Komplekse eksponentielle ulikheter og måter å løse dem på. Løse eksponentielle ligninger og ulikheter

Eksponentielle ligninger og ulikheter er de ligningene og ulikhetene der det ukjente er inneholdt i eksponenten.

Løsningen av eksponentielle ligninger kommer ofte ned til å løse ligningen a x \u003d a b, der a > 0, a ≠ 1, x er en ukjent. Denne ligningen har en enkelt rot x \u003d b, siden følgende teorem er sant:

Teorem. Hvis a > 0, a ≠ 1 og a x 1 = a x 2, så er x 1 = x 2.

La oss begrunne den vurderte påstanden.

Anta at likheten x 1 = x 2 ikke er oppfylt, dvs. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, så øker eksponentialfunksjonen y \u003d a x og derfor ulikheten a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >en x 2. I begge tilfeller fikk vi en motsetning til betingelsen a x 1 = a x 2 .

La oss vurdere flere oppgaver.

Løs ligningen 4 ∙ 2 x = 1.

Beslutning.

Vi skriver ligningen på formen 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2.

Svar. x = -2.

Løs ligning 2 3x ∙ 3 x = 576.

Beslutning.

Siden 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, kan ligningen skrives i formen 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 eller i formen 24 x \u003d 24 2.

Herfra får vi x = 2.

Svar. x = 2.

Løs ligningen 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25.

Beslutning.

Hvis vi setter inn fellesfaktoren 3 x - 2 på venstre side, får vi 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25,

hvorav 3 x - 2 = 1, dvs. x - 2 = 0, x = 2.

Svar. x = 2.

Løs ligningen 3 x = 7 x.

Beslutning.

Siden 7 x ≠ 0, kan ligningen skrives som 3 x / 7 x = 1, derav (3/7) x = 1, x = 0.

Svar. x = 0.

Løs ligningen 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0.

Beslutning.

Bytte ut 3 x = a gitt ligning reduserer til en andregradsligning a 2 - 4a - 45 = 0.

Ved å løse denne ligningen finner vi røttene: a 1 \u003d 9, og 2 \u003d -5, hvorfra 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5.

Ligningen 3 x \u003d 9 har en rot 2, og ligningen 3 x \u003d -5 har ingen røtter, siden eksponentialfunksjonen ikke kan ta negative verdier.

Svar. x = 2.

Beslutning eksponentielle ulikheter kommer ofte ned på å løse ulikhetene a x > a b eller a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания eksponentiell funksjon.

La oss vurdere noen oppgaver.

Løs de 3 x ulikhetene< 81.

Beslutning.

Vi skriver ulikheten på formen 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, så øker funksjonen y \u003d 3 x.

Derfor, for x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Altså for x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Svar. X< 4.

Løs ulikheten 16 x +4 x - 2 > 0.

Beslutning.

Angi 4 x = t, så får vi den kvadratiske ulikheten t2 + t - 2 > 0.

Denne ulikheten gjelder for t< -2 и при t > 1.

Siden t = 4 x, får vi to ulikheter 4 x< -2, 4 х > 1.

Den første ulikheten har ingen løsning, siden 4 x > 0 for alle x ∈ R.

Vi skriver den andre ulikheten på formen 4 x > 4 0 , derfra x > 0.

Svar. x > 0.

Løs grafisk ligningen (1/3) x = x - 2/3.

Beslutning.

1) La oss plotte grafene til funksjonene y \u003d (1/3) x og y \u003d x - 2/3.

2) Basert på figuren vår kan vi konkludere med at grafene til de betraktede funksjonene skjærer hverandre i et punkt med abscissen x ≈ 1. Verifikasjon beviser at

x \u003d 1 - roten til denne ligningen:

(1/3) 1 = 1/3 og 1 - 2/3 = 1/3.

Vi har med andre ord funnet en av røttene til ligningen.

3) Finn andre røtter eller bevis at det ikke finnes noen. Funksjonen (1/3) x er avtagende, og funksjonen y \u003d x - 2/3 øker. Derfor, for x > 1, er verdiene til den første funksjonen mindre enn 1/3, og den andre er større enn 1/3; på x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 og x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Svar. x = 1.

Merk at fra løsningen av dette problemet, spesielt, følger det at ulikheten (1/3) x > x – 2/3 er tilfredsstilt for x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

På denne leksjonen vi skal vurdere ulike eksponentielle ulikheter og lære å løse dem, basert på metoden for å løse de enkleste eksponentielle ulikhetene

1. Definisjon og egenskaper til eksponentialfunksjonen

Husk definisjonen og grunnleggende egenskaper eksponentiell funksjon. Det er på egenskapene løsningen av alle eksponentielle ligninger og ulikheter er basert.

Eksponentiell funksjon er en funksjon av formen , der basen er graden og Her er x en uavhengig variabel, et argument; y - avhengig variabel, funksjon.

Ris. 1. Graf over eksponentialfunksjonen

Grafen viser en økende og avtagende eksponent, som illustrerer eksponentialfunksjonen ved en base større enn én og mindre enn én, men større enn null, henholdsvis.

Begge kurvene går gjennom punktet (0;1)

Egenskaper til eksponentialfunksjonen:

Domene: ;

Verdiområde: ;

Funksjonen er monoton, øker som , avtar som .

En monoton funksjon tar hver av sine verdier med en enkelt verdi av argumentet.

Når, når argumentet øker fra minus til pluss uendelig, øker funksjonen fra null, ikke inkluderende, til pluss uendelig, dvs. for gitte verdier av argumentet, har vi en monotont økende funksjon (). Når tvert imot, når argumentet øker fra minus til pluss uendelig, reduseres funksjonen fra uendelig til null, inklusive, dvs. for gitte verdier av argumentet, har vi en monotont avtagende funksjon ().

2. De enkleste eksponentielle ulikhetene, løsningsteknikk, eksempel

Basert på det foregående presenterer vi en metode for å løse de enkleste eksponentielle ulikhetene:

Metode for å løse ulikheter:

Utligne grunnene til gradene;

Sammenlign indikatorer ved å lagre eller endre til motsatt tegn ulikheter.

Løsningen av komplekse eksponentielle ulikheter består som regel i at de reduseres til de enkleste eksponentielle ulikhetene.

Grunnlaget for graden er større enn én, noe som betyr at ulikhetstegnet er bevart:

La oss transformere høyre side i henhold til gradens egenskaper:

Grunnlaget for graden er mindre enn én, ulikhetstegnet må reverseres:

For løsninger kvadratisk ulikhet bestemme passende kvadratisk ligning:

Ved Vietas teorem finner vi røttene:

Parabolens grener er rettet oppover.

Dermed har vi en løsning på ulikheten:

Det er lett å gjette at høyresiden kan representeres som en potens med null eksponent:

Grunnlaget for graden er større enn én, ulikhetstegnet endres ikke, vi får:

Husk prosedyren for å løse slike ulikheter.

Tenk på en rasjonell brøkfunksjon:

Finne definisjonsdomenet:

Vi finner røttene til funksjonen:

Funksjonen har en enkelt rot,

Vi skiller ut intervaller for tegnkonstans og bestemmer funksjonens tegn på hvert intervall:

Ris. 2. Intervaller for tegnkonstans

Så vi fikk svaret.

Svar:

3. Løsning av typiske eksponentielle ulikheter

Tenk på ulikheter med de samme eksponentene, men forskjellige baser.

En av egenskapene til en eksponentiell funksjon er at for alle verdier av argumentet, tar det strengt tatt positive verdier, som betyr at den kan deles inn i en eksponentiell funksjon. La oss dele den gitte ulikheten på høyre side:

Grunnlaget for graden er større enn én, ulikhetstegnet er bevart.

La oss illustrere løsningen:

Figur 6.3 viser grafene til funksjonene og . Selvfølgelig, når argumentet Over null, grafen til funksjonen er høyere, denne funksjonen er større. Når verdiene til argumentet er negative, går funksjonen under, den er mindre. Når verdien av argumentet til funksjonen er lik, da gitt poeng er også en løsning på den gitte ulikheten.

Ris. 3. Illustrasjon for eksempel 4

Vi transformerer den gitte ulikheten i henhold til egenskapene til graden:

Her er lignende medlemmer:

La oss dele begge deler inn i:

Nå fortsetter vi å løse på samme måte som eksempel 4, vi deler begge deler med:

Grunnlaget for graden er større enn én, ulikhetstegnet er bevart:

4. Grafisk løsning av eksponentielle ulikheter

Eksempel 6 - løs ulikheten grafisk:

Vurder funksjonene på venstre og høyre side og plott hver av dem.

Funksjonen er en eksponent, den øker over hele definisjonsdomenet, det vil si for alle reelle verdier av argumentet.

Funksjonen er lineær og avtar over hele definisjonsdomenet, det vil si for alle reelle verdier av argumentet.

Hvis disse funksjonene krysser hverandre, det vil si at systemet har en løsning, så er en slik løsning unik og kan lett gjettes. For å gjøre dette, iterer over heltall ()

Det er lett å se at roten til dette systemet er:

Dermed skjærer funksjonsgrafene i et punkt med et argument lik én.

Nå må vi få svar. Betydningen av den gitte ulikheten er at eksponenten må være større enn eller lik lineær funksjon, det vil si være høyere enn eller sammenfalle med den. Svaret er åpenbart: (Figur 6.4)

Ris. 4. Illustrasjon for eksempel 6

Så vi har vurdert løsningen av forskjellige typiske eksponentielle ulikheter. Deretter går vi til vurderingen av mer komplekse eksponentielle ulikheter.

Bibliografi

Mordkovich A. G. Algebra og begynnelse matematisk analyse. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse. - M.: Bustard. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse. - M.: Opplysning.

Matte. md . Matematikk-repetisjon. com. Diffur. kemsu. ru.

Hjemmelekser

1. Algebra og begynnelsen av analyse, karakterer 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nr. 472, 473;

2. Løs ulikheten:

3. Løs ulikheten.

og x = b er den enkleste eksponentiell ligning. I han en større enn null og en er ikke lik en.

Løsning av eksponentialligninger

Fra egenskapene til eksponentialfunksjonen vet vi at dens verdiområde er begrenset til positiv reelle tall. Så hvis b = 0, har ligningen ingen løsninger. Den samme situasjonen finner sted i ligningen hvor b

La oss nå anta at b>0. Hvis i en eksponentiell funksjon basen en større enn én, vil funksjonen øke over hele definisjonsdomenet. Hvis i eksponentialfunksjonen for basen en utført neste tilstand 0

Basert på dette og ved å bruke rotsetningen, får vi at likningen a x = b har én enkelt rot, for b>0 og positiv en ikke lik en. For å finne den må du representere b på formen b = a c .
Da er det åpenbart at med vil være en løsning på ligningen a x = a c .

Tenk på følgende eksempel: løs ligning 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25.

La oss representere 25 som 5 2, vi får:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

Eller hva som tilsvarer:

x 2 - 2*x - 1 = 2.

Vi løser den resulterende kvadratiske ligningen med en av de kjente måter. Vi får to røtter x = 3 og x = -1.

Svar: 3;-1.

La oss løse ligningen 4 x - 5*2 x + 4 = 0. La oss lage en erstatning: t=2 x og få følgende andregradsligning:

t 2 - 5*t + 4 = 0.
Vi løser denne ligningen ved hjelp av en av de kjente metodene. Vi får røttene t1 = 1 t2 = 4

Nå løser vi ligningene 2 x = 1 og 2 x = 4.

Svar: 0;2.

Løse eksponentielle ulikheter

Løsningen av de enkleste eksponentielle ulikhetene er også basert på egenskapene til økende og minkende funksjoner. Hvis basen a i en eksponentiell funksjon er større enn én, vil funksjonen øke over hele definisjonsdomenet. Hvis i eksponentialfunksjonen for basen en følgende betingelse er oppfylt 0, så vil denne funksjonen avta på hele settet med reelle tall.

Tenk på et eksempel: løs ulikheten (0,5) (7 - 3*x)< 4.

Merk at 4 = (0,5) 2 . Deretter tar ulikheten formen (0,5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Vi får: 7 - 3*x>-2.

Herfra: x<3.

Svar: x<3.

Hvis basen i ulikhet var større enn én, ville ikke ulikhetstegnet trenge å endres når basen ble kvitt.