham i et brev til G. Ferge. Den samme antinomien ble diskutert samtidig i Göttingen av de tyske matematikerne Z. Zermelo og D. Hilbert.
Ideen lå i luften, og publiseringen ga inntrykk av en eksploderende bombe. Dette paradokset forårsaket i matematikk, ifølge Hilbert, effekten av fullstendig katastrofe. De enkleste og viktigste logiske metodene, de vanligste og mest nyttige konseptene, er truet.
Det ble umiddelbart åpenbart at verken i logikken eller i matematikken, i hele deres lange eksistenshistorie, var noe bestemt utarbeidd som kunne tjene som grunnlag for. eliminering av antinomi. Det var tydeligvis nødvendig å avvike fra vanlige måter å tenke på. Men fra hvor og i hvilken retning? Hvor radikal skulle avvisningen av etablerte teoretiseringsmetoder være?
Med videre studier av antinomi vokste overbevisningen om behovet for en fundamentalt ny tilnærming stadig. Et halvt århundre etter oppdagelsen uttalte spesialistene i grunnlaget for logikk og matematikk L. Frenkel og I. Bar-Hillel allerede uten forbehold: , så langt uunngåelig mislykket, er åpenbart utilstrekkelige for dette formålet.
Den moderne amerikanske logikeren H. Curry skrev litt senere om dette paradokset: «Når det gjelder logikken kjent på 1800-tallet, trosset situasjonen rett og slett forklaring, selv om det selvfølgelig i vår utdannede tidsalder kan være folk som vil se ( eller tror de vil se ), hva er feilen?

Russells paradoks i sin opprinnelige form er forbundet med begrepet et sett, eller en klasse.
Vi kan snakke om sett med forskjellige objekter, for eksempel om mengden av alle mennesker eller om settet med naturlige tall. Et element i det første settet vil være en hvilken som helst individuell person, et element i det andre - hvert naturlig tall. Det er også mulig å betrakte settene seg selv som noen objekter og snakke om sett med sett. Man kan til og med introdusere slike konsepter som settet med alle sett eller settet med alle konsepter.

Sett med vanlige sett

Med hensyn til ethvert sett vilkårlig tatt, virker det rimelig å spørre om det er sitt eget element eller ikke. Sett som ikke inneholder seg selv som et element vil bli kalt vanlige. For eksempel er settet av alle mennesker ikke en person, akkurat som settet med atomer ikke er et atom. Sett som er riktige elementer vil være uvanlige. For eksempel er et sett som forener alle sett et sett og inneholder derfor seg selv som et element.
Vurder nå settet med alle vanlige sett. Siden det er et sett kan man også spørre om det er vanlig eller uvanlig. Svaret er imidlertid nedslående. Hvis det er vanlig, må det per definisjon inneholde seg selv som et element, siden det inneholder alle vanlige sett. Men dette betyr at det er et uvanlig sett. Antakelsen om at vårt sett er et vanlig sett fører dermed til en selvmotsigelse. Så det kan ikke være normalt. På den annen side kan det heller ikke være uvanlig: et uvanlig sett inneholder seg selv som et element, og elementene i settet vårt er bare vanlige sett. Som et resultat kommer vi til den konklusjon at settet med alle ordinære sett ikke kan være verken ordinære eller ekstraordinære.

Dermed er settet med alle sett som ikke er riktige elementer et riktig element hvis og bare hvis det ikke er et slikt element. Dette er en klar motsetning. Og det ble oppnådd på grunnlag av de mest plausible forutsetninger og ved hjelp av tilsynelatende udiskutable grep.Motsigelsen antyder at et slikt sett rett og slett ikke eksisterer. Men hvorfor kan det ikke eksistere? Tross alt består den av objekter som tilfredsstiller en veldefinert betingelse, og tilstanden i seg selv ser ikke ut til å være på en eller annen måte eksepsjonell eller uklar. Hvis et sett så enkelt og klart definert ikke kan eksistere, hva er da forskjellen mellom mulige og umulige sett? Konklusjonen om ikke-eksistensen av det vurderte settet høres uventet ut og inspirerer til angst. Det gjør vår generelle forestilling om et sett amorf og kaotisk, og det er ingen garanti for at den ikke kan gi opphav til noen nye paradokser.

Russells paradoks er bemerkelsesverdig for sin ekstreme generalitet. For konstruksjonen er det ikke nødvendig med komplekse tekniske konsepter, da i tilfellet med noen andre paradokser, er begrepene "sett" og "element av settet" tilstrekkelig. Men denne enkelheten taler bare om dens grunnleggende natur: den berører det dypeste grunnlaget for våre resonnementer om mengder, siden den ikke snakker om noen spesielle tilfeller, men om mengder generelt.

Andre varianter av paradokset

Russells paradoks er ikke spesifikt matematisk. Den bruker konseptet med et sett, men berører ikke noen spesielle egenskaper knyttet spesifikt til matematikk.
Dette blir tydelig når paradokset omformuleres i rent logiske termer.

Av enhver eiendom kan man etter all sannsynlighet spørre om den er gjeldende for seg selv eller ikke.
Egenskapen til å være varm, for eksempel, gjelder ikke seg selv, siden den ikke er varm i seg selv; egenskapen til å være konkret refererer heller ikke til seg selv, for den er en abstrakt egenskap. Men egenskapen til å være abstrakt, å være abstrakt, gjelder en selv. La oss kalle disse egenskapene uanvendelige for seg selv uanvendelige. Gjelder egenskapen å være uanvendelig for seg selv? Det viser seg at uanvendelighet er uanvendelig bare hvis den ikke er det. Dette er selvsagt paradoksalt.
Den logiske, egenskapsrelaterte varianten av Russells antinomi er like paradoksal som den matematiske, settrelaterte varianten.
Russell foreslo også følgende populære versjon av paradokset han oppdaget.

Tenk deg at rådet i en landsby definerte pliktene til en barber som følger: å barbere alle mennene i landsbyen som ikke barberer seg selv, og bare disse mennene. Bør han barbere seg? I så fall vil det referere til de som barberer seg, og de som barberer seg, han skal ikke barbere seg. Hvis ikke, vil han tilhøre dem som ikke barberer seg, og derfor må han barbere seg selv. Vi kommer dermed frem til at denne barbereren barberer seg hvis og bare hvis han ikke barberer seg selv. Dette er selvfølgelig umulig. Argumentasjonen om frisøren er basert på antakelsen om at det finnes en slik barberer. Den resulterende motsetningen betyr at denne antagelsen er falsk, og det er ingen slik landsbyboer som vil barbere alle dem og bare de landsbyboerne som ikke barberer seg.
Frisørens plikter virker ikke motstridende ved første øyekast, så konklusjonen om at det ikke kan være en, høres noe uventet ut. Men denne konklusjonen er ikke paradoksal. Vilkåret som bygdebarberen må tilfredsstille er faktisk selvmotsigende og derfor umulig. Det kan ikke være en slik frisør i en landsby av samme grunn som det ikke er noen i den som ville være eldre enn ham selv eller som ville bli født før han ble født.
Argumentasjonen om frisøren kan kalles et pseudo-paradoks. I sitt forløp er det strengt tatt analogt med Russells paradoks, og det er dette som gjør det interessant. Men det er fortsatt ikke et sant paradoks.

Et annet eksempel på det samme pseudo-paradokset er det velkjente katalogargumentet.
Et visst bibliotek bestemte seg for å sette sammen en bibliografisk katalog som ville inkludere alle disse og bare de bibliografiske katalogene som ikke inneholder referanser til seg selv. Bør en slik katalog inneholde en lenke til seg selv?
Det er lett å vise at ideen om å lage en slik katalog ikke er gjennomførbar; den kan rett og slett ikke eksistere, fordi den samtidig må inkludere en referanse til seg selv og ikke inkludere.
Det er interessant å merke seg at katalogisering av alle kataloger som ikke inneholder referanser til seg selv kan betraktes som en uendelig prosess som aldri tar slutt. La oss si at det på et tidspunkt ble kompilert en katalog, for eksempel K1, inkludert alle andre kataloger som ikke inneholder referanser til seg selv. Med opprettelsen av K1 dukket det opp en annen katalog som ikke inneholder en lenke til seg selv. Siden målet er å lage en komplett katalog over alle kataloger som ikke nevner seg selv, er det åpenbart at K1 ikke er løsningen. Han nevner ikke en av disse katalogene – seg selv. Inkludert denne omtalen av seg selv i K1, får vi K2-katalogen. Den nevner K1, men ikke K2 selv. Legger vi en slik omtale til K2, får vi KZ, som igjen ikke er komplett på grunn av at den ikke nevner seg selv. Og på uten ende.

§ 3. Paradokser av Grelling og Berry

Et interessant logisk paradoks ble oppdaget av de tyske logikerne K. Grelling og L. Nelson (Grellings paradoks). Dette paradokset kan formuleres veldig enkelt.

Autologiske og heterologiske ord

Noen ord som angir egenskaper har samme egenskapen de navngir. For eksempel er adjektivet "russisk" i seg selv russisk, "flerstavelse" er i seg selv flerstavelse, og "femstavelse" i seg selv har fem stavelser. Slike ord som refererer til seg selv kalles selvmenende eller autologiske.
Det er ikke så mange slike ord, de aller fleste adjektivene har ikke egenskapene de navngir. "Ny" er selvfølgelig ikke ny, "hot" er hot, "en stavelse" er en stavelse, og "engelsk" er engelsk. Ord som ikke har egenskapen betegnet med dem kalles heterolog eller heterolog. Åpenbart vil alle adjektiver som angir egenskaper som ikke er anvendelige for ord være heterologiske.
Denne inndelingen av adjektiver i to grupper virker klar og uanstendig. Det kan utvides til substantiver: "ord" er et ord, "substantiv" er et substantiv, men "klokke" er ikke en klokke, og "verb" er ikke et verb.
Et paradoks oppstår så snart spørsmålet stilles: hvilken av de to gruppene tilhører selve adjektivet «heterologisk»? Hvis den er autologisk, har den egenskapen den utpeker og må være heterologisk. Hvis den er heterologisk, har den ikke den egenskapen den kaller, og må derfor være autologisk. Det er et paradoks.

I analogi med dette paradokset er det lett å formulere andre paradokser med samme struktur. For eksempel, er eller er ikke en suicidal person som dreper enhver ikke-suicidal person og ikke dreper noen suicidal person?

Det viste seg at Grelligs paradoks var kjent i middelalderen som antinomien til et uttrykk som ikke navngir seg selv. Man kan tenke seg holdningen til sofismer og paradokser i moderne tid, hvis problemet som krevde et svar og forårsaket livlig debatt plutselig ble glemt og ble gjenoppdaget bare fem hundre år senere!

En annen, ytre enkel antinomi ble indikert helt i begynnelsen av vårt århundre av D. Berry.

Settet med naturlige tall er uendelig. Settet med navnene på disse tallene som er tilgjengelige, for eksempel på det russiske språket og inneholder mindre enn for eksempel hundre ord, er endelig. Dette betyr at det er slike naturlige tall som det ikke finnes navn på på russisk som består av mindre enn hundre ord. Blant disse tallene er det åpenbart det minste antallet. Det kan ikke kalles ved hjelp av et russisk uttrykk som inneholder mindre enn hundre ord. Men uttrykket: "Det minste naturlige tallet, som dets komplekse navn ikke eksisterer på russisk, som består av mindre enn hundre ord" er bare navnet på dette tallet! Dette navnet har nettopp blitt formulert på russisk og inneholder bare nitten ord. Et åpenbart paradoks: det navngitte nummeret viste seg å være det det ikke er noe navn for!

§ 4. Uløselig tvist

Den berømte sofisten Protagoras, som levde på 500-tallet. f.Kr., var det en student ved navn Euathlus, som studerte juss. I henhold til avtalen som ble inngått mellom dem, måtte Euathlus betale for trening bare hvis han vant sin første rettssak. Hvis han mister denne prosessen, er han ikke forpliktet til å betale i det hele tatt. Etter å ha fullført studiene deltok imidlertid ikke Evatl i prosessene. Det varte ganske lenge, lærerens tålmodighet tok slutt, og han anla søksmål mot eleven sin. Dermed var dette den første rettssaken for Euathlus. Protagoras underbygget kravet sitt som følger:

«Uansett avgjørelsen fra retten, må Euathlus betale meg. Han vil enten vinne sin første prøve eller tape. Hvis han vinner, vil han betale i kraft av vår kontrakt. Hvis han taper, betaler han i henhold til denne avgjørelsen.

Tilsynelatende var Euathlus en dyktig student, da han svarte til Protagoras:

- Ja, enten vinner jeg prosessen eller taper den. Hvis jeg vinner, vil rettsavgjørelsen frita meg fra betalingsplikten. Hvis rettsavgjørelsen ikke er i min favør, tapte jeg min første sak og vil ikke betale i henhold til kontrakten vår.

Løsninger på paradokset "Protagoras og Euathlus"

Forvirret over denne vendingen viet Protagoras et spesielt essay til denne tvisten med Euathlus, "A Litigation for Payment." Dessverre nådde den ikke, som det meste av det som ble skrevet av Protagoras, oss. Likevel må man hylle Protagoras, som umiddelbart ante et problem bak en enkel rettslig hendelse som fortjener spesiell undersøkelse.

G. Leibniz, selv advokat av utdannelse, tok også denne striden på alvor. I sin doktorgradsavhandling «A Study of Intricate Cases in Law» forsøkte han å bevise at alle saker, også de mest intrikate, som rettssaken til Protagoras og Euathlus, må finne en riktig løsning på grunnlag av sunn fornuft. Ifølge Leibniz skulle retten nekte Protagoras for utidig innlevering av et krav, men la ham imidlertid ha rett til å kreve betaling av penger av Evatl senere, nemlig etter den første prosessen han vant.

Mange andre løsninger på dette paradokset har blitt foreslått.

De viste særlig til at en rettsavgjørelse bør ha større kraft enn en privat avtale mellom to personer. Det kan svares at uten denne avtalen, uansett hvor ubetydelig den måtte virke, ville det verken vært en domstol eller dens avgjørelse. Retten må tross alt fatte sin avgjørelse nettopp på sin anledning og på grunnlag.

De appellerte også til det generelle prinsippet om at hvert verk, og derfor arbeidet til Protagoras, må betales. Men det er kjent at dette prinsippet alltid har hatt unntak, spesielt i et slaveeiende samfunn. I tillegg er det rett og slett ikke aktuelt for den spesifikke situasjonen i tvisten: Tross alt, Protagoras, som garanterte et høyt utdanningsnivå, nektet selv å akseptere betaling i tilfelle svikt hos studenten hans i den første prosessen.

Noen ganger snakker de slik. Både Protagoras og Euathlus har begge delvis rett, og ingen av dem generelt. Hver av dem tar bare hensyn til halvparten av mulighetene som er fordelaktige for seg selv. Fullstendig eller omfattende vurdering åpner for fire muligheter, hvorav kun halvparten er gunstig for en av disputantene. Hvilken av disse mulighetene som blir realisert, det vil avgjøres ikke av logikk, men av livet. Dersom dommernes dom vil ha mer kraft enn kontrakten, må Euathl bare betale dersom han taper prosessen, d.v.s. i kraft av en rettsavgjørelse. Hvis imidlertid en privat avtale er plassert høyere enn dommernes avgjørelse, vil Protagoras motta betaling kun i tilfelle tap av prosessen til Evatlus, dvs. i kraft av en avtale med Protagoras Denne appellen til livet forvirrer alt fullstendig. Hva, om ikke logikk, kan dommere ledes av under forhold når alle relevante omstendigheter er helt klare? Og hva slags lederskap vil det være hvis Protagoras, som krever betaling gjennom retten, oppnår det bare ved å tape prosessen?

Leibniz sin løsning, som først virker overbevisende, er imidlertid litt bedre enn den vage motsetningen til logikk og liv. I hovedsak foreslår Leibniz i ettertid å endre ordlyden i kontrakten og fastsette at det første søksmålet som involverer Euathlus, hvis utfall vil avgjøre spørsmålet om betaling, ikke skal være en rettssak under søksmålet til Protagoras. Denne tanken er dyp, men ikke knyttet til en bestemt domstol. Hadde det vært en slik klausul i den opprinnelige avtalen, ville det ikke vært behov for søksmål i det hele tatt.

Hvis vi ved løsningen av denne vanskeligheten forstår svaret på spørsmålet om Euathlus skal betale Protagoras eller ikke, så er alle disse, som alle andre tenkelige løsninger, selvfølgelig uholdbare. De er ikke noe annet enn et avvik fra essensen av tvisten, de er så å si sofistiske triks og list i en håpløs og uløselig situasjon. For verken sunn fornuft eller noen generelle prinsipper om sosiale relasjoner kan avgjøre tvisten.
Det er umulig å gjennomføre kontrakten i sin opprinnelige form og rettens avgjørelse, uansett hva sistnevnte måtte være. For å bevise dette er enkle midler til logikk tilstrekkelig. På samme måte kan det også vises at traktaten, til tross for sin fullstendig uskyldige fremtoning, er selvmotsigende. Det krever realisering av et logisk umulig forslag: Euathlus må både betale for utdanningen og samtidig ikke betale.

Regler som fører til en blindvei

Menneskesinnet, som ikke bare er vant til dets styrke, men også til dets fleksibilitet og til og med oppfinnsomhet, finner det selvfølgelig vanskelig å forsone seg med denne absolutte håpløsheten og innrømme at det har blitt drevet inn i en blindvei. Dette er spesielt vanskelig når blindveien er skapt av sinnet selv: det, så å si, snubler ut av det blå og faller i sine egne garn. Likevel må man innrømme at noen ganger, og forresten, ikke så sjelden, fører avtaler og regelsystemer, dannet spontant eller innført bevisst, til uløselige, håpløse situasjoner.

Et eksempel fra nyere sjakkliv vil nok en gang bekrefte denne ideen.

Internasjonale regler for sjakkkonkurranser forplikter sjakkspillere til å registrere spillet trekk for trekk klart og leselig. Inntil nylig sa reglene også at en sjakkspiller som gikk glipp av registreringen av flere trekk på grunn av mangel på tid, må, "så snart hans tidsproblemer slutter, umiddelbart fylle ut skjemaet og skrive ned de tapte trekkene." Basert på denne instruksjonen avbrøt en dommer ved 1980 Chess Olympiad (Malta) partiet, som pågikk i vanskelige tider, og stoppet klokken og erklærte at kontrolltrekkene var gjort og at det derfor var på tide å sette postene fra spillene i rekkefølge.

"Men unnskyld meg," ropte deltakeren, som var på nippet til å tape og kun regnet med intensiteten av lidenskaper på slutten av spillet, "tross alt, ikke et eneste flagg har ennå falt og ingen kan noensinne (som det står også skrevet i reglene) kan fortelle hvor mange trekk som er gjort.
Dommeren ble imidlertid støttet av sjefsdommeren, som sa at siden tidsproblemet var over, var det nødvendig å følge reglenes bokstav, å begynne å registrere de tapte trekkene.
Det var meningsløst å argumentere i denne situasjonen: reglene i seg selv førte til en blindvei. Det gjensto bare å endre ordlyden på en slik måte at lignende saker ikke kunne oppstå i fremtiden.
Dette ble gjort på kongressen til Det internasjonale sjakkforbundet, som fant sted samtidig: i stedet for ordene «så snart problemene er over», sier reglene nå: «så snart flagget indikerer slutten av tid».
Dette eksemplet viser tydelig hvordan man skal takle situasjoner i fastlåste situasjoner. Det er nytteløst å krangle om hvilken side som har rett: tvisten er uløselig, og det vil ikke være noen vinner i den. Det gjenstår bare å forsone seg med nåtiden og ta vare på fremtiden. For å gjøre dette må du omformulere de opprinnelige avtalene eller reglene på en slik måte at de ikke fører noen andre inn i samme håpløse situasjon.
En slik fremgangsmåte er selvsagt ikke en løsning på en uløselig tvist eller en vei ut av en håpløs situasjon. Det er snarere et stopp foran et uoverkommelig hinder og en vei rundt det.

Paradoks "krokodille og mor"

I antikkens Hellas var historien om en krokodille og en mor veldig populær, og sammenfallende i dets logiske innhold med paradokset til Protagoras og Euathlus.
Krokodillen snappet barnet hennes fra en egyptisk kvinne som sto på elvebredden. På hennes bønn om å gi tilbake barnet svarte krokodillen, som alltid felte en krokodilletåre:

«Ulykken din rørte meg, og jeg vil gi deg en sjanse til å få barnet ditt tilbake. Gjett om jeg skal gi den til deg eller ikke. Svarer du riktig, returnerer jeg barnet. Hvis du ikke gjetter, gir jeg det ikke tilbake.

Tenkende svarte moren:

Du vil ikke gi meg babyen.

«Du får det ikke,» konkluderte krokodillen. Enten sa du sannheten eller så fortalte du ikke sannheten. Hvis det er sant at jeg ikke vil gi fra meg barnet, så gir jeg det ikke, for ellers blir det ikke sant. Hvis det som ble sagt ikke stemmer, så gjettet du ikke, og jeg vil ikke gi barnet etter avtale.

Dette resonnementet virket imidlertid ikke overbevisende for moren.

"Men hvis jeg fortalte sannheten, så vil du gi meg barnet, slik vi har avtalt." Hvis jeg ikke gjettet at du ikke vil gi barnet, så må du gi det til meg, ellers vil ikke det jeg sa være usant.

Hvem har rett: mor eller krokodille? Hva forplikter løftet gitt til krokodillen? For å gi barnet, eller tvert imot, ikke gi det bort? Og til begge samtidig. Dette løftet er selvmotsigende, og dermed kan det ikke oppfylles i kraft av logikkens lover.
Misjonæren befant seg sammen med kannibalene og kom akkurat i tide til middag. De lar ham velge hvordan han vil bli spist. For å gjøre dette må han komme med en uttalelse med den betingelse at hvis denne uttalelsen viser seg å være sann, vil de koke den, og hvis den viser seg å være usann, vil de steke den.

Hva skal misjonæren si?

Selvfølgelig skal han si: «Du skal steke meg».

Hvis han virkelig er stekt, vil det vise seg at han snakket sant, og derfor må han kokes. Hvis han blir kokt, vil utsagnet hans være falskt, og han bør bare stekes. Kannibalene har ingen vei ut: fra "fry" følger det "cook", og omvendt.

Denne episoden av den utspekulerte misjonæren er selvfølgelig en annen parafrase av striden mellom Protagoras og Euathlus.

Paradokset til Sancho Panza

Et gammelt paradoks kjent i antikkens Hellas spilles opp i "Don Quixote" av M. Cervantes. Sancho Panza har blitt guvernør på øya Barataria og administrerer domstolen.
Den første som kommer til ham er en besøkende og sier: «Senior, en viss eiendom er delt i to halvdeler av en dyp elv ... Så en bro har blitt kastet over denne elven, og rett der på kanten er det en galgen og det er noe som en domstol, der vanligvis sitter fire dommere, og de dømmer på grunnlag av en lov utstedt av eieren av elven, broen og hele godset, hvilken lov er utarbeidet på denne måten: la de som er gjennom, og den som lyver, uten noen form for mildhet, send dem til galgen som ligger rett der og henrett dem. Fra den tiden da denne loven ble kunngjort i all sin strenghet, klarte mange å komme seg over broen, og så snart dommerne var overbevist om at de forbipasserende fortalte sannheten, slapp de dem igjennom. Men så en dag sverget en mann som ble sverget og sa: han sverger at han kom for å bli hengt opp i akkurat denne galgen, og ikke for noe annet. Denne eden forvirret dommerne, og de sa: «Hvis denne mannen får lov til å fortsette uten hindring, vil dette bety at han har brutt eden og ifølge loven er dødsansvarlig; hvis vi henger ham, så sverget han at han kom bare for å bli hengt opp i denne galgen, derfor er eden hans, det viser seg, ikke falsk, og på grunnlag av den samme loven er det nødvendig å la ham passere. Og derfor spør jeg deg, señor guvernør, hva skal dommerne gjøre med denne mannen, for de er fortsatt forvirret og nøler...
Sancho foreslo, kanskje ikke uten list, at halvparten av personen som fortalte sannheten skulle slippes gjennom, og den som løy skulle henges, og på denne måten ville reglene for å krysse broen bli overholdt i alle former. Denne passasjen er interessant på flere måter.
For det første er det en klar illustrasjon på at den håpløse situasjonen som beskrives i paradokset godt kan møtes – og ikke i ren teori, men i praksis – om ikke en virkelig person, så i hvert fall en litterær helt.

Utveien foreslått av Sancho Panza var selvfølgelig ikke en løsning på paradokset. Men dette var bare løsningen som bare gjenstod å ty til i hans posisjon.
Det var en gang, Alexander den store, i stedet for å løsne den utspekulerte gordiske knuten, som ingen ennå har klart å gjøre, bare kuttet den. Sancho gjorde det samme. Å prøve å løse gåten på sine egne premisser var nytteløst - det var rett og slett uløselig. Det gjensto å forkaste disse forholdene og introdusere dine egne.
Og ett øyeblikk. Med denne episoden fordømmer Cervantes tydelig den ublu formelle skalaen til middelalderrettferdighet, gjennomsyret av ånden til skolastisk logikk. Men hvor utbredt i hans tid - og dette var for rundt fire hundre år siden - var informasjon fra logikkens felt! Ikke bare Cervantes selv kjenner til dette paradokset. Forfatteren finner det mulig å tillegge sin helt, en analfabet bonde, evnen til å forstå at han står overfor en uløselig oppgave!

§ 5. Andre paradokser

De ovennevnte paradoksene er argumenter, resultatet av disse er en selvmotsigelse. Men det finnes andre typer paradokser i logikken. De påpeker også noen vanskeligheter og problemer, men de gjør det på en mindre hard og kompromissløs måte. Spesielt slike er paradoksene som diskuteres nedenfor.

Paradokser av upresise konsepter

De fleste begrepene om ikke bare naturlig språk, men også vitenskapens språk er unøyaktige, eller, som de også kalles, uskarpe. Ofte viser dette seg å være årsaken til misforståelser, tvister, eller til og med rett og slett fører til vranglås.
Hvis konseptet er unøyaktig, er grensen for området av objekter som det gjelder for, blottet for skarphet, uskarp. Ta for eksempel konseptet «haug». Ett korn (et sandkorn, en stein osv.) er ennå ikke en haug. Tusen korn er tydeligvis allerede en haug. Og tre korn? Og ti? Hvor mange korn tilsettes for å danne en haug? Ikke veldig tydelig. På samme måte er det ikke klart med fjerning av hvilket korn haugen forsvinner.
De empiriske karakteristikkene "stor", "tung", "smal" osv. er unøyaktige. Slike vanlige begreper som "vis mann", "hest", "hus" osv. er unøyaktige.
Det er ikke noe sandkorn som, når det fjernes, kan vi si at med dets fjerning kan det som gjenstår ikke lenger kalles hjem. Men når alt kommer til alt, ser dette ut til å bety at det på intet tidspunkt i den gradvise demonteringen av huset – frem til dets fullstendige forsvinning – ikke er grunnlag for å erklære at det ikke er noe hus! Konklusjonen er helt klart paradoksal og nedslående.
Det er lett å se at argumentasjonen om umuligheten av å danne en haug utføres ved hjelp av den velkjente metoden for matematisk induksjon. Ett korn danner ikke en haug. Hvis n korn ikke danner hauger, danner ikke n+1 korn hauger. Derfor kan ikke et antall korn danne hauger.
Muligheten for at dette og lignende bevis fører til absurde konklusjoner gjør at prinsippet om matematisk induksjon har et begrenset omfang. Det bør ikke brukes i resonnement med unøyaktige, vage begreper.

Et godt eksempel på hvordan disse konseptene kan føre til uløselige tvister er en merkelig rettssak som fant sted i 1927 i USA. Billedhuggeren C. Brancusi gikk til retten og krevde at verkene hans ble anerkjent som kunstverk. Blant verkene som ble sendt til New York for utstillingen var skulpturen "Bird", som nå regnes som en klassiker av den abstrakte stilen. Det er en modulert søyle av polert bronse omtrent halvannen meter høy, som ikke har noen ytre likhet med en fugl. Tollere nektet kategorisk å anerkjenne Brancusis abstrakte kreasjoner som kunstverk. De la dem under «Sjukehusredskaper og husgeråd av metall» og påla dem en stor toll. Rasende saksøkte Brancusi.

Toll ble støttet av kunstnere - medlemmer av National Academy, som forsvarte tradisjonelle metoder innen kunst. De opptrådte som vitner for forsvaret under rettssaken og insisterte kategorisk på at forsøket på å gi bort «Fuglen» som et kunstverk bare var en svindel.
Denne konflikten understreker tydelig vanskeligheten med å operere med konseptet «kunstverk». Skulptur regnes tradisjonelt som en form for kunst. Men graden av likhet mellom det skulpturelle bildet og originalen kan variere innenfor svært vide rammer. Og på hvilket tidspunkt slutter et skulpturelt bilde, som i økende grad beveger seg bort fra originalen, å være et kunstverk og blir et "metallredskap"? Dette spørsmålet er like vanskelig å svare på som spørsmålet om hvor går grensen mellom et hus og dets ruiner, mellom en hest med hale og en hest uten hale, og så videre. Forresten, modernister er generelt overbevist om at skulptur er et objekt med uttrykksfull form, og det trenger ikke å være et bilde i det hele tatt.

Håndteringen av upresise begreper krever altså en viss forsiktighet. Ville det ikke vært bedre å unngå dem helt?

Den tyske filosofen E. Husserl var tilbøyelig til å kreve en slik ekstrem strenghet og presisjon fra kunnskap som ikke finnes engang i matematikk. I forbindelse med dette minner Husserls biografer med ironi om en hendelse som skjedde med ham i barndommen. Han ble presentert for en pennekniv, og bestemte seg for å gjøre bladet så skarpt som mulig, og slipte det til ingenting var igjen av bladet.
Mer presise konsepter er å foretrekke fremfor upresise i mange situasjoner. Det vanlige ønsket om å klargjøre begrepene som brukes er ganske berettiget. Men det må selvfølgelig ha sine begrensninger. Selv i vitenskapens språk er en betydelig del av begrepene unøyaktige. Og dette er ikke forbundet med individuelle forskeres subjektive og tilfeldige feil, men med selve naturvitenskapelig kunnskap. I naturlig språk er upresise konsepter overveldende; dette taler blant annet om hans fleksibilitet og latente styrke. Alle som krever den ytterste presisjon fra alle konsepter, risikerer å stå uten språk helt. "Frata ordene for enhver tvetydighet, enhver usikkerhet," skrev den franske estetikeren J. Joubert, "gjør dem ... til enkeltsifrede - spillet vil etterlate tale, og med det veltalenhet og poesi: alt som er mobilt og foranderlig i vedlegg sjel, vil ikke være i stand til å finne sitt uttrykk. Men hva sier jeg: frata ... jeg vil si mer. Frata ordet enhver unøyaktighet - og du vil miste selv aksiomer.
I lang tid tok ikke både logikere og matematikere oppmerksomhet til vanskelighetene knyttet til uklare konsepter og deres tilsvarende sett. Spørsmålet ble stilt som følger: begreper må være presise, og alt vagt er uverdig til seriøs interesse. De siste tiårene har imidlertid denne altfor strenge holdningen mistet sin appell. Logiske teorier er konstruert som spesifikt tar hensyn til det unike ved resonnement med unøyaktige begreper.
Den matematiske teorien om de såkalte fuzzy-settene, utydelig definerte samlinger av objekter, utvikler seg aktivt.
Analysen av problemer med unøyaktighet er et skritt mot å bringe logikken nærmere praksisen med vanlig tenkning. Og vi kan anta at det vil gi mange flere interessante resultater.

Paradokser i induktiv logikk

Det er kanskje ingen del av logikken som ikke har sine egne paradokser.
Induktiv logikk har sine egne paradokser, som aktivt, men så langt uten særlig suksess, har blitt bekjempet i nesten et halvt århundre. Av spesiell interesse er bekreftelsesparadokset oppdaget av den amerikanske filosofen K. Hempel. Det er naturlig å betrakte at generelle påstander, spesielt vitenskapelige lover, bekreftes av deres positive eksempler. Hvis for eksempel påstanden "Alle A er B" vurderes, vil de positive eksemplene på det være objekter som har egenskapene A og B. Spesielt støtteeksempler for påstanden "Alle ravner er svarte" er objekter som begge er ravner og svart. Dette utsagnet er imidlertid ensbetydende med utsagnet "Alle ting som ikke er svarte er ikke kråker", og bekreftelsen av sistnevnte må også være bekreftelsen av førstnevnte. Men "Alt er ikke svart er ikke en kråke" bekreftes av hvert tilfelle av en ikke-svart gjenstand som ikke er en kråke. Det viser seg derfor at observasjonene "Hvit ku", "Brune sko", etc. bekrefte uttalelsen "Alle kråker er svarte."

Et uventet paradoksalt resultat følger av tilsynelatende uskyldige premisser.

I normenes logikk skaper en rekke av dens lover bekymring. Når de er formulert i meningsfulle termer, blir deres inkonsistens med de vanlige forestillingene om rett og galt åpenbar. For eksempel sier en av lovene at fra ordren "Send et brev!" ordren «Send brevet eller brenn det!» følger.
En annen lov sier at dersom en person har brutt en av sine plikter, får han rett til å gjøre hva han vil. Vår logiske intuisjon vil ikke tåle denne typen "lover om forpliktelse".
I kunnskapslogikken diskuteres paradokset med logisk allvitenhet tungt. Han hevder at en person kjenner til alle de logiske konsekvensene som følger av posisjonene han inntar. For eksempel, hvis en person kjenner de fem postulatene til Euklids geometri, så kjenner han derfor all denne geometrien, siden den følger av dem. Men det er det ikke. En person kan være enig i postulatene og samtidig ikke være i stand til å bevise Pythagoras teorem og derfor tvile på at det generelt er sant.

§ 6. Hva er et logisk paradoks

Det finnes ingen uttømmende liste over logiske paradokser, og det er umulig.
De betraktede paradoksene er bare en del av alle de som er oppdaget så langt. Det er sannsynlig at mange andre paradokser vil bli oppdaget i fremtiden, og til og med helt nye typer av dem. Selve begrepet et paradoks er ikke så klart at det ville være mulig å sette sammen en liste over i det minste allerede kjente paradokser.
"Mengteoretiske paradokser er et veldig alvorlig problem, ikke for matematikk, men snarere for logikk og kunnskapsteorien," skriver den østerrikske matematikeren og logikeren K. Gödel. «Logikken er konsistent. Det er ingen logiske paradokser, sier matematiker D. Bochvar. Slike avvik er noen ganger betydelige, noen ganger verbale. Poenget ligger i stor grad i hva som egentlig menes med et logisk paradoks.

Det særegne ved logiske paradokser

Et nødvendig trekk ved logiske paradokser er den logiske ordboken.
Paradokser som er logiske må formuleres i logiske termer. I logikken er det imidlertid ingen klare kriterier for å dele begreper inn i logiske og ikke-logiske. Logikk, som omhandler riktigheten av resonnement, søker å redusere begrepene som riktigheten av praktisk anvendte konklusjoner avhenger av, til et minimum. Men dette minimum er ikke forhåndsbestemt entydig. I tillegg kan ikke-logiske utsagn også formuleres i logiske termer. Hvorvidt et bestemt paradoks kun bruker rent logiske premisser er langt fra alltid mulig å fastslå entydig.
Logiske paradokser er ikke stivt atskilt fra alle andre paradokser, på samme måte som de sistnevnte ikke er klart skilt fra alt som er ikke-paradoksalt og i samsvar med de rådende ideene. I begynnelsen av studiet av logiske paradokser så det ut til at de kunne skilles ut ved brudd på en ennå uutforsket posisjon eller logikkregel. Den onde sirkelprinsippet introdusert av B. Russell var spesielt aktiv i å hevde rollen til en slik regel. Dette prinsippet sier at en samling av objekter ikke kan inneholde medlemmer som kun er definert av samme samling.
Alle paradokser har én ting til felles – selvanvendbarhet, eller sirkularitet. I hver av dem er det aktuelle objektet preget av et sett med objekter som det selv tilhører. Velger vi for eksempel den mest utspekulerte personen, gjør vi dette ved hjelp av en populasjon av mennesker som denne personen tilhører. Og hvis vi sier: "Denne erklæringen er falsk," karakteriserer vi erklæringen av interesse for oss ved å referere til helheten av alle falske erklæringer som inkluderer den.

I alle paradokser er det en selvanvendelse av begreper, som betyr at det så å si er bevegelse i en sirkel, som til slutt leder til utgangspunktet. I et forsøk på å karakterisere objektet av interesse for oss, vender vi oss til settet med objekter som inkluderer det. Imidlertid viser det seg at det, for sin bestemthet, selv trenger objektet som vurderes og ikke kan forstås klart uten det. I denne sirkelen ligger kanskje kilden til paradokser.
Situasjonen kompliseres imidlertid av at en slik sirkel eksisterer i mange fullstendig ikke-paradoksale argumenter. Circular er et stort utvalg av de vanligste, harmløse og samtidig praktiske uttrykksmåtene. Eksempler som «den største av alle byer», «det minste av alle naturlige tall», «et av elektronene i jernatomet» osv., viser at ikke alle tilfeller av selvanvendelse fører til en selvmotsigelse og at det er viktig ikke bare i vanlig språk, men også i vitenskapens språk.
En ren henvisning til bruken av selvanvendelige begreper er derfor utilstrekkelig til å diskreditere paradokser. Noen tilleggskriterium er nødvendig for å skille egenanvendbarhet, som fører til et paradoks, fra alle andre tilfeller av det.
Det har vært mange forslag om dette, men ingen vellykket avklaring av sirkulæriteten er funnet. Det viste seg å være umulig å karakterisere sirkulæriteten på en slik måte at ethvert sirkulært resonnement fører til et paradoks, og hvert paradoks er et resultat av et eller annet sirkulært resonnement.
Et forsøk på å finne et spesifikt prinsipp for logikk, hvis brudd ville være et særtrekk ved alle logiske paradokser, førte ikke til noe bestemt.
En slags klassifisering av paradokser vil utvilsomt være nyttig, å dele dem inn i typer og typer, gruppere noen paradokser og sette dem i mot andre. Det er imidlertid heller ikke oppnådd noe bærekraftig i dette tilfellet.

Den engelske logikeren F. Ramsey, som døde i 1930, da han ennå ikke var tjuesju år gammel, foreslo å dele alle paradokser i syntaktiske og semantiske. Den første inkluderer for eksempel Russells paradoks, den andre - paradoksene til "Løgneren", Grelling, etc.
I følge Ramsey inneholder paradoksene i den første gruppen kun begreper som tilhører logikk eller matematikk. Sistnevnte inkluderer begreper som "sannhet", "definerbarhet", "navngivning", "språk", som ikke er strengt matematiske, men snarere relatert til lingvistikk eller til og med kunnskapsteorien. Semantiske paradokser ser ikke ut til å skylde deres utseende ikke til en feil i logikken, men til vagheten eller tvetydigheten til noen ikke-logiske begreper, derfor angår problemene de stiller språk og må løses av lingvistikk.

Det virket for Ramsey at matematikere og logikere ikke trenger å være interessert i semantiske paradokser. Senere viste det seg imidlertid at noen av de mest betydningsfulle resultatene av moderne logikk ble oppnådd nettopp i forbindelse med en dypere studie av nettopp disse ikke-logiske paradoksene.
Inndelingen av paradokser foreslått av Ramsey ble mye brukt i begynnelsen og beholder en viss betydning selv nå. Samtidig blir det stadig tydeligere at denne inndelingen er ganske vag og baserer seg først og fremst på eksempler, og ikke på en dybdekomparativ analyse av de to gruppene av paradokser. Semantiske begreper er nå godt definert, og det er vanskelig å ikke erkjenne at disse begrepene faktisk er logiske. Med utviklingen av semantikk, som definerer dens grunnleggende konsepter i form av settteori, blir skillet gjort av Ramsey stadig mer utydelig.

Paradokser og moderne logikk

Hvilke konklusjoner for logikk følger av eksistensen av paradokser?
For det første taler tilstedeværelsen av et stort antall paradokser om styrken til logikk som vitenskap, og ikke om dens svakhet, som det kan virke.

Det var ingen tilfeldighet at oppdagelsen av paradokser falt sammen med perioden med den mest intensive utviklingen av moderne logikk og dens største suksesser.
De første paradoksene ble oppdaget allerede før fremveksten av logikk som en spesiell vitenskap. Mange paradokser ble oppdaget i middelalderen. Senere viste de seg imidlertid å være glemt og ble gjenoppdaget allerede i vårt århundre.
Middelalderlogikere var ikke klar over begrepene "sett" og "element av settet", introdusert i vitenskapen først i andre halvdel av 1800-tallet. Men teften for paradokser ble finpusset i middelalderen i en slik grad at det allerede på den tidlige tiden ble uttrykt visse bekymringer om selvanvendelige begreper. Det enkleste eksemplet på dette er forestillingen om «å være sitt eget element» som dukker opp i mange av dagens paradokser.
Slik frykt, som alle advarsler om paradokser generelt, var imidlertid ikke systematisk og bestemt før i vårt århundre. De førte ikke til noen klare forslag om å se på vanlige måter å tenke og uttrykke på.
Bare moderne logikk har tatt selve problemet med paradokser ut av glemselen, oppdaget eller gjenoppdaget de fleste spesifikke logiske paradoksene. Hun viste videre at tenkemåtene tradisjonelt utforsket av logikk er helt utilstrekkelige for å eliminere paradokser, og indikerte fundamentalt nye metoder for å håndtere dem.
Paradokser stiller et viktig spørsmål: hvor svikter faktisk noen av de vanlige metodene for begrepsdannelse og resonnement oss? De virket tross alt helt naturlige og overbevisende, helt til det viste seg at de var paradoksale.

Paradokser undergraver troen på at de vanlige metodene for teoretisk tenkning alene og uten noen spesiell kontroll over dem gir en pålitelig fremgang mot sannheten.
Paradokser krever en radikal endring i en altfor godtroende tilnærming til teoretisering, og er en hard kritikk av logikken i sin naive, intuitive form. De spiller rollen som en faktor som kontrollerer og setter begrensninger på måten å konstruere deduktive logiske systemer på. Og denne rollen til dem kan sammenlignes med rollen til et eksperiment som tester riktigheten av hypoteser i slike vitenskaper som fysikk og kjemi, og tvinger dem til å gjøre endringer i disse hypotesene.
Et paradoks i en teori taler om inkompatibiliteten til forutsetningene som ligger til grunn. Det fungerer som et rettidig oppdaget symptom på sykdommen, uten hvilket det kunne ha blitt oversett.
Selvfølgelig manifesterer sykdommen seg på mange måter, og til slutt er det mulig å avsløre den uten slike akutte symptomer som paradokser. For eksempel ville grunnlaget for settteori bli analysert og foredlet selv om ingen paradokser i dette området ble oppdaget. Men det ville ikke ha vært den skarpheten og hastverket som paradoksene som ble oppdaget i den, reiste problemet med å revidere settteorien.

En omfattende litteratur er viet paradokser, et stort antall av deres forklaringer er foreslått. Men ingen av disse forklaringene er universelt akseptert, og det er ingen fullstendig enighet om opprinnelsen til paradokser og hvordan man kan bli kvitt dem.
"I løpet av de siste seksti årene har hundrevis av bøker og artikler blitt viet målet om å løse paradokser, men resultatene er utrolig dårlige sammenlignet med innsatsen som er brukt," skriver A. Frenkel. "Det ser ut som," avslutter H. Curry sin analyse av paradoksene, "at en fullstendig reform av logikken er nødvendig, og matematisk logikk kan bli hovedverktøyet for å gjennomføre denne reformen."

Det er kjent at å formulere et problem ofte er viktigere og vanskeligere enn å løse det. «I vitenskapen», skrev den engelske kjemikeren F. Soddy, «er et problem som er riktig stilt mer enn halvparten løst. Den mentale forberedelsesprosessen som kreves for å finne ut at det er en bestemt oppgave, tar ofte mer tid enn selve oppgaven.

Formene der problemsituasjonen manifesteres og realiseres er svært forskjellige. Langt fra alltid åpenbarer det seg i form av et direkte spørsmål som dukket opp helt i begynnelsen av studien. Problemenes verden er like kompleks som prosessen med erkjennelse som genererer dem. Å identifisere problemer er kjernen i kreativ tenkning. Paradokser er det mest interessante tilfellet av implisitte, spørsmålsløse måter å stille problemer på. Paradokser er vanlige i de tidlige stadiene av utviklingen av vitenskapelige teorier, når de første skritt tas i et ennå uutforsket område og de mest generelle prinsippene for tilnærming til det famles etter.

I vid forstand er et paradoks en posisjon som avviker kraftig fra allment aksepterte, etablerte, ortodokse meninger. "Generelt aksepterte meninger og det som anses som en sak for lenge siden avgjort, fortjener oftest forskning" (G. Lichtenberg). Paradoks er begynnelsen på slik forskning.

Et paradoks i snevrere og mer spesialisert forstand er to motsatte, uforenlige utsagn, for hver av dem finnes det tilsynelatende overbevisende argumenter.

Den skarpeste formen for paradoks er antinomi, et resonnement som beviser ekvivalensen til to utsagn, hvorav det ene er en negasjon av det andre.

Paradokser er spesielt kjent i de mest strenge og nøyaktige vitenskapene - matematikk og logikk. Og dette er ingen tilfeldighet.

Logikk er en abstrakt vitenskap. Det er ingen eksperimenter i det, ikke engang fakta i ordets vanlige betydning. Når man bygger sine systemer, fortsetter logikken til slutt fra analysen av reell tenkning. Men resultatene av denne analysen er syntetiske, udifferensierte. De er ikke uttalelser om noen separate prosesser eller hendelser som teorien skal forklare. En slik analyse kan selvsagt ikke kalles en observasjon: et konkret fenomen observeres alltid.

Ved å konstruere en ny teori, tar forskeren vanligvis utgangspunkt i fakta, fra det som kan observeres i eksperimentet. Uansett hvor fri hans kreative fantasi er, må den regne med én uunnværlig omstendighet: en teori gir mening bare hvis den stemmer overens med fakta som gjelder den. En teori som er uenig med fakta og observasjoner er langt inne og har ingen verdi.

Men hvis det ikke er eksperimenter i logikk, ingen fakta og ingen observasjon i seg selv, hva holder da tilbake logisk fantasi? Hvilke faktorer, om ikke fakta, tas i betraktning når man lager nye logiske teorier?

Avviket mellom logisk teori og praksisen med reell tenkning avsløres ofte i form av et mer eller mindre akutt logisk paradoks, og noen ganger til og med i form av en logisk antinomi, som snakker om teoriens indre inkonsekvens. Dette forklarer bare viktigheten som legges til paradokser i logikk, og den store oppmerksomheten de nyter i den.

Det mest kjente og kanskje det mest interessante av alle logiske paradokser er Løgner-paradokset. Det var han som forherliget navnet til Eubulides fra Milet som oppdaget det.

Det finnes varianter av dette paradokset, eller antinomien, hvorav mange bare tilsynelatende er paradoksale.

I den enkleste versjonen av "Liar" sier en person bare en setning: "Jeg lyver." Eller han sier: «Utsagnet jeg nå kommer med er falskt». Eller: "Denne påstanden er falsk."

Hvis utsagnet er usant, så fortalte taleren sannheten, og derfor er det han sa ikke løgn. Hvis påstanden ikke er usann, og taleren hevder at den er usann, så er denne påstanden usann. Det viser seg derfor at hvis taleren lyver, snakker han sannheten, og omvendt.

I middelalderen var følgende ordlyd vanlig:

"Det Platon sa er usant," sier Sokrates.

"Det Sokrates sa er sannheten," sier Platon.

Spørsmålet oppstår, hvem av dem uttrykker sannheten, og hvilken er løgn?

Og her er et moderne paradoks av dette paradokset. La oss anta at bare ordene er skrevet på forsiden av kortet: "På den andre siden av dette kortet er det skrevet et sant utsagn." Det er tydelig at disse ordene representerer en meningsfull uttalelse. Når vi snur kortet, må vi enten finne den lovede uttalelsen, eller så er den ikke der. Hvis det er skrevet på baksiden, så er det enten sant eller ikke. På baksiden står imidlertid ordene: "Det er en falsk erklæring skrevet på den andre siden av dette kortet" - og ingenting mer. Anta at påstanden på forsiden er sann. Da må påstanden på baksiden være sann, og derfor må påstanden på forsiden være usann. Men hvis påstanden på forsiden er usann, så må påstanden på baksiden også være usann, og derfor må påstanden på forsiden være sann. Resultatet er et paradoks.

Løgnerparadokset gjorde et enormt inntrykk på grekerne. Og det er lett å se hvorfor. Spørsmålet det stiller ved første øyekast virker ganske enkelt: lyver han som bare sier at han lyver? Men svaret "ja" fører til svaret "nei", og omvendt. Og refleksjon avklarer ikke situasjonen i det hele tatt. Bak spørsmålets enkelhet og til og med rutine, avslører det en uklar og umåtelig dybde.

Det er til og med en legende om at en viss Filit Kossky, desperat etter å løse dette paradokset, begikk selvmord. Det sies også at en av de berømte eldgamle greske logikerne, Diodorus Kronos, allerede i sine fallende år, avla et løfte om ikke å spise før han fant løsningen til "løgneren", og snart døde uten å oppnå noe.

I middelalderen ble dette paradokset referert til de såkalte uavgjørlige setningene og ble gjenstand for systematisk analyse.

I moderne tid vakte ikke "Løgneren" noen oppmerksomhet på lenge. De så ingen, selv mindre, vanskeligheter med bruken av språket. Og først i vår, såkalte moderne tid, nådde utviklingen av logikken endelig et nivå da det ble mulig å formulere problemene som ser ut til å ligge bak dette paradokset i strenge termer.

Nå blir «Liar» – denne typiske tidligere sofismen – ofte omtalt som kongen av logiske paradokser. En omfattende vitenskapelig litteratur er viet ham. Og likevel, som i tilfellet med mange andre paradokser, er det fortsatt ikke helt klart hvilke problemer som ligger bak og hvordan man kan bli kvitt det.

Nå regnes "Løgneren" vanligvis som et karakteristisk eksempel på vanskelighetene som forvirringen av to språk fører til: språket man snakker om en virkelighet som ligger utenfor den, og språket man snakker om selve morsmål.

I dagligspråket er det ingen forskjell mellom disse nivåene: vi snakker samme språk om virkeligheten og om språket. For eksempel, en person som har russisk morsmål, ser ingen spesiell forskjell mellom utsagnene: "Glass er gjennomsiktig" og "Det er sant at glass er gjennomsiktig", selv om en av dem snakker om glass, og den andre om en uttalelse om glass.

Hvis noen hadde en idé om behovet for å snakke om verden på ett språk, og om egenskapene til dette språket på et annet, kunne han bruke to forskjellige eksisterende språk, la oss si russisk og engelsk. I stedet for bare å si "Ku er et substantiv", vil jeg si "Ku er et substantiv", og i stedet for "utsagnet "Glass er ikke gjennomsiktig" er usant" vil jeg si "påstanden "Glass er ikke gjennomsiktig" er usant ". Med denne bruken av to forskjellige språk ville det som sies om verden være klart forskjellig fra det som sies om språket man snakker om verden med. Faktisk vil de første uttalelsene referere til det russiske språket, mens de andre vil referere til engelsk.

Hvis vår ekspert på språk videre ønsker å snakke ut om noen forhold som allerede angår det engelske språket, kan han bruke et annet språk. La oss si tysk. For å snakke om dette siste kan man ty, la oss si, til det spanske språket, og så videre.

Det viser seg derfor en slags stige, eller hierarki, av språk, som hver brukes til et veldig spesifikt formål: i den første snakker de om den objektive verden, i den andre - om dette førstespråket, i tredje - om andrespråket osv. Et slikt skille mellom språk i henhold til deres bruksområde er en sjelden forekomst i hverdagen. Men i vitenskapene, som i likhet med logikk spesifikt omhandler språk, viser det seg noen ganger å være veldig nyttig. Språket som brukes til å snakke om verden kalles vanligvis objektspråk. Språket som brukes for å beskrive fagspråket kalles et metaspråk.

Det er klart at dersom språk og metaspråk avgrenses på denne måten, kan ikke utsagnet «jeg lyver» lenger formuleres. Den snakker om falskheten i det som sies på russisk, og tilhører derfor metaspråket og må uttrykkes på engelsk. Konkret skal det høres slik ut: «Alt jeg snakker på russisk er falskt» («Alt jeg sier på russisk er falsk»); denne engelske uttalelsen sier ingenting om seg selv, og det oppstår ikke noe paradoks.

Skillet mellom språk og metaspråk gjør det mulig å eliminere «Løgner»-paradokset. Dermed blir det mulig å korrekt, uten motsetning, definere det klassiske sannhetsbegrepet: et utsagn er sant som samsvarer med den virkeligheten den beskriver.

Sannhetsbegrepet, som alle andre semantiske begreper, har en relativ karakter: det kan alltid tilskrives et bestemt språk.

Som den polske logikeren A. Tarski viste, bør den klassiske definisjonen av sannhet formuleres på et språk som er bredere enn språket den er ment for. Med andre ord, hvis vi ønsker å indikere hva uttrykket "et utsagn sant på et gitt språk" betyr, må vi i tillegg til uttrykkene til dette språket også bruke uttrykk som ikke er i det.

Tarski introduserte begrepet et semantisk lukket språk. Et slikt språk inkluderer, i tillegg til uttrykkene, navnene deres, og også, som er viktig å understreke, uttalelser om sannheten til setningene som er formulert i det.

Det er ingen grense mellom språk og metaspråk i et semantisk lukket språk. Dens midler er så rike at de ikke bare tillater å hevde noe om utenomspråklig virkelighet, men også å vurdere sannheten i slike utsagn. Disse midlene er spesielt tilstrekkelige til å gjengi antinomien "Løgner" i språket. Et semantisk lukket språk viser seg dermed å være selvmotsigende. Ethvert naturlig språk er åpenbart semantisk lukket.

Den eneste akseptable måten å eliminere antinomi, og dermed intern inkonsekvens, er ifølge Tarski å forlate bruken av et semantisk lukket språk. Denne veien er selvfølgelig akseptabel bare i tilfelle av kunstige, formaliserte språk som tillater en klar inndeling i språk og metaspråk. I naturlige språk, med sin obskure struktur og evnen til å snakke om alt på samme språk, er denne tilnærmingen lite realistisk. Det gir ingen mening å reise spørsmålet om den interne konsistensen til disse språkene. Deres rike uttrykksmuligheter har også sin bakside – paradokser.

Så det er utsagn som snakker om deres egen sannhet eller usannhet. Tanken om at slike utsagn ikke er meningsfulle er veldig gammel. Det ble forsvart av den gamle greske logikeren Chrysippus.

I middelalderen uttalte den engelske filosofen og logikeren W. Ockham at utsagnet «Every statement is false» er meningsløst, siden det blant annet snakker om sin egen usannhet. En selvmotsigelse følger direkte av denne uttalelsen. Hvis hver påstand er usann, så er også påstanden i seg selv; men at det er usant betyr at ikke alle påstander er falske. Situasjonen er lik med utsagnet "Hver utsagn er sann." Det må også klassifiseres som meningsløst og fører også til en selvmotsigelse: hvis hvert utsagn er sant, så er negasjonen av dette utsagnet i seg selv også sant, det vil si utsagnet om at ikke alle utsagn er sanne.

Hvorfor kan imidlertid ikke en uttalelse på en meningsfull måte snakke om sin egen sannhet eller usannhet?

Allerede en samtid av Ockham, den franske filosofen på 1400-tallet. J. Buridan var ikke enig i avgjørelsen hans. Fra synspunktet til vanlige ideer om meningsløshet, uttrykk som "Jeg lyver", "Hver utsagn er sann (falsk)", etc. ganske meningsfylt. Hva du kan tenke på, hva du kan si - dette er det generelle prinsippet til Buridan. En person kan tenke på sannheten i utsagnet han uttaler, noe som betyr at han kan snakke om det. Ikke alle utsagn om seg selv er meningsløse. For eksempel er påstanden "Denne setningen er skrevet på russisk" sant, men påstanden "Det er ti ord i denne setningen" er usann. Og begge gir perfekt mening. Hvis det innrømmes at et utsagn kan snakke om seg selv, hvorfor er det da ikke i stand til å snakke meningsfullt om en slik egenskap ved seg selv som sannhet?

Buridan selv anså påstanden «jeg lyver» som ikke meningsløs, men falsk. Han begrunnet det slik. Når en person bekrefter et forslag, hevder han dermed at det er sant. Hvis setningen sier om seg selv at den i seg selv er usann, så er den bare en forkortet formulering av et mer komplekst uttrykk som hevder både dens sannhet og dens falskhet. Dette uttrykket er selvmotsigende og derfor falskt. Men det er på ingen måte meningsløst.

Buridans argumentasjon anses fortsatt noen ganger som overbevisende.

Det er andre linjer med kritikk av løsningen på "Liar"-paradokset, som ble utviklet i detalj av Tarski. Finnes det virkelig ingen motgift mot paradokser av denne typen i semantisk lukkede språk – og alle naturlige språk er det tross alt?

Hvis dette var tilfelle, så kunne begrepet sannhet bare defineres på en streng måte i formaliserte språk. Bare i dem er det mulig å skille mellom det objektive språket som folk snakker om omverdenen på og metaspråket de snakker om dette språket på. Dette hierarkiet av språk er modellert på tilegnelse av et fremmedspråk ved hjelp av et morsmål. Studiet av et slikt hierarki førte til mange interessante konklusjoner, og i visse tilfeller er det avgjørende. Men det finnes ikke i naturlig språk. Diskrediterer det ham? Og i så fall i hvilken grad? Tross alt brukes sannhetsbegrepet fortsatt i det, og vanligvis uten komplikasjoner. Er det å innføre et hierarki den eneste måten å eliminere paradokser som Liar?

På 1930-tallet virket svarene på disse spørsmålene utvilsomt bekreftende. Men nå er det ingen tidligere enstemmighet, selv om tradisjonen med å eliminere paradokser av denne typen ved å "stratifisere" språket fortsatt er dominerende.

I det siste har egosentriske uttrykk vakt mer og mer oppmerksomhet. De inneholder ord som "jeg", "dette", "her", "nå", og deres sannhet avhenger av når, av hvem, hvor de brukes.

I utsagnet "Denne påstanden er falsk" forekommer ordet "dette". Hvilket objekt refererer det til? "Løgner" kan indikere at ordet "det" ikke refererer til betydningen av det gitte utsagnet. Men hva refererer det til, hva betyr det? Og hvorfor kan ikke denne betydningen fortsatt betegnes med ordet "dette"?

Uten å gå i detaljer her, er det bare verdt å merke seg at i sammenheng med analysen av egosentriske uttrykk er «Liar» fylt med et helt annet innhold enn tidligere. Det viser seg at han ikke lenger advarer mot forveksling av språk og metaspråk, men påpeker farene forbundet med misbruk av ordet «dette» og lignende egosentriske ord.

Problemstillingene som har knyttet til seg «Løgneren» gjennom århundrene har endret seg radikalt avhengig av om den ble sett på som et eksempel på tvetydighet, eller som et uttrykk utad presentert som et eksempel på en blanding av språk og metaspråk, eller til slutt som et typisk eksempel på misbruk av egosentriske uttrykk. Og det er ingen sikkerhet for at andre problemer ikke vil være forbundet med dette paradokset i fremtiden.

Den kjente moderne finske logikeren og filosofen G. von Wright skrev i sitt arbeid om Løgneren at dette paradokset på ingen måte skal forstås som en lokal, isolert hindring som kan fjernes med én oppfinnsom tankebevegelse. Liar berører mange av de viktigste temaene innen logikk og semantikk. Dette er definisjonen av sannhet, og tolkningen av selvmotsigelse og bevis, og en hel rekke viktige forskjeller: mellom en setning og tanken uttrykt av den, mellom bruken av et uttrykk og dets omtale, mellom betydningen av et navn og objektet det betegner.

Situasjonen er lik andre logiske paradokser. "Logikkens antinomier," skriver von Wright, "har undret oss siden oppdagelsen og vil sannsynligvis alltid forvirre oss. Vi bør, synes jeg, se på dem ikke så mye som problemer som venter på å bli løst, men som et uuttømmelig råstoff for ettertanke. De er viktige fordi å tenke på dem berører de mest grunnleggende spørsmålene i all logikk, og derfor all tanke.»

Som avslutning på denne samtalen om "Løgneren" kan vi minne om en merkelig episode fra tiden da formell logikk fortsatt ble undervist på skolen. I en logikk-lærebok utgitt på slutten av 1940-tallet, ble elever i åttende klasse bedt om som en hjemmeoppgave – som en oppvarming, så å si – om å finne feilen som ble gjort i denne enkle utsagnet: «Jeg lyver». Og la det ikke virke rart, det ble antatt at flertallet av skolebarn klarte en slik oppgave.

Det mest kjente av paradoksene som ble oppdaget allerede i vårt århundre er antinomien som ble oppdaget av B. Russell og formidlet av ham i et brev til G. Ferge. Den samme antinomien ble diskutert samtidig i Göttingen av de tyske matematikerne Z. Zermelo og D. Hilbert.

Ideen lå i luften, og publiseringen ga inntrykk av en eksploderende bombe. Dette paradokset forårsaket i matematikk, ifølge Hilbert, effekten av fullstendig katastrofe. De enkleste og viktigste logiske metodene, de vanligste og mest nyttige konseptene, er truet.

Det ble umiddelbart åpenbart at verken i logikken eller i matematikken, i hele den lange historien til deres eksistens, var noe bestemt utformet som kunne tjene som grunnlag for å eliminere antinomien. Det var tydeligvis nødvendig å avvike fra vanlige måter å tenke på. Men fra hvor og i hvilken retning? Hvor radikal skulle avvisningen av etablerte teoretiseringsmetoder være?

Med videre studier av antinomi vokste overbevisningen om behovet for en fundamentalt ny tilnærming stadig. Et halvt århundre etter oppdagelsen uttalte spesialistene i grunnlaget for logikk og matematikk L. Frenkel og I. Bar-Hillel allerede uten forbehold: , så langt uunngåelig mislykket, er åpenbart utilstrekkelige for dette formålet.

Den moderne amerikanske logikeren H. Curry skrev litt senere om dette paradokset: «Når det gjelder logikken kjent på 1800-tallet, trosset situasjonen rett og slett forklaring, selv om det selvfølgelig i vår utdannede tidsalder kan være mennesker som ser (eller tror de ser ), hva er feilen?

Russells paradoks i sin opprinnelige form er forbundet med begrepet et sett, eller en klasse.

Vi kan snakke om sett med forskjellige objekter, for eksempel om mengden av alle mennesker eller om settet med naturlige tall. Et element i det første settet vil være en hvilken som helst individuell person, et element i det andre - hvert naturlig tall. Det er også mulig å betrakte settene seg selv som noen objekter og snakke om sett med sett. Man kan til og med introdusere slike konsepter som settet med alle sett eller settet med alle konsepter.

Med hensyn til ethvert sett vilkårlig tatt, virker det rimelig å spørre om det er sitt eget element eller ikke. Sett som ikke inneholder seg selv som et element vil bli kalt vanlige. For eksempel er settet av alle mennesker ikke en person, akkurat som settet med atomer ikke er et atom. Sett som er riktige elementer vil være uvanlige. For eksempel er et sett som forener alle sett et sett og inneholder derfor seg selv som et element.

Vurder nå settet med alle vanlige sett. Siden det er et sett kan man også spørre om det er vanlig eller uvanlig. Svaret er imidlertid nedslående. Hvis det er vanlig, må det per definisjon inneholde seg selv som et element, siden det inneholder alle vanlige sett. Men dette betyr at det er et uvanlig sett. Antakelsen om at vårt sett er et vanlig sett fører dermed til en selvmotsigelse. Så det kan ikke være normalt. På den annen side kan det heller ikke være uvanlig: et uvanlig sett inneholder seg selv som et element, og elementene i settet vårt er bare vanlige sett. Som et resultat kommer vi til den konklusjon at settet med alle ordinære sett ikke kan være verken ordinære eller ekstraordinære.

Dermed er settet med alle sett som ikke er riktige elementer et riktig element hvis og bare hvis det ikke er et slikt element. Dette er en klar motsetning. Og det ble oppnådd på grunnlag av de mest plausible forutsetninger og ved hjelp av tilsynelatende udiskutable trinn.

Motsetningen sier at et slikt sett rett og slett ikke eksisterer. Men hvorfor kan det ikke eksistere? Tross alt består den av objekter som tilfredsstiller en veldefinert betingelse, og tilstanden i seg selv ser ikke ut til å være på en eller annen måte eksepsjonell eller uklar. Hvis et sett så enkelt og klart definert ikke kan eksistere, hva er da forskjellen mellom mulige og umulige sett? Konklusjonen om ikke-eksistensen av det vurderte settet høres uventet ut og inspirerer til angst. Det gjør vår generelle forestilling om et sett amorf og kaotisk, og det er ingen garanti for at den ikke kan gi opphav til noen nye paradokser.

Russells paradoks er bemerkelsesverdig for sin ekstreme generalitet. For dens konstruksjon er det ikke nødvendig med komplekse tekniske konsepter, da i tilfellet med noen andre paradokser, er begrepene "sett" og "element av settet" tilstrekkelig. Men denne enkelheten taler bare om dens grunnleggende natur: den berører det dypeste grunnlaget for våre resonnementer om mengder, siden den ikke snakker om noen spesielle tilfeller, men om mengder generelt.

Russells paradoks er ikke spesifikt matematisk. Den bruker konseptet med et sett, men berører ikke noen spesielle egenskaper knyttet spesifikt til matematikk.

Dette blir tydelig når paradokset omformuleres i rent logiske termer.

Av enhver eiendom kan man etter all sannsynlighet spørre om den er gjeldende for seg selv eller ikke.

Egenskapen til å være varm, for eksempel, gjelder ikke seg selv, siden den ikke er varm i seg selv; egenskapen til å være konkret refererer heller ikke til seg selv, for den er en abstrakt egenskap. Men egenskapen til å være abstrakt, å være abstrakt, gjelder en selv. La oss kalle disse egenskapene uanvendelige for seg selv uanvendelige. Gjelder egenskapen å være uanvendelig for seg selv? Det viser seg at uanvendelighet er uanvendelig bare hvis den ikke er det. Dette er selvsagt paradoksalt.

Den logiske, egenskapsrelaterte varianten av Russells antinomi er like paradoksal som den matematiske, settrelaterte varianten.

Russell foreslo også følgende populære versjon av paradokset han oppdaget.

Tenk deg at rådet i en landsby definerte pliktene til en barber som følger: å barbere alle mennene i landsbyen som ikke barberer seg selv, og bare disse mennene. Bør han barbere seg? I så fall vil det referere til de som barberer seg, og de som barberer seg, han skal ikke barbere seg. Hvis ikke, vil han tilhøre dem som ikke barberer seg, og derfor må han barbere seg selv. Vi kommer dermed frem til at denne barbereren barberer seg hvis og bare hvis han ikke barberer seg selv. Dette er selvfølgelig umulig.

Argumentasjonen om frisøren er basert på antakelsen om at det finnes en slik barberer. Den resulterende motsetningen betyr at denne antagelsen er falsk, og det er ingen slik landsbyboer som vil barbere alle dem og bare de landsbyboerne som ikke barberer seg.

Frisørens plikter virker ikke motstridende ved første øyekast, så konklusjonen om at det ikke kan være en, høres noe uventet ut. Denne konklusjonen er imidlertid ikke paradoksal. Vilkåret som bygdebarberen må tilfredsstille er faktisk selvmotsigende og derfor umulig. Det kan ikke være en slik frisør i en landsby av samme grunn som det ikke er noen i den som ville være eldre enn ham selv eller som ville bli født før han ble født.

Argumentasjonen om frisøren kan kalles et pseudo-paradoks. I sitt forløp er det strengt tatt analogt med Russells paradoks, og det er dette som gjør det interessant. Men det er fortsatt ikke et sant paradoks.

Et annet eksempel på det samme pseudo-paradokset er det velkjente katalogargumentet.

Et visst bibliotek bestemte seg for å sette sammen en bibliografisk katalog som ville inkludere alle disse og bare de bibliografiske katalogene som ikke inneholder referanser til seg selv. Bør en slik katalog inneholde en lenke til seg selv?

Det er lett å vise at ideen om å lage en slik katalog ikke er gjennomførbar; den kan rett og slett ikke eksistere, fordi den samtidig må inkludere en referanse til seg selv og ikke inkludere.

Det er interessant å merke seg at katalogisering av alle kataloger som ikke inneholder referanser til seg selv kan betraktes som en uendelig prosess som aldri tar slutt. La oss si at det på et tidspunkt ble kompilert en katalog, for eksempel K1, inkludert alle andre kataloger som ikke inneholder referanser til seg selv. Med opprettelsen av K1 dukket det opp en annen katalog som ikke inneholder en lenke til seg selv. Siden målet er å lage en komplett katalog over alle kataloger som ikke nevner seg selv, er det åpenbart at K1 ikke er løsningen. Han nevner ikke en av disse katalogene – seg selv. Inkludert denne omtalen av seg selv i K1, får vi K2-katalogen. Den nevner K1, men ikke K2 selv. Legger vi en slik omtale til K2, får vi KZ, som igjen ikke er komplett på grunn av at den ikke nevner seg selv. Og på uten ende.

Et interessant logisk paradoks ble oppdaget av de tyske logikerne K. Grelling og L. Nelson (Grellings paradoks). Dette paradokset kan formuleres veldig enkelt.

Noen ord som angir egenskaper har samme egenskapen de navngir. For eksempel er adjektivet "russisk" i seg selv russisk, "flerstavelse" er i seg selv flerstavelse, og "femstavelse" i seg selv har fem stavelser. Slike ord som refererer til seg selv kalles selvmenende eller autologiske.

Det er ikke så mange slike ord, de aller fleste adjektivene har ikke egenskapene de navngir. "Ny" er selvfølgelig ikke ny, "hot" er hot, "en stavelse" er en stavelse, og "engelsk" er engelsk. Ord som ikke har egenskapen de betegner kalles aliaser, eller heterologiske. Åpenbart vil alle adjektiver som angir egenskaper som ikke er anvendelige for ord være heterologiske.

Denne inndelingen av adjektiver i to grupper virker klar og uanstendig. Det kan utvides til substantiver: "ord" er et ord, "substantiv" er et substantiv, men "klokke" er ikke en klokke, og "verb" er ikke et verb.

Et paradoks dukker opp så snart spørsmålet stilles: hvilken av de to gruppene tilhører selve adjektivet «heterologisk»? Hvis den er autologisk, har den egenskapen den utpeker og må være heterologisk. Hvis den er heterologisk, har den ikke den egenskapen den kaller, og må derfor være autologisk. Det er et paradoks.

I analogi med dette paradokset er det lett å formulere andre paradokser med samme struktur. For eksempel, er eller er ikke en suicidal person som dreper enhver ikke-suicidal person og ikke dreper noen suicidal person?

Det viste seg at Grelligs paradoks var kjent i middelalderen som antinomien til et uttrykk som ikke navngir seg selv. Man kan tenke seg holdningen til sofismer og paradokser i moderne tid, hvis problemet som krevde et svar og forårsaket livlig debatt plutselig ble glemt og ble gjenoppdaget bare fem hundre år senere!

En annen, ytre enkel antinomi ble indikert helt i begynnelsen av vårt århundre av D. Berry.

Settet med naturlige tall er uendelig. Settet med navnene på disse tallene som er tilgjengelige, for eksempel på det russiske språket og inneholder mindre enn for eksempel hundre ord, er endelig. Dette betyr at det er slike naturlige tall som det ikke finnes navn på på russisk som består av mindre enn hundre ord. Blant disse tallene er det åpenbart det minste antallet. Det kan ikke kalles ved hjelp av et russisk uttrykk som inneholder mindre enn hundre ord. Men uttrykket: "Det minste naturlige tallet som dets komplekse navn ikke eksisterer på russisk, som består av mindre enn hundre ord" er bare navnet på dette tallet! Dette navnet har nettopp blitt formulert på russisk og inneholder bare nitten ord. Et åpenbart paradoks: det navngitte nummeret viste seg å være det det ikke er noe navn for!

I kjernen av et kjent paradoks ligger det som ser ut til å være en liten hendelse som skjedde for mer enn to tusen år siden og som ikke har blitt glemt den dag i dag.

Den berømte sofisten Protagoras, som levde på 500-tallet. f.Kr., var det en student ved navn Euathlus, som studerte juss. I henhold til avtalen som ble inngått mellom dem, måtte Euathlus betale for trening bare hvis han vant sin første rettssak. Hvis han mister denne prosessen, er han ikke forpliktet til å betale i det hele tatt. Etter å ha fullført studiene deltok imidlertid ikke Evatl i prosessene. Det varte ganske lenge, lærerens tålmodighet tok slutt, og han anla søksmål mot eleven sin. Dermed var dette den første rettssaken for Euathlus. Protagoras underbygget kravet sitt som følger:

«Uansett avgjørelsen fra retten, må Euathlus betale meg. Han vil enten vinne sin første prøve eller tape. Hvis han vinner, vil han betale i kraft av vår kontrakt. Hvis han taper, betaler han i henhold til denne avgjørelsen.

Tilsynelatende var Euathlus en dyktig student, da han svarte til Protagoras:

- Ja, enten vinner jeg prosessen eller taper den. Hvis jeg vinner, vil rettsavgjørelsen frita meg fra betalingsplikten. Hvis rettsavgjørelsen ikke er i min favør, tapte jeg min første sak og vil ikke betale i henhold til kontrakten vår.

Forvirret over denne vendingen i saken, viet Protagoras et spesielt essay til denne tvisten med Euathlus, "Litigation for Payment." Dessverre nådde den ikke, som det meste av det som ble skrevet av Protagoras, oss. Likevel må man hylle Protagoras, som umiddelbart ante et problem bak en enkel rettslig hendelse som fortjener spesiell undersøkelse.

G. Leibniz, selv advokat av utdannelse, tok også denne striden på alvor. I sin doktorgradsavhandling «A Study of Intricate Cases in Law» forsøkte han å bevise at alle saker, også de mest intrikate, som rettssaken til Protagoras og Euathlus, må finne en riktig løsning på grunnlag av sunn fornuft. Ifølge Leibniz skulle retten nekte Protagoras for utidig innlevering av et krav, men la ham imidlertid ha rett til å kreve betaling av penger av Evatl senere, nemlig etter den første prosessen han vant.

Mange andre løsninger på dette paradokset har blitt foreslått.

De viste særlig til at en rettsavgjørelse bør ha større kraft enn en privat avtale mellom to personer. Det kan svares at uten denne avtalen, uansett hvor ubetydelig den måtte virke, ville det verken vært en domstol eller dens avgjørelse. Retten må tross alt fatte sin avgjørelse nettopp på sin anledning og på grunnlag.

De appellerte også til det generelle prinsippet om at hvert verk, og derfor arbeidet til Protagoras, må betales. Men det er kjent at dette prinsippet alltid har hatt unntak, spesielt i et slaveeiende samfunn. I tillegg er det rett og slett ikke aktuelt for den spesifikke situasjonen i tvisten: Tross alt, Protagoras, som garanterte et høyt utdanningsnivå, nektet selv å akseptere betaling i tilfelle svikt hos studenten hans i den første prosessen.

Noen ganger snakker de slik. Både Protagoras og Euathlus har begge delvis rett, og ingen av dem generelt. Hver av dem tar bare hensyn til halvparten av mulighetene som er fordelaktige for seg selv. Fullstendig eller omfattende vurdering åpner for fire muligheter, hvorav kun halvparten er gunstig for en av disputantene. Hvilken av disse mulighetene som blir realisert, det vil avgjøres ikke av logikk, men av livet. Dersom dommernes dom vil ha mer kraft enn kontrakten, må Euathl bare betale dersom han taper prosessen, d.v.s. i kraft av en rettsavgjørelse. Hvis imidlertid en privat avtale er plassert høyere enn dommernes avgjørelse, vil Protagoras motta betaling kun i tilfelle tap av prosessen til Evatlus, dvs. i kraft av en avtale med Protagoras.

Denne appellen til livet forvirrer til slutt alt. Hva, om ikke logikk, kan dommere ledes av under forhold når alle relevante omstendigheter er helt klare? Og hva slags lederskap vil det være hvis Protagoras, som krever betaling gjennom retten, oppnår det bare ved å tape prosessen?

Leibniz sin løsning, som først virker overbevisende, er imidlertid litt bedre enn den vage motsetningen til logikk og liv. I hovedsak foreslår Leibniz i ettertid å endre ordlyden i kontrakten og fastsette at det første søksmålet som involverer Euathlus, hvis utfall vil avgjøre spørsmålet om betaling, ikke skal være en rettssak under søksmålet til Protagoras. Denne tanken er dyp, men ikke knyttet til en bestemt domstol. Hadde det vært en slik klausul i den opprinnelige avtalen, ville det ikke vært behov for søksmål i det hele tatt.

Hvis vi ved løsningen av denne vanskeligheten forstår svaret på spørsmålet om Euathlus skal betale Protagoras eller ikke, så er alle disse, som alle andre tenkelige løsninger, selvfølgelig uholdbare. De er ikke noe annet enn et avvik fra essensen av tvisten, de er så å si sofistiske triks og list i en håpløs og uløselig situasjon. For verken sunn fornuft eller noen generelle prinsipper om sosiale relasjoner kan avgjøre tvisten.

Det er umulig å gjennomføre kontrakten i sin opprinnelige form og rettens avgjørelse, uansett hva sistnevnte måtte være. For å bevise dette er enkle midler til logikk tilstrekkelig. På samme måte kan det også vises at traktaten, til tross for sin fullstendig uskyldige fremtoning, er selvmotsigende. Det krever realisering av et logisk umulig forslag: Euathlus må både betale for utdanningen og samtidig ikke betale.

Menneskesinnet, som ikke bare er vant til dets styrke, men også til dets fleksibilitet og til og med oppfinnsomhet, finner det selvfølgelig vanskelig å forsone seg med denne absolutte håpløsheten og innrømme at det har blitt drevet inn i en blindvei. Dette er spesielt vanskelig når blindveien er skapt av sinnet selv: det, så å si, snubler ut av det blå og faller i sine egne garn. Likevel må man innrømme at noen ganger, og forresten, ikke så sjelden, fører avtaler og regelsystemer, dannet spontant eller innført bevisst, til uløselige, håpløse situasjoner.

Et eksempel fra nyere sjakkliv vil nok en gang bekrefte denne ideen.

Internasjonale regler for sjakkkonkurranser forplikter sjakkspillere til å registrere spillet trekk for trekk klart og leselig. Inntil nylig sa reglene også at en sjakkspiller som gikk glipp av registreringen av flere trekk på grunn av mangel på tid, må, "så snart hans tidsproblemer slutter, umiddelbart fylle ut skjemaet og skrive ned de tapte trekkene." Basert på denne instruksjonen avbrøt en dommer ved 1980 Chess Olympiad (Malta) partiet, som pågikk i vanskelige tider, og stoppet klokken og erklærte at kontrolltrekkene var gjort og at det derfor var på tide å sette postene fra spillene i rekkefølge.

"Men unnskyld meg," ropte deltakeren, som var på nippet til å tape og kun regnet med intensiteten av lidenskaper på slutten av spillet, "tross alt, ikke et eneste flagg har ennå falt og ingen kan noensinne (som det står også skrevet i reglene) kan fortelle hvor mange trekk som er gjort.

Dommeren ble imidlertid støttet av sjefsdommeren, som sa at siden tidsproblemet var over, var det nødvendig å følge reglenes bokstav, å begynne å registrere de tapte trekkene.

Det var meningsløst å argumentere i denne situasjonen: reglene i seg selv førte til en blindvei. Det gjensto bare å endre ordlyden på en slik måte at lignende saker ikke kunne oppstå i fremtiden.

Dette ble gjort på kongressen til Det internasjonale sjakkforbundet, som fant sted samtidig: i stedet for ordene «så snart problemene er over», sier reglene nå: «så snart flagget indikerer slutten av tid».

Dette eksemplet viser tydelig hvordan man skal takle situasjoner i fastlåste situasjoner. Det er nytteløst å krangle om hvilken side som har rett: tvisten er uløselig, og det vil ikke være noen vinner i den. Det gjenstår bare å forsone seg med nåtiden og ta vare på fremtiden. For å gjøre dette må du omformulere de opprinnelige avtalene eller reglene på en slik måte at de ikke fører noen andre inn i samme håpløse situasjon.

En slik fremgangsmåte er selvsagt ikke en løsning på en uløselig tvist eller en vei ut av en håpløs situasjon. Det er snarere et stopp foran et uoverkommelig hinder og en vei rundt det.

I antikkens Hellas var historien om en krokodille og en mor veldig populær, og sammenfallende i dets logiske innhold med paradokset "Protagoras og Euathlus".

Krokodillen snappet barnet hennes fra en egyptisk kvinne som sto på elvebredden. På hennes bønn om å gi tilbake barnet svarte krokodillen, som alltid felte en krokodilletåre:

«Ulykken din rørte meg, og jeg vil gi deg en sjanse til å få barnet ditt tilbake. Gjett om jeg skal gi den til deg eller ikke. Svarer du riktig, returnerer jeg barnet. Hvis du ikke gjetter, gir jeg det ikke tilbake.

Tenkende svarte moren:

Du vil ikke gi meg babyen.

"Du får det ikke," konkluderte krokodillen. Enten sa du sannheten eller så gjorde du det ikke. Hvis det er sant at jeg ikke vil gi fra meg barnet, så gir jeg det ikke, for ellers blir det ikke sant. Hvis det som ble sagt ikke stemmer, så gjettet du ikke, og jeg vil ikke gi barnet etter avtale.

Dette resonnementet virket imidlertid ikke overbevisende for moren.

– Men hvis jeg fortalte sannheten, så skal du gi meg barnet, slik vi ble enige om. Hvis jeg ikke gjettet at du ikke vil gi barnet, så må du gi det til meg, ellers vil ikke det jeg sa være usant.

Hvem har rett: mor eller krokodille? Hva forplikter løftet gitt til krokodillen? For å gi barnet, eller tvert imot, ikke gi det bort? Og til begge samtidig. Dette løftet er selvmotsigende, og dermed kan det ikke oppfylles i kraft av logikkens lover.

Misjonæren befant seg sammen med kannibalene og kom akkurat i tide til middag. De lar ham velge hvordan han vil bli spist. For å gjøre dette må han komme med en uttalelse med den betingelse at hvis denne uttalelsen viser seg å være sann, vil de koke den, og hvis den viser seg å være usann, vil de steke den.

Hva skal misjonæren si?

Selvfølgelig skal han si: «Du skal steke meg».

Hvis han virkelig er stekt, vil det vise seg at han snakket sant, og derfor må han kokes. Hvis han blir kokt, vil utsagnet hans være falskt, og han bør bare stekes. Kannibalene har ingen vei ut: fra "fry" følger det "cook", og omvendt.

Denne episoden av den utspekulerte misjonæren er selvfølgelig en annen parafrase av striden mellom Protagoras og Euathlus.

Et gammelt paradoks kjent i antikkens Hellas spilles opp i Don Quijote av M. Cervantes. Sancho Panza har blitt guvernør på øya Barataria og administrerer domstolen.

Den første som kommer til ham er en besøkende og sier: «Senior, en viss eiendom er delt i to halvdeler av en dyp elv ... Så en bro ble kastet over denne elven, og akkurat der på kanten står en galge og det er noe som en domstol, hvor det vanligvis sitter fire personer, dommere, og de dømmer på grunnlag av en lov utstedt av eieren av elven, broen og hele eiendommen, hvilken lov er utarbeidet på denne måten: og den som lyver, uten ettergivelse, send dem til galgen som ligger rett der og henrett dem. Fra den tiden da denne loven ble kunngjort i all sin strenghet, klarte mange å komme seg over broen, og så snart dommerne var overbevist om at de forbipasserende fortalte sannheten, slapp de dem igjennom. Men så en dag sverget en mann som ble sverget og sa: han sverger at han kom for å bli hengt opp i akkurat denne galgen, og ikke for noe annet. Denne eden forvirret dommerne, og de sa: «Hvis denne mannen får lov til å fortsette uten hindring, vil dette bety at han har brutt eden og ifølge loven er dødsansvarlig; hvis vi henger ham, så sverget han at han kom bare for å bli hengt opp i denne galgen, derfor er eden hans, det viser seg, ikke falsk, og på grunnlag av den samme loven er det nødvendig å la ham passere. Og så spør jeg deg, señor guvernør, hva skal dommerne gjøre med denne mannen, fordi de fortsatt er forvirret og nølende ...

Sancho foreslo, kanskje ikke uten list, at halvparten av personen som fortalte sannheten skulle slippes gjennom, og den som løy skulle henges, og på denne måten ville reglene for å krysse broen bli overholdt i alle former. Denne passasjen er interessant på flere måter.

For det første er det en klar illustrasjon på at den håpløse situasjonen som beskrives i paradokset godt kan møtes – og ikke i ren teori, men i praksis – om ikke en virkelig person, så i hvert fall en litterær helt.

Utveien foreslått av Sancho Panza var selvfølgelig ikke en løsning på paradokset. Men dette var bare løsningen som bare gjenstod å ty til i hans posisjon.

Det var en gang, Alexander den store, i stedet for å løsne den utspekulerte gordiske knuten, som ingen ennå har klart å gjøre, bare kuttet den. Sancho gjorde det samme. Å prøve å løse gåten på sine egne premisser var nytteløst - det var rett og slett uløselig. Det gjensto å forkaste disse forholdene og introdusere dine egne.

Og ett øyeblikk. Med denne episoden fordømmer Cervantes tydelig den ublu formelle skalaen til middelalderrettferdighet, gjennomsyret av ånden til skolastisk logikk. Men hvor utbredt i hans tid - og dette var for rundt fire hundre år siden - var informasjon fra logikkens felt! Ikke bare Cervantes selv kjenner til dette paradokset. Forfatteren finner det mulig å tillegge sin helt, en analfabet bonde, evnen til å forstå at han står overfor en uløselig oppgave!

De ovennevnte paradoksene er argumenter, resultatet av disse er en selvmotsigelse. Men det finnes andre typer paradokser i logikken. De påpeker også noen vanskeligheter og problemer, men de gjør det på en mindre hard og kompromissløs måte. Spesielt slike er paradoksene som diskuteres nedenfor.

De fleste begrepene om ikke bare naturlig språk, men også vitenskapens språk er unøyaktige, eller, som de også kalles, uskarpe. Ofte viser dette seg å være årsaken til misforståelser, tvister, eller til og med rett og slett fører til vranglås.

Hvis konseptet er unøyaktig, er grensen for området av objekter som det gjelder for, blottet for skarphet, uskarp. Ta for eksempel konseptet «haug». Ett korn (et sandkorn, en stein osv.) er ennå ikke en haug. Tusen korn er tydeligvis allerede en haug. Og tre korn? Og ti? Hvor mange korn tilsettes for å danne en haug? Ikke veldig tydelig. På samme måte er det ikke klart med fjerning av hvilket korn haugen forsvinner.

Unøyaktige er de empiriske egenskapene til "stor", "tung", "smal", etc. Slike vanlige begreper som "vis mann", "hest", "hus" osv. er unøyaktige.

Det er ikke noe sandkorn som, når det fjernes, kan vi si at med dets fjerning kan det som gjenstår ikke lenger kalles hjem. Men når alt kommer til alt, ser dette ut til å bety at det ikke på noe tidspunkt i den gradvise demonteringen av huset - frem til dets fullstendige forsvinning - er det noen grunn til å erklære at det ikke er noe hus! Konklusjonen er helt klart paradoksal og nedslående.

Det er lett å se at argumentasjonen om umuligheten av å danne en haug utføres ved hjelp av den velkjente metoden for matematisk induksjon. Ett korn danner ikke en haug. Hvis n korn ikke danner hauger, danner ikke n+1 korn hauger. Derfor kan ikke et antall korn danne hauger.

Muligheten for at dette og lignende bevis fører til absurde konklusjoner gjør at prinsippet om matematisk induksjon har et begrenset omfang. Det bør ikke brukes i resonnement med unøyaktige, vage begreper.

Et godt eksempel på hvordan disse konseptene kan føre til uløselige tvister er en merkelig rettssak som fant sted i 1927 i USA. Billedhuggeren C. Brancusi gikk til retten og krevde at verkene hans ble anerkjent som kunstverk. Blant verkene som ble sendt til New York for utstillingen var skulpturen "Bird", som nå regnes som en klassiker av den abstrakte stilen. Det er en modulert søyle av polert bronse omtrent halvannen meter høy, som ikke har noen ytre likhet med en fugl. Tollere nektet kategorisk å anerkjenne Brancusis abstrakte kreasjoner som kunstverk. De satte dem under overskriften «Metal Hospital og Husholdningsredskaper» og påla dem en tung toll. Rasende saksøkte Brancusi.

Toll ble støttet av kunstnere - medlemmer av National Academy, som forsvarte tradisjonelle metoder innen kunst. De opptrådte som vitner for forsvaret under rettssaken og insisterte kategorisk på at forsøket på å avgi «Fuglen» som et kunstverk rett og slett var en svindel.

Denne konflikten understreker tydelig vanskeligheten med å operere med begrepet «kunstverk». Skulptur regnes tradisjonelt som en form for kunst. Men graden av likhet mellom det skulpturelle bildet og originalen kan variere innenfor svært vide rammer. Og på hvilket tidspunkt slutter et skulpturelt bilde, som i økende grad beveger seg bort fra originalen, å være et kunstverk og blir et "metallredskap"? Dette spørsmålet er like vanskelig å svare på som spørsmålet om hvor går grensen mellom et hus og dets ruiner, mellom en hest med hale og en hest uten hale, og så videre. Forresten, modernister er generelt overbevist om at skulptur er et objekt med uttrykksfull form, og det trenger ikke å være et bilde i det hele tatt.

Håndteringen av upresise begreper krever altså en viss forsiktighet. Ville det ikke vært bedre å unngå dem helt?

Den tyske filosofen E. Husserl var tilbøyelig til å kreve en slik ekstrem strenghet og presisjon fra kunnskap som ikke finnes engang i matematikk. I forbindelse med dette minner Husserls biografer med ironi om en hendelse som skjedde med ham i barndommen. Han ble presentert for en pennekniv, og bestemte seg for å gjøre bladet så skarpt som mulig, og slipte det til ingenting var igjen av bladet.

Mer presise konsepter er å foretrekke fremfor upresise i mange situasjoner. Det vanlige ønsket om å klargjøre begrepene som brukes er ganske berettiget. Men det må selvfølgelig ha sine begrensninger. Selv i vitenskapens språk er en betydelig del av begrepene unøyaktige. Og dette er ikke forbundet med individuelle forskeres subjektive og tilfeldige feil, men med selve naturvitenskapelig kunnskap. I naturlig språk er upresise konsepter overveldende; dette taler blant annet om hans fleksibilitet og latente styrke. Alle som krever den ytterste presisjon fra alle konsepter, risikerer å stå uten språk helt. "Frata ordene for enhver tvetydighet, enhver usikkerhet," skrev den franske estetikeren J. Joubert, "gjør dem ... til enkeltsifrede - spillet vil etterlate tale, og med det veltalenhet og poesi: alt som er mobilt og foranderlig i sjelens hengivenheter, kan ikke finne sitt uttrykk. Men hva sier jeg: frata ... jeg vil si mer. Frata ordet enhver unøyaktighet - og du vil miste selv aksiomer.

I lang tid tok ikke både logikere og matematikere oppmerksomhet til vanskelighetene knyttet til uklare konsepter og deres tilsvarende sett. Spørsmålet ble stilt som følger: begreper må være presise, og alt vagt er uverdig til seriøs interesse. De siste tiårene har imidlertid denne altfor strenge holdningen mistet sin appell. Logiske teorier er konstruert som spesifikt tar hensyn til det unike ved resonnement med unøyaktige begreper.

Den matematiske teorien om de såkalte fuzzy-settene, utydelig definerte samlinger av objekter, utvikler seg aktivt.

Analysen av problemer med unøyaktighet er et skritt mot å bringe logikken nærmere praksisen med vanlig tenkning. Og vi kan anta at det vil gi mange flere interessante resultater.

Det er kanskje ingen del av logikken som ikke har sine egne paradokser.

Induktiv logikk har sine egne paradokser, som aktivt, men så langt uten særlig suksess, har blitt bekjempet i nesten et halvt århundre. Av spesiell interesse er bekreftelsesparadokset oppdaget av den amerikanske filosofen K. Hempel. Det er naturlig å betrakte at generelle påstander, spesielt vitenskapelige lover, bekreftes av deres positive eksempler. Hvis for eksempel påstanden "Alle A er B" vurderes, vil dens positive eksempler være objekter som har egenskapene A og B. Spesielt støtteeksempler for påstanden "Alle ravner er svarte" er objekter som både er ravner og svart. Dette utsagnet er imidlertid ensbetydende med utsagnet "Alle ting som ikke er svarte er ikke kråker," og en bekreftelse av sistnevnte må også være en bekreftelse av førstnevnte. Men "Alt er ikke svart er ikke en kråke" bekreftes av hvert tilfelle av en ikke-svart gjenstand som ikke er en kråke. Det viser seg derfor at observasjonene "Kua er hvit", "Skoene er brune" osv. bekrefte uttalelsen "Alle kråker er svarte."

Et uventet paradoksalt resultat følger av tilsynelatende uskyldige premisser.

I normenes logikk skaper en rekke av dens lover bekymring. Når de er formulert i meningsfulle termer, blir deres inkonsistens med de vanlige forestillingene om rett og galt åpenbar. For eksempel sier en av lovene at fra ordren "Send et brev!" ordren «Send brevet eller brenn det!» følger.

En annen lov sier at dersom en person har brutt en av sine plikter, får han rett til å gjøre hva han vil. Vår logiske intuisjon vil ikke tåle denne typen «lover om forpliktelse».

I kunnskapslogikken diskuteres paradokset med logisk allvitenhet tungt. Han hevder at en person kjenner til alle de logiske konsekvensene som følger av posisjonene han inntar. For eksempel, hvis en person kjenner de fem postulatene til Euklids geometri, så kjenner han derfor all denne geometrien, siden den følger av dem. Men det er det ikke. En person kan være enig i postulatene og samtidig ikke være i stand til å bevise Pythagoras teorem og derfor tvile på at det generelt er sant.

Det finnes ingen uttømmende liste over logiske paradokser, og det er umulig.

De betraktede paradoksene er bare en del av alle de som er oppdaget så langt. Det er sannsynlig at mange andre paradokser vil bli oppdaget i fremtiden, og til og med helt nye typer av dem. Selve begrepet et paradoks er ikke så klart at det ville være mulig å sette sammen en liste over i det minste allerede kjente paradokser.

"Mengteoretiske paradokser er et veldig alvorlig problem, ikke for matematikk, men snarere for logikk og epistemologi," skriver den østerrikske matematikeren og logikeren K. Gödel. «Logikken er inkonsekvent. Det er ingen logiske paradokser, sier matematiker D. Bochvar. Slike avvik er noen ganger betydelige, noen ganger verbale. Poenget ligger i stor grad i hva som egentlig menes med et logisk paradoks.

Et nødvendig trekk ved logiske paradokser er den logiske ordboken.

Paradokser som er logiske må formuleres i logiske termer. I logikken er det imidlertid ingen klare kriterier for å dele begreper inn i logiske og ikke-logiske. Logikk, som omhandler riktigheten av resonnement, søker å redusere begrepene som riktigheten av praktisk anvendte konklusjoner avhenger av, til et minimum. Men dette minimum er ikke forhåndsbestemt entydig. I tillegg kan ikke-logiske utsagn også formuleres i logiske termer. Hvorvidt et bestemt paradoks kun bruker rent logiske premisser er langt fra alltid mulig å fastslå entydig.

Logiske paradokser er ikke stivt atskilt fra alle andre paradokser, på samme måte som de sistnevnte ikke er klart skilt fra alt som er ikke-paradoksalt og i samsvar med de rådende ideene.

I begynnelsen av studiet av logiske paradokser så det ut til at de kunne skilles ut ved brudd på en ennå uutforsket posisjon eller logikkregel. Den onde sirkelprinsippet introdusert av B. Russell var spesielt aktiv i å hevde rollen til en slik regel. Dette prinsippet sier at en samling av objekter ikke kan inneholde medlemmer som kun er definert av samme samling.

Alle paradokser har én ting til felles – selvanvendbarhet, eller sirkularitet. I hver av dem er det aktuelle objektet preget av et sett med objekter som det selv tilhører. Velger vi for eksempel den mest utspekulerte personen, gjør vi dette ved hjelp av en populasjon av mennesker som denne personen tilhører. Og hvis vi sier: "Denne erklæringen er falsk," karakteriserer vi erklæringen av interesse for oss ved å referere til helheten av alle falske erklæringer som inkluderer den.

I alle paradokser er det en selvanvendelse av begreper, som betyr at det så å si er bevegelse i en sirkel, som til slutt leder til utgangspunktet. I et forsøk på å karakterisere objektet av interesse for oss, vender vi oss til settet med objekter som inkluderer det. Imidlertid viser det seg at det, for sin bestemthet, selv trenger objektet som vurderes og ikke kan forstås klart uten det. I denne sirkelen ligger kanskje kilden til paradokser.

Situasjonen kompliseres imidlertid av at en slik sirkel eksisterer i mange fullstendig ikke-paradoksale argumenter. Circular er et stort utvalg av de vanligste, harmløse og samtidig praktiske uttrykksmåtene. Eksempler som «den største av alle byer», «det minste av alle naturlige tall», «et av elektronene i jernatomet» osv., viser at ikke alle tilfeller av selvanvendelse fører til en selvmotsigelse og at det er viktig ikke bare i vanlig språk, men også i vitenskapens språk.

En ren henvisning til bruken av selvanvendelige begreper er derfor utilstrekkelig til å diskreditere paradokser. Noen tilleggskriterium er nødvendig for å skille egenanvendbarhet, som fører til et paradoks, fra alle andre tilfeller av det.

Det har vært mange forslag om dette, men ingen vellykket avklaring av sirkulæriteten er funnet. Det viste seg å være umulig å karakterisere sirkulæriteten på en slik måte at ethvert sirkulært resonnement fører til et paradoks, og hvert paradoks er et resultat av et eller annet sirkulært resonnement.

Et forsøk på å finne et spesifikt prinsipp for logikk, hvis brudd ville være et særtrekk ved alle logiske paradokser, førte ikke til noe bestemt.

En slags klassifisering av paradokser vil utvilsomt være nyttig, å dele dem inn i typer og typer, gruppere noen paradokser og sette dem i mot andre. Det er imidlertid heller ikke oppnådd noe bærekraftig i dette tilfellet.

Den engelske logikeren F. Ramsey, som døde i 1930, da han ennå ikke var tjuesju år gammel, foreslo å dele alle paradokser i syntaktiske og semantiske. Den første inkluderer for eksempel Russells paradoks, den andre - paradoksene til "Løgneren", Grelling, etc.

I følge Ramsey inneholder paradoksene i den første gruppen kun begreper som tilhører logikk eller matematikk. Sistnevnte inkluderer begreper som "sannhet", "definerbarhet", "navngivning", "språk", som ikke er strengt matematiske, men snarere relatert til lingvistikk eller til og med kunnskapsteorien. Semantiske paradokser ser ikke ut til å skylde deres utseende ikke til en feil i logikken, men til vagheten eller tvetydigheten til noen ikke-logiske begreper, derfor angår problemene de stiller språk og må løses av lingvistikk.

Det virket for Ramsey at matematikere og logikere ikke trenger å være interessert i semantiske paradokser. Senere viste det seg imidlertid at noen av de mest betydningsfulle resultatene av moderne logikk ble oppnådd nettopp i forbindelse med en dypere studie av nettopp disse ikke-logiske paradoksene.

Inndelingen av paradokser foreslått av Ramsey ble mye brukt i begynnelsen og beholder en viss betydning selv nå. Samtidig blir det stadig tydeligere at denne inndelingen er ganske vag og baserer seg først og fremst på eksempler, og ikke på en dybdekomparativ analyse av de to gruppene av paradokser. Semantiske begreper er nå godt definert, og det er vanskelig å ikke erkjenne at disse begrepene faktisk er logiske. Med utviklingen av semantikk, som definerer dens grunnleggende konsepter i form av settteori, blir skillet gjort av Ramsey stadig mer utydelig.

Hvilke konklusjoner for logikk følger av eksistensen av paradokser?

For det første taler tilstedeværelsen av et stort antall paradokser om styrken til logikk som vitenskap, og ikke om dens svakhet, som det kan virke.

Det var ingen tilfeldighet at oppdagelsen av paradokser falt sammen med perioden med den mest intensive utviklingen av moderne logikk og dens største suksesser.

De første paradoksene ble oppdaget allerede før fremveksten av logikk som en spesiell vitenskap. Mange paradokser ble oppdaget i middelalderen. Senere viste de seg imidlertid å være glemt og ble gjenoppdaget allerede i vårt århundre.

Middelalderlogikere var ikke klar over begrepene "sett" og "element av settet", introdusert i vitenskapen først i andre halvdel av 1800-tallet. Men teften for paradokser ble finpusset i middelalderen i en slik grad at det allerede på den tidlige tiden ble uttrykt visse bekymringer om selvanvendelige begreper. Det enkleste eksemplet på dette er forestillingen om «å være sitt eget element» som dukker opp i mange av dagens paradokser.

Slik frykt, som alle advarsler om paradokser generelt, var imidlertid ikke systematisk og bestemt før i vårt århundre. De førte ikke til noen klare forslag om å se på vanlige måter å tenke og uttrykke på.

Bare moderne logikk har tatt selve problemet med paradokser ut av glemselen, oppdaget eller gjenoppdaget de fleste spesifikke logiske paradoksene. Hun viste videre at tenkemåtene tradisjonelt utforsket av logikk er helt utilstrekkelige for å eliminere paradokser, og indikerte fundamentalt nye metoder for å håndtere dem.

Paradokser stiller et viktig spørsmål: hvor svikter faktisk noen av de vanlige metodene for begrepsdannelse og resonnement oss? De virket tross alt helt naturlige og overbevisende, helt til det viste seg at de var paradoksale.

Paradokser undergraver troen på at de vanlige metodene for teoretisk tenkning alene og uten noen spesiell kontroll over dem gir en pålitelig fremgang mot sannheten.

Paradokser krever en radikal endring i en altfor godtroende tilnærming til teoretisering, og er en hard kritikk av logikken i sin naive, intuitive form. De spiller rollen som en faktor som kontrollerer og setter begrensninger på måten å konstruere deduktive logiske systemer på. Og denne rollen til dem kan sammenlignes med rollen til et eksperiment som tester riktigheten av hypoteser i slike vitenskaper som fysikk og kjemi, og tvinger dem til å gjøre endringer i disse hypotesene.

Et paradoks i en teori taler om inkompatibiliteten til forutsetningene som ligger til grunn. Det fungerer som et rettidig oppdaget symptom på sykdommen, uten hvilket det kunne ha blitt oversett.

Selvfølgelig manifesterer sykdommen seg på mange måter, og til slutt er det mulig å avsløre den uten slike akutte symptomer som paradokser. For eksempel ville grunnlaget for settteori bli analysert og foredlet selv om ingen paradokser i dette området ble oppdaget. Men det ville ikke ha vært den skarpheten og hastverket som paradoksene som ble oppdaget i den, reiste problemet med å revidere settteorien.

En omfattende litteratur er viet paradokser, et stort antall av deres forklaringer er foreslått. Men ingen av disse forklaringene er universelt akseptert, og det er ingen fullstendig enighet om opprinnelsen til paradokser og hvordan man kan bli kvitt dem.

"I løpet av de siste seksti årene har hundrevis av bøker og artikler blitt viet målet om å løse paradokser, men resultatene er utrolig dårlige sammenlignet med innsatsen som er brukt," skriver A. Frenkel. "Det ser ut som," avslutter H. Curry sin analyse av paradoksene, "at en fullstendig reform av logikken er nødvendig, og matematisk logikk kan bli hovedverktøyet for å gjennomføre denne reformen."

En viktig forskjell bør bemerkes.

Å eliminere paradokser og løse dem er ikke det samme. Å fjerne et paradoks fra en viss teori betyr å omstrukturere det på en slik måte at den paradoksale påstanden viser seg å være ubeviselig i den. Hvert paradoks er avhengig av et stort antall definisjoner, antakelser og argumenter. Konklusjonen hans i teorien er en viss kjede av resonnement. Formelt sett kan man stille spørsmål ved hvilken som helst av dens ledd, forkaste den, og dermed bryte kjeden og eliminere paradokset. I mange arbeider er dette gjort og er begrenset til dette.

Men dette er ennå ikke løsningen på paradokset. Det er ikke nok å finne en måte å utelukke det, man må overbevisende begrunne den foreslåtte løsningen. Selve tvilen om et skritt som fører til et paradoks må være velbegrunnet.

For det første må beslutningen om å forlate noen logiske midler som brukes i utledningen av et paradoksalt utsagn knyttes til våre generelle betraktninger angående naturen til logiske bevis og andre logiske intuisjoner. Hvis dette ikke er tilfelle, viser elimineringen av paradokset seg å være blottet for solid og stabilt fundament og utarter seg til en overveiende teknisk oppgave.

Dessuten garanterer ikke avvisningen av en antakelse, selv om den gir eliminering av et bestemt paradoks, automatisk eliminering av alle paradokser. Dette tyder på at paradokser ikke bør «jages» én etter én. Utelukkelsen av en av dem bør alltid være så begrunnet at det er en viss garanti for at andre paradokser vil bli eliminert ved samme trinn.

Hver gang et paradoks oppdages, skriver A. Tarsky, «må vi underkaste våre tenkemåter en grundig revisjon, avvise noen antakelser som vi trodde på, og forbedre argumentasjonsmetodene vi brukte. Vi gjør dette i et forsøk på ikke bare å bli kvitt antinomier, men også for å forhindre fremveksten av nye.

Og til slutt kan en lite gjennomtenkt og uforsiktig avvisning av for mange eller for sterke antakelser rett og slett føre til at selv om den ikke inneholder paradokser, vil den vise seg å være en vesentlig svakere teori som kun har en spesiell interesse.

Hva kan være det minste, minst radikale settet av tiltak for å unngå kjente paradokser?

En måte er å skille ut, sammen med sanne og usanne setninger, også meningsløse setninger. Denne veien ble tatt i bruk av B. Russell. Paradoksalt resonnement ble av ham erklært som meningsløst med den begrunnelse at de brøt med kravene til logisk grammatikk. Ikke hver setning som ikke bryter reglene for vanlig grammatikk er meningsfull – den må også tilfredsstille reglene for en spesiell, logisk grammatikk.

Russell bygde en teori om logiske typer, en slags logisk grammatikk, hvis oppgave var å eliminere alle kjente antinomier. Deretter ble denne teorien vesentlig forenklet og ble kalt den enkle teorien om typer.

Hovedideen til teorien om typer er tildelingen av logisk forskjellige typer objekter, introduksjonen av et slags hierarki, eller stige, av objektene som vurderes. Den laveste, eller null, typen inkluderer individuelle objekter som ikke er sett. Den første typen inkluderer sett med objekter av nulltype, dvs. enkeltpersoner; til det andre - sett med sett med individer, etc. Med andre ord skilles det mellom objekter, egenskaper ved objekter, egenskaper ved egenskaper til objekter osv. Samtidig innføres visse begrensninger på konstruksjonen av forslag. Egenskaper kan tilskrives objekter, egenskaper til egenskaper til egenskaper og så videre. Men det er umulig å meningsfullt påstå at objekter har egenskaper som egenskaper.

La oss ta en rekke forslag:

Dette huset er rødt.

Rødt er en farge.

Farge er et optisk fenomen.

I disse setningene betegner uttrykket "dette huset" et bestemt objekt, ordet "rød" indikerer egenskapen som ligger i dette objektet, "å være en farge" - til egenskapen til denne eiendommen ("å være rød") og " å være et optisk fenomen" - indikerer egenskapen til egenskapen "være en farge" som tilhører egenskapen "vær rød". Her har vi ikke bare å gjøre med objekter og deres egenskaper, men også med egenskapene til egenskaper ("egenskapen til å være rød har egenskapen til å være en farge"), og til og med egenskapene til egenskapene til egenskaper.

Alle tre setningene fra serien ovenfor er selvfølgelig meningsfulle. De er bygget i samsvar med kravene til typeteori. Og la oss si at setningen "Dette huset er en farge" bryter med disse kravene. Det tilskriver et objekt den egenskapen som bare kan tilhøre egenskaper, men ikke til objekter. Et lignende brudd er inneholdt i setningen "Dette huset er et optisk fenomen." Begge disse forslagene må klassifiseres som meningsløse.

En enkel teori om typer eliminerer Russells paradoks. Men for å eliminere paradoksene til Løgneren og Berry, er det ikke lenger nok å dele opp objektene som vurderes i typer. Det er nødvendig å innføre noe tilleggsbestilling innenfor selve typene.

Eliminering av paradokser kan også oppnås ved å unngå bruk av for store sett, lik settet med alle sett. Denne veien ble foreslått av den tyske matematikeren E. Zermelo, som koblet utseendet til paradokser med den ubegrensede konstruksjonen av sett. De tillatte settene ble definert av ham av en liste over aksiomer formulert på en slik måte at kjente paradokser ikke ville bli utledet fra dem. Samtidig var disse aksiomene sterke nok til å utlede de vanlige argumentene i klassisk matematikk fra dem, men uten paradokser.

Verken disse to eller de andre foreslåtte måtene å eliminere paradokser på er generelt akseptert. Det er ingen vanlig oppfatning at noen av de foreslåtte teoriene løser logiske paradokser, og ikke bare forkaster dem uten dyp forklaring. Problemet med å forklare paradokser er fortsatt åpent og fortsatt viktig.

G. Frege, forrige århundres største logiker, hadde dessverre en veldig dårlig karakter. I tillegg var han uforbeholden og til og med grusom mot sin kritikk av sin samtid.

Kanskje det er grunnen til at hans bidrag til logikken og grunnlaget for matematikk ikke fikk anerkjennelse på lenge. Og da berømmelsen begynte å komme til ham, skrev den unge engelske logikeren B. Russell til ham at det oppstår en selvmotsigelse i systemet publisert i første bind av boken hans The Fundamental Laws of Arithmetic. Det andre bindet av denne boken var allerede på trykk, og Frege kunne bare legge til et spesielt vedlegg til den, der han skisserte denne motsigelsen (senere kalt "Russells paradoks") og innrømmet at han ikke var i stand til å eliminere den.

Konsekvensene av denne erkjennelsen var imidlertid tragiske for Frege. Han opplevde det største sjokket. Og selv om han da bare var 55 år gammel, publiserte han ikke et annet betydelig verk om logikk, selv om han levde i mer enn tjue år. Han reagerte ikke engang på den livlige diskusjonen som ble forårsaket av Russells paradoks, og reagerte ikke på noen måte på de mange foreslåtte løsningene på dette paradokset.

Inntrykket som de nyoppdagede paradoksene gjorde på matematikere og logikere, ble godt uttrykt av D. Hilbert: «... Den tilstanden vi nå befinner oss i i forhold til paradokser er uutholdelig i lang tid. Tenk på det: i matematikk - den modellen for sikkerhet og sannhet - fører dannelsen av konsepter og forløpet av slutninger, ettersom alle studerer, underviser og anvender dem, til absurditet. Hvor skal man lete etter pålitelighet og sannhet, hvis selv matematisk tenkning slår feil?

Frege var en typisk representant for logikken på slutten av det nittende århundre, fri for alle slags paradokser, logikk, trygg på sine evner og hevdet å være et strenghetskriterium selv for matematikk. Paradoksene viste at den absolutte strengheten oppnådd med angivelig logikk ikke var noe mer enn en illusjon. De viste unektelig at logikken – i den intuitive formen den hadde ved århundreskiftet – trenger en grundig revisjon.

Omtrent et århundre har gått siden den livlige diskusjonen om paradokser startet. Den foretatte revisjonen av logikken førte imidlertid ikke til deres entydige løsning.

Og samtidig er en slik tilstand neppe bekymret for noen i dag. Over tid har holdningene til paradokser blitt roligere og enda mer tolerante enn da de ble oppdaget. Det er ikke bare det at paradokser har blitt noe kjent. Og selvfølgelig ikke at de tålte dem. De forblir fortsatt i sentrum av oppmerksomheten til logikere, søket etter deres løsninger fortsetter aktivt. Situasjonen endret seg først og fremst fordi paradoksene viste seg å være så å si lokaliserte. De har funnet sin klare, om enn urolige, plass i en lang rekke logiske studier. Det ble klart at absolutt innstramming, slik den ble fremstilt på slutten av forrige århundre og til og med noen ganger på begynnelsen av dette århundret, i prinsippet er et uoppnåelig ideal.

Det ble også innsett at det ikke er noe enkelt problem med paradokser som står alene. Problemene knyttet til dem er av forskjellige typer og påvirker faktisk alle hoveddelene av logikken. Oppdagelsen av et paradoks tvinger oss til å analysere våre logiske intuisjoner dypere og engasjere oss i en systematisk omarbeiding av grunnlaget for vitenskapen om logikk. Samtidig er ønsket om å unngå paradokser verken den eneste, eller kanskje, hovedoppgaven. Selv om de er viktige, er de bare en anledning til refleksjon over logikkens sentrale temaer. Fortsetter sammenligningen av paradokser med spesielt uttalte symptomer på sykdommen, kan man si at ønsket om umiddelbart å eliminere paradokser vil være som et ønske om å fjerne slike symptomer uten særlig bekymring for selve sykdommen. Det som kreves er ikke bare løsningen av paradokser, men deres forklaring, som utdyper vår forståelse av de logiske tankemønstrene.

Og for å avslutte denne korte diskusjonen om logiske paradokser, her er noen problemer som leseren vil finne nyttige å tenke på. Det er nødvendig å avgjøre om utsagnene og resonnementene som gis virkelig er logiske paradokser eller bare ser ut til å være det. For å gjøre dette bør man selvsagt på en eller annen måte omstrukturere kildematerialet og prøve å utlede en selvmotsigelse fra det: både bekreftelsen og fornektelsen av det samme om det samme. Hvis et paradoks blir funnet, kan du tenke på hva som forårsaker det og hvordan du kan eliminere det. Du kan til og med prøve å komme med ditt eget paradoks av samme type, dvs. bygget etter samme opplegg, men på grunnlag av andre konsepter.

1. Den som sier: «Jeg vet ingenting» kommer med et tilsynelatende paradoksalt, selvmotsigende utsagn. Han sier i hovedsak: "Jeg vet at jeg ikke vet noe." Men kunnskapen om at det ikke finnes kunnskap er fortsatt kunnskap. Dette betyr at taleren på den ene siden forsikrer at han ikke har noen kunnskap, og på den andre siden, ved selve påstanden om dette, sier han at han har en viss kunnskap. Hva er i veien her?

Når man reflekterer over denne vanskeligheten, kan det huskes at Sokrates uttrykte en lignende idé mer nøye. Han sa: "Jeg vet bare at jeg ikke vet noe." På den annen side hevdet en annen gammel greker, Metrodorus, med fullstendig overbevisning: «Jeg vet ingenting, og jeg vet ikke engang at jeg ikke vet noe.» Er det et paradoks i denne uttalelsen?

2. Historiske hendelser er unike. Historien, hvis den gjentar seg, er, ifølge et kjent uttrykk, første gang som en tragedie, og andre gang som en farse. Fra det unike ved historiske hendelser, er noen ganger ideen utledet om at historien ikke lærer noe. "Kanskje historiens største lærdom," skriver O. Huxley, "ligger egentlig i det faktum at ingen noen gang har lært noe av historien."

Det er usannsynlig at denne ideen er riktig. Fortiden er nettopp det som studeres hovedsakelig for å bedre forstå nåtiden og fremtiden. En annen ting er at fortidens "leksjoner" som regel er tvetydige.

Er ikke troen på at historien ikke lærer noe selvmotsigende? Tross alt følger det selv av historien som en av lærdommene. Ville det ikke vært bedre for tilhengerne av denne ideen å formulere den på en slik måte at den ikke gjelder dem selv: "Historien lærer det eneste - ingenting kan læres av den," eller "Historien lærer ingenting annet enn denne leksjonen" av henne"?

3. "Bevist at det ikke er bevis." Dette ser ut til å være et internt motstridende utsagn: det er et bevis, eller det forutsetter et bevis som allerede er gjort ("det er bevist at ...") og samtidig hevder at det ikke er bevis.

Den kjente eldgamle skeptikeren Sextus Empiricus foreslo følgende løsning: i stedet for utsagnet ovenfor, godta utsagnet "Det er bevist at det ikke er noe annet bevis enn dette" (eller: "Det er bevist at det ikke er noe bevist annet) enn dette"). Men er ikke denne veien ut illusorisk? Tross alt hevdes det i hovedsak at det bare er ett og eneste bevis - beviset for at noen bevis ikke eksisterer ("There is one and only proof: the proof that there are no other proofs"). Hva er så handlingen av selve beviset, hvis det, ut fra denne påstanden, var mulig å utføre det bare én gang? Sextus egen oppfatning av bevisverdien var uansett ikke særlig høy. Han skrev spesielt: "Akkurat som de som gjør uten bevis har rett, har de som, som er tilbøyelige til å tvile, ubegrunnet fremfører den motsatte oppfatningen."

4. "Ingen utsagn er negativ", eller mer enkelt: "Det er ingen negative utsagn." Imidlertid er dette uttrykket i seg selv et utsagn og er nettopp negativt. Det virker som et paradoks. Hvilken omformulering av denne uttalelsen kan unngå paradokset?

Middelalderfilosofen og logikeren Zh. Eselet, som alle andre dyr, streber etter å velge det beste av to ting. De to armfullene er helt umulig å skille fra hverandre, og derfor kan han ikke foretrekke noen av dem. Dette "buridan-eselet" er imidlertid ikke i skriftene til Buridan selv. I logikk er Buridan godt kjent, og spesielt for sin bok om sofismer. Den inneholder følgende konklusjon, relevant for vårt emne: ingen uttalelser er negative; derfor er det et negativt forslag. Er denne konklusjonen berettiget?

5. N.V. Gogols beskrivelse av Chichikovs damspill med Nozdrev er velkjent. Spillet deres tok aldri slutt, Chichikov la merke til at Nozdryov jukset og nektet å spille i frykt for å tape. Nylig rekonstruerte en utkastspesialist fra kommentarene til de som spilte løpet av dette spillet og viste at Chichikovs posisjon ennå ikke var håpløs.

La oss anta at Chichikov likevel fortsatte spillet og til slutt vant spillet, til tross for partnerens lureri. Ifølge avtalen måtte taperen Nozdryov gi Chichikov femti rubler og «en eller annen middelklassevalp eller et gullsignet for en klokke». Men Nozdryov ville mest sannsynlig nektet å betale, og påpekte at han selv jukset hele spillet, og å ikke spille etter reglene er så å si ikke et spill. Chichikov kan ha innvendt at å snakke om svindel er malplassert her: taperen selv jukset, noe som betyr at han må betale desto mer.

Ja, ville Nozdryov måtte betale i en slik situasjon eller ikke? På den ene siden, ja, fordi han tapte. Men på den annen side, nei, siden et spill som ikke er i henhold til reglene ikke er et spill i det hele tatt; Det kan ikke være noen vinner eller taper i et slikt "spill". Hvis Chichikov selv hadde jukset, ville Nozdryov selvfølgelig ikke vært forpliktet til å betale. Men det var imidlertid taperen Nozdryov som jukset ...

Noe paradoksalt føles her: "på den ene siden ...", "på den andre siden ...", og dessuten er det like overbevisende på begge sider, selv om disse sidene er uforenlige.

Bør Nozdryov fortsatt betale eller ikke?

6. "Hver regel har unntak." Men denne uttalelsen er i seg selv en regel. Som alle andre regler må den ha unntak. Et slikt unntak vil åpenbart være regelen "Det finnes regler som ikke har noen unntak." Er det ikke et paradoks i alt? Hvilket av de foregående eksemplene ligner disse to reglene? Er det lov å resonnere slik: hver regel har unntak; Betyr det at det finnes regler uten unntak?

7. "Enhver generalisering er feil." Det er klart at dette utsagnet oppsummerer opplevelsen av den mentale driften av generalisering og i seg selv er en generalisering. Som alle andre generaliseringer må det være feil. Så det må være sanne generaliseringer. Men er det riktig å argumentere slik: hver generalisering er feil, derfor er det sanne generaliseringer?

8. En viss forfatter har komponert en "Epitaph to All Genres" designet for å bevise at litterære sjangre, skillet mellom som forårsaket så mye kontrovers, er døde og ikke kan huskes.

Men epitafiet er i mellomtiden også en sjanger på en viss måte, sjangeren gravsteinsinskripsjoner, som utviklet seg tilbake i antikken og kom inn i litteraturen som et slags epigram:

Her hviler jeg: Jimmy Hogg.
Måtte Gud tilgi meg mine synder,
Hva ville jeg gjort hvis jeg var Gud
Og han er avdøde Jimmy Hogg.

Så epitafiet til alle sjangre, uten unntak, synder som med inkonsekvens. Hva er den beste måten å omformulere det på?

9. "Aldri si aldri." Ved å forby bruken av ordet "aldri", må du bruke dette ordet to ganger!

Det samme ser ut til å være tilfellet med rådet: «Det er på tide at de som sier «det er på tide», sier noe annet enn «det er på tide».

Er det en særegen inkonsekvens i slike råd, og kan de unngås?

10. I diktet "Ikke tro", publisert, selvfølgelig, i seksjonen "Ironisk poesi", anbefaler forfatteren å ikke tro på noe:

... Tro ikke på ildens magiske kraft:
Det brenner mens det legges ved i den.
Ikke tro på den gyldne manede hesten
Ikke for noen søte pepperkaker!
Tro ikke at stjerneflokker
Hastende i en endeløs virvelvind.
Men hva blir det igjen for deg da?
Ikke tro det jeg sa.
Ikke tro.

(V. Prudovsky)

Men er denne generelle vantroen ekte? Tilsynelatende er det selvmotsigende og derfor logisk umulig.

11. Anta at det, i motsetning til vanlig oppfatning, fortsatt er uinteressante mennesker. La oss samle dem mentalt og velge blant dem den minste i høyden, den største i vekt, eller en annen "mest ...". Denne personen ville være interessant å se på, så vi inkluderte ham unødvendig på listen over uinteressante. Etter å ha ekskludert det, vil vi igjen finne blant de gjenværende "selve ..." i samme betydning, og så videre. Og alt dette til det bare er én person igjen uten noen å sammenligne med. Men det viser seg at det er akkurat dette han er interessert i! Som et resultat kommer vi til den konklusjon at det ikke er noen uinteressante mennesker. Og argumentasjonen begynte med at slike mennesker eksisterer.

Man kan spesielt prøve å finne blant de uinteressante personene det mest uinteressante av alt det uinteressante. I dette vil han uten tvil være interessant, og han må ekskluderes fra uinteressante mennesker. Blant resten, igjen, er det minst interessante, og så videre.

Det er definitivt et snev av paradoks i disse argumentene. Er det en feil her, og i så fall hva er det?

12. La oss si at du fikk et blankt ark og bedt om å beskrive dette arket på det. Du skriver: dette er et rektangulært ark, hvitt, av slike og slike dimensjoner, laget av pressede trefibre osv.

Beskrivelsen ser ut til å være fullstendig. Men den er tydeligvis ufullstendig! Under beskrivelsesprosessen endret objektet seg: tekst dukket opp på det. Derfor er det også nødvendig å legge til beskrivelsen: og dessuten er det skrevet på dette arket: dette er et rektangulært ark, hvitt ... etc. til det uendelige.

Det virker som et paradoks her, ikke sant?

Et velkjent barnerim:

Presten hadde hund
Han elsket henne
Hun spiste et stykke kjøtt
Han drepte henne.
Drept og gravlagt
Og på tavlen skrev han:
"Presten hadde en hund..."

Kunne denne hundelskende pop noen gang fullføre gravsteinen sin? Ligner ikke sammensetningen av denne inskripsjonen den fullstendige beskrivelsen av et papirark på seg selv?

13. En forfatter gir dette "subtile" rådet: "Hvis små triks ikke lar deg oppnå det du vil, ty til store triks." Dette rådet tilbys under overskriften "Triks for handelen". Men er han virkelig et av disse triksene? Tross alt hjelper ikke "små triks", og bare av denne grunn må du ty til dette rådet.

14. Vi kaller et spill normalt hvis det ender med et begrenset antall trekk. Eksempler på vanlige spill er sjakk, dam, domino: disse partiene ender alltid enten med seier til en av partene, eller uavgjort. Spillet, som ikke er normalt, fortsetter på ubestemt tid uten noe resultat. La oss også introdusere forestillingen om et superspill: det første trekket i et slikt spill er å bestemme hvilket spill som skal spilles. Hvis for eksempel du og jeg har tenkt å spille et superspill og jeg eier det første trekket, kan jeg si: «La oss spille sjakk». Så gjør du som svar det første trekket i sjakkspillet, for eksempel e2 - e4, og vi fortsetter spillet til det slutter (spesielt på grunn av utløpet av tiden som er tildelt av turneringsreglementet). Som mitt første trekk kan jeg foreslå å spille tikk og lignende. Men spillet jeg velger må være normalt; du kan ikke velge et spill som ikke er normalt.

Et problem oppstår: er selve superspillet normalt eller ikke? La oss anta at dette er et normalt spill. Siden den kan velge hvilket som helst av de vanlige spillene som sitt første trekk, kan jeg si: "La oss spille superspillet." Etter det har superspillet begynt, og neste trekk i det er ditt. Du har rett til å si: «La oss spille et superspill». Jeg kan gjenta: «La oss spille superspillet» og dermed kan prosessen fortsette i det uendelige. Derfor gjelder ikke superspillet for vanlige spill. Men på grunn av det faktum at superspillet ikke er normalt, kan jeg ikke foreslå et superspill med mitt første trekk i superspillet; Jeg må velge det vanlige spillet. Men valget av et normalt spill som har en slutt, motsier det beviste faktum at superspillet ikke tilhører de normale.

Så, er superspillet et normalt spill eller ikke?

Når man prøver å svare på dette spørsmålet, bør man selvsagt ikke følge den enkle veien med rent verbale distinksjoner. Den enkleste måten er å si at et vanlig spill er et spill, og et superspill er bare en spøk.

Hvilke andre paradokser minner dette paradokset med at superspillet er både normalt og unormalt på samme tid?

Bayif J.K. Logiske oppgaver. - M., 1983.

Bourbaki N. Essays om matematikkens historie. - M., 1963.

Gardner M. Kom igjen gjett! – M.: 1984.

Ivin A.A. I henhold til logikkens lover. - M., 1983.

Klini S.K. Matematisk logikk. - M., 1973.

Smallian R.M. Hva er navnet på denne boken? – M.: 1982.

Smallian R.M. Prinsesse eller tiger? – M.: 1985.

Frenkel A., Bar-Hillel I. Fundamenter for settteori. - M., 1966.

Hvilken betydning har paradokser for logikk?

Hvilke løsninger ble foreslått for Løgner-paradokset?

Hva er egenskapene til et semantisk lukket språk?

Hva er essensen av paradokset til mange vanlige sett?

Finnes det en løsning på tvisten mellom Protagoras og Euathlus? Hvilke løsninger ble foreslått for denne tvisten?

Hva er essensen av paradokset med unøyaktige navn?

Hva kan være det særegne ved logiske paradokser?

Hvilke konklusjoner for logikk følger av eksistensen av logiske paradokser?

Hva er forskjellen mellom å eliminere og forklare et paradoks? Hva er fremtiden for logiske paradokser?

Konseptet med et logisk paradoks

Løgnerparadokset

Russells paradoks

Paradoks "Protagoras og Euathlus"

Paradoksers rolle i utviklingen av logikk

Utsikter for å løse paradokser

Skille mellom språk og metaspråk

Eliminering og løsning av paradokser

Det finnes ingen uttømmende liste over logiske paradokser, og det er umulig.

De betraktede paradoksene er bare en del av alle de som er oppdaget så langt. Det er sannsynlig at mange andre paradokser vil bli oppdaget i fremtiden, og til og med helt nye typer av dem. Selve begrepet et paradoks er ikke så klart at det ville være mulig å sette sammen en liste over i det minste allerede kjente paradokser.

"Mengteoretiske paradokser er et veldig alvorlig problem, ikke for matematikk, men snarere for logikk og epistemologi," skriver den østerrikske matematikeren og logikeren K. Gödel. «Logikken er inkonsekvent. Det er ingen logiske paradokser, sier matematiker D. Bochvar. Slike avvik er noen ganger betydelige, noen ganger verbale. Poenget ligger i stor grad i hva som egentlig menes med et logisk paradoks.

Det særegne ved logiske paradokser

Et nødvendig trekk ved logiske paradokser er den logiske ordboken.

Paradokser som er logiske må formuleres i logiske termer. I logikken er det imidlertid ingen klare kriterier for å dele begreper inn i logiske og ikke-logiske. Logikk, som omhandler riktigheten av resonnement, søker å redusere begrepene som riktigheten av praktisk anvendte konklusjoner avhenger av, til et minimum. Men dette minimum er ikke forhåndsbestemt entydig. I tillegg kan ikke-logiske utsagn også formuleres i logiske termer. Hvorvidt et bestemt paradoks kun bruker rent logiske premisser er langt fra alltid mulig å fastslå entydig.

Logiske paradokser er ikke stivt atskilt fra alle andre paradokser, på samme måte som de sistnevnte ikke er klart skilt fra alt som er ikke-paradoksalt og i samsvar med de rådende ideene.

I begynnelsen av studiet av logiske paradokser så det ut til at de kunne skilles ut ved brudd på en ennå uutforsket posisjon eller logikkregel. Den onde sirkelprinsippet introdusert av B. Russell var spesielt aktiv i å hevde rollen til en slik regel. Dette prinsippet sier at en samling av objekter ikke kan inneholde medlemmer som kun er definert av samme samling.

Alle paradokser har én ting til felles – selvanvendbarhet, eller sirkularitet. I hver av dem er det aktuelle objektet preget av et sett med objekter som det selv tilhører. Velger vi for eksempel den mest utspekulerte personen, gjør vi dette ved hjelp av en populasjon av mennesker som denne personen tilhører. Og hvis vi sier: "Denne erklæringen er falsk," karakteriserer vi erklæringen av interesse for oss ved å referere til helheten av alle falske erklæringer som inkluderer den.

I alle paradokser er det en selvanvendelse av begreper, som betyr at det så å si er bevegelse i en sirkel, som til slutt leder til utgangspunktet. I et forsøk på å karakterisere objektet av interesse for oss, vender vi oss til settet med objekter som inkluderer det. Imidlertid viser det seg at det, for sin bestemthet, selv trenger objektet som vurderes og ikke kan forstås klart uten det. I denne sirkelen ligger kanskje kilden til paradokser.

Situasjonen kompliseres imidlertid av at en slik sirkel eksisterer i mange fullstendig ikke-paradoksale argumenter. Circular er et stort utvalg av de vanligste, harmløse og samtidig praktiske uttrykksmåtene. Eksempler som «den største av alle byer», «det minste av alle naturlige tall», «et av elektronene i jernatomet» osv., viser at ikke alle tilfeller av selvanvendelse fører til en selvmotsigelse og at det er viktig ikke bare i vanlig språk, men også i vitenskapens språk.

En ren henvisning til bruken av selvanvendelige begreper er derfor utilstrekkelig til å diskreditere paradokser. Noen tilleggskriterium er nødvendig for å skille egenanvendbarhet, som fører til et paradoks, fra alle andre tilfeller av det.

Det har vært mange forslag om dette, men ingen vellykket avklaring av sirkulæriteten er funnet. Det viste seg å være umulig å karakterisere sirkulæriteten på en slik måte at ethvert sirkulært resonnement fører til et paradoks, og hvert paradoks er et resultat av et eller annet sirkulært resonnement.

Et forsøk på å finne et spesifikt prinsipp for logikk, hvis brudd ville være et særtrekk ved alle logiske paradokser, førte ikke til noe bestemt.

En slags klassifisering av paradokser vil utvilsomt være nyttig, å dele dem inn i typer og typer, gruppere noen paradokser og sette dem i mot andre. Det er imidlertid heller ikke oppnådd noe bærekraftig i dette tilfellet.

Den engelske logikeren F. Ramsey, som døde i 1930, da han ennå ikke var tjuesju år gammel, foreslo å dele alle paradokser i syntaktiske og semantiske. Den første inkluderer for eksempel Russells paradoks, den andre - paradoksene til "Løgneren", Grelling, etc.

I følge Ramsey inneholder paradoksene i den første gruppen kun begreper som tilhører logikk eller matematikk. Sistnevnte inkluderer begreper som "sannhet", "definerbarhet", "navngivning", "språk", som ikke er strengt matematiske, men snarere relatert til lingvistikk eller til og med kunnskapsteorien. Semantiske paradokser ser ikke ut til å skylde deres utseende ikke til en feil i logikken, men til vagheten eller tvetydigheten til noen ikke-logiske begreper, derfor angår problemene de stiller språk og må løses av lingvistikk.

Det virket for Ramsey at matematikere og logikere ikke trenger å være interessert i semantiske paradokser. Senere viste det seg imidlertid at noen av de mest betydningsfulle resultatene av moderne logikk ble oppnådd nettopp i forbindelse med en dypere studie av nettopp disse ikke-logiske paradoksene.

Inndelingen av paradokser foreslått av Ramsey ble mye brukt i begynnelsen og beholder en viss betydning selv nå. Samtidig blir det stadig tydeligere at denne inndelingen er ganske vag og baserer seg først og fremst på eksempler, og ikke på en dybdekomparativ analyse av de to gruppene av paradokser. Semantiske begreper er nå godt definert, og det er vanskelig å ikke erkjenne at disse begrepene faktisk er logiske. Med utviklingen av semantikk, som definerer dens grunnleggende konsepter i form av settteori, blir skillet gjort av Ramsey stadig mer utydelig.

Paradokser og moderne logikk

Hvilke konklusjoner for logikk følger av eksistensen av paradokser?

For det første taler tilstedeværelsen av et stort antall paradokser om styrken til logikk som vitenskap, og ikke om dens svakhet, som det kan virke.

Det var ingen tilfeldighet at oppdagelsen av paradokser falt sammen med perioden med den mest intensive utviklingen av moderne logikk og dens største suksesser.

De første paradoksene ble oppdaget allerede før fremveksten av logikk som en spesiell vitenskap. Mange paradokser ble oppdaget i middelalderen. Senere viste de seg imidlertid å være glemt og ble gjenoppdaget allerede i vårt århundre.

Middelalderlogikere var ikke klar over begrepene "sett" og "element av settet", introdusert i vitenskapen først i andre halvdel av 1800-tallet. Men teften for paradokser ble finpusset i middelalderen i en slik grad at det allerede på den tidlige tiden ble uttrykt visse bekymringer om selvanvendelige begreper. Det enkleste eksemplet på dette er forestillingen om «å være sitt eget element» som dukker opp i mange av dagens paradokser.

Slik frykt, som alle advarsler om paradokser generelt, var imidlertid ikke systematisk og bestemt før i vårt århundre. De førte ikke til noen klare forslag om å se på vanlige måter å tenke og uttrykke på.

Bare moderne logikk har tatt selve problemet med paradokser ut av glemselen, oppdaget eller gjenoppdaget de fleste spesifikke logiske paradoksene. Hun viste videre at tenkemåtene tradisjonelt utforsket av logikk er helt utilstrekkelige for å eliminere paradokser, og indikerte fundamentalt nye metoder for å håndtere dem.

Paradokser stiller et viktig spørsmål: hvor svikter faktisk noen av de vanlige metodene for begrepsdannelse og resonnement oss? De virket tross alt helt naturlige og overbevisende, helt til det viste seg at de var paradoksale.

Paradokser undergraver troen på at de vanlige metodene for teoretisk tenkning alene og uten noen spesiell kontroll over dem gir en pålitelig fremgang mot sannheten.

Paradokser krever en radikal endring i en altfor godtroende tilnærming til teoretisering, og er en hard kritikk av logikken i sin naive, intuitive form. De spiller rollen som en faktor som kontrollerer og setter begrensninger på måten å konstruere deduktive logiske systemer på. Og denne rollen til dem kan sammenlignes med rollen til et eksperiment som tester riktigheten av hypoteser i slike vitenskaper som fysikk og kjemi, og tvinger dem til å gjøre endringer i disse hypotesene.

Et paradoks i en teori taler om inkompatibiliteten til forutsetningene som ligger til grunn. Det fungerer som et rettidig oppdaget symptom på sykdommen, uten hvilket det kunne ha blitt oversett.

Selvfølgelig manifesterer sykdommen seg på mange måter, og til slutt er det mulig å avsløre den uten slike akutte symptomer som paradokser. For eksempel ville grunnlaget for settteori bli analysert og foredlet selv om ingen paradokser i dette området ble oppdaget. Men det ville ikke ha vært den skarpheten og hastverket som paradoksene som ble oppdaget i den, reiste problemet med å revidere settteorien.

En omfattende litteratur er viet paradokser, et stort antall av deres forklaringer er foreslått. Men ingen av disse forklaringene er universelt akseptert, og det er ingen fullstendig enighet om opprinnelsen til paradokser og hvordan man kan bli kvitt dem.

"I løpet av de siste seksti årene har hundrevis av bøker og artikler blitt viet målet om å løse paradokser, men resultatene er utrolig dårlige sammenlignet med innsatsen som er brukt," skriver A. Frenkel. "Det ser ut som," avslutter H. Curry sin analyse av paradoksene, "at en fullstendig reform av logikken er nødvendig, og matematisk logikk kan bli hovedverktøyet for å gjennomføre denne reformen."

Eliminering og forklaring av paradokser

En viktig forskjell bør bemerkes.

Å eliminere paradokser og løse dem er slett ikke det samme. Å eliminere et paradoks fra en viss teori betyr å rekonstruere det på en slik måte at den paradoksale påstanden viser seg å være ubeviselig i den. Hvert paradoks er avhengig av et stort antall definisjoner, antakelser og argumenter. Konklusjonen hans i teorien er en viss kjede av resonnement. Formelt sett kan man stille spørsmål ved hvilken som helst av dens ledd, forkaste den, og dermed bryte kjeden og eliminere paradokset. I mange arbeider er dette gjort og er begrenset til dette.

Men dette er ennå ikke løsningen på paradokset. Det er ikke nok å finne en måte å utelukke det, man må overbevisende begrunne den foreslåtte løsningen. Selve tvilen om et skritt som fører til et paradoks må være velbegrunnet.

For det første må beslutningen om å forlate noen logiske midler som brukes i utledningen av et paradoksalt utsagn knyttes til våre generelle betraktninger angående naturen til logiske bevis og andre logiske intuisjoner. Hvis dette ikke er tilfelle, viser elimineringen av paradokset seg å være blottet for solid og stabilt fundament og utarter seg til en overveiende teknisk oppgave.

Dessuten garanterer ikke avvisningen av en antakelse, selv om den gir eliminering av et bestemt paradoks, automatisk eliminering av alle paradokser. Dette tyder på at paradokser ikke bør «jages» én etter én. Utelukkelsen av en av dem bør alltid være så begrunnet at det er en viss garanti for at andre paradokser vil bli eliminert ved samme trinn.

Hver gang et paradoks oppdages, skriver A. Tarsky, «må vi underkaste våre tenkemåter en grundig revisjon, avvise noen antakelser som vi trodde på, og forbedre argumentasjonsmetodene vi brukte. Vi gjør dette i et forsøk på ikke bare å bli kvitt antinomier, men også for å forhindre fremveksten av nye.

Og til slutt kan en lite gjennomtenkt og uforsiktig avvisning av for mange eller for sterke antakelser rett og slett føre til at selv om den ikke inneholder paradokser, vil den vise seg å være en vesentlig svakere teori som kun har en spesiell interesse.

Hva kan være det minste, minst radikale settet av tiltak for å unngå kjente paradokser?

Logisk grammatikk

En måte er å skille ut, sammen med sanne og usanne setninger, også meningsløse setninger. Denne veien ble tatt i bruk av B. Russell. Paradoksalt resonnement ble av ham erklært som meningsløst med den begrunnelse at de brøt med kravene til logisk grammatikk. Ikke hver setning som ikke bryter reglene for vanlig grammatikk er meningsfull – den må også tilfredsstille reglene for en spesiell, logisk grammatikk.

Russell bygde en teori om logiske typer, en slags logisk grammatikk, hvis oppgave var å eliminere alle kjente antinomier. Deretter ble denne teorien vesentlig forenklet og ble kalt den enkle teorien om typer.

Hovedideen til teorien om typer er tildelingen av logisk forskjellige typer objekter, introduksjonen av et slags hierarki, eller stige, av objektene som vurderes. Den laveste, eller null, typen inkluderer individuelle objekter som ikke er sett. Den første typen inkluderer sett med objekter av nulltype, dvs. enkeltpersoner; til det andre - sett med sett med individer, etc. Med andre ord skilles det mellom objekter, egenskaper ved objekter, egenskaper ved egenskaper til objekter osv. Samtidig innføres visse begrensninger på konstruksjonen av forslag. Egenskaper kan tilskrives objekter, egenskaper til egenskaper til egenskaper og så videre. Men det er umulig å meningsfullt påstå at objekter har egenskaper som egenskaper.

La oss ta en rekke forslag:

Dette huset er rødt.

Rødt er en farge.

Farge er et optisk fenomen.

I disse setningene betegner uttrykket "dette huset" et bestemt objekt, ordet "rød" indikerer egenskapen som ligger i dette objektet, "å være en farge" - til egenskapen til denne eiendommen ("å være rød") og " å være et optisk fenomen" - indikerer egenskapen til egenskapen "være en farge" som tilhører egenskapen "vær rød". Her har vi ikke bare å gjøre med objekter og deres egenskaper, men også med egenskapene til egenskaper ("egenskapen til å være rød har egenskapen til å være en farge"), og til og med egenskapene til egenskapene til egenskaper.

Alle tre setningene fra serien ovenfor er selvfølgelig meningsfulle. De er bygget i samsvar med kravene til typeteori. Og la oss si at setningen "Dette huset er en farge" bryter med disse kravene. Det tilskriver et objekt den egenskapen som bare kan tilhøre egenskaper, men ikke til objekter. Et lignende brudd er inneholdt i setningen "Dette huset er et optisk fenomen." Begge disse forslagene må klassifiseres som meningsløse.

En enkel teori om typer eliminerer Russells paradoks. Men for å eliminere paradoksene til Løgneren og Berry, er det ikke lenger nok å dele opp objektene som vurderes i typer. Det er nødvendig å innføre noe tilleggsbestilling innenfor selve typene.

Eliminering av paradokser kan også oppnås ved å unngå bruk av for store sett, lik settet med alle sett. Denne veien ble foreslått av den tyske matematikeren E. Zermelo, som koblet utseendet til paradokser med den ubegrensede konstruksjonen av sett. De tillatte settene ble definert av ham av en liste over aksiomer formulert på en slik måte at kjente paradokser ikke ville bli utledet fra dem. Samtidig var disse aksiomene sterke nok til å utlede de vanlige argumentene i klassisk matematikk fra dem, men uten paradokser.

Verken disse to eller de andre foreslåtte måtene å eliminere paradokser på er generelt akseptert. Det er ingen vanlig oppfatning at noen av de foreslåtte teoriene løser logiske paradokser, og ikke bare forkaster dem uten dyp forklaring. Problemet med å forklare paradokser er fortsatt åpent og fortsatt viktig.

Fremtiden til paradokser

G. Frege, forrige århundres største logiker, hadde dessverre en veldig dårlig karakter. I tillegg var han uforbeholden og til og med grusom mot sin kritikk av sin samtid.

Kanskje det er grunnen til at hans bidrag til logikken og grunnlaget for matematikk ikke fikk anerkjennelse på lenge. Og da berømmelsen begynte å komme til ham, skrev den unge engelske logikeren B. Russell til ham at det oppstår en selvmotsigelse i systemet publisert i første bind av boken hans The Fundamental Laws of Arithmetic. Det andre bindet av denne boken var allerede på trykk, og Frege kunne bare legge til et spesielt vedlegg til den, der han skisserte denne motsigelsen (senere kalt "Russells paradoks") og innrømmet at han ikke var i stand til å eliminere den.

Konsekvensene av denne erkjennelsen var imidlertid tragiske for Frege. Han opplevde det største sjokket. Og selv om han da bare var 55 år gammel, publiserte han ikke et annet betydelig verk om logikk, selv om han levde i mer enn tjue år. Han reagerte ikke engang på den livlige diskusjonen som ble forårsaket av Russells paradoks, og reagerte ikke på noen måte på de mange foreslåtte løsningene på dette paradokset.

Inntrykket som de nyoppdagede paradoksene gjorde på matematikere og logikere, ble godt uttrykt av D. Hilbert: «... Den tilstanden vi nå befinner oss i i forhold til paradokser er uutholdelig i lang tid. Tenk: i matematikk - den modellen for sikkerhet og sannhet - fører dannelsen av konsepter og forløpet av slutninger, ettersom alle studerer, underviser og anvender dem, til absurditet. Hvor skal man lete etter pålitelighet og sannhet, hvis selv matematisk tenkning slår feil?

Frege var en typisk representant for logikken på slutten av det nittende århundre, fri for alle slags paradokser, logikk, trygg på sine evner og hevdet å være et strenghetskriterium selv for matematikk. Paradoksene viste at den absolutte strengheten oppnådd med angivelig logikk ikke var noe mer enn en illusjon. De viste unektelig at logikken – i den intuitive formen den hadde ved århundreskiftet – trenger en grundig revisjon.

Omtrent et århundre har gått siden den livlige diskusjonen om paradokser startet. Den foretatte revisjonen av logikken førte imidlertid ikke til deres entydige løsning.

Og samtidig er en slik tilstand neppe bekymret for noen i dag. Over tid har holdningene til paradokser blitt roligere og enda mer tolerante enn da de ble oppdaget. Det er ikke bare det at paradokser har blitt noe kjent. Og selvfølgelig ikke at de tålte dem. De forblir fortsatt i sentrum av oppmerksomheten til logikere, søket etter deres løsninger fortsetter aktivt. Situasjonen endret seg først og fremst fordi paradoksene viste seg å være så å si lokaliserte. De har funnet sin klare, om enn urolige, plass i en lang rekke logiske studier. Det ble klart at absolutt innstramming, slik den ble fremstilt på slutten av forrige århundre og til og med noen ganger på begynnelsen av dette århundret, i prinsippet er et uoppnåelig ideal.

Det ble også innsett at det ikke er noe enkelt problem med paradokser som står alene. Problemene knyttet til dem er av forskjellige typer og påvirker faktisk alle hoveddelene av logikken. Oppdagelsen av et paradoks tvinger oss til å analysere våre logiske intuisjoner dypere og engasjere oss i en systematisk omarbeiding av grunnlaget for vitenskapen om logikk. Samtidig er ønsket om å unngå paradokser verken den eneste, eller kanskje, hovedoppgaven. Selv om de er viktige, er de bare en anledning til refleksjon over logikkens sentrale temaer. Fortsetter sammenligningen av paradokser med spesielt uttalte symptomer på sykdommen, kan man si at ønsket om umiddelbart å eliminere paradokser vil være som et ønske om å fjerne slike symptomer uten særlig bekymring for selve sykdommen. Det som kreves er ikke bare løsningen av paradokser, men deres forklaring, som utdyper vår forståelse av de logiske tankemønstrene.

I henhold til logikkens lover Ivin Alexander Arkhipovich

HVA ER DET LOGISKE PARADOKSET?

Det finnes ingen uttømmende liste over logiske paradokser, og det er umulig.

De betraktede paradoksene er bare en del av alle de som er oppdaget så langt. Det er sannsynlig at mange andre og til og med helt nye typer vil bli oppdaget i fremtiden. Selve begrepet et paradoks er ikke så klart at det ville være mulig å sette sammen en liste over i det minste allerede kjente paradokser.

"Mengteoretiske paradokser er et veldig alvorlig problem, ikke for matematikk, men snarere for logikk og epistemologi," skriver den østerrikske matematikeren og logikeren K. Gödel. «Logikken er inkonsekvent. Det er ingen logiske paradokser, - sier den sovjetiske matematikeren D. Bochvar. – Slike avvik er noen ganger betydelige, noen ganger verbale. Poenget ligger i stor grad i hva som egentlig menes med «logisk paradoks».

Et nødvendig trekk ved logiske paradokser er den logiske ordboken. Paradokser som er logiske må formuleres i logiske termer. I logikken er det imidlertid ingen klare kriterier for å dele inn termer i logiske og ekstralogiske. Logikk, som omhandler riktigheten av resonnement, søker å redusere begrepene som riktigheten av praktisk anvendte konklusjoner avhenger av, til et minimum. Men dette minimum er ikke forhåndsbestemt entydig. I tillegg kan ikke-logiske utsagn også formuleres i logiske termer. Hvorvidt et bestemt paradoks kun bruker rent logiske premisser er langt fra alltid mulig å fastslå entydig.

Logiske paradokser er ikke stivt atskilt fra alle andre paradokser, på samme måte som de sistnevnte ikke er klart skilt fra alt som er ikke-paradoksalt og i samsvar med de rådende ideene.

I begynnelsen av studiet av logiske paradokser så det ut til at de kunne skilles ut ved brudd på en ennå uutforsket posisjon eller logikkregel. «Den onde sirkelprinsippet» introdusert av B. Russell var spesielt aktiv i å hevde rollen til en slik regel. Dette prinsippet sier at en samling av objekter ikke kan inneholde medlemmer som kun er definert av samme samling.

Alle paradokser har én ting til felles – selvanvendbarhet, eller sirkularitet. I hver av dem er det aktuelle objektet preget av et sett med objekter som det selv tilhører. Hvis vi trekker ut for eksempel en person som den mest utspekulerte i en klasse, gjør vi dette ved hjelp av et sett personer som denne personen også tilhører (ved hjelp av «sin klasse»). Og hvis vi sier: "Denne erklæringen er falsk," karakteriserer vi erklæringen av interesse for oss ved å referere til helheten av alle falske erklæringer som inkluderer den.

I alle paradokser skjer selvanvendelse, som betyr at det så å si er en bevegelse i en sirkel, som til slutt leder til utgangspunktet. I et forsøk på å karakterisere objektet av interesse for oss, vender vi oss til settet med objekter som inkluderer det. Imidlertid viser det seg at det, for sin bestemthet, selv trenger objektet som vurderes og ikke kan forstås klart uten det. I denne sirkelen ligger kanskje kilden til paradokser.

Situasjonen kompliseres imidlertid av at en slik sirkel også eksisterer i mange helt ikke-paradoksale argumenter. Circular er et stort utvalg av de vanligste, harmløse og samtidig praktiske uttrykksmåtene. Eksempler som «den største av alle byer», «det minste av alle naturlige tall», «et av elektronene i jernatomet» osv., viser at ikke alle tilfeller av selvanvendelse fører til en selvmotsigelse og at det er viktig ikke bare i vanlig språk, men også i vitenskapens språk.

En ren henvisning til bruken av selvanvendelige begreper er derfor utilstrekkelig til å diskreditere paradokser. Noen tilleggskriterium er nødvendig for å skille egenanvendbarhet, som fører til et paradoks, fra alle andre tilfeller av det.

Det har vært mange forslag om dette, men ingen vellykket avklaring av sirkulæriteten er funnet. Det viste seg å være umulig å karakterisere sirkulæriteten på en slik måte at ethvert sirkulært resonnement fører til et paradoks, og hvert paradoks er et resultat av et eller annet sirkulært resonnement.

Et forsøk på å finne et spesifikt prinsipp for logikk, hvis brudd ville være et særtrekk ved alle logiske paradokser, førte ikke til noe bestemt.

En slags klassifisering av paradokser vil utvilsomt være nyttig, å dele dem inn i typer og typer, gruppere noen paradokser og sette dem i mot andre. Det er imidlertid heller ikke oppnådd noe bærekraftig i dette tilfellet.

Den engelske logikeren F. Ramsey, som døde i 1930, da han ennå ikke var tjuesju år gammel, foreslo å dele alle paradokser i syntaktiske og semantiske. Den første inkluderer for eksempel Russells paradoks, den andre - paradoksene til "løgneren", Grelling, etc.

I følge F. Ramsey inneholder paradokser i den første gruppen kun begreper som tilhører logikk eller matematikk. Sistnevnte inkluderer begreper som "sannhet", "definerbarhet", "navngivning", "språk", som ikke er strengt matematiske, men snarere relatert til lingvistikk eller til og med kunnskapsteorien. Semantiske paradokser ser ikke ut til å skylde deres utseende ikke til en feil i logikken, men til vagheten eller tvetydigheten til noen ikke-logiske begreper, derfor angår problemene de stiller språk og må løses av lingvistikk.

Det virket for F. Ramsey at matematikere og logikere ikke trenger å være interessert i semantiske paradokser.

Senere viste det seg imidlertid at noen av de mest betydningsfulle resultatene av moderne logikk ble oppnådd nettopp i forbindelse med en dypere studie av nettopp disse «ikke-logiske» paradoksene.

Inndelingen av paradokser foreslått av F. Ramsey ble mye brukt til å begynne med og har fortsatt en viss betydning selv nå. Samtidig blir det stadig tydeligere at denne inndelingen er ganske vag og baserer seg først og fremst på eksempler, og ikke på en dybdekomparativ analyse av de to gruppene av paradokser. Semantiske begreper er nå godt definert, og det er vanskelig å ikke erkjenne at disse begrepene faktisk er logiske. Med utviklingen av semantikk, som definerer dens grunnleggende konsepter i form av settteori, blir skillet gjort av F. Ramsey stadig mer utydelig.