Formler for hastigheten (akselerasjonen) til punktene til en stiv kropp, uttrykt gjennom hastigheten (akselerasjonen) til stangen og vinkelhastigheten (akselerasjonen). Utledningen av disse formlene er fra prinsippet om at avstandene mellom alle punkter på kroppen under bevegelsen forblir konstante.

Innhold

Grunnleggende formler

Hastigheten og akselerasjonen til et punkt i et stivt legeme med en radiusvektor bestemmes av formlene:
;
.
hvor er vinkelhastigheten for rotasjon, er vinkelakselerasjonen. De er like for alle punkter på kroppen og kan endres med tiden t.
og - hastighet og akselerasjon av et vilkårlig valgt punkt A med radiusvektor.
Dette punktet kalles ofte en stolpe.

Her og nedenfor betyr produkter av vektorer i firkantede parenteser vektorprodukter.

Utledning av formelen for hastighet La oss velge et rektangulært fast koordinatsystem Oxyz. La oss ta to vilkårlige punkter av en stiv kropp A og B. La(x A , y A , z A )
, .

Og (x B , y B , z B )- koordinater til disse punktene. Når en stiv kropp beveger seg, er de funksjoner av tid t.
.
Deres derivater med hensyn til tid t er projeksjoner av punkthastighetene:

La oss dra nytte av det faktum at når en stiv kropp beveger seg, avstanden 2 .
(1)

| AB|
,
.
mellom punktene forblir konstant, dvs. endres ikke med tiden t. (1) Konstant er også kvadratet på avstanden
(2) .
La oss differensiere denne ligningen med hensyn til tid t, ved å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon.
(3) .
La oss forkorte det med (2) .
La oss introdusere vektorer (3) Så ligningen
(4) ,

kan representeres som et skalarprodukt av vektorer: (4) :
;
;
.
Det følger at vektoren er vinkelrett på vektoren.

.
La oss bruke egenskapen til et vektorprodukt. Da kan det representeres som:
(5) .

hvor er en eller annen vektor som vi introduserer bare slik at betingelsen blir automatisk oppfylt (5) La oss skrive det ned
,
i formen: (4) La oss nå studere egenskapene til vektoren.
(6) .

For å gjøre dette lager vi en ligning som ikke inneholder hastighetene til punktene. La oss ta tre vilkårlige punkter av en stiv kropp A, B og C. La oss vurdere ligning (5) fra et matematisk synspunkt. Hvis vi skriver denne vektorligningen i form av komponenter på koordinataksene x, y, z, så vil vektorligningen (5) er et lineært system som består av 3 likninger med 9 variabler:
ω BAx , ω BAy , ω BAz , ω CBx , ω CBy , ω CBz ,ω ACx , ω ACy , ω ACz .
Hvis likningene til systemet (5) er lineært uavhengige, så inneholder deres generelle løsning 9 - 3 = 6 vilkårlige konstanter. Derfor har vi ikke funnet alle løsninger. Det er noen andre. For å finne dem legger vi merke til at løsningen vi fant helt bestemmer hastighetsvektoren. Derfor bør ikke tilleggsløsninger føre til hastighetsendring. Merk at vektorproduktet av to like vektorer er lik null. Så, hvis du er i (6) legg til et ledd proporsjonalt med vektoren, så vil ikke hastigheten endre seg:


.

Deretter den generelle løsningen av systemet (5) har formen:
;
;
,
hvor C BA, C CB, C AC er konstanter.

Vi skriver det ut generell løsning av systemet (5) eksplisitt.
ω BAx = ω x + C BA (xB - xA)
ω BAy = ω y + C BA (y B - y A)
ω BAz = ω z + C BA (zB - zA)
ω CBx = ω x + C CB (x C - x B)
ω CBy = ω y + C CB (y C - y B)
ω CBz = ω z + C CB (zC - zB)
ω ACx = ω x + C AC (x A - x C)
ω ACy = ω y + C AC (y A - y C )
ω ACz = ω z + C AC (zA - zC)
Denne løsningen inneholder 6 vilkårlige konstanter:
ω x , ω y , ω z , C BA , C CB , C AC.
Som det skal være. Dermed har vi funnet alle vilkårene for den generelle løsningen av systemet (5) .

Fysisk betydning av vektoren ω

Som allerede angitt, påvirker ikke medlemmer av skjemaet verdiene til punkthastigheter. Derfor kan de utelates. Da er hastighetene til punktene til det stive legemet relatert av forholdet:
(6) .

Dette er vinkelhastighetsvektoren til det stive legemet

La oss finne ut den fysiske betydningen av vektoren .
For å gjøre dette, la oss sette v A = 0 . 0 Dette kan alltid gjøres hvis du velger et referansesystem som på det aktuelle tidspunktet beveger seg i forhold til det stasjonære systemet med en hastighet . (6) La oss plassere opprinnelsen til referansesystemet O ved punkt A.
.
Så er r A =
.
Og formelen vil ta formen:,
Z-aksen til koordinatsystemet er rettet langs vektoren.
I henhold til egenskapen til vektorproduktet er hastighetsvektoren vinkelrett på vektorene og .

Det vil si at den er parallell med xy-planet.
Hastighetsvektormodul:
v B = ω r B
sin θ = ω |HB| hvor θ er vinkelen mellom vektorene og,.

Hastigheten til stive kroppspunkter

Så vi fant ut at hastigheten til et vilkårlig punkt B i et stivt legeme bestemmes av formelen:
(6) .
Det er lik summen av to ledd. Punkt A kalles ofte stang. Et fast punkt eller et punkt som beveger seg med kjent hastighet velges vanligvis som en stang. Det andre leddet representerer rotasjonshastigheten til punktene på kroppen i forhold til polen A.

Siden punkt B er et vilkårlig punkt, så i formelen (6) du kan gjøre en erstatning. Da bestemmes hastigheten til et punkt i et stivt legeme med en radiusvektor av formelen:
.
Hastigheten til et vilkårlig punkt i et stivt legeme er lik summen av hastigheten på translasjonsbevegelsen til pol A og hastigheten på rotasjonsbevegelsen i forhold til pol A.

Akselerasjon av stive kroppspunkter

La oss nå utlede en formel for akselerasjonen av punktene til en stiv kropp. Akselerasjon er den deriverte av hastighet i forhold til tid. Differensiere formelen for hastighet
,
bruk av reglene for å skille sum og produkt:
.
Skriv inn akselerasjonen til punkt A
;
og vinkelakselerasjon av kroppen
.
Deretter legger vi merke til det
.
Da
.
Eller
.

Det vil si at akselerasjonsvektoren til punktene til et stivt legeme kan representeres som en sum av tre vektorer:
,
Hvor
- akselerasjon av et vilkårlig valgt punkt, som ofte kalles stang;
- rotasjonsakselerasjon;
- rask akselerasjon.

Hvis vinkelhastigheten bare endres i størrelse og ikke endres i retning, er vektorene for vinkelhastighet og akselerasjon rettet langs den samme rette linjen. Så retningen rotasjonsakselerasjon faller sammen med eller motsatt av retningen til punktets hastighet. Hvis vinkelhastigheten endres i retning, kan rotasjonsakselerasjonen og hastigheten ha forskjellige retninger.

Rask akselerasjon alltid rettet mot den momentane rotasjonsaksen slik at den skjærer den i rett vinkel.

La oss introdusere en enhetsvektor τ knyttet til det bevegelige punktet A og rettet tangentielt til banen i retning av økende buekoordinat (fig. 1.6). Det er åpenbart at τ er en variabel vektor: den avhenger av l. Hastighetsvektoren v til punkt A er rettet tangentielt til banen, så den kan representeres som følger

hvor v τ =dl/dt er projeksjonen av vektoren v på retningen til vektoren τ, og v τ er en algebraisk størrelse. I tillegg er |v τ |=|v|=v.

Punktakselerasjon

La oss skille (1.22) med hensyn til tid

(1.23)

La oss transformere den siste termen i dette uttrykket

(1.24)

La oss bestemme inkrementet til vektoren τ med dl (fig. 1.7).

Som man kan se av fig. 1,7, vinkel , hvorfra og kl .

Ved å introdusere en enhetsvektor n av normalen til banen i punkt 1, rettet mot krumningssenteret, skriver vi den siste likheten i vektorform

La oss erstatte (1.23) i (1.24) og det resulterende uttrykket i (1.22). Som et resultat vil vi finne

(1.26)

Her kalles det første leddet tangentiell a τ , andre - normal en n.

Dermed kan den totale akselerasjonen a av et punkt representeres som den geometriske summen av tangentiell og normal akselerasjon.

Fullpunktsakselerasjonsmodul

(1.27)

Den er rettet mot konkaviteten til banen i en vinkel α til hastighetsvektoren, og .

Hvis vinkelen α er spiss, så er tanα>0, derfor dv/dt>0, siden v 2 /R>0 alltid er.

I dette tilfellet øker størrelsen på hastigheten over tid - bevegelsen kalles akselerert(Fig. 1.8).

I tilfellet når hastigheten avtar i størrelse over tid, kalles bevegelsen langsom(Fig. 1.9).

Hvis vinkelen α=90°, tanα=∞, det vil si dv/dt=0. I dette tilfellet endres ikke hastigheten i størrelse over tid, og den totale akselerasjonen vil være lik sentripetalen

(1.28)

Spesielt er den totale akselerasjonen av jevn rotasjonsbevegelse (R=const, v=const) en sentripetalakselerasjon, lik verdi med a n =v 2 /R og hele tiden rettet mot sentrum.

I lineær bevegelse, tvert imot, er kroppens totale akselerasjon lik den tangentielle. I dette tilfellet er a n =0, siden en rettlinjet bane kan betraktes som en sirkel med uendelig stor radius, og med R→∞; v2/R=0; a n = 0; a=a τ .

La bevegelsen til punktet M spesifiseres på en vektor måte, det vil si at radiusvektoren til punktet er spesifisert som en funksjon av tiden

Linjen beskrevet ved slutten av en variabel vektor, hvis begynnelse er ved et gitt fast punkt, kalles hodografen til denne vektoren. Fra dette og fra definisjonen av en bane følger regelen: banen til et punkt er hodografen til dets radiusvektor.

La på et tidspunkt t punktet innta en posisjon M og ha en radiusvektor, og i det øyeblikket - en posisjon og en radiusvektor (fig. 78).

En vektor som forbinder påfølgende posisjoner av et punkt med spesifiserte

øyeblikk, kalles vektoren for bevegelse av et punkt over tid. Forskyvningsvektoren uttrykkes som følger gjennom verdiene til vektorfunksjonen (5):

Hvis forskyvningsvektoren deles på verdien av gapet, får vi vektoren for gjennomsnittshastigheten til punktet over tid

Vi vil nå redusere gapet og rette det til null. Grensen som gjennomsnittshastighetsvektoren tenderer til når intervallet avtar i det uendelige kalles hastigheten til punktet på tidspunkt t eller ganske enkelt hastigheten til punkt 0. I samsvar med det som er sagt, for hastigheten får vi:

Så, hastighetsvektoren til et punkt er lik den tidsderiverte av radiusvektoren:

Siden sekanten i grensen (at ) blir til en tangent, kommer vi til den konklusjon at hastighetsvektoren er rettet tangent til banen i retning av punktets bevegelse.

I det generelle tilfellet er hastigheten til et punkt også variabel, og man kan være interessert i hastigheten for endring av hastighet. Hastigheten for endring av hastighet kalles akselerasjonen til et punkt.

For å bestemme akselerasjonen a velger vi et fast punkt A og plotter hastighetsvektoren fra det til forskjellige tider.

Linjen som enden N av hastighetsvektoren beskriver er en hastighetshodograf (fig. 79). Endringen i hastighetsvektoren kommer til uttrykk i det faktum at det geometriske punktet N beveger seg langs hastighetshodografen, og hastigheten på denne bevegelsen tjener per definisjon som akselerasjonen til punktet M.

1. Metoder for å spesifisere bevegelsen til et punkt i et gitt referansesystem

Hovedmålene med punktkinematikk er:

1. Beskrivelse av metoder for å spesifisere bevegelsen til et punkt.

2. Bestemmelse av de kinematiske egenskapene til bevegelsen til et punkt (hastighet, akselerasjon) i henhold til en gitt bevegelseslov.

Mekanisk bevegelse − endring i posisjon av en kropp i forhold til en annen (referanseinstans) som koordinatsystemet ringte med referansesystem .

Det geometriske stedet for suksessive posisjoner til et bevegelig punkt i referanserammen som vurderes kalles bane poeng.

Sett bevegelse − er å tilveiebringe en metode der man kan bestemme posisjonen til et punkt til enhver tid i forhold til et valgt referansesystem. De viktigste måtene å spesifisere bevegelsen til et punkt inkluderer:

vektor, koordinat og naturlig .

1.Vektormetode for å spesifisere bevegelse (Fig. 1).

Posisjonen til punktet bestemmes av radiusvektoren trukket fra det faste punktet knyttet til referanselegemet: − vektorligning for bevegelse av punktet.

2. Koordinere metode for å spesifisere bevegelse (Fig. 2).

I dette tilfellet spesifiseres koordinatene til punktet som en funksjon av tiden:

- bevegelsesligninger for et punkt i koordinatform.

Dette er parametriske ligninger for banen til et bevegelig punkt, der tiden spiller rollen som en parameter. For å skrive ligningen i eksplisitt form, må vi ekskludere . Når det gjelder en romlig bane, unntatt , får vi:

Ved flat bane

unntatt , får vi:

Eller .

3. Den naturlige måten å definere bevegelse på (Fig. 3).

I dette tilfellet, sett:

1) banen til et punkt,

2) opprinnelsen til banen,

3) positiv referanseretning,

4) lov om endring av buekoordinat: .

Denne metoden er praktisk å bruke når banen til et punkt er kjent på forhånd.

2. Hastighet og akselerasjon av et punkt

Vurder bevegelsen av et punkt over en kort periode(Fig. 4):

Deretter er gjennomsnittshastigheten til et punkt over en tidsperiode.

Hastigheten til et punkt på et gitt tidspunkt er funnet som grensen for gjennomsnittshastigheten ved :

Punkthastighet − dette er det kinematiske målet for dens bevegelse, lik tidsderiverte av radiusvektoren til dette punktet i referanserammen som vurderes.

Hastighetsvektoren er rettet tangentielt til punktets bane i bevegelsesretningen.

Gjennomsnittlig akselerasjon karakteriserer endringen i hastighetsvektoren over en kort tidsperiode(Fig. 5).

Akselerasjonen til et punkt på et gitt tidspunkt er funnet som grensen for gjennomsnittlig akselerasjon ved :

Punktakselerasjon − dette er et mål på endringen i hastigheten, lik den deriverte i tid fra hastigheten til dette punktet eller den andre deriverte av radiusvektoren til punktet i tid .

Akselerasjonen til et punkt karakteriserer endringen i hastighetsvektoren i størrelse og retning. Akselerasjonsvektoren er rettet mot konkaviteten til banen.

3. Bestemmelse av hastigheten og akselerasjonen til et punkt ved å bruke koordinatmetoden for å spesifisere bevegelse

Sammenhengen mellom vektormetoden for å spesifisere bevegelse og koordinatmetoden er gitt av relasjonen

(Fig. 6).

Fra definisjonen av hastighet:

Projeksjoner av hastighet på koordinataksene er lik de deriverte av de tilsvarende koordinatene med hensyn til tid

, , . .

Hastighetens størrelse og retning bestemmes av uttrykkene:

Prikken over her og fremover angir differensiering med hensyn til tid

Fra definisjonen av akselerasjon:

Akselerasjonsprojeksjoner på koordinataksene er lik de andre deriverte av de tilsvarende koordinatene med hensyn til tid:

, , .

Modulen og akselerasjonsretningen bestemmes av uttrykkene:

, , .

4 Hastighet og akselerasjon av et punkt ved å bruke den naturlige metoden for å spesifisere bevegelse

4.1 Naturakser.

Bestemme hastigheten og akselerasjonen til et punkt ved å bruke den naturlige metoden for å spesifisere bevegelse

Naturlige akser (tangens, hovednormal, binormal) er aksene til et bevegelig rektangulært koordinatsystem med origo i et bevegelig punkt. Deres posisjon bestemmes av bevegelsesbanen. Tangenten (med en enhetsvektor) rettes langs tangenten i positiv retning av buekoordinatreferansen og finnes som grenseposisjonen til sekanten som går gjennom et gitt punkt (fig. 9). Tangentplanet går gjennom tangenten (fig. 10), som er plassert som grenseposisjonen til planet s som punkt M1 har en tendens til punkt M. Normalplanet er vinkelrett på tangenten. Skjæringslinjen mellom de normale og oskulerende planene er hovednormalen. Enhetsvektoren til hovednormalen er rettet mot konkaviteten til banen. Den binormale (med enhetsvektoren) er rettet vinkelrett på tangenten og hovednormalen slik at vektorene , og danner en høyrehendt trippel av vektorer. Koordinatplanene til det innførte bevegelige koordinatsystemet (sammenhengende, normalt og liktende) danner et naturlig trihedron, som beveger seg sammen med det bevegelige punktet, som en stiv kropp. Dens bevegelse i rommet bestemmes av banen og endringsloven i buekoordinaten.

Fra definisjonen av punkthastighet

hvor , er enhetstangensvektoren.

Da

, .

Algebraisk hastighet − projeksjon av hastighetsvektoren på tangenten, lik den deriverte av buekoordinaten i forhold til tid. Hvis den deriverte er positiv, beveger punktet seg i positiv retning av buekoordinaten.

Fra definisjonen av akselerasjon

− vektorvariabel i retning og

Den deriverte bestemmes bare av typen bane i nærheten av et gitt punkt, og, med tanke på rotasjonsvinkelen til tangenten, har vi , hvor er enhetsvektoren til hovednormalen, er kurvaturen til banen , og er krumningsradiusen til banen ved et gitt punkt.

La oss finne hvordan hastigheten og akselerasjonen til et punkt beregnes hvis bevegelsen er gitt av ligningene (3) eller (4). Spørsmålet om å fastsette bane i denne saken er allerede omtalt i § 37.

Formlene (8) og (10), som bestemmer verdiene til v og a, inneholder tidsderivatene til vektorene . I likheter som inneholder deriverte av vektorer, utføres overgangen til avhengigheter mellom projeksjoner ved å bruke følgende teorem: projeksjonen av den deriverte av en vektor på en akse fiksert i et gitt referansesystem er lik den deriverte av projeksjonen av den differensierbare vektoren på samme akse, dvs.

1. Bestemme hastigheten til et punkt. Hastighetsvektor for et punkt Herfra, basert på formler (I), tatt i betraktning at vi finner:

hvor prikken over bokstaven er et symbol for differensiering med hensyn til tid. Dermed er projeksjonene av punktets hastighet på koordinataksene lik de første deriverte av de tilsvarende koordinatene til punktet med hensyn til tid.

Når vi kjenner projeksjonene av hastighet, vil vi finne dens størrelse og retning (dvs. vinklene som vektoren v danner med koordinataksene) ved å bruke formlene

2. Bestemmelse av akselerasjonen til et punkt. Akselerasjonsvektor for et punkt Herfra, basert på formler (11), får vi:

dvs. projeksjonene av akselerasjonen til et punkt på koordinataksene er lik de første deriverte av hastighetsprojeksjonene eller de andre deriverte av de tilsvarende koordinatene til punktet med hensyn til tid. Størrelsen og retningen på akselerasjonen kan finnes fra formlene

hvor er vinklene som dannes av akselerasjonsvektoren med koordinataksene.

Så hvis bevegelsen til et punkt er gitt i kartesiske rektangulære koordinater ved likninger (3) eller (4), så bestemmes hastigheten til punktet av formlene (12) og (13), og akselerasjonen av formlene (14) og (15). Dessuten, i tilfelle bevegelse skjer i ett plan, bør projeksjonen på aksen forkastes i alle formler