Last ned oppgaver 14 avledet av det grunnleggende nivået til Unified State Examination. Grunnleggende regler for differensiering

Den geometriske betydningen av den deriverte X Y 0 tangent α k er vinkelkoeffisienten til den rette linjen (tangens) Den geometriske betydningen av den deriverte: hvis en tangent kan trekkes til grafen til funksjonen y = f(x) i punktet med abscissen, ikke-parallell med y-aksen, så uttrykker den vinkelkoeffisienten til tangenten, dvs. Siden er likheten til den rette linjen sann

X y Hvis α 0. Hvis α > 90°, så k 90°, så k 90°, så k 90°, så k 90°, så k title="х y If α 0. Hvis α > 90°, deretter k

X y Oppgave 1. Figuren viser en graf av funksjonen y = f(x) og en tangent til denne grafen tegnet i punktet med abscisse -1. Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x =

Y x x0x Figuren viser en graf av funksjonen y = f(x) og en tangent til denne i punktet med abscissen x 0. Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x 0. Svar: -0,25

Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (-6;6). Finn økningsintervallene til funksjonen f(x). I svaret ditt angir du summen av heltallspoeng som er inkludert i disse intervallene. B =...

Tilbake Fremover

Oppmerksomhet! Lysbildeforhåndsvisninger er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle funksjonene i presentasjonen. Hvis du er interessert dette arbeidet, last ned fullversjonen.

Leksjonstype: repetisjon og generalisering.

Leksjonsformat: leksjon-konsultasjon.

Leksjonens mål:

• pedagogisk: gjenta og oppsummere teoretisk kunnskap om emnene: "Geometrisk betydning av derivatet" og "Anvendelse av derivatet til studiet av funksjoner"; vurdere alle typer B8-problemer som oppstår på Unified State Examination i matematikk;
• gi studentene muligheten til å teste kunnskapene sine ved å løse problemer selvstendig; lære hvordan du fyller ut eksamensbesvarelsesskjemaet; utvikle seg: fremme utvikling av kommunikasjon som metode vitenskapelig kunnskap, semantisk minne og frivillig oppmerksomhet; dannelse av slike
• nøkkelkompetanser, slik som sammenligning, sidestilling, klassifisering av objekter, bestemmelse av tilstrekkelige måter å løse en pedagogisk oppgave basert på gitte algoritmer, evnen til å handle uavhengig i situasjoner med usikkerhet, kontrollere og evaluere ens aktiviteter, finne og eliminere årsakene til vanskeligheter; kommunikasjonsevner (kommunikasjonskultur, evne til å jobbe i grupper); fremme utviklingen av behovet for egenutdanning.

Teknologier: utviklingsutdanning, IKT.

Undervisningsmetoder: verbalt, visuelt, praktisk, problematisk.

Arbeidsformer: individuell, frontal, gruppe.

Pedagogisk og metodisk støtte:

1. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse 11. klasse: lærebok. For allmennutdanning Institusjoner: basis og profil. nivåer / (Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); redigert av A. B. Zhizhchenko. – 4. utg. – M.: Utdanning, 2011.

2. Unified State Exam: 3000 problemer med svar i matematikk. Alle oppgaver i gruppe B/A.L. Semenov, I.V. Yashchenko og andre; redigert av A.L. Semyonova, I.V. Jasjtsjenko. – M.: Forlaget “Eksamen”, 2011.

3. Åpen bank oppgaver.

Utstyr og materiell til leksjonen: projektor, lerret, pc til hver elev med presentasjon installert på, utskrift av notat til alle elever (vedlegg 1) Og resultatskjema (Vedlegg 2) .

Foreløpig forberedelse til leksjonen: Som lekser blir elevene bedt om å gjenta fra læreboka teoretisk materiale om emner: "Geometrisk betydning av derivatet", "Anvendelse av derivatet til studiet av funksjoner"; Klassen er delt inn i grupper (4 personer hver), i hver av dem er det elever på ulike nivåer.

Leksjonsforklaring: Denne leksjonen undervises i 11. klasse på stadiet med repetisjon og forberedelse til Unified State Exam. Leksjonen er rettet mot repetisjon og generalisering av teoretisk stoff, på dets anvendelse i løsning av eksamensoppgaver. Leksjonens varighet - 1,5 timer .

Denne leksjonen er ikke knyttet til læreboken, så den kan undervises mens du arbeider med undervisningsmateriell. Denne leksjonen kan også deles inn i to separate og undervises som avsluttende leksjoner om temaene som dekkes.

Leksjonsfremgang

I. Organisatorisk øyeblikk.

II. Sette mål leksjon.

III. Repetisjon om emnet "Geometrisk betydning av derivater."

Muntlig frontalarbeid ved bruk av projektor (lysbilder nr. 3-7)

Arbeid i grupper: løse problemer med hint, svar, med lærerkonsultasjon (lysbilder nr. 8-17)

IV. Selvstendig arbeid 1.

Elevene jobber individuelt på PC (lysbilde nr. 18-26), og legger inn svarene sine i evalueringsarket. Om nødvendig kan du konsultere en lærer, men i dette tilfellet vil studenten miste 0,5 poeng. Dersom eleven fullfører arbeidet tidligere, kan han velge å løse tilleggsoppgaver fra samlingen, s. 242, 306-324 (tilleggsoppgaver vurderes separat).

V. Gjensidig verifisering.

Studenter utveksler vurderingsark, sjekker en venns arbeid og tildeler poeng (lysbilde nr. 27)

VI. Korrigering av kunnskap.

VII. Repetisjon om emnet "Anvendelse av derivatet til studiet av funksjoner"

Muntlig frontalarbeid ved bruk av projektor (lysbilder nr. 28-30)

Arbeid i grupper: løse problemer med hint, svar, med lærerkonsultasjon (lysbilder nr. 31-33)

VIII. Selvstendig arbeid 2.

Elevene jobber individuelt på PC (lysbilde nr. 34-46), og legger inn svarene sine på svarskjemaet. Om nødvendig kan du konsultere en lærer, men i dette tilfellet vil studenten miste 0,5 poeng. Dersom eleven fullfører arbeidet tidligere, kan han velge å løse tilleggsoppgaver fra samlingen, s. 243-305 (tilleggsoppgaver vurderes separat).

IX. Fagfellevurdering.

Studentene utveksler vurderingsark, sjekker en venns arbeid og tildeler poeng (lysbilde nr. 47).

X. Retting av kunnskap.

Elevene jobber igjen i gruppene sine, diskuterer løsningen og retter feil.

XI. Oppsummering.

Hver elev beregner poengene sine og setter en karakter på resultatarket.

Elevene leverer til læreren et vurderingsark og løsninger på tilleggsproblemer.

Hver elev får et notat (lysbilde nr. 53-54).

XII. Speilbilde.

Studentene blir bedt om å vurdere kunnskapen sin ved å velge en av setningene:

• Jeg lyktes!!!
• Vi må løse et par eksempler til.
• Vel, hvem kom opp med denne matematikken!

XIII. Lekser.

Til lekser Studentene inviteres til å velge å løse oppgaver fra samlingen, s. 242-334, samt fra en åpen oppgavebank.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Innhold

Innholdselementer

Deriverte, tangent, antideriverte, grafer av funksjoner og deriverte.

Derivat La funksjonen \(f(x)\) være definert i et område av punktet \(x_0\).

Derivert av funksjonen \(f\) i punktet \(x_0\) kalt grense

\(f"(x_0)=\lim_(x\høyrepil x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

hvis denne grensen eksisterer.

Den deriverte av en funksjon i et punkt karakteriserer endringshastigheten til denne funksjonen ved et gitt punkt.

Derivattabell

Funksjon	Derivat
\(const\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

Regler for differensiering\(f\) og \(g\) er funksjoner avhengig av variabelen \(x\); \(c\) er et tall.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\venstre(f\venstre(g(x)\høyre)\høyre)"=f"\venstre(g(x)\høyre)\cdot g"(x)\) - derivert av en kompleks funksjon

Geometrisk betydning av derivat Ligning av en linje- ikke parallelt med aksen \(Oy\) kan skrives på formen \(y=kx+b\). Koeffisienten \(k\) i denne ligningen kalles hellingen av en rett linje. Han lik tangent helningsvinkel denne rette linjen.

Rett vinkel- vinkelen mellom den positive retningen til \(Ox\)-aksen og denne rette linjen, målt i retningen positive vinkler(det vil si i retning av minste rotasjon fra \(Ox\)-aksen til \(Oy\)-aksen).

Den deriverte av funksjonen \(f(x)\) i punktet \(x_0\) er lik skråning tangent til grafen til funksjonen i et gitt punkt: \(f"(x_0)=\tg\alpha.\)

Hvis \(f"(x_0)=0\), så er tangenten til grafen til funksjonen \(f(x)\) i punktet \(x_0\) parallell med aksen \(Ox\).

Tangentligning

Likning av tangenten til grafen til funksjonen \(f(x)\) i punktet \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonicitet av funksjonen Hvis den deriverte av en funksjon er positiv på alle punkter i intervallet, øker funksjonen på dette intervallet.

Hvis den deriverte av en funksjon er negativ på alle punkter i intervallet, avtar funksjonen på dette intervallet.

Minimum, maksimum og bøyningspunkter positivt på negativ på dette tidspunktet er \(x_0\) maksimumspunktet for funksjonen \(f\).

Hvis funksjonen \(f\) er kontinuerlig i punktet \(x_0\), og verdien av den deriverte av denne funksjonen \(f"\) endres med negativ på positivt på dette tidspunktet er \(x_0\) minimumspunktet for funksjonen \(f\).

Punktene der den deriverte \(f"\) er lik null eller ikke eksisterer kalles kritiske punkter funksjoner \(f\).

Interne punkter i definisjonsdomenet til funksjonen \(f(x)\), der \(f"(x)=0\) kan være minimums-, maksimums- eller bøyningspunkter.

Fysisk betydning av derivatet Hvis et materialpunkt beveger seg rettlinjet og dets koordinater endres avhengig av tid i henhold til loven \(x=x(t)\), så er hastigheten til dette punktet lik den deriverte av koordinaten med hensyn til tid:

Akselerasjon materiell poeng lik den deriverte av hastigheten til dette punktet med hensyn til tid:

\(a(t)=v"(t).\)

Kommunal utdanningsinstitusjon

"Saltykovskaya sekundær ungdomsskolen

Rtishchevsky-distriktet, Saratov-regionen"

Masterklasse i matematikk

i 11. klasse

om emnet

"DERIVAT AV FUNKSJONEN

I BRUK OPPGAVER"

Utført av en mattelærer

Beloglazova L.S.

2012-2013 akademisk år

Formålet med mesterklassen : utvikle studentenes ferdigheter i å anvende teoretisk kunnskap om emnet "Deriverte av en funksjon" for å løse problemer av en enkelt statlig eksamen.

Oppgaver

Pedagogisk: oppsummere og systematisere elevenes kunnskap om emnet

"Derivat av en funksjon", vurdere prototyper Unified State Exam problemer om dette emnet, gi studentene muligheten til å teste kunnskapene sine ved å løse problemer selvstendig.

Pedagogisk: fremme utviklingen av hukommelse, oppmerksomhet, selvtillit og selvkontroll; dannelse av grunnleggende nøkkelkompetanser (sammenligning, sammenstilling, klassifisering av objekter, fastsettelse av tilstrekkelige måter å løse pedagogisk oppgave basert på gitte algoritmer, evnen til å handle uavhengig i situasjoner med usikkerhet, kontrollere og evaluere ens aktiviteter, finne og eliminere årsakene til vanskeligheter).

Pedagogisk: reklamere:

utvikle en ansvarlig holdning til læring blant studenter;

utvikling av bærekraftig interesse for matematikk;

skape positiv indre motivasjon for å studere matematikk.

Teknologier: individuelt differensiert læring, IKT.

Undervisningsmetoder: verbalt, visuelt, praktisk, problematisk.

Arbeidsformer: individuell, frontal, i par.

Utstyr og materiell til leksjonen: projektor, lerret, PC for hver elev, simulator (vedlegg nr. 1), presentasjon for timen (vedlegg nr. 2), individuelt - differensierte kort for selvstendig arbeid i par (vedlegg nr. 3), liste over internettsider, individuelt differensiert lekser (Vedlegg nr. 4).

Forklaring til mesterklassen. Denne mesterklassen gjennomføres i 11. klasse for å forberede seg til Unified State Exam. Tar sikte på å anvende teoretisk stoff om temaet "Diverive of a function" ved løsning av eksamensoppgaver.

Varighet av mesterklassen– 30 min.

Master class struktur

I.Organisasjonsmoment -1 min.

II .Beskjed om emnet, mål for mesterklassen, motivasjon for pedagogiske aktiviteter - 1 min.

III. Frontarbeid. Opplæring "Oppgaver B8 Unified State Exam". Analyse av arbeid med simulator - 6 min.

IV.Individuelt - differensiert arbeid i par. Uavhengig løsning problemer B14. Fagfellevurdering - 7 min.

V. Sjekke individuelle lekser. Problem med parameter C5 i Unified State Exam

3 min.

VI .On-line testing. Analyse av testresultater - 9 min.

VII. Individuelt - differensierte lekser -1 min.

VIII Leksjonskarakterer - 1 min.

IX. Leksjonssammendrag. Refleksjon -1 min.

Fremgang av mesterklassen

jeg .Organisatorisk øyeblikk.

II .Beskjed om emnet, mål for mesterklassen, motivasjon for pedagogiske aktiviteter.

(lysbilde 1-2, vedlegg nr. 2)

Temaet for leksjonen vår er "Avledning av en funksjon i Unified State Examination-oppgaver." Alle kjenner til ordtaket «Liten er liten, men dyr». En av disse "spoleventilene" i matematikk er den deriverte. Deriverten brukes til å løse mange praktiske problemer innen matematikk, fysikk, kjemi, økonomi og andre disipliner. Det lar deg løse problemer enkelt, vakkert og interessant.

Emnet "Derivat" presenteres i oppgavene i del B (B8, B14) av den enhetlige statseksamenen. Noen C5-problemer kan også løses ved hjelp av derivater. Men å løse disse problemene krever god matematisk trening og out-of-the-box tenkning.

Har du jobbet med dokumenter som regulerer struktur og innhold i tester? målematerialer enhetlig statseksamen i matematikk 2013. Konkluder med dethvilke kunnskaper og ferdigheter trenger du vellykket løsning Unified State Exam-problemer om emnet "Derivative".

(lysbilde 3-4, vedlegg nr. 2)

Vi studert"Kodifier innholdselementer i MATEMATIKK for utarbeidelse av kontrollmålingsmateriale for Unified State Exam,"

"Kodifiserer av nivåkrav utdannet opplæring», "Spesifikasjon kontroll målematerialer","Demo-versjonkontrollmålingsmateriale for unified state-eksamenen 2013" ogfant ut hvilken kunnskap og ferdigheter om en funksjon og dens deriverte er nødvendig for å lykkes med å løse problemer om emnet "Deriverte".

Nødvendig

• VITE

n regler for beregning av derivater;

derivater av grunnleggende elementære funksjoner;

geometrisk og fysisk betydning av derivat;
ligning av tangenten til grafen til en funksjon;
studie av en funksjon ved å bruke dens deriverte.

KUNNE

utføre handlinger med funksjoner (beskriv oppførselen og egenskapene til en funksjon ved hjelp av en graf, finn dens største og minste verdi).

BRUK

tilegnet seg kunnskap og ferdigheter innen praktiske aktiviteter Og hverdagen.

Du har teoretisk kunnskap om temaet "Deriverte". I dag skal viLÆR Å BRUKE KUNNSKAP OM DEN DERIVATFUNKSJON FOR Å LØSE BRUKSPROBLEMER. ( Lysbilde 4, vedlegg nr. 2)

Det er ikke uten grunn Aristoteles sa det "SINNET ER IKKE BARE I KUNNSKAP, MEN OGSÅ I EVNE TIL Å ANVENDE KUNNSKAP I PRAKSIS"( Lysbilde 5, vedlegg nr. 2)

På slutten av leksjonen vil vi gå tilbake til målet for leksjonen og finne ut om vi oppnådde det?

III . Frontalarbeid. Opplæring "Oppgaver B8 Unified State Exam" (Vedlegg nr. 1) . Analyse av arbeid med simulatoren.

Velg riktig svar fra de fire foreslåtte.

Hva er etter din mening vanskeligheten med å fullføre oppgave B8?

Hva tror du typiske feil tillate nyutdannede å ta eksamen når de løser dette problemet?

Når du svarer på spørsmålene i oppgave B8, skal du kunne beskrive oppførselen og egenskapene til en funksjon ved hjelp av en derivert graf, og oppførselen og egenskapene til en derivert funksjon ved hjelp av en funksjonsgraf. Og til dette trenger du god teoretisk kunnskap om følgende emner: "Geometrisk og mekanisk sans derivat. Tangent til grafen til en funksjon. Anvendelse av derivatet til studiet av funksjoner."

Analyser hvilke oppgaver som forårsaket problemer for deg?

Hvilke teoretiske problemstillinger trenger du å vite?

IV. Individuelt - differensiert arbeid i par. Uavhengig problemløsning Q14. Fagfellevurdering. (Vedlegg nr. 3)

Husk algoritmen for å løse problemer (B14 Unified State Examination) for å finne ekstremumpunkter, ekstrema for en funksjon, maksimum og laveste verdier fungerer på et intervall ved å bruke den deriverte.

Løs problemer ved å bruke derivater.

Elevene får en oppgave:

"Tenk, er det mulig å løse noen problemer i B14 på en annen måte, uten å bruke derivatet?"

1 par(Lukyanova D., Gavryushina D.)

1)B14. Finn minimumspunktet til funksjonen y = 10x-ln (x+9)+6

2)B14.Finne høyeste verdi funksjonery =

– Prøv å løse det andre problemet på to måter.

2 par(Saninskaya T., Sazanov A.)

1)B14.Finn den minste verdien av funksjonen y=(x-10) på segmentet

2)B14. Finn maksimumspunktet for funksjonen y= -

(Elevene forsvarer løsningen sin ved å skrive ned hovedstadiene i problemløsning på tavlen. Elever på 1 par (Lukyanova D., Gavryushina D.) gi to måter å løse problem nr. 2).

Løser problemet. Konklusjon elevene bør gjøre:

"Noen problemer med B14 Unified State Exam med å finne de minste og største verdiene til en funksjon kan løses uten å bruke derivater, avhengig av egenskapene til funksjoner."

Analyser hvilken feil du gjorde i oppgaven?

Hvilke teoretiske spørsmål må du vurdere?

V. Sjekke individuelle lekser. Problem med parameter C5 (BRUK) ( Lysbilde 7-8, vedlegg nr. 2)

Lukyanova K. fikk en individuell hjemmeoppgave: fra lærebøkene for forberedelse til Unified State-eksamen, velg et problem med en parameter (C5) og løs det ved å bruke den deriverte.

(Eleven gir en løsning på problemet basert på det funksjonelle grafisk metode, som en av metodene for å løse problemer C5 av Unified State Exam og gir kort forklaring denne metoden).

Hvilken kunnskap om en funksjon og dens deriverte er nødvendig for å løse C5 Unified State Examination-problemer?

V I. On-line testing for oppgavene B8, B14. Analyse av testresultater.

Nettsted for testing i klassen:

Hvem gjorde ikke feil?

Hvem hadde problemer med å teste? Hvorfor?

I hvilke oppgaver ble det gjort feil?

Konkluder med hvilke teoretiske problemstillinger du trenger å vite?

VI JEG. Individuelt differensierte lekser

(Lysbilde 9, søknad nr. 2), (Vedlegg nr. 4).

Jeg har utarbeidet en liste over nettsteder for forberedelse til Unified State-eksamenen. Du kan også besøke disse nettstedene Omn – linjetesting. For neste leksjon må du: 1) gjenta teoretisk materiale om emnet "Deriverte av en funksjon";

2) på nettstedet "Open Bank of Mathematics Tasks" ( ) finne prototyper av oppgavene B8 og B14 og løse minst 10 problemer;

3) Lukyanova K., Gavryushina D. løser problemer med parametere. Resten av elevene skal løse oppgave 1-8 (alternativ 1).

VI II. Leksjonskarakterer.

Hvilken karakter ville du gitt deg selv for timen?

Tror du at du kunne ha gjort det bedre i klassen?

IX. Leksjonssammendrag. Speilbilde

La oss oppsummere arbeidet vårt. Hva var hensikten med leksjonen? Tror du det er oppnådd?

Se på tavlen og i en setning, velg begynnelsen av en setning, fortsett setningen som passer deg best.

jeg følte...

jeg lærte...

jeg gjorde det...

jeg klarte...

jeg skal prøve…

Jeg ble overrasket over det …

jeg ville...

Kan du si at kunnskapen din ble beriket i løpet av leksjonen?

Så du har gjentatt de teoretiske spørsmålene om den deriverte av en funksjon, brukte kunnskapen sin når de løste prototyper av Unified State Examination-oppgaver (B8, B14), og Lukyanova K. fullførte oppgave C5 med en parameter, som er en oppgave med økt kompleksitet.

Det var en glede å jobbe med deg, og Jeg håper at du vil være i stand til å lykkes med å anvende kunnskapen du ervervet i matematikktimer, ikke bare i bestått Unified State-eksamenen, men også i hans videre studier.

Jeg vil gjerne avslutte leksjonen med ordene fra den italienske filosofen Thomas Aquinas"Kunnskap er en så verdifull ting at det er ingen skam å få den fra noen kilde." (lysbilde 10, vedlegg nr. 2).

Jeg ønsker deg lykke til med å forberede deg til Unified State-eksamenen!