Egenverdier og egenvektorer til en kvadratisk matrise. §7

Vektoren X ≠ 0 kalles egen vektor lineær operator med matrise A, hvis det er et slikt tall  at AX = X.

I dette tilfellet kalles nummeret  egenverdi operator (matrise A) som tilsvarer vektoren x.

Med andre ord er en egenvektor en vektor som, under påvirkning av en lineær operatør, transformeres til kollineær vektor, dvs. bare multipliser med et tall. I motsetning til ham, ikke egenvektorer vanskeligere å transformere.

Vi skriver definisjonen av egenvektoren som et ligningssystem:

La oss flytte alle begrepene til venstre side:

Det siste systemet kan skrives i matriseform som følger:

(A - E) X \u003d O

Det resulterende systemet har alltid en nullløsning X = O. Slike systemer der alle frie ledd er lik null kalles homogen. Hvis matrisen til et slikt system er kvadratisk, og dens determinant ikke er lik null, vil vi i henhold til Cramers formler alltid få en unik løsning - null. Det kan bevises at systemet har ikke-null løsninger hvis og bare hvis determinanten til denne matrisen er lik null, dvs.

|A - E| = = 0

Denne ligningen med ukjent  kalles karakteristisk ligning(karakteristisk polynom) matrise A (lineær operator).

Det kan bevises at det karakteristiske polynomet til en lineær operator ikke er avhengig av valget av grunnlag.

La oss for eksempel finne egenverdiene og egenvektorene til den lineære operatoren gitt av matrisen A = .

For å gjøre dette, vil vi komponere karakteristisk ligning|A - E| = \u003d (1 -) 2 - 36 \u003d 1 - 2 +  2 - 36 \u003d 2 - 2- 35; D \u003d 4 + 140 \u003d 144; egenverdier 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

For å finne egenvektorene løser vi to ligningssystemer

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

For den første av dem vil den utvidede matrisen ha formen

hvorfra x 2 \u003d c, x 1 + (2/3) c \u003d 0; x 1 \u003d - (2/3) s, dvs. X (1) \u003d (- (2/3) s; s).

For den andre av dem vil den utvidede matrisen ha formen

hvorfra x 2 \u003d c 1, x 1 - (2/3) c 1 \u003d 0; x 1 \u003d (2/3) s 1, dvs. X (2) \u003d ((2/3) s 1; s 1).

Dermed er egenvektorene til denne lineære operatoren alle vektorer av formen (-(2/3)c; c) med egenverdi (-5) og alle vektorer av formen ((2/3)c 1 ; c 1) med egenverdi 7 .

Det kan bevises at matrisen til operatoren A i grunnlaget som består av dens egenvektorer er diagonal og har formen:

hvor  i er egenverdiene til denne matrisen.

Det motsatte er også sant: hvis matrisen A på en eller annen basis er diagonal, vil alle vektorer av denne basisen være egenvektorer til denne matrisen.

Det kan også bevises at hvis en lineær operator har n parvis distinkte egenverdier, så er de korresponderende egenvektorene lineært uavhengige, og matrisen til denne operatoren i den tilsvarende basisen har en diagonal form.

Med matrise A, hvis det er et tall l slik at AX = lX.

I dette tilfellet kalles tallet l egenverdi operator (matrise A) som tilsvarer vektoren X.

En egenvektor er med andre ord en vektor som under påvirkning av en lineær operator transformerer seg til en kollineær vektor, dvs. bare multipliser med et tall. I motsetning til dette er uriktige vektorer vanskeligere å transformere.

Vi skriver definisjonen av egenvektoren som et ligningssystem:

La oss flytte alle begrepene til venstre side:

Det siste systemet kan skrives i matriseform som følger:

(A - lE)X \u003d O

|A - lE| = = 0

Denne ligningen med ukjent l kalles karakteristisk ligning (karakteristisk polynom) matrise A (lineær operator).

Det kan bevises at det karakteristiske polynomet til en lineær operator ikke er avhengig av valget av grunnlag.

La oss for eksempel finne egenverdiene og egenvektorene til den lineære operatoren, gitt av matrisen A = .

For å gjøre dette, komponerer vi den karakteristiske ligningen |А - lЕ| = \u003d (1 - l) 2 - 36 \u003d 1 - 2l + l 2 - 36 \u003d l 2 - 2l - 35 \u003d 0; D \u003d 4 + 140 \u003d 144; egenverdier l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 \u003d (2 + 12) / 2 \u003d 7.

For å finne egenvektorene løser vi to ligningssystemer

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

For den første av dem vil den utvidede matrisen ha formen

hvorfra x 2 \u003d c, x 1 + (2/3) c \u003d 0; x 1 \u003d - (2/3) s, dvs. X (1) \u003d (- (2/3) s; s).

For den andre av dem vil den utvidede matrisen ha formen

hvorfra x 2 \u003d c 1, x 1 - (2/3) c 1 \u003d 0; x 1 \u003d (2/3) s 1, dvs. X (2) \u003d ((2/3) s 1; s 1).

Dermed er egenvektorene til denne lineære operatoren alle vektorer av formen (-(2/3)c; c) med egenverdi (-5) og alle vektorer av formen ((2/3)c 1 ; c 1) med egenverdi 7 .

Det kan bevises at matrisen til operatoren A i grunnlaget som består av dens egenvektorer er diagonal og har formen:

hvor l i er egenverdiene til denne matrisen.

Det motsatte er også sant: hvis matrisen A på en eller annen basis er diagonal, vil alle vektorer av denne basisen være egenvektorer til denne matrisen.

La oss forklare dette med forrige eksempel. La oss ta vilkårlige ikke-null-verdier c og c 1 , men slik at vektorene X (1) og X (2) er lineært uavhengige, dvs. ville danne grunnlag. La for eksempel c \u003d c 1 \u003d 3, deretter X (1) \u003d (-2; 3), X (2) \u003d (2; 3).

La oss forsikre oss om det lineær uavhengighet disse vektorene:

12 ≠ 0. I dette nye grunnlaget vil matrisen A ha formen A * = .

For å bekrefte dette bruker vi formelen A * = C -1 AC. La oss finne C -1 først.

C-1 = ;

Kvadratiske former

kvadratisk form f (x 1, x 2, x n) fra n variabler kalles summen, hvor hvert ledd er enten kvadratet av en av variablene, eller produktet av to forskjellige variabler, tatt med en viss koeffisient: f (x 1) , x 2, x n) = (a ij = en ji).

Matrisen A, sammensatt av disse koeffisientene, kalles matrisekvadratisk form. Det er det alltid symmetrisk matrise (dvs. en matrise symmetrisk om hoveddiagonalen, a ij = a ji).

I matrisenotasjon kvadratisk form har formen f(X) = X T AX, hvor

Faktisk

La oss for eksempel skrive inn matriseform kvadratisk form.

For å gjøre dette finner vi en matrise av en kvadratisk form. Dens diagonale elementer er lik koeffisientene ved kvadratene til variablene, og de resterende elementene er lik halvparten av de tilsvarende koeffisientene til kvadratisk form. Derfor

La matrisekolonnen av variablene X oppnås ved en ikke-degenerert lineær transformasjon av matrisekolonnen Y, dvs. X \u003d CY, hvor C - ikke-singular matrise n. orden. Da er den kvadratiske formen f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Under en ikke-degenerert lineær transformasjon C, har matrisen til den kvadratiske formen formen: A * = C T AC.

La oss for eksempel finne den kvadratiske formen f(y 1, y 2) oppnådd fra den kvadratiske formen f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ved en lineær transformasjon.

Den kvadratiske formen kalles kanonisk(Det har kanonisk syn) hvis alle dens koeffisienter a ij = 0 for i ≠ j, dvs.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.

Matrisen er diagonal.

Teorem(beviset er ikke gitt her). Enhver kvadratisk form kan reduseres til kanonisk form ved å bruke en ikke-degenerert lineær transformasjon.

La oss for eksempel redusere den kvadratiske formen til den kanoniske formen
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

For å gjøre dette velger vi først full firkant med variabel x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Nå velger vi hele kvadratet for variabelen x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) + (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

Deretter bringer den ikke-degenererte lineære transformasjonen y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 + (1/10) x 3 og y 3 \u003d x 3 denne kvadratiske formen til den kanoniske formen f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20) y 3 2 .

Merk at den kanoniske formen til en kvadratisk form er definert tvetydig (den samme kvadratiske formen kan reduseres til den kanoniske formen forskjellige måter). Imidlertid forskjellige måter kanoniske former har et tall felles egenskaper. Spesielt er antallet ledd med positive (negative) koeffisienter av en kvadratisk form ikke avhengig av hvordan formen reduseres til denne formen (for eksempel vil det i det betraktede eksemplet alltid være to negative og en positiv koeffisient). Denne egenskapen kalles treghetsloven kvadratiske former.

La oss verifisere dette ved å redusere den samme kvadratiske formen til den kanoniske formen på en annen måte. La oss starte transformasjonen med variabelen x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 +
+ 2 * x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+ 3y 2 2 + 2y 3 2, hvor y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 og y 3 = x 1 . Her en negativ koeffisient -3 ved y 1 og to positive koeffisienter 3 og 2 ved y 2 og y 3 (og ved bruk av en annen metode fikk vi en negativ koeffisient (-5) ved y 2 og to positive koeffisienter: 2 ved y 1 og 1/20 for y 3).

Det bør også bemerkes at rangeringen av en matrise av en kvadratisk form, kalt rangeringen av den kvadratiske formen, er lik tallet ikke-null koeffisienter kanonisk form og endres ikke under lineære transformasjoner.

Den kvadratiske formen f(X) kalles positivt (negativ) sikker, hvis for alle verdier av variablene som ikke er lik null samtidig, er den positiv, dvs. f(X) > 0 (negativ, dvs.
f(X)< 0).

For eksempel er kvadratisk form f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 positiv bestemt, fordi er summen av kvadrater, og kvadratisk form f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 er negativ bestemt, fordi representerer det kan representeres som f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

I de fleste praktiske situasjoner er det noe vanskeligere å fastslå fortegnsbestemtheten til en kvadratisk form, så en av følgende teoremer brukes til dette (vi formulerer dem uten bevis).

Teorem. En kvadratisk form er positiv (negativ) bestemt hvis og bare hvis alle egenverdiene til matrisen er positive (negative).

Teorem(Sylvesters kriterium). En kvadratisk form er positiv bestemt hvis og bare hvis alle hovedbirollene i matrisen til denne formen er positive.

Major (hjørne) moll Den k-te orden av matrisen A av n-te orden kalles determinanten til matrisen, sammensatt av de første k radene og kolonnene i matrisen A ().

Legg merke til at for negativ-bestemte kvadratiske former veksler fortegnene til de viktigste mindreårige, og førsteordens moll må være negativ.

For eksempel undersøker vi den kvadratiske formen f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 for tegnbestemthet.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D = 25 - 8 = 17;
. Derfor er den kvadratiske formen positiv bestemt.

Metode 2. Hovedmoll av første orden av matrisen A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hovedmoll av andre orden D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Derfor, ifølge Sylvester-kriteriet, den kvadratiske formen er positiv bestemt.

Vi undersøker en annen kvadratisk form for tegnbestemthet, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. La oss konstruere en matrise med kvadratisk form А = . Den karakteristiske ligningen vil ha formen = (-2 - l)*
*(-3 - 1) - 4 = (6 + 2 1 + 3 1 + 1 2) - 4 = 1 2 + 5 1 + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Derfor er den kvadratiske formen negativ bestemt.

Metode 2. Hovedmoll av første orden av matrisen A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Derfor, i henhold til Sylvester-kriteriet, er den kvadratiske formen negativ bestemt (fortegnene til de viktigste mindreårige veksler, starter fra minus).

Og som et annet eksempel undersøker vi den kvadratiske formen f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 for tegnbestemthet.

Metode 1. La oss konstruere en matrise med kvadratisk form А = . Den karakteristiske ligningen vil ha formen = (2 - l)*
*(-3 - 1) - 4 = (-6 - 2 1 + 3 1 + 1 2) - 4 = 1 2 + 1 - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Ett av disse tallene er negativt og det andre er positivt. Tegnene til egenverdiene er forskjellige. Derfor kan ikke en kvadratisk form verken være negativ eller positiv bestemt, dvs. denne kvadratiske formen er ikke tegnbestemt (den kan ta verdier av et hvilket som helst tegn).

Metode 2. Hovedmoll av første orden av matrisen A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hovedmoll av andre orden D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

På bildet ser vi skiftetransformasjonene som skjer med Gioconda. Den blå vektoren endrer retning, men den røde gjør det ikke. Derfor er rød en egenvektor for en slik transformasjon, mens blå ikke er det. Siden den røde vektoren verken er strukket eller krympet, er dens egenverdi én. Alle vektorer kollineære til røde er også egenvektorer (eng. egenvektor) kvadratisk matrise(MED egenverdi(Engelsk) egenverdi)) er en ikke-null vektor , for hvilken relasjonen

Hvor? er en bestemt skalar, dvs. ekte eller komplekst tall.
Det vil si egenvektorene til matrisen EN er ikke-null vektorer, som, under påvirkning av en lineær transformasjon, er gitt av matrisen EN ikke endre retning, men kan endre lengde med en faktor?.
Matrisen har ikke mer enn N egenvektorer og egenverdier som tilsvarer dem.
Relasjonen (*) gir også mening for en lineær operator i et vektorrom v. Hvis dette rommet er endelig dimensjonalt, kan operatøren skrives som en matrise med hensyn til en bestemt basis v.
Siden egenvektorene og egenverdiene ble utpekt uten bruk av koordinater, uavhengig av valg av grunnlag. Derfor har lignende matriser de samme egenverdiene.
Den ledende rollen i å forstå egenverdiene til matriser spilles av Hamilton-Cayley-teoremet. Det følger av dette at egenverdiene til matrisen EN og bare de er røttene til det karakteristiske polynomet til matrisen EN:

s (?) er et gradspolynom n, derfor, ved Fundamental Theorem of Algebra, er det nøyaktig n komplekse egenverdier, tatt i betraktning deres multiplisitet.
Altså matrisen EN har ikke mer n egenverdier (men et sett med egenvektorer for hver av dem).
Vi skriver det karakteristiske polynomet i form av røttene:

Multiplisiteten av roten til det karakteristiske polynomet til en matrise kalles algebraisk mangfold egenverdi
Settet med alle egenverdier til en matrise eller en lineær operator i et endelig dimensjonalt vektorrom kalles spektrum matrise eller lineær operator. (Denne terminologien er modifisert for ikke-skinchen verdener vektorrom: V generell sak, kan tilhøre spekteret til operatoren?, som ikke er egenverdier.)
På grunn av koblingen av det karakteristiske polynomet til en matrise med dens egenverdier, kalles sistnevnte også karakteristiske tall matriser.
For hver egenverdi får vi vårt eget ligningssystem:

Hva vil ha lineært uavhengige løsninger.
Settet med alle løsninger av systemet danner et lineært underrom av dimensjon og kalles egen plass(Engelsk) egenrom) matriser med egenverdi .
Dimensjonen til det riktige rommet kalles geometrisk mangfold tilsvarende egenverdi?.
Alle riktige mellomrom er invariante underrom for .
Hvis det er minst to lineært uavhengige egenvektorer med samme egenverdi?, kalles en slik egenverdi degenerert. Denne terminologien brukes hovedsakelig når den geometriske og algebraiske multiplisiteten til egenverdiene er den samme, for eksempel for hermitiske matriser.

Hvor – Matrise i kvadratisk størrelse nxn,-th kolonnen som er en vektor, A - Dette er en diagonal matrise med tilsvarende verdier.

Egenverdiproblemet er problemet med å finne egenvektorer og matrisetall.
Per definisjon (ved å bruke den karakteristiske ligningen), kan bare egenverdier til matriser med dimensjon mindre enn fem bli funnet. Den karakteristiske ligningen har grad likt matriser. Til større graderå finne løsninger på ligningen blir veldig problematisk, så de bruker forskjellige numeriske metoder
Diverse oppgaver krever innhenting forskjellig mengde egenverdier. Derfor er det flere problemer med å finne egenverdier, for hver av dem bruker de sine egne metoder.
Det ser ut til at det delvise egenverdiproblemet er et delvis komplett problem, og løses med de samme metodene som det komplette. Metodene som brukes på spesielle problemer er imidlertid mye mer effektive, så de kan brukes på matriser med store dimensjoner (for eksempel i kjernefysikk det er problemer med å finne egenverdier for matriser med dimensjon 10 3 - 10 6).
Jacobi metode

En av de eldste og mest vanlige tilnærminger til en beslutning komplett problem egenverdier er Jacobis metode, først publisert i 1846.
Metoden brukes på en symmetrisk matrise EN
Dette er en enkel iterativ algoritme der en egenvektormatrise beregnes av en sekvens av multiplikasjoner.

Egenverdier(tall) og egenvektorer.
Løsningseksempler

Vær deg selv

Fra begge ligningene følger det at .

La oss sette da: .

Som et resultat: er den andre egenvektoren.

La oss gjenta viktige poeng løsninger:

– det resulterende systemet har absolutt felles vedtak(ligningene er lineært avhengige);

- "Y" er valgt på en slik måte at det er heltall og den første "x"-koordinaten er heltall, positiv og så liten som mulig.

– vi sjekker at den aktuelle løsningen tilfredsstiller hver likning i systemet.

Svar .

Mellomliggende "sjekkpunkter" var ganske nok, så sjekk av likestilling er i prinsippet overflødig.

I ulike informasjonskilder er koordinatene til egenvektorer ofte ikke skrevet i kolonner, men i rader, for eksempel: (og, for å være ærlig, pleide jeg selv å skrive dem i linjer). Dette alternativet er akseptabelt, men i lys av emnet lineære transformasjoner teknisk mer praktisk å bruke kolonnevektorer.

Kanskje virket løsningen veldig lang for deg, men det er bare fordi jeg kommenterte det første eksemplet i detalj.

Eksempel 2

matriser

Vi trener på egenhånd! Et omtrentlig utvalg av den endelige utformingen av oppgaven på slutten av leksjonen.

Noen ganger må du gjøre tilleggsoppgave, nemlig:

skriv den kanoniske dekomponeringen av matrisen

Hva det er?

Hvis matrisens egenvektorer dannes basis, så kan det representeres som:

Hvor er en matrise sammensatt av koordinatene til egenvektorer, - diagonal matrise med tilsvarende egenverdier.

Denne matrisedekomponeringen kalles kanonisk eller diagonal.

Tenk på matrisen til det første eksemplet. Hennes egne vektorer lineært uavhengig(ikke-kollineær) og danner et grunnlag. La oss lage en matrise fra deres koordinater:

På hoveddiagonal matriser i rett rekkefølge befinner seg egenverdier, og resten av elementene er lik null:
- nok en gang understreker jeg viktigheten av rekkefølgen: "to" tilsvarer 1. vektor og er derfor plassert i 1. kolonne, "tre" - til 2. vektor.

I henhold til den vanlige algoritmen for å finne invers matrise eller Gauss-Jordan-metoden finne . Nei, det er ikke en skrivefeil! - foran deg er sjelden, liksom solformørkelse hendelse når inversen samsvarte med den opprinnelige matrisen.

Det gjenstår å skrive den kanoniske dekomponeringen av matrisen:

Systemet kan løses med elementære transformasjoner og i de følgende eksemplene vil vi ty til denne metoden. Men her fungerer «skole»-metoden mye raskere. Fra den tredje ligningen uttrykker vi: - erstatte inn i den andre ligningen:

Siden den første koordinaten er null, får vi et system , fra hver ligning som det følger at .

Og igjen vær oppmerksom på den obligatoriske tilstedeværelsen av et lineært forhold. Hvis det bare fungerer triviell løsning , så ble enten egenverdien funnet feil, eller systemet ble kompilert / løst med en feil.

Kompakte koordinater gir verdi

Egenvektor:

Og nok en gang sjekker vi at løsningen er funnet tilfredsstiller hver likning i systemet. I de påfølgende avsnittene og i påfølgende oppgaver anbefaler jeg at dette ønsket aksepteres som en obligatorisk regel.

2) For egenverdien, etter samme prinsipp, får vi neste system:

Fra den andre ligningen i systemet uttrykker vi: - erstatte inn i den tredje ligningen:

Siden "zeta"-koordinaten er lik null, får vi et system , fra hver ligning som det følger lineær avhengighet.

Vi sjekker at løsningen tilfredsstiller hver likning i systemet.

Dermed er egenvektoren: .

3) Og til slutt tilsvarer systemet sin egen verdi:

Den andre ligningen ser enklest ut, så vi uttrykker den fra den og erstatter den med 1. og 3. likning:

Alt er bra - en lineær avhengighet ble avslørt, som vi erstatter med uttrykket:

Som et resultat ble "X" og "Y" uttrykt gjennom "Z": . I praksis er det ikke nødvendig å oppnå nettopp slike relasjoner; i noen tilfeller er det mer praktisk å uttrykke både gjennom eller og gjennom . Eller til og med et "tog" - for eksempel "X" til "Y", og "Y" til "Z"

La oss sette da:

Vi sjekker at løsningen er funnet tilfredsstiller hver likning i systemet og skriv den tredje egenvektoren

Svar: egenvektorer:

Geometrisk definerer disse vektorene tre forskjellige romlige retninger ("Der og tilbake igjen"), ifølge hvilken lineær transformasjon transformerer ikke-nullvektorer (egenvektorer) til vektorer som er kolineære for dem.

Hvis det etter betingelse var påkrevd å finne en kanonisk utvidelse av , så er dette mulig her, fordi forskjellige egenverdier tilsvarer forskjellige lineært uavhengige egenvektorer. Vi lager en matrise fra deres koordinater, den diagonale matrisen fra aktuell egenverdier og finn invers matrise .

Hvis det i henhold til betingelsen er nødvendig å skrive lineær transformasjonsmatrise i basis av egenvektorer, så gir vi svaret i skjemaet . Det er en forskjell, og en betydelig forskjell! For denne matrisen er matrisen "de".

Utfordre med mer enkle beregninger Til uavhengig løsning:

Eksempel 5

Finn egenvektorer for lineær transformasjon gitt av matrise

Når du skal finne dine egne tall, prøv å ikke bringe saken til et polynom av 3. grad. I tillegg kan dine systemløsninger avvike fra mine løsninger - her er det ingen entydighet; og vektorene du finner kan avvike fra eksempelvektorene opp til proporsjonalitet til deres respektive koordinater. For eksempel og . Det er mer estetisk tiltalende å presentere svaret i form av , men det er greit om du stopper ved det andre alternativet. Imidlertid har alt rimelige grenser, versjonen ser ikke veldig bra ut.

Et omtrentlig endelig utvalg av oppgaven på slutten av leksjonen.

Hvordan løse problemet ved flere egenverdier?

Generell algoritme forblir den samme, men den har sine egne særegenheter, og det er tilrådelig å holde noen deler av løsningen i en mer streng akademisk stil:

Eksempel 6

Finn egenverdier og egenvektorer

Løsning

La oss selvfølgelig bruke stor bokstav i den fabelaktige første kolonnen:

Og etter nedbrytning kvadratisk trinomium for multiplikatorer:

Som et resultat oppnås egenverdier, hvorav to er multipler.

La oss finne vår egen vektorer:

1) Vi vil håndtere en ensom soldat i henhold til en "forenklet" ordning:

Fra de to siste ligningene er likheten tydelig synlig, som åpenbart bør erstattes med den første ligningen i systemet:

Det finnes ingen bedre kombinasjon:
Egenvektor:

2-3) Nå fjerner vi et par vaktposter. I denne saken det kan vise seg enten to eller en egenvektor. Uavhengig av hvor mange røttene er, erstatter vi verdien i determinanten , som gir oss følgende homogent system av lineære ligninger:

Egenvektorer er nøyaktig vektorene
grunnleggende beslutningssystem

Faktisk, gjennom hele leksjonen, var vi bare engasjert i å finne vektorene til det grunnleggende systemet. Bare foreløpig dette semesteret var ikke spesielt nødvendig. Forresten, de flinke studentene som i kamuflasje homogene ligninger, vil bli tvunget til å røyke den nå.

Den eneste handlingen var å fjerne ekstra linjer. Resultatet er en "en etter tre" matrise med et formelt "trinn" i midten.
– grunnleggende variabel, – frie variabler. Det er to gratis variabler, så det er også to vektorer av det fundamentale systemet.

La oss uttrykke den grunnleggende variabelen i form av frie variabler: . Nullfaktoren foran "x" lar den ta på absolutt alle verdier (som også er tydelig synlig fra ligningssystemet).

I sammenheng med dette problemet er det mer praktisk å skrive den generelle løsningen ikke i en rad, men i en kolonne:

Paret tilsvarer en egenvektor:
Paret tilsvarer en egenvektor:

Merk : sofistikerte lesere kan plukke opp disse vektorene muntlig - bare ved å analysere systemet , men litt kunnskap er nødvendig her: det er tre variabler, systemmatriserangering- enhet betyr grunnleggende beslutningssystem består av 3 – 1 = 2 vektorer. Imidlertid er de funnet vektorene perfekt synlige selv uten denne kunnskapen, rent på et intuitivt nivå. I dette tilfellet vil den tredje vektoren bli skrevet enda "vakkere": . Imidlertid en advarsel, i et annet eksempel enkelt utvalg kanskje ikke, og det er derfor reservasjonen er beregnet på erfarne personer. Dessuten, hvorfor ikke ta som den tredje vektoren, si ? Tross alt tilfredsstiller dens koordinater også hver likning i systemet, og vektorene er lineært uavhengige. Dette alternativet er i prinsippet egnet, men "skjevt", siden den "andre" vektoren er en lineær kombinasjon av vektorer i det grunnleggende systemet.

Svar: egenverdier: , egenvektorer:

Et lignende eksempel for en gjør-det-selv-løsning:

Eksempel 7

Finn egenverdier og egenvektorer

Et omtrentlig utvalg av etterbehandling på slutten av leksjonen.

Det skal bemerkes at i både det 6. og 7. eksemplet oppnås en trippel av lineært uavhengige egenvektorer, og derfor kan den opprinnelige matrisen representeres i kanonisk dekomponering. Men slike bringebær skjer ikke i alle tilfeller:

Eksempel 8