Kombinasjon. Metoder for å løse kombinatoriske problemer

Når man skal løse mange praktiske problemer, må man bruke kombinasjoner av elementer, velge fra et gitt sett de som har bestemte egenskaper, og plassere dem i en bestemt rekkefølge. Slike oppgaver kalles kombinatorisk. Den delen av matematikk som er viet til å løse problemer med å velge og arrangere elementer i samsvar med gitte betingelser kalles kombinatorikk. Begrepet "kombinatorikk" kommer fra latinsk ord kombinasjon, som i oversettelse til russisk betyr - "å kombinere", "å koble til".

De valgte gruppene av elementer kalles forbindelser. Hvis alle elementene i forbindelsen er forskjellige, får vi forbindelser uten repetisjoner, som vi vil vurdere nedenfor.

Flertall kombinatoriske problemer løst ved hjelp av to grunnleggende regler - sumregler og produktregler.

Oppgave 1.

All for Tea-butikken har 6 forskjellige kopper og 4 forskjellige skåler. Hvor mange kopper og tallerkener kan du kjøpe?

Løsning.

Vi kan velge en kopp på 6 måter, og en tallerken på 4 måter. Siden vi må kjøpe et par kopp og tallerken, kan vi gjøre det på 6 4 = 24 måter (i henhold til produktregelen).

Svar: 24.

For å lykkes med å løse kombinatoriske problemer, er det også nødvendig å velge riktig formel for å søke etter antall ønskede forbindelser. Følgende diagram vil hjelpe med dette.

Vurder å løse flere problemer på forskjellige typer forbindelser uten repetisjon.

Oppgave 2.

Finn antall tresifrede tall som kan lages fra tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, hvis tallene i nummeret ikke kan gjentas.

Løsning.

For å velge en formel finner vi ut at for tallene vi skal komponere, tas rekkefølgen i betraktning og ikke alle elementene velges samtidig. Dette betyr at denne forbindelsen er et arrangement av 7 elementer med 3. La oss bruke formelen for antall plasseringer: A 7 3 = 7(7 - 1)(7 - 2) = 7 6 5 = 210 tall.

Svar: 210.

Oppgave 3.

Hvor mange syv sifre er det telefonnummer, der alle sifre er forskjellige, og tallet ikke kan starte fra null?

Løsning.

Ved første øyekast er denne oppgaven den samme som den forrige, men vanskeligheten er at du ikke må ta hensyn til de forbindelsene som starter fra null. Så det er nødvendig å gjøre opp alle syvsifrede telefonnumre fra de eksisterende 10 sifrene, og deretter trekke antall tall fra null fra det resulterende tallet. Formelen vil se slik ut:

A 10 7 - A 9 6 \u003d 10 9 8 7 6 5 4 - 9 8 7 6 5 4 \u003d 544 320.

Svar: 544 320.

Oppgave 4.

På hvor mange måter kan 12 bøker ordnes på en hylle, hvorav 5 bøker er diktsamlinger, slik at samlingene står side om side?

Løsning.

Først, la oss ta 5 samlinger betinget for én bok, fordi de skal stå side om side. Siden rekkefølge er essensielt i forbindelsen, og alle elementer brukes, betyr dette at dette er permutasjoner av 8 elementer (7 bøker + betinget 1 bok). Antallet deres er R 8 . Videre vil vi omorganisere seg imellom bare diktsamlinger. Dette kan gjøres på 5 måter. Siden vi skal ordne både samlinger og andre bøker, vil vi bruke produktregelen. Derfor er R 8 · R 5 = 8! · 5!. Antall måter vil være stort, så svaret kan stå som et produkt av faktorialer.

svar: 8! · 5!

Oppgave 5.

Det er 16 gutter og 12 jenter i klassen. For å rydde området i nærheten av skolen trengs det 4 gutter og 3 jenter. På hvor mange måter kan de velges blant alle elevene i klassen?

Løsning.

Først velger vi separat 4 gutter av 16 og 3 jenter av 12. Siden det ikke tas hensyn til plasseringsrekkefølgen, er de tilsvarende sammensetningene kombinasjoner uten repetisjoner. Med tanke på behovet for å velge både gutter og jenter samtidig, bruker vi produktregelen. Som et resultat vil antall måter beregnes som følger:

C 16 4 C 12 3 = (16!/(4! 12!)) (12!/(3! 9!)) = ((13 14 15 16) / (2 3 ) 4)) ((10 11 12) ) / (2 3)) = 400 400.

Svar: 400 400.

På denne måten, vellykket løsning av et kombinatorisk problem avhenger av riktig analyse av dets betingelser, bestemmelsen av typen forbindelser som skal kompileres, og valget av en passende formel for å beregne antallet.

Har du noen spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser kombinatoriske problemer?
For å få hjelp av en veileder - registrer deg.
Den første leksjonen er gratis!

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Oppgave 1. De åtte elevene håndhilste. Hvor mange håndtrykk var det?

Løsning. Et «undersett» bestående av to elever (m=2) deltar i håndtrykket, mens hele settet med elever er 8 personer (n=8). Siden rekkefølgen ikke er viktig i håndtrykkprosessen, velger vi formelen for antall kombinasjoner:

En oppgave. På hvor mange måter kan et trefarget stripete flagg lages av fem stykker stoff i forskjellige farger?

Løsning. Rekkefølgen er viktig, siden permutasjonen av materie innenfor tricolor flagget betyr forskjellige land. Derfor velger vi formelen for antall plasseringer uten repetisjoner, der settet med segmenter av materie n = 5, og delmengden av farger m=3:

Oppgave 2. Hvor mange ordbøker må publiseres for å kunne oversette fra noen av de seks språkene til noen av dem?

Løsning. Settet inneholder 6 språk n=6. Siden oversettelse er en relasjon mellom to språk, så er m=2, og rekkefølgen er viktig, siden for eksempel de russisk-engelske og engelsk-russiske ordbøkene har ulike applikasjoner. Derfor velger vi plasseringer uten repetisjoner:

Oppgave 3. Hvor mange muligheter for å planlegge for mandag er det hvis elevene har 9 fag, og på mandag er det 4 par med klasser, og fagene ikke gjentas?

Løsning. a) For elever er ikke rekkefølgen viktig, så vi velger formelen for antall kombinasjoner:

b) For lærere er rekkefølgen viktig, så vi velger plasseringsformelen uten repetisjoner:

Oppgave 4. På hvor mange måter kan ni bøker ordnes i en bokhylle, blant annet er det en trebindsbok av A.S. Pushkin?

Løsning.

Siden de tre bindene som er inkludert i trebindssettet skal stå side om side, og i stigende herlighetsrekkefølge til høyre, anser vi dem som ett element gitt sett, som har 6 flere elementer. Derfor velger vi permutasjoner uten repetisjoner i et sett som inneholder syv elementer:

P 7 = 7! = 5040

Oppgave 5. På hvor mange måter kan en gruppe på 30 personer tildeles tre ledsagere?

Løsning.

a) Hvis deres rolle i pliktprosessen er den samme, er rekkefølgen ikke viktig, så vi velger kombinasjoner uten repetisjoner:

C 3 30 = 30! / 3!27! = 4060

b) Dersom rekkefølgen er viktig, dvs. under deres tjeneste funksjonelle ansvar er forskjellige, så har vi i henhold til plasseringsformelen uten repetisjoner:

Og 3 30 = 30! / 27! = 24360

Oppgave 6. Hvor mange sekssifrede telefonnumre er det, for hvilke: a) alle sifre er mulige; b) er alle tall forskjellige?

Løsning.

a) 1. Siden alle sifre er mulige i en sekssifret oppringing av et telefonnummer, kan alle de 10 sifrene fra 0 til 9 finnes på hvert av de seks stedene. Det er kun nødvendig å velge blant alle ti mulige sifre de seks som skal brukes til sekssifrede telefonnumre. Siden rekkefølgen på sifrene i registreringen av telefonnumre er viktig, har vi i henhold til plasseringsformelen med repetisjoner:

A 10 6 \u003d 10 6 \u003d 1000000

2. Som du vet, er det ingen sekssifrede tall som begynner med null, så du må telle tallet og trekke det fra det totale antallet kombinasjoner. Antall tall, hvor det første sifferet er 0, finner vi ved plasseringsformelen med repetisjoner, "fikser" null dvs. på hver av de fem andre mulige steder noen av de ti sifrene fra
0 til 9. Så antall slike kombinasjoner:

A 10 5 \u003d 10 5 \u003d 100000

3. Det totale antallet sekssifrede telefonnumre, som kan ha hvilke som helst, inkludert gjentatte, sifre, er lik differansen:

A 10 6 - A 10 5 \u003d 10 6 - 10 5 \u003d 1000000 - 100000 \u003d 900000

b) 1. La nå alle sifrene i det sekssifrede settet være forskjellige. Det er nødvendig å velge blant alle ti mulige sifre bare de seks som brukes til sekssifrede telefonnumre, og ingen siffer gjentas. Så, i henhold til plasseringsformelen uten repetisjoner, har vi:

Og 10 6 = 10! / (10 - 6)! = 5x6x7x8x9x10 = 151200

2. Siden det ikke er noen sekssifrede tall som begynner med null, må du telle tallet og trekke det fra det totale antallet kombinasjoner. Antall tall, hvor det første sifferet er 0, finner vi ved plasseringsformelen uten repetisjoner, "fikser null", dvs. på hver av de fem gjenværende plassene kan det være tall fra 0 til 9. Da vil antallet slike kombinasjoner bli funnet av plasseringsformelen uten repetisjoner. Vi har:

Og 10 5 = 10! / (10-5)! \u003d 6x7x8x9x10 \u003d 30240

3. Det totale antallet sekssifrede telefonnumre som ikke kan ha gjentatte sifre er lik differansen:

A 10 6 - A 10 5 \u003d 10 6 - 10 5 \u003d 151200 - 30240 \u003d 120960

Oppgave 7. På hvor mange måter kan en delegasjon på tre personer velges blant fire ektepar hvis:

a) delegasjonen inkluderer tre av disse åtte personene;

b) delegasjonen bør bestå av to kvinner og en mann;

omfatter ikke delegasjonen medlemmer av samme familie?

Løsning.

a) Rekkefølgen er ikke viktig:

C 8 3 = 8! / 3! 5! = 56

b) Vi velger to kvinner fra de tilgjengelige 4 C 4 2-veiene og en mann fra 4 C 4 1-veiene. I henhold til produktregelen ( og hannen, og to kvinner) vi har C 4 2 x C 4 1 \u003d 24.

c) Vi velger 3 medlemmer av delegasjonen fra fire familier på fire måter (fordi С 4 3 = 4! / 3!1! = 4). Men i hver familie er det to måter å velge et medlem av delegasjonen på. I henhold til produktregelen C 4 3 x2x2x2 \u003d 4x8 \u003d 32.

Oppgave 8. Høgskolen har 2000 studenter. Kan det argumenteres for at minst to av dem har samme initialer og for- og etternavn?

Løsning.

Det er 33 bokstaver i det russiske alfabetet, hvorav ъ, ь, ы, й ikke kan brukes, så n = 33-4 = 29. Hver av de 29 bokstavene kan være en initial og Navn, og etternavn. I henhold til produktregelen 29x29 = 841< 2000. Значит может быть лишь 841 ulike alternativer, og blant 2000 studenter vil det definitivt være tilfeldigheter.

Løsning: A(måter).

Oppgave 6.

Album side 6 ledige plasser for bilder.

På hvor mange måter kan du investere i tomme rom

a) 4 fotografier;

b) 6 bilder.

Løsning: a) A

Oppgave 7.

Hvor mange tresifrede tall (uten repeterende sifre i nummeroppføringen) kan lages av tallene 0,1,2,3,4,5 og 6?

Forklaring: hvis det ikke er null blant de syv sifrene, er antallet tresifrede tall som kan bestå av disse sifrene lik antall plasseringer av 7 elementer av 3 A . Men blant disse syv tallene er det et siffer 0, som ikke kan begynne med et tresifret tall. Derfor, fra plasseringer av 7 elementer med 3, er det nødvendig å ekskludere de hvis første element er tallet 0. Antallet deres er lik antall plasseringer av 6 elementer med 2.

Så det ønskede tallet er: A
.

Løsning: A

Oppgave 8.

Av de tresifrede tallene skrevet med tallene 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (uten repetisjon av tall), hvor mange av dem er det i: a) tallene 6 og 7 gjør ikke forekomme;

b) er tallet 8 det siste?

Løsning: a) A

b) A

Oppgave 9.

Hvor mange syvsifrede telefonnumre er det der alle sifrene er forskjellige og det første sifferet er forskjellig fra 0?

Løsning: A

La oss nå se på dette plottet:

Det er 5 nelliker i forskjellige farger. La oss merke dem med bokstaver. en , b , c , d , e . Det kreves å lage en bukett med tre nelliker.

La oss finne ut hvilke buketter som kan lages.

Hvis buketten inkluderer en nellik en, så kan du lage slike buketter:

Abc, abd, abc, acd, ess, adc.

Hvis buketten ikke inneholder en nellik en, og inkluderer en nellik b, da kan du få slike buketter:

Bcd, bce, bdc.

Til slutt, hvis buketten ikke inneholder en nellik en,nellik b, så kan du lage en bukett

cde.

Vi har vist alle mulige måter å komponere buketter der tre av disse fem nellikene er kombinert på forskjellige måter.

De sier at alle mulige kombinasjoner av 5 elementer av 3 er laget.

En kombinasjon av n elementer med k er ethvert sett sammensatt av k elementer valgt fra gitte n elementer og er betegnet med

i motsetning til plasseringer spiller det ingen rolle i kombinasjoner i hvilken rekkefølge elementene er spesifisert.

FRA

Så nellikeksemplet kan raskt løses slik:

Løsning: C

Oppgave 10.

Av de 15 personene i turistgruppen må du velge tre på vakt. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning: C

Oppgave 11.

Fra en fruktskål med 9 epler og 6 pærer må du velge 3 epler og 2 pærer. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning: 3 epler av 9 kan velges C måter. Med hvert valg av epler, pærer kan du velge C måter. Derfor, i henhold til multiplikasjonsregelen, kan valget av frukt gjøres C
måter.

Løsning: C
=

Oppgaver å fikse.

Oppgave I.

Det er 7 personer i klassen som klarer matematikk.

På hvor mange måter kan to av dem velges ut til å delta i matematisk olympiade?

Løsning: C

Oppgave II.

I et laboratorium med hode og 10 ansatte skal 5 personer sendes på tjenestereise.

På hvor mange måter kan dette gjøres hvis:

a) lederen av laboratoriet må reise på forretningsreise;

b) lederen må bli.

Løsning: a) C
b) C

Oppgave III.

Det er 16 gutter og 12 jenter i klassen. For å rengjøre territoriet må du tildele 4 gutter og tre jenter.

På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning: C

Oppgave IV.

I biblioteket ble leseren tilbudt å velge mellom 10 bøker og 4 magasiner. På hvor mange måter kan han velge 3 bøker og 2 blader fra dem?

Løsning: C
.

Kombinatorikk er en gren av matematikk viet til å løse problemer med å velge og arrangere elementer i et bestemt sett i samsvar med gitte regler. Kombinatorikk studerer kombinasjoner og permutasjoner av objekter, arrangementet av elementer som har gitt egenskaper. vanlig spørsmål i kombinatoriske problemer: på hvor mange måter….

De kombinatoriske problemene inkluderer også problemene med å konstruere magiske firkanter, problemene med dekoding og koding.

Fødselen av kombinatorikk som en gren av matematikken er assosiert med verkene til de store franske matematikerne på 1600-tallet Blaise Pascal (1623–1662) og Pierre de Fermat (1601–1665) om teorien gambling. Disse verkene inneholdt prinsipper for å bestemme antall kombinasjoner av elementer i et begrenset sett. Siden 50-tallet av det 20. århundre har interessen for kombinatorikk blitt gjenopplivet på grunn av den raske utviklingen av kybernetikk.

De grunnleggende reglene for kombinatorikk er sumregel og regel virker.

• Sumregel

Hvis noe element A kan velges n måter, og element B kan velges m måter, så kan valget "enten A eller B" tas n+ m måter.

For eksempel, hvis det er 5 epler og 6 pærer på en tallerken, kan en frukt velges på 5 + 6 = 11 måter.

• produktregel

Hvis element A kan velges n måter, og element B kan velges m måter, så kan paret A og B velges n m måter.

For eksempel, hvis det er 2 forskjellige konvolutter og 3 forskjellige frimerker, er det 6 måter å velge en konvolutt og et frimerke på (2 3 = 6).

Produktregelen er også sann når man vurderer elementer fra flere sett.

For eksempel, hvis det er 2 forskjellige konvolutter, 3 forskjellige frimerker og 4 forskjellige postkort, er det 24 måter å velge en konvolutt, et frimerke og et postkort på (2 3 4 = 24).

produkt av alle naturlige tall fra 1 til og med n kalles n - faktoriell og betegnes med symbolet n!

n! = 1 2 3 4 … n.

For eksempel 5! = 1 2 3 4 5 = 120.

For eksempel, hvis det er 3 baller - røde, blå og grønne, kan du sette dem på rad på 6 måter (3 2 1 \u003d 3! \u003d 6).

Noen ganger løses et kombinatorisk problem ved å konstruere tre alternativer .

La oss for eksempel løse det forrige 3-ball-problemet ved å bygge et tre.

Workshop om problemløsning i kombinatorikk.

UTFORDRINGER OG LØSNINGER

1. Det er 6 epler, 5 pærer og 4 plommer i en vase. Hvor mange valg for en frukt?

Svar: 15 alternativer.

2. Hvor mange alternativer er det for å kjøpe en rose hvis de selger 3 skarlagenrøde, 2 skarlagene og 4 gule roser?

Svar: 9 alternativer.

3. Fem veier fører fra by A til by B, og tre veier fører fra by B til by C. Hvor mange veier gjennom B går fra A til C?

Svar: 15 måter.

4. På hvor mange måter kan du lage et par av én vokal og én konsonant av bokstavene i ordet «tørkle»?

vokaler: a, o - 2 stk.
konsonanter: p, l, t, k - 4 stk.

Svar: 8 måter.

5. Hvor mange dansepar kan bestå av 8 gutter og 6 jenter?

Svar: 48 par.

6. Det er 4 førsteretter og 7 andreretter i spisesalen. Hvor mange forskjellige to-retters lunsjalternativer kan bestilles?

Svar: 28 alternativer.

7. Hvor mange forskjellige tosifrede tall kan komponeres med tallene 1, 4 og 7, hvis tallene kan gjentas?

1 siffer - 3 måter
2 siffer - 3 måter
3. siffer - 3 måter

Svar: 9 forskjellige tosifrede tall.

8. Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages ved å bruke tallene 3 og 5 hvis tallene kan gjentas?

1 siffer - 2 måter
2 siffer - 2 måter
3. siffer - 2 måter

Svar: 8 forskjellige tall.

9. Hvor mange forskjellige tosifrede tall kan lages av tallene 0, 1, 2, 3 hvis tallene kan gjentas?

1 siffer - 3 måter
2 siffer - 4 måter

Svar: 12 forskjellige tall.

10. Hvor mange tresifrede tall er det hvor alle sifre er partall?

Partall er 0, 2, 4, 6, 8.

1 siffer - 4 måter
2 siffer - 5 måter
3 siffer - 5 måter

Svar: Det er 100 tall.

11. Hvor mange partalls tresifrede tall er det?

1 siffer - 9 måter (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2. siffer - 10 måter (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3. siffer - 5 måter (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 5 = 450

Svar: Det er 450 tall.

12. Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages av tre ulike tall 4, 5, 6?

1 siffer - 3 måter
2 siffer - 2 måter
3 siffer - 1 vei

Svar: 6 forskjellige tall.

13. På hvor mange måter kan toppunktene i en trekant merkes med bokstavene A, B, C, D?

1 topp - 4 veier
2 toppmøte - 3 måter
3 topp - 2 måter

Svar: 24 måter.

14. Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages av tallene 1, 2, 3, 4, 5, forutsatt at ingen tall gjentas?

1 siffer - 5 måter
2 siffer - 4 måter
3. siffer - 3 måter

Svar: 60 forskjellige tall.

15. Hvor mange forskjellige tresifrede tall mindre enn 400 kan lages fra tallene 1, 3, 5, 7, 9 hvis noen av disse tallene bare kan brukes én gang?

1 siffer - 2 måter
2 siffer - 4 måter
3. siffer - 3 måter

Svar: 24 forskjellige tall.

16. På hvor mange måter kan et flagg bestå av tre horisontale striper med forskjellige farger hvis det er et materiale med seks farger?

1 kjørefelt - 6 veier
2 kjørefelt - 5 veier
3 kjørefelt - 4 veier

Svar: 120 måter.

17. Fra klassen velger du 8 personer med toppscore på rømmen. På hvor mange måter kan de danne et team av tre mennesker delta på stafetten?

1 person - 8 veier
2 personer - 7 måter
3 personer - 6 veier

Svar: 336 måter.

18. Det skal være fire timer torsdag i første klasse: skriving, lesing, matematikk og kroppsøving. Hvor mange forskjellige tidsplaner kan du lage for den dagen?

1 leksjon - 4 måter
Leksjon 2 - 3 måter
Leksjon 3 - 2 måter
Leksjon 4 - 1 vei

4 3 2 1 = 24

Svar: 24 alternativer.

19. I femte klasse studeres 8 emner. Hvor mange forskjellige timeplaner kan lages for mandag hvis det er 5 leksjoner den dagen og alle leksjoner er forskjellige?

1 leksjon - 8 alternativer
Leksjon 2 - 7 alternativer
Leksjon 3 - 6 alternativer
Leksjon 4 - 5 alternativer
Leksjon 5 - 4 alternativer

8 7 6 5 4 = 6720

Svar: 6720 alternativer.

20. Chifferen for safen består av fem forskjellige tall. Hvor mange forskjellige siffer er det?

1 siffer - 5 måter
2 siffer - 4 måter
3. siffer - 3 måter
4 siffer - 2 måter
5 siffer - 1 vei

5 4 3 2 1 = 120

Svar: 120 alternativer.

21. På hvor mange måter kan 6 personer sitte ved et bord med 6 bestikk?

6 5 4 3 2 1 = 720

Svar: 720 måter.

22. Hvor mange varianter av syvsifrede telefonnumre kan lages hvis numre som begynner med null og 9 utelates fra dem?

1 siffer - 8 måter
2 siffer - 10 måter
3 siffer - 10 måter
4 siffer - 10 måter
5. figur - 10 måter
6 sifre - 10 måter
7. figur - 10 måter

8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000

Svar: 8.000.000 alternativer.

23. Telefonsentralen betjener abonnenter hvis telefonnummer består av 7 sifre og begynner med 394. Hvor mange abonnenter er denne stasjonen laget for?

telefonnummer 394

10 10 10 10 = 10.000

Svar: 10 000 abonnenter.

24. Det finnes 6 par hansker i forskjellige størrelser. På hvor mange måter kan én hanske velges blant dem? venstre hand og en hanske høyre hånd slik at disse hanskene kommer i forskjellige størrelser?

Venstre hansker - 6 måter
Høyre hansker - 5 måter (6 hansker har samme størrelse som den venstre)

Svar: 30 måter.

25. Fra tallene 1, 2, 3, 4, 5 er det laget femsifrede tall, der alle tallene er forskjellige. Hvor mange partall?

5 sifre - 2 måter (to like sifre)
4 siffer - 4 måter
3. siffer - 3 måter
2 siffer - 2 måter
1 siffer - 1 vei

2 4 3 2 1 = 48

Svar: 48 partall.

26. Hvor mange firesifrede tall er det, bygd opp av oddetall og delelig med 5?

Oddetall - 1, 3, 5, 7, 9.
Av disse er de delt inn i 5 - 5.

4 siffer - 1 vei (nummer 5)
3 siffer - 4 måter
2 siffer - 3 måter
1 siffer - 2 måter

1 4 3 2 = 24

Svar: 24.

27. Hvor mange femsifrede tall er det, der det tredje sifferet er 7, det siste sifferet er partall?

1 siffer - 9 måter (alle unntatt 0)
2 siffer - 10 måter
3 siffer - 1 vei (nummer 7)
4 siffer - 10 måter
5. siffer - 5 måter (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 1 10 5 = 4500

Svar: 4500 tall.

28. Hvor mange sekssifrede tall er det der det andre sifferet er 2, det fjerde er 4, det sjette er 6, og alle resten er oddetall?

1 siffer - 5 alternativer (av 1, 3, 5, 7, 9)
2 siffer - 1 alternativ (nummer 2)
3. siffer - 5 alternativer
4 siffer - 1 alternativ (nummer 4)
5 siffer - 5 alternativer
6 siffer - 1 alternativ (nummer 6)

5 1 5 1 5 1 = 125

Svar: 125 tall.

29. Hvor mange forskjellige tall mindre enn en million kan skrives med tallene 8 og 9?

Enkeltsiffer - 2
Tosifret - 2 2 \u003d 4
Tresifret - 2 2 2 \u003d 8
Firesifret - 2 2 2 2 \u003d 16
Femsifret - 2 2 2 2 2 = 32
Sekssifret - 2 2 2 2 2 2 = 64

Totalt: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Svar: 126 tall.

30. Det er 11 personer på fotballaget. Du må velge en kaptein og hans stedfortreder. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Kaptein - 11 måter
Stedfortreder - 10 måter

Svar: 110 måter.

31. Det er 30 personer i klassen. På hvor mange måter kan sjefen og billettsjefen velges blant dem?

Headman - 30 måter
Svar. for billetter - 29 veier

Svar: 870 måter.

32. 12 gutter, 10 jenter og 2 lærere deltar i aksjonen. Hvor mange alternativer for tjenestegrupper på tre personer (1 gutt, 1 jente, 1 lærer) kan gjøres?

12 10 2 = 240

Svar: 240 måter.

33. Hvor mange kombinasjoner av fire bokstaver i det russiske alfabetet (det er bare 33 bokstaver i alfabetet) kan lages, forutsatt at 2 tilstøtende bokstaver er forskjellige?

Metodisk utvikling av en leksjon i matematikk i klasse 5

Kozhokar Irina Evgenievna, lærer i matematikk.

GBOU ungdomsskole nr. 354 i St. Petersburg

Leksjonsemne: Møt kombinatorikk!

Hensikten med leksjonen: formulere de første ferdighetene til kombinatoriske problemer ved å oppgi mulige alternativer.

Leksjonens mål:

Pedagogisk:

1. Utvikling av evnen til å løse kombinatoriske problemer ved hjelp av metoden for fullstendig oppregning av alternativer;
2. Utvikle evnen til å søke matematisk teori i spesifikke situasjoner;
3. Kjennskap til elevene med elementer av humanitær kunnskap knyttet til matematikk.

Utvikler:

1. Utvikling av evnen til selvstendig å velge en beslutningsmetode og evnen til å rettferdiggjøre valget;
2. Utvikling av evnen til å løse problemer gjennom kun logisk resonnement;
3. Utvikling av evnen til å velge en rasjonell måte å kode på;
4. Utvikling av kommunikasjon og kreativitet studenter.

Pedagogisk:

1. Å dyrke en følelse av ansvar for kvaliteten og resultatet av det utførte arbeidet;
2. innpode bevisst holdningå jobbe;

1. Formansvar for sluttresultatet.

Utstyr:

1. interaktivt bord;
2. utdelingsark (fargede striper: hvit, blå, rød);
3. oppgavekort.

I løpet av timene.

1. Organisering av tid.
2. Lære nytt stoff.
3. Praktisk del.
4. Speilbilde
5. Merking
6. Hjemmelekse

1. Organisering av tid.

Lærer: Hei folkens!

Svært ofte i livet må du ta et valg, ta en avgjørelse. Dette er veldig vanskelig å gjøre, ikke fordi det ikke er noe valg, men fordi du må velge mellom mange mulige alternativer, ulike måter, kombinasjoner. Og vi ønsker alltid at dette valget skal være optimalt.

Oppgavene som vi skal løse i dag vil hjelpe deg med å skape, tenke uvanlig, på en original måte, se det du ofte gikk forbi uten å legge merke til det.

Og i dag, nok en gang, vil vi sørge for at vår verden er full av matematikk og fortsette vår forskning for å identifisere matematikk rundt oss.

1. Oppdatering av tema og motivasjon.

La oss løse problem nummer 1,

Oppgave 1 . Fire karer står ved billettkontoret til kinoen. To av dem har hundrerubelsedler, de to andre har femtirubelsedler.(Læreren kaller 4 elever til tavlen og gir dem seddelmodeller).En kinobillett koster 50 rubler. I begynnelsen av salget er kassaapparatet tomt.(Læreren ringer "kassereren" og gir ham "billetter"). Hvordan skal gutta slå seg til ro slik at ingen må vente på overgivelse?

Vi spiller en scene som vi kan finne to mulige løsninger på:

1. 50 rubler, 100 rubler, 50 rubler, 100 rubler;
2. 50 rubler, 50 rubler, 100 rubler, 100 rubler (lysbilde nr. 2 og nr. 3).

Oppgave #2 . Flere land har valgt å bruke for sine statens flagg symbolikk i form av tre horisontale striper av samme bredde forskjellige farger- hvit, blå, rød. Hvor mange land kan bruke slike symboler, forutsatt at hvert land har sitt eget flagg?

(Elevene får fargede striper (hvite, blå, røde) og inviteres til å komponere forskjellige varianter flagg? (lysbilde nummer 4)

1. Lære nytt stoff.

Lærer: For å løse disse problemene utførte vi en oppregning av alle mulige alternativer,

eller, som de vanligvis sier i disse tilfellene, alle mulige kombinasjoner. Derfor kalles slike problemer kombinatoriske. Det er ganske vanlig å beregne mulige (eller umulige) alternativer i livet, så det er nyttig å bli kjent med kombinatoriske problemer, og den delen av matematikken som omhandler å løse disse problemene kalles kombinatorikk. (lysbilde nummer 5)

Elevene skriver definisjonen i en notatbok:

Kombinatorikk er en gren av matematikk viet til å løse problemer med å velge og arrangere gitte elementer i henhold til gitte regler

Et vanlig spørsmål i kombinatoriske problemer er "Hvor mange måter…?” eller

« Hvor mange alternativer…?»

Lærer : La oss gå tilbake til flaggproblemet, løse det ved å bruke oppregningen av mulige alternativer: (lysbilde nummer 7)

KBS KSB

BSC BCS

SBC SKB

Svar: 6 alternativer.

Så da vi løste dette problemet, lette vi etter en måte å oppregne mulige alternativer. I

i mange tilfeller viser det seg nyttig mottakelseå konstruere et bilde - et opplegg for å telle opp alternativer. Dette er først og fremst illustrerende for det andre, lar oss ta hensyn til alt, ikke gå glipp av noe.

Beslutningsflagg

Varianter av BSK, BKS, SBC, SKB, KBS, KSB.

Svar: 6 alternativer.

Spørsmålet, svaret som alle burde vite, hvilket av de presenterte flaggalternativene er den russiske føderasjonens statsflagg. (lysbilde nr. 7)

Det viser seg at ikke bare Russlands flagg har disse tre fargene. Det er stater hvis flagg har samme farger.

KBS - Luxembourg,

Nederland.

Frankrike SKB

Lærer: La oss finne en regel for å løse slike problemer ved logisk resonnement.

La oss se på eksemplet med fargede striper. La oss ta en hvit stripe - den kan omorganiseres 3 ganger, ta en blå stripe - den kan omorganiseres bare 2 ganger, fordi et av stedene er allerede okkupert av hvitt, ta den røde stripen - den kan bare settes 1 gang.

TOTALT: 3 x 2 x 1=6

Grunnregelen for produktet:

Multiplikasjonsregel: hvis det første elementet i en kombinasjon kan velges på a-måter, så det andre elementet på b-måter, så totalt antall kombinasjoner vil være lik a x b. (lysbilde nummer 8)

Kroppsøving for øynene. (lysbilde nummer 9)

Treningsformer.

Tegn med øynene en firkant, en sirkel, en trekant, en oval, en rombe med klokken og deretter mot klokken.

1. Praktisk del

Lærer: La oss nå gå videre til matematiske problemer. (del ut oppgavekort)

1. En ganske kjent musketer har i garderoben 3 elegante hatter, 4 fantastiske kapper og 2 par utmerkede støvler. Hvor mange kostymealternativer kan han lage? (Vi velger ett element fra tre sett, det vil si at vi utgjør en "tre", som betyr at vi i henhold til multiplikasjonsregelen får 3 4 2 = 24 kostymealternativer.)
2. Det er 11 personer på fotballaget. Det er nødvendig å velge en kaptein og hans stedfortreder. På hvor mange måter kan dette gjøres? (Det er 11 personer totalt, noe som betyr at kapteinen kan velges på 11 måter, det er 10 spillere igjen, som du kan velge en nestkaptein fra. Så et kapteinpar og hans stedfortreder kan velges i 11 10 \u003d 110 måter.)
3. Hvor mange forskjellige tosifrede tall kan dannes ved å bruke tallene 1, 4, 7, hvis gjentakelse av tall er tillatt? (Du bør få et tosifret tall - bare to posisjoner. I den første posisjonen kan du sette hvilket som helst av de foreslåtte tallene - 3 valg, i den andre posisjonen, med tanke på muligheten for å gjenta tallet, er det også 3 valg. Så vi lager et tallpar 3 3 = 9 måter , dvs. får 9 tall.
4. Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages av sifrene 1, 2, 3, 4, 5, forutsatt at ingen siffer gjentas? ( tresifret tall: den første posisjonen - 5 alternativer for tall, den andre posisjonen, tatt i betraktning utelukkelse av repetisjoner av tall - 4 alternativer, den tredje posisjonen - 3 alternativer. Vi får 5 4 3 = 60 tall.)
5. Hvor mange forskjellige tosifrede tall kan lages av tallene 0, 1, 2, 3, hvis tallene: a) kan gjentas; b) kan ikke gjentas? (a) Et tosifret tall, som ethvert flersifret tall, kan ikke begynne med 0, derfor kan bare 3 av de tilgjengelige 4 sifrene, 3 valg settes i første posisjon, hvilket som helst av tallene kan settes i andre posisjon, tatt i betraktning gjentakelsen - 4 valg. Derfor viser det seg 3 4 \u003d 12 tall; b) Første posisjon - 3 alternativer, andre posisjon - 3 alternativer, fordi repetisjon er utelukket. Vi får 3 3 = 9 tall.)
6. Chifferen for safen består av fem forskjellige tall. Hvor mange forskjellige siffer er det? (5 4 3 2 1 = 120 alternativer.) På hvor mange måter kan 6 personer sitte ved et bord med 6 bestikk? (6 5 4 3 2 1 = 720 måter.)
7. 6 apparater? (6 5 4 3 2 1 = 720 måter.)
8. (8 7 6 5 4 = 6720 alternativer.)
9. (Tallene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 brukes - totalt 10 sifre, unntatt 0 og 9 i begynnelsen av tallet etter betingelse, tatt i betraktning muligheten for repetisjon får vi 8 10 10 10 10 10 10 = 8 000 000 tall.)

1. Speilbilde

Lærer: Gutter, leksjonen vår nærmer seg slutten. Tror du vi har nådd målet vårt i dag, hvorfor? Hva var vanskelig i timen, hvordan kan du takle disse? Tenk og gi deg selv en karakter for arbeidet ditt og arbeidet ditt, sett det selv, ingen av gutta vil se dette merket, prøv å være ærlig med deg selv. Deltok du fullt ut i timen? Hva må gjøres for å få bedre resultater?

I tillegg inviteres studentene til å svare på 3 blitzspørsmål:

1. I dagens leksjon hadde jeg ... (lett, vanligvis vanskelig)
2. nytt materiale Jeg ... (lærte og kan søke, lærte og synes det er vanskelig å søke, lærte ikke)
3. Min egenevaluering for leksjonen ...

Svar på spørsmålene ovenfor kan ikke signeres, fordi. deres hovedfunksjon er å hjelpe læreren med å analysere leksjonen og dens resultater

1. Oppsummering. Merking

7. Hjemmelekse:

1) Lag en oppgave om klassen din

2) Flere land har bestemt seg for å bruke symboler for nasjonalflagget sitt i form av 3 horisontale striper med forskjellig bredde, forskjellige farger - hvit, blå, rød. Hvor mange land kan bruke slike symboler, forutsatt at hvert land har sitt eget flagg?

3) a) Hvor mange tosifrede tall kan lages av tallene 1, 3, 5, 7, 9?

b) Hvor mange tosifrede tall kan lages av tallene 1, 3, 5, 7, 9, forutsatt at tallene ikke skal gjentas

Lærer: Så jeg var glad for å møte deg, være interessert i matematikk, dette vil utvilsomt gjenspeiles i positiv side i dine tanker og handlinger. Ha det

Litteratur:

E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev. Sannsynlighet og statistikk i løpet av matematikk ungdomsskolen: forelesninger 1-4, 5 - 8. - M .: Pedagogisk universitet"Første september", 2006.

Vilenkin N.Ya. Matte. 5. klasse: lærebok for allmenndannelse. institusjoner / N.Ya. Vilenkin et al. - M .: Mnemozina, 2009.

Smykalova E.V. Ekstra kapitler i matematikk for elever i 5. klasse. St. Petersburg: SMIO. Press, 2006.

Grad 5 "Matematikk-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.

Oppgaver (kort)

1. En ganske kjent musketer har i garderoben 3 elegante hatter, 4 fantastiske kapper og 2 par utmerkede støvler. Hvor mange kostymealternativer kan han lage?
2. Det er 11 personer på fotballaget. Det er nødvendig å velge en kaptein og hans stedfortreder. På hvor mange måter kan dette gjøres?
3. Hvor mange forskjellige tosifrede tall kan dannes ved å bruke tallene 1, 4, 7, hvis repetisjon av tall er tillatt
4. Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages av sifrene 1, 2, 3, 4, 5, forutsatt at ingen siffer gjentas?
5. Hvor mange forskjellige tosifrede tall kan lages av tallene 0, 1, 2, 3, hvis tallene: a) kan gjentas; b) kan ikke gjentas?
6. Chifferen for safen består av fem forskjellige tall. Hvor mange forskjellige siffer er det?
7. På hvor mange måter kan 6 personer sitte ved et bord med 6 apparater?
8. I femte klasse studeres 8 emner. Hvor mange ulike timeplaner kan lages for mandag hvis det skulle være 5 leksjoner denne dagen og alle timene er forskjellige?
9. Hvor mange varianter av syvsifrede telefonnumre kan dannes hvis numre som begynner med 0 og 9 ekskluderes fra dem?

Svar

1. Vi velger ett element fra tre sett, det vil si at vi utgjør en "tre", som betyr at vi i henhold til multiplikasjonsregelen får 3 4 2 = 24 kostymealternativer.
2. Det er 11 personer totalt, noe som betyr at kaptein kan velges på 11 måter, det er 10 spillere igjen, som du kan velge nestleder fra. Så et par, kapteinen og hans stedfortreder, kan velges på 11 10 = 110 måter.
3. Du bør få et tosifret tall - kun to posisjoner. I den første posisjonen kan du sette hvilket som helst av de foreslåtte tallene - 3 valg, i den andre posisjonen, med tanke på muligheten for å gjenta tallet, er det også 3 valg. Dette betyr at vi komponerer et tallpar på 3 3 = 9 måter, dvs. du får 9 tall.
4. Tresifret tall: den første posisjonen - 5 alternativer for tall, den andre posisjonen, tatt i betraktning utelukkelse av repetisjoner av tall, - 4 alternativer, den tredje posisjonen - 3 alternativer. Vi får 5 4 3 = 60 tall.
5. (a) Et tosifret tall, som ethvert flersifret tall, kan ikke begynne med 0, derfor kan bare 3 av de tilgjengelige 4 sifrene, 3 valg settes i første posisjon, hvilket som helst av tallene kan settes i andre posisjon, tatt i betraktning gjentakelsen - 4 valg. Derfor viser det seg 3 4 \u003d 12 tall; b) Første posisjon - 3 alternativer, andre posisjon - 3 alternativer, fordi repetisjon er utelukket. Vi får 3 3 = 9 tall.
6. 5 4 3 2 1 = 120 alternativer.
7. 6 5 4 3 2 1 = 720 måter
8. 8 7 6 5 4 = 6720 alternativer
9. Tallene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 brukes - totalt 10 sifre, unntatt 0 og 9 i begynnelsen av tallet etter betingelse, tatt i betraktning muligheten for repetisjon , får vi 8 10 10 10 10 10 10 = 8 000 000 tall.

Forhåndsvisning:

Oppgave 2 Svar: Det er 6 mulige alternativer totalt. Dette flagget kan brukes av 6 land. Kozhokar I.E. GBOU ungdomsskole nr. 354 St. Petersburg

Kombinatorikk er en gren av matematikk viet til å løse problemer med å velge og arrangere gitte elementer i henhold til gitte regler. Et vanlig spørsmål i kombinatoriske problemer er "På hvor mange måter ...?" eller "Hvor mange alternativer...?" Kozhokar I.E. GBOU ungdomsskole nr. 354 St. Petersburg

Flere land har bestemt seg for å bruke symboler for nasjonalflagg i form av tre horisontale striper med samme bredde i forskjellige farger - hvit, blå, rød. Hvor mange land kan bruke slike symboler, forutsatt at hvert land har sitt eget flagg? Oppregning av mulige varianter av KBS KSB BSK BKS SBK SKB Svar: 6 alternativer. Ordning for oppregning av alternativer Flagg Kozhokari I.Ye. GBOU ungdomsskole nr. 354 St. Petersburg

Flagget til Nederland Flagget til Luxembourg Flagget til Frankrike Ikke bare Russlands flagg har disse tre fargene. Det er stater hvis flagg har samme farger Flagget til Russland Kozhokar I.E. GBOU ungdomsskole nr. 354 St. Petersburg

Produktregel (valg av et par av flere elementer) Kozhokar I.E. GBOU ungdomsskole nr. 354 St. Petersburg

Kroppsøving for øynene Kozhokar I.E. GBOU ungdomsskole nr. 354 St. Petersburg

Oppgaver 1) En ganske kjent musketer har 3 elegante hatter, 4 fantastiske kapper og 2 par utmerkede støvler i garderoben. Hvor mange kostymealternativer kan han lage? 2) Det er 11 personer i fotballaget. Det er nødvendig å velge en kaptein og hans stedfortreder. På hvor mange måter kan dette gjøres? 3) Hvor mange forskjellige tosifrede tall kan lages ved å bruke tallene 1, 4, 7, hvis repetisjon av tall er tillatt 4) Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages av tallene 1, 2, 3, 4 , 5, forutsatt at ingen tall gjentas? 5) Hvor mange forskjellige tosifrede tall kan lages av tallene 0, 1, 2, 3, hvis tallene: a) kan gjentas; b) kan ikke gjentas? 6) Chifferen for safen består av fem forskjellige tall. Hvor mange forskjellige siffer er det? 7) På hvor mange måter kan 6 personer sitte ved et bord med 6 bestikk? 8) I femte klasse studeres 8 emner. Hvor mange ulike timeplaner kan lages for mandag hvis det skulle være 5 leksjoner denne dagen og alle timene er forskjellige? 9) Hvor mange varianter av syvsifrede telefonnumre kan dannes hvis numre som begynner med 0 og 9 utelukkes fra dem? Kozhokar I.E. GBOU ungdomsskole nr. 354 St. Petersburg

5) (a) Et tosifret tall, som ethvert flersifret tall, kan ikke begynne med 0, derfor kan bare 3 av de tilgjengelige 4 sifrene, 3 valg settes i første posisjon, hvilket som helst av sifrene - 4 valg . Derfor viser det seg 3 4 \u003d 12 tall; b) Første posisjon - 3 alternativer, andre posisjon - 3 alternativer, fordi repetisjon er utelukket. Vi får 3 3 = 9 tall. 6) 5 4 3 2 1 = 120 alternativer. 7) 6 5 4 3 2 1 = 720 måter 8) 8 7 6 5 4 = 6720 alternativer etter betingelse 0 og 9 i begynnelsen av tallet, tatt i betraktning muligheten for repetisjon, får vi 8 10 10 10 10 10 10 = 8 000 000 tall får vi 3 4 2 = 24 kostymealternativer. 2) Det er 11 personer totalt, noe som betyr at kaptein kan velges på 11 måter, det er 10 spillere igjen, som du kan velge nestleder fra. Så et par, kapteinen og hans stedfortreder, kan velges på 11 10 = 110 måter. 3) Du skal få et tosifret tall - kun to posisjoner. I den første posisjonen kan du sette hvilket som helst av de foreslåtte tallene - 3 valg, i den andre posisjonen, med tanke på muligheten for å gjenta tallet, er det også 3 valg. Dette betyr at vi komponerer et tallpar på 3 3 = 9 måter, dvs. du får 9 tall. 4) Tresifret tall: den første posisjonen - 5 alternativer for tall, den andre posisjonen, tar hensyn til utelukkelse av repetisjoner av tall, - 4 alternativer, den tredje posisjonen - 3 alternativer. Vi får 5 4 3 = 60 tall. Svar Kozhokar I.E. GBOU ungdomsskole nr. 354 St. Petersburg

Blitzundersøkelse På dagens leksjon var jeg ... (lett, vanligvis, vanskelig) Jeg ... (lærte og kan søke, lærte og synes det var vanskelig å søke, lærte ikke) Min egenvurdering for leksjonen ... Svar på spørsmålene ovenfor kan ikke signeres Kozhokar I.E. GBOU ungdomsskole nr. 354 St. Petersburg

Lekser Skriv en oppgave om klassen din Flere land har bestemt seg for å bruke symboler i form av 3 horisontale striper med forskjellig bredde, forskjellige farger - hvitt, blått, rødt for nasjonalflagget sitt. Hvor mange land kan bruke slike symboler, forutsatt at hvert land har sitt eget flagg? a) Hvor mange tosifrede tall kan dannes av tallene 1, 3, 5, 7, 9? b) Hvor mange tosifrede tall kan lages fra tallene 1, 3, 5, 7, 9, forutsatt at tallene ikke skal gjentas Kozhokar I.E. GBOU ungdomsskole nr. 354 St. Petersburg

Bra gjort! Takk for leksjonen Kozhokar I.E. GBOU ungdomsskole nr. 354 St. Petersburg

Kozhokar I.E. GBOU ungdomsskole nr. 354 St. Petersburg