To terninger kastes tilfeldig. Terning sannsynlighet

I alle oppgaver B6 på sannsynlighetsteori, som presenteres i Åpen jobbbank for, er det nødvendig å finne sannsynlighet enhver hendelse.

Du trenger bare å kjenne en formel, som brukes til å beregne sannsynlighet:

I denne formelen p er sannsynligheten for hendelsen,

k- antall arrangementer som "tilfredsstiller" oss, på språket sannsynlighetsteori de heter gunstige resultater.

n- antall alle mulige hendelser, eller antall mulige utfall.

Det er klart at antallet av alle mulige hendelser er større enn antallet gunstige utfall, så sannsynlighet er en verdi mindre enn eller lik 1.

Hvis en sannsynlighet hendelsen er lik 1, noe som betyr at denne hendelsen definitivt vil skje. En slik hendelse kalles autentisk. For eksempel er det faktum at etter søndag vil det være mandag, dessverre en bestemt hendelse og sannsynligheten er lik 1.

De største vanskelighetene med å løse problemer oppstår nettopp ved å finne tallene k og n.

Selvfølgelig, som i å løse eventuelle problemer, når du løser problemer på sannsynlighetsteori du må lese betingelsen nøye for å forstå hva som er gitt og hva som kreves for å bli funnet.

La oss se på noen eksempler på å løse problemer fra fra åpen bank oppdrag for .

Eksempel 1. I et tilfeldig eksperiment kastes to terninger. Finn sannsynligheten for å få 8 poeng totalt. Avrund resultatet til nærmeste hundredel.

La ett poeng falle på den første terningen, så kan 6 falle på den andre ulike alternativer. Siden det første beinet har 6 forskjellige ansikter, totalt antall forskjellige alternativer er lik 6x6=36.

Men vi er ikke fornøyd med alt. I henhold til tilstanden til problemet, skal summen av de tapte poengene være lik 8. La oss lage en tabell over gunstige utfall:

Vi ser at antall utfall som passer oss er 5.

Dermed er sannsynligheten for at totalt 8 poeng faller ut 5/36=0,13(8).

Nok en gang leser vi spørsmålet om problemet: det kreves å avrunde resultatet til hundredeler.

La oss huske avrundingsregel.

Vi må runde opp til hundredeler. Hvis det neste sifferet etter hundredeler (det vil si i tusendelssifferet) er et tall som er større enn eller lik 5, legger vi til 1 til tallet i hundredeler, hvis dette tallet er mindre enn 5 tallet i hundredelsifferet forblir uendret.

I vårt tilfelle er 8 på tusende plass, så tallet 3, som er på hundreplass, økes med 1.

Så p=5/36 ≈0,14

Svar: 0,14

Eksempel 2. 20 utøvere deltar i turnmesterskapet: 8 fra Russland, 7 fra USA, resten fra Kina. Rekkefølgen gymnastene opptrer i bestemmes ved loddtrekning. Finn sannsynligheten for at utøveren som konkurrerer først er fra Kina.

I denne oppgaven er antallet mulige utfall 20 - dette er antallet av alle idrettsutøvere.

Finn antall gunstige utfall. Det er lik antall idrettsutøvere fra Kina.

På denne måten,

Svar: 0,25

Eksempel 3: I gjennomsnitt, av 1000 solgte hagepumper, lekker 5. Finn sannsynligheten for at én tilfeldig valgt pumpe ikke lekker.

I denne oppgaven er n=1000.

Vi er interessert i pumper som ikke lekker. Antallet deres er 1000-5=995. De.

Oppgaver for terning sannsynlighet ikke mindre populært enn myntkastingsproblemer. Tilstanden til et slikt problem høres vanligvis slik ut: når du kaster en eller flere terning(2 eller 3), hva er sannsynligheten for at summen av poeng er 10, eller antall poeng er 4, eller produktet av antall poeng, eller delelig med 2 produktet av antall poeng, og så på.

Anvendelsen av den klassiske sannsynlighetsformelen er hovedmetoden for å løse problemer av denne typen.

En dør, sannsynlighet.

Situasjonen er ganske enkel med én terning. bestemmes av formelen: P=m/n, hvor m er antall gunstige utfall for hendelsen, og n er antallet av alle elementære like mulige utfall av eksperimentet med å kaste en terning eller en terning.

Oppgave 1. En terning kastes én gang. Hva er sannsynligheten for å få et partall poeng?

Siden terningen er en terning (eller den kalles også en vanlig terning, vil terningen falle på alle flater med samme sannsynlighet, siden den er balansert), har terningen 6 flater (antall poeng fra 1 til 6, som er vanligvis indikert med prikker), som betyr at det totale antallet utfall i oppgaven: n=6. Begivenheten favoriseres kun av utfall der et ansikt med partallspunkter 2,4 og 6 faller ut, for en kube av slike ansikter: m=3. Nå kan vi bestemme ønsket sannsynlighet for en terning: P=3/6=1/2=0,5.

Oppgave 2. En terning kastes én gang. Hva er sannsynligheten for å få minst 5 poeng?

Et slikt problem løses analogt med eksemplet angitt ovenfor. Når du kaster en terning, er det totale antallet like mulige utfall: n=6, og tilfredsstiller betingelsen for problemet (minst 5 poeng falt ut, det vil si at 5 eller 6 poeng falt ut) kun 2 utfall, som betyr m =2. Deretter finner vi ønsket sannsynlighet: P=2/6=1/3=0,333.

To terninger, sannsynlighet.

Når du løser problemer med å kaste 2 terninger, er det veldig praktisk å bruke en spesiell poengtabell. På den er antall poeng som falt på den første terningen plottet horisontalt, og antall poeng som falt på den andre terningen er plottet vertikalt. Arbeidsstykket ser slik ut:

Men spørsmålet oppstår, hva vil være i de tomme cellene i tabellen? Det avhenger av oppgaven som skal løses. Hvis du er i en oppgave vi snakker om summen av poeng, så registreres summen der, og hvis omtrent differansen, så registreres differansen og så videre.

Oppgave 3. 2 terninger kastes samtidig. Hva er sannsynligheten for å få en sum mindre enn 5 poeng?

Først må du finne ut hva som vil være det totale antallet utfall av eksperimentet. Alt var åpenbart når kaste en terning 6 sider av kuben - 6 utfall av eksperimentet. Men når det allerede er to terninger, kan de mulige utfallene representeres som ordnede tallpar av formen (x, y), der x viser hvor mange poeng som falt på den første terningen (fra 1 til 6), og y - hvor mange poeng som falt på den andre terningen (fra 1 til 6). Totalt vil det være slike numeriske par: n=6*6=36 (36 celler tilsvarer dem i tabellen over utfall).

Nå kan du fylle ut tabellen, for dette legges tallet på summen av poeng som falt på den første og andre terningen inn i hver celle. Den ferdige tabellen ser slik ut:

Takket være tabellen, vil vi bestemme antall utfall som favoriserer arrangementet "dråper totalt mindre enn 5 poeng". La oss telle antall celler, verdien av summen som vil være mindre enn antall 5 (det er 2, 3 og 4). For enkelhets skyld maler vi over slike celler, de vil være m = 6:

Gitt tabelldataene, terning sannsynlighet tilsvarer: P=6/36=1/6.

Oppgave 4. To terninger ble kastet. Bestem sannsynligheten for at produktet av antall poeng vil være delelig med 3.

For å løse problemet vil vi lage en tabell over produktene av poeng som falt på den første og andre terningen. I den velger vi umiddelbart tall som er multipler av 3:

Vi skriver ned totalt antall utfall av eksperimentet n=36 (resonnementet er det samme som i forrige oppgave) og antall gunstige utfall (antall celler som er skyggelagt i tabellen) m=20. Sannsynligheten for en hendelse er: P=20/36=5/9.

Oppgave 5. En terning kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for at forskjellen mellom antall poeng på første og andre terning vil være mellom 2 og 5?

Å bestemme terning sannsynlighet La oss skrive ned tabellen med poengforskjeller og velge de cellene i den, verdien av forskjellen vil være mellom 2 og 5:

Antall gunstige utfall (antall celler skyggelagt i tabellen) er lik m=10, det totale antallet like sannsynlige elementære resultater vil være n=36. Bestemmer sannsynligheten for en hendelse: P=10/36=5/18.

I tilfelle av en enkel hendelse og når du kaster 2 terninger, må du bygge en tabell, deretter velge de nødvendige cellene i den og dele antallet med 36, dette vil bli ansett som en sannsynlighet.

Svar igjen Gjest

Med én terning er situasjonen uanstendig enkel. La meg minne deg på at sannsynligheten er funnet av formelen P=m/n
P
=
m
n
, hvor n
n
- antallet av alle like mulige elementære utfall av eksperimentet med å kaste en terning eller en terning, og m
m
- antall utfall som favoriserer arrangementet.

Eksempel 1. En terning kastes én gang. Hva er sannsynligheten for å få et partall poeng?

Siden terningen er en terning (de sier også en vanlig terning, det vil si at en terning er balansert, slik at den faller på alle flater med samme sannsynlighet), er terningens flater 6 (med et antall poeng fra 1 til 6, vanligvis angitt med poeng), og det totale antallet utfall i oppgaven n=6
n
=
6
. Bare slike utfall er gunstige for hendelsen når et ansikt med 2, 4 eller 6 poeng (bare ens) faller ut, slike ansikter er m = 3
m
=
3
. Da er ønsket sannsynlighet P=3/6=1/2=0,5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Eksempel 2. En terning kastes. Finn sannsynligheten for å få minst 5 poeng.

Vi argumenterer på samme måte som i forrige eksempel. Det totale antallet like sannsynlige utfall når du kaster en terning n=6
n
=
6
, og betingelsen "minst 5 poeng falt ut", det vil si "enten 5 eller 6 poeng falt ut" er oppfylt av 2 utfall, m=2
m
=
2
. Den nødvendige sannsynligheten er P=2/6=1/3=0,333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Jeg ser ikke engang poenget med å gi flere eksempler, la oss gå videre til to terninger, der alt er mer interessant og vanskeligere.

To terninger

Når det kommer til problemer med å kaste 2 terninger, er det veldig praktisk å bruke poengtabellen. La oss plotte antall poeng på den første terningen horisontalt, og antall poeng på den andre terningen vertikalt. La oss få en slik blank (vanligvis gjør jeg det i Excel, du kan laste ned filen nedenfor):

scoringstabell for å kaste 2 terninger
Og hva med tabellcellene, spør du? Og det kommer an på hvilket problem vi skal løse. Det blir en oppgave om summen av poeng - vi skal skrive ned summen der, om differansen - vi skal skrive ned differansen, og så videre. Er vi i gang?

Eksempel 3. 2 terninger kastes samtidig. Finn sannsynligheten for at det totale kast er mindre enn 5.

La oss først ta for oss det totale antallet utfall av eksperimentet. da vi kastet en terning, var alt åpenbart, 6 ansikter - 6 utfall. Det er allerede to bein her, så resultatene kan representeres som ordnede tallpar på formen (x, y)
x
,
y
, hvor x
x
- hvor mange poeng falt på den første terningen (fra 1 til 6), y
y
- hvor mange poeng som falt på den andre terningen (fra 1 til 6). Det er klart at det vil være n=6⋅6=36 slike tallpar
n
=
6
⋅
6
=
36
(og de tilsvarer bare 36 celler i tabellen over utfall).

Nå er det på tide å fylle ut tabellen. I hver celle vil vi legge inn summen av antall poeng som er falt på den første og andre terningen, og vi får følgende bilde:

scoringstabell for å kaste 2 terninger
Nå vil denne tabellen hjelpe oss med å finne antall utfall som favoriserer arrangementet "totalt mindre enn 5" utfall. For å gjøre dette, teller vi antall celler der sumverdien er mindre enn 5 (det vil si 2, 3 eller 4). For klarhetens skyld vil vi male over disse cellene, de vil være m = 6
m
=
6
:

tabell over summene av poeng mindre enn 5 når du kaster 2 terninger
Da er sannsynligheten: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Eksempel 4. To terninger kastes. Finn sannsynligheten for at produktet av antall poeng er delelig med 3.

Vi lager en tabell over produktene av poengene som falt på den første og andre terningen. Velg umiddelbart i den de tallene som er multipler av 3:

scoringstabell for å kaste 2 terninger
Det gjenstår bare å skrive ned at det totale antallet utfall n=36
n
=
36
(se forrige eksempel, resonnementet er det samme), og antall gunstige utfall (antall fylte celler i tabellen ovenfor) m=20
m
=
20
. Da vil sannsynligheten for hendelsen være lik P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Som du kan se, kan denne typen oppgaver, med riktig forberedelse (for å sortere ut et par oppgaver til), løses raskt og enkelt. For en forandring, la oss gjøre en oppgave til med en annen tabell (alle tabeller kan lastes ned nederst på siden).

Eksempel 5. En terning kastes to ganger. Finn sannsynligheten for at forskjellen mellom antall poeng på den første og andre terningen vil være fra 2 til 5.

La oss skrive ned tabellen med poengforskjeller, velg cellene i den, der verdien av forskjellen vil være mellom 2 og 5:

poengforskjellstabell for å kaste 2 terninger
Slik at det totale antallet like mulige elementære utfall n=36
n
=
36
, og antall gunstige utfall (antall fylte celler i tabellen ovenfor) er m=10
m
=
10
. Da vil sannsynligheten for hendelsen være lik P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Så, i tilfelle når det gjelder å kaste 2 terninger og enkel begivenhet, må du bygge en tabell, velge de nødvendige cellene i den og dele antallet med 36, dette vil være sannsynligheten. I tillegg til oppgaver om sum, produkt og differanse av antall poeng, er det også oppgaver om differansemodulen, minste og største antall poeng som har falt ut (du finner passende tabeller i Excel-filen) .