Redusere brøker med bokstaver. Utfører fraksjonsreduksjon

Når en elev flytter til videregående skole, matematikk er delt inn i 2 fag: algebra og geometri. Det blir flere og flere konsepter, oppgavene blir vanskeligere og vanskeligere. Noen mennesker har problemer med å forstå brøker. Gikk glipp av den første leksjonen om dette emnet, og vips. brøker? Et spørsmål som vil plage hele skolehverdagen min.

Konseptet med en algebraisk brøk

La oss starte med en definisjon. Under algebraisk brøk refererer til uttrykkene P/Q, der P er telleren og Q er nevneren. Et tall kan være skjult under bokstavoppføringen, numerisk uttrykk, numerisk bokstavuttrykk.

Før du lurer på hvordan du løser algebraiske brøker, må du først forstå at et slikt uttrykk er en del av helheten.

Som regel er et heltall 1. Tallet i nevneren viser hvor mange deler enheten er delt inn i. Telleren er nødvendig for å finne ut hvor mange elementer som tas. Brøkstreken tilsvarer divisjonstegnet. Opptak tillatt brøkuttrykk som en matematisk operasjon "Division". I dette tilfellet er telleren utbyttet, nevneren er divisor.

Grunnregel for vanlige brøker

Når elevene består dette emnet på skolen får de eksempler for å forsterke. For å løse dem riktig og finne forskjellige veier fra vanskelige situasjoner, må du bruke den grunnleggende egenskapen til brøker.

Det går slik: Hvis du multipliserer både telleren og nevneren med samme tall eller uttrykk (annet enn null), endres ikke verdien av fellesbrøken. Et spesielt tilfelle av denne regelen er delingen av begge sider av et uttrykk med samme tall eller polynom. Slike transformasjoner kalles identiske likheter.

Nedenfor skal vi se på hvordan man løser addisjon og subtraksjon av algebraiske brøker, multiplisere, dele og redusere brøker.

Matematiske operasjoner med brøker

La oss se på hvordan du løser, hovedegenskapen til en algebraisk brøk, og hvordan du bruker den i praksis. Hvis du trenger å multiplisere to brøker, addere dem, dele på hverandre eller trekke fra, må du alltid følge reglene.

For operasjonen av addisjon og subtraksjon må det altså finnes en tilleggsfaktor for å bringe uttrykkene til en fellesnevner. Hvis brøkene i utgangspunktet er gitt med de samme uttrykkene Q, bør dette avsnittet utelates. Når fellesnevneren er funnet, hvordan løser du algebraiske brøker? Du må legge til eller trekke fra tellere. Men! Det må huskes at hvis det er et "-"-tegn foran brøken, blir alle tegn i telleren reversert. Noen ganger bør du ikke gjøre noen erstatninger og matematiske operasjoner. Det er nok å endre tegnet foran brøken.

Konseptet brukes ofte som reduserende fraksjoner. Dette betyr følgende: hvis telleren og nevneren er delt med et uttrykk som er forskjellig fra ett (likt for begge deler), så oppnås en ny brøk. Utbytte og divisor er mindre enn før, men på grunn av den grunnleggende brøkregelen forblir de lik det opprinnelige eksemplet.

Hensikten med denne operasjonen er å få et nytt irreduserbart uttrykk. Avgjøre denne oppgaven det er mulig hvis du reduserer telleren og nevneren med den største felles deler. Operasjonsalgoritmen består av to punkter:

Finne gcd for begge sider av brøken.
Dele telleren og nevneren med det funnet uttrykket og oppnå en irreduserbar brøk lik den forrige.

Nedenfor er en tabell som viser formlene. For enkelhets skyld kan du skrive den ut og ha den med deg i en notatbok. Imidlertid, slik at det i fremtiden, når du løser en test eller eksamen, ikke vil være noen problemer med spørsmålet om hvordan du løser algebraiske brøker, de angitte formlene må læres utenat.

Flere eksempler med løsninger

MED teoretisk poeng Fra et perspektiv vurderes spørsmålet om hvordan man løser algebraiske brøker. Eksemplene gitt i artikkelen vil hjelpe deg å forstå materialet bedre.

1. Gjør om brøker og få dem til en fellesnevner.

2. Gjør om brøker og få dem til en fellesnevner.

Etter å ha studert den teoretiske delen og vurdert praktiske spørsmål det burde ikke være mer.

Denne artikkelen fortsetter temaet om å konvertere algebraiske brøker: vurdere en slik handling som å redusere algebraiske brøker. La oss definere selve begrepet, formulere en reduksjonsregel og analysere praktiske eksempler.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Betydningen av å redusere en algebraisk brøk

I materialer om vanlige brøker så vi på reduksjonen. Vi definerte å redusere en brøk som å dele telleren og nevneren med en felles faktor.

Å redusere en algebraisk brøk er en lignende operasjon.

Definisjon 1

Redusere en algebraisk brøk er delingen av telleren og nevneren med en felles faktor. I dette tilfellet, i motsetning til reduksjonen av en ordinær brøk (fellesnevneren kan bare være et tall), kan fellesfaktoren til telleren og nevneren til en algebraisk brøk være et polynom, spesielt et monomial eller et tall.

For eksempel kan den algebraiske brøken 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 reduseres med tallet 3, noe som resulterer i: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Vi kan redusere den samme brøken med variabelen x, og dette vil gi oss uttrykket 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Også for gitt brøk kan reduseres med en monomial 3 x eller noen av polynomene x + 2 år, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y eller 3 x 2 + 6 x y.

Det endelige målet med å redusere en algebraisk brøk er en brøk større enn enkel type, V beste scenario– irreduserbar fraksjon.

Er alle algebraiske brøker gjenstand for reduksjon?

Igjen, fra materialer på vanlige fraksjoner, vet vi at det finnes reduserbare og irreduserbare fraksjoner. Irreduserbare brøker er brøker som ikke har andre felles teller- og nevnerfaktorer enn 1.

Det er det samme med algebraiske brøker: de kan ha felles faktorer i telleren og nevneren, eller de kan ikke. Tilstedeværelsen av vanlige faktorer lar deg forenkle den opprinnelige brøken gjennom reduksjon. Når det ikke er noen felles faktorer, er det umulig å optimalisere en gitt brøk ved hjelp av reduksjonsmetoden.

I generelle tilfeller, iht gitt type Det er ganske vanskelig for en brøkdel å forstå om det kan reduseres. Selvfølgelig er tilstedeværelsen av en felles faktor mellom telleren og nevneren åpenbar i noen tilfeller. For eksempel, i den algebraiske brøken 3 x 2 3 y er det klart at den felles faktoren er tallet 3.

I brøken - x · y 5 · x · y · z 3 forstår vi også umiddelbart at den kan reduseres med x, eller y, eller x · y. Og likevel, mye oftere er det eksempler på algebraiske brøker, når den felles faktoren til telleren og nevneren ikke er så lett å se, og enda oftere er den ganske enkelt fraværende.

For eksempel kan vi redusere brøken x 3 - 1 x 2 - 1 med x - 1, mens den angitte fellesfaktoren ikke er til stede i oppføringen. Men brøken x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 kan ikke reduseres, siden telleren og nevneren ikke har en felles faktor.

Spørsmålet om å bestemme reduserbarheten til en algebraisk brøk er altså ikke så enkelt, og det er ofte lettere å arbeide med en brøkdel av en gitt form enn å prøve å finne ut om den er reduserbar. I dette tilfellet skjer slike transformasjoner som i spesielle tilfeller gjør det mulig å bestemme fellesfaktoren til telleren og nevneren eller å trekke en konklusjon om irreducerbarheten til en brøk. Vi vil undersøke dette problemet i detalj i neste avsnitt av artikkelen.

Regel for å redusere algebraiske brøker

Regel for å redusere algebraiske brøker består av to sekvensielle handlinger:

finne felles faktorer for telleren og nevneren;
hvis noen blir funnet, utføres handlingen med å redusere fraksjonen direkte.

Den mest praktiske metoden for å finne fellesnevnere er å faktorisere polynomene som er tilstede i telleren og nevneren til en gitt algebraisk brøk. Dette lar deg umiddelbart tydelig se tilstedeværelsen eller fraværet av vanlige faktorer.

Selve handlingen med å redusere en algebraisk brøk er basert på hovedegenskapen til en algebraisk brøk, uttrykt ved likheten udefinert, der a, b, c er noen polynomer, og b og c er ikke-null. Det første trinnet er å redusere brøken til formen a · c b · c, der vi umiddelbart legger merke til fellesfaktoren c. Det andre trinnet er å utføre en reduksjon, dvs. overgang til en brøkdel av formen a b .

Typiske eksempler

Til tross for noen selvfølgeligheter, la oss avklare om spesielt tilfelle når telleren og nevneren til en algebraisk brøk er like. Lignende brøker er identisk lik 1 på hele ODZ av variablene til denne brøken:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Siden vanlige brøker er et spesialtilfelle av algebraiske brøker, la oss huske hvordan de reduseres. De naturlige tallene skrevet i telleren og nevneren blir faktorisert inn i primfaktorer, deretter annulleres de felles faktorene (hvis noen).

For eksempel, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Produkt av primtall identiske multiplikatorer det er mulig å skrive dem som potenser, og i prosessen med å redusere en brøk, bruke egenskapen til å dele potenser med på samme grunnlag. Da vil løsningen ovenfor være:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(teller og nevner delt på en felles faktor 2 2 3). Eller for klarhet, basert på egenskapene til multiplikasjon og divisjon, gir vi løsningen følgende form:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analogt utføres reduksjonen av algebraiske brøker, der telleren og nevneren har monomer med heltallskoeffisienter.

Eksempel 1

Den algebraiske brøken er gitt - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Det må reduseres.

Løsning

Det er mulig å skrive telleren og nevneren til en gitt brøk som et produkt av enkle faktorer og variabler, og deretter utføre reduksjonen:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

En mer rasjonell måte ville imidlertid være å skrive løsningen som et uttrykk med krefter:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Svare:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Når telleren og nevneren til en algebraisk brøk har numeriske brøkkoeffisienter, er to måter mulige ytterligere handlinger: eller del disse separat brøkodds, eller først bli kvitt brøkkoeffisienter ved å multiplisere telleren og nevneren med en viss naturlig tall. Den siste transformasjonen utføres på grunn av den grunnleggende egenskapen til en algebraisk brøk (du kan lese om den i artikkelen "Redusere en algebraisk brøk til en ny nevner").

Eksempel 2

Den gitte brøken er 2 5 x 0, 3 x 3. Det må reduseres.

Løsning

Det er mulig å redusere brøken på denne måten:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

La oss prøve å løse problemet annerledes, etter først å ha blitt kvitt brøkkoeffisienter - multipliser telleren og nevneren med det minste felles multiplum av nevnerne til disse koeffisientene, dvs. på LCM (5, 10) = 10. Da får vi:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Svar: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Når vi reduserer algebraiske brøker generelt syn, der tellerne og nevnerne kan være enten monomer eller polynomer, kan det være et problem når fellesfaktoren ikke alltid er umiddelbart synlig. Eller dessuten eksisterer den rett og slett ikke. Deretter, for å bestemme fellesfaktoren eller registrere fraværet, blir telleren og nevneren til den algebraiske brøken faktorisert.

Eksempel 3

Den rasjonelle brøken 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 er gitt. Det må reduseres.

Løsning

La oss faktorisere polynomene i telleren og nevneren. La oss sette det utenfor parentes:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vi ser at uttrykket i parentes kan konverteres ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Man ser tydelig at det er mulig å redusere en brøk med en felles faktor b 2 (a + 7). La oss gjøre en reduksjon:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

La oss skrive en kort løsning uten forklaring som en kjede av likheter:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Svare: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Det hender at vanlige faktorer er skjult av numeriske koeffisienter. Deretter, når du reduserer brøker, er det optimalt å sette de numeriske faktorene ved høyere potenser av telleren og nevneren utenfor parentes.

Eksempel 4

Gitt den algebraiske brøken 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Det er nødvendig å redusere det hvis mulig.

Løsning

Ved første øyekast eksisterer ikke telleren og nevneren fellesnevner. La oss imidlertid prøve å konvertere den gitte brøken. La oss ta ut faktoren x i telleren:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Nå kan du se en viss likhet mellom uttrykket i parentes og uttrykket i nevneren på grunn av x 2 y . La oss ta ut de numeriske koeffisientene til de høyere potensene til disse polynomene:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Nå blir fellesfaktoren synlig, vi gjennomfører reduksjonen:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Svare: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

La oss understreke at ferdigheten til å redusere rasjonelle brøker avhenger av evnen til å faktorisere polynomer.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Det er basert på deres grunnleggende egenskap: hvis telleren og nevneren til en brøk er delt med det samme polynomet som ikke er null, vil en lik brøk fås.

Du kan bare redusere multiplikatorer!

Medlemmer av polynomer kan ikke forkortes!

Å forkorte algebraisk brøk, må polynomene i telleren og nevneren først faktoriseres.

La oss se på eksempler på å redusere brøker.

Telleren og nevneren til brøken inneholder monomialer. De representerer arbeid(tall, variabler og deres potenser), multiplikatorer vi kan redusere.

Vi reduserer tallene med deres største felles divisor, det vil si med største antall, som hvert av disse tallene er delt med. For 24 og 36 er dette 12. Etter reduksjon gjenstår 2 fra 24 og 3 fra 36.

Vi reduserer gradene med graden med lavest indeks. Å redusere en brøk betyr å dele telleren og nevneren med samme divisor, og trekke fra eksponentene.

a² og a⁷ reduseres til a². I dette tilfellet forblir en i telleren av a² (vi skriver 1 bare i tilfellet når det etter reduksjon ikke er andre faktorer igjen. Fra 24 gjenstår 2, så vi skriver ikke 1 som gjenstår fra a²). Fra a⁷, etter reduksjon, gjenstår a⁵.

b og b er redusert med b; de resulterende enhetene er ikke skrevet.

c³º og c⁵ forkortes til c⁵. Det som gjenstår fra c³º er c²⁵, fra c⁵ er en (vi skriver det ikke). Slik,

Telleren og nevneren til denne algebraiske brøken er polynomer. Du kan ikke avbryte vilkår for polynomer! (du kan ikke redusere for eksempel 8x² og 2x!). For å redusere denne brøkdelen trenger du . Telleren har en felles faktor på 4x. La oss ta det ut av parentes:

Både teller og nevner har samme faktor (2x-3). Vi reduserer brøken med denne faktoren. I telleren fikk vi 4x, i nevneren - 1. I følge 1 egenskap til algebraiske brøker er brøken lik 4x.

Du kan bare redusere faktorer (du kan ikke redusere denne brøkdelen med 25x²!). Derfor må polynomene i telleren og nevneren til brøken faktoriseres.

I telleren - perfekt firkant summer, nevneren er forskjellen av kvadrater. Etter dekomponering ved bruk av forkortede multiplikasjonsformler får vi:

Vi reduserer brøken med (5x+1) (for å gjøre dette, kryss ut de to i telleren som en eksponent, og etterlater (5x+1)² (5x+1)):

Telleren har en felles faktor på 2, la oss ta den ut av parentes. Nevneren er formelen for forskjellen av terninger:

Som et resultat av utvidelsen fikk telleren og nevneren samme faktor (9+3a+a²). Vi reduserer brøkdelen med det:

Polynomet i telleren består av 4 ledd. det første leddet med det andre, det tredje med det fjerde, og fjern fellesfaktoren x² fra de første parentesene. Vi dekomponerer nevneren ved å bruke summen av kuberformelen:

I telleren, la oss ta den felles faktoren (x+2) ut av parentes:

Reduser brøken med (x+2):

I denne artikkelen vil vi gå i detalj om redusere algebraiske brøker. Først, la oss finne ut hva som menes med begrepet "reduksjon av en algebraisk brøk" og finne ut om en algebraisk brøk alltid er reduserbar. Nedenfor presenterer vi en regel som gjør at denne transformasjonen kan utføres. Til slutt vil vi vurdere løsninger på typiske eksempler som vil tillate oss å forstå alle forviklingene i prosessen.

Sidenavigering.

Hva betyr det å redusere en algebraisk brøk?

Mens vi studerte, snakket vi om reduksjonen deres. vi kalte å dele telleren og nevneren med en felles faktor. For eksempel vanlig brøk 30/54 kan reduseres med 6 (det vil si dens teller og nevner delt på 6), noe som fører oss til brøken 5/9.

Ved å redusere en algebraisk brøk mener vi en lignende handling. Reduser en algebraisk brøk- dette betyr å dele telleren og nevneren med en felles faktor. Men hvis fellesfaktoren til telleren og nevneren til en vanlig brøk bare kan være et tall, kan fellesfaktoren til telleren og nevneren til en algebraisk brøk være et polynom, spesielt et monom eller tall.

For eksempel kan en algebraisk brøk reduseres med tallet 3, noe som gir brøken . Det er også mulig å utføre en sammentrekning til variabelen x, noe som resulterer i uttrykket . Den opprinnelige algebraiske brøken kan reduseres med monomialet 3 x, så vel som med hvilket som helst av polynomene x+2 y, 3 x +6 y, x 2 +2 x y eller 3 x 2 +6 x y.

Det endelige målet med å redusere en algebraisk brøk er å oppnå en brøkdel av en enklere form, i beste fall en ikke-reduserbar brøk.

Kan enhver algebraisk brøk reduseres?

Vi vet at vanlige brøker deles inn i . Irreduserbare brøker har ikke andre fellesfaktorer i telleren og nevneren enn én, og kan derfor ikke reduseres.

Algebraiske brøker kan ha felles faktorer i telleren og nevneren. Hvis det er felles faktorer, er det mulig å redusere en algebraisk brøk. Hvis det ikke er noen felles faktorer, er det umulig å forenkle en algebraisk brøk ved å redusere den.

I generell sak Ved utseende algebraisk brøk, er det ganske vanskelig å avgjøre om den kan reduseres. Selvfølgelig, i noen tilfeller er de felles faktorene for telleren og nevneren åpenbare. For eksempel er det tydelig at telleren og nevneren til en algebraisk brøk har en felles faktor 3. Det er også lett å legge merke til at en algebraisk brøk kan reduseres med x, med y eller direkte med x·y. Men mye oftere er den vanlige faktoren til telleren og nevneren for en algebraisk brøk ikke umiddelbart synlig, og enda oftere eksisterer den rett og slett ikke. For eksempel er det mulig å redusere en brøk med x−1, men denne fellesfaktoren er ikke tydelig til stede i notasjonen. Og en algebraisk brøk det er umulig å redusere, siden telleren og nevneren ikke har felles faktorer.

Generelt er spørsmålet om reduserbarheten til en algebraisk brøk svært vanskelig. Og noen ganger er det lettere å løse et problem ved å jobbe med en algebraisk brøk i sin opprinnelige form enn å finne ut om denne brøken kan reduseres først. Men det er fortsatt transformasjoner som i noen tilfeller gjør det mulig, med relativt liten innsats, å finne fellesfaktorene for telleren og nevneren, hvis noen, eller å konkludere med at den opprinnelige algebraiske brøken er irreduserbar. Denne informasjonen vil bli offentliggjort i neste avsnitt.

Regel for å redusere algebraiske brøker

Informasjonen fra de foregående avsnittene lar deg naturlig oppfatte følgende regel for å redusere algebraiske brøker, som består av to trinn:

først blir de felles faktorene til telleren og nevneren til den opprinnelige brøken funnet;
hvis det er noen, foretas en reduksjon av disse faktorene.

De angitte trinnene i den annonserte regelen trenger avklaring.

Den mest praktiske måten å finne vanlige er å faktorisere polynomene i telleren og nevneren til den opprinnelige algebraiske brøken. I dette tilfellet blir fellesfaktorene til telleren og nevneren umiddelbart synlige, eller det blir klart at det ikke er noen fellesfaktorer.

Hvis det ikke er noen felles faktorer, kan vi konkludere med at den algebraiske brøken er irreduserbar. Hvis vanlige faktorer blir funnet, reduseres de i det andre trinnet. Resultatet er en ny brøkdel av en enklere form.

Regelen for å redusere algebraiske brøker er basert på den grunnleggende egenskapen til en algebraisk brøk, som uttrykkes ved likheten, der a, b og c er noen polynomer, og b og c er ikke-null. I det første trinnet reduseres den opprinnelige algebraiske brøken til den formen som fellesfaktoren c blir synlig fra, og i det andre trinnet utføres reduksjonen - overgangen til brøken.

La oss gå videre til å løse eksempler ved å bruke denne regelen. På dem vil vi analysere alle mulige nyanser som oppstår når telleren og nevneren til en algebraisk brøk faktoriseres i faktorer og påfølgende reduksjon.

Typiske eksempler

Først må vi snakke om å redusere algebraiske brøker hvis teller og nevner er de samme. Slike brøker er identisk lik en på hele ODZ av variablene inkludert i den, for eksempel,
osv.

Nå skader det ikke å huske hvordan man reduserer vanlige brøker - tross alt er de et spesielt tilfelle av algebraiske brøker. Naturlige tall i telleren og nevneren til en felles brøk, hvoretter fellesfaktorene opphever (hvis noen). For eksempel . Produktet av identiske primfaktorer kan skrives i form av potenser, og brukes ved forkortelse. I dette tilfellet vil løsningen se slik ut: , her delte vi telleren og nevneren med en felles faktor 2 2 3. Eller, for større klarhet, basert på egenskapene til multiplikasjon og divisjon, er løsningen presentert i skjemaet.

Absolutt lignende prinsipper brukes for å redusere algebraiske brøker, hvis teller og nevner inneholder monomer med heltallskoeffisienter.

Eksempel.

Avbryt en algebraisk brøk .

Løsning.

Du kan representere telleren og nevneren til den opprinnelige algebraiske brøken som et produkt av primfaktorer og variabler, og deretter utføre reduksjonen:

Men det er mer rasjonelt å skrive løsningen i form av et uttrykk med krefter:

Svare:

Når det gjelder reduksjonen av algebraiske brøker som har numeriske brøkkoeffisienter i telleren og nevneren, kan du gjøre to ting: enten dele disse brøkkoeffisientene separat, eller først bli kvitt brøkkoeffisientene ved å multiplisere telleren og nevneren med et naturlig tall. Vi snakket om den siste transformasjonen i artikkelen som bringer en algebraisk brøk til en ny nevner den kan utføres på grunn av den grunnleggende egenskapen til en algebraisk brøk. La oss forstå dette med et eksempel.

Eksempel.

Utfør brøkreduksjon.

Løsning.

Du kan redusere brøken som følger: .

Eller du kan først bli kvitt brøkkoeffisienter ved å multiplisere telleren og nevneren med nevnerne til disse koeffisientene, det vil si med LCM(5, 10)=10. I dette tilfellet har vi .

Svare:

Du kan gå videre til algebraiske brøker av generell form, der telleren og nevneren kan inneholde både tall og monomer, samt polynomer.

Når man reduserer slike brøker, er hovedproblemet at fellesfaktoren til telleren og nevneren ikke alltid er synlig. Dessuten eksisterer det ikke alltid. For å finne en felles faktor eller bekrefte fraværet, må du faktorisere telleren og nevneren til en algebraisk brøk.

Eksempel.

Redusere rasjonell brøk .

Løsning.

For å gjøre dette, faktor polynomene i telleren og nevneren. La oss starte med å sette den utenfor parentes: . Det er klart at uttrykkene i parentes kan transformeres ved hjelp av

Inndeling og telleren og nevneren av brøken på deres felles deler, forskjellig fra en, kalles redusere en brøkdel.

For å redusere en vanlig brøk, må du dele telleren og nevneren med det samme naturlige tallet.

Dette tallet er den største felles divisor for telleren og nevneren for den gitte brøken.

Følgende er mulig skjema for beslutningsopptak Eksempler for å redusere vanlige brøker.

Studenten har rett til å velge hvilken som helst form for opptak.

Eksempler. Forenkle brøker.

Reduser brøken med 3 (del telleren med 3;

del nevneren med 3).

Reduser brøken med 7.

Vi utfører de angitte handlingene i telleren og nevneren til brøken.

Den resulterende fraksjonen reduseres med 5.

La oss redusere denne brøkdelen 4) på 5·7³- den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren, som består av fellesfaktorene til telleren og nevneren, tatt i potens med den minste eksponenten.

La oss faktorisere telleren og nevneren til denne brøken i primfaktorer.

Vi får: 756=2²·3³·7 Og 1176=2³·3·7².

Bestem GCD (største felles divisor) for telleren og nevneren til brøken 5) .

Dette er produktet av vanlige faktorer tatt med de laveste eksponentene.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Vi deler telleren og nevneren for denne brøken med deres gcd, dvs. med 2²·3·7 vi får en irreduserbar brøkdel 9/14 .

Eller det var mulig å skrive nedbrytningen av teller og nevner i form av et produkt av primfaktorer, uten å bruke potensbegrepet, og deretter redusere brøken ved å krysse ut de samme faktorene i telleren og nevneren. Når det ikke er identiske faktorer igjen, multipliserer vi de resterende faktorene separat i telleren og separat i nevneren og skriver ut den resulterende brøken 9/14 .

Og til slutt var det mulig å redusere denne brøkdelen 5) gradvis ved å bruke tegn på å dele tall på både telleren og nevneren av brøken. La oss tenke slik: tall 756 Og 1176 ende på et partall, som betyr at begge er delbare med 2 . Vi reduserer brøken med 2 . Telleren og nevneren til den nye brøken er tall 378 Og 588 også delt inn i 2 . Vi reduserer brøken med 2 . Vi merker at tallet 294 - til og med, og 189 er oddetall, og reduksjon med 2 er ikke lenger mulig. La oss sjekke delebarheten til tall 189 Og 294 på 3 .

(1+8+9)=18 er delelig med 3 og (2+9+4)=15 er delelig med 3, derav tallene i seg selv 189 Og 294 er delt inn i 3 . Vi reduserer brøken med 3 . Neste, 63 er delelig med 3 og 98 - Nei. La oss se på andre hovedfaktorer. Begge tallene er delbare med 7 . Vi reduserer brøken med 7 og vi får den irreduserbare brøken 9/14 .