Sammensatt interesse for eksamensoppgaver.

Løse problemer i matematikk om anvendelse av grunnleggende begreper av interesse.

Oppgaver med prosenter læres å løse fra 5. trinn.

Å løse problemer av denne typen er nært knyttet til tre algoritmer:

1. finne en prosentandel av et tall
2. finne et tall etter prosentandelen,
3. finne en prosentandel.

I leksjonene med elevene forstår de at en hundredel av en meter er en centimeter, en hundredel av en rubel er en krone, en hundredel av en centner er en kilo. Folk har lenge lagt merke til at hundredeler av verdier er praktiske i praktiske aktiviteter. Derfor ble det laget et spesielt navn for dem - prosentandel.

Så én krone er én prosent av én rubel, og én centimeter er én prosent av én meter.

Én prosent er en hundredel av et tall. Matematiske tegnÉn prosent skrives slik: 1%.

Definisjonen av én prosent kan skrives som: 1% \u003d 0,01. EN

5 %=0,05, 23 %=0,23, 130 %=1,3 osv.

Hvordan finne 1 % av et tall?

Siden 1 % er en hundredel, må du dele tallet på 100. Å dele på 100 kan erstattes ved å multiplisere med 0,01. Derfor, for å finne 1 % av et gitt tall, må du gange det med 0,01. Og hvis du trenger å finne 5 % av tallet, multipliser gitt nummer med 0,05 osv.

Eksempel. Finn: 25 % av 120.

1. 25% = 0,25;
2. 120 . 0,25 = 30.

Regel 1. For å finne et gitt antall prosenter av et tall, må du skrive ned prosentene desimal, og gang deretter tallet med den desimalen.

Eksempel. Turneren snudde 40 deler på en time. Ved å bruke en kutter laget av sterkere stål begynte han å snu 10 deler til i timen. Hvor mange prosent økte arbeidsproduktiviteten?

For å løse dette problemet må vi finne ut hvor mange prosent som er 10 deler fra 40. For å gjøre dette finner vi først hvilken del som er tallet 10 fra tallet 40. Vi vet at vi må dele 10 på 40. Det snur ut 0,25. La oss nå skrive det ned som en prosentandel - 25%.

Svar: Turner-produktiviteten økte med 25 %.

Regel 2. For å finne hvor mange prosent ett tall er fra et annet, må du dele det første tallet på det andre og skrive den resulterende brøken i prosent.

Eksempel. Med et planlagt mål på 60 kjøretøy per dag, produserte anlegget 66 kjøretøy. Hvor mange prosent oppfylte anlegget planen?

66: 60 \u003d 1.1 - denne delen består av produserte biler fra antall biler i henhold til planen. La oss skrive i prosent = 110%.

Svar: 110%.

Eksempel. Bronse er en legering av tinn og kobber. Hvor mange prosent av legeringen er kobber i et stykke bronse, bestående av 6 kg tinn og 34 kg kobber?

1. 6+ 34 \u003d 40 (kg) - massen av hele legeringen.
2. 34: 40 = 0,85 = 85 (%) - legeringen er kobber.

Svar: 85 %.

Eksempel. Elefantungen mistet 20 % om våren, gikk så opp 30 % om sommeren, mistet igjen 20 % om høsten og gikk opp 10 % om vinteren. Har vekten hans holdt seg den samme i år? Hvis endret, med hvilken prosentandel og i hvilken retning?

1. 100 - 20 = 80 (%) - etter våren.
2. 80 + 80 . 0,3 = 104 (%) - etter sommeren.
3. 104-104. 0,2 = 83,2 (%) - etter høst.
4. 83,2 + 83,2. 0,1 = 91,52 (%) - etter vinter.

Svar: gikk ned i vekt med 8,48 %.

Eksempel. Vi la til lagring 20 kg stikkelsbær, hvor bærene inneholder 99% vann. Vanninnholdet i bærene har gått ned til 98 %. Hvor mange stikkelsbær blir resultatet?

1. 100 - 99 \u003d 1 (%) \u003d 0,01 - andelen tørrstoff i stikkelsbær først.
2. 20. 0,01 \u003d 0,2 (kg) - tørrstoff.
3. 100 - 98 \u003d 2 (%) \u003d 0,02 - andelen tørrstoff i stikkelsbær etter lagring.
4. 0,2: 0,02 \u003d 10 (kg) - stikkelsbær ble.

Svar: 10 kg.

Eksempel. Hva skjer med prisen på et produkt hvis den først økes med 25 % og deretter senkes med 25 %?

La prisen på produktet være x rubler, så etter økningen koster produktet 125% av forrige pris, dvs. 1,25x, og etter en nedgang på 25 % er verdien 75 % eller 0,75 av den økte prisen, dvs.

0,75 ,1,25x = 0,9375x,

da gikk prisen på varene ned med 6,25 %.

x - 0,9375x = 0,0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%

Svar: Den opprinnelige prisen på produktet har gått ned med 6,25 %.

Regel 3. Å finne prosentdel to tall A og B, må du multiplisere forholdet mellom disse tallene med 100%, det vil si beregne (A:B). 100 %.

Eksempel. Finn et tall hvis 15 % av det er 30.

1. 15% = 0,15;
2. 30: 0,15 = 200.

x er et gitt tall;
0,15. x = 300;
x = 200.

Svar: 200.

Eksempel. Rå bomull produserer 24 % fiber. Hvor mye rå bomull bør tas for å få 480 kg fiber?

La oss skrive 24 % som en desimalbrøk av 0,24 og få problemet med å finne et tall fra dens kjente del (brøk).
480: 0,24= 2000 kg = 2 t

Svar: 2 t.

Eksempel. Hvor mange kg steinsopp må høstes for å få 1 kg tørket sopp hvis 50 % av massen gjenstår under bearbeiding av fersk sopp, og 10 % av massen av bearbeidet sopp blir igjen under tørking?

1 kg tørket sopp er 10 % eller 0,01 del av bearbeidet, dvs.
1 kg: 0,1=10 kg bearbeidet sopp, som er 50 % eller 0,5 av høstet sopp, dvs.
10 kg: 0,05=20 kg.

Svar: 20 kg.

Eksempel. Fersk sopp inneholdt 90 vekt% vann, og tørr 12%. Hvor mange tørre sopp får man fra 22 kg ferske?

1. 22. 0,1 = 2,2 (kg) - sopp i vekt i fersk sopp; (0,1 er 10 % tørrstoff);
2. 2.2: 0.88 \u003d 2.5 (kg) - tørr sopp hentet fra fersk (mengden tørrstoff har ikke endret seg, men den har endret seg prosentdel i sopp og nå er 2,2 kg 88 % eller 0,88 tørr sopp).

Svar: 2,5 kg.

Regel 4. For å finne et tall gitt prosentene, må du uttrykke prosentene som en brøk, og deretter dele prosentverdien med denne brøken.

I oppgaver for bankberegninger finner man vanligvis enkel og renters rente. Hva er forskjellen mellom enkel og sammensatt rentevekst? Ved enkel vekst beregnes prosenten hver gang ut fra Opprinnelig verdi, og med kompleks vekst beregnes den fra forrige verdi. Med enkel vekst er 100 % startbeløpet, og med kompleks vekst er 100 % nytt hver gang og lik den forrige verdien.

Eksempel. Banken betaler en inntekt på 4 % per måned fra innskuddsbeløpet. 300 tusen rubler ble satt inn på kontoen, inntektene påløper hver måned. Beregn verdien av bidraget etter 3 måneder.

1. 100 + 4 = 104 (%) = 1,04 - andelen av økningen i innskuddet sammenlignet med forrige måned.
2. 300 . 1,04 \u003d 312 (tusen rubler) - beløpet på bidraget etter 1 måned.
3. 312 . 1,04 \u003d 324,48 (tusen rubler) - beløpet på bidraget etter 2 måneder.
4. 324,48. 1,04 = 337,4592 (tusen r) = 337 459,2 (r) - verdien av bidraget etter 3 måneder.

Eller du kan erstatte avsnitt 2-4 med ett, og gjenta konseptet med grad med barna: 300.1.043 \u003d 337.4592 (tusen rubler) \u003d 337,459,2 (r) - størrelsen på bidraget etter 3 måneder.

Svar: 337 459,2 rubler

Eksempel. Vasya leste i avisen at de siste 3 månedene har matvareprisene økt med gjennomsnittlig 10 % per måned. Hvor mange prosent økte prisene på 3 måneder?

Eksempel. Penger investert i aksjer i et velkjent selskap bringer inn 20% av inntekten årlig. Om hvor mange år vil investeringen dobles?

La oss vurdere en lignende oppgaveplan ved å bruke spesifikke eksempler.

Eksempel. (Alternativ 1 nr. 16. OGE-2016. Matematikk. Typiske testoppgaver_red. Yashchenko_2016 -80-tallet)

Sportsbutikken kjører kampanje. Enhver jumper koster 400 rubler. Ved kjøp av to gensere - 75% rabatt på den andre genseren. Hvor mange rubler må jeg betale for kjøp av to jumpere i kampanjeperioden?

I henhold til tilstanden til problemet, viser det seg at den første jumperen kjøpes for 100% av den opprinnelige kostnaden, og den andre for 100 - 75 = 25 (%), dvs. totalt må kjøper betale 100 + 25 = 125 (%) av opprinnelig kostnad. Løsningen kan da vurderes på tre måter.

1 vei.

Vi aksepterer 400 rubler som 100%. Da inneholder 1 % 400: 100 = 4 (rubler) og 125 %
4. 125 = 500 (rubler)

2-veis.

En prosentandel av et tall finner du ved å multiplisere tallet med brøken som tilsvarer prosenten, eller ved å multiplisere tallet med den gitte prosenten og dele på 100.
400 . 1,25 = 500 eller 400. 125/100 = 500.

3 veis.

Bruk av proporsjonsegenskapen:
400 gni. - 100 %
x gni. - 125 %, vi får x \u003d 125. 400 / 100 = 500 (rubler)

Svar: 500 rubler.

Eksempel. (Alternativ 4 nr. 16. OGE-2016. Matematikk. Typiske testoppgaver_red. Yashchenko_2016 -80-tallet)

Gjennomsnittsvekten til gutter på samme alder som Gosha er 57 kg. Goshas vekt er 150 % av gjennomsnittsvekten. Hvor mange kilo veier Gosha?

På samme måte som eksemplet diskutert ovenfor, kan du lage en proporsjon:

57 kg - 100 %
x kg - 150%, vi får x \u003d 57. 150 / 100 = 85,5 (kg)

Svar: 85,5 kg.

Eksempel. (Alternativ 7 nr. 16. OGE-2016. Matematikk. Typiske testoppgaver_red. Yashchenko_2016 - 80-tallet)

Etter nedjusteringen av TV-en var den nye prisen 0,52 av den gamle. Med hvor mange prosent falt prisen som følge av prisnedgangen?

1 vei.

La oss først finne andelen av prisreduksjonen. Hvis den opprinnelige prisen tas som 1, så er 1 - 0,52 = 0,48 andelen av prisreduksjonen. Da får vi 0,48. 100 % = 48 %. De. Prisen falt med 48 % som følge av prisnedgangen.

2-veis.

Hvis startkostnaden tas som A, vil den nye prisen på TV-en etter nedjusteringen være 0,52A, dvs. den vil avta med A - 0,52A = 0,48A.

La oss lage en proporsjon:
A - 100 %
0,48A - x%, får vi x = 0,48A. 100 / A = 48 (%).

Svar: Prisen falt med 48 % som følge av prisnedgangen.

Eksempel. (Alternativ 9 nr. 16. OGE-2016. Matematikk. Typiske testoppgaver_red. Yashchenko_2016 - 80-tallet)

Produktet på salg ble redusert med 15%, mens det begynte å koste 680 rubler. Hvor mye kostet varen før salget?

Før prisnedgangen var produktet verdt 100 %. Prisen på produktet etter salget falt med 15%, dvs. ble 100 - 15 = 85 (%), i rubler er denne verdien lik 680 rubler.

1 vei.

680: 85 = 8 (rubler) - i 1 %
8 . 100 \u003d 800 (rubler) - kostnaden for varene før salget.

2-veis.

Dette er problemet med å finne et tall med prosentandelen, det løses ved å dele tallet med prosentandelen som tilsvarer det og ved å konvertere den resulterende brøken til en prosentandel, multiplisere med 100, eller ved å dividere med brøken oppnådd ved å konvertere fra prosenter .
680:85. 100 \u003d 800 (rubler) eller 680: 0,85 \u003d 800 (rubler)

3 veis.

Med proporsjoner:
680 gni. - 85 %
x gni. - 100 %, vi får x = 680. 100 / 85 = 800 (rubler)

Svar: 800 rubler kostet varene før salget.

Løse problemer for blandinger og legeringer, ved å bruke begrepene "prosent", "konsentrasjon", "% løsning".

Mest enkle oppgaver av denne typen er vist nedenfor.

Eksempel. Hvor mange kg salt i 10 kg saltvann hvis prosentandelen salt er 15 %.

10 . 0,15 = 1,5 (kg) salt.

Svar: 1,5 kg.

Prosentandelen av et stoff i en løsning (f.eks. 15 %), noen ganger referert til som en % løsning (f.eks. 15 % saltvannsløsning).

Eksempel. Legeringen inneholder 10 kg tinn og 15 kg sink. Hvor stor er prosentandelen tinn og sink i legeringen?

Prosentandelen av stoff i legeringen er delen som er vekten gitt stoff fra vekten av hele legeringen.

1. 10 + 15 = 25 (kg) - legering;
2. 10:25 100% = 40% - prosentandel av tinn i legeringen;
3. 15:25. 100% = 60% - prosentandel av sink i legeringen.

Svar: 40 %, 60 %.

I oppgaver av denne typen er begrepet "konsentrasjon" det viktigste. Hva er det?

Tenk for eksempel på en løsning av en syre i vann.

La karet inneholde 10 liter av en løsning, som består av 3 liter syre og 7 liter vann. Da er det relative (i forhold til hele volumet) syreinnholdet i løsningen likt. Dette tallet bestemmer konsentrasjonen av syren i løsningen. Noen ganger snakker de om prosentandelen syre i løsningen. I det gitte eksemplet vil prosentandelen være som følger: . Som du kan se er overgangen fra konsentrasjon til prosent og omvendt veldig enkel.

Så la en blanding av masse M inneholde noe stoff med masse m.

• konsentrasjonen av et gitt stoff i en blanding (legering) er en mengde;
• prosentandelen av et gitt stoff kalles c × 100 %;

Det følger av siste formel at for kjente konsentrasjoner av stoffet og total masse blanding (legering) massen til et gitt stoff bestemmes av formelen m=c×M.

Problemer med blandinger (legeringer) kan deles inn i to typer:

1. For eksempel er det gitt to blandinger (legeringer) med massene m1 og m2 og konsentrasjoner av et eller annet stoff i dem lik henholdsvis c1 og c2. Blandinger (legeringer) dreneres (smeltes). Det er nødvendig å bestemme massen av dette stoffet i en ny blanding (legering) og dens nye konsentrasjon. Det er klart at i den nye blandingen (legeringen) er massen til det gitte stoffet lik c1m1+c2m2, og konsentrasjonen.
2. Et visst volum av blandingen (legering) er gitt, og fra dette volumet begynner de å støpe (fjerne) en viss mengde av blandingen (legering), og deretter tilsette (legge til) samme eller en annen mengde av blandingen (legering) med samme konsentrasjon av dette stoffet eller med en annen konsentrasjon. Denne operasjonen utføres flere ganger.

Når du løser slike problemer, er det nødvendig å etablere kontroll over mengden av et gitt stoff og dets konsentrasjon ved hver ebbe, så vel som ved hver tilsetning av blandingen. Som et resultat av en slik kontroll får vi en løsningslikning. La oss vurdere spesifikke oppgaver.

Hvis konsentrasjonen av et stoff i en forbindelse er P%, betyr dette at massen til dette stoffet er P% av massen til hele forbindelsen.

Eksempel. Konsentrasjonen av sølv i en legering på 300 g er 87 %. Dette betyr at rent sølv i legeringen er 261 g.

300 . 0,87 = 261 (g).

I dette eksemplet er konsentrasjonen av et stoff uttrykt i prosent.

Forholdet mellom volumet av en ren komponent i løsning og det totale volumet av blandingen kalles den volumetriske konsentrasjonen av denne komponenten.

Summen av konsentrasjonene av alle komponentene som utgjør blandingen er 1.

Hvis prosentandelen av et stoff er kjent, blir konsentrasjonen funnet av formelen:
K \u003d P / 100 %,
hvor K er konsentrasjonen av stoffet;
P er prosentandelen av stoffet (i prosent).

Eksempel. (Alternativ 8 nr. 22. OGE-2016. Matematikk. Typiske prøveoppgaver_red. Yashchenko_2016 - 80-tallet)

Frisk frukt inneholder 75 % vann, mens tørket frukt inneholder 25 %. Hvor mye frisk frukt kreves for å tilberede 45 kg tørket frukt?

Hvis frisk frukt inneholder 75% vann, vil tørrstoffet være 100 - 75 = 25 (%), og tørket - 25%, da vil tørrstoffet i dem være 100 - 25 = 75 (%).

Når du løser et problem, kan du bruke tabellen:

Frisk frukt x 25 % = 0,25 0,25. X

Tørket frukt 45 75 % = 0,75 0,75. 45 = 33,75

Fordi massen av tørrstoff for fersk og tørket frukt endres ikke, vi får ligningen:

0,25. x = 33,75;
x = 33,75: 0,25;
x = 135 (kg) - frisk frukt kreves.

Svar: 135 kg.

Eksempel. (Alternativ 8 nr. 11. Unified State Examination-2016. Mathematics. Typical. Test. Tasks. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Blanding av 70% og 60% syreløsninger og tilsett 2 kg rent vann, mottok en 50 % syreløsning. Hvis det i stedet for 2 kg vann ble tilsatt 2 kg av en 90 % løsning av samme syre, ville man oppnå en 70 % løsning av syren. Hvor mange kilo av en 70 % løsning ble brukt til å lage blandingen?

Totalvekt, kg | Tørrstoffkonsentrasjon | Tørrstoffmasse
I x 70 % \u003d 0,7 0,7. X
II i 60 % = 0,6 0,6. på
vann 2 - -
I + II + vann x + y + 2 50% \u003d 0,5 0,5. (x + y + 2)
III 2 90 % = 0,9 0,9. 2 = 1,8
I + II + III x + y + 2 70% \u003d 0,7 0,7. (x + y + 2)

Ved å bruke den siste kolonnen fra tabellen vil vi komponere 2 ligninger:

0,7. x + 0,6. y = 0,5. (x + y + 2) og 0,7. x + 0,6. y + 1,8 = 0,7. (x + y + 2).

Ved å kombinere dem til et system, og løse det, får vi at x = 3 kg.

Svar: 3 kilo av en 70 % løsning ble brukt for å oppnå en blanding.

Eksempel. (Alternativ 2 nr. 11. Unified State Examination-2016. Mathematics. Typical. Test. Assignments. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Tre kilo kirsebær koster det samme som fem kilo kirsebær, og tre kilo kirsebær koster det samme som to kilo jordbær. Med hvor mange prosent er en kilo jordbær billigere enn en kilo kirsebær?

Fra den første setningen i oppgaven får vi følgende likheter:

3t = 5v,
3v = 2k.
Fra hvilket vi kan uttrykke: h \u003d 5v / 3, k \u003d 3v / 2.

Dermed kan du lage en proporsjon:
5v/3 - 100 %
3v / 2 - x%, vi får x \u003d (3. 100. c.3) / (2. 5. c), x \u003d 90% er kostnaden for et kilo jordbær fra kostnaden for et kilogram kirsebær.

Så med 100 - 90 = 10 (%) - en kilo jordbær er billigere enn en kilo kirsebær.

Svar: en kilo jordbær er 10 prosent billigere enn en kilo kirsebær.

Løse problemer for "sammensatt" rente, ved å bruke konseptet med en økning (reduksjon) koeffisient.

For å forstørre positivt tall Og med p prosent bør du multiplisere tallet A med økningsfaktoren K \u003d (1 + 0,01r).

For å redusere det positive tallet A med p prosent, multipliser tallet A med reduksjonsfaktoren K = (1 - 0,01p).

Eksempel. (Opsjon 29 nr. 22. OGE-2015. Matematikk. Type. eksamensmuligheter: 36 alternativer / utg. Yashchenko, 2015 - 224c)

Prisen på en vare ble redusert to ganger med samme prosentandel. Med hvor mange prosent falt prisen på varene hver gang hvis den opprinnelige kostnaden var 5000 rubler og den endelige kostnaden var 4050 rubler?

1 vei.

Fordi prisen på en vare sank med samme antall %, la oss betegne antall % som x. La prisen på produktet senkes med x% for første og andre gang, så etter den første reduksjonen har prisen på produktet blitt (100 - x)%.

La oss lage en proporsjon
5000 rubler. - 100 %
ved gni. - (100 - x) %, vi får y \u003d 5000. (100 - x) / 100 = 50 . (100 - x) rubler - kostnaden for varene etter den første reduksjonen.

La oss komponere ny andel allerede til ny pris:
50 . (100 - x) gni. - 100 %
z gni. - (100 - x)%, vi får z \u003d 50. (100 - x) (100 - x) / 100 = 0,5. (100 - x) 2 rubler - kostnaden for varene etter den andre reduksjonen.

Vi får ligningen 0,5. (100 - x) 2 \u003d 4050. Etter å ha løst det, får vi at x \u003d 10%.

2-veis.

Fordi prisen på en vare sank med samme antall %, la oss betegne antall % som x, x % = 0,01 x.

Ved å bruke konseptet med reduksjonsfaktoren får vi umiddelbart ligningen:
5000 . (1 - 0,01x) 2 = 4050.

Svar: prisen på varene gikk ned med 10 % hver gang.

Eksempel. (Alternativ 30 nr. 22. OGE-2015. Matematikk. Typiske eksamensmuligheter: 36 alternativer / redigert av Yashchenko, 2015 - 224c)

Prisen på en vare ble økt to ganger med samme prosentandel. Med hvor mange prosent økte prisen på varene hver gang hvis den opprinnelige kostnaden var 3000 rubler og den endelige kostnaden var 3630 rubler?

Fordi prisen på en vare økte med samme antall %, la oss betegne antall % med x, x % = 0,01 x.

Ved å bruke konseptet med forstørrelsesfaktoren får vi umiddelbart ligningen:
3000 . (1 + 0,01x) 2 = 3630.

Når vi løser det, får vi at x = 10%.

Svar: 10 % økning i vareprisen hver gang.

Eksempel. (Alternativ 4 nr. 11. Unified State Examination-2016. Mathematics. Typical. Test. Assignments. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Torsdag steg selskapets aksjer i kurs med et visst antall prosent, og fredag ​​falt de i kurs med like mange prosent. Som et resultat begynte de å koste 9% billigere enn ved åpningen av handelen på torsdag. Med hvor mange prosent steg selskapets aksjer i kurs torsdag?

La selskapets aksjer stige og falle i pris med x%, x% = 0,01 x, og startverdien på aksjene var A. Ved å bruke alle betingelsene for problemet får vi ligningen:

(1 + 0,01 x) (1 - 0,01 x) A \u003d (1 - 0,09) A,
1 - (0,01 x) 2 \u003d 0,91,
(0,01 x)2 = (0,3)2,
0,01 x \u003d 0,3,
x = 30 %.

Svar: Selskapets aksjer steg 30 prosent torsdag.

Løse "bankproblemer" i ny verson USE-2016 i matematikk.

Eksempel. (Alternativ 2 nr. 17. Unified State Exam-2016. Mathematics. 50 types. rev. ed. Yashchenko 2016)

15. januar er det planlagt å ta lån i banken i 15 måneder. Vilkårene for retur er som følger:

Det er kjent at den åttende betalingen utgjorde 108 tusen rubler. Hvor mye må tilbakebetales til banken i hele låneperioden?

Fra 2. til 14. betales A/15 +0,01A.

Etter det vil gjeldsbeløpet være 1,01A - A / 15 - 0,01A \u003d 14A / 15.

Etter 2 måneder får vi: 1,01. 14A/15.

Andre betaling A/15 + 0,01. 14A/15.

Da er gjelden etter andre betaling 13A/15.

På samme måte får vi at den åttende betalingen vil se slik ut:

A/15 + 0,01. 8A/15 = A/15. (1 + 0,08) = 1,08A / 15.

Og i henhold til tilstanden er det lik 108 tusen rubler. Så vi kan skrive og løse ligningen:

1.08A / 15 \u003d 108,

A=1500 (tusen rubler) - det opprinnelige gjeldsbeløpet.

2) For å finne beløpet som skal tilbakeføres til banken i hele låneperioden, må vi finne beløpet på alle innbetalinger på lånet.

Summen av alle betalinger på lånet vil se slik ut:

(A / 15 + 0.01A) + (A / 15 + 0.01. 14A / 15) + (A / 15 + 0.01. 13A / 15) + ... + (A / 15 + 0.01. A /15) \u003d A + 0,01A / 15 (15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) \u003d A + (0,01. 120A)/15 = 1,08 EN.

Altså 1.08. 1500 \u003d 1620 (tusen rubler) \u003d 1620000 rubler må returneres til banken under hele låneperioden.

Svar: 1620000 rubler.

Eksempel. (Alternativ 6 nr. 17. Unified State Exam-2016. Mathematics. 50 types. rev. ed. Yashchenko 2016)

15. januar er det planlagt å ta lån i banken i 24 måneder. Vilkårene for retur er som følger:

• Den 1. i hver måned øker gjelden med 1 % sammenlignet med slutten av forrige måned;
• fra 2. til 14. i hver måned skal en del av gjelden betales;
• Den 15. dagen i hver måned skal gjelden være samme beløp mindre enn gjelden den 15. dagen i forrige måned.

Det er kjent at for de første 12 månedene er det nødvendig å betale 177,75 tusen rubler til banken. Hvor mye har du tenkt å låne?

1) La A være lånebeløpet, 1 % = 0,01.

Deretter 1,01A gjeld etter første måned.

Fra 2. til 14. betales A/24 +0,01A.

Etter det vil gjeldsbeløpet være 1,01A - A / 24 - 0,01A \u003d A - A / 24 \u003d 23A / 24.

Under denne ordningen blir gjelden samme beløp mindre enn gjelden den 15. dagen i forrige måned.

Etter 2 måneder får vi: 1,01. 23A/24.

Andre betaling A/24 + 0,01. 23A/24.

Da er gjelden etter andre betaling 1,01. 23A/24 - A/24 - 0,01. 23A / 24 \u003d 23A / 24 (1.01 - 0.01) - A / 24 \u003d 23A / 24 - A / 24 \u003d 22A / 24.

Dermed får vi at du de første 12 månedene må betale banken følgende beløp:
A/24 +0,01A. 24/24 + A/24 + 0,01. 23A/24 + A/24 + 0,01. 22A/24 + ... + A/24 + 0,01. 13A/24 = 12A/24 + 0,01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200.

Og i henhold til tilstanden er det lik 177.375 tusen rubler. Så vi kan skrive og løse ligningen:
711A / 1200 \u003d 177,75,
A = 300 (tusen rubler) = 300 000 rubler - det er planlagt å ta et lån.

Svar: 300 000 rubler.

La oss snakke om oppgave nr. 19 på eksamen

I to år nå er det lagt til en oppgave i andre del c økonomisk innhold, dvs. oppgaver for sammensatt bankrente.

De sier at vi har å gjøre med "sammensatt rente" i tilfellet når en viss verdi er gjenstand for gradvis endring. Hver gang endringen er dessuten et visst antall prosent av verdien som denne verdien hadde på forrige trinn.

På slutten av hvert trinn endres verdien til den samme konstant mengde prosent -R%. Så på sluttenn -ste trinn verdien av en viss mengdeEN , hvis startverdi var likEN 0 , bestemmes av formelen:

Med en økning og

Ved avtagende

Å vite at den årlige renten på innskuddet er 12%, finn

tilsvarende månedlig rente.

Løsning:

Hvis vi legger rubler i bank A, får vi om et år:EN 1 = A 0 (1 +0,12)

Hvis det ble påløpt renter hver måned til en rentesatsX , deretter i henhold til formelen for renters rente om et år (12 måneder)EN n = A 0 (1 + 0,01x) 12

Ved å likestille disse verdiene får vi en ligning, hvis løsning vil tillate oss å bestemme den månedlige rentenA(1+0,12) = A(1+0,01x) 12

1,12 = (1 + 0,01x) 12

x = (-1) 100 % ≈ 0,9488792934583046 %

Svar: Den månedlige renten er0.9488792934583046%.

Fra løsningen av dette problemet kan man se at den månedlige renten ikke er lik årsrenten delt på 12.

31. desember 2013 tok Sergey et lån på 9 930 000 rubler fra en bank til 10% per år. Lånets nedbetalingsordning er som følger: 31. desember av hver neste år banken krever renter på det gjenværende gjeldsbeløpet (det vil si øker gjelden med 10%), deretter overfører Sergey et visst beløp av den årlige betalingen til banken. Hva bør beløpet være på den årlige betalingen for at Sergey skal betale ned gjelden i tre like årlige betalinger?

Løsning:

La lånebeløpet væreEN , er den årlige betalingen likX rubler og de årlige beløpene k % . Så den 31. desember hvert år multipliseres det gjenværende beløpet av gjelden med koeffisienten m =1+ 0,01 k . Etter første betaling vil det skyldige beløpet være: EN 1 = er - X. Etter den andre betalingen, skyldig beløp

vil være:

EN 2 = en 1 m - x \u003d (at-x) m-x \u003d a 2 -tx-x=at 2 -(1+t)x

I henhold til betingelsen må Sergey derfor betale tilbake lånet i tre betalinger

hvor

Påa = 9930000 Ogk =10 , vi fårT =1,1 og

Svar : 3993 000 rubler.

Nå som vi har behandlet denne løsningen som er foreslått i alle veiledningene, la oss se på en annen løsning.

LaF = 9 930 000 - lånebeløpet,x - ønsket beløp for den årlige betalingen.

Første året:

Plikt:1.1F ;

Innbetaling:X ;

Rest:1.1F-x .

Andre år:

Plikt:1,1(1,1F-x) ;

Innbetaling:X ;

Rest:1,1(1,1F-x)-x .

Tredje året:

Plikt:1,1(1,1F-x)-x );

Innbetaling:X ;

Resten: 0, fordi det kun var tre utbetalinger i henhold til betingelsen.

Den eneste ligningen

1,1(1,1(1,1F-x)-x)-x=0 . 1,331 F \u003d 3,31x, x \u003d 3993000

Svar: 3 993 000 rubler.

Imidlertid-1 ! Forutsatt at renten ikke er vakre 10 %, men fryktelige 13,66613 %. Sjansene for å dø et sted i løpet av multiplikasjoner eller bli gal med en detaljert multiplikatorplan for gjeldsbeløpet for hvert år økte dramatisk. La oss legge til dette ikke små 3 år, men 25. En slik løsning vil ikke fungere.

Den 31. desember 2014 lånte Andrey et visst beløp fra banken til 10 % per år. Lånetilbakebetalingsordningen er som følger: 31. desember hvert neste år påløper banken renter på det gjenværende gjeldsbeløpet (det vil si øker gjelden med 10%), og deretter overfører Andrey 3.460.600 rubler til banken. Hvilket beløp tok Andrey fra banken hvis han betalte ned gjelden i tre like betalinger (det vil si i 3 år)?

Løsning.

LaEN - ønsket verdi,k% - renten på lånet,X - årlig betaling. Så den 31. desember hvert år, vil det gjenværende beløpet av gjelden multipliseres med koeffisientenm = 1 + 0,01k . Etter den første betalingen vil beløpet på gjelden være:EN 1 = am - x . Etter den andre betalingen vil beløpet på gjelden være:

EN 2 = en 1 m - x \u003d (at-x) m-x \u003d a 2 -tx-x=at 2 -(1+t)x

Etter den tredje betalingen, beløpet på den gjenværende gjelden:

I henhold til betingelsen betalte Andrey gjelden i tre år,

det erEN 3 = 0 , hvor.

Påx = 3 460 600, k% = 10 % , vi får:m = 1,1 Og=8 606 000 (rubler).

Svar: 8 606 000 rubler.

31. desember 2013 tok Igor et lån på 100 000 rubler fra banken. Lånets tilbakebetalingsordning er som følger: 31. desember hvert neste år påløper banken renter på det gjenværende gjeldsbeløpet (det vil si øker gjelden med en viss rente), deretter overfører Igor neste transje. Igor tilbakebetalte lånet i to transjer, og overførte 51 000 rubler for første gang og 66 600 rubler for andre. Hvor mange prosent ga banken et lån til Igor?

Løsning

Lak % - ønsket rente på lånet;m = (1 + 0,01 k ) er gjenværende gjeldsmultiplikator;a = 100 000 - beløpet tatt fra banken;x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 - dimensjonene til den første og siste grøften.

Etter den første betalingen vil beløpet på gjelden være:en 1 = ma - x 1 .

Etter den andre betalingen vil beløpet på gjelden være:en 2 = ma 1 – x 2 = en m 2 – m x 1 – x 2 . Etter betingelse,en 2 = 0 . Ligningen må først løses form , selvfølgelig, tar bare positiv rot:

100 000m 2 – 51 000 m – 66 600 = 0; 500m 2 – 255 m – 333 = 0.

Det er her vanskene begynner.

D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .

Deretter.

Svar: 11 %.

31. desember 2013 lånte Masha et visst beløp fra banken til en viss prosentandel per år. Nedbetalingsordningen for lån er som følger: 31. desember hvert neste år påløper banken renter på det gjenværende gjeldsbeløpet (det vil si øker gjelden med en viss rente), deretter overfører Masha neste transje. Hvis hun betaler 2 788 425 rubler hvert år, vil hun betale ned gjelden om 4 år. Hvis for 4 991 625, så i 2 år. Hvor mange prosent lånte Masha penger fra banken?

Løsning

Etter to års tilbakebetaling beregnes lånebeløpet ved hjelp av formelen:

Etter fire år med tilbakebetaling, beregnes lånebeløpet ved hjelp av formelen:

Hvor

Deretter.

Svar: 12,5 %.

31. desember 2013 lånte Vanya 9 009 000 rubler fra en bank til 20 % per år. Nedbetalingsordningen for lån er som følger: 31. desember hvert neste år påløper banken renter på det gjenværende gjeldsbeløpet (det vil si at den øker gjelden med 20%), deretter overfører Vanya betalingen til banken. Vanya betalte ned hele gjelden i 3 like avdrag. Hvor mange rubler mindre ville han gitt til banken hvis han kunne betale ned gjelden i 2 like betalinger?

Løsning

La oss bruke resultatet fra oppgave 2.

Ønsket forskjellX 3 -X 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 rubler.

Svar: 1 036,00 rubler.

1. juni 2013 tok Vsevolod Yaroslavovich 900 000 rubler på kreditt fra en bank. Nedbetalingsordningen for lån er som følger: den 1. dagen i hver neste måned belaster banken 1 prosent av det gjenværende gjeldsbeløpet (det vil si at det øker gjelden med 1%), deretter overfører Vsevolod Yaroslavovich betalingen til bank. Hva minimal mengde måneder Vsevolod Yaroslavovich kan ta et lån slik at månedlige betalinger ikke er mer enn 300 000 rubler?

Må forstå enkel sannhet Jo større lånebetaling, jo mindre gjeld. Jo mindre gjeld du har, jo raskere betaler du den ned. Den maksimale månedlige betalingen som utlåneren har råd til er 300 000 rubler i henhold til betingelsen. Hvis Vsevolod Yaroslavovich betaler den maksimale betalingen, vil han raskt betale ned gjelden. Han vil med andre ord kunne ta opp lån for kortest tid, som betingelsen krever.

La oss prøve å løse problemet i pannen.

En måned har gått. 1. juli 2013: gjeld (1 + 0,01) 900 000 - 300 000 = 609 000.

En måned har gått. 1. august 2013: gjeld (1+ 0,01) 609 000 - 300 000 = 315 090.

En måned har gått. 1. september 2013: gjeld (1 +0,01) 315 090 - 300 000 = 18 240,9. En måned har gått. 1. oktober 2013: gjeld (1 0,01)1 240,9 = 18 423 309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.

Svar: 4 måneder.

La oss løse problemet med standardmetoden.

Jeg vil bruke resultatene av oppgave 3, og ta i betraktning følgende resonnement: ulikheten til den gjenværende delen av gjelden har formenen x ≤ 0 .

Lax - ønsket verdi,a = 900 000 - Beløp lånt fra bankenk% = 1% - lånerentey=300 000 - månedlig betaling,m = (1 + 0,01k) – månedlig multiplikator av gjenværende gjeld. Så, i henhold til den allerede kjente formelen, får vi ulikheten: ≤0 ;

Vi fikk en ubehagelig ulikhet, men sant.

Vi tar heltallsdelen av tallet fordi antall betalinger ikke kan være et ikke-heltall. Vi tar det nærmeste større heltall, vi kan ikke ta et mindre (fordi det blir en gjeld) og det er klart at den resulterende logaritmen ikke er et heltall. Det viser seg 4 betalinger, 4 måneder.

Bonden fikk et lån fra en bank til en viss prosent per år. Et år senere tilbakebetalte bonden lånet til banken fra hele beløpet han skyldte banken på det tidspunktet, og et år senere, som en full tilbakebetaling av lånet, satt han inn i banken et beløp som var 21 % høyere enn det mottatte lånebeløpet. Hva er prosenten per år på et lån i denne banken?

Løsning:

Lånebeløpet påvirker ikke situasjonen. Ta 4 rubler fra banken (delelig med 4).

Om et år vil gjelden til banken øke nøyaktigX ganger og blir lik4x rubler.

Del den i 4 deler, returner3x rubler og vi blir værendeX rubler.

Det er kjent at innen utgangen av neste år vil måtte betale4 1,21 rubler.

Det er kjent at mengden av gjeld i løpet av året har snudd fra talletX i antallX 2 .

Siden gjelden ble fullstendig tilbakebetalt av bonden to år senere,

X 2 \u003d 4 1,21 x \u003d 2 1,1 x \u003d 2,2

KoeffisientX betyr at 100 % blir til 220 % på et år.

Og dette betyr at prosentandelen per år av banken er: 220% - 100%

Svar: 120%

Banken plasserte beløpet på 3900 tusen rubler til 50% per år. Ved slutten av hvert av de første fire årene med lagring, etter beregning av rente, satte innskyter i tillegg det samme faste beløpet inn på kontoen. Ved utgangen av det femte året etter påløpet av renter, viste det seg at innskuddsbeløpet hadde økt med 725 % sammenlignet med det opprinnelige. Hvor mye la bidragsyteren årlig til innskuddet?

Løsning:

La det faste innskuddsbeløpetX rubler.

Så, etter å ha utført alle operasjonene, etter det første året, ble beløpet på innskuddet

+x

Etter 2 år

Etter3 årets

Etter4 årets

Etter5 årets

Siden ved slutten av det femte året etter påløpet av renter viste det seg at størrelsen på innskuddet økte med 725% sammenlignet med det første, vil vi lage ligningen:

3900 8,25=3900 1,5 5 + x (1,5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5

3900 5,5=3900 1,5 4 +x(1,5 3 +1,5 2 +1,5+1)

Svar: 210 rubler.

Banken godtok et visst beløp til en viss prosentandel. Et år senere ble en fjerdedel av det akkumulerte beløpet trukket fra kontoen. Men banken økte prosentandelen per år med 40%. Ved utgangen av neste år oversteg det akkumulerte beløpet det første innskuddet med 1,44 ganger. Hva er prosentandelen nye per år?

Løsning:

Situasjonen vil ikke endre seg fra innskuddsbeløpet. La oss sette 4 rubler i banken (delt på 4).

Om et år vil beløpet på kontoen øke nøyaktigs ganger og blir lik4 s rubler.

Del den i 4 deler, ta den med hjems rubler, la i banken3 s rubler.

Det er kjent at ved slutten av neste år hadde banken 4 1,44 = 5,76 rubler.

Altså tallet3 s ble til tallet 5,76. Hvor mange ganger har den økt?

Dermed er den andre multiplikasjonsfaktoren funnetx krukke.

Interessant nok er produktet av begge koeffisientene 1,92:

Det følger av betingelsen at den andre koeffisienten er 0,4 større enn den første.

s · x = s ·( s +0,4)=1,92

Allerede nå kan koeffisientene velges: 1,2 og 1,6.

Men vi fortsetter imidlertid å løse ligningen:

10p (10p+4)=192 la 10p=k

k (k+4)=192

k =12, dvs. p=1,2; a x=1,6

Svar: 60 %

I dag skal vi avvike litt fra standardlogaritmer, integraler, trigonometri osv., og sammen skal vi vurdere en mer vital oppgave fra Unified State Examination i matematikk, som er direkte relatert til vår tilbakestående russiske ressursbaserte økonomi. Og for å være presis, vil vi vurdere problemet med innskudd, renter og lån. For det er oppgavene med prosenter som nylig er lagt til andre del av enhetsprøven i matematikk. Jeg tar umiddelbart forbehold om at i henhold til USE-spesifikasjonene tilbys tre primære poeng samtidig for å løse dette problemet, det vil si at sensorene anser denne oppgaven som en av de vanskeligste.

Samtidig, for å løse noen av disse oppgavene fra Unified State Examination i matematikk, trenger du bare å vite to formler, som hver er ganske tilgjengelig for alle skolekandidater, men av grunner jeg ikke forstår, er disse formlene fullstendig ignorert av både skolelærere og kompilatorer av ulike oppgaver for forberedelse til eksamen. Derfor vil jeg i dag ikke bare fortelle deg hva disse formlene er og hvordan du bruker dem, men jeg vil utlede hver av disse formlene bokstavelig talt foran øynene dine, og ta utgangspunkt i oppgaver fra den åpne USE-banken i matematikk.

Derfor viste leksjonen seg å være ganske omfangsrik, ganske meningsfull, så gjør deg komfortabel, og vi begynner.

Setter penger i banken

Først av alt vil jeg gjøre en liten lyrisk digresjon knyttet til finans, banker, lån og innskudd, på grunnlag av denne vil vi få formlene som vi skal bruke for å løse dette problemet. Så la oss gå litt bort fra eksamenene, fra de kommende skoleoppgavene, og se inn i fremtiden.

La oss si at du har blitt voksen og skal kjøpe leilighet. La oss si at du ikke kommer til å kjøpe en dårlig leilighet i utkanten, men en leilighet av god kvalitet for 20 millioner rubler. Samtidig, la oss også anta at du fikk en mer eller mindre normal jobb og tjener 300 tusen rubler i måneden. I dette tilfellet kan du spare rundt tre millioner rubler for året. Selvfølgelig, tjene 300 tusen rubler i måneden, for året vil du få et litt større beløp - 3.600.000 - men la disse 600.000 brukes på mat, klær og andre daglige husholdningsgleder. De totale inndataene er som følger: det er nødvendig å tjene tjue millioner rubler, mens vi bare har tre millioner rubler til rådighet i året. Et naturlig spørsmål dukker opp: hvor mange år trenger vi å sette av tre millioner for å få de samme tjue millionene. Det anses som elementært:

\[\frac(20)(3)=6,....\til 7\]

Men som vi allerede har bemerket, tjener du 300 tusen rubler i måneden, noe som betyr at du er smarte mennesker og vil ikke spare penger "under puten", men ta det til banken. Og derfor, årlig på de innskuddene du bringer til banken, vil det bli belastet renter. La oss si at du velger en pålitelig, men samtidig mer eller mindre lønnsom bank, og derfor vil innskuddene dine vokse med 15% per år årlig. Med andre ord kan vi si at beløpet på dine kontoer vil øke med 1,15 ganger hvert år. La meg minne deg på formelen:

La oss beregne hvor mye penger som vil være på kontoene dine etter hvert år:

I det første året, når du bare begynner å spare penger, vil ingen renter akkumuleres, det vil si på slutten av året vil du spare tre millioner rubler:

På slutten av det andre året vil det allerede påløpe renter på de tre millioner rubler som er igjen fra det første året, dvs. vi må gange med 1,15. Men i løpet av det andre året rapporterte du også om ytterligere tre millioner rubler. Selvfølgelig hadde disse tre millionene ennå ikke påløpt renter, for ved utgangen av det andre året hadde disse tre millionene kun dukket opp på kontoen:

Så det tredje året. Ved slutten av det tredje året vil det påløpe renter på dette beløpet, det vil si at det er nødvendig å multiplisere hele beløpet med 1,15. Og igjen, gjennom året jobbet du hardt og la til side tre millioner rubler:

\[\venstre(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

La oss beregne enda et fjerde år. Igjen multipliseres hele beløpet som vi hadde ved utgangen av det tredje året med 1,15, dvs. Det vil bli belastet renter av hele beløpet. Dette inkluderer renter på renter. Og tre millioner mer legges til dette beløpet, for i løpet av det fjerde året jobbet du også og sparte penger:

\[\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

Og la oss nå åpne parentesene og se hvilket beløp vi vil ha innen utgangen av det fjerde året med å spare penger:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\venstre(((1,15)^(3))+((1) ,15)^(2))+1,15+1 \høyre)= \\& =3m\venstre(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \right) \\\end(align)\]

Som du kan se, i parentes har vi elementer av en geometrisk progresjon, det vil si at vi har summen av elementene i en geometrisk progresjon.

La meg minne deg på at hvis den geometriske progresjonen er gitt av elementet $((b)_(1))$, samt nevneren $q$, vil summen av elementene beregnes i henhold til følgende formel:

Denne formelen må være kjent og tydelig brukt.

Vennligst merk: formelen n elementet høres slik ut:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

På grunn av denne graden er mange studenter forvirret. Totalt har vi akkurat n for summen n- elementer, og n-th element har grad $n-1$. Med andre ord, hvis vi nå prøver å beregne summen av en geometrisk progresjon, må vi vurdere følgende:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(align)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

La oss beregne telleren separat:

\[((1,15)^(4))=((\venstre(((1,15)^(2)) \høyre))^(2))=((\venstre(1,3225 \høyre) ))^(2))=1,74900625\ca. 1,75\]

Totalt, tilbake til summen av den geometriske progresjonen, får vi:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15)=5\]

Som et resultat får vi at i løpet av fire år med sparing vil startbeløpet ikke øke fire ganger, som om vi ikke hadde satt inn penger i banken, men fem ganger, altså femten millioner. La oss skrive det separat:

4 år → 5 ganger

Når vi ser fremover, vil jeg si at hvis vi ikke hadde spart i fire år, men i fem år, ville sparebeløpet vårt økt med 6,7 ganger som et resultat:

5 år → 6,7 ganger

Med andre ord, innen utgangen av det femte året vil vi ha følgende beløp på kontoen:

Det vil si at ved slutten av det femte året med sparing, tatt i betraktning renter på innskuddet, ville vi allerede ha mottatt over tjue millioner rubler. Dermed vil den totale sparekontoen fra bankrenter gå ned fra nesten syv år til fem år, det vil si med nesten to år.

Selv til tross for at banken krever en ganske lav rente på våre innskudd (15%), gir disse samme 15% etter fem år en økning som betydelig overstiger vår årlige inntjening. Samtidig har den viktigste multiplikatoreffekten inntruffet de siste årene og til og med i det siste spareåret.

Hvorfor skrev jeg alt dette? Selvfølgelig, ikke for å agitere deg til å bære penger til banken. For hvis du virkelig vil øke sparepengene dine, må du investere dem ikke i en bank, men i en ekte virksomhet, der de samme prosentene, det vil si lønnsomheten under forholdene i den russiske økonomien, sjelden faller under 30%, dvs. dobbelt så mye bankinnskudd.

Men det som virkelig er nyttig i alt dette resonnementet er en formel som lar oss finne det endelige beløpet på innskuddet gjennom mengden av årlige utbetalinger, så vel som gjennom renten som banken belaster. Så la oss skrive:

\[\tekst(Vklad)=\tekst(platezh)\frac(((\tekst(%))^(n))-1)(\tekst(%)-1)\]

I seg selv beregnes % ved å bruke følgende formel:

Denne formelen må også være kjent, så vel som den grunnleggende formelen for bidragsbeløpet. Og på sin side kan hovedformelen redusere beregningene betydelig i de problemene med prosenter der det er nødvendig å beregne bidraget.

Hvorfor bruke formler i stedet for tabeller?

Mange vil nok ha et spørsmål, hvorfor alle disse vanskelighetene i det hele tatt, er det mulig å rett og slett skrive hvert år på en tallerken, slik det gjøres i mange lærebøker, beregne separat hvert år, og deretter beregne det totale beløpet på bidraget? Selvfølgelig kan du generelt glemme summen av en geometrisk progresjon og telle alt ved hjelp av klassiske nettbrett - dette gjøres i de fleste samlinger for å forberede deg til eksamen. For det første øker imidlertid volumet av beregninger kraftig, og for det andre, som et resultat, øker sannsynligheten for å gjøre en feil.

Generelt er det å bruke tabeller i stedet for denne fantastiske formelen det samme som å grave grøfter med hendene på en byggeplass i stedet for å bruke en gravemaskin som står i nærheten og fungerer fullt ut.

Vel, eller det samme som å multiplisere fem med ti uten å bruke multiplikasjonstabellen, men legge fem til seg selv ti ganger på rad. Imidlertid har jeg allerede gått bort, så jeg vil gjenta den viktigste ideen igjen: hvis det er en måte å forenkle og forkorte beregningene på, så er dette måten å bruke.

Renter på lån

Vi fant ut innskuddene, så vi går videre til neste tema, nemlig renter på lån.

Så mens du sparer penger, planlegger budsjettet ditt nøye, tenker på din fremtidige leilighet, bestemte klassekameraten din, og nå en enkel arbeidsledig person, å leve for i dag og tok bare opp et lån. Samtidig vil han fortsatt erte og le av deg, sier de, han har en kreditttelefon og en bruktbil, tatt på kreditt, og du kjører fortsatt T-banen og bruker en gammel trykknapptelefon. Selvfølgelig, for alle disse billige "show-offs" vil din tidligere klassekamerat måtte betale dyrt. Hvor dyrt - dette er hva vi skal beregne akkurat nå.

Først en kort introduksjon. La oss si at din tidligere klassekamerat tok to millioner rubler på kreditt. Samtidig må han ifølge kontrakten betale x rubler per måned. La oss si at han tok et lån med en rente på 20% per år, som under dagens forhold ser ganske anstendig ut. Anta også at lånetiden bare er tre måneder. La oss prøve å koble alle disse mengdene i én formel.

Så helt i begynnelsen, så snart din tidligere klassekamerat forlot banken, har han to millioner i lomma, og dette er gjelden hans. Samtidig har det ikke gått et år og ikke en måned, men dette er bare begynnelsen:

Deretter vil det etter en måned påløpe renter på det skyldige beløpet. Som vi allerede vet, for å beregne renter, er det nok å multiplisere den opprinnelige gjelden med en koeffisient, som beregnes ved hjelp av følgende formel:

I vårt tilfelle snakker vi om en rate på 20% per år, det vil si at vi kan skrive:

Dette er forholdet mellom beløpet som vil bli belastet per år. Klassekameraten vår er imidlertid ikke særlig smart, og han leste ikke kontrakten, og faktisk fikk han et lån på ikke 20 % per år, men 20 % per måned. Og innen utgangen av den første måneden vil det påløpe renter på dette beløpet, og det vil øke med 1,2 ganger. Umiddelbart etter det må personen betale det avtalte beløpet, det vil si x rubler per måned:

\[\venstre(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\]

Og igjen, gutten vår foretar en betaling på $x$ rubler.

Så, ved slutten av den tredje måneden, øker gjeldsbeløpet igjen med 20 %:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

Og i henhold til betingelsen i tre måneder, må han betale i sin helhet, det vil si etter å ha utført den siste tredje betalingen, skal gjeldsbeløpet være lik null. Vi kan skrive denne ligningen:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

La oss bestemme:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2) )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\venstre((( 1,2)^(2))+1,2+1 \right) \\\end(align)\]

Foran oss er igjen en geometrisk progresjon, eller rettere sagt, summen av de tre elementene i en geometrisk progresjon. La oss omskrive det i stigende rekkefølge av elementer:

Nå må vi finne summen av de tre elementene i en geometrisk progresjon. La oss skrive:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(align)\]

La oss nå finne summen av den geometriske progresjonen:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Det bør huskes at summen av en geometrisk progresjon med slike parametere $\left(((b)_(1));q \right)$ beregnes ved hjelp av formelen:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Dette er formelen vi nettopp brukte. Bytt denne formelen inn i uttrykket vårt:

For ytterligere beregninger må vi finne ut hva $((1,2)^(3))$ er lik. Dessverre, i dette tilfellet, kan vi ikke lenger male som forrige gang i form av en dobbel firkant, men vi kan beregne slik:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Vi omskriver uttrykket vårt:

Dette er et klassisk lineært uttrykk. La oss gå tilbake til neste formel:

Faktisk, hvis vi generaliserer det, vil vi få en formel som kobler renter, lån, betalinger og vilkår. Formelen går slik:

Her er den, den viktigste formelen for dagens videoleksjon, ved hjelp av hvilken minst 80% av alle økonomiske oppgaver fra Unified State Exam i matematikk i andre del vurderes.

Oftest, i reelle oppgaver, vil du bli bedt om en betaling, eller litt sjeldnere for et lån, det vil si den totale gjelden som klassekameraten vår hadde helt i begynnelsen av betalingene. I mer komplekse oppgaver vil du bli bedt om å finne en prosentandel, men for svært komplekse, som vi vil analysere i en egen videoleksjon, vil du bli bedt om å finne tidsrammen som, med de gitte låne- og betalingsparameterne, vår arbeidsledige klassekamerat vil være i stand til å betale fullt ut på banken.

Kanskje vil noen nå mene at jeg er en voldsom motstander av lån, finans og banksystemet generelt. Altså, ikke noe sånt! Tvert imot mener jeg at kredittinstrumenter er svært nyttige og essensielle for vår økonomi, men kun under forutsetning av at lånet tas til næringsutvikling. I ekstreme tilfeller kan du ta opp lån for å kjøpe bolig, det vil si boliglån eller for akuttmedisinsk behandling – det er det, det er rett og slett ingen andre grunner til å ta lån. Og alle slags arbeidsledige som tar lån for å kjøpe «show-offs» og samtidig ikke tenker over konsekvensene til slutt og blir årsaken til kriser og problemer i økonomien vår.

For å gå tilbake til temaet for dagens leksjon, vil jeg merke at det også er nødvendig å kjenne til denne formelen som forbinder lån, betalinger og renter, samt mengden av en geometrisk progresjon. Det er ved hjelp av disse formlene at reelle økonomiske problemer fra Unified State Examination i matematikk løses. Vel, nå som du vet alt dette veldig godt, når du forstår hva et lån er og hvorfor du ikke bør ta det, la oss gå videre til å løse reelle økonomiske problemer fra Unified State Examination i matematikk.

Vi løser reelle oppgaver fra eksamen i matematikk

Eksempel #1

Så den første oppgaven er:

31. desember 2014 tok Alexei et lån på 9 282 000 rubler fra banken til 10% per år. Lånetilbakebetalingsordningen er som følger: 31. desember hvert neste år påløper banken renter på det gjenværende gjeldsbeløpet (det vil si øker gjelden med 10%), deretter overfører Alexey X rubler til banken. Hva bør beløpet være X for at Alexey skal betale ned gjelden i fire like betalinger (dvs. i fire år)?

Så dette er et problem med et lån, så vi skriver umiddelbart ned formelen vår:

Vi kjenner lånet - 9 282 000 rubler.

Vi skal behandle prosenter nå. Vi snakker om 10% av problemet. Derfor kan vi oversette dem:

Vi kan lage en ligning:

Vi har fått en ordinær lineær ligning med hensyn til $x$, men med ganske formidable koeffisienter. La oss prøve å løse det. La oss først finne uttrykket $(((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left((((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

La oss nå omskrive ligningen:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

Det er det, problemet vårt med prosenter er løst.

Dette var selvfølgelig bare den enkleste oppgaven med prosenter fra Unified State Examination i matematikk. På en ekte eksamen vil det mest sannsynlig ikke være en slik oppgave. Og hvis det gjør det, betrakt deg selv som veldig heldig. Vel, for de som liker å telle og ikke liker å ta risiko, la oss gå videre til de neste vanskeligere oppgavene.

Eksempel #2

31. desember 2014 lånte Stepan 4 004 000 rubler fra en bank til 20 % per år. Lånets tilbakebetalingsordning er som følger: 31. desember hvert neste år påløper banken renter på det gjenværende gjeldsbeløpet (dvs. øker gjelden med 20%), deretter foretar Stepan en betaling til banken. Stepan betalte ned hele gjelden i 3 like betalinger. Hvor mange rubler mindre ville han gi til banken hvis han kunne betale ned gjelden i 2 like betalinger.

Før oss er et problem om lån, så vi skriver ned formelen vår:

\[\]\

Hva vet vi? For det første vet vi den totale kreditten. Vi kjenner også prosentene. La oss finne forholdet:

Når det gjelder $n$, må du nøye lese tilstanden til problemet. Det vil si, først må vi beregne hvor mye han betalte i tre år, det vil si $n=3$, og deretter utføre de samme trinnene igjen, men beregne betalinger i to år. La oss skrive en ligning for tilfellet der betalingen betales i tre år:

La oss løse denne ligningen. Men først, la oss finne uttrykket $(((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Vi omskriver uttrykket vårt:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728) )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

Totalt vil vår betaling være 1900800 rubler. Vær imidlertid oppmerksom: i oppgaven ble vi pålagt å finne ikke en månedlig betaling, men hvor mye Stepan ville betale totalt for tre like betalinger, det vil si for hele låneperioden. Derfor må den resulterende verdien multipliseres med tre igjen. La oss telle:

Totalt vil Stepan betale 5 702 400 rubler for tre like betalinger. Så mye vil det koste ham å bruke lånet i tre år.

Vurder nå den andre situasjonen, da Stepan tok seg sammen, gjorde seg klar og betalte ned hele lånet ikke i tre, men i to like betalinger. Vi skriver ned vår samme formel:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Men det er ikke alt, for nå har vi beregnet bare én av de to betalingene, så totalt vil Stepan betale nøyaktig dobbelt så mye:

Flott, nå er vi nærme det endelige svaret. Men vær oppmerksom: i intet tilfelle har vi ennå mottatt et endelig svar, for for tre års betalinger vil Stepan betale 5 702 400 rubler, og for to års betalinger vil han betale 5 241 600 rubler, det vil si litt mindre. Hvor mye mindre? For å finne det ut må du trekke det andre betalingsbeløpet fra det første betalingsbeløpet:

Det totale endelige svaret er 460 800 rubler. Nøyaktig hvor mye Stepan vil spare hvis han ikke betaler tre år, men to.

Som du kan se, forenkler formelen som forbinder renter, vilkår og betalinger beregninger i stor grad sammenlignet med klassiske tabeller, og dessverre, av ukjente årsaker, brukes fortsatt tabeller i de fleste problemsamlinger.

Separat vil jeg gjøre deg oppmerksom på løpetiden som lånet ble tatt for, og mengden av månedlige betalinger. Faktum er at denne sammenhengen ikke er direkte synlig fra formlene vi skrev ned, men forståelsen er nødvendig for rask og effektiv løsning av reelle problemer i eksamen. Faktisk er dette forholdet veldig enkelt: jo lenger lånet tas, jo mindre beløp vil være i månedlige betalinger, men jo større beløp vil akkumuleres over hele låneperioden. Og omvendt: jo kortere løpetid, desto høyere månedlig betaling, men jo lavere sluttoverbetaling og jo lavere totalkostnad for lånet.

Selvfølgelig vil alle disse uttalelsene bare være like under forutsetning av at lånebeløpet og renten i begge tilfeller er den samme. Generelt, for nå, bare husk dette faktum - det vil bli brukt til å løse de vanskeligste problemene om dette emnet, men for nå vil vi analysere et enklere problem, der du bare trenger å finne det totale beløpet for det opprinnelige lånet.

Eksempel #3

Så, en oppgave til for et lån og, i kombinasjon, den siste oppgaven i dagens videoopplæring.

31. desember 2014 tok Vasily ut et visst beløp fra banken på kreditt til 13% per år. Lånetilbakebetalingsordningen er som følger: 31. desember hvert neste år påløper banken renter på det gjenværende gjeldsbeløpet (det vil si at den øker gjelden med 13%), deretter overfører Vasily 5 107 600 rubler til banken. Hvilket beløp lånte Vasily fra banken hvis han tilbakebetalte gjelden i to like avdrag (i to år)?

Så først av alt handler dette problemet igjen om lån, så vi skriver ned vår fantastiske formel:

La oss se hva vi vet fra tilstanden til problemet. Først betalingen - den er lik 5 107 600 rubler i året. For det andre, prosenter, slik at vi kan finne forholdet:

I tillegg, i henhold til tilstanden til problemet, tok Vasily et lån fra banken i to år, dvs. betales i to like avdrag, derav $n=2$. La oss erstatte alt og også legge merke til at lånet er ukjent for oss, dvs. beløpet han tok, og la oss betegne det som $x$. Vi får:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

La oss omskrive ligningen vår med dette faktum i tankene:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000) )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)\12769 \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(align)\]

Det er det, dette er det endelige svaret. Det var dette beløpet Vasily tok på æren helt i begynnelsen.

Nå er det klart hvorfor vi i denne oppgaven blir bedt om å ta et lån i bare to år, fordi tosifrede prosenter vises her, nemlig 13%, som i annen rekke gir et ganske "brutalt" tall. Men dette er ikke grensen - i neste separate leksjon vil vi vurdere mer komplekse oppgaver, hvor det vil være nødvendig å finne låneperioden, og prisen vil være en, to eller tre prosent.

Generelt, lær å løse problemer for innskudd og lån, forberede deg til eksamener og bestå dem "utmerket". Og hvis noe ikke er klart i materialene til dagens videoleksjon, så ikke nøl - skriv, ring, så skal jeg prøve å hjelpe deg.

Se også videoen "Tekstoppgaver til eksamen i matematikk".
En tekstoppgave er ikke bare en oppgave for bevegelse og arbeid. Det er også oppgaver for prosenter, for løsninger, legeringer og blandinger, for å bevege seg i en sirkel og finne gjennomsnittshastigheten. Vi vil fortelle om dem.

La oss starte med prosentproblemer. Vi har allerede møtt dette emnet i oppgave 1. Spesielt formulerte vi en viktig regel: vi tar som verdien vi sammenligner med.

Vi har også utledet nyttige formler:

Hvis verdien økes med en prosentandel, får vi .
hvis verdien reduseres med en prosentandel, får vi .
hvis verdien økes med en prosentandel, og deretter reduseres med , får vi .

hvis verdien dobles med en prosent, får vi
hvis verdien dobles med en prosent, får vi

La oss bruke dem til å løse problemer.

På et år bodde det en person i bykvartalet. I året, som følge av bygging av nye hus, økte antall innbyggere med , og i året - med i forhold til året. Hvor mange mennesker begynte å bo i kvartalet i løpet av et år?

I henhold til betingelsen økte antallet innbyggere i året med , det vil si at det ble likt med mennesker.

Og i året økte antall innbyggere med , nå sammenlignet med året. Det får vi det året beboere begynte å bo i kvartalet.

Neste oppgave ble tilbudt på prøveeksamen i matematikk i desember i år. Det er enkelt, men få har mestret det.

Mandag steg selskapets aksjer i kurs med en viss prosentandel, og tirsdag falt de i kurs med samme prosent. Som et resultat begynte de å koste mindre enn ved handelsåpningen på mandag. Med hvor mange prosent steg selskapets aksjer i kurs mandag?

Ved første øyekast ser det ut til at det er en feil i tilstanden og kursen på aksjene bør ikke endres i det hele tatt. De har tross alt steget i pris og falt i pris med samme prosentandel! Men la oss ikke forhaste oss. La aksjene koste rubler ved børsåpningen på mandag. Mandag kveld har de steget i pris og begynt å koste. Nå er denne verdien allerede tatt som , og tirsdag kveld falt aksjene med i forhold til denne verdien. La oss sette dataene i en tabell:

	mandag morgen	mandag kveld	tirsdag kveld
Aksjekursen

Aksjene endte ifølge betingelsen opp med å falle i kurs med .

Det skjønner vi

Vi deler begge sider av ligningen med (fordi den ikke er lik null) og bruker den forkortede multiplikasjonsformelen på venstre side.

I henhold til problemets betydning er verdien positiv.
Det skjønner vi.

Prisen på et kjøleskap i butikken synker årlig med like mange prosent fra forrige pris. Bestem med hvilken prosentandel prisen på et kjøleskap gikk ned hvert år hvis det ble solgt for rubler to år senere, ble det solgt for rubler.

Dette problemet løses også med en av formlene gitt i begynnelsen av artikkelen. Kjøleskapet kostet Rs. Prisen har falt to ganger med , og nå er den lik

Fire skjorter er billigere enn jakker. Hvor mange prosent er fem skjorter dyrere enn en jakke?

La prisen på skjorten være, prisen på jakken. Som alltid tar vi som hundre prosent verdien vi sammenligner med, det vil si prisen på jakken. Da er kostnaden for fire skjorter lik prisen på jakken, d.v.s.
.

Kostnaden for en skjorte er halvparten så mye:
,
og prisen for fem skjorter:

Vi skjønner at fem skjorter er dyrere enn en jakke.

Svar: .

Familien består av en mann, kone og deres studentdatter. Dersom mannens lønn ble doblet, ville den samlede familieinntekten øke med . Dersom datterens stipend ble halvert, ville den samlede familieinntekten reduseres med . Hvor mange prosent av den totale familieinntekten er konas lønn?

La oss tegne en tabell. Situasjonene det refereres til i oppgaven («hvis mannens lønn økte, hvis datterens stipend gikk ned ...») vil vi kalle «situasjon» og «situasjon».

	ektemann	kone	datter	Totale inntekter
I det virkelige
situasjon
situasjon

Det gjenstår å skrive ned ligningssystemet.

Men hva ser vi? To ligninger og tre ukjente! Vi vil ikke kunne finne, og separat. Riktignok trenger vi det ikke. La oss ta den første ligningen og trekke fra summen fra begge sider. Vi får:

Det betyr at mannens lønn er en del av familiens samlede inntekt.

I den andre ligningen trekker vi også uttrykket fra begge sider, forenkler og får det

Det betyr at datterens stipend er basert på den samlede familieinntekten. Da er konas lønn den totale inntekten.

Svar: .

Den neste typen problemer er problemer for løsninger, blandinger og legeringer. De finnes ikke bare i matematikk, men også i kjemi. Vi vil fortelle deg om den enkleste måten å løse dem på.

Liter vann tilsettes til en beholder som inneholder liter av en prosentvis vandig løsning av et eller annet stoff. Hvor mange prosent er konsentrasjonen av den resulterende løsningen?

Et bilde hjelper til med å løse slike problemer. La oss skildre et kar med en løsning skjematisk - som om stoffet og vannet i det ikke er blandet med hverandre, men er skilt fra hverandre, som i en cocktail. Og vi skal signere hvor mange liter karene inneholder og hvor mange prosent av stoffet de inneholder. Vi angir konsentrasjonen av den resulterende løsningen.

Det første karet inneholdt en liter stoff. Det andre karet inneholdt bare vann. Dette betyr at det er like mange liter stoff i det tredje karet som i det første:

.

En viss mengde av en -prosent oppløsning av et bestemt stoff ble blandet med samme mengde av en -prosent oppløsning av dette stoffet. Hvor mange prosent er konsentrasjonen av den resulterende løsningen?

La massen til den første løsningen være . Massen av den andre - også. Resultatet er en løsning med en masse på . Vi tegner et bilde.

Vi får:

Svar: .

Druer inneholder fuktighet, og rosiner -. Hvor mange kilo druer kreves for å produsere kilo rosiner?

Merk følgende! Hvis du kommer over et problem "om produkter", det vil si et der rosiner er hentet fra druer, aprikoser er laget av aprikoser, kjeks er laget av brød eller cottage cheese er laget av melk - vet at dette faktisk er et problem for løsninger . Vi kan også betinget skildre druer som en løsning. Den inneholder vann og "tørrstoff". «Tørrstoffet» har en kompleks kjemisk sammensetning, og ved sin smak, farge og lukt kunne vi forstå at det er druer, ikke poteter. Rosiner oppnås når vann fordamper fra druer. Samtidig forblir mengden "tørrstoff" konstant. Druene inneholdt vann, noe som betyr at det var "tørrstoff". I rosiner vann og "tørrstoff". La kg rosiner komme ut av kg druer. Deretter

Fra fra

La oss lage en ligning:

og finne.

Svar: .

Det er to legeringer. Den første legeringen inneholder nikkel, den andre - nikkel. Fra disse to legeringene ble det oppnådd en tredje legering som veide kg inneholdende nikkel. Hvor mange kilo er massen til den første legeringen mindre enn massen til den andre?

La massen til den første legeringen være x, og massen til den andre være y. Resultatet ble en legering med en masse på .

La oss skrive et enkelt ligningssystem:

Den første ligningen er massen til den resulterende legeringen, den andre er massen av nikkel.

Løsning, det skjønner vi.

Svar: .

Ved å blande -prosent og -prosent syreløsninger og tilsette et kg rent vann fikk vi en -prosent syreløsning. Hvis det i stedet for kg vann ble tilsatt en kg -% løsning av samme syre, ville en -% løsning av syre fås. Hvor mange kilo -prosentløsning ble brukt for å oppnå blandingen?

La massen til den første løsningen være , massen til den andre er lik . Massen til den resulterende løsningen er . La oss skrive to ligninger for mengden syre.

Vi løser det resulterende systemet. Vi multipliserer umiddelbart begge deler av ligningene med , siden det er mer praktisk å jobbe med heltallskoeffisienter enn med brøker. La oss utvide parentesene.

Svar: .

Omkretsoppgaver viste seg også å være vanskelig for mange elever. De løses nesten på samme måte som vanlige problemer for bevegelse. De bruker også formelen. Men det er ett triks vi vil fortelle deg om.

En syklist forlot punktet på sirkelbanen, og etter et minutt gikk en motorsyklist etter ham. Minutter etter avgang tok han igjen syklisten for første gang, og minutter etter det tok han igjen for andre gang. Finn hastigheten til motorsyklisten hvis lengden på banen er km. Gi svaret i km/t.

La oss først konvertere minutter til timer, siden hastigheten må finnes i km/t. Vi angir hastigheten til deltakerne med og . Første gang en motorsyklist kjørte forbi en syklist på minutter, altså timer etter start. Frem til dette punktet var syklisten på veien i minutter, det vil si en time.

La oss skrive disse dataene i en tabell:

syklist
motorsyklist

Begge har reist like langt, altså.

Så tok motorsyklisten syklisten for andre gang. Det skjedde på minutter, altså på en time etter den første forbikjøringen.

La oss tegne en annen tabell.

syklist
motorsyklist

Hvilke avstander reiste de? Motorsyklisten kjørte forbi syklisten. Så han kjørte en runde til. Dette er hemmeligheten bak denne oppgaven. En runde er lengden på banen, den er lik km. Vi får den andre ligningen:

La oss løse det resulterende systemet.

Det skjønner vi. Som svar, skriv ned hastigheten til motorsyklisten.

Svar: .

Klokker med visere viser timer minutter. Etter hvor mange minutter vil minuttviseren være på linje med timeviseren for fjerde gang?

Dette er kanskje den vanskeligste oppgaven med eksamensalternativene. Selvfølgelig er det en enkel løsning - ta en klokke med visere og sørg for at den fjerde gangen viserne stiller opp på timer, nøyaktig kl..
Men hva om du har en elektronisk klokke og ikke kan løse problemet eksperimentelt?

På én time går minuttviseren én sirkel, og timedelen av sirkelen. La hastigheten deres være lik (runder per time) og (runder per time). Start - kl .. La oss finne tiden som minuttviseren vil ta igjen timeviseren for første gang.

Minuttviseren vil gå en sirkel til, så ligningen blir:

Løser vi det, får vi det timer. Så for første gang vil hendene stille opp i løpet av timer. La andre gang de ta igjen i tide. Minuttviseren vil dekke avstanden og timeviseren, mens minuttviseren beveger seg en runde til. La oss skrive ligningen:

Løser vi det, får vi det timer. Så, etter en time, vil hendene justere seg for andre gang, etter en annen time - for den tredje, og etter en annen time - for den fjerde.

Så hvis starten var på ., så vil pilene for fjerde gang stå på linje
timer.

Svaret stemmer helt overens med den "eksperimentelle" løsningen! :-)

På en matteeksamen kan du også stå overfor problemet med å finne gjennomsnittshastigheten. Husk at gjennomsnittshastigheten ikke er lik det aritmetiske gjennomsnittet av hastigheter. Den er basert på en spesiell formel:

,
hvor er gjennomsnittshastigheten, er den totale avstanden og er den totale tiden.

Hvis det var to deler av stien, da

Den reisende krysset havet på en yacht med en gjennomsnittshastighet på km/t. Han fløy tilbake på et sportsfly med en hastighet på km/t. Finn den reisendes gjennomsnittshastighet for hele reisen. Gi svaret i km/t.

Vi vet ikke hva var avstanden tilbakelagt av den reisende. Vi vet bare at denne avstanden var den samme på vei dit og tilbake. For enkelhets skyld tar vi denne avstanden som (ett hav). Da er tiden den reisende seilte på yachten lik , og tiden brukt på flyturen er lik . Den totale tiden er.
Gjennomsnittshastigheten er km/t.

Svar: .

La oss vise enda et spektakulært triks som hjelper til raskt å løse likningssystemet i oppgave 13.

Andrey og Pasha maler gjerdet på timer. Pasha og Volodya maler det samme gjerdet på timer, og Volodya og Andrey - på timer. Hvor mange timer vil det ta guttene å male gjerdet mens tre av dem jobber?

Vi har allerede løst oppgaver for arbeid og produktivitet. Reglene er de samme. Den eneste forskjellen er at det er tre personer som jobber her, og det vil også være tre variabler. La - Andreys opptreden, - Pashas opptreden, og - Volodyas opptreden. Vi vil ta gjerdet, det vil si mengden arbeid, da vi tross alt ikke kan si noe om størrelsen.

	opptreden	Jobb
Andrey
Pasha
Volodya
Sammen

Andrey og Pasha malte gjerdet på timer. Vi husker at ytelsen øker når vi jobber sammen. La oss skrive ligningen:

Like måte,

Deretter


.

Du kan søke etter , og separat, men det er bedre å bare legge til alle tre ligningene. Det skjønner vi

Så når de jobber sammen, maler Andrei, Pasha og Volodya en åttendedel av gjerdet på en time. De vil male hele gjerdet på timer.

For å bruke forhåndsvisningen av presentasjoner, opprett en Google-konto (konto) og logg på: https://accounts.google.com

Bildetekster:

Teori om emnet: "Problemløsning for interesse."

Type 1: Konverter prosent til desimal. prosent  brøk A %  A delt på 100 Oppgaver: 20 %; 75 %; 125 %; 50 %; 40 %; 1 %; 70 %; 35 %; 80 %.... Fyll ut tabellen 1 % 5 % 10 % 20 % 25 % 50 % 75 % 100 %

Type 2: Konvertering av en brøk til en prosentandel. tall  prosenter A  A ganger 100 % Gjør om brøker til prosenter: 3/4; 0,07; 2.4. (GIA, tematiske oppgaver) Match brøkene som uttrykker andelene av en viss verdi, og prosentene som tilsvarer dem. A.1/4; B) 3/5; C) 0,5; D) 0,05 1) 5%; 2) 25%; 3) 50%; 4) 60 % svar: A B C D

Type 3: Finne en prosentandel av et tall. X% av A 1) X% er representert som en desimalbrøk 2) Tallet A multipliseres med desimalbrøken. Oppgaven er et eksempel. På en måned produserte selskapet 500 enheter. 20 % av produserte enheter klarte ikke å bestå kvalitetskontrollen. Hvor mange enheter mislyktes i kvalitetskontrollen? Løsning. Du må finne 20 % av det totale antallet produserte enheter (500). 20 % = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 av det totale antallet produserte enheter besto ikke kvalitetskontrollen.

Type 4: Finn et tall etter prosentandelen. Og dette er X%: 1) X% er representert som en desimalbrøk 2) A er delt med en desimalbrøk. Oppgaven er et eksempel. Forberedende til eksamen løste studenten 38 oppgaver fra håndboken for selvstudium. Noe som er 25 % av antallet av alle oppgaver i manualen. Hvor mange oppgaver er samlet i denne selvstudiehåndboken? Løsning. Vi vet ikke hvor mange oppgaver som er i manualen. Men på den annen side vet vi at 38 oppgaver er 25 % av det totale antallet. 25%=0,25 38/0,25 = 152. Det er 152 problemer i denne samlingen.

Type 5: Finn prosentandelen av to tall. A og B tall. Hvor mange % er B av A? 1) B / A 2) Multipliser den resulterende kvotienten med 100 % Oppgaven er en prøve. Det er 30 elever i klassen. 15 av dem er jenter. Hvor mange prosent av jentene er i klassen? Løsning. For å finne ut hvor mange prosent som er ett tall fra et annet, trenger du tallet du vil finne, del på det totale antallet og gang med 100 %. Så, 1) 15 / 30 = 0,5 2) 0,5 * 100 % = 50 % Oppgaven er et utvalg. I 1 time produserte den automatiske maskinen 240 deler. Etter rekonstruksjonen av denne maskinen begynte han å produsere 288 av de samme delene i timen. Hvor mange prosent økte produktiviteten til maskinen? Løsning. Maskinens produktivitet har økt med 288-240=48 deler i timen. Du må finne ut hvor stor prosentandel av 240 deler som er 48 deler. For å finne ut hvor mange prosent av tallet 48 som er fra tallet 240, må du dele tallet 48 på 240 og multiplisere resultatet med 100 %. 48/240 *100 % =20 % Svar: maskinproduktiviteten økte med 20 %

Type 6: Øk tallet med en prosentandel. Reduser tallet med en prosentandel. A er et tall; øke med X %, så har den økt med (1 + x / 100) ganger. : 1) tallet A multipliseres med 2) (1 + x / 100). Oppgaven er et eksempel. . På fjorårets matteeksamen fikk 140 elever på videregående skole A. I år har antallet fremragende studenter økt med 15 %. Hvor mange fikk A på matteeksamenen i år? Løsning. 140 * (1 + 15/100) = 161. A - tall; vi reduserer med X%, deretter reduserte den med (1 - x / 100) ganger. : 1) tallet A multipliseres med 2) (1 - x / 100). Oppgaven er et eksempel. For et år siden gikk 100 barn ut av skolen. Og i år er det 25 % færre kandidater. Hvor mange uteksaminerte i år? Løsning. 100 * (1 - 25/100) = 75.

Type7: Løsningskonsentrasjon. Oppgaven er et eksempel. En kilo salt ble oppløst i 9 liter vann. Hva er konsentrasjonen av den resulterende løsningen? (Massen til 1 liter vann er 1 kg) (Peterson 6 celler) Løsning 1) Massen til det oppløste stoffet er 1 kg 2) Massen til hele løsningen 1 + 9 \u003d 10 (kg) 9 kg er massen vann i løsningen (ikke å forveksle med den totale massen av løsningen) 3) 1/10 * 100% \u003d 10% 10% - løsningskonsentrasjon

Type 8: Prosentandelen av metall i legeringen. Oppgave - prøve 1. Det er et stykke av en legering av kobber og tinn med en totalmasse på 12 kg, inneholdende 45 % kobber. Hvor mye rent tinn må tilsettes dette legeringsstykket slik at den resulterende legeringen inneholder 40 % kobber? Løsning.1)12 . 0,45= 5,4 (kg) - rent kobber i den første legeringen; 2) 5,4: 0,4= 13,5 (kg) - vekten av den nye legeringen; 3) 13,5- 12= 1,5 (kg) boks. Svar: du trenger 1,5 kg tinn.

Oppgave - prøve 2. Det er to legeringer, bestående av kobber, sink og tinn. Det er kjent at den første legeringen inneholder 40% tinn, og den andre - 26% kobber. Prosentandelen av sink i den første og andre legeringen er den samme. Etter å ha smeltet 150 kg av den første legeringen og 250 kg av den andre, ble det oppnådd en ny legering, der 30% sink viste seg å være. Bestem hvor mange kilo tinn som er inneholdt i den resulterende nye legeringen. Siden prosentandelen av sink i den første og andre legeringen er den samme og i den tredje legeringen viste det seg å være 30%, så er prosentandelen av sink 30% i den første og andre legeringen. 250 * 0,3 \u003d 75 (kg) - sink i den andre legeringen; 250 * 0,26 \u003d 65 (kg) - kobber i den andre legeringen; 250-(75+65)= 110 (kg) tinn i den andre legeringen; 150 . 0,4= 60 (kg) - tinn i den første legeringen; 110 + 60 = 170 (kg) - tinn i tredje legering. Svar: 170 kg. 1 legering 2 legering Ny legering (3) Kobber 26% Sink 30% 30% 30% Tinn 40% ?kg vekt 150kg 250kg 150+250=400

Type 9: På "tørrstoff". Nesten alle produkter - epler, vannmeloner, sopp, poteter, frokostblandinger, brød, etc. består av vann og tørrstoff. Dessuten inneholder både fersk og tørket mat vann. Under tørkeprosessen fordamper bare vann, og tørrstoffmassen endres ikke. A.G. Mordkovich “Matematikk 6” Oppgave nr. 362 Oppgaven er et eksempel. Fersk sopp inneholder 90% vann, og tørket - 15%. Hvor mange tørkede sopp får man fra 17 kg ferske? Hvor mange ferske sopp må du ta for å få 3,4 kg tørket? Løsning. La oss lage en tabell: Del 1 av oppgaven: stoff Masse stoff (kg) Prosent vann Andel tørrstoff Masse tørrstoff (kg) Fersk sopp 17kg 90 % 10 % 17*0,1=1,7 Tørket sopp X kg 15 % 85% X * o.85 \u003d 0,85x Siden tørrstoffmassen i tørr og fersk sopp forblir uendret, får vi ligningen: 0,85x \u003d 1,7, x \u003d 1,7: 0,85, x \u003d 2.

Del 2 av oppgaven: Stoff Masse av stoffet (kg) Prosent vann Andel vann Masse tørrstoff (kg) Fersk sopp х 90 % 10 % 0,1х Tørket sopp 3,4 15 % 85 % 3,4*0,85=2 ,89 0,1x = 2,89, x = 2,89: 0,1, x = 28,9. Svar: fra 17 kg fersk sopp får du 2 kg tørket; for å få 3,4 kg tørket sopp, må du ta 28,9 kg ferske.