Harmonisk svingning x = en Cos(w t+ a) geometrisk kan representeres ved en projeksjon på en vilkårlig retning x vektor som roterer rundt en fast akse med vinkelhastighet w. Lengden på denne vektoren er lik amplituden til oscillasjonen, og dens opprinnelige retning dannes med aksen x vinkel lik startfasen av oscillasjon - en. Ved å bruke denne geometriske tolkningen løser vi problemet med å legge til to harmoniske vibrasjoner samme frekvens og retning.

x = x 1 + x 2 = en 1 Cos(w t+ a 1) + en 2 Cos(w t+ a 2).

La oss konstruere en vektor (i en vinkel a 1 til aksen x), som representerer den første vibrasjonen. La oss legge til vektoren som danner en vinkel a 2 med aksen x(Fig. 12.8). Summen av projeksjonene til disse vektorene på aksen x lik projeksjonen på denne aksen til vektoren, lik beløpet Og .

x = x 1 + x 2 .

Ris. 12.8

La oss bringe dette vektordiagrammet til rotasjon med vinkelhastighet w rundt en akse som går gjennom origo til koordinatene - punkt O. I dette tilfellet er likheten x = x 1 + x 2 vil forbli uendret over tid, selv om anslagene i seg selv x, x 1 og x 2 vil nå pulsere i henhold til en harmonisk lov med samme frekvens w og med startfaser henholdsvis a, a 1 og a 2 -. Som et resultat av tillegg av to vibrasjoner:

x 1 = en 1 Cos(w t+ a 1) og x 2 = en 2 Cos(w t+ a 2) en ny oscillasjon oppstår x = x 1 + x 2 =

= en Cos(w t+ a), hvis frekvens - w - faller sammen med frekvensen til de tilførte svingningene. Dens amplitude er lik den absolutte verdien av vektoren, og startfasen a, som følger av fig. 12.8, er lik:

.

For å beregne amplituden " EN» total oscillasjon, vi bruker cosinus-teoremet:

Amplituden til den resulterende oscillasjonen avhenger ikke bare av amplitudene til de ekstra oscillasjonene EN 1 og EN 2, men også på forskjellen i deres innledende faser. Oscillasjon med maksimal amplitude, EN = en maks = en 1 + en 2 oppstår når man legger til i-fase oscillasjoner, det vil si når deres startfaser faller sammen: a 1 = a 2.

Hvis faseforskjellen (a 2 – a 1) = p, vil amplituden til den totale oscillasjonen være minimal en = en min = | en 1 – en 2 |. Hvis amplitudene til slike oscillasjoner som forekommer i motfase er lik ( en 1 = en 2), så vil amplituden til den totale oscillasjonen være lik null.

Denne metoden vektordiagrammer I fremtiden vil vi ofte bruke det når vi legger til ikke bare svingninger, men også bølger.

Forelesning 13 "Mekaniske vibrasjoner"

Forelesningsoversikt

1. Energi til en harmonisk oscillator.

2. Egen dempet svingninger.

3. Tvangsvibrasjoner. Resonans. Amplitude og fase av tvungne oscillasjoner.

Løsningen på en rekke problemer, spesielt tillegg av flere oscillasjoner i samme retning (eller, hva er det samme, tillegg av flere harmoniske funksjoner), er mye lettere og blir tydelig hvis svingningene er avbildet grafisk som vektorer på et fly. Diagrammet oppnådd på denne måten kalles et vektordiagram.

La oss ta aksen, som vi betegner med bokstaven x (fig. 55.1). Fra punkt O, tatt på aksen, plotter vi en vektor med lengde a, og danner en vinkel a med aksen.

Hvis vi bringer denne vektoren i rotasjon med vinkelhastighet , vil projeksjonen av enden av vektoren bevege seg langs x-aksen i området fra -a til +a, og koordinaten til denne projeksjonen vil endre seg over tid i henhold til loven

Følgelig vil projeksjonen av enden av vektoren på aksen utføre en harmonisk oscillasjon med en amplitude lik lengde vektor, med en sirkulær frekvens lik vektorens vinkelhastighet, og med en startfase, lik vinkelen, dannet av en vektor med akse inn startøyeblikk tid.

Av ovenstående følger det at en harmonisk oscillasjon kan spesifiseres ved å bruke en vektor, hvis lengde er lik amplituden til oscillasjonen, og retningen til vektoren danner en vinkel med x-aksen lik startfasen av svingning.

La oss vurdere tillegget av to harmoniske oscillasjoner i samme retning og samme frekvens. Forskyvningen x til det oscillerende legemet vil være summen av forskyvningene, som vil bli skrevet som følger:

La oss representere begge oscillasjonene ved hjelp av vektorer (fig. 55.2). La oss konstruere den resulterende vektoren a i henhold til reglene for vektoraddisjon.

Det er lett å se at projeksjonen av denne vektoren på x-aksen er lik summen av projeksjonene til summandvektorene:

Derfor representerer vektor a den resulterende oscillasjonen. Denne vektoren roterer med samme vinkelhastighet som vektorene slik at den resulterende bevegelsen vil være en harmonisk oscillasjon med frekvensamplitude a og startfase a. Av konstruksjonen er det tydelig at

Så representasjonen av harmoniske oscillasjoner ved hjelp av vektorer gjør det mulig å redusere tillegget av flere oscillasjoner til driften av å legge til vektorer. Denne teknikken er spesielt nyttig, for eksempel i optikk, der lysvibrasjoner på et bestemt punkt bestemmes som et resultat av overlagring av mange vibrasjoner som ankommer til dette punktet fra ulike deler av bølgefronten.

Formler (55.2) og (55.3) kan selvfølgelig oppnås ved å legge til uttrykk (55.1) og produsere de tilsvarende trigonometriske transformasjoner. Men metoden vi brukte for å få disse formlene er mer enkel og oversiktlig.

La oss analysere uttrykk (55.2) for amplitude. Hvis faseforskjellen mellom begge oscillasjonene er null, er amplituden til den resulterende oscillasjonen lik summen av a og a. Hvis faseforskjellen er lik eller , dvs. begge oscillasjonene er i motfase, er amplituden til den resulterende oscillasjonen lik

Hvis oscillasjonsfrekvensene ikke er de samme, vil vektorene a og rotere med i forskjellige hastigheter. I dette tilfellet pulserer den resulterende vektoren a i størrelse og roterer med konstant hastighet. Følgelig vil den resulterende bevegelsen i dette tilfellet ikke være en harmonisk oscillasjon, men noe kompleks oscillerende prosess.

Vektordiagram. Tilsetning av vibrasjoner.

Løsningen på en rekke problemer i teorien om svingninger blir mye enklere og mer visuell hvis svingningene er representert grafisk ved hjelp av metoden vektordiagrammer. La oss velge en akse X. Fra punkt 0 på aksen plotter vi vektoren for lengde , som i utgangspunktet danner en vinkel med aksen (fig. 2.14.1). Hvis vi bringer denne vektoren i rotasjon med vinkelhastighet, så projeksjonen av enden av vektoren på aksen X vil endres over tid ved lov

.

Følgelig vil projeksjonen av enden av vektoren på aksen utføre en harmonisk oscillasjon med en amplitude lik lengden av vektoren, med en sirkulær frekvens lik vinkelhastigheten til vektorens rotasjon, og med en startfase lik. til vinkelen som vektoren danner med aksen i det første øyeblikket. Vinkelen som dannes av vektoren med aksen i et gitt tidspunkt bestemmer svingningsfasen i det øyeblikket - .

Av ovenstående følger det at en harmonisk oscillasjon kan representeres ved hjelp av en vektor, hvis lengde er lik amplituden til oscillasjonen, og dens retning danner en vinkel med en viss akse lik fasen av oscillasjonen. Dette er essensen av vektordiagrammetoden.

Tilsetning av svingninger i samme retning.

Vurder tillegget av to harmoniske oscillasjoner, hvis retninger er parallelle:

. (2.14.1)

Resulterende offset X vil være summen og . Dette vil være en oscillasjon med amplitude.

La oss bruke vektordiagrammetoden (fig. 2.14.2). På figuren, og - faser av henholdsvis de resulterende og tilførte oscillasjonene. Det er lett å se hva som kan bli funnet ved å legge til vektorene og . Imidlertid, hvis frekvensene til de tilførte oscillasjonene er forskjellige, endres den resulterende amplituden i størrelse over tid og vektoren roterer med variabel hastighet, dvs. oscillasjonen vil ikke være harmonisk, men vil representere en kompleks oscillerende prosess. For at den resulterende oscillasjonen skal være harmonisk, må frekvensene til de tilførte oscillasjonene være de samme

og den resulterende oscillasjonen skjer med samme frekvens

.

Av konstruksjonen er det tydelig at

La oss analysere uttrykk (2.14.2) for amplituden til den resulterende oscillasjonen. Hvis faseforskjellen til de tilførte oscillasjonene er null(svingninger er i fase), amplituden er lik summen av amplitudene til de tilførte oscillasjonene, dvs. har størst mulig verdi . Hvis faseforskjellen er(oscillasjoner er i motfase), da den resulterende amplituden er lik forskjellen i amplitude, dvs. har minst mulig verdi .

Tilsetning av innbyrdes vinkelrette vibrasjoner.

La partikkelen utføre to harmoniske oscillasjoner med samme frekvens: en langs retningen, som vi betegner X, den andre - i vinkelrett retning y. I dette tilfellet vil partikkelen bevege seg langs en viss generell sak, krumlinjet bane, hvis form avhenger av forskjellen i fasene til oscillasjonene.

La oss velge begynnelsen av tidstellingen slik at startfasen av en svingning er lik null:

. (2.14.3)

For å oppnå partikkelbaneligningen, er det nødvendig å ekskludere fra (2.14.3) t. Fra den første ligningen, a. Midler, . La oss omskrive den andre ligningen

eller

.

Ved å overføre det første leddet fra høyre side av ligningen til venstre, kvadrere den resulterende ligningen og utføre transformasjoner, får vi

. (2.14.4)

Denne ligningen er ligningen til en ellipse hvis akser er rotert i forhold til aksene X Og y i en eller annen vinkel. Men i noen spesielle tilfeller oppnås enklere resultater.

1. Faseforskjellen er null. Så fra (2.14.4) får vi

eller . (2.14.5)

Dette er ligningen til en rett linje (Fig. 2.14.3). Dermed oscillerer partikkelen langs denne rette linjen med en frekvens og amplitude lik .

La oss velge aksen. Fra punkt O, tatt på denne aksen, plotter vi en vektor med lengde , og danner en vinkel med aksen. Hvis vi bringer denne vektoren i rotasjon med vinkelhastighet, vil projeksjonen av enden av vektoren på aksen endres over tid i henhold til loven . Følgelig vil projeksjonen av enden av vektoren på aksen utføre harmoniske oscillasjoner med en amplitude lik lengden av vektoren; med en sirkulær frekvens lik vinkelhastigheten for rotasjon, og med en startfase lik vinkelen som dannes av vektoren med aksen X i det første øyeblikket.

Et vektordiagram gjør det mulig å redusere tillegget av oscillasjoner til en geometrisk summering av vektorer. Vurder tillegget av to harmoniske oscillasjoner i samme retning og samme frekvens, som har følgende form:

La oss representere begge oscillasjonene ved hjelp av vektorer og (fig. 7.5). La oss konstruere den resulterende vektoren ved å bruke regelen for vektoraddisjon. Det er lett å se at projeksjonen av denne vektoren på aksen er lik summen av projeksjonene av termene til vektorene. Derfor representerer vektoren den resulterende vibrasjonen. Denne vektoren roterer med samme vinkelhastighet som vektorene, slik at den resulterende bevegelsen vil være en harmonisk oscillasjon med frekvens, amplitude og startfase. I følge cosinussetningen vil kvadratet på amplituden til den resulterende oscillasjonen være lik

Så representasjonen av harmoniske oscillasjoner ved hjelp av vektorer gjør det mulig å redusere tillegget av flere oscillasjoner til driften av å legge til vektorer. Formlene (7.3) og (7.4) kan selvfølgelig fås ved å legge til uttrykkene for og analytisk, men vektordiagrammetoden er mer enkel og oversiktlig.

DEMPEDE OSCILLASJONER

I ethvert ekte oscillerende system er det motstandskrefter, hvis virkning fører til en reduksjon i systemets energi. Hvis tapet av energi ikke fylles opp av arbeidet med ytre krefter, vil svingningene dø ut. I det enkleste, og samtidig mest vanlige tilfellet, er motstandskraften proporsjonal med hastigheten:

,

Hvor r– en konstant verdi kalt motstandskoeffisienten. Minustegnet skyldes at kraft og hastighet har motsatte retninger; derfor deres projeksjoner på aksen X ha forskjellige tegn. Ligningen til Newtons andre lov i nærvær av motstandskrefter har formen:

.

Ved å bruke notasjonen , , skriver vi om bevegelsesligningen som følger:

.

Denne ligningen beskriver falmer systemoscillasjoner. Koeffisienten kalles dempningskoeffisienten.

En eksperimentell graf over dempede oscillasjoner ved en lav dempningskoeffisient er presentert i fig. 7.6. Fra fig. 7.6 kan du se at avhengighetsgrafen ser ut som en cosinus multiplisert med en funksjon som avtar med tiden. Denne funksjonen er representert i figuren med stiplede linjer. En enkel funksjon som oppfører seg på lignende måte er eksponentialfunksjonen. Derfor kan løsningen skrives som:

,

hvor er frekvensen av dempede svingninger.

Omfanget x går periodisk gjennom null og når et maksimum og minimum et uendelig antall ganger. Tidsintervallet mellom to påfølgende passasjer gjennom null er lik . Dens doble verdi kalles periode med svingninger.

Multiplikator vendt periodisk funksjon, kalt amplitude av dempede oscillasjoner. Den avtar eksponentielt med tiden. Forfallshastigheten bestemmes av . Tiden etter hvilken amplituden til oscillasjonene avtar med en faktor kalles dempingstid. I løpet av denne tiden svinger systemet. Dempingen av oscillasjoner er vanligvis karakterisert logaritmisk dempingsreduksjon. Logaritmisk dekrement demping er logaritmen av forholdet mellom amplituder i øyeblikkene av påfølgende passasjer av en oscillerende mengde gjennom et maksimum eller minimum:

.

Det er relatert til antall oscillasjoner ved forholdet:

Mengden kalles kvalitetsfaktoren til det oscillerende systemet. Jo høyere kvalitetsfaktor større antall Systemet klarer å svinge før amplituden minker med en faktor.

Konstanter og, som i tilfellet med harmoniske svingninger, kan bestemmes fra startbetingelsene.

TVUNGTE VIBRASJONER

Oscillasjoner som oppstår under påvirkning av en ekstern periodisk kraft kalles tvunget. En ytre kraft gjør positivt arbeid og gir en energistrøm til det oscillerende systemet. Den tillater ikke vibrasjoner å dø ut, til tross for påvirkning av motstandskrefter.

En periodisk ytre kraft kan endres over tid i henhold til ulike lover. Av spesiell interesse er tilfellet når en ytre kraft, som varierer i henhold til en harmonisk lov med en frekvens ω, virker på et oscillerende system som er i stand til å utføre sine egne svingninger ved en viss frekvens ω 0. For eksempel, hvis du trekker en last suspendert på en fjær med en frekvens, vil den utføre harmoniske oscillasjoner med en frekvens ekstern kraft, selv om denne frekvensen ikke sammenfaller med fjærens naturlige frekvens.

La en periodisk ytre kraft virke på systemet. I dette tilfellet kan vi få følgende ligning som beskriver bevegelsen til et slikt system:

,

(7.5)

Hvor . På tvungne vibrasjoner amplituden til oscillasjonene, og følgelig energien som overføres til svingesystemet, avhenger av forholdet mellom frekvenser og, så vel som av dempningskoeffisienten.

Etter begynnelsen av påvirkningen av en ytre kraft på svingesystemet, er en tid ωt nødvendig for etablering av tvungne svingninger. I det første øyeblikket er begge prosessene begeistret i det oscillerende systemet - tvangssvingninger ved frekvens ω og frie oscillasjoner ved egenfrekvens ω 0. Men frie vibrasjoner dempes på grunn av den uunngåelige tilstedeværelsen av friksjonskrefter. Derfor er det etter en tid bare stasjonære svingninger med frekvensen ω til den eksterne drivkraften igjen i svingesystemet. Settetiden er lik i størrelsesorden med henfallstiden ω frie vibrasjoner i et oscillerende system. Stadige tvangssvingninger av belastningen på fjæren oppstår i henhold til den harmoniske loven med en frekvens lik frekvensen ytre påvirkning. Det kan vises at i steady state er løsningen til ligning (7.6) skrevet som:

,

,
.

Således er tvungne vibrasjoner harmoniske vibrasjoner med en frekvens som er lik frekvensen til drivkraften. Amplituden til tvungne oscillasjoner er proporsjonal med amplituden til drivkraften. For et gitt oscillerende system (det vil si et system med visse verdier i) amplitude avhenger av frekvensen til drivkraften. Tvangssvingninger skiller seg i fase fra drivkraften. Faseforskyvningen avhenger av frekvensen til drivkraften.

RESONANS

Avhengigheten av amplituden til tvangssvingninger av frekvensen til drivkraften fører til det faktum at ved en viss frekvens bestemt for et gitt system, når amplituden til oscillasjonene maksimal verdi. Det oscillerende systemet viser seg å være spesielt følsomt for virkningen av drivkraften ved denne frekvensen. Dette fenomenet kalles resonans, og den tilsvarende frekvensen er resonansfrekvens. Grafisk er avhengigheten av amplituden x m av tvungne oscillasjoner av frekvensen ω til drivkraften beskrevet av en resonanskurve (fig. 7.9).

La oss studere oppførselen til amplituden til tvungne oscillasjoner avhengig av frekvens. Ved å forlate amplituden til drivkraften uendret, vil vi endre frekvensen. Når vi får statisk avvik under påvirkning av konstant kraft:

Når frekvensen øker, øker forskyvningsamplituden først også, passerer deretter gjennom et maksimum og til slutt tenderer asymptotisk til null. Fra fig. 7.9 er det også klart at jo mindre, jo høyere og til høyre ligger maksimum av denne kurven. I tillegg, jo mindre, jo mer amplituden nær resonans endres med frekvensen, jo skarpere er maksimum.

Resonansfenomenet kan forårsake ødeleggelse av broer, bygninger og andre strukturer hvis de naturlige frekvensene til svingningene deres faller sammen med frekvensen til en periodisk virkende ytre kraft. Fenomenet resonans må tas i betraktning ved utforming av maskiner og ulike typer konstruksjoner. Den naturlige frekvensen til disse enhetene bør ikke i noe tilfelle være nær frekvensen av mulig ytre påvirkning.

Eksempler

I januar 1905 Den egyptiske broen kollapset i St. Petersburg. De skyldige var 9 forbipasserende, 2 drosjesjåfører og den 3. skvadronen til Peterhof Horse Guards Regiment. Følgende skjedde. Alle soldatene gikk rytmisk langs broen. Som et resultat begynte broen å svaie og svinge. Ved en tilfeldighet falt den naturlige vibrasjonsfrekvensen til broen sammen med trinnfrekvensen til soldatene. Det rytmiske trinnet i formasjonen ga mer og mer energi til broen. Som et resultat av resonansen svaiet broen så mye at den kollapset. Hvis det ikke hadde vært resonans av broens naturlige vibrasjonsfrekvens med soldatenes skrittfrekvens, ville ingenting ha skjedd med broen. Derfor, når soldater passerer over svake broer, er det vanlig å gi kommandoen "slå ned beinet ditt."

Det sies at den store tenoren Enrico Caruso kunne få en glassbeger til å knuses ved å synge en tone på riktig tonehøyde med full stemme. I dette tilfellet forårsaker lyden tvungne vibrasjoner av glassets vegger. Under resonans kan vibrasjonene i veggene nå en slik amplitude at glasset knekker.

Utføre eksperimenter

Gå til et strengeinstrument og rop "a" høyt: en av strengene vil reagere og høres. Den som er i resonans med frekvensen til denne lyden vil vibrere sterkere enn de andre strengene - den vil reagere på lyden.

Strekk et tynt tau horisontalt. Fest en pendel laget av tråd og plasticine til den. Kast en annen lignende pendel over tauet, men med en lengre tråd. Lengden på opphenget til denne pendelen kan endres ved å trekke i den frie enden av tråden med hånden. Ta med denne pendelen til oscillerende bevegelse. I dette tilfellet vil den første pendelen også begynne å svinge, men med en mindre amplitude. Uten å stoppe svingningene til den andre pendelen, reduser lengden på dens suspensjon gradvis - amplituden til svingningene til den første pendelen vil øke. I dette eksperimentet illustrerer resonans mekaniske vibrasjoner, er den første pendelen en mottaker av oscillasjoner eksitert av den andre pendelen. Årsaken til at den første pendelen svinger er periodiske svingninger tau med en frekvens lik svingefrekvensen til den andre pendelen. De tvungne oscillasjonene til den første pendelen vil kun ha maksimal amplitude når dens egenfrekvens faller sammen med oscillasjonsfrekvensen til den andre pendelen.

SELVSVINGELSER

Det er mange og varierte kreasjoner av menneskehender der selvsvingninger oppstår og brukes. For det første er disse forskjellige musikkinstrumenter. Allerede i antikken - horn og horn, rør, fløyter, primitive fløyter. Senere - fioliner, der friksjonskraften mellom baugen og strengen brukes til å begeistre lyd; en rekke blåseinstrumenter; harmonier der lyden produseres av metallrør som vibrerer under påvirkning av en konstant luftstrøm; organer fra hvis rør de bryter gjennom smale hull resonerende luftsøyler.

Ris. 7.12

Det er velkjent at glidfriksjonskraften er praktisk talt uavhengig av hastighet. Det er imidlertid nettopp på grunn av friksjonskraftens svært svake avhengighet av hastighet at en fiolinstreng lyder. Utseende av høy kvalitet Avhengigheten av friksjonskraften til baugen på strengen er vist i fig. 7.12. På grunn av kraften fra statisk friksjon, fanges strengen av baugen og forskyves fra sin likevektsposisjon. Når den elastiske kraften overstiger friksjonskraften, vil strengen løsrive seg fra baugen og skynde seg til likevektsposisjonen med stadig økende hastighet. Hastigheten på strengen i forhold til den bevegelige baugen vil øke, friksjonskraften vil øke og vil i et visst øyeblikk bli tilstrekkelig til å gripe strengen. Deretter vil prosessen gjentas igjen. Dermed vil en bue som beveger seg med konstant hastighet forårsake udempede vibrasjoner av strengen.

I buestrengeinstrumenter opprettholdes selvsvingninger av friksjonskraften som virker mellom baugen og strengen, og i blåseinstrumenter opprettholder blåsing av en luftstrøm selvsvingninger av luftsøylen i instrumentrøret.

Mer enn hundre greske og latinske dokumenter fra forskjellige tider nevner sangen av den berømte "Kolossen av Memnon" - en majestetisk klingende statue av en av faraoene som hersket på 1300-tallet f.Kr., installert nær den egyptiske byen Luxor. Høyden på statuen er omtrent 20 meter, dens vekt når tusen tonn. I nedre del av kolossen ble det oppdaget en rekke sprekker og hull med kameraer plassert bak. kompleks form. The Colossus of Memnon er et gigantisk orgel som lyder under påvirkning av naturlige luftstrømmer. Statuen imiterer en menneskelig stemme.

Naturlige selvsvingninger av noe eksotisk karakter er syngende sand. Tilbake på 1300-tallet flott reisende Marco Polo snakket om de "klingende breddene" til den mystiske innsjøen Lop Nor i Asia. I løpet av seks århundrer har syngende sand blitt oppdaget forskjellige steder på alle kontinenter. I de fleste tilfeller forårsaker de frykt blant lokalbefolkningen og er gjenstand for legender og tradisjoner. Jack London beskriver møtet med den syngende sanden til karakterene i romanen "Hearts of Three", som dro med en guide på jakt etter skattene til de gamle mayaene.

"Når gudene ler, pass på!" – ropte den gamle mannen advarende. Han tegnet en sirkel i sanden med fingeren, og mens han tegnet hylte og hylte sanden; så knelte den gamle ned, sanden brølte og blåste i trompet.»

Det er syngende sand og til og med et helt syngende sandfjell nær Ili-elven i Kasakhstan. Mount Kalkan, et gigantisk naturlig orgel, steg nesten 300 meter. Folk kaller det annerledes: "syngende sanddyne", "syngende fjell". Den er laget av lys sand, og på bakgrunn av de mørke sporene til Dzhungar Alatau fra Big and Small Kalkans gir den et ekstraordinært syn på grunn av fargekontrasten. Når det er vind og selv når en person stiger ned fra det, lager fjellet melodiøse lyder. Etter regn og i rolige perioder er fjellet stille. Turister elsker å besøke Singing Dune og, etter å ha besteget en av de tre toppene, beundre panoramaet av Ili og Trans-Ili Alatau-ryggen. Hvis fjellet er stille, får ivrige besøkende det til å «synge». For å gjøre dette må du raskt løpe langs skråningen av fjellet, sandstrømmer vil løpe fra under føttene dine, og en summing vil oppstå fra dypet av sanddynene.

Mange århundrer har gått siden oppdagelsen av den syngende sanden, og ingen tilfredsstillende forklaring på dette fantastiske fenomenet har blitt gitt. I i fjor Engelske akustikere, så vel som den sovjetiske vitenskapsmannen V.I., begynte å jobbe. Arabaji. Arabaji foreslo at det lydavgivende øvre laget av sand beveger seg under en slags konstant forstyrrelse langs et nedre, hardere lag med en bølget overflateprofil. På grunn av friksjonskrefter under gjensidig bevegelse av lagene, blir lyd begeistret.

Tvangssvingninger er udempede svingninger. De uunngåelige tapene av energi på grunn av friksjon under tvungne vibrasjoner kompenseres ved tilførsel av energi fra ekstern kilde jevne mellomrom handlekraft. Det er systemer der udempede oscillasjoner ikke oppstår på grunn av periodiske ytre påvirkninger, men som et resultat av slike systemers evne til å regulere tilførselen av energi fra en konstant kilde. Slike systemer kalles selvsvingende, og prosessen kontinuerlige svingninger i slike systemer - selvsvingninger . Skjematisk kan et selvsvingende system representeres som en energikilde, en oscillator med demping, og en tilbakemeldingsanordning mellom oscillerende systemet og kilden (Fig. 7.10).

Ethvert oscillerende system kan brukes mekanisk system, i stand til å utføre sine egne dempede svingninger (for eksempel en pendel veggur). Energikilden kan være en deformert fjær eller en belastning i et gravitasjonsfelt. En tilbakemeldingsenhet er en mekanisme som et selvoscillerende system regulerer strømmen av energi fra en kilde.

Et eksempel på et mekanisk selvoscillerende system er en klokkemekanisme med ankerslag (fig. 7.11). I en klokke med ankerbevegelse er løpehjulet med skrå tenner stivt festet til en tanntrommel, gjennom hvilken en kjetting med en vekt kastes. I den øvre enden av pendelen er det et anker med to plater av hardt materiale, bøyd langs en sirkelbue med senter på pendelens akse. I håndklokker erstattes vekten med en fjær, og pendelen erstattes av en balanserer koblet til en spiralfjær. Balanseren utfører torsjonsvibrasjoner rundt sin akse. Det oscillerende systemet i en klokke er en pendel eller en balanserer, energikilden er en hevet vekt eller en sårfjær. Enheten som brukes til å gi tilbakemelding, er et anker, som gjør at løpehjulet kan snu en tann i en halv syklus. Tilbakemelding utføres ved samspillet mellom ankeret og løpehjulet. Med hver oscillasjon av pendelen skyver en tann på løpehjulet ankergaffelen i pendelens bevegelsesretning, og overfører til den en viss del av energien, som kompenserer for energitap på grunn av friksjon. Dermed, potensiell energi Vekten (eller vridd fjær) overføres gradvis, i separate deler, til pendelen.

I hverdagen Vi, kanskje uten å merke det selv, møter oftere selvsvingninger enn svingninger forårsaket av periodiske krefter. Selvsvingninger omgir oss overalt i naturen og teknologien: dampmaskiner, motorer intern forbrenning, elektriske klokker, klokker, klingende fiolinstreng eller orgelpipe, bankende hjerte, stemmebåndene når de snakker eller synger, utfører alle disse systemene selvsvingninger.

Prøv det!

Ris. 7.13

Oscillerende bevegelse studeres vanligvis ved å vurdere oppførselen til en slags pendel: vår, matematisk eller fysisk. De representerer alle faste stoffer. Det er mulig å lage en enhet som demonstrerer vibrasjonene til væske- eller gasslegemer. For å gjøre dette, bruk ideen som ligger i utformingen av vannklokken. To en og en halv liter plast flasker koblet på samme måte som i en vannklokke, feste lokkene. Hulrommene i flaskene er forbundet med et glassrør 15 centimeter langt, indre diameter 4-5 millimeter. Sideveggene på flaskene skal være glatte og ikke-stive, lett sammenkrøllet når de klemmes (se fig. 7.13).

For å starte svingninger plasseres en flaske vann på toppen. Vann fra det begynner umiddelbart å strømme gjennom røret inn i den nedre flasken. Etter omtrent et sekund slutter strømmen spontant å strømme og gir etter for en passasje i røret for motforplantning av en del luft fra den nedre flasken til den øvre. Rekkefølgen som motstrømmer av vann og luft passerer gjennom koblingsrøret bestemmes av forskjellen i trykk i de øvre og nedre flaskene og justeres automatisk.

Trykksvingninger i systemet er bevist av oppførselen til sideveggene til den øvre flasken, som med jevne mellomrom komprimeres og utvides i tid med frigjøring av vann og inntak av luft. Fordi det

BØLGEFORMASJON

Hvordan forplanter vibrasjonen seg? Er det nødvendig med et medium for å overføre vibrasjoner eller kan de overføres uten det? Hvordan når lyden fra en klingende stemmegaffel lytteren? Hvordan forårsaker en raskt vekselstrøm i en radiosenderantenne at det oppstår strøm i mottakerantennen? Hvordan når lys fra fjerne stjerner øynene våre? For å vurdere denne typen fenomener er det nødvendig å introdusere en ny fysisk konsept- vinke. Bølgeprosesser representerer generell klasse fenomener, til tross for deres forskjellige natur.

Kilder til bølger, det være seg havets bølger, bølger i en snor, jordskjelvbølger eller lydbølger i luften er det vibrasjoner. Prosessen med forplantning av vibrasjoner i rommet kalles en bølge. For eksempel, når det gjelder lyd, utføres den oscillerende bevegelsen ikke bare av lydkilden (streng, stemmegaffel), men også av mottakeren av lyden - trommehinnen i øret eller membranen til mikrofonen. Selve mediet som bølgen forplanter seg gjennom, vibrerer også.

Bølgeprosessen er forårsaket av tilstedeværelsen av forbindelser mellom individuelle deler av systemet, avhengig av hvilken vi har en elastisk bølge av en eller annen art. En prosess som skjer i en hvilken som helst del av rommet forårsaker endringer i nabopunktene til systemet, og overfører en viss mengde energi til dem. Fra disse punktene går forstyrrelsen til de som er ved siden av dem og så videre, sprer seg fra punkt til punkt, det vil si skaper en bølge.

Elastiske krefter som virker mellom elementene i ethvert fast stoff, væske eller gassformig kropp, føre til fremveksten elastiske bølger. Et eksempel på elastiske bølger er en bølge som forplanter seg langs en snor. Hvis du beveger hånden opp og ned for å stimulere vibrasjoner i enden av ledningen, vil de tilstøtende delene av ledningen, på grunn av handlingen elastiske krefter forbindelsene vil også begynne å bevege seg, og en bølge vil forplante seg langs ledningen. Felleseie bølger er at de kan forplante seg over lange avstander, og partiklene i mediet vibrerer bare i et begrenset område av rommet. Partikler av mediet som bølgen forplanter seg i, blir ikke medført av bølgen bevegelse fremover, svinger de bare rundt sine likevektsposisjoner. Avhengig av vibrasjonsretningen til partiklene i mediet i forhold til bølgens utbredelsesretning, skilles langsgående og tverrgående bølger. I en langsgående bølge svinger partikler av mediet langs bølgens forplantningsretning; i tverrgående - vinkelrett på retningen for bølgeutbredelse. Elastiske tverrbølger kan bare oppstå i et medium som har skjærmotstand. Derfor kan kun langsgående bølger oppstå i flytende og gassformige medier. I et fast medium kan det oppstå både langsgående og tverrgående bølger.

I fig. Figur 8.1 viser partiklers bevegelse når en tverrbølge forplanter seg gjennom et medium og partiklers plassering i bølgen ved fire faste tidspunkter. Tallene 1, 2 osv. Det er betegnet partikler som er atskilt fra hverandre av avstanden som bølgen har tilbakelagt i en fjerdedel av perioden med svingninger utført av partiklene. I tidspunktet tatt som null, nådde bølgen, som forplantet seg langs aksen fra venstre mot høyre, partikkelen 1 , som et resultat av at partikkelen begynte å skifte oppover fra likevektsposisjonen, og dra de følgende partikler med seg. Etter kvart av perioden partikkelen 1 når den høyeste posisjonen; samtidig begynner partikkelen å skifte fra sin likevektsposisjon 2 . Etter ytterligere en fjerdedel av perioden vil den første partikkelen passere likevektsposisjonen, bevege seg i en nedadgående retning, den andre partikkelen vil nå den ekstreme øvre posisjonen, og den tredje partikkelen vil begynne å bevege seg oppover fra likevektsposisjonen. På et tidspunkt lik vil den første partikkelen fullføre hele svingningen og vil være i samme bevegelsestilstand som i det første øyeblikket. Bølgen vil nå partikkelen i tidsøyeblikket 5 .

I fig. 8.2 viser bevegelsen av partikler ved forplantning i et medium langsgående bølge. Alle argumenter angående oppførselen til partikler i en tverrbølge kan også brukes på denne saken med forskyvninger opp og ned erstattet av forskyvninger til høyre og venstre. Fra fig. 8.2 kan det sees at når en langsgående bølge forplanter seg i et medium, dannes vekslende konsentrasjoner og sjeldenheter av partikler som beveger seg i retning av bølgeutbredelse med en hastighet .

Organer som påvirker mediet og forårsaker vibrasjoner, kalles bølgekilder. Utbredelsen av elastiske bølger er ikke assosiert med overføring av materie, men bølgene overfører energi, som leveres av kilden til oscillasjoner til bølgeprosessen.

Geometrisk sted Punktene som forstyrrelsene når til på et gitt tidspunkt kalles bølgefronten. Det vil si at bølgefronten er overflaten som skiller den delen av rommet som allerede er involvert i bølgeprosessen fra området som forstyrrelsene ennå ikke har nådd.

Den geometriske plasseringen av punkter som svinger i de samme fasene kalles en bølgeoverflate. Bølgeoverflaten kan trekkes gjennom et hvilket som helst punkt i rommet som dekkes av bølgeprosessen. Bølgeoverflater kan ha hvilken som helst form. I de enkleste tilfellene har de formen av et fly eller en kule. Følgelig kalles bølgen i disse tilfellene plan eller sfærisk. I en plan bølge er bølgeflatene et sett med plan parallelle med hverandre; V sfærisk bølge– mange konsentriske sfærer.

Avstanden som en bølge forplanter seg over i en tid som er lik svingeperioden for partiklene i mediet kalles bølgelengden. Det er åpenbart at hvor er hastigheten på bølgeutbredelsen.

I fig. 8.3, laget ved hjelp av datagrafikk, viser en modell av forplantningen av en tverrbølge på vann fra en punktkilde. Hver partikkel utfører harmoniske svingninger rundt sin likevektsposisjon.

Ris. 8.3. Utbredelse av en tverrbølge fra en punktkilde for oscillasjoner

©2015-2019 nettsted
Alle rettigheter tilhører deres forfattere. Dette nettstedet krever ikke forfatterskap, men tilbyr gratis bruk.
Opprettelsesdato for side: 2016-02-16

Tillegget av flere svingninger i samme retning (eller, som er det samme, tillegg av flere harmoniske funksjoner) er mye lettere og blir tydelig hvis svingningene er avbildet grafisk som vektorer på et plan.

La oss ta en akse, som vi vil betegne som "x". Fra punkt O, tatt på aksen, i en vinkel a lik startfasen av svingninger, plotter vi en vektor med lengde A (fig. 8.3). La oss projisere vektor A på x-aksen, vi får x 0 =A cos a er den innledende forskyvningen av svingepunktet fra likevektsposisjonen. La oss rotere denne vektoren mot klokken med vinkelhastighet w 0 . Posisjonen til denne vektoren til enhver tid vil være preget av vinkler lik:

w 0 t 1 +a; w 0 t2 +a; w 0 t3 +a; etc.

Og projeksjonen av denne vektoren vil bevege seg langs "x"-aksen i området fra –A til +A. Dessuten vil koordinaten til denne fremskrivningen endres over tid i henhold til loven:

.

Følgelig vil projeksjonen av enden av vektoren på en vilkårlig akse utføre en harmonisk oscillasjon med en amplitude lik lengden av vektoren, en sirkulær frekvens lik vinkelhastigheten til vektorens rotasjon, og en startfase lik vektorens vinkelhastighet. vinkelen som dannes av vektoren med aksen i det første øyeblikket.

Så en harmonisk oscillasjon kan spesifiseres ved hjelp av en vektor, hvis lengde er lik amplituden til oscillasjonen, og retningen til vektoren danner en vinkel med "x"-aksen lik startfasen av oscillasjonen.

La oss vurdere tillegget av to harmoniske oscillasjoner i samme retning og samme frekvens. Forskyvningen av det oscillerende legemet "x" vil være summen av forskyvningene x 1 og x 2, som vil bli skrevet som følger:

La oss representere både oscillasjoner ved hjelp av vektorer og (Fig. 8.4) Ved å bruke reglene for å legge til vektorer, konstruerer vi den resulterende vektoren. Projeksjonen av denne vektoren på X-aksen vil være lik summen av projeksjonene til summandvektorene: x=x 1 +x 2. Derfor representerer vektoren den resulterende vibrasjonen. Denne vektoren roterer med samme vinkelhastighet w 0 som vektorene og , så den resulterende bevegelsen vil være en harmonisk oscillasjon c med frekvens w 0 , amplitude "a" og startfase a. Av konstruksjonen følger det at

Så representasjonen av harmoniske oscillasjoner ved hjelp av vektorer gjør det mulig å redusere tillegget av flere oscillasjoner til driften av å legge til vektorer. Denne metoden er mer enkel og oversiktlig enn å bruke trigonometriske transformasjoner.

La oss analysere uttrykket for amplitude. Hvis faseforskjellen til begge oscillasjonene a 2 - a 1 = 0, er amplituden til den resulterende oscillasjonen lik summen ( EN 2 + EN 1). Hvis faseforskjellen a 2 - a 1 = +p eller -p, dvs. svingningene er i motfase, da er amplituden til den resulterende oscillasjonen lik .

Hvis vibrasjonsfrekvensene x 1 og x 2 ikke er like, vil vektorene og rotere med forskjellige hastigheter. I dette tilfellet pulserer den resulterende vektoren i størrelse og roterer med variabel hastighet. Derfor vil den resulterende bevegelsen være i dette tilfellet Ikke bare en harmonisk svingning, men en kompleks oscillerende prosess.