Betydningen av den første deriverte. Funksjonsderivat

Her er en oppsummeringstabell for enkelhets skyld og klarhet når du studerer emnet.

Konstanty=C Effektfunksjon y = x p (x p)" = p x p - 1	Eksponentiell funksjony = x (a x)" = a x ln a Spesielt nåra = evi har y = e x (e x)" = e x
logaritmisk funksjon (log a x) " = 1 x ln a Spesielt nåra = evi har y = log x (ln x)" = 1 x	Trigonometriske funksjoner (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Inverse trigonometriske funksjoner (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Hyperbolske funksjoner (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

La oss analysere hvordan formlene til den spesifiserte tabellen ble oppnådd, eller med andre ord, vi vil bevise utledningen av formler for derivater for hver type funksjon.

Derivert av en konstant

Bevis 1

For å utlede denne formelen tar vi utgangspunkt i definisjonen av den deriverte av en funksjon i et punkt. Vi bruker x 0 = x, hvor x tar på seg verdien av et hvilket som helst reelt tall, eller med andre ord, x er et hvilket som helst tall fra domenet til funksjonen f (x) = C . La oss skrive grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet som ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Vær oppmerksom på at uttrykket 0 ∆ x faller under grensetegnet. Det er ikke usikkerheten til "null delt på null", siden telleren ikke inneholder en uendelig liten verdi, men null. Med andre ord er økningen av en konstant funksjon alltid null.

Så den deriverte av konstantfunksjonen f (x) = C er lik null over hele definisjonsdomenet.

Eksempel 1

Gitt konstante funksjoner:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Løsning

La oss beskrive de gitte forholdene. I den første funksjonen ser vi den deriverte av det naturlige tallet 3 . I det følgende eksempelet må du ta den deriverte av en, hvor en- et hvilket som helst reelt tall. Det tredje eksemplet gir oss den deriverte av det irrasjonelle tallet 4 . 13 7 22 , den fjerde - den deriverte av null (null er et heltall). Til slutt, i det femte tilfellet, har vi den deriverte av den rasjonelle brøken - 8 7 .

Svar: de deriverte av de gitte funksjonene er null for enhver reell x(over hele definisjonsdomenet)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Power funksjon derivert

Vi vender oss til potensfunksjonen og formelen for dens deriverte, som har formen: (x p) " = p x p - 1, hvor eksponenten s er et hvilket som helst reelt tall.

Bevis 2

Her er beviset på formelen når eksponenten er et naturlig tall: p = 1, 2, 3, …

Igjen stoler vi på definisjonen av et derivat. La oss skrive grensen for forholdet mellom økningen av potensfunksjonen og økningen av argumentet:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

For å forenkle uttrykket i telleren bruker vi Newtons binomiale formel:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

På denne måten:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Så vi beviste formelen for den deriverte av en potensfunksjon når eksponenten er et naturlig tall.

Bevis 3

For å gi bevis for saken når p- et hvilket som helst reelt tall enn null, bruker vi den logaritmiske deriverte (her bør vi forstå forskjellen fra den deriverte av den logaritmiske funksjonen). For å få en mer fullstendig forståelse, er det ønskelig å studere den deriverte av den logaritmiske funksjonen og i tillegg ta for seg den deriverte av en implisitt gitt funksjon og den deriverte av en kompleks funksjon.

Tenk på to tilfeller: når x positivt og når x er negative.

Altså x > 0. Deretter: x p > 0 . Vi tar logaritmen til likheten y \u003d x p til grunntallet e og bruker egenskapen til logaritmen:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

På dette stadiet er en implisitt definert funksjon oppnådd. La oss definere dens deriverte:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Nå vurderer vi saken når x- et negativt tall.

Hvis indikatoren s er et partall, er potensfunksjonen også definert for x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Så xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Hvis en s er et oddetall, er potensfunksjonen definert for x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x) ) p - 1 = p x p - 1

Den siste overgangen er mulig fordi hvis s er altså et oddetall p - 1 enten et partall eller null (for p = 1), derfor for negativ x likheten (- x) p - 1 = x p - 1 er sann.

Så vi har bevist formelen for den deriverte av en potensfunksjon for enhver reell p.

Eksempel 2

Oppgitte funksjoner:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Bestem deres derivater.

Løsning

Vi transformerer en del av de gitte funksjonene til en tabellform y = x p , basert på egenskapene til graden, og bruker deretter formelen:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivert av eksponentiell funksjon

Bevis 4

Vi utleder formelen for den deriverte, basert på definisjonen:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Vi fikk usikkerhet. For å utvide den skriver vi en ny variabel z = a ∆ x - 1 (z → 0 som ∆ x → 0). I dette tilfellet a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . For den siste overgangen brukes formelen for overgangen til en ny basis av logaritmen.

La oss utføre en erstatning i den opprinnelige grensen:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Husk den andre fantastiske grensen, og så får vi formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Eksempel 3

Eksponentialfunksjonene er gitt:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Vi må finne deres derivater.

Løsning

Vi bruker formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen og egenskapene til logaritmen:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivert av en logaritmisk funksjon

Bevis 5

Vi presenterer beviset på formelen for den deriverte av den logaritmiske funksjonen for evt x i definisjonsdomenet og eventuelle gyldige verdier av basen a i logaritmen. Basert på definisjonen av den deriverte får vi:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x . = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Det kan sees fra den spesifiserte likhetskjeden at transformasjonene ble bygget på grunnlag av logaritme-egenskapen. Likhetsgrensen ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e er sann i samsvar med den andre bemerkelsesverdige grensen.

Eksempel 4

Logaritmiske funksjoner er gitt:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

Det er nødvendig å beregne deres derivater.

Løsning

La oss bruke den avledede formelen:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Så den deriverte av den naturlige logaritmen er en dividert med x.

Derivater av trigonometriske funksjoner

Bevis 6

Vi bruker noen trigonometriske formler og den første fantastiske grensen for å utlede formelen for den deriverte av en trigonometrisk funksjon.

I henhold til definisjonen av den deriverte av sinusfunksjonen får vi:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formelen for forskjellen av sines vil tillate oss å utføre følgende handlinger:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Til slutt bruker vi den første fantastiske grensen:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Altså den deriverte av funksjonen synd x vil være fordi x.

Vi vil også bevise formelen for cosinusderivatet på samme måte:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

De. den deriverte av funksjonen cos x vil være – synd x.

Vi utleder formlene for derivatene av tangenten og cotangensen basert på reglene for differensiering:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivater av inverse trigonometriske funksjoner

Avsnittet om derivatet av inverse funksjoner gir omfattende informasjon om beviset for formlene for derivatene av arcsine, arccosine, arctangens og arccotangent, så vi vil ikke duplisere materialet her.

Derivater av hyperbolske funksjoner

Bevis 7

Vi kan utlede formler for de deriverte av den hyperbolske sinus, cosinus, tangens og cotangens ved å bruke differensieringsregelen og formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Kan tas ut av skiltet derivat:

(af(x)"=af" (x).

For eksempel:

Derivat av en algebraisk sum flere funksjoner (tatt i et konstant tall) er lik den algebraiske summen av deres derivater:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 "(x) + f 2 "(x) - f 3 "(x).

For eksempel:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8) "= (0,3 x 2)" - (2 x) "+ (0,8)" = 0,6 x - 2 ( derivat siste begrep ligningen er null).

Hvis en funksjonsderiverte g er ikke null, da har forholdet f/g også endelig derivat. Denne egenskapen kan skrives som:

.

La funksjoner y = f(x) og y = g(x) har endelige derivater ved punktet x 0. Deretter funksjoner f ± g og f g har også endelige derivater i dette punkt. Da får vi:

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′.

Derivat av en kompleks funksjon.

La funksjon y = f(x) har den endelige deriverte på et punkt x 0 , funksjonen z = s(y) har en endelig derivert i punktet y 0 = f(x 0).

Deretter kompleks funksjon z = s (f(x)) har også en endelig derivert på dette punktet. Dette kan skrives i formen:

.

Derivert av den inverse funksjonen.

La funksjonen y = f(x) ha invers funksjon x = g(y) på noen intervall(a, b) og det finnes en ikke-null endelig derivat denne funksjonen i punktet x 0 , som hører til domener, dvs. x 0 ∈ (a, b).

Deretter invers funksjon Det har derivat ved punktet y 0 = f(x 0):

.

Avledet av en implisitt funksjon.

Hvis en funksjon y = f(x) er implisitt definert ligning F(x, y(x)) = 0, så dens derivat er funnet fra tilstanden:

.

De sier det funksjon y = f(x) satt implisitt, Om hun identisk tilfredsstiller forholdet:

hvor F(x, y) er en funksjon av to argumenter.

Derivert av en funksjon gitt parametrisk.

Hvis en funksjon y = f(x) er gitt parametrisk ved å bruke den betraktede

Den deriverte av en funksjon er et av de vanskeligste temaene i skolens læreplan. Ikke alle nyutdannede vil svare på spørsmålet om hva et derivat er.

Denne artikkelen forklarer enkelt og tydelig hva et derivat er og hvorfor det er nødvendig.. Vi vil ikke nå etterstrebe matematisk strenghet i presentasjonen. Det viktigste er å forstå meningen.

La oss huske definisjonen:

Den deriverte er endringshastigheten til funksjonen.

Figuren viser grafer over tre funksjoner. Hvilken tror du vokser raskest?

Svaret er åpenbart - det tredje. Den har den høyeste endringshastigheten, det vil si det største derivatet.

Her er et annet eksempel.

Kostya, Grisha og Matvey fikk jobb samtidig. La oss se hvordan inntektene deres endret seg i løpet av året:

Du kan se alt på diagrammet med en gang, ikke sant? Kostyas inntekt har mer enn doblet seg på seks måneder. Og Grishas inntekt økte også, men bare litt. Og Matthews inntekt sank til null. Startbetingelsene er de samme, men endringshastigheten til funksjonen, dvs. derivat, - forskjellig. Når det gjelder Matvey, er derivatet av inntekten hans generelt negativ.

Intuitivt kan vi enkelt estimere endringshastigheten til en funksjon. Men hvordan gjør vi det?

Det vi egentlig ser på er hvor bratt grafen til funksjonen går opp (eller ned). Med andre ord, hvor raskt y endres med x. Det er klart at den samme funksjonen på forskjellige punkter kan ha en annen verdi av den deriverte - det vil si at den kan endre seg raskere eller langsommere.

Den deriverte av en funksjon er betegnet med .

La oss vise hvordan du finner ved hjelp av grafen.

En graf for en funksjon tegnes. Ta et poeng på det med en abscisse. Tegn en tangent til grafen til funksjonen på dette punktet. Vi ønsker å evaluere hvor bratt grafen til funksjonen går opp. En praktisk verdi for dette er tangens av stigningstallet til tangenten.

Den deriverte av en funksjon i et punkt er lik tangenten til helningen til tangenten tegnet til grafen til funksjonen i det punktet.

Vær oppmerksom på - som hellingsvinkelen til tangenten, tar vi vinkelen mellom tangenten og den positive retningen til aksen.

Noen ganger spør elevene hva som er tangenten til grafen til en funksjon. Dette er en rett linje som har det eneste fellespunktet med grafen i denne delen, dessuten, som vist i vår figur. Det ser ut som en tangent til en sirkel.

La oss finne . Vi husker at tangenten til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende. Fra trekant:

Vi fant den deriverte ved å bruke grafen uten engang å vite formelen til funksjonen. Slike oppgaver finnes ofte på eksamen i matematikk under nummeret.

Det er en annen viktig sammenheng. Husk at den rette linjen er gitt av ligningen

Mengden i denne ligningen kalles hellingen av en rett linje. Det er lik tangenten til helningsvinkelen til den rette linjen til aksen.

.

Det skjønner vi

La oss huske denne formelen. Det uttrykker den geometriske betydningen av derivatet.

Den deriverte av en funksjon i et punkt er lik helningen til tangenten tegnet til grafen til funksjonen i det punktet.

Med andre ord er den deriverte lik tangenten til stigningstallet til tangenten.

Vi har allerede sagt at samme funksjon kan ha forskjellige deriverte på forskjellige punkter. La oss se hvordan den deriverte er relatert til funksjonen til funksjonen.

La oss tegne en graf over en funksjon. La denne funksjonen øke på noen områder, og avta på andre, og med forskjellige hastigheter. Og la denne funksjonen ha maksimum og minimum poeng.

På et tidspunkt øker funksjonen. Tangenten til grafen, tegnet ved punktet, danner en spiss vinkel med den positive retningen til aksen. Så den deriverte er positiv på punktet.

På det tidspunktet er funksjonen vår avtagende. Tangenten på dette punktet danner en stump vinkel med den positive retningen til aksen. Siden tangenten til en stump vinkel er negativ, er den deriverte i punktet negativ.

Her er hva som skjer:

Hvis en funksjon øker, er dens deriverte positiv.

Hvis den avtar, er dens deriverte negativ.

Og hva vil skje ved maksimums- og minimumspoeng? Vi ser at ved (maksimumspunkt) og (minimumspunkt) er tangenten horisontal. Derfor er tangenten til hellingen til tangenten i disse punktene null, og den deriverte er også null.

Poenget er maksimumspunktet. På dette tidspunktet erstattes økningen av funksjonen med en reduksjon. Følgelig endres tegnet til den deriverte ved punktet fra "pluss" til "minus".

På punktet - minimumspunktet - er den deriverte også lik null, men fortegnet endres fra "minus" til "pluss".

Konklusjon: ved hjelp av den deriverte kan du finne ut alt som interesserer oss om funksjonens oppførsel.

Hvis den deriverte er positiv, øker funksjonen.

Hvis den deriverte er negativ, er funksjonen synkende.

Ved maksimumspunktet er den deriverte null og skifter fortegn fra pluss til minus.

Ved minimumspunktet er også den deriverte null og skifter fortegn fra minus til pluss.

Vi skriver disse funnene i form av en tabell:

	øker	maksimum poeng	avtar	minimumspoeng	øker
+	0	-	0	+

La oss gjøre to små avklaringer. Du trenger en av dem når du skal løse eksamensoppgaver. En annen - i det første året, med en mer seriøs studie av funksjoner og derivater.

Et tilfelle er mulig når den deriverte av en funksjon på et tidspunkt er lik null, men funksjonen har verken et maksimum eller et minimum på dette punktet. Dette såkalte :

I et punkt er tangenten til grafen horisontal og den deriverte er null. Men før punktet økte funksjonen - og etter punktet fortsetter den å øke. Tegnet til den deriverte endres ikke - det har holdt seg positivt som det var.

Det hender også at ved punktet for maksimum eller minimum eksisterer ikke derivatet. På grafen tilsvarer dette et skarpt brudd, når det er umulig å tegne en tangent i et gitt punkt.

Men hvordan finne den deriverte hvis funksjonen ikke er gitt av en graf, men av en formel? I dette tilfellet gjelder det

Det er absolutt umulig å løse fysiske problemer eller eksempler i matematikk uten kunnskap om den deriverte og metoder for å beregne den. Den deriverte er et av de viktigste begrepene innen matematisk analyse. Vi bestemte oss for å vie dagens artikkel til dette grunnleggende emnet. Hva er en derivert, hva er dens fysiske og geometriske betydning, hvordan beregner man den deriverte av en funksjon? Alle disse spørsmålene kan kombineres til ett: hvordan forstå den deriverte?

Geometrisk og fysisk betydning av derivatet

La det være en funksjon f(x) , gitt i et visst intervall (a,b) . Punktene x og x0 tilhører dette intervallet. Når x endres, endres selve funksjonen. Argumentendring - forskjell på verdiene x-x0 . Denne forskjellen er skrevet som delta x og kalles argumentøkning. En endring eller økning av en funksjon er forskjellen mellom verdiene til en funksjon ved to punkter. Derivatdefinisjon:

Den deriverte av en funksjon i et punkt er grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen ved et gitt punkt og økningen av argumentet når sistnevnte har en tendens til null.

Ellers kan det skrives slik:

Hva er vitsen med å finne en slik grense? Men hvilken:

den deriverte av en funksjon i et punkt er lik tangenten til vinkelen mellom OX-aksen og tangenten til grafen til funksjonen i et gitt punkt.

Den fysiske betydningen av derivatet: den tidsderiverte av banen er lik hastigheten til den rettlinjede bevegelsen.

Faktisk, siden skoledagene vet alle at hastighet er en privat vei. x=f(t) og tid t . Gjennomsnittlig hastighet over en viss tidsperiode:

For å finne ut bevegelseshastigheten om gangen t0 du må beregne grensen:

Regel én: ta ut konstanten

Konstanten kan tas ut av tegnet til den deriverte. Dessuten må det gjøres. Når du løser eksempler i matematikk, ta som regel - hvis du kan forenkle uttrykket, sørg for å forenkle .

Eksempel. La oss beregne den deriverte:

Regel to: derivert av summen av funksjoner

Den deriverte av summen av to funksjoner er lik summen av de deriverte av disse funksjonene. Det samme gjelder for den deriverte av funksjonsforskjellen.

Vi vil ikke gi et bevis på denne teoremet, men heller vurdere et praktisk eksempel.

Finn den deriverte av en funksjon:

Regel tre: den deriverte av produktet av funksjoner

Den deriverte av produktet av to differensierbare funksjoner beregnes med formelen:

Eksempel: finn den deriverte av en funksjon:

Løsning:

Her er det viktig å si om beregningen av deriverte av komplekse funksjoner. Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av denne funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet med den deriverte av det mellomliggende argumentet med hensyn til den uavhengige variabelen.

I eksemplet ovenfor møter vi uttrykket:

I dette tilfellet er det mellomliggende argumentet 8x til femte potens. For å beregne den deriverte av et slikt uttrykk, vurderer vi først den deriverte av den eksterne funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet, og deretter multiplisere med den deriverte av selve mellomargumentet med hensyn til den uavhengige variabelen.

Regel fire: Den deriverte av kvotienten til to funksjoner

Formel for å bestemme den deriverte av en kvotient av to funksjoner:

Vi prøvde å snakke om derivater for dummies fra bunnen av. Dette emnet er ikke så enkelt som det høres ut, så vær advart: det er ofte fallgruver i eksemplene, så vær forsiktig når du beregner derivater.

Ved spørsmål om dette og andre temaer kan du kontakte studenttjenesten. I løpet av kort tid vil vi hjelpe deg med å løse den vanskeligste kontrollen og håndtere oppgaver, selv om du aldri har drevet med beregning av derivater før.