Legge til logaritmer med samme grunntall. Hva er en logaritme? Løse logaritmer

Logaritme av tallet b (b > 0) til grunntall a (a > 0, a ≠ 1)– eksponent som tallet a må heves til for å oppnå b.

Grunntallet 10 logaritmen til b kan skrives som logg(b), og logaritmen til base e (naturlig logaritme) er ln(b).

Ofte brukt når du løser problemer med logaritmer:

Egenskaper til logaritmer

Det er fire hoved egenskapene til logaritmer.

La a > 0, a ≠ 1, x > 0 og y > 0.

Egenskap 1. Logaritme av produktet

Logaritme av produktet lik summen logaritmer:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Egenskap 2. Logaritme av kvotienten

Logaritme av kvotienten lik forskjellen av logaritmer:

log a (x / y) = log a x – log a y

Egenskap 3. Maktlogaritme

Logaritme av grad lik produktet potenser per logaritme:

Hvis basen til logaritmen er i graden, gjelder en annen formel:

Egenskap 4. Logaritme av roten

Denne egenskapen kan fås fra egenskapen til logaritmen til en potens, siden roten til den n-te potensen lik kraften 1/n:

Formel for å konvertere fra en logaritme i en base til en logaritme i en annen base

Denne formelen brukes også ofte når du løser ulike oppgaver på logaritmer:

Spesialtilfelle:

Sammenligning av logaritmer (ulikheter)

La oss ha 2 funksjoner f(x) og g(x) under logaritmer med samme base og mellom dem er det et ulikhetstegn:

For å sammenligne dem, må du først se på bunnen av logaritmene a:

Hvis a > 0, så f(x) > g(x) > 0
Hvis 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Hvordan løse problemer med logaritmer: eksempler

Problemer med logaritmer inkludert i Unified State-eksamen i matematikk for klasse 11 i oppgave 5 og oppgave 7, kan du finne oppgaver med løsninger på nettsiden vår i de aktuelle seksjonene. Også oppgaver med logaritmer finnes i matematikkoppgavebanken. Du finner alle eksemplene ved å søke på nettstedet.

Hva er en logaritme

Logaritmer har alltid vært vurdert komplekst tema V skolekurs matematikk. Det er mange ulike definisjoner logaritme, men av en eller annen grunn bruker de fleste lærebøker de mest komplekse og mislykkede av dem.

Vi vil definere logaritmen enkelt og tydelig. For å gjøre dette, la oss lage en tabell:

Så vi har to krefter.

Logaritmer - egenskaper, formler, hvordan løses

Hvis du tar tallet fra bunnlinjen, kan du enkelt finne kraften du må heve to til for å få dette tallet. For eksempel, for å få 16, må du heve to til den fjerde potensen. Og for å få 64, må du heve to til sjette potens. Dette kan sees fra tabellen.

Og nå - faktisk, definisjonen av logaritmen:

Grunnlaget a til argumentet x er potensen som tallet a må heves til for å oppnå tallet x.

Betegnelse: log a x = b, hvor a er grunntallet, x er argumentet, b er det logaritmen faktisk er lik.

For eksempel, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (grunntall 2-logaritmen av 8 er tre fordi 2 3 = 8). Med samme suksess, log 2 64 = 6, siden 2 6 = 64.

Operasjonen med å finne logaritmen til et tall til en gitt base kalles. Så la oss legge til en ny linje i tabellen vår:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Dessverre er ikke alle logaritmer beregnet så lett. Prøv for eksempel å finne log 2 5. Tallet 5 er ikke i tabellen, men logikken tilsier at logaritmen vil ligge et sted på intervallet. Fordi 2 2< 5 < 2 3 , а чем mer grad toere, jo større antall.

Slike tall kalles irrasjonelle: tallene etter desimaltegn kan skrives i det uendelige, og de gjentas aldri. Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, er det bedre å la det være slik: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det er viktig å forstå at en logaritme er et uttrykk med to variabler (grunnlaget og argumentet). Til å begynne med forvirrer mange hvor grunnlaget er og hvor argumentasjonen er. For å unngå irriterende misforståelser, se bare på bildet:

Foran oss er ikke noe mer enn definisjonen av en logaritme. Huske: logaritme er en potens, som basen må bygges inn i for å få et argument. Det er basen som er hevet til en kraft – den er uthevet med rødt på bildet. Det viser seg at basen alltid er nederst! Jeg forteller elevene mine denne fantastiske regelen allerede i første leksjon – og det oppstår ingen forvirring.

Hvordan telle logaritmer

Vi har funnet ut definisjonen – det eneste som gjenstår er å lære å telle logaritmer, dvs. bli kvitt "logg"-tegnet. Til å begynne med merker vi at to viktige fakta følger av definisjonen:

Argumentet og grunnen må alltid være større enn null. Dette følger av definisjonen av graden rasjonell indikator, som definisjonen av en logaritme kommer ned til.
Basen må være forskjellig fra en, siden en i noen grad fortsatt forblir en. På grunn av dette er spørsmålet "til hvilken makt må man heves for å få to" meningsløst. Det er ingen slik grad!

Slike restriksjoner kalles region akseptable verdier (ODZ). Det viser seg at ODZ til logaritmen ser slik ut: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Merk at det ikke er noen begrensninger på tallet b (verdien av logaritmen). For eksempel kan logaritmen godt være negativ: log 2 0,5 = −1, fordi 0,5 = 2 −1.

Men nå vurderer vi bare numeriske uttrykk der det ikke er nødvendig å kjenne VA til logaritmen. Alle begrensninger er allerede tatt i betraktning av forfatterne av problemene. Men når logaritmiske ligninger og ulikheter spiller inn, vil DL-krav bli obligatoriske. Tross alt kan grunnlaget og argumentasjonen inneholde svært sterke konstruksjoner som ikke nødvendigvis samsvarer med begrensningene ovenfor.

La oss nå vurdere generell ordning beregne logaritmer. Den består av tre trinn:

Uttrykk grunntallet a og argumentet x som en potens med minimum mulig grunntall større enn én. Underveis er det bedre å kvitte seg med desimaler;
Løs ligningen for variabel b: x = a b ;
Det resulterende tallet b vil være svaret.

Det er det! Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, vil dette være synlig allerede i første trinn. Kravet om at grunnlaget skal være større enn én er svært viktig: dette reduserer sannsynligheten for feil og forenkler beregningene betydelig. Samme med desimaler: hvis du umiddelbart konverterer dem til vanlige, vil det være mange færre feil.

La oss se hvordan denne ordningen fungerer ved å bruke spesifikke eksempler:

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 5 25

La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

La oss lage og løse ligningen:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Vi fikk svar: 2.

Oppgave. Regn ut logaritmen:

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 4 64

La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av to: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
La oss lage og løse ligningen:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Vi fikk svar: 3.

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 16 1

La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av to: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
La oss lage og løse ligningen:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Vi fikk svaret: 0.

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 7 14

La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av syv: 7 = 7 1 ; 14 kan ikke representeres som en potens av syv, siden 7 1< 14 < 7 2 ;
Fra forrige avsnitt følger det at logaritmen ikke teller;
Svaret er ingen endring: logg 7 14.

En liten merknad til siste eksempel. Hvordan kan du være sikker på at et tall ikke er en eksakt potens av et annet tall? Det er veldig enkelt - bare del det ned i primære faktorer. Hvis utvidelsen har minst to forskjellige faktorer, er ikke tallet en eksakt potens.

Oppgave. Finn ut om tallene er nøyaktige potenser: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - eksakt grad, fordi det er bare én multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - er ikke en eksakt potens, siden det er to faktorer: 3 og 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - eksakt grad;
35 = 7 · 5 - igjen ikke en eksakt potens;
14 = 7 · 2 - igjen ikke en eksakt grad;

Vi merker også at vi selv primtall er alltid eksakte grader av seg selv.

Desimallogaritme

Noen logaritmer er så vanlige at de har et spesielt navn og symbol.

av argumentet x er logaritmen til base 10, dvs. Potensen som tallet 10 må heves til for å oppnå tallet x. Betegnelse: lg x.

For eksempel log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Fra nå av, når en setning som "Finn lg 0.01" vises i en lærebok, må du vite at dette ikke er en skrivefeil. Dette er en desimallogaritme. Men hvis du ikke er kjent med denne notasjonen, kan du alltid skrive den om:
log x = log 10 x

Alt som er sant for vanlige logaritmer, er også sant for desimallogaritmer.

Naturlig logaritme

Det er en annen logaritme som har sin egen betegnelse. På noen måter er det enda viktigere enn desimal. Det handler om om den naturlige logaritmen.

av argumentet x er logaritmen til basen e, dvs. potensen som tallet e må heves til for å oppnå tallet x. Betegnelse: ln x.

Mange vil spørre: hva er tallet e? Dette irrasjonelt tall, dens nøyaktige verdi er umulig å finne og skrive ned. Jeg vil bare gi de første tallene:
e = 2,718281828459 …

Vi vil ikke gå i detalj om hva dette nummeret er og hvorfor det trengs. Bare husk at e er grunnlaget for den naturlige logaritmen:
ln x = log e x

Således ln e = 1; ln e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. På den annen side er ln 2 et irrasjonelt tall. Generelt er den naturlige logaritmen til evt rasjonelt tall irrasjonell. Bortsett fra, selvfølgelig, for enhet: ln 1 = 0.

Til naturlige logaritmer alle reglene som er sanne for vanlige logaritmer er gyldige.

Se også:

Logaritme. Egenskaper til logaritmen (styrken til logaritmen).

Hvordan representere et tall som en logaritme?

Vi bruker definisjonen av logaritme.

En logaritme er en eksponent som grunntallet må heves til for å få tallet under logaritmetegnet.

For å representere et visst tall c som en logaritme til grunntall a, må du derfor sette en potens med samme grunntall som logaritmen under fortegnet til logaritmen, og skrive dette tallet c som eksponent:

Absolutt ethvert tall kan representeres som en logaritme - positiv, negativ, heltall, brøk, rasjonell, irrasjonell:

For ikke å forveksle a og c under stressende forhold ved en test eller eksamen, kan du bruke følgende memoreringsregel:

det som er under går ned, det som er over går opp.

For eksempel må du representere tallet 2 som en logaritme til grunntallet 3.

Vi har to tall - 2 og 3. Disse tallene er grunntallet og eksponenten, som vi skal skrive under logaritmens fortegn. Det gjenstår å bestemme hvilke av disse tallene som skal skrives ned, til bunnen av potensen, og hvilke – opp, til eksponenten.

Grunntallet 3 i notasjonen til en logaritme er nederst, noe som betyr at når vi representerer to som en logaritme til grunntallet 3, vil vi også skrive 3 ned til grunntallet.

2 er høyere enn tre. Og i notasjon av graden to skriver vi over de tre, det vil si som en eksponent:

Logaritmer. Inngangsnivå.

Logaritmer

Logaritme positivt tall b basert på en, Hvor a > 0, a ≠ 1, kalles eksponenten som tallet må heves til enå få b.

Definisjon av logaritme kan kort skrives slik:

Denne likestillingen gjelder for b > 0, a > 0, a ≠ 1. Det kalles vanligvis logaritmisk identitet.
Handlingen med å finne logaritmen til et tall kalles ved logaritme.

Egenskaper til logaritmer:

Logaritme av produktet:

Logaritme av kvotienten:

Bytte ut logaritmebasen:

Logaritme for grad:

Logaritme av roten:

Logaritme med potensbase:

Desimal og naturlige logaritmer.

Desimallogaritme tall kaller logaritmen til dette tallet til base 10 og skriver lg b
Naturlig logaritme tall kalles logaritmen til det tallet til grunntallet e, Hvor e- et irrasjonelt tall omtrent lik 2,7. Samtidig skriver de ln b.

Andre notater om algebra og geometri

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Du trenger definitivt å kjenne disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig problem løses. logaritmisk problem. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: logg a x og logg a y. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe deg å beregne logaritmisk uttrykk selv når dens individuelle deler ikke telles (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Logg 6 4 + logg 6 9.

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 2 48 − log 2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 3 135 − log 3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange er bygget på dette faktum tester. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Det er lett å legge merke til det siste regel følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt , dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen.

Hvordan løse logaritmer

Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 7 49 6 .

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:

Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log 2 7. Siden log 2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om årsakene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmen logg a x gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i konvensjonelle numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare ved å bestemme logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 5 16 log 2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimal logaritme, flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base.

I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter det: .

Faktisk, hva skjer hvis tallet b heves til en slik potens at tallet b i denne potensen gir tallet a? Det stemmer: resultatet er det samme tallet a. Les denne paragrafen nøye igjen - mange setter seg fast på den.

Som formlene for overgang til en ny base, den viktigste logaritmisk identitet noen ganger er det den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Merk at log 25 64 = log 5 8 - vi tok rett og slett kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som vanskelig kan kalles egenskaper – snarere er de konsekvenser av definisjonen av logaritmen. De dukker stadig opp i problemer og, overraskende nok, skaper de problemer selv for "avanserte" studenter.

log a a = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a av selve basen er lik én.
log a 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder en, er logaritmen lik null! Fordi en 0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs oppgavene.

Hva er en logaritme?

Oppmerksomhet!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Hva er en logaritme? Hvordan løse logaritmer? Disse spørsmålene forvirrer mange nyutdannede. Tradisjonelt anses temaet logaritmer som komplekst, uforståelig og skummelt. Spesielt ligninger med logaritmer.

Dette er absolutt ikke sant. Absolutt! Tro meg ikke? Fin. Nå, på bare 10 - 20 minutter:

1. Du vil forstå hva er en logaritme.

2. Lær å løse en hel klasse eksponentielle ligninger. Selv om du ikke har hørt noe om dem.

3. Lær å regne ut enkle logaritmer.

Dessuten, for dette trenger du bare å vite multiplikasjonstabellen og hvordan du hever et tall til en potens ...

Jeg føler at du er i tvil... Vel, ok, merk tiden! La oss gå!

Først, løs denne ligningen i hodet ditt:

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Logaritme av et tall N basert på EN kalt eksponent X , som du må bygge til EN for å få nummeret N

Forutsatt at
,
,

Fra definisjonen av logaritme følger det at
, dvs.
- denne likheten er den grunnleggende logaritmiske identiteten.

Logaritmer til grunntall 10 kalles desimallogaritmer. Istedenfor
skrive
.

Logaritmer til basen e kalles naturlig og er utpekt
.

Grunnleggende egenskaper logaritmer.

Logaritmen til en er lik null for en hvilken som helst base.

Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene til faktorene.

3) Logaritmen til kvotienten er lik differansen til logaritmene

Faktor
kalt overgangsmodulen fra logaritmer til basen en til logaritmer ved basen b .

Ved å bruke egenskapene 2-5 er det ofte mulig å redusere logaritmen til et komplekst uttrykk til resultatet av enkle aritmetiske operasjoner på logaritmer.

For eksempel

Slike transformasjoner av en logaritme kalles logaritmer. Transformasjoner invers til logaritmer kalles potensering.

Kapittel 2. Elementer i høyere matematikk.

1. Grenser

Begrensning av funksjonen
er et endelig tall A hvis, som xx 0 for hver forhåndsbestemt
, det er et slikt tall
det så snart
, Det
.

En funksjon som har en grense skiller seg fra den med en uendelig mengde:
, hvor- b.m.v., dvs.
.

Eksempel. Vurder funksjonen
.

Når man strever
, funksjon y har en tendens til null:

1.1. Grunnleggende teoremer om grenser.

Begrense konstant verdi lik denne konstante verdien

Beløpsgrense (forskjell). endelig antall funksjoner er lik summen (forskjellen) av grensene for disse funksjonene.

Grensen for produktet av et begrenset antall funksjoner er lik produktet av grensene for disse funksjonene.

Grensen for kvotienten til to funksjoner er lik kvotienten av grensene for disse funksjonene hvis grensen for nevneren ikke er null.

Fantastiske grenser

,
, Hvor

1.2. Eksempler på grenseberegning

Imidlertid er ikke alle grenser beregnet så lett. Oftere kommer beregning av grensen ned til å avsløre en usikkerhet av typen: eller .

2. Derivert av en funksjon

La oss ha en funksjon
, kontinuerlig på segmentet
.

Argument fått en viss økning
. Da vil funksjonen motta en økning
.

Argumentverdi tilsvarer funksjonsverdien
.

Argumentverdi
tilsvarer funksjonsverdien.

Derfor,.

La oss finne grensen for dette forholdet ved
. Hvis denne grensen eksisterer, kalles den den deriverte av den gitte funksjonen.

Definisjon 3 Derivert av en gitt funksjon
ved argument kalles grensen for forholdet mellom økningen av en funksjon og økningen av argumentet, når økningen av argumentet vilkårlig har en tendens til null.

Derivert av en funksjon
kan betegnes som følger:

; ; ; .

Definisjon 4Operasjonen med å finne den deriverte av en funksjon kalles differensiering.

2.1. Mekanisk betydning av derivat.

La oss vurdere den rettlinjede bevegelsen til et eller annet stivt legeme eller materialpunkt.

La på et tidspunkt bevegelige punkt
var på avstand fra startposisjonen
.

Etter en stund
hun beveget seg et stykke
. Holdning =- gjennomsnittlig hastighet materiell poeng
. La oss finne grensen for dette forholdet, med tanke på det
.

Derfor definisjonen øyeblikkelig hastighet bevegelse av et materiell punkt kommer ned til å finne den deriverte av banen med hensyn til tid.

2.2. Geometrisk betydning derivat

La oss ha en grafisk definert funksjon
.

Ris. 1. Geometrisk betydning av derivat

Hvis
, så pek
, vil bevege seg langs kurven og nærme seg punktet
.

Derfor
, dvs. verdien av den deriverte for en gitt verdi av argumentet numerisk lik tangenten til vinkelen dannet av tangenten i et gitt punkt med den positive retningen til aksen
.

2.3. Tabell over grunnleggende differensieringsformler.

Power funksjon

Eksponentiell funksjon

Logaritmisk funksjon

Trigonometrisk funksjon

Invers trigonometrisk funksjon

2.4. Regler for differensiering.

Avledet av

Derivert av summen (forskjellen) av funksjoner

Derivert av produktet av to funksjoner

Derivert av kvotienten til to funksjoner

2.5. Avledet av kompleks funksjon.

La funksjonen være gitt
slik at det kan representeres i formen

Og
, hvor variabelen er altså et mellomargument

Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av den gitte funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet og den deriverte av det mellomliggende argumentet med hensyn til x.

Eksempel 1.

Eksempel 2.

3. Differensialfunksjon.

La det være
, differensierbar på et visst intervall
og la på denne funksjonen har en derivert

så kan vi skrive

(1),

Hvor - en uendelig liten mengde,

siden når

Multiplisere alle likhetsvilkår (1) med
vi har:

Hvor
- b.m.v. høyere orden.

Størrelse
kalt funksjonens differensial
og er utpekt

3.1. Geometrisk verdi av differensialen.

La funksjonen være gitt
.

Fig.2. Geometrisk betydning av differensial.

Tydeligvis differensialen til funksjonen
er lik økningen av ordinaten til tangenten i et gitt punkt.

3.2. Derivater og differensialer av ulike rekkefølger.

Hvis det er det
, Deretter
kalles den første deriverte.

Den deriverte av den første deriverte kalles andreordens deriverte og skrives
.

Derivert av den n-te rekkefølgen av funksjonen
kalles (n-1) ordensderiverte og er skrevet:

Differensialen til differensialen til en funksjon kalles den andre differensialen eller andreordensdifferensialen.

.

.

3.3 Løse biologiske problemer ved hjelp av differensiering.

Oppgave 1. Studier har vist at veksten av en koloni av mikroorganismer følger loven
, Hvor N - antall mikroorganismer (i tusenvis), t – tid (dager).

b) Vil befolkningen i kolonien øke eller avta i løpet av denne perioden?

Svare. Størrelsen på kolonien vil øke.

Oppgave 2. Vannet i innsjøen testes med jevne mellomrom for å overvåke innholdet av sykdomsfremkallende bakterier. Gjennom t dager etter testing bestemmes konsentrasjonen av bakterier av forholdet

Når vil innsjøen ha en minimumskonsentrasjon av bakterier og vil det være mulig å svømme i den?

Løsning: En funksjon når maks eller min når dens deriverte er null.

La oss bestemme maks eller min vil være om 6 dager. For å gjøre dette, la oss ta den andre deriverte.

Svar: Etter 6 dager vil det være en minimumskonsentrasjon av bakterier.

hovedegenskaper.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identiske grunner

Log6 4 + log6 9.

La oss nå komplisere oppgaven litt.

Eksempler på løsning av logaritmer

Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x >

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Overgang til ny stiftelse

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Se også:

Grunnleggende egenskaper for logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponenten er 2,718281828…. For å huske eksponenten kan du studere regelen: eksponenten er lik 2,7 og to ganger fødselsåret til Leo Nikolaevich Tolstoy.

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Når du kjenner denne regelen, vil du vite både den nøyaktige verdien av eksponenten og fødselsdatoen til Leo Tolstoy.

Eksempler på logaritmer

Logaritmeuttrykk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjelp av egenskaper 3.5 beregner vi

4. Hvor .

Eksempel 2. Finn x if

Eksempel 3. La verdien av logaritmer gis

Beregn log(x) if

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Du trenger definitivt å kjenne til disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig logaritmisk problem løses. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: logax og logay. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log2 48 − log2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log3 135 − log3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange tester er basert på dette faktum. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log7 496.

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren.

Logaritmeformler. Logaritmer eksempler på løsninger.

Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log2 7. Siden log2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log5 16 log2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter det: .

Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at log25 64 = log5 8 - ganske enkelt tok kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

logaa = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a av selve basen er lik én.
loga 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder en, er logaritmen lik null! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs oppgavene.

Se også:

Logaritmen av b for å basere a angir uttrykket. Å beregne logaritmen betyr å finne en potens x () der likheten er tilfredsstilt

Grunnleggende egenskaper for logaritmen

Det er nødvendig å kjenne egenskapene ovenfor, siden nesten alle problemer og eksempler relatert til logaritmer løses på grunnlag av dem. Resten av de eksotiske egenskapene kan utledes gjennom matematiske manipulasjoner med disse formlene

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Når man regner ut formelen for sum og forskjell av logaritmer (3.4) kommer man over ganske ofte. Resten er noe sammensatt, men i en rekke oppgaver er de uunnværlige for å forenkle komplekse uttrykk og beregne deres verdier.

Vanlige tilfeller av logaritmer

Noen av de vanligste logaritmene er de der basen er lik ti, eksponentiell eller to.
Logaritmen til grunntallet ti kalles vanligvis desimallogaritmen og er ganske enkelt betegnet med lg(x).

Det fremgår tydelig av opptaket at det grunnleggende ikke er skrevet i opptaket. For eksempel

En naturlig logaritme er en logaritme hvis base er en eksponent (angitt med ln(x)).

Eksponenten er 2,718281828…. For å huske eksponenten kan du studere regelen: eksponenten er lik 2,7 og to ganger fødselsåret til Leo Nikolaevich Tolstoy. Når du kjenner denne regelen, vil du vite både den nøyaktige verdien av eksponenten og fødselsdatoen til Leo Tolstoy.

Og en annen viktig logaritme til base to er angitt med

Den deriverte av logaritmen til en funksjon er lik en dividert med variabelen

Integral- eller antiderivertelogaritmen bestemmes av forholdet

Det gitte materialet er nok for deg til å løse en bred klasse av problemer knyttet til logaritmer og logaritmer. For å hjelpe deg å forstå materialet, vil jeg gi bare noen få vanlige eksempler fra skolepensum og universiteter.

Eksempler på logaritmer

Logaritmeuttrykk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjelp av egenskaper 3.5 beregner vi

2.
Ved egenskapen forskjell av logaritmer har vi

3.
Ved å bruke egenskaper 3.5 finner vi

4. Hvor .

I utseende komplekst uttrykk bruk av en rekke regler er forenklet til form

Finne logaritmeverdier

Eksempel 2. Finn x if

Løsning. For beregning gjelder vi siste termin 5 og 13 eiendommer

Vi setter det på rekord og sørger

Siden basene er like, setter vi likhetstegn mellom uttrykkene

Logaritmer. Inngangsnivå.

La verdien av logaritmer gis

Beregn log(x) if

Løsning: La oss ta en logaritme av variabelen for å skrive logaritmen gjennom summen av dens ledd

Dette er bare begynnelsen på vårt bekjentskap med logaritmer og deres egenskaper. Øv på beregninger, berik dine praktiske ferdigheter - du vil snart trenge kunnskapen du får for å løse logaritmiske ligninger. Etter å ha studert de grunnleggende metodene for å løse slike ligninger, vil vi utvide kunnskapen din for en annen ikke mindre viktig tema- logaritmiske ulikheter...

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: logax og logay. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log6 4 + log6 9.

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log2 48 − log2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log3 135 − log3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Hvordan løse logaritmer

Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log7 496.

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log2 7. Siden log2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log5 16 log2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter det: .

Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at log25 64 = log5 8 - ganske enkelt tok kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

logaa = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a av selve basen er lik én.
loga 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder en, er logaritmen lik null! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs oppgavene.