Addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter betinget sannsynlighet. Addisjonsteoremet for sannsynlighetene for uforenlige hendelser

Sannsynlighet for en hendelse A er forholdet mellom antall m testresultater som favoriserer begynnelsen av hendelse A og det totale antallet n av alle like mulige inkompatible utfall: P(A)=m/n.

Betinget sannsynlighet for en hendelse A (eller sannsynligheten for en hendelse A, forutsatt at en hendelse B har skjedd), er tallet P B (A) \u003d P (AB) / P (B), der A og B er to tilfeldige hendelser i samme test .

Summen av et begrenset antall hendelser kalles en hendelse som består i forekomsten av minst én av dem. Summen av to hendelser er angitt med A+B.

Regler for sannsynlighetstillegg :

felles arrangementer A og B:
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB), der P(A) er sannsynligheten for hendelse A, P(B) er sannsynligheten for hendelse B, P(A+B) ) er sannsynligheten for at minst én av de to hendelsene skal inntreffe, P(AB) er sannsynligheten for at to hendelser skal skje sammen.
tilleggsregel uforenlige hendelser A og B:
P(A+B) = P(A)+P(B), der P(A) er sannsynligheten for hendelse A, P(B) er sannsynligheten for hendelse B.

Produktet av et begrenset antall hendelser kalles en hendelse som består i at hver av dem vil inntreffe. Produktet av to hendelser er betegnet AB.

Regler for sannsynlighetsmultiplikasjon :

avhengige hendelser A og B:
Р(АВ)= Р(А)*Р А (В)= Р(В)*Р В (А), der Р А (В) er den betingede sannsynligheten for forekomst av hendelse B, hvis hendelse A allerede har skjedd, Р В (А ) er den betingede sannsynligheten for forekomst av hendelse A, hvis hendelse B allerede har skjedd;
sauavhengige arrangementer A og B:
P(AB) = P(A)*P(B), der P(A) er sannsynligheten for hendelse A, P(B) er sannsynligheten for hendelse B.

Eksempler på problemløsning om temaet «Operasjoner på hendelser. Regler for addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter"

Oppgave 1 . Boksen inneholder 250 lyspærer, hvorav 100 er 90W, 50 er 60W, 50 er 25W og 50 er 15W. Bestem sannsynligheten for at effekten til en tilfeldig tatt lyspære ikke vil overstige 60 watt.

Løsning.

A \u003d (kraften til lyspæren er 90 W), sannsynligheten P (A) \u003d 100/250 \u003d 0,4;
B \u003d (kraften til lyspæren er 60W);
C \u003d (kraften til lyspæren er 25W);
D = (lyspæreeffekten er 15W).

2. Hendelser A, B, C, D form komplett system , siden alle av dem er inkompatible og en av dem vil definitivt forekomme i dette eksperimentet (velge en lyspære). Sannsynligheten for forekomst av en av dem er en pålitelig hendelse, da Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(D)=1.

3. Hendelser (lyspæreeffekt ikke mer enn 60W) (dvs. mindre enn eller lik 60W), og (lyspæreeffekt mer enn 60W) (i dette tilfellet - 90W) er motsatte. Ved egenskapen til motsatte tall P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A).

4. Gitt at P(B)+P(C)+P(D)=P(B+C+D), får vi P(B+C+D)= 1-P(A)=1-0, 4=0,6.

Oppgave 2 . Sannsynligheten for å treffe målet av den første skytteren med ett skudd er 0,7, og av den andre skytteren - 0,9. Finn sannsynligheten for at
a) skiven vil bli truffet av kun én skytter;
b) skiven vil bli truffet av minst én skytter.

Løsning.
1. Vurder følgende hendelser:
А1 = (den første skytteren treffer målet), Р(А1)=0,7 fra problemets tilstand;
А1 = (den første skytteren bommet), mens Р(А1)+Р(А̄1) = 1, siden А1 og А̄1 er motsatte hendelser. Derfor Р(А̄1)=1-0,7=0,3;
А2 = (den andre skytteren treffer målet), Р(А2)=0,9 fra problemets tilstand;
А2 = (den andre skytteren bommet), mens Р(А̄2)=1-0,9=0,1.

2. Hendelsen A=(mål truffet av bare én skytter) betyr at en av to inkompatible hendelser har skjedd: enten A1А2 eller А1А2.
I henhold til regelen for tillegg av sannsynligheter Р(А)= Р(А1А2) + Р(А1А2).

Р(А1А̄2)= Р(А1)*Р(А̄2)= 0,7*0,1=0,07;
Р(А̄1А2)= Р(А̄1)*Р(А2)=0,3*0,9=0,27.
Så Р(А)= Р(А1А2)+Р(А±1А2)=0,07+0,27=0,34.

3. Hendelse B=(skiven truffet av minst én skytter) betyr at enten den første skytteren traff skiven, eller den andre skytteren traff skiven, eller at begge skytterne traff skiven.

Hendelsen B̄=(skiven blir ikke truffet av noen skytter) er det motsatte av hendelsen B, som betyr P(B)=1-P(B̄).
Hendelsen B betyr den samtidige opptredenen av uavhengige hendelser Ā1 og Ā2, derfor P(B̄)=P(Ā1Ā2)= P(Ā1)*P(Ā2)=0,3*0,1=0,3.
Deretter Р(В)=1-Р(B̄)=1-0,3=0,7.

Oppgave 3 . Eksamensoppgaven består av tre spørsmål. Sannsynligheten for at eleven svarer på det første spørsmålet er 0,7; på den andre - 0,9; på den tredje - 0,6. Finn sannsynligheten for at studenten, som velger en billett, vil svare:
a) alle spørsmål
d) minst to spørsmål.

Løsning. 1. Vurder følgende hendelser:
А1 = (eleven svarte på det første spørsmålet), Р(А1)=0,7 fra tilstanden til oppgaven;
A1 = (eleven svarte ikke på det første spørsmålet), mens P(A1) + P(Ā1) = 1, siden A1 og Ā1 er motsatte hendelser. Derfor Р(А̄1)=1-0,7=0,3;
А2 = (eleven svarte på det andre spørsmålet), Р(А2)=0,9 fra tilstanden til oppgaven;
А2 = (eleven svarte ikke på det andre spørsmålet), mens Р(А̄2)=1-0,9=0,1;
А3 = (eleven svarte på det tredje spørsmålet), Р(А3)=0,6 fra tilstanden til oppgaven;
А3 = (eleven svarte ikke på det tredje spørsmålet), mens Р(А̄3)=1-0,6=0,4.

2. Hendelse A = (eleven svarte på alle spørsmål) betyr samtidig opptreden av uavhengige hendelser A1, A2 og A3, dvs. Р(А)= Р(А1А2А3). I henhold til regelen om multiplikasjon av sannsynligheter for uavhengige hendelser: Р(А1А2А3)= Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)= 0,7*0,9*0,6=0,378 .
Så P(A)=P(A1A2A3)=0,378.

3. Hendelsen D = (eleven svarte på minst to spørsmål) betyr at svaret gis på to spørsmål eller på alle tre, dvs. en av fire inkompatible hendelser har skjedd: enten A1A2Ā3, eller A1Ā2A3, eller А1А2А3, eller А1А2А3.
I henhold til regelen for addisjon av sannsynligheter for inkompatible hendelser: P(D)= P(A1A2Ā3)+ P(A1Ā2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3).

I henhold til regelen om multiplikasjon av sannsynlighetene for uavhengige hendelser:
Р(A1A2Ā3)= Р(A1)*Р(A2)*Р(Ā3)= 0,7*0,9*0,4=0,252;
Р(А1Ā2А3)= Р(А1)*Р(Ā2)*Р(А3)= 0,7*0,1*0,6=0,042;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,3*0,9*0,6=0,162;
P (A1A2A3) \u003d P (A1) * P (A2) * P (A3) \u003d 0,7 * 0,9 * 0,6 \u003d 0,378.
Deretter Р(D)= 0,252+0,042+0,162+0,378= 0,834.

Addisjonsteorem

Vurder uforenlige tilfeldige hendelser.

Det er kjent at inkompatible tilfeldige hendelser $A$ og $B$ i samme forsøk har sannsynlighetene $P\left(A\right)$ og $P\left(B\right)$ henholdsvis. La oss finne sannsynligheten for summen $A+B$ av disse hendelsene, det vil si sannsynligheten for at minst én av dem inntreffer.

Anta at i denne testen er antallet av alle like mulige elementære hendelser $n$. Av disse er hendelser $A$ og $B$ favorisert av henholdsvis $m_(A)$ og $m_(B)$ elementære hendelser. Siden hendelsene $A$ og $B$ er inkompatible, er hendelsen $A+B$ favorisert av $m_(A) +m_(B)$ elementære hendelser. Vi har $P\venstre(A+B\høyre)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\venstre(A\høyre)+P\venstre(B\høyre)$.

Teorem 1

Sannsynligheten for summen av to uforenlige hendelser er lik summen av sannsynlighetene deres.

Merknad 1

Konsekvens 1. Sannsynligheten for summen av et hvilket som helst antall inkompatible hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene.

Konsekvens 2. Summen av sannsynlighetene for en komplett gruppe av inkompatible hendelser (summen av sannsynlighetene for alle elementære hendelser) er lik én.

Konsekvens 3. Summen av sannsynlighetene for motsatte hendelser er lik én, siden de danner en komplett gruppe av uforenlige hendelser.

Eksempel 1

Sannsynligheten for at det aldri vil regne i byen på en stund er $p=0,7$. Finn sannsynligheten $q$ for at det i løpet av samme tid vil regne i byen minst én gang.

Begivenhetene «en tid regnet det aldri i byen» og «en tid regnet det i byen minst én gang» er motsatte. Derfor $p+q=1$, hvorav $q=1-p=1-0.7=0.3$.

Vurder felles tilfeldige hendelser.

Det er kjent at felles tilfeldige hendelser $A$ og $B$ i samme forsøk har sannsynligheter henholdsvis $P\left(A\right)$ og $P\left(B\right)$. La oss finne sannsynligheten for summen $A+B$ av disse hendelsene, det vil si sannsynligheten for at minst én av dem inntreffer.

Anta at i denne testen er antallet av alle like mulige elementære hendelser $n$. Av disse er hendelser $A$ og $B$ favorisert av henholdsvis $m_(A)$ og $m_(B)$ elementære hendelser. Siden hendelsene $A$ og $B$ er felles, av det totale antallet $m_(A) +m_(B) $ elementære begivenheter, favoriserer et visst antall $m_(AB) $ begge hendelsen $A$ og hendelsen $B$, det vil si deres felles forekomst (produktet av hendelsene $A\cdot B$). Denne mengden $m_(AB)$ oppga både $m_(A)$ og $m_(B)$. Så hendelsen $A+B$ er favorisert av $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ elementære hendelser. Vi har: $P\venstre(A+B\høyre)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\venstre(A\høyre)+P\venstre(B\høyre)-P\venstre(A\cdot B\ høyre )$.

Teorem 2

Sannsynligheten for summen av to felles hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene minus sannsynligheten for deres produkt.

Kommentar. Hvis hendelsene $A$ og $B$ er inkompatible, så er deres produkt $A\cdot B$ en umulig hendelse hvis sannsynlighet er $P\left(A\cdot B\right)=0$. Derfor er formelen for å legge til sannsynlighetene for inkompatible hendelser et spesialtilfelle av formelen for å legge til sannsynlighetene for felles hendelser.

Eksempel 2

Finn sannsynligheten for at når to terninger kastes samtidig, vil tallet 5 komme opp minst én gang.

Når du kaster to terninger samtidig, er antallet av alle like mulige elementære hendelser lik $n=36$, siden seks sifre i den andre terningen kan falle på hvert siffer i den første terningen. Av disse skjer hendelsen $A$ - tallet 5 kastet på den første terningen - 6 ganger, hendelsen $B$ - tallet 5 kastet på den andre terningen - forekommer også 6 ganger. Av alle tolv ganger vises tallet 5 én gang på begge terningene. Så $P\venstre(A+B\høyre)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $.

Sannsynlighetsmultiplikasjonsteorem

Vurder uavhengige hendelser.

Hendelser $A$ og $B$ som inntreffer i to påfølgende forsøk kalles uavhengige hvis sannsynligheten for at hendelsen $B$ inntreffer ikke er avhengig av om hendelsen $A$ fant sted eller ikke fant sted.

Anta for eksempel at det er 2 hvite og 2 svarte kuler i en urne. Testen er å trekke ut ballen. Arrangementet $A$ er "en hvit ball trekkes i den første prøven". Sannsynlighet $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Etter den første testen ble ballen satt tilbake og en andre test ble utført. Event $B$ -- ``hvit ball trukket i andre prøveperiode''. Sannsynlighet $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. Sannsynligheten $P\left(B\right)$ avhenger ikke av om hendelsen $A$ fant sted eller ikke, derfor er hendelsene $A$ og $B$ uavhengige.

Det er kjent at uavhengige tilfeldige hendelser $A$ og $B$ av to påfølgende forsøk har sannsynligheter henholdsvis $P\left(A\right)$ og $P\left(B\right)$. La oss finne sannsynligheten for produktet $A\cdot B$ for disse hendelsene, det vil si sannsynligheten for at de skjer sammen.

Anta at i den første prøven er antallet av alle like mulige elementære hendelser $n_(1) $. Av disse er $A$ foretrukket av $m_(1)$ elementære hendelser. La oss også anta at i den andre testen er antallet av alle like mulige elementære hendelser $n_(2) $. Av disse er hendelsen $B$ favorisert av $m_(2)$ elementære hendelser. Vurder nå en ny elementær begivenhet, som består i den påfølgende forekomsten av hendelser fra den første og andre prøvelsen. Det totale antallet slike like sannsynlige elementære hendelser er lik $n_(1) \cdot n_(2) $. Siden begivenhetene $A$ og $B$ er uavhengige, blir den felles forekomsten av hendelsen $A$ og hendelsen $B$ (produktene fra hendelsene $A\cdot B$) foretrukket av $m_( 1) \cdot m_(2) $ hendelser . Vi har: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\venstre(A\høyre)\cdot P\venstre(B\høyre)$.

Teorem 3

Sannsynligheten for produktet av to uavhengige hendelser er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene.

Vurder avhengige hendelser.

I to påfølgende forsøk oppstår hendelser $A$ og $B$. En hendelse $B$ sies å være avhengig av hendelsen $A$ hvis sannsynligheten for at hendelsen $B$ inntreffer avhenger av om hendelsen $A$ fant sted eller ikke. Da kalles sannsynligheten for hendelsen $B$, som ble beregnet under forutsetning av at hendelsen $A$ fant sted, den betingede sannsynligheten for hendelsen $B$ under betingelsen $A$ og er betegnet med $P\venstre (B/A\høyre)$.

Anta for eksempel at det er 2 hvite og 2 svarte kuler i en urne. Testen er uttrekking av ballen. Arrangementet $A$ er "en hvit ball trekkes i den første prøven". Sannsynlighet $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Etter den første testen settes ikke ballen tilbake og den andre testen utføres. Event $B$ -- ``hvit ball trukket i andre prøveperiode''. Hvis en hvit ball ble trukket i den første prøven, så er sannsynligheten $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Hvis en svart ball ble trukket i den første prøven, så er sannsynligheten $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Dermed avhenger sannsynligheten for hendelsen $B$ av om hendelsen $A$ fant sted eller ikke, derfor avhenger hendelsen $B$ av hendelsen $A$.

Anta at hendelser $A$ og $B$ forekommer i to påfølgende forsøk. Det er kjent at hendelsen $A$ har sannsynligheten for forekomst $P\left(A\right)$. Det er også kjent at hendelsen $B$ er avhengig av hendelsen $A$ og dens betingede sannsynlighet under betingelse $A$ er lik $P\left(B/A\right)$.

Teorem 4

Sannsynligheten for produktet av hendelsen $A$ og hendelsen $B$ avhengig av den, det vil si sannsynligheten for at de skal skje sammen, kan finnes ved formelen $P\left(A\cdot B\right)= P\venstre(A\høyre)\cdot P\venstre(B/A\høyre)$.

Den symmetriske formelen $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ er også gyldig, der hendelsen $A$ antas å være avhengig av hendelsen $ B$.

For betingelsene i det siste eksemplet finner vi sannsynligheten for at den hvite ballen vil bli trukket i begge forsøkene. En slik begivenhet er et produkt av begivenhetene $A$ og $B$. Sannsynligheten er $P\left(A\cdot B\right)=P\venstre(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter. Denne artikkelen vil fokusere på å løse problemer i sannsynlighetsteori. Tidligere har vi allerede analysert noen av de enkleste oppgavene, for å løse dem er det nok å kjenne og forstå formelen (jeg anbefaler deg å gjenta den).

Det er oppgaver som er litt mer kompliserte, for deres løsning må du vite og forstå: regelen for addisjon av sannsynligheter, regelen for multiplikasjon av sannsynligheter, begrepene avhengige og uavhengige hendelser, motsatte hendelser, felles og uforenlige hendelser. Ikke vær redd for definisjoner, alt er enkelt)).I denne artikkelen vil vi vurdere nettopp slike oppgaver.

Noen viktige og enkle teorier:

uforenlig dersom forekomsten av en av dem utelukker forekomsten av de andre. Det vil si at bare én bestemt hendelse kan oppstå, eller en annen.

Et klassisk eksempel: når du kaster en terning (terning), kan bare én falle ut, eller bare to, eller bare tre, osv. Hver av disse hendelsene er uforenlige med de andre, og forekomsten av en av dem utelukker forekomsten av den andre (i en test). Det samme med mynten - tapet av "ørn" eliminerer muligheten for tap av "haler".

Dette gjelder også for mer komplekse kombinasjoner. For eksempel tennes to belysningslamper. Hver av dem kan eller kanskje ikke brenne ut på en stund. Det finnes alternativer:

Den første brenner ut og den andre brenner ut
Den første brenner ut og den andre brenner ikke ut
Den første brenner ikke ut og den andre brenner ut
Den første brenner ikke ut og den andre brenner ut.

Alle disse 4 variantene av hendelser er inkompatible - de kan rett og slett ikke skje sammen og ingen av dem med noen andre ...

Definisjon: Hendelser kalles ledd dersom forekomsten av en av dem ikke utelukker forekomsten av den andre.

Eksempel: en dame vil bli tatt fra en kortstokk og et sparkort vil bli tatt fra en kortstokk. To hendelser vurderes. Disse hendelsene utelukker ikke hverandre - du kan trekke spardronningen og dermed vil begge hendelsene skje.

På summen av sannsynligheter

Summen av to hendelser A og B kalles hendelsen A + B, som består i at enten hendelsen A eller hendelsen B eller begge vil inntreffe samtidig.

Hvis oppstår uforenlig hendelser A og B, da er sannsynligheten for summen av disse hendelsene lik summen av sannsynlighetene for hendelsene:

Terningeksempel:

Vi kaster en terning. Hva er sannsynligheten for å få et tall mindre enn fire?

Tall mindre enn fire er 1,2,3. Vi vet at sannsynligheten for å få en 1 er 1/6, en 2 er 1/6 og en 3 er 1/6. Dette er uforenlige hendelser. Vi kan bruke tilleggsregelen. Sannsynligheten for å få et tall mindre enn fire er:

Faktisk, hvis vi går ut fra konseptet med klassisk sannsynlighet: så er antallet mulige utfall 6 (tallet på alle sider av kuben), antallet gunstige utfall er 3 (en, to eller tre). Den ønskede sannsynligheten er 3 til 6 eller 3/6 = 0,5.

* Sannsynligheten for summen av to felles hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene uten å ta hensyn til deres felles forekomst: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) -P (AB) )

Om multiplikasjon av sannsynligheter

La to uforenlige hendelser A og B oppstå, deres sannsynligheter er henholdsvis P(A) og P(B). Produktet av to hendelser A og B kalles en slik hendelse A B, som består i at disse hendelsene vil skje sammen, det vil si at både hendelse A og hendelse B. Sannsynligheten for en slik hendelse er lik produktet av sannsynlighetene for hendelser A og B.Beregnet etter formelen:

Som du allerede har lagt merke til, betyr den logiske forbindelsen "AND" multiplikasjon.

Et eksempel med samme terning:Kast en terning to ganger. Hva er sannsynligheten for å rulle to seksere?

Sannsynligheten for å kaste en sekser for første gang er 1/6. Den andre gangen er også lik 1/6. Sannsynligheten for å få sekser både første gang og andre gang er lik produktet av sannsynlighetene:

Enkelt sagt: når en hendelse inntreffer i en test, OG så en annen (andre) inntreffer, så er sannsynligheten for at de vil skje sammen lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene.

Vi løste problemer med terninger, men vi brukte kun logiske resonnementer, vi brukte ikke produktformelen. I problemene som er vurdert nedenfor, kan man ikke klare seg uten formler, eller rettere sagt, det vil være enklere og raskere å få resultatet med dem.

Det er verdt å nevne en nyanse til. Når man resonnerer for å løse problemer, brukes begrepet SAMTIDIGHET av hendelser. Hendelser inntreffer SAMTIDIG - dette betyr ikke at de skjer i løpet av ett sekund (på et øyeblikk). Dette betyr at de oppstår i en viss tidsperiode (med én test).

For eksempel:

To lamper brenner ut i løpet av et år (det kan sies - samtidig innen et år)

To automater brytes ned i løpet av en måned (det kan sies - samtidig innen en måned)

Terningen kastes tre ganger (poeng faller ut samtidig, som betyr i en test)

Skiskytter slår fem skudd. Hendelser (skudd) oppstår i løpet av en test.

Hendelser A og B er uavhengige dersom sannsynligheten for en av dem ikke avhenger av forekomsten eller ikke-forekomsten av den andre hendelsen.

Vurder oppgavene:

To fabrikker produserer det samme glasset for billykter. Den første fabrikken produserer 35% av disse glassene, den andre - 65%. Den første fabrikken produserer 4% av defekte briller, og den andre - 2%. Finn sannsynligheten for at et glass ved et uhell kjøpt i en butikk vil være defekt.

Den første fabrikken produserer 0,35 produkter (glass). Sannsynligheten for å kjøpe defekt glass fra den første fabrikken er 0,04.

Den andre fabrikken produserer 0,65 glass. Sannsynligheten for å kjøpe defekt glass fra den andre fabrikken er 0,02.

Sannsynligheten for at glasset ble kjøpt på den første fabrikken OG samtidig vil være defekt er 0,35∙0,04 = 0,0140.

Sannsynligheten for at glasset ble kjøpt på den andre fabrikken OG samtidig vil være defekt er 0,65∙0,02 = 0,0130.

Å kjøpe defekt glass i en butikk innebærer at det (defekt glass) ble kjøpt ENTEN fra den første fabrikken ELLER fra den andre. Dette er inkompatible hendelser, det vil si at vi legger til de resulterende sannsynlighetene:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Svar: 0,027

Hvis stormester A. spiller hvit, vinner han stormester B. med en sannsynlighet på 0,62. Hvis A. spiller svart, så slår A. B. med en sannsynlighet på 0,2. Stormestre A. og B. spiller to partier, og i det andre spillet endrer de fargen på brikkene. Finn sannsynligheten for at A. vinner begge gangene.

Sjansene for å vinne det første og andre spillet er uavhengig av hverandre. Det sies at en stormester må vinne begge gangene, det vil si vinne første gang OG samtidig vinne andre gang. I tilfellet når uavhengige hendelser må skje sammen, multipliseres sannsynlighetene for disse hendelsene, det vil si at multiplikasjonsregelen brukes.

Sannsynligheten for å produsere disse hendelsene vil være lik 0,62∙0,2 = 0,124.

Svar: 0,124

På geometrieksamen får studenten ett spørsmål fra listen over eksamensoppgaver. Sannsynligheten for at dette er et innskrevet sirkelspørsmål er 0,3. Sannsynligheten for at dette er et parallellogramspørsmål er 0,25. Det er ingen spørsmål knyttet til disse to temaene samtidig. Finn sannsynligheten for at studenten får et spørsmål om ett av disse to temaene på eksamen.

Det vil si at det er nødvendig å finne sannsynligheten for at studenten får et spørsmål ENTEN om emnet "Innskrevet sirkel", ELLER om emnet "Parallelogram". I dette tilfellet summeres sannsynlighetene opp, siden disse hendelsene er inkompatible og alle disse hendelsene kan oppstå: 0,3 + 0,25 = 0,55.

*Usammenhengende hendelser er hendelser som ikke kan skje samtidig.

Svar: 0,55

Skiskytteren skyter fem ganger mot skivene. Sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,9. Finn sannsynligheten for at skiskytteren treffer målene de første fire gangene og bommet på den siste. Avrund resultatet til nærmeste hundredel.

Siden skiskytteren treffer målet med en sannsynlighet på 0,9, bommer han med en sannsynlighet på 1 - 0,9 = 0,1

*Et bom og et treff er hendelser som ikke kan skje samtidig med ett skudd, summen av sannsynlighetene for disse hendelsene er 1.

Vi snakker om igangsetting av flere (uavhengige) arrangementer. Hvis en hendelse inntreffer og samtidig en annen (påfølgende) inntreffer på samme tid (test), multipliseres sannsynlighetene for disse hendelsene.

Sannsynligheten for å produsere uavhengige hendelser er lik produktet av deres sannsynligheter.

Dermed er sannsynligheten for hendelsen "treff, hit, hit, hit, missed" lik 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.

Avrunding opp til hundredeler får vi 0,07

Svar: 0,07

Butikken har to betalingsautomater. Hver av dem kan være feil med en sannsynlighet på 0,07, uavhengig av den andre automaten. Finn sannsynligheten for at minst én automat er brukbar.

Finn sannsynligheten for at begge automatene er defekte.

Disse hendelsene er uavhengige, så sannsynligheten vil være lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene: 0,07∙0,07 = 0,0049.

Dette betyr at sannsynligheten for at begge automatene fungerer eller en av dem vil være lik 1 - 0,0049 = 0,9951.

* Begge er brukbare og noen er helt - oppfyller vilkåret "minst en".

Man kan presentere sannsynlighetene for alle (uavhengige) hendelser for å teste:

1. "defekt-feil" 0,07∙0,07 = 0,0049

2. "Bra-feil" 0,93∙0,07 = 0,0651

3. "Feil-feil" 0,07∙0,93 = 0,0651

4. «sunn-sunn» 0,93∙0,93 = 0,8649

For å bestemme sannsynligheten for at minst en automat er i god stand, er det nødvendig å legge til sannsynlighetene for uavhengige hendelser 2,3 og 4: en bestemt hendelse En hendelse kalles en hendelse som sikkert vil oppstå som et resultat av en opplevelse. Arrangementet kalles umulig hvis det aldri skjer som et resultat av erfaring.

For eksempel, hvis en ball er tilfeldig trukket fra en boks som inneholder bare røde og grønne kuler, så er utseendet til en hvit ball blant de trukket ballene en umulig hendelse. Utseendet til de røde og utseendet til de grønne ballene utgjør en komplett gruppe av hendelser.

Definisjon: Arrangementene kalles like mulig , hvis det ikke er grunn til å tro at en av dem vil dukke opp som et resultat av forsøket med større sannsynlighet.

I eksemplet ovenfor er utseendet til røde og grønne kuler like sannsynlige hendelser hvis boksen inneholder samme antall røde og grønne kuler. Hvis det er flere røde kuler i boksen enn grønne, så er utseendet til en grønn ball mindre sannsynlig enn utseendet til en rød.

I vil vi vurdere flere problemer der summen og produktet av sannsynlighetene for hendelser brukes, ikke gå glipp av det!

Det er alt. Jeg ønsker deg suksess!

Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh.

Maria Ivanovna skjeller ut Vasya:
Petrov, hvorfor var du ikke på skolen i går?!
Mamma vasket buksene mine i går.
- Hva så?
– Og jeg gikk forbi huset og så at ditt hang. Jeg trodde du ikke kom.

P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller om nettstedet i sosiale nettverk.

På For å estimere sannsynligheten for at en tilfeldig hendelse skal inntreffe, er det svært viktig å ha en god idé på forhånd om sannsynligheten () for at hendelsen som er av interesse for oss, avhenger av hvordan andre hendelser utvikler seg.

Når det gjelder det klassiske opplegget, når alle utfall er like sannsynlige, kan vi allerede estimere sannsynlighetsverdiene for den individuelle hendelsen av interesse for oss på egen hånd. Vi kan gjøre dette selv om arrangementet er en kompleks samling av flere elementære utfall. Og om flere tilfeldige hendelser skjer samtidig eller etter hverandre? Hvordan påvirker dette sannsynligheten for at arrangementet er av interesse for oss?

Hvis jeg kaster en terning et par ganger og jeg ønsker å få en sekser og jeg alltid er uheldig, betyr det at jeg bør øke innsatsen min fordi jeg, ifølge sannsynlighetsteorien, er i ferd med å være heldig? Akk, sannsynlighetsteori sier ikke noe slikt. Ingen terninger, ingen kort, ingen mynter husker ikke det de viste oss forrige gang. Det spiller ingen rolle for dem i det hele tatt om jeg for første gang eller for tiende gang i dag tester skjebnen min. Hver gang jeg ruller igjen, vet jeg bare én ting: og denne gangen er sannsynligheten for å rulle en «sekser» igjen en sjettedel. Dette betyr selvfølgelig ikke at tallet jeg trenger aldri vil falle ut. Det betyr bare at tapet mitt etter det første kastet og etter ethvert annet kast er uavhengige hendelser.

Hendelser A og B kalles uavhengig, hvis implementeringen av en av dem ikke påvirker sannsynligheten for den andre hendelsen på noen måte. Sannsynlighetene for å treffe et mål med den første av to våpen avhenger for eksempel ikke av om den andre pistolen treffer målet, så hendelsene "den første pistolen traff målet" og "den andre pistolen traff målet" er uavhengige.

Hvis to hendelser A og B er uavhengige, og sannsynligheten for hver av dem er kjent, kan sannsynligheten for samtidig forekomst av både hendelse A og hendelse B (angitt med AB) beregnes ved å bruke følgende teorem.

Sanfor uavhengige hendelser

P(AB) = P(A)*P(B)- sannsynlighet samtidig to uavhengig hendelser er arbeid sannsynligheten for disse hendelsene.

Eksempel.Sannsynlighetene for å treffe målet ved avfyring av den første og andre pistolen er henholdsvis like: p 1 =0,7; p2 = 0,8. Finn sannsynligheten for å treffe med én volley med begge våpen samtidig.

Løsning: Som vi allerede har sett, er hendelsene A (truffet av den første pistolen) og B (truffet av den andre pistolen) uavhengige, dvs. P (AB) \u003d P (A) * P (B) \u003d p 1 * p 2 \u003d 0,56.

Hva skjer med våre estimater hvis de initierende hendelsene ikke er uavhengige? La oss endre det forrige eksemplet litt.

Eksempel.To skyttere i en konkurranse skyter på mål, og hvis en av dem skyter nøyaktig, begynner motstanderen å bli nervøs, og resultatene hans forverres. Hvordan gjøre denne hverdagssituasjonen til et matematisk problem og skissere måter å løse det på? Det er intuitivt klart at det er nødvendig på en eller annen måte å skille de to scenariene, å komponere, faktisk, to scenarier, to forskjellige oppgaver. I det første tilfellet, hvis motstanderen bommer, vil scenariet være gunstig for den nervøse idrettsutøveren og hans nøyaktighet vil være høyere. I det andre tilfellet, hvis motstanderen anstendig innså sjansen sin, reduseres sannsynligheten for å treffe målet for den andre utøveren.

For å skille de mulige scenariene (de kalles ofte hypoteser) for utviklingen av hendelser, vil vi ofte bruke "sannsynlighetstreet"-skjemaet. Dette diagrammet ligner i betydningen beslutningstreet, som du sannsynligvis allerede har måttet forholde deg til. Hver gren er et eget scenario, bare nå har den sin egen betydning av den såkalte betinget sannsynligheter (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Denne ordningen er veldig praktisk for analyse av påfølgende tilfeldige hendelser.

Det gjenstår å avklare et viktig spørsmål: hvor kommer startverdiene til sannsynlighetene inn reelle situasjoner ? Tross alt fungerer ikke sannsynlighetsteorien med de samme myntene og terningene, gjør den vel? Vanligvis er disse estimatene hentet fra statistikk, og når statistikk ikke er tilgjengelig, utfører vi vår egen forskning. Og vi må ofte starte det ikke med å samle inn data, men med spørsmålet om hvilken informasjon vi generelt trenger.

Eksempel.I en by med 100 000 innbyggere, anta at vi må anslå størrelsen på markedet for et nytt ikke-essensielt produkt, for eksempel en fargebehandlet hårbalsam. La oss vurdere ordningen med "sannsynlighetenes tre". I dette tilfellet må vi omtrent estimere verdien av sannsynligheten på hver "gren". Så våre estimater av markedskapasitet:

1) 50 % av alle innbyggerne i byen er kvinner,

2) av alle kvinner farger bare 30 % håret ofte,

3) av disse bruker bare 10 % balsam for farget hår,

4) av disse er det bare 10 % som kan samle motet til å prøve et nytt produkt,

5) 70 % av dem kjøper vanligvis ikke alt fra oss, men fra våre konkurrenter.

Løsning: I henhold til loven om multiplikasjon av sannsynligheter, bestemmer vi sannsynligheten for hendelsen av interesse for oss A \u003d (en byboer kjøper denne nye balsamen fra oss) \u003d 0,00045.

Multipliser denne sannsynlighetsverdien med antall innbyggere i byen. Som et resultat har vi bare 45 potensielle kjøpere, og gitt at ett hetteglass med dette produktet varer i flere måneder, er handelen ikke særlig livlig.

Likevel er det fordeler med våre vurderinger.

For det første kan vi sammenligne prognosene til forskjellige forretningsideer, de vil ha forskjellige "gafler" på diagrammene, og selvfølgelig vil sannsynlighetsverdiene også være forskjellige.

For det andre, som vi allerede har sagt, kalles ikke en tilfeldig variabel tilfeldig fordi den ikke er avhengig av noe i det hele tatt. Bare henne nøyaktig verdien er ikke kjent på forhånd. Vi vet at gjennomsnittlig antall kjøpere kan økes (for eksempel ved å annonsere for et nytt produkt). Så det er fornuftig å fokusere på de "gaflene" der fordelingen av sannsynligheter ikke passer oss spesielt, på de faktorene vi er i stand til å påvirke.

Tenk på et annet kvantitativt eksempel på forbrukeratferdsforskning.

Eksempel. Et gjennomsnitt på 10 000 mennesker besøker matmarkedet per dag. Sannsynligheten for at en markedsbesøkende går inn i en meieripaviljong er 1/2. Det er kjent at i denne paviljongen selges det i gjennomsnitt 500 kg forskjellige produkter per dag.

Kan det argumenteres for at gjennomsnittskjøpet i paviljongen bare veier 100 g?

Diskusjon. Selvfølgelig ikke. Det er tydelig at ikke alle som kom inn i paviljongen endte opp med å kjøpe noe der.

Som vist i diagrammet, for å svare på spørsmålet om gjennomsnittlig kjøpevekt, må vi finne svaret på spørsmålet, hva er sannsynligheten for at en person som går inn i paviljongen kjøper noe der. Hvis vi ikke har slike data til rådighet, men vi trenger dem, må vi skaffe dem selv, etter å ha observert de besøkende på paviljongen en stund. Anta at våre observasjoner viser at bare en femtedel av de besøkende til paviljongen kjøper noe.

Så snart disse estimatene er innhentet av oss, blir oppgaven allerede enkel. Av de 10 000 personene som kom til markedet skal 5 000 til paviljongen med meieriprodukter, det blir kun 1000 kjøp Gjennomsnittlig kjøpsvekt er 500 gram. Det er interessant å merke seg at for å bygge et fullstendig bilde av hva som skjer, må logikken til betinget "forgrening" defineres på hvert trinn av resonnementet vårt like klart som om vi jobbet med en "konkret" situasjon, og ikke med sannsynligheter.

Oppgaver for selvtest

1. La det være en elektrisk krets bestående av n seriekoblede elementer, som hver fungerer uavhengig av de andre.

Sannsynligheten p for ikke-svikt for hvert element er kjent. Bestem sannsynligheten for riktig drift av hele delen av kretsen (hendelse A).

2. Studenten kan 20 av de 25 eksamensoppgavene. Finn sannsynligheten for at studenten kan de tre spørsmålene som sensor har gitt ham.

3. Produksjonen består av fire påfølgende stadier, som hver driver utstyr hvor sannsynlighetene for feil innen neste måned er henholdsvis p 1 , p 2 , p 3 og p 4 . Finn sannsynligheten for at det om en måned ikke blir produksjonsstans på grunn av utstyrssvikt.

Enkle konsepter
Hendelser kalles uforenlige hvis forekomsten av en av dem utelukker forekomsten av andre hendelser i samme rettssak. Ellers kalles de felles.
En komplett gruppe er et sett med hendelser, hvor kombinasjonen er en pålitelig hendelse.
Motsetninger er to unikt mulige hendelser som utgjør en komplett gruppe.
Hendelser kalles avhengige hvis sannsynligheten for å inntreffe en av dem avhenger av forekomsten eller ikke-forekomsten av andre hendelser.
Hendelser kalles uavhengige hvis sannsynligheten for en av dem ikke avhenger av forekomsten eller ikke-forekomsten av de andre.
Addisjonsteoremet for sannsynlighetene for uforenlige hendelser
P(A+B)=P(A)+P(B),
hvor A, B er uforenlige hendelser.

Addisjonsteorem for felles hendelsessannsynligheter
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), hvor A og B er felles hendelser.

Teoremet om multiplikasjon av sannsynligheter for uavhengige hendelser
,
hvor A og B er uavhengige hendelser.
Teoremet om multiplikasjon av sannsynligheter for avhengige hendelser
P (AB) \u003d P (A) P A (B),
hvor P A (B) er sannsynligheten for at hendelse B inntreffer, forutsatt at hendelse A har inntruffet; A og B er avhengige hendelser.

Oppgave 1.
Skytteren skyter to skudd mot skiven. Sannsynligheten for å treffe hvert skudd er 0,8. Lag en komplett gruppe hendelser og finn sannsynlighetene deres. Løsning.
Test - To skudd skytes mot målet.
Begivenhet MEN- mislyktes begge gangene.
Begivenhet PÅ- treff en gang.
Begivenhet FRA- Fikk det begge gangene.
.

Styre: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
Oppgave 2.
I følge prognosen til meteorologer Р(regn)=0,4; P(vind)=0,7; P(regn og vind)=0,2. Hva er sannsynligheten for at det regner eller blåser? Løsning. I henhold til sannsynlighetsaddisjonsteoremet og på grunn av kompatibiliteten til de foreslåtte hendelsene, har vi:
P (regn eller vind eller begge deler) \u003d P (regn) + P (vind) - P (regn og vind) \u003d 0,4 + 0,7-0,2 \u003d 0,9.
Oppgave 3.
På avgangsstasjonen er det 8 bestillinger for forsendelse av varer: fem - innenlands, og tre - for eksport. Hva er sannsynligheten for at to tilfeldig utvalgte bestillinger er for innenlandsk forbruk? Løsning. Begivenhet MEN- den første ordren tatt tilfeldig - innenfor landet. Begivenhet PÅ- den andre er også beregnet på innenlandsk forbruk. Vi må finne sannsynligheten. Så, ved teoremet om multiplikasjon av sannsynlighetene for avhengige hendelser, har vi

Oppgave 4.
Fra et parti med produkter velger selgeren tilfeldig produkter av høyeste karakter. Sannsynligheten for at det valgte elementet vil ha høyeste karakter er 0,8; første klasse - 0,7; andre klasse - 0,5. Finn sannsynligheten for at av tre tilfeldig valgte produkter vil det være:
a) bare to premiumkarakterer;
b) alle er forskjellige. Løsning. La arrangementet være et produkt av høyeste karakter; begivenhet - et produkt av første klasse; begivenhet - et produkt av andre klasse.
I henhold til tilstanden til problemet; ; Arrangementene er uavhengige.
a) Begivenhet MEN– bare to premiumprodukter vil se slik ut da

b) Begivenhet PÅ- alle tre produktene er forskjellige - vi uttrykker det slik: , deretter .
Oppgave 5.
Sannsynlighetene for å treffe målet når du skyter fra tre kanoner er som følger: p1= 0,8; s2=0,7; s3=0,9. Finn sannsynligheten for minst ett treff (hendelse MEN) med én salve fra alle våpen. Løsning. Sannsynligheten for å treffe målet med hver av pistolene avhenger ikke av resultatene av skyting fra andre våpen, så hendelsene som vurderes (truffet av den første pistolen), (truffet av den andre pistolen) og (truffet av den tredje pistol) er uavhengige i aggregatet.
Sannsynlighetene for hendelser som er motsatte av hendelser (dvs. bomsannsynligheter) er henholdsvis lik:

Ønsket sannsynlighet
Oppgave 6.
Trykkeriet har 4 trykkerier. For hver maskin er sannsynligheten for at den kjører for øyeblikket 0,9. Finn sannsynligheten for at minst én maskin kjører for øyeblikket (hendelse MEN). Løsning. Hendelsene "maskinen kjører" og "maskinen kjører ikke" (for øyeblikket) er motsatte, så summen av sannsynlighetene deres er lik én:
Derfor er sannsynligheten for at maskinen ikke kjører for øyeblikket lik
Ønsket sannsynlighet. Oppgave 7. Det er 6 lærebøker om sannsynlighetsteori på lesesalen, hvorav tre er innbundet. Bibliotekaren tok to lærebøker tilfeldig. Finn sannsynligheten for at begge lærebøkene blir bundet inn.

Løsning. Tenk på følgende hendelser:
A1 - den første tatt lærebok i innbinding;
A2 er den andre innbundne læreboken tatt.
En hendelse som består i at begge de tatt lærebøkene er innbundet. Hendelser A1 og A2 er avhengige, siden sannsynligheten for at hendelsen A2 inntreffer avhenger av hendelsen A1. For å løse dette problemet bruker vi teoremet om multiplikasjon av sannsynlighetene for avhengige hendelser: .
Sannsynligheten for forekomst av hendelsen A1 p(A1) i samsvar med den klassiske definisjonen av sannsynlighet:
P(Al)=m/n=3/6=0,5.
Sannsynligheten for at hendelsen A2 inntreffer bestemmes av den betingede sannsynligheten for at hendelsen A2 skal inntreffe under betingelsen om at hendelsen A1 inntreffer, dvs. (A2)==0,4.
Deretter ønsket sannsynlighet for forekomsten av hendelsen:
P(A)=0,5*0,4=0,2.