Skalarverdi i fysikkeksempler. Mellom hammeren og ambolten

Vektormengde (vektor) er en fysisk størrelse som har to egenskaper - modulen og retningen i rommet.

Eksempler på vektorstørrelser: hastighet (), kraft (), akselerasjon (), etc.

Geometrisk er en vektor avbildet som et rettet segment av en rett linje, hvis lengde på en skala er modulen til vektoren.

Radius vektor(vanligvis betegnet eller ganske enkelt) - en vektor som spesifiserer posisjonen til et punkt i rommet i forhold til et forhåndsfiksert punkt, kalt origo.

Til vilkårlig poeng i rommet er radiusvektoren vektoren fra origo til det punktet.

Lengden på radiusvektoren, eller dens modul, bestemmer avstanden punktet er fra origo, og pilen angir retningen til dette punktet i rommet.

På et plan er vinkelen til radiusvektoren vinkelen som radiusvektoren roteres med i forhold til abscisseaksen i retning mot klokken.

linjen som kroppen beveger seg langs kalles bevegelsesbane. Avhengig av formen på banen kan alle bevegelser deles inn i rettlinjede og krumlinjede.

Beskrivelsen av bevegelsen begynner med svaret på spørsmålet: hvordan endret kroppens posisjon i rommet seg over en viss tidsperiode? Hvordan bestemmes endringen i kroppens posisjon i rommet?

flytte- rettet segment (vektor) som forbinder de innledende og endelige posisjonene til kroppen.

Hastighet(ofte betegnet fra engelsk. hastighet eller fr. vitesse) - vektor fysisk mengde som karakteriserer bevegelseshastigheten og bevegelsesretningen materiell poeng i rommet i forhold til det valgte referansesystemet (for eksempel vinkelhastighet). Det samme ordet kan være skalar, mer presist, modulen til den deriverte av radiusvektoren.

Vitenskapen bruker også speed inn vid forstand, som endringshastigheten for en mengde (ikke nødvendigvis radiusvektoren) avhengig av en annen (oftere endringer i tid, men også i rom eller noe annet). Så, for eksempel, snakker de om hastigheten på temperaturendringer, hastigheten kjemisk reaksjon, gruppehastighet, forbindelseshastighet, vinkelhastighet osv. Matematisk karakterisert ved funksjonens deriverte.

Akselerasjon(vanligvis betegnet , i teoretisk mekanikk), er tidsderiverten av hastighet en vektormengde som viser hvor mye hastighetsvektoren til et punkt (kropp) endres når den beveger seg per tidsenhet (dvs. akselerasjon tar ikke bare hensyn til en endring i størrelsen på hastigheten, men også dens retning).

For eksempel, i nærheten av jorden, øker et legeme som faller til jorden, i tilfelle luftmotstanden kan neglisjeres, hastigheten med omtrent 9,8 m / s hvert sekund, det vil si at akselerasjonen er 9,8 m / s².

En gren av mekanikk som studerer bevegelse i tredimensjonalt euklidisk rom, dets registrering, samt registrering av hastigheter og akselerasjoner i ulike systemer referanse kalles kinematikk.

Akselerasjonsenheten er meter per sekund per sekund ( m/s 2, m/s 2), er det også en off-system enhet Gal (Gal), brukt i gravimetri og lik 1 cm/s 2 .

Avledet av akselerasjon med hensyn til tid dvs. Verdien som karakteriserer hastigheten på endring av akselerasjon over tid kalles rykk.

Den enkleste bevegelsen til kroppen er en der alle punktene på kroppen beveger seg på samme måte, og beskriver de samme banene. En slik bevegelse kalles progressive. Denne typen bevegelse får vi ved å flytte splinten slik at den forblir parallell med seg selv hele tiden. Med translasjonsbevegelse kan banene være både rette (fig. 7, a) og buede (fig. 7, b) linjer.
Det kan bevises at under translasjonsbevegelse forblir enhver rett linje tegnet i kroppen parallelt med seg selv. Dette kjennetegn den er praktisk å bruke for å svare på spørsmålet om en gitt bevegelse av kroppen er translasjonsmessig. For eksempel, når en sylinder ruller langs et plan, forblir ikke linjene som krysser aksen parallelle med seg selv: rulling er ikke translasjonsbevegelse. Når T-firkanten og firkanten beveger seg langs tegnebrettet, forblir enhver rett linje tegnet i dem parallelt med seg selv, noe som betyr at de beveger seg fremover (fig. 8). Nålen til symaskinen beveger seg fremover, stempelet i sylinderen til dampmaskinen eller motoren intern forbrenning, karosseri (men ikke hjul!) ved kjøring på rett vei osv.

En annen enkel type bevegelse er roterende bevegelse kropp eller rotasjon. Under rotasjonsbevegelse beveger alle punkter på kroppen seg langs sirkler hvis sentre ligger på en rett linje. Denne linjen kalles rotasjonsaksen (rett linje 00 "i fig. 9). Sirklene ligger i parallelle plan vinkelrett på rotasjonsaksen. Punktene på kroppen som ligger på rotasjonsaksen forblir ubevegelige. Rotasjon er ikke progressiv bevegelse: når aksen roteres OO". Banene som vises forblir parallelle bare rette linjer parallelt med rotasjonsaksen.

Helt stiv kropp- det andre referanseobjektet til mekanikk sammen med materialpunktet.

Det er flere definisjoner:

1. En absolutt stiv kropp er et modellkonsept av klassisk mekanikk, som betegner et sett med materielle punkter, avstandene mellom disse er bevart i prosessen med alle bevegelser utført av denne kroppen. Med andre ord, en absolutt stiv kropp endrer ikke bare formen, men holder også massefordelingen inne uendret.

2. Et absolutt stivt legeme er et mekanisk system som kun har translasjons- og rotasjonsfrihetsgrader. "Hardhet" betyr at kroppen ikke kan deformeres, det vil si at ingen annen energi kan overføres til kroppen, bortsett fra den kinetiske energien til translasjons- eller roterende bevegelse.

3. Absolutt fast- en kropp (system), hvor den gjensidige plasseringen av alle punkter ikke endres, uansett hvilke prosesser den deltar i.

PÅ tredimensjonalt rom og i fravær av bindinger, har en absolutt stiv kropp 6 frihetsgrader: tre translasjons- og tre rotasjonsgrader. Unntaket er et diatomisk molekyl eller, på klassisk mekanikks språk, en solid stav med null tykkelse. Et slikt system har bare to rotasjonsgrader av frihet.

Slutt på arbeidet -

Dette emnet tilhører:

En ubevist og ubekreftet hypotese kalles et åpent problem.

Fysikk er nært knyttet til matematikk, matematikk gir apparatet som fysiske lover kan formuleres presist.. teori gr.

Hvis du trenger tilleggsmateriale om dette emnet, eller du ikke fant det du lette etter, anbefaler vi å bruke søket i vår database over verk:

Hva skal vi gjøre med det mottatte materialet:

Hvis dette materialet viste seg å være nyttig for deg, kan du lagre det på siden din på sosiale nettverk:

kvitring

Alle emner i denne delen:

Relativitetsprinsippet i mekanikk
Treghetsreferansesystemer og relativitetsprinsippet. Galileiske transformasjoner. Transformasjonsinvarianter. Absolutte og relative hastigheter og akselerasjoner. Postulater av spesielle t

Rotasjonsbevegelse av et materialpunkt.
Rotasjonsbevegelsen til et materialpunkt er bevegelsen til et materialpunkt langs en sirkel. Rotasjonsbevegelse - utsikt mekanisk bevegelse. På

Sammenheng mellom vektorer av lineære og vinkelhastigheter, lineære og vinkelakselerasjoner.
Mål for rotasjonsbevegelse: vinkelen φ som radiusvektoren til et punkt roterer med i et plan vinkelrett på rotasjonsaksen. Ensartet rotasjonsbevegelse

Hastighet og akselerasjon i krumlinjet bevegelse.
Kurvilineær bevegelse over komplekst syn bevegelse enn rettlinjet, for selv om bevegelsen skjer på et plan, så endres to koordinater som karakteriserer posisjonen til kroppen. hastighet og

Akselerasjon under krumlinjet bevegelse.
Med tanke på krumlinjet bevegelse kroppen, ser vi at hastigheten er forskjellig til forskjellige øyeblikk. Selv i tilfellet når størrelsen på hastigheten ikke endres, er det fortsatt en endring i hastighetens retning

Newtons bevegelsesligning
(1) hvor kraften F i det generelle tilfellet

Massesenter
treghetssenter, geometrisk punkt, hvis posisjon karakteriserer fordelingen av masser i kroppen eller det mekaniske systemet. Koordinatene til C. m. bestemmes av formlene

Massesenterets bevegelseslov.
Ved å bruke loven om momentumendring får vi bevegelsesloven til massesenteret: dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi

Galileisk relativitetsprinsipp
Treghetsreferanseramme Galileos treghetsreferanseramme

Plastisk deformasjon
La oss bøye en liten stålplate (for eksempel en baufil), og så la den gå etter en stund. Vi vil se at baufilen vil gjenopprette formen fullstendig (i hvert fall med et øyeblikk). Hvis vi tar

EKSTERNE OG INDRE KREFTER
. I mekanikk eksterne krefter i forhold til et gitt system av materialpunkter (dvs. et slikt sett med materialpunkter der bevegelsen til hvert punkt avhenger av posisjonene eller bevegelsene til alle akser

Kinetisk energi
energi mekanisk system, avhengig av hastighetene til punktene. K. e. T til et materialpunkt måles med halvparten av produktet av massen m til dette punktet og kvadratet av dets hastighet

Kinetisk energi.
Kinetisk energi - energien til en kropp i bevegelse. (Fra gresk ord kinema - bevegelse). Per definisjon, den kinetiske energien til en referanseramme i ro i en gitt ramme

En verdi lik halvparten av produktet av kroppens masse og kvadratet av hastigheten.
=J. Kinetisk energi er en relativ verdi, avhengig av valg av CO, fordi hastigheten på kroppen avhenger av valget av CO. At.

Kraftens øyeblikk
· Kraftens øyeblikk. Ris. Kraftens øyeblikk. Ris. Kraftmoment, størrelser

Kinetisk energi til et roterende legeme
Kinetisk energi er en additiv mengde. Derfor er den kinetiske energien til et legeme som beveger seg på en vilkårlig måte lik summen kinetiske energier alle n materialer

Arbeid og kraft under rotasjon av en stiv kropp.
Arbeid og kraft under rotasjon av en stiv kropp. La oss finne et uttrykk å jobbe med

Den grunnleggende ligningen for dynamikken i rotasjonsbevegelse
I følge ligning (5.8), Newtons andre lov for rotasjonsbevegelse P

Mengder kalles skalarer (skalarer) hvis de, etter å ha valgt en måleenhet, er fullstendig karakterisert av ett tall. Eksempler på skalare størrelser er vinkel, overflate, volum, masse, tetthet, elektrisk ladning, motstand, temperatur.

To typer skalarer bør skilles: rene skalarer og pseudoskalarer.

3.1.1. Rene skalarer.

Rene skalarer er fullstendig definert av et enkelt tall, uavhengig av valg av referanseakser. Temperatur og masse er eksempler på rene skalarer.

3.1.2. Pseudoskalarer.

Som rene skalarer, er pseudoskalarer definert med et enkelt tall, absolutt verdi som ikke er avhengig av valg av referanseakser. Tegnet på dette tallet avhenger imidlertid av valget av positive retninger på koordinataksene.

Tenk for eksempel kuboid, hvis projeksjoner av kantene på de rektangulære koordinataksene er henholdsvis like. Volumet til dette parallellepipedet bestemmes ved hjelp av determinanten

hvis absolutte verdi ikke avhenger av valget av rektangulære koordinatakser. Men hvis du endrer den positive retningen på en av koordinataksene, vil determinanten endre fortegn. Volum er en pseudoskalar. Pseudoskalare er også vinkel, areal, overflate. Nedenfor (avsnitt 5.1.8) vil vi se at en pseudoskalar faktisk er en tensor av en spesiell type.

Vektormengder

3.1.3. Akser.

Aksen er en uendelig rett linje som den positive retningen er valgt på. La en slik rett linje, og retningen fra

anses som positiv. Betrakt et segment på denne rette linjen og anta at tallet som måler lengden er a (fig. 3.1). Da er den algebraiske lengden på segmentet lik a, den algebraiske lengden på segmentet er lik - a.

Hvis vi tar flere parallelle linjer, så, etter å ha bestemt den positive retningen på en av dem, bestemmer vi den dermed på resten. Situasjonen er annerledes hvis linjene ikke er parallelle; da er det nødvendig å lage spesielle ordninger angående valg av positiv retning for hver rett linje.

3.1.4. Rotasjonsretning.

La aksen. Rotasjon om aksen kalles positiv eller direkte hvis den utføres for en observatør som står langs aksens positive retning, til høyre og til venstre (fig. 3.2). Ellers kalles det negativ eller invers.

3.1.5. Direkte og omvendte trieder.

La noen trihedron (rektangulær eller ikke-rektangulær). Positive retninger velges på aksene henholdsvis fra O til x, fra O til y og fra O til z.

I løpet av fysikk er det ofte slike mengder, for beskrivelsen som det er nok å vite bare numeriske verdier. For eksempel masse, tid, lengde.

Mengder som kun er karakterisert numerisk verdi, er kalt skalar eller skalarer.

I tillegg til skalære mengder, brukes mengder som har både en tallverdi og en retning. For eksempel hastighet, akselerasjon, kraft.

Mengder som er preget av en numerisk verdi og retning kalles vektor eller vektorer.

Vektormengder er merket med de tilsvarende bokstavene med en pil øverst eller er uthevet med fet skrift. For eksempel er kraftvektoren betegnet med \(\vec F\) eller F . Den numeriske verdien av en vektormengde kalles modulen eller lengden til vektoren. Verdien av kraftvektoren er angitt F eller \(\venstre|\vec F\høyre|\).

Vektorbilde

Vektorer er representert av rettede segmenter. Begynnelsen av vektoren er punktet der det rettede segmentet begynner (punkt MEN i fig. 1), er enden av vektoren punktet der pilen slutter (punkt B i fig. en).

Ris. en.

De to vektorene kalles lik hvis de har samme lengde og peker i samme retning. Slike vektorer er representert ved rettede segmenter som har samme lengder og veibeskrivelse. For eksempel, i fig. 2 viser vektorene \(\vec F_1 =\vec F_2\).

Ris. 2.

Når to eller flere vektorer avbildes i en figur, bygges segmentene på en forhåndsvalgt skala. For eksempel, i fig. Figur 3 viser vektorer hvis lengder \(\upsilon_1\) = 2 m/s, \(\upsilon_2\) = 3 m/s.

Ris. 3.

Vektorspesifikasjonsmetode

På et plan kan en vektor spesifiseres på flere måter:

1. Spesifiser koordinatene til begynnelsen og slutten av vektoren. For eksempel, vektoren \(\Delta\vec r\) i fig. 4 er satt av koordinatene til begynnelsen av vektoren - (2, 4) (m), slutten - (6, 8) (m).

Ris. fire.

2. Spesifiser modulen til vektoren (dens verdi) og vinkelen mellom retningen til vektoren og en forhåndsvalgt retning på planet. Ofte for en slik retning i positiv side akse 0 X. Vinkler målt mot klokken fra denne retningen anses som positive. På fig. 5 er vektoren \(\Delta\vec r\) gitt av to tall b og \(\alpha\) , som indikerer lengden og retningen til vektoren.

Ris. 5.

Fysikk og matematikk klarer seg ikke uten begrepet «vektormengde». Den må være kjent og anerkjent, samt kunne operere med den. Dette bør du definitivt lære deg for ikke å bli forvirret og ikke gjøre dumme feil.

Hvordan skille en skalarverdi fra en vektor?

Den første har alltid bare én egenskap. Dette er dens numeriske verdi. De fleste skalarer kan ta både positive og negative verdier. Eksempler er elektrisk ladning, arbeid eller temperatur. Men det er noen skalarer som ikke kan være negative, for eksempel lengde og masse.

Vektormengde, unntatt numerisk verdi, som alltid tas modulo, er også preget av retning. Derfor kan den avbildes grafisk, det vil si i form av en pil, hvis lengde er lik modulen til verdien rettet i en bestemt retning.

Når du skriver, er hver vektormengde angitt med et piltegn på bokstaven. Hvis en i spørsmålet om en numerisk verdi, så skrives ikke pilen eller den er tatt modulo.

Hvilke handlinger utføres oftest med vektorer?

Først en sammenligning. De kan være like eller ikke. I det første tilfellet er modulene deres de samme. Men dette er ikke den eneste betingelsen. De må også ha samme eller motsatte retninger. I det første tilfellet skal de kalles like vektorer. I den andre er de motsatte. Hvis minst en av disse betingelsene ikke er oppfylt, er ikke vektorene like.

Så kommer tillegget. Det kan gjøres i henhold til to regler: en trekant eller et parallellogram. Den første foreskriver å utsette først en vektor, deretter fra slutten den andre. Resultatet av tillegget vil være det som må tegnes fra begynnelsen av den første til slutten av den andre.

Parallellogramregelen kan brukes når du skal legge til vektormengder i fysikk. I motsetning til den første regelen, her bør de utsettes fra ett punkt. Bygg dem deretter til et parallellogram. Resultatet av handlingen bør betraktes som diagonalen til parallellogrammet trukket fra samme punkt.

Hvis en vektormengde trekkes fra en annen, plottes de igjen fra ett punkt. Bare resultatet vil være en vektor som samsvarer med den som er tegnet fra slutten av den andre til slutten av den første.

Hvilke vektorer studeres i fysikk?

Det er like mange av dem som det er skalarer. Du kan ganske enkelt huske hvilke vektormengder som finnes i fysikk. Eller kjenn tegnene de kan beregnes etter. For de som foretrekker det første alternativet, vil et slikt bord komme godt med. Den inneholder hovedvektoren

Nå litt mer om noen av disse mengdene.

Den første verdien er hastighet

Det er verdt å begynne å gi eksempler på vektormengder fra den. Dette skyldes det faktum at det er studert blant de første.

Hastighet er definert som en karakteristikk av bevegelsen til en kropp i rommet. Den spesifiserer en numerisk verdi og en retning. Derfor er hastighet en vektormengde. I tillegg er det vanlig å dele det inn i typer. Den første er lineær hastighet. Det introduseres når man vurderer rettlinjet jevn bevegelse. I dette tilfellet viser det seg å være lik forholdet mellom banen som kroppen har kjørt til bevegelsestidspunktet.

Den samme formelen kan brukes til ujevn bevegelse. Først da blir det gjennomsnittlig. Dessuten må tidsintervallet som skal velges nødvendigvis være så kort som mulig. Når tidsintervallet har en tendens til null, er hastighetsverdien allerede øyeblikkelig.

Hvis vilkårlig bevegelse vurderes, er hastighet her alltid en vektormengde. Tross alt må det dekomponeres i komponenter rettet langs hver vektor som dirigerer koordinatlinjene. I tillegg er den definert som den deriverte av radiusvektoren, tatt med hensyn til tid.

Den andre verdien er styrke

Det bestemmer målet for intensiteten av påvirkningen som utøves på kroppen av andre kropper eller felt. Siden kraft er en vektormengde, har den nødvendigvis sin egen moduloverdi og retning. Siden det virker på kroppen, er punktet som kraften påføres også viktig. For å oppnå visuell representasjon om kraftvektorer, kan du referere til følgende tabell.

Dessuten er den resulterende kraften også en vektormengde. Det er definert som summen av alt som virker på kroppen mekaniske krefter. For å bestemme det, er det nødvendig å utføre tillegg i henhold til prinsippet om trekantregelen. Bare du trenger å utsette vektorene etter tur fra slutten av den forrige. Resultatet vil være det som forbinder begynnelsen av den første til slutten av den siste.

Den tredje størrelsen er forskyvning

Mens du beveger deg, beskriver kroppen en bestemt linje. Det kalles en bane. Denne linjen kan være helt annerledes. Viktigere er ikke henne utseende, og start- og sluttpunktene for bevegelsen. De er forbundet med et segment kalt forskyvning. Dette er også en vektormengde. Dessuten er den alltid rettet fra begynnelsen av bevegelsen til punktet der bevegelsen ble stoppet. Det er akseptert å utpeke det latinsk bokstav r.

Her kan følgende spørsmål oppstå: "Er banen en vektormengde?". PÅ generell sak denne uttalelsen er ikke sann. Sti lik lengde bane og har ingen bestemt retning. Et unntak er situasjonen når det vurderes i én retning. Da faller modulen til forskyvningsvektoren sammen i verdi med banen, og retningen deres viser seg å være den samme. Derfor, når man vurderer bevegelse langs en rett linje uten å endre bevegelsesretningen, kan banen inkluderes i eksemplene på vektormengder.

Den fjerde størrelsen er akselerasjon

Det er en karakteristikk av hastigheten for endring av hastighet. Dessuten kan akselerasjonen være både positiv og negativ betydning. På rettlinjet bevegelse den er rettet i retning av høyere hastighet. Hvis bevegelsen er forbi krumlinjet bane, deretter dekomponeres akselerasjonsvektoren i to komponenter, hvorav den ene er rettet mot krumningssenteret langs radien.

Tildel gjennomsnittlig og øyeblikkelig verdi av akselerasjon. Den første skal beregnes som forholdet mellom hastighetsendringen over en viss tidsperiode og denne tiden. Når det betraktede tidsintervallet har en tendens til null, snakker man om øyeblikkelig akselerasjon.

Den femte størrelsen er momentum

På en annen måte kalles det også mengden av bevegelse. Momentum er en vektormengde på grunn av at den er direkte relatert til hastigheten og kraften som påføres kroppen. Begge har en retning og gir den til impulsen.

Per definisjon, den siste er lik produktet kroppsvekt for fart. Ved å bruke begrepet momentum til en kropp kan man skrive den velkjente Newtons lov på en annen måte. Det viser seg at endringen i momentum er lik produktet av kraften og tidsintervallet.

I fysikk viktig rolle har loven om bevaring av momentum, som sier at i et lukket system av kropper er dets totale momentum konstant.

Vi har veldig kort listet opp hvilke størrelser (vektor) som studeres i løpet av fysikk.

Problemet med uelastisk påvirkning

Tilstand. Det er en fast plattform på skinnene. En bil nærmer seg den med en hastighet på 4 m/s. og vogn - henholdsvis 10 og 40 tonn. Bilen treffer plattformen, en automatisk kopling oppstår. Det er nødvendig å beregne hastigheten til vognplattformsystemet etter sammenstøtet.

Løsning. Først må du skrive inn notasjonen: bilens hastighet før sammenstøtet - v 1, bilen med plattformen etter koblingen - v, bilens masse m 1, plattformen - m 2. I henhold til tilstanden til problemet, er det nødvendig å finne ut verdien av hastigheten v.

Reglene for å løse slike oppgaver krever en skjematisk fremstilling av systemet før og etter interaksjonen. Det er rimelig å rette OX-aksen langs skinnene i den retningen bilen beveger seg.

Under disse forholdene kan vognsystemet anses som lukket. Dette bestemmes av at ytre krefter kan neglisjeres. Tyngdekraften og er balansert, og friksjon på skinnene er ikke tatt hensyn til.

I henhold til loven om bevaring av momentum, er vektorsummen deres før interaksjonen mellom bilen og plattformen lik summen for kobleren etter sammenstøtet. Til å begynne med beveget ikke plattformen seg, så momentumet var null. Bare bilen beveget seg, dens momentum er produktet av m 1 og v 1 .

Siden støtet var uelastisk, det vil si at vognen klamret seg til plattformen, og deretter begynte den å rulle sammen i samme retning, endret ikke systemets impuls retning. Men betydningen har endret seg. Nemlig produktet av summen av vognens masse med plattform og ønsket hastighet.

Du kan skrive følgende likhet: m 1 * v 1 \u003d (m 1 + m 2) * v. Det vil være sant for projeksjonen av momentumvektorer på den valgte aksen. Fra det er det lett å utlede likheten som vil være nødvendig for å beregne ønsket hastighet: v \u003d m 1 * v 1 / (m 1 + m 2).

I henhold til reglene bør du konvertere verdiene for masse fra tonn til kilo. Derfor, når du erstatter dem med formelen, bør du først multiplisere de kjente verdiene med tusen. Enkle beregninger gir et tall på 0,75 m/s.

Svar. Hastigheten på vognen med plattform er 0,75 m/s.

Å dele kroppen i deler

Tilstand. Hastigheten til en flygende granat er 20 m/s. Den brytes i to deler. Massen til den første er 1,8 kg. Den fortsetter å bevege seg i retningen som granaten fløy med en hastighet på 50 m/s. Det andre fragmentet har en masse på 1,2 kg. Hva er hastigheten?

Løsning. La fragmentmassene betegnes med bokstavene m 1 og m 2. Hastighetene deres vil være henholdsvis v 1 og v 2 . starthastighet granater v. I oppgaven må du beregne verdien v 2 .

For at det større fragmentet skal fortsette å bevege seg i samme retning som hele granaten, må den andre fly inn motsatt side. Hvis vi velger for retningen på aksen den som hadde innledende impuls, så etter bruddet flyr det store fragmentet langs aksen, og det lille fragmentet flyr mot aksen.

I dette problemet er det tillatt å bruke loven om bevaring av momentum på grunn av det faktum at eksplosjonen av en granat skjer umiddelbart. Derfor, til tross for at tyngdekraften virker på granaten og dens deler, har den ikke tid til å handle og endre retningen til momentumvektoren med dens modulverdi.

Summen av vektorverdiene til momentumet etter granatutbruddet er lik den før den. Hvis vi skriver ned bevaringsloven i projeksjon på OX-aksen, så vil den se slik ut: (m 1 + m 2) * v = m 1 * v 1 - m 2 * v 2. Det er lett å uttrykke ønsket hastighet fra den. Det bestemmes av formelen: v 2 \u003d ((m 1 + m 2) * v - m 1 * v 1) / m 2. Etter erstatning av numeriske verdier og beregninger oppnås 25 m / s.

Svar. Hastigheten til et lite fragment er 25 m/s.

Problem med å skyte i vinkel

Tilstand. Et verktøy er montert på en plattform med masse M. Et prosjektil med masse m skytes fra det. Den tar av i en vinkel α mot horisonten med en hastighet v (gitt i forhold til bakken). Det kreves å finne ut hastigheten på plattformen etter skuddet.

Løsning. I denne oppgaven kan du bruke momentumbevaringsloven i projeksjon på OX-aksen. Men bare i tilfelle når projeksjonen av de ytre resulterende kreftene er lik null.

For retningen til OX-aksen må du velge siden hvor prosjektilet skal fly, og parallelt med den horisontale linjen. I dette tilfellet vil projeksjonene av tyngdekraften og reaksjonen til støtten på OX være lik null.

Problemet vil bli løst i generelt syn, siden det ikke finnes spesifikke data for kjente mengder. Formelen er svaret.

Momentumet til systemet før skuddet var lik null, siden plattformen og prosjektilet var stasjonære. La ønsket hastighet på plattformen angis med den latinske bokstaven u. Deretter bestemmes momentumet etter skuddet som produktet av massen og projeksjonen av hastigheten. Siden plattformen ruller tilbake (mot retningen til OX-aksen), vil momentumverdien være med et minustegn.

Prosjektilets bevegelsesmengde er produktet av dets masse og projeksjonen av hastigheten på OX-aksen. På grunn av det faktum at hastigheten er rettet i en vinkel mot horisonten, er dens projeksjon lik hastigheten multiplisert med cosinus til vinkelen. I bokstavelig likhet vil det se slik ut: 0 = - Mu + mv * cos α. Fra den, ved enkle transformasjoner, oppnås svarformelen: u = (mv * cos α) / M.

Svar. Hastigheten til plattformen bestemmes av formelen u = (mv * cos α) / M.

Problem med å krysse elven

Tilstand. Bredden av elven langs hele lengden er den samme og lik l, bredden er parallelle. Hastigheten på vannstrømmen i elva v 1 og egen hastighet til båten v 2 er kjent. en). Ved kryssing er baugen på båten rettet strengt mot motsatt kysten. Hvor langt vil det bli fraktet nedstrøms? 2). I hvilken vinkel α skal baugen på båten rettes slik at den når motsatt bredd strengt tatt vinkelrett på utgangspunktet? Hvor lang tid vil det ta for en slik kryssing?

Løsning. en). Båtens fulle hastighet er vektorsummen av de to størrelsene. Den første av disse er elveløpet, som er rettet langs bredden. Den andre er båtens egen hastighet, vinkelrett på kysten. Tegningen viser to lignende trekanter. Den første er dannet av bredden på elven og avstanden som båten bærer. Den andre er hastighetsvektorene.

Følgende oppføring følger av dem: s / l = v 1 / v 2. Etter transformasjonen oppnås en formel for ønsket verdi: s \u003d l * (v 1 / v 2).

2). I denne versjonen av oppgaven er den totale hastighetsvektoren vinkelrett på bankene. Den er lik vektorsummen av v 1 og v 2. Sinusen til vinkelen som egen hastighetsvektor må avvike med er lik forholdet mellom modulene v 1 og v 2 . For å beregne reisetiden må du dele bredden på elven med den beregnede totalhastigheten. Verdien av sistnevnte er beregnet av Pythagoras teorem.

v = √(v 2 2 - v 1 2), deretter t = l / (√(v 2 2 - v 1 2)).

Svar. en). s \u003d l * (v 1 / v 2), 2). sin α \u003d v 1 / v 2, t \u003d l / (√ (v 2 2 - v 1 2)).

 Vektor– rent matematisk konsept, som kun brukes i fysikk eller annet anvendte vitenskaper og som gjør det mulig å forenkle løsningen av noen komplekse problemer.
 Vektor− rettet linjestykke.
Jeg vet elementær fysikk man må operere med to kategorier av mengder − skalar og vektor.
 Skalar mengder (skalarer) er mengder som er karakterisert ved en tallverdi og et fortegn. Skalarene er lengden − l, masse − m, sti - s, tid - t, temperatur − T, elektrisk ladning − q, energi − W, koordinater osv.
Alle algebraiske operasjoner (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, etc.) brukes på skalarverdier.

 Eksempel 1.
Bestem den totale ladningen til systemet, bestående av ladningene som er inkludert i det, hvis q 1 \u003d 2 nC, q 2 \u003d -7 nC, q 3 \u003d 3 nC.
Full systemlading
q \u003d q 1 + q 2 + q 3 \u003d (2 - 7 + 3) nC = -2 nC = -2 × 10 -9 C.

 Eksempel 2.
Til kvadratisk ligning snill
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).

 vektor mengder (vektorer) er mengder, for definisjonen som det er nødvendig å angi, i tillegg til den numeriske verdien, også retningen. Vektorer − hastighet v, styrke F, fart s, Spenninger elektrisk felt E, magnetisk induksjon B og så videre.
Den numeriske verdien av vektoren (modulen) er angitt med en bokstav uten et vektorsymbol eller vektoren er innelukket mellom vertikale linjer r = |r|.
Grafisk er vektoren representert med en pil (fig. 1),

Lengden som i en gitt skala er lik dens modul, og retningen faller sammen med retningen til vektoren.
To vektorer er like hvis deres moduler og retninger er like.
Vektormengder legges til geometrisk (i henhold til regelen for vektoralgebra).
Å finne en vektorsum gitte komponentvektorer kalles vektoraddisjon.
Addisjonen av to vektorer utføres i henhold til parallellogram- eller trekantregelen. Total vektor
c = a + b
lik diagonalen til parallellogrammet bygget på vektorene en og b. Moduler det
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (fig. 2).


For α = 90°, er c = √(a 2 + b 2 ) Pythagoras teorem.

Den samme vektoren c kan oppnås av trekantregelen hvis fra slutten av vektoren en utsett vektor b. Lukkevektor c (forbinder begynnelsen av vektoren en og slutten av vektoren b) er vektorsummen av ledd (komponenter av vektorer en og b).
Den resulterende vektoren er funnet som den avsluttende av de stiplede linjen, hvis lenker er de konstituerende vektorene (fig. 3).


 Eksempel 3.
Legg til to krefter F 1 \u003d 3 N og F 2 \u003d 4 N, vektorer F1 og F2 lag vinklene α 1 \u003d 10 ° og α 2 \u003d 40 ° med henholdsvis horisonten
 F = F 1 + F 2(Fig. 4).

Resultatet av addisjonen av disse to kreftene er en kraft som kalles resultanten. Vektor F rettet langs diagonalen til et parallellogram bygget på vektorer F1 og F2, som sider, og modulo lik lengden.
Vektormodul F finne etter cosinusloven
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Hvis en
(α 2 − α 1) = 90°, så F = √(F 1 2 + F 2 2 ).

Vinkel den vektoren F er med okseaksen, finner vi ved formelen
α \u003d arctg ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2) / (F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctan((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = arctan0.51, α ≈ 0.47 rad.

Projeksjonen av vektoren a på aksen Ox (Oy) er en skalarverdi avhengig av vinkelen α mellom retningen til vektoren en og økser Ox (Oy). (Fig. 5)


Vektorprojeksjoner en på Ox og Oy øksene rektangulært system koordinater. (Fig. 6)


For å unngå feil når du bestemmer tegnet for projeksjonen av en vektor på en akse, er det nyttig å huske følgende regel: hvis retningen til komponenten sammenfaller med retningen til aksen, så projeksjonen av vektoren på denne aksen er positiv, men hvis retningen til komponenten er motsatt av retningen til aksen, er projeksjonen av vektoren negativ. (Fig. 7)


Vektorsubtraksjon er en addisjon der en vektor legges til den første vektoren, numerisk lik den andre, motsatt rettet
a − b = a + (−b) = d(Fig. 8).

La det være nødvendig fra vektoren en trekke fra vektor b, deres forskjell − d. For å finne forskjellen på to vektorer, er det nødvendig å vektoren en legg til vektor ( −b), det vil si en vektor d = a − b vil være en vektor rettet fra begynnelsen av vektoren en mot slutten av vektoren ( −b) (Fig. 9).

I et parallellogram bygget på vektorer en og b begge sider, en diagonal c har betydningen sum, og den andre d− vektorforskjeller en og b(Fig. 9).
Vektor produkt en per skalar k er lik vektor b= k en, hvis modul er k ganger større enn modulen til vektoren en, og retningen er den samme som retningen en for positiv k og det motsatte for negativ k.

 Eksempel 4.
Bestem farten til et legeme med en masse på 2 kg som beveger seg med en hastighet på 5 m/s. (Fig. 10)

kroppsmomentum s= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s og er rettet mot hastigheten v.

 Eksempel 5.
Ladningen q = −7,5 nC plasseres i et elektrisk felt med intensitet E = 400 V/m. Finn modulen og retningen til kraften som virker på ladningen.

Styrke er lik F= q E. Siden ladningen er negativ, er kraftvektoren rettet i motsatt retning av vektoren E. (Fig. 11)


 Inndeling vektor en med en skalar tilsvarer k å multiplisere en med 1/k.
 Prikk produkt vektorer en og b kall skalaren "c" lik produktet moduler av disse vektorene ved cosinus til vinkelen mellom dem
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (fig. 12)


 Eksempel 6.
Finn arbeidet til en konstant kraft F = 20 N hvis forskyvningen S = 7,5 m, og vinkelen α mellom kraften og forskyvningen α = 120°.

Arbeidet til en styrke er per definisjon prikkprodukt krefter og bevegelser
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.

 vektor kunst vektorer en og b kalle vektor c, numerisk lik produktet av modulene til vektorene a og b, multiplisert med sinusen til vinkelen mellom dem:
c = a × b = ,
c = ab × sinα.
Vektor c vinkelrett på planet som vektorene ligger i en og b, og retningen er relatert til retningen til vektorene en og b høyre skrueregel (fig. 13).


 Eksempel 7.
Bestem kraften som virker på en leder som er 0,2 m lang, plassert i et magnetfelt, hvis induksjon er 5 T, hvis strømmen i lederen er 10 A og den danner en vinkel α = 30 ° med feltets retning.

Amp effekt
dF = I = Idl × B eller F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.

 Vurder problemløsning.
1. Hvordan er to vektorer rettet, hvis moduler er like og lik a, hvis modulen til summen deres er: a) 0; b) 2a; c) a; d) a√(2); e) a√(3)?

 Løsning.
a) To vektorer er rettet langs samme rette linje i motsatte sider. Summen av disse vektorene er lik null.

b) To vektorer er rettet langs samme rette linje i samme retning. Summen av disse vektorene er 2a.

c) To vektorer er rettet i en vinkel på 120° til hverandre. Summen av vektorene er lik a. Den resulterende vektoren er funnet av cosinussetningen:

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 og α = 120°.
d) To vektorer er rettet i en vinkel på 90° til hverandre. Modulen til summen er
a 2 + a 2 + 2acosα = 2a 2 ,
cosα = 0 og α = 90°.

e) To vektorer er rettet i en vinkel på 60° til hverandre. Modulen til summen er
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 og α = 60°.
 Svar: Vinkelen α mellom vektorene er lik: a) 180°; b) 0; c) 120°; d) 90°; e) 60°.

2. Hvis a = a1 + a2 orientering av vektorer, hva kan sies om gjensidig orientering av vektorer en 1 og en 2 hvis: a) a = a 1 + a 2; b) a 2 \u003d a 1 2 + a 2 2; c) a 1 + a 2 \u003d a 1 - a 2?

 Løsning.
a) Hvis summen av vektorer er funnet som summen av modulene til disse vektorene, er vektorene rettet langs en rett linje, parallelt med hverandre a 1 ||a 2.
b) Hvis vektorene er rettet i en vinkel til hverandre, blir summen deres funnet av cosinusloven for et parallellogram
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 og α = 90°.
vektorer er vinkelrett på hverandre a 1 ⊥ a 2.
c) Tilstand a 1 + a 2 = a 1 − a 2 kan utføres hvis en 2− nullvektor, så a 1 + a 2 = a 1 .
 Svar. en) a 1 ||a 2; b) a 1 ⊥ a 2; i) en 2− nullvektor.

3. To krefter på 1,42 N hver påføres ett punkt på kroppen i en vinkel på 60° i forhold til hverandre. I hvilken vinkel bør to krefter på 1,75 N hver påføres samme punkt på kroppen slik at deres virkning balanserer virkningen av de to første kreftene?

Løsning.
I henhold til problemets tilstand balanserer to krefter på 1,75 N hver to krefter på hver 1,42 N. Dette er mulig hvis modulene til de resulterende vektorene av kraftpar er like. Den resulterende vektoren bestemmes av cosinussetningen for et parallellogram. For det første kraftparet:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα \u003d F 2,
for det andre kraftparet
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2.
Sette likhetstegn mellom de venstre delene av ligningene
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Finn ønsket vinkel β mellom vektorene
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Etter beregninger,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° - 2.1.752)/(2.1.752) = -0.0124,
β ≈ 90,7°.

 Den andre måten å løse.
Vurder projeksjonen av vektorer på koordinataksen OX (fig.).

Ved å bruke forholdet mellom sidene i høyre trekant, vi får
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
hvor
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) og β ≈ 90,7°.

4. Vektor a = 3i − 4j. Hva må være skalarverdien c slik at |c en| = 7,5?
 Løsning.
c en= c( 3i − 4j) = 7,5
Vektormodul en vil være lik
a 2 = 3 2 + 4 2, og a = ±5,
deretter fra
c.(±5) = 7,5,
Finn det
c = ±1,5.

5. Vektorer en 1 og en 2 kommet ut av opprinnelsen og har Kartesiske koordinater ender (6, 0) og (1, 4), henholdsvis. Finn en vektor en 3 slik at: a) en 1 + en 2 + en 3= 0; b) en 1 − en 2 + en 3 = 0.

 Løsning.
La oss tegne vektorene inn Kartesisk system koordinater (fig.)

a) Den resulterende vektoren langs Ox-aksen er
a x = 6 + 1 = 7.
Den resulterende vektoren langs Oy-aksen er
a y = 4 + 0 = 4.
For at summen av vektorer skal være lik null, er det nødvendig at betingelsen
en 1 + en 2 = −en 3.
Vektor en 3 modulo vil være lik den totale vektoren a1 + a2 men rettet i motsatt retning. Avslutt vektorkoordinat en 3 er lik (−7, −4), og modulen
a 3 \u003d √ (7 2 + 4 2 ) \u003d 8.1.

B) Den resulterende vektoren langs Ox-aksen er lik
a x = 6 − 1 = 5,
og den resulterende vektoren langs Oy-aksen
a y = 4 − 0 = 4.
Når tilstanden
en 1 − en 2 = −en 3,
vektor en 3 vil ha koordinatene til enden av vektoren a x = -5 og a y = -4, og dens modul er
a 3 \u003d √ (5 2 + 4 2) \u003d 6.4.

6. Budbringeren reiser 30 m mot nord, 25 m mot øst, 12 m mot sør, og deretter i bygningen stiger i en heis til en høyde på 36 m. Hva er avstanden tilbakelagt av ham L og forskyvningen S?

 Løsning.
La oss skildre situasjonen beskrevet i problemet på et plan i en vilkårlig skala (fig.).

Slutt på vektor OA har koordinater 25 m mot øst, 18 m mot nord og 36 opp (25; 18; 36). Veien en person har reist er
L = 30 m + 25 m + 12 m +36 m = 103 m.
Modulen til forskyvningsvektoren finnes av formelen
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
hvor x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S \u003d √ (25 2 + 18 2 + 36 2 ) \u003d 47,4 (m).
 Svar: L = 103 m, S = 47,4 m.

7. Vinkel α mellom to vektorer en og b tilsvarer 60°. Bestem lengden på vektoren c = a + b og vinkelen β mellom vektorene en og c. Størrelsen på vektorene er a = 3,0 og b = 2,0.

 Løsning.
Lengden på vektoren lik summen vektorer en og b vi bestemmer ved å bruke cosinussetningen for et parallellogram (fig.).

с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Etter bytte
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4,4.
For å bestemme vinkelen β bruker vi sinussetningen for trekant ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
Samtidig bør du vite det
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Løser det enkle trigonometrisk ligning, kommer vi til uttrykket
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
Følgelig
β = arctg(bsina/(a + bcosα)),
β = arctg(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
La oss sjekke ved å bruke cosinussetningen for en trekant:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
hvor
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
og
β \u003d arccos ((a 2 + c 2 - b 2) / (2ac)) \u003d arccos ((3 2 + 4.4 2 - 2 2) / (2.3.4.4)) \u003d 23 °.
 Svar: c = 4,4; β ≈ 23°.

 Løse problemer.
8. For vektorer en og b definert i eksempel 7, finn lengden på vektoren d = a − b hjørne γ mellom en og d.

9. Finn projeksjonen av vektoren a = 4,0i + 7,0j til en rett linje hvis retning gjør en vinkel α = 30° med Ox-aksen. Vektor en og linjen ligger i xOy-planet.

10. Vektor en gjør en vinkel α = 30° med den rette linjen AB, a = 3,0. I hvilken vinkel β til linjen AB skal vektoren rettes b(b = √(3)) slik at vektoren c = a + b var parallell med AB? Finn lengden på vektoren c.

11. Tre vektorer er gitt: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; c = i + 3j. Finn en) a+b; b) a+c; i) (a,b); G) (a, c)b − (a, b)c.

12. Vinkel mellom vektorer en og b er lik α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Finn lengdene på vektorene c = (a, b)a + b og d = 2b − a/2.

13. Bevis at vektorene en og b er vinkelrett hvis a = (2, 1, −5) og b = (5, −5, 1).

14. Finn vinkelen α mellom vektorene en og b, hvis a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).

15. Vektor en gjør en vinkel α = 30° med Ox-aksen, er projeksjonen av denne vektoren på Oy-aksen a y = 2,0. Vektor b vinkelrett på vektoren en og b = 3,0 (se figur).

Vektor c = a + b. Finn: a) vektorprojeksjoner b på Ox og Oy øksene; b) verdien c og vinkelen β mellom vektoren c og akse Ox; drosje); d) (a, c).

 Svar:
9. a 1 \u003d a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. p = 300°; c = 3,5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j - 2k; c) 15i − 18j + 9k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. a = 44,4°.
15. a) b x \u003d -1,5; b y = 2,6; b) c = 5; β ≈ 67°; c) 0; d) 16,0.
Ved å studere fysikk har du store muligheter fortsette utdannelsen i teknisk universitet. Dette vil kreve en parallell fordypning av kunnskap i matematikk, kjemi, språk og sjeldnere andre fag. Vinneren av den republikanske olympiaden, Egor Savich, uteksamineres fra en av avdelingene ved Moskva-instituttet for fysikk og teknologi, hvor det stilles store krav til kunnskap om kjemi. Hvis du trenger hjelp i GIA i kjemi, ta kontakt med fagfolkene, du vil definitivt få kvalifisert og rettidig assistanse.

 Se også: