Grunnleggende egenskaper ved addisjon og multiplikasjon av tall.

Kommutativ egenskap ved addisjon: omorganisering av vilkårene endrer ikke verdien av summen. For alle tall a og b er likheten sann

Kombinasjonsegenskap for addisjon: For å legge til et tredje tall til summen av to tall, kan du legge til summen av det andre og tredje til det første tallet. For alle tall a, b og c er likheten sann

Kommutativ egenskap ved multiplikasjon: omorganisering av faktorene endrer ikke verdien av produktet. For alle tall a, b og c er likheten sann

Kombinasjonsegenskap for multiplikasjon: for å multiplisere produktet av to tall med et tredje tall, kan du multiplisere det første tallet med produktet av det andre og tredje.

For alle tall a, b og c er likheten sann

Fordelingsegenskap: For å multiplisere et tall med en sum, kan du multiplisere det tallet med hvert ledd og legge til resultatene. For alle tall a, b og c er likheten sann

Fra de kommutative og kombinative egenskapene til addisjon følger det: i hvilken som helst sum kan du omorganisere begrepene på hvilken som helst måte du vil og vilkårlig kombinere dem i grupper.

Eksempel 1 La oss regne ut summen 1,23+13,5+4,27.

For å gjøre dette er det praktisk å kombinere den første termen med den tredje. Vi får:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Fra de kommutative og kombinative egenskapene til multiplikasjon følger det: i ethvert produkt kan du omorganisere faktorene på noen måte og vilkårlig kombinere dem i grupper.

Eksempel 2 La oss finne verdien av produktet 1,8·0,25·64·0,5.

Ved å kombinere den første faktoren med den fjerde, og den andre med den tredje, har vi:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

Den fordelende egenskapen er også sann når et tall multipliseres med summen av tre eller flere ledd.

For eksempel, for alle tall a, b, c og d er likheten sann

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Vi vet at subtraksjon kan erstattes med addisjon ved å legge til minuenden det motsatte tallet av subtrahenden:

Dette tillater et numerisk uttrykk type a-b betraktes som summen av tallene a og -b, et numerisk uttrykk av formen a+b-c-d betraktes som summen av tallene a, b, -c, -d osv. De betraktede egenskapene til handlinger er også gyldige for slike summer.

Eksempel 3 La oss finne verdien av uttrykket 3,27-6,5-2,5+1,73.

Dette uttrykket er summen av tallene 3,27, -6,5, -2,5 og 1,73. Ved å bruke egenskapene til addisjon får vi: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Eksempel 4 La oss beregne produktet 36·().

Multiplikatoren kan betraktes som summen av tallene og -. Ved å bruke den distributive egenskapen til multiplikasjon får vi:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Identiteter

Definisjon. To uttrykk hvis tilsvarende verdier er like for alle verdier av variablene kalles identisk like.

Definisjon. En likhet som er sann for alle verdier av variablene kalles en identitet.

La oss finne verdiene til uttrykkene 3(x+y) og 3x+3y for x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Vi fikk samme resultat. Fra distribusjonsegenskapen følger det at generelt, for alle verdier av variablene, er de tilsvarende verdiene til uttrykkene 3(x+y) og 3x+3y like.

La oss nå vurdere uttrykkene 2x+y og 2xy. Når x=1, y=2 tar de like verdier:

Du kan imidlertid spesifisere verdier av x og y slik at verdiene til disse uttrykkene ikke er like. For eksempel, hvis x=3, y=4, da

Uttrykkene 3(x+y) og 3x+3y er identisk like, men uttrykkene 2x+y og 2xy er ikke identisk like.

Likheten 3(x+y)=x+3y, sant for alle verdier av x og y, er en identitet.

Ekte numeriske likheter regnes også som identiteter.

Dermed er identiteter uttrykk for likheter grunnleggende egenskaper handlinger på tall:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Andre eksempler på identiteter kan gis:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Identiske transformasjoner av uttrykk

Å erstatte ett uttrykk med et annet identisk like uttrykk kalles en identisk transformasjon eller ganske enkelt en transformasjon av et uttrykk.

Identiske transformasjoner av uttrykk med variabler utføres basert på egenskapene til operasjoner på tall.

For å finne verdien av uttrykket xy-xz when gitte verdier x, y, z, du må utføre tre handlinger. For eksempel, med x=2,3, y=0,8, z=0,2 får vi:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Dette resultatet kan oppnås ved å utføre bare to trinn, hvis du bruker uttrykket x(y-z), som er identisk lik uttrykket xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.

Vi forenklet beregningene ved å erstatte uttrykket xy-xz identisk likt uttrykk x(y-z).

Identiske transformasjoner av uttrykk er mye brukt for å beregne verdiene til uttrykk og løse andre problemer. Noen identiske transformasjoner har allerede måttet utføres, for eksempel ved å bringe lignende termer, åpne parenteser. La oss huske reglene for å utføre disse transformasjonene:

å lede lignende vilkår, må du legge sammen koeffisientene deres og multiplisere resultatet med den vanlige bokstavdelen;

hvis det er et plusstegn før parentesene, kan parentesene utelates, mens tegnet for hvert ledd i parentes bevares;

Hvis det er et minustegn foran parentesene, kan parentesene utelates ved å endre fortegnet for hvert ledd i parentesen.

Eksempel 1 La oss presentere lignende termer i summen 5x+2x-3x.

La oss bruke regelen for å redusere lignende termer:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Denne transformasjonen er basert på den distributive egenskapen til multiplikasjon.

Eksempel 2 La oss åpne parentesene i uttrykket 2a+(b-3c).

Bruke regelen for å åpne parenteser foran med et plusstegn:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Transformasjonen som utføres er basert på den kombinatoriske egenskapen til tilsetning.

Eksempel 3 La oss åpne parentesene i uttrykket a-(4b-c).

La oss bruke regelen for å åpne parenteser med et minustegn foran:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Transformasjonen som utføres er basert på den distributive egenskapen til multiplikasjon og den kombinatoriske egenskapen til addisjon. La oss vise det. La oss representere det andre leddet -(4b-c) i dette uttrykket som et produkt (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Ved å søke angitte egenskaper handlinger får vi:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Blant de ulike uttrykkene som vurderes i algebra er viktig sted okkuperer summer av monomer. Her er eksempler på slike uttrykk:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Summen av monomer kalles et polynom. Termene i et polynom kalles termer for polynomet. Monomialer er også klassifisert som polynomer, og vurderer et monomial for å være et polynom som består av ett medlem.

For eksempel et polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan forenkles.

La oss representere alle begrepene i form av monomialer av standardformen:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

La oss presentere lignende termer i det resulterende polynomet:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Resultatet er et polynom, der alle termer er monomer av standardformen, og blant dem er det ingen lignende. Slike polynomer kalles polynomer av standardform.

Til grad av polynom av en standardform ta den høyeste av kreftene til medlemmene. Dermed har binomialet \(12a^2b - 7b\) tredje grad, og trinomialet \(2b^2 -7b + 6\) har den andre.

Vanligvis er vilkårene for polynomer av standardform som inneholder én variabel ordnet i synkende rekkefølge av eksponenter av dens grad. For eksempel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Summen av flere polynomer kan transformeres (forenkles) til et polynom av standardform.

Noen ganger må vilkårene til et polynom deles inn i grupper, og omslutter hver gruppe i parentes. Siden bracketing er den omvendte transformasjonen av åpningsparenteser, er den lett å formulere regler for åpning av parentes:

Hvis et "+"-tegn er plassert foran parentesene, skrives begrepene i parentes med de samme tegnene.

Hvis et "-"-tegn er plassert foran parentesene, skrives begrepene i parentesene med motsatte tegn.

Transformasjon (forenkling) av produktet av et monom og et polynom

Ved å bruke den distributive egenskapen til multiplikasjon kan du transformere (forenkle) produktet av et monom og et polynom til et polynom. For eksempel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produktet av et monomer og et polynom er identisk lik summen av produktene til dette monomet og hvert av leddene til polynomet.

Dette resultatet er vanligvis formulert som en regel.

For å multiplisere et monomer med et polynom, må du multiplisere det monomet med hver av termene i polynomet.

Vi har allerede brukt denne regelen flere ganger for å multiplisere med en sum.

Produkt av polynomer. Transformasjon (forenkling) av produktet av to polynomer

Generelt er produktet av to polynom identisk lik summen av produktet av hvert ledd i ett polynom og hvert ledd i det andre.

Vanligvis brukes følgende regel.

For å multiplisere et polynom med et polynom, må du multiplisere hvert ledd i ett polynom med hvert ledd i det andre og legge til de resulterende produktene.

Forkortede multiplikasjonsformler. Sum kvadrater, forskjeller og forskjell av kvadrater

Med noen uttrykk i algebraiske transformasjoner må forholde seg til oftere enn andre. De kanskje vanligste uttrykkene er \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) og \(a^2 - b^2 \), dvs. kvadratet av summen, kvadratet av forskjellen og forskjellen på kvadrater. Har du lagt merke til at navnene spesifiserte uttrykk som om ikke fullført, for eksempel, er \((a + b)^2 \) selvfølgelig ikke bare kvadratet av summen, men kvadratet av summen av a og b. Kvadraten av summen av a og b forekommer imidlertid ikke så ofte, i stedet for bokstavene a og b, inneholder den forskjellige, noen ganger ganske komplekse, uttrykk.

Uttrykkene \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kan enkelt konverteres (forenkles) til polynomer av standardformen, faktisk har du allerede møtt en slik oppgave når du multipliserer polynomer :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Det er nyttig å huske de resulterende identitetene og bruke dem uten mellomliggende beregninger. Korte verbale formuleringer hjelper dette.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadratet av summen lik summen firkanter og doble produktet.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadratet av forskjellen er lik summen av kvadrater uten det doble produktet.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - forskjellen av kvadrater er lik produktet av forskjellen og summen.

Disse tre identitetene gjør at man kan erstatte de venstre delene med de høyre delene i transformasjoner og omvendt - høyre delene med de venstre. Det vanskeligste er å se de tilsvarende uttrykkene og forstå hvordan variablene a og b erstattes i dem. La oss se på flere eksempler på bruk av forkortede multiplikasjonsformler.

JEG. Uttrykk der tall og tegn kan brukes sammen med bokstaver aritmetiske operasjoner og parentes kalles algebraiske uttrykk.

Eksempler på algebraiske uttrykk:

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Siden en bokstav i et algebraisk uttrykk kan erstattes med noen forskjellige tall, da kalles bokstaven en variabel, og selve det algebraiske uttrykket kalles et uttrykk med en variabel.

II. Hvis bokstavene (variablene) i et algebraisk uttrykk erstattes av deres verdier og de angitte handlingene utføres, kalles det resulterende tallet verdien til det algebraiske uttrykket.

Eksempler.

Finn betydningen av uttrykket:

1) a + 2b -c med a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| ved x = -8; y = -5; z = 6..

Løsning

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

1) a + 2b -c med a = -2; b = 10; c = -3,5. I stedet for variabler, la oss erstatte verdiene deres. Vi får: 2) |x| + |y| -|z| ved x = -8; y = -5; z = 6. Erstatter angitte verdier . Vi husker at modulen til et negativt tall er lik dets motsatte tall, og modulen positivt tall

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

lik dette tallet selv. Vi får: III.

Verdiene til bokstaven (variabelen) som det algebraiske uttrykket gir mening kalles de tillatte verdiene for bokstaven (variabelen). Eksempler. Til hvilke verdier

variabelt uttrykk gir ikke mening?

Løsning.

Vi vet at du ikke kan dividere med null, derfor vil ikke hvert av disse uttrykkene gi mening gitt verdien av bokstaven (variabelen) som snur nevneren til brøken til null!

I eksempel 3) er nevneren x + 2 = 0 når x = -2. Svar: uttrykk 3) gir ikke mening når x = -2.

I eksempel 4) er nevneren 5 -|x| = 0 for |x| = 5. Og siden |5| = 5 og |-5| = 5, da kan du ikke ta x = 5 og x = -5. Svar: uttrykk 4) gir ikke mening ved x = -5 og ved x = 5.
IV. To uttrykk sies å være identisk like hvis, for eventuelle tillatte verdier av variablene, de tilsvarende verdiene til disse uttrykkene er like.

Eksempel: 5 (a – b) og 5a – 5b er også like, siden likheten 5 (a – b) = 5a – 5b vil være sann for alle verdier av a og b. Likheten 5 (a – b) = 5a – 5b er en identitet.

Identitet er en likhet som er gyldig for alle tillatte verdier av variablene som er inkludert i den. Eksempler på identiteter du allerede kjenner, er for eksempel egenskapene addisjon og multiplikasjon, og den fordelende egenskapen.

Å erstatte ett uttrykk med et annet identisk like uttrykk kalles en identitetstransformasjon eller ganske enkelt en transformasjon av et uttrykk. Identiske transformasjoner av uttrykk med variabler utføres basert på egenskapene til operasjoner på tall.

Eksempler.

en) konverter uttrykket til identisk lik ved å bruke den distributive egenskapen til multiplikasjon:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5-(a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

2) |x| + |y| -|z| ved x = -8; y = -5; z = 6.. La oss huske fordelingsegenskapen (loven) for multiplikasjon:

(a+b)c=ac+bc(Distributiv lov om multiplikasjon i forhold til addisjon: for å multiplisere summen av to tall med et tredje tall, kan du multiplisere hvert ledd med dette tallet og legge til de resulterende resultatene).
(a-b) c=a c-b c(Distributiv lov om multiplikasjon i forhold til subtraksjon: for å multiplisere forskjellen mellom to tall med et tredje tall, kan du multiplisere minuenden og subtrahere med dette tallet separat og trekke det andre fra det første resultatet).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transformer uttrykket til identisk like, ved å bruke de kommutative og assosiative egenskapene (lovene) for addisjon:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

variabelt uttrykk La oss bruke lovene (egenskapene) for tillegg:

a+b=b+a(kommutativ: omorganisering av vilkårene endrer ikke summen).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinativ: for å legge til et tredje tall til summen av to ledd, kan du legge til summen av det andre og tredje til det første tallet).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.

V) Konverter uttrykket til identisk lik ved å bruke de kommutative og assosiative egenskapene (lovene) for multiplikasjon:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

variabelt uttrykk La oss bruke lovene (egenskapene) for multiplikasjon:

a·b=b·a(kommutativ: omorganisering av faktorene endrer ikke produktet).
(a b) c=a (b c)(kombinativt: for å multiplisere produktet av to tall med et tredje tall, kan du multiplisere det første tallet med produktet av det andre og tredje).

Emne nr. 2.

Konvertering av algebraiske uttrykk

jeg. Teoretisk materiale

Grunnleggende konsepter

Algebraisk uttrykk: heltall, brøk, rasjonell, irrasjonell.

Definisjonsomfang, gyldige uttrykksverdier.

Betydningen av et algebraisk uttrykk.

Monomial, polynom.

Forkortede multiplikasjonsformler.

Faktorisering, å sette den felles faktoren utenfor parentes.

Hovedegenskapen til en brøk.

Grad, egenskaper ved grad.

Kortym, egenskaper til røtter.

Transformasjon av rasjonelle og irrasjonelle uttrykk.

Et uttrykk som består av tall og variabler som bruker tegnene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, heving til rasjonell grad, kalles det å trekke ut roten og bruke parenteser algebraisk.

For eksempel: ;
;
;

;
;
;
.

Hvis det algebraiske uttrykket ikke inneholder inndeling i variabler og tar roten til variablene (spesielt ved å heve til en potens med brøkindikator), så heter det hel.

For eksempel:
;
;
.

Hvis et algebraisk uttrykk er sammensatt av tall og variabler ved bruk av operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, eksponentiering med naturlig indikator og divisjon, og deling i uttrykk med variabler brukes, da heter det brøkdel.

For eksempel:
;
.

Hele og brøkuttrykk kalles rasjonell uttrykk.

For eksempel: ;
;

.

Hvis et algebraisk uttrykk innebærer å ta roten til variabler (eller heve variabler til brøkkraft), så kalles et slikt algebraisk uttrykk irrasjonell.

For eksempel:
;
.

Verdiene til variablene som det algebraiske uttrykket gir mening kalles gyldige variabelverdier.

Mye av alle akseptable verdier variabler kalles definisjonsdomene.

Definisjonsdomenet til et helt algebraisk uttrykk er settet med reelle tall.

Definisjonsdomenet til et brøkalgebraisk uttrykk er settet av alle reelle tall unntatt de som gjør nevneren null.

For eksempel: gir mening når
;

gir mening når
, altså når
.

Definisjonsdomenet til et irrasjonelt algebraisk uttrykk er settet av alle reelle tall unntatt de som konverterer til negativt tall uttrykk under rottegnet jevn grad eller under tegnet av å heve til en brøkkraft.

For eksempel:
gir mening når
;

gir mening når
, altså når
.

Numerisk verdi, oppnådd ved å erstatte tillatte verdier av variabler i et algebraisk uttrykk, kalles verdien av et algebraisk uttrykk.

For eksempel: uttrykk
på
,
tar på seg verdien
.

Et algebraisk uttrykk som bare inneholder tall, naturlige potenser til variabler og deres produkter kalles monomial.

For eksempel:
;
;
.

Monomialet, skrevet som produktet av den numeriske faktoren i utgangspunktet og potensene til forskjellige variabler, reduseres til standard visning.

For eksempel:
;
.

Den numeriske faktoren til standardnotasjonen til en monomial kalles koeffisienten til monomiet. Summen av eksponentene til alle variabler kalles grad av monomial.

Når du multipliserer en monomial med en monomial og når du hever en monomial til naturlig grad vi får et monomial som må bringes til standardform.

Summen av monomer kalles polynom.

For eksempel:
; ;
.

Hvis alle ledd i et polynom er skrevet inn standardskjema og reduksjonen av lignende termer utføres, deretter den resulterende polynom av standardform.

For eksempel: .

Hvis det bare er én variabel i et polynom, kalles den største eksponenten til denne variabelen grad av polynom.

For eksempel: Et polynom har femte grad.

Verdien av variabelen der verdien av polynomet er null kalles roten til polynomet.

For eksempel: røttene til et polynom
er tallene 1,5 og 2.

Forkortede multiplikasjonsformler

Spesielle tilfeller av bruk av forkortede multiplikasjonsformler

Forskjell mellom kvadrater:
eller

Kvadratert sum:
eller

Kvadratforskjell:
eller

Sum av kuber:
eller

Forskjell på kuber:
eller

Terning av sum:
eller

Forskjellskube:
eller

Å konvertere et polynom til et produkt av flere faktorer (polynomer eller monomer) kalles faktorisering av et polynom.

For eksempel:.

Metoder for faktorisering av et polynom

For eksempel: .

Bruke forkortede multiplikasjonsformler.

For eksempel: .

Grupperingsmetode. Kommutative og assosiative lover lar deg gruppere medlemmer av et polynom på ulike måter. En av metodene fører til at det samme uttrykket oppnås i parentes, som igjen er tatt ut av parentes.

For eksempel:.

Ethvert brøkalgebraisk uttrykk kan skrives som kvotienten av to rasjonelle uttrykk med en variabel i nevneren.

For eksempel:
.

En brøk der telleren og nevneren er rasjonelle uttrykk og nevneren har en variabel kalles rasjonell brøk.

For eksempel:
;
;
.

Hvis telleren og nevneren rasjonell brøk multiplisere eller dele med samme ikke-null tall, monomial eller polynom, verdien av brøken endres ikke. Dette uttrykket kalles hovedegenskapen til en brøk:

.

Handlingen med å dele telleren og nevneren til en brøk med samme tall kalles redusere en brøkdel:

.

For eksempel:
;
.

Arbeid n faktorer som hver er like EN, Hvor EN– et vilkårlig algebraisk uttrykk eller reelt tall, A n – naturlig tall, kalt gradEN :

.

Algebraisk uttrykk EN ringte gradsgrunnlag, nummer
n – indikator.

For eksempel:
.

Det antas per definisjon at for enhver EN, ikke lik null:

Og
.

Hvis
, Det
.

Gradens egenskaper

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

Hvis,
, deretter uttrykket n-th grad som er lik EN, kalt rotn grad avEN . Det er vanligvis betegnet
. Samtidig EN ringte radikalt uttrykk, n ringte rotindeks.

For eksempel:
;
;
.

Rotegenskaperngrad av a

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

Ved å generalisere begrepet grad og rot, får vi begrepet grad med en rasjonell eksponent:

.

Spesielt
.

Handlinger utført med røtter

For eksempel: .

II. Praktisk materiale

Eksempler på å fullføre oppgaver

Eksempel 1. Finn verdien av brøken
.

Svare: .

Eksempel 2. Forenkle uttrykket
.

La oss transformere uttrykket i de første parentesene:

, Hvis
.

La oss transformere uttrykket i andre parentes:

.

La oss dele resultatet fra den første parentesen med resultatet fra den andre parentesen:

Svare:

Eksempel 3. Forenkle uttrykket:

.

Eksempel 4. Forenkle uttrykket.

La oss transformere den første brøken:

.

La oss transformere den andre brøken:

.

Som et resultat får vi:
.

Eksempel 5. Forenkle uttrykket
.

Løsning. La oss bestemme følgende handlinger:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

Svare:
.

Eksempel 6. Bevis identiteten
.

1)
;

2)
;

Eksempel 7. Forenkle uttrykket:

.

Løsning. Følg disse trinnene:

;

2)
.

Eksempel 8. Bevis identiteten
.

Løsning. Følg disse trinnene:

1)
;

2)

;

3)
.

Arbeidsoppgaver for selvstendig arbeid

1. Forenkle uttrykket:

EN)
;

b)
;

2. Ta hensyn til:

EN)
;

b)
;.Dokument

Tema nr. 5.1. Trigonometriske ligninger I. Teoretiskmateriale Grunnleggende konsepter Trigonometrisk ligning...ved hjelp av ulike algebraisk Og trigonometriske formler Og transformasjoner. II. Praktisk materiale Eksempler på å fullføre oppgaver...

Teoretisk materiale for eksterne og sesjonelle grupper innholdsfortegnelse leksjon 1 informatikk leksjon 2 informasjon

Lekse

Teoretiskmateriale For..., transformasjon, overføring og bruk. Informasjon er kunnskap uttrykt... og tidligere akkumulert, de og dermed bidra til de progressive... deres sannhet med hjelp algebraisk metoder. Uttalelser og uttrykksfulle...

Emne «Utvikling av valgfagsprogram som del av pre-profilforberedelse» Gjennomført

Dokument

... Teoretisk begrunnelse for prosjektet juni-august 2005 3. Utvalg materiale...viser bruken av moduldefinisjonen når transformasjonalgebraiskuttrykk. Modul i ligninger: - ... studentmotivasjon, fremmende de mest, intra-profil...

Pedagogisk og metodisk manual

... Tema 1. Identisk transformasjonalgebraiskuttrykk Tema 2. Algebraisk teoretiskmateriale

Og til Kondaurova utvalgte kapitler av teori og metodikk for å undervise matematikk ekstra matematisk utdanning for skolebarn

Pedagogisk og metodisk manual

... Tema 1. Identisk transformasjonalgebraiskuttrykk(inkludert bruk av substitusjoner, konseptet med modulen til et tall). Tema 2. Algebraisk...lærere. Fjernforelesninger er teoretiskmateriale, som kan presenteres i...

Numerisk og algebraiske uttrykk. Konvertering av uttrykk.

Hva er et uttrykk i matematikk? Hvorfor trenger vi uttrykkskonverteringer?

Spørsmålet, som de sier, er interessant... Faktum er at disse begrepene er grunnlaget for all matematikk. All matematikk består av uttrykk og deres transformasjoner. Ikke veldig tydelig? La meg forklare.

La oss si at du har et ondt eksempel foran deg. Veldig stort og veldig komplekst. La oss si at du er god i matte og ikke er redd for noe! Kan du gi et svar med en gang?

Du må avgjøre dette eksemplet. Konsekvent, steg for steg, dette eksemplet forenkle. Etter visse regler, selvfølgelig. De. gjøre uttrykkskonvertering. Jo mer vellykket du utfører disse transformasjonene, jo sterkere er du i matematikk. Hvis du ikke vet hvordan du gjør de riktige transformasjonene, vil du ikke kunne gjøre dem i matematikk. Ikke noe...

For å unngå en så ubehagelig fremtid (eller nåtid...), skader det ikke å forstå dette emnet.)

Først, la oss finne ut av det hva er et uttrykk i matematikk. Hva har skjedd numerisk uttrykk og hva er algebraisk uttrykk.

Hva er et uttrykk i matematikk?

Uttrykk i matematikk- dette er veldig bredt konsept. Nesten alt vi driver med i matematikk er et sett med matematiske uttrykk. Eventuelle eksempler, formler, brøker, ligninger og så videre - alt består av matematiske uttrykk.

3+2 er et matematisk uttrykk. s 2 - d 2– dette er også et matematisk uttrykk. Og en sunn brøkdel, og til og med ett tall - det er alt matematiske uttrykk. For eksempel er ligningen:

5x + 2 = 12

består av to matematiske uttrykk forbundet med et likhetstegn. Det ene uttrykket er til venstre, det andre til høyre.

I generelt syn begrep " matematisk uttrykk"brukes oftest for å unngå å klage. De vil for eksempel spørre deg hva en vanlig brøk er? Og hvordan skal du svare?!

Første svar: "Dette er... mmmmmm... en slik ting... hvori... Kan jeg skrive en brøk bedre? Hvilken vil du ha?"

Andre svar: " Vanlig brøk- dette er (med glede!) matematisk uttrykk , som består av en teller og en nevner!"

Det andre alternativet vil på en eller annen måte være mer imponerende, ikke sant?)

Dette er hensikten med uttrykket " matematisk uttrykk "veldig bra. Både riktig og solid. Men for praktisk anvendelse trenger å være godt kjent med spesifikke typer uttrykk i matematikk .

Den spesifikke typen er en annen sak. Dette Det er en helt annen sak! Hver type matematisk uttrykk har mine et sett med regler og teknikker som må brukes når man tar en beslutning. For arbeid med brøker - ett sett. For å jobbe med trigonometriske uttrykk - den andre. For å jobbe med logaritmer - den tredje. Og så videre. Et sted faller disse reglene sammen, et eller annet sted skiller de seg kraftig. Men ikke vær redd for disse skumle ordene. Vi vil mestre logaritmer, trigonometri og andre mystiske ting i de aktuelle delene.

Her skal vi mestre (eller - gjenta, avhengig av hvem...) to hovedtyper av matematiske uttrykk. Numeriske uttrykk og algebraiske uttrykk.

Numeriske uttrykk.

Hva har skjedd numerisk uttrykk? Dette er et veldig enkelt konsept. Selve navnet antyder at dette er et uttrykk med tall. Ja, sånn er det. Et matematisk uttrykk som består av tall, parenteser og aritmetiske symboler kalles et numerisk uttrykk.

7-3 er et numerisk uttrykk.

(8+3,2) 5,4 er også et numerisk uttrykk.

Og dette monsteret:

også et numerisk uttrykk, ja...

Et vanlig tall, en brøk, et hvilket som helst regneeksempel uten X-er og andre bokstaver - alt dette er numeriske uttrykk.

Hovedskilt numerisk uttrykk - i det ingen bokstaver. Ingen. Kun tall og matematiske symboler (hvis nødvendig). Det er enkelt, ikke sant?

Og hva kan du gjøre med numeriske uttrykk? Numeriske uttrykk kan vanligvis telles. For å gjøre dette, hender det at du må åpne parentesene, endre skilt, forkorte, bytte vilkår - dvs. gjøre uttrykkskonverteringer. Men mer om det nedenfor.

Her skal vi ta for oss et så morsomt tilfelle når vi har et numerisk uttrykk du trenger ikke gjøre noe. Vel, ingenting i det hele tatt! Denne hyggelige operasjonen - gjør ingenting)- utføres når uttrykket gir ikke mening.

Når gir et numerisk uttrykk ingen mening?

Det er klart at hvis vi ser en slags abrakadabra foran oss, som

da gjør vi ingenting. For det er ikke klart hva du skal gjøre med det. Noe slags tull. Kanskje telle antall plusser...

Men det er utad ganske greie uttrykk. For eksempel dette:

(2+3): (16 - 2 8)

Men dette uttrykket også gir ikke mening! Av den enkle grunn at i andre parentes - hvis du teller - får du null. Men du kan ikke dele med null! Dette er en forbudt operasjon i matematikk. Derfor er det heller ikke nødvendig å gjøre noe med dette uttrykket. For enhver oppgave med et slikt uttrykk vil svaret alltid være det samme: "Uttrykket har ingen mening!"

For å gi et slikt svar måtte jeg selvfølgelig regne ut hva som ville stå i parentes. Og noen ganger er det mange ting i parentes... Vel, det er ingenting du kan gjøre med det.

Det er ikke så mange forbudte operasjoner i matematikk. Det er bare én i dette emnet. Divisjon med null. Ytterligere restriksjoner som oppstår i røtter og logaritmer er diskutert i de tilsvarende emnene.

Så en ide om hva det er numerisk uttrykk- mottatt. Konsept det numeriske uttrykket gir ikke mening- realisert. La oss gå videre.

Algebraiske uttrykk.

Hvis det dukker opp bokstaver i et numerisk uttrykk, blir dette uttrykket... Uttrykket blir... Ja! Det blir algebraisk uttrykk. For eksempel:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Slike uttrykk kalles også bokstavelige uttrykk. Eller uttrykk med variabler. Det er praktisk talt det samme. Uttrykk 5a +c, for eksempel både bokstavelig og algebraisk, og et uttrykk med variabler.

Konsept algebraisk uttrykk - bredere enn numerisk. Den inkluderer og alle numeriske uttrykk. De. et numerisk uttrykk er også et algebraisk uttrykk, bare uten bokstaver. Hver sild er en fisk, men ikke hver fisk er en sild...)

Hvorfor alfabetisk– Det er klart. Vel, siden det er bokstaver... Frase uttrykk med variabler Det er heller ikke veldig rart. Hvis du forstår at tall er skjult under bokstavene. Alle slags tall kan skjules under bokstaver... Og 5, og -18, og hva du måtte ønske. Det vil si at et brev kan være erstatte på forskjellige tall. Det er derfor bokstavene kalles variabler.

I uttrykk y+5, for eksempel på - variabel mengde. Eller de sier bare " variabel", uten ordet "størrelse". I motsetning til fem, som er en konstant verdi. Eller rett og slett - konstant.

Periode algebraisk uttrykk betyr at for å jobbe med dette uttrykket må du bruke lover og regler algebra. Hvis aritmetikk jobber med spesifikke tall, Det algebra- med alle tallene på en gang. Et enkelt eksempel for klargjøring.

I aritmetikk kan vi skrive det

Men hvis vi skriver en slik likhet gjennom algebraiske uttrykk:

a + b = b + a

vi bestemmer oss med en gang Alle spørsmål. Til alle tall i ett slag. For alt uendelig. Fordi under bokstavene EN Og b underforstått Alle tall. Og ikke bare tall, men også andre matematiske uttrykk. Slik fungerer algebra.

Når gir ikke et algebraisk uttrykk mening?

Alt om det numeriske uttrykket er klart. Du kan ikke dele med null der. Og med bokstaver, er det mulig å finne ut hva vi deler på?!

La oss for eksempel ta dette uttrykket med variabler:

2: (EN - 5)

Gir det mening? Hvem vet? EN- hvilket som helst nummer...

Hvilken som helst... Men det er én mening EN, som dette uttrykket for nøyaktig gir ikke mening! Og hva er dette tallet? Ja! Dette er 5! Hvis variabelen EN erstatte (de sier "erstatt") med tallet 5, i parentes får du null. Som ikke kan deles. Så det viser seg at vårt uttrykk gir ikke mening, Hvis a = 5. Men for andre verdier EN gir det mening? Kan du erstatte andre tall?

Sikkert. I slike tilfeller sier de bare at uttrykket

2: (EN - 5)

gir mening for alle verdier EN, bortsett fra a = 5 .

Hele settet med tall som Kanå erstatte i et gitt uttrykk kalles utvalg av akseptable verdier dette uttrykket.

Som du kan se, er det ikke noe vanskelig. La oss se på uttrykket med variabler og finne ut: ved hvilken verdi av variabelen oppnås den forbudte operasjonen (divisjon med null)?

Og sørg for å se på oppgavespørsmålet. Hva spør de om?

gir ikke mening, vil vår forbudte mening være svaret.

Hvis du spør til hvilken verdi av en variabel uttrykket gir mening(føl forskjellen!), vil svaret være alle andre tall bortsett fra det forbudte.

Hvorfor trenger vi betydningen av uttrykket? Han er der, han er ikke... Hva er forskjellen?! Poenget er at dette konseptet blir veldig viktig på videregående. Ekstremt viktig! Dette er grunnlaget for slike solide konsepter som domenet til akseptable verdier eller domenet til en funksjon. Uten dette vil du ikke kunne løse alvorlige ligninger eller ulikheter i det hele tatt. Som dette.

Konvertering av uttrykk. Identitetstransformasjoner.

Vi ble introdusert for numeriske og algebraiske uttrykk. Vi forsto hva uttrykket "uttrykket har ingen mening" betyr. Nå må vi finne ut hva det er uttrykkskonvertering. Svaret er enkelt, til en skam.) Dette er enhver handling med et uttrykk. Det er alt. Du har gjort disse transformasjonene siden første klasse.

La oss ta det kule numeriske uttrykket 3+5. Hvordan kan det konverteres? Ja, veldig enkelt! Kalkulere:

Denne beregningen vil være transformasjonen av uttrykket. Du kan skrive det samme uttrykket annerledes:

Her har vi ikke regnet noe i det hele tatt. Bare skrev ned uttrykket i en annen form. Dette vil også være en transformasjon av uttrykket. Du kan skrive det slik:

Og dette er også en forvandling av et uttrykk. Du kan gjøre så mange slike transformasjoner du vil.

Noen handling på uttrykk noenå skrive det i en annen form kalles å transformere uttrykket. Og det er alt. Det er veldig enkelt. Men det er én ting her veldig viktig regel. Så viktig at det trygt kan kalles hovedregel all matematikk. Bryter denne regelen uunngåelig fører til feil. Kommer vi inn i det?)

La oss si at vi forvandlet uttrykket vårt tilfeldig, slik:

Omdannelse? Sikkert. Vi skrev uttrykket i en annen form, hva er galt her?

Det er ikke sånn.) Poenget er at transformasjoner "tilfeldig" er ikke interessert i matematikk i det hele tatt.) All matematikk er bygget på transformasjoner der utseende, men essensen av uttrykket endres ikke. Tre pluss fem kan skrives i hvilken som helst form, men det må være åtte.

Transformasjoner, uttrykk som ikke endrer essensen kalles identisk.

Nøyaktig identitetstransformasjoner og la oss, steg for steg, transformere komplekst eksempel til et enkelt uttrykk, holde essensen av eksemplet. Hvis vi gjør en feil i kjeden av transformasjoner, gjør vi en IKKE identisk transformasjon, så bestemmer vi en annen eksempel. Med andre svar som ikke er relatert til de riktige.)

Dette er hovedregelen for å løse eventuelle oppgaver: opprettholde identiteten til transformasjoner.

Eksempel med numerisk uttrykk Jeg tok med 3+5 for klarhet. I algebraiske uttrykk er identitetstransformasjoner gitt av formler og regler. La oss si at det er en formel i algebra:

a(b+c) = ab + ac

Dette betyr at i ethvert eksempel kan vi i stedet for uttrykket a(b+c) skriv gjerne et uttrykk ab + ac. Og omvendt. Dette identisk transformasjon. Matematikk gir oss et valg mellom disse to uttrykkene. Og hvilken man skal skrive - fra konkret eksempel avhenger.

Et annet eksempel. En av de viktigste og mest nødvendige transformasjonene er den grunnleggende egenskapen til en brøk. Du kan se flere detaljer på lenken, men her vil jeg bare minne deg på regelen: Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres (deltes) med samme tall, eller et uttrykk som ikke er lik null, vil ikke brøken endres. Her er et eksempel på identitetstransformasjoner som bruker denne egenskapen:

Som du sikkert har gjettet, kan denne kjeden fortsettes i det uendelige...) Veldig viktig eiendom. Det er dette som lar deg gjøre alle slags eksempelmonstre til hvite og luftige.)

Det er mange formler som definerer identiske transformasjoner. Men de viktigste er et ganske rimelig antall. En av de grunnleggende transformasjonene er faktorisering. Det brukes i all matematikk - fra elementær til avansert. La oss begynne med ham. I neste leksjon.)

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.