Hastighet ved bevegelse med konstant akselerasjon. Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon

På denne leksjonen, hvis tema er: «Bevegelsesligningen med konstant akselerasjon. Progressiv bevegelse», vil vi huske hva bevegelse er, hvordan det skjer. Vi husker også hva akselerasjon er, tenk på bevegelsesligningen med konstant akselerasjon og hvordan du bruker den til å bestemme koordinatene til et legeme i bevegelse. La oss vurdere et eksempel på et problem for å fikse materialet.

hovedoppgaven kinematikk - bestemme posisjonen til kroppen til enhver tid. Kroppen kan hvile, da vil dens posisjon ikke endres (se fig. 1).

Ris. 1. Kroppen i ro

En kropp kan bevege seg i en rett linje med konstant hastighet. Da vil forskyvningen endres jevnt, det vil si likt i like tidsintervaller (se fig. 2).

Ris. 2. Bevegelse av kroppen ved bevegelse med konstant hastighet

Bevegelse, hastighet multiplisert med tid, dette har vi kunnet lenge. Kroppen kan bevege seg med konstant akselerasjon, vurder et slikt tilfelle (se fig. 3).

Ris. 3. Kroppsbevegelse med konstant akselerasjon

Akselerasjon

Akselerasjon er endringen i hastighet per tidsenhet(se fig. 4) : Ris. 4. Akselerasjon Hastighet er en vektormengde, derfor er endringen i hastighet, det vil si forskjellen mellom vektorene til slutt- og starthastigheten, en vektor. Akselerasjon er også en vektor rettet i samme retning som hastighetsforskjellsvektoren (se fig. 5). Vi vurderer rettlinjet bevegelse, så vi kan velge koordinataksen langs den rette linjen som bevegelsen skjer langs, og vurder projeksjonene av hastighets- og akselerasjonsvektorene på denne aksen:

Da endres hastigheten jevnt: (hvis starthastigheten var lik null). Hvordan finne flyttingen nå? Å multiplisere hastighet med tid er umulig: hastigheten var i konstant endring; hvilken skal man ta? Hvordan bestemme hvor kroppen vil være når som helst under en slik bevegelse - i dag vil vi løse dette problemet.

La oss umiddelbart definere modellen: vi vurderer en rettlinjet translasjonsbevegelse av kroppen. I dette tilfellet kan vi bruke modellen materiell poeng. Akselerasjonen rettes langs den samme rette linjen som materialpunktet beveger seg langs (se fig. 6).

translasjonsbevegelse

Translasjonsbevegelse er en slik bevegelse der alle punkter på kroppen beveger seg på samme måte: med samme hastighet, og gjør den samme bevegelsen (se fig. 7). Ris. 7. Foroverbevegelse Hvordan kan det ellers være? Vift med hånden og følg: det er tydelig at håndflaten og skulderen beveget seg annerledes. Se på pariserhjulet: punkter nær aksen beveger seg nesten ikke, og bodene beveger seg med en annen hastighet og langs forskjellige baner (se fig. 8). Ris. 8. Bevegelse av valgte punkter på pariserhjulet Se på en bil i bevegelse: hvis du ikke tar hensyn til hjulenes rotasjon og bevegelsen til deler av motoren, beveger alle punktene på bilen seg på samme måte, vi anser at bevegelsen til bilen er translasjonell (se Fig. 9). Ris. 9. Kjøretøybevegelse Da gir det ingen mening å beskrive bevegelsen til hvert punkt, du kan beskrive bevegelsen til ett. Bilen regnes som et vesentlig punkt. Vær oppmerksom på at når bevegelse fremover linjen som forbinder to punkter på kroppen under bevegelse forblir parallell med seg selv (se fig. 10). Ris. 10. Posisjonen til linjen som forbinder to punkter

Bilen kjørte rett i en time. Ved begynnelsen av timen var hastigheten hans 10 km/t, og på slutten - 100 km/t (se fig. 11).

Ris. 11. Tegning for oppgaven

Hastigheten endret seg jevnt. Hvor mange kilometer har bilen gått?

La oss analysere tilstanden til problemet.

Hastigheten på bilen endret seg jevnt, det vil si at akselerasjonen var konstant under hele reisen. Akselerasjon er per definisjon lik:

Bilen kjørte i en rett linje, så vi kan vurdere bevegelsen i projeksjonen på en koordinatakse:

La oss finne et trekk.

Eksempel på økende hastighet

Nøtter legges på bordet, en nøtt per minutt. Det er klart: hvor mange minutter som går, så mange nøtter vil være på bordet. La oss nå forestille oss at hastigheten på å sette nøtter øker jevnt fra null: ingen nøtter settes i det første minuttet, en mutter settes i det andre, deretter to, tre, og så videre. Hvor mange nøtter vil være på bordet etter en tid? Det er klart at mindre enn hvis topphastighet har alltid vært støttet. Dessuten ses det tydelig at det er mindre enn 2 ganger (se fig. 12). Ris. 12. Antall muttere ved forskjellige leggehastigheter Det er det samme med jevnt akselerert bevegelse: la oss si at først var hastigheten lik null, på slutten ble den lik (se fig. 13). Ris. 13. Hastighetsendring Hvis kroppen konstant beveget seg med en slik hastighet, ville forskyvningen være lik, men siden hastigheten økte jevnt, ville den være 2 ganger mindre.

Vi er i stand til å finne forskyvningen med UNIFORM bevegelse: . Hvordan komme rundt dette problemet? Hvis hastigheten ikke endrer seg mye, kan bevegelsen betraktes omtrent som ensartet. Endringen i hastighet vil være liten over en kort periode (se fig. 14).

Ris. 14. Hastighetsendring

Derfor deler vi reisetiden T inn i N små segmenter av varighet (se fig. 15).

Ris. 15. Deling av et tidssegment

La oss beregne forskyvningen ved hvert tidsintervall. Hastigheten øker ved hvert intervall med:

På hvert segment vil vi vurdere bevegelsen som jevn og hastigheten tilnærmet lik starthastigheten på det gitte tidsintervallet. La oss se om vår tilnærming ikke fører til en feil hvis vi antar at bevegelsen er jevn over et lite intervall. Maksimal feil vil være:

og den totale feilen for hele reisen -> . For stor N antar vi at feilen er nær null. Vi vil se dette på grafen (se fig. 16): det vil være en feil på hvert intervall, men den totale feilen for i stort antall intervaller vil være ubetydelige.

Ris. 16. Feil på intervaller

Så hver neste verdi hastighet med samme verdi mer enn den forrige. Vi vet fra algebra at dette er en aritmetisk progresjon med en progresjonsforskjell:

Banen på seksjonene (med jevn rettlinjet bevegelse (se fig. 17) er lik:

Ris. 17. Hensyn til områder med kroppsbevegelse

På den andre delen:

På nte segment stien er:

Aritmetisk progresjon

Aritmetisk progresjon kalles slik numerisk rekkefølge, hvor hver neste nummer skiller seg fra den forrige med samme beløp. Aritmetisk progresjon er gitt av to parametere: første termin progresjoner og progresjonsforskjell . Deretter skrives sekvensen slik: Summen av de første leddene aritmetisk progresjon beregnet med formelen:

La oss oppsummere alle banene. Dette vil være summen av de første N medlemmene av den aritmetiske progresjonen:

Siden vi har delt bevegelsen inn i mange intervaller, kan vi anta at , da:

Vi hadde mange formler, og for ikke å bli forvirret skrev vi ikke x-indekser hver gang, men vurderte alt i projeksjon på koordinataksen.

Så vi fikk hovedformel jevnt akselerert bevegelse: bevegelse med jevnt akselerert bevegelse i tid T, som vi vil bruke sammen med definisjonen av akselerasjon (endring i hastighet per tidsenhet) for å løse problemer:

Vi jobbet med et bilproblem. Bytt inn tallene i løsningen og få svaret: bilen kjørte 55,4 km.

Matematisk del av oppgaveløsningen

Vi har jobbet med bevegelse. Og hvordan bestemme koordinaten til kroppen til enhver tid?

Per definisjon er bevegelsen til en kropp i tid en vektor hvis begynnelse er ved startpunktet for bevegelsen, og hvis ende er ved endepunktet hvor kroppen vil være i tid. Vi må finne koordinaten til kroppen, så vi skriver et uttrykk for projeksjonen av forskyvningen på koordinataksen (se fig. 18):

Ris. 18. Bevegelsesprojeksjon

La oss uttrykke koordinaten:

Det vil si at koordinaten til kroppen i tidsøyeblikket er lik den opprinnelige koordinaten pluss projeksjonen av bevegelsen som kroppen gjorde i løpet av tiden . Vi har allerede funnet projeksjonen av forskyvning under jevnt akselerert bevegelse, det gjenstår å erstatte og skrive ned:

Dette er ligningen for bevegelse med konstant akselerasjon. Den lar deg finne ut koordinaten til et bevegelig materialpunkt når som helst. Det er tydelig at vi velger tidspunktet innenfor intervallet når modellen fungerer: akselerasjonen er konstant, bevegelsen er rettlinjet.

Hvorfor bevegelsesligningen ikke kan brukes til å finne en vei

I hvilke tilfeller kan vi betrakte modulo-bevegelse som lik banen? Når en kropp beveger seg langs en rett linje og ikke endrer retning. For eksempel, med ensartet rettlinjet bevegelse, bestemmer vi ikke alltid klart om vi finner banen eller bevegelsen, de er fortsatt sammenfallende. Med jevn akselerert bevegelse endres hastigheten. Hvis hastigheten og akselerasjonen er rettet mot motsatte sider(se fig. 19), da synker hastighetsmodulen, og på et tidspunkt vil den bli lik null og hastigheten vil endre retning, det vil si at kroppen begynner å bevege seg i motsatt retning. Ris. 19. Hastighetsmodulen avtar Og så, hvis du er inne dette øyeblikket Når kroppen er i en avstand på 3 m fra begynnelsen av observasjonen, er forskyvningen 3 m, men hvis kroppen først passerte 5 m, deretter snudde og passerte ytterligere 2 m, vil banen være 7 m. Og hvordan finner du det hvis du ikke kjenner disse tallene? Du trenger bare å finne øyeblikket når hastigheten er null, det vil si når kroppen snur seg, og finne veien til og fra dette punktet (se fig. 20). Ris. 20. Øyeblikket når hastigheten er 0

Bibliografi

1. Sokolovich Yu.A., Bogdanova GS Fysikk: En håndbok med eksempler på problemløsning. - 2. utgave omdistribusjon. - X .: Vesta: Forlag "Ranok", 2005. - 464 s.
2. Landsberg G.S. Elementær lærebok fysikk; v.1. Mekanikk. Varme. Molekylær fysikk- M.: Forlag "Science", 1985.

1. Internettportal "kaf-fiz-1586.narod.ru" ()
2. Internettportal "Studie - Enkel" ()
3. Internettportal "Kunnskapshypermarked" ()

Hjemmelekser

1. Hva er en aritmetisk progresjon?
2. Hva slags bevegelse er progressiv?
3. Hva er en vektormengde?
4. Skriv ned formelen for akselerasjon når det gjelder endring i hastighet.
5. Hva er ligningen for bevegelse med konstant akselerasjon?
6. Akselerasjonsvektoren er rettet mot kroppens bevegelse. Hvordan vil kroppen endre hastigheten?

Blant de ulike bevegelsene med konstant akselerasjon er den enkleste den rettlinjede bevegelsen. Hvis samtidig hastighetsmodulen øker, kalles bevegelsen noen ganger jevnt akselerert, og hvis hastighetsmodulen avtar, bremses den jevnt ned. Denne typen bevegelse gjøres av et tog som går fra stasjonen eller nærmer seg den. En stein som kastes vertikalt nedover, akselereres jevnt, og en stein som kastes vertikalt oppover er like sakte.
For å beskrive rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon kan man unnlate én koordinatakse (for eksempel X-aksen), som hensiktsmessig rettes langs bevegelsesbanen. I dette tilfellet løses ethvert problem ved å bruke to ligninger:
(1.20.1)

og
2? Projeksjon av forskyvning og bane under rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon
M2
Ax = v0xt +(1.20.3)
Hvis hastigheten til kroppen (punktet) ikke endrer retning, så banen lik modulo forskyvningsprojeksjoner
.2
s = |Axe| =
(1.20.4)
axt
VoJ+-o
Hvis hastigheten endrer retning, er banen vanskeligere å beregne. I dette tilfellet består den av forskyvningsmodulen frem til øyeblikket for endring av hastighetsretningen og forskyvningsmodulen etter dette øyeblikket.
Gjennomsnittlig hastighet i en rett linje med konstant akselerasjon
Av formel (1.19.1) følger det at
+ ^ = Axe 2 t "
Åh
Men - - det er en projeksjon gjennomsnittshastighet på X-aksen (se § 1.12),
dvs. ^ = v. Derfor, under rettlinjet bevegelse med t
konstant akselerasjon, projeksjonen av gjennomsnittshastigheten på X-aksen er:
!)ar + Vr
vx=0x2 . (1.20.5)
Det kan vises at hvis noen andre fysisk mengde er i lineær avhengighet fra tid, da er den tidsgjennomsnittlige verdien av denne mengden lik halvparten av summen av dens minste og høyeste verdier i løpet av denne tidsperioden.
Hvis under rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon hastighetsretningen ikke endres, er den gjennomsnittlige hastighetsmodulen lik halvparten av summen av modulene til start- og slutthastighetene, dvs.
K* + vx\ v0 + v
Sammenheng mellom projeksjoner av start- og slutthastigheter, akselerasjon og forskyvning
I henhold til formel (1.19.1)
Lx \u003d ° * 2 xt. (1.20.7)
Tid t er uttrykt fra formelen (1.20.1)
Vx~V0x ah
og erstatte inn i (1.20.7). Vi får:
Vx + V0x Vx - v0x V2X - i>jj
= 2ST" --257-
Herfra
v2x \u003d v Іx + 2a3Lx. (1.20.8)
Det er nyttig å huske formelen (1.20.8) og uttrykket (1.20.6) for gjennomsnittshastigheten. Disse formlene kan være nødvendige for å løse mange problemer.
? 1. Hvordan styres akselerasjonen når toget forlater stasjonen (akselerasjon)? Når du nærmer deg en stasjon (bremsing)?
Tegn en graf over banen under akselerasjon og bremsing.
Bevis deg selv at med jevnt akselerert rettlinjet bevegelse uten starthastighet, er banene som kroppen krysser i like påfølgende tidsperioder proporsjonale med påfølgende oddetall:
Sj: S2* Sg ... = 1: 3: 5: ... . Dette ble først bevist av Galileo.

Mer om temaet §1.20. RETTLINEÆR BEVEGELSE MED KONSTANT AKSELERASJON:

1. § 4.3. IKKE-INERTIAL REFERANSESYSTEMER SOM BEVEGGER RIKTIG MED KONSTANT AKSELERASJON
2. §1.18. GRAFER OVER AVHENGIGHET AV MODULAR OG PROSJEKSJON AV AKSELERASJON OG MODULAR OG PROJEKSJON AV HASTIGHET PÅ TID I BEVEGELSE MED KONSTANT AKSELERASJON

Akselerasjon. Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon. Øyeblikkelig hastighet.

Akselerasjon viser hvor raskt kroppens hastighet endres.

t 0 \u003d 0c v 0 \u003d 0 m / s Hastigheten endret med v \u003d v 2 - v 1 i løpet av

t 1 \u003d 5c v 1 \u003d 2 m / s tidsintervall \u003d t 2 - t 1. Så i 1 s hastigheten

t 2 \u003d 10c v 2 \u003d 4 m / s av kroppen vil øke med \u003d.

t 3 \u003d 15c v 3 \u003d 6 m / s \u003d eller \u003d. (1 m/s 2)

Akselerasjon- en vektormengde lik forholdet mellom hastighetsendringen og tidsperioden denne endringen skjedde.

fysisk mening: a \u003d 3 m / s 2 - dette betyr at på 1 s endres hastighetsmodulen med 3 m / s.

Hvis kroppen akselererer a > 0, hvis den bremser a

Ved = ; = + at er den øyeblikkelige hastigheten til kroppen til enhver tid. (Funksjon v(t)).

Bevegelse med jevn akselerert bevegelse. Bevegelsesligning

D
la jevn bevegelse S=v*t der v og t er sidene av rektangelet under hastighetsgrafen. De. forskyvning = arealet av figuren under hastighetsgrafen.

På samme måte kan du finne forskyvningen med jevnt akselerert bevegelse. Du trenger bare å finne området til rektangelet, trekanten separat og legge dem til. Arealet av rektangelet er v 0 t, arealet av trekanten er (v-v 0) t/2, hvor vi gjør substitusjonen v - v 0 = ved . Vi får s = v 0 t + ved 2 /2

s \u003d v 0 t + ved 2/2

Bevegelsesformel for jevn akselerert bevegelse

Gitt at vektoren er \u003d x-x 0, får vi x-x 0 \u003d v 0 t + ved 2/2 eller flytter startkoordinaten til høyre x \u003d x 0 + v 0 t + ved 2/2

x \u003d x 0 + v 0 t + ved 2/2

Ved å bruke denne formelen kan du når som helst finne koordinaten til en akselerert bevegelig kropp

Med jevn sakte film foran bokstaven "a" i formlene kan +-tegnet erstattes med -

Bevegelse med konstant akselerasjon er en bevegelse der akselerasjonsvektoren forblir konstant både i størrelse og retning. Et eksempel på denne typen bevegelse er bevegelsen av et punkt i tyngdefeltet (både vertikalt og i vinkel mot horisonten).

Ved å bruke definisjonen av akselerasjon får vi følgende relasjon

Etter integrering har vi likestillingen
.

Tatt i betraktning at vektoren øyeblikkelig hastighet det er
, vil vi ha følgende uttrykk

Integrasjon av det siste uttrykket gir følgende relasjon

. Derfra får vi bevegelsesligningen til et punkt med konstant akselerasjon

.

Eksempler på vektorligninger for bevegelse av et materialpunkt

Ensartet rettlinjet bevegelse (
):

. (1.7)

Bevegelse med konstant akselerasjon (
):

. (1.8)

Hastighetens avhengighet av tid når et punkt beveger seg med konstant akselerasjon har formen:

. (1.9)

Spørsmål for selvkontroll.

Formuler en definisjon mekanisk bevegelse.

Definer et materialpunkt.

Hvordan bestemmes posisjonen til et materiell punkt i rommet i vektormåten for å beskrive bevegelse?

Hva er essensen vektormetode beskrivelser av mekanisk bevegelse? Hvilke egenskaper brukes for å beskrive denne bevegelsen?

Gi definisjoner av vektorer for gjennomsnittlig og øyeblikkelig hastighet. Hvordan bestemmes retningen til disse vektorene?

Definer gjennomsnittlig og momentan akselerasjonsvektor.

Hvilken av relasjonene er bevegelsesligningen til et punkt med konstant akselerasjon? Hvilket forhold bestemmer hastighetsvektorens avhengighet av tid?

§1.2. Koordinert måte å beskrive bevegelse på

I koordinatmetoden velges et koordinatsystem (for eksempel kartesisk) for å beskrive bevegelsen. Referansepunktet er stivt festet med den valgte kroppen ( referanseorgan). La
enhetsvektorer rettet mot de positive sidene av aksene henholdsvis OX, OY og OZ. Posisjonen til punktet er gitt av koordinatene
.

Den momentane hastighetsvektoren er definert som følger:

hvor
projeksjoner av hastighetsvektoren på koordinataksene, og
derivater av koordinater med hensyn til tid.

Lengden på hastighetsvektoren er relatert til dens projeksjoner ved relasjonen:

. (1.11)

For den momentane akselerasjonsvektoren er relasjonen sann:

hvor
projeksjoner av akselerasjonsvektoren på koordinataksene, og
tidsderivater av hastighetsvektorprojeksjoner.

Lengden på den momentane akselerasjonsvektoren er funnet av formelen:

. (1.13)

Eksempler på ligninger for punktbevegelse i et kartesisk koordinatsystem

. (1.14)

Bevegelsesligninger:
. (1.15)

Avhengighet av projeksjonene til hastighetsvektoren på koordinataksene på tid:

(1.16)

Spørsmål for selvkontroll.

Hva er essensen koordinere metode bevegelsesbeskrivelser?

Hvilket forhold bestemmer den momentane hastighetsvektoren? Hvilken formel brukes for å beregne størrelsen på hastighetsvektoren?

Hvilket forhold bestemmer den momentane akselerasjonsvektoren? Hvilken formel brukes til å beregne størrelsen på den momentane akselerasjonsvektoren?

Hvilke relasjoner kalles likningene for jevn bevegelse av et punkt?

Hvilke sammenhenger kalles bevegelsesligninger med konstant akselerasjon? Hvilke formler brukes til å beregne projeksjonene av den øyeblikkelige hastigheten til et punkt på koordinataksene?