Hovedmetodene for å lage det statlige geodetiske nettverket er triangulering, trilaterering, polygonometri og satellittkoordinatbestemmelser.

Triangulering(Fig. 68, a) er en kjede av trekanter som grenser til hverandre, i hver av disse er alle vinkler målt med høypresisjonsteodolitter. I tillegg måler jeg lengdene på sidene i begynnelsen og slutten av kjedet.

Ris. 68. Skjema for triangulering (a) og polygonometri (b).

I trianguleringsnettverket er grunnlaget L og koordinatene til punktene A og B kjent. For å bestemme koordinatene til de gjenværende punktene i nettverket måles horisontale vinkler i trekanter.

Triangulering er delt inn i klassene 1, 2, 3, 4. Trekanter av forskjellige klasser er forskjellige i lengden på sidene og nøyaktigheten til å måle vinkler og baser.

Utviklingen av trianguleringsnettverk utføres i samsvar med det grunnleggende prinsippet "fra det generelle til det spesielle", dvs. først bygges en triangulering av klasse 1, og deretter sekvensielt 2, 3 og 4 klasser.

Punkter i det statlige geodetiske nettverket er festet på bakken av sentre. For å sikre gjensidig synlighet mellom punktene, er det montert geodetiske skilt av tre eller metall over sentrene. De har en enhet for montering av enheten, en plattform for observatøren og en sikteenhet.

Avhengig av utformingen er bakkegeodesiske skilt delt inn i pyramider og enkle og komplekse signaler.

Typer underjordiske sentre er etablert avhengig av de fysiske og geografiske forholdene i regionen, sammensetningen av jorda og dybden av sesongmessig frysing av jorda. For eksempel er midten av et punkt i det statlige geodetiske nettverket på 1-4 klasser av type 1, i henhold til instruksjonene "Sentre og benchmarks of the state geodetic network" (M., Nedra, 1973), beregnet på den sørlige sone med sesongmessig frysing av jord. Den består av en armert betongpylon med en seksjon på 16X16 cm (eller et asbestsementrør 14-16 cm fylt med betong) og et betonganker. Pylonen er sementert inn i ankeret. Basen av senteret skal være plassert under dybden av sesongmessig jordfrysing minst 0,5 m og minst 1,3 m fra bakkeoverflaten. Et støpejernsmerke er betong i øvre del av skiltet på bakkenivå. Over merket innenfor en radius på 0,5 m helles jord med et lag på 10-15 cm En identifikasjonsstolpe med sikkerhetsplate er installert 1,5 m fra sentrum.

For tiden er radiotekniske verktøy mye brukt for å bestemme avstandene mellom nettverkspunkter med relative feil på 1:100 000 - 1:1 000 000. Dette gjør det mulig å bygge geodetiske nettverk ved hjelp av metoden trilatering, hvor i nettverk av trekanter kun sidene måles. Vinklene beregnes trigonometrisk.

Metode polygonometri(Fig. 68, b) består i at de geodesiske referansepunktene er forbundet med passasjer som kalles polygonometriske. De måler avstander og rettliggende vinkler.

Satellittmetoder for å lage geodetiske nettverk er delt inn i geometriske og dynamiske. I den geometriske metoden brukes en kunstig satellitt av jorden som et høyt siktemål, i den dynamiske metoden er en kunstig satellitt en bærer av koordinater.

Behovet for å måle enorme, hundrevis av kilometer, avstander - både på land og til havs - dukket opp i oldtiden. Trianguleringsmetoden gjorde det mulig å beregne enorme avstander og bestemme jordens form.

Konseptet med triangulering

Før vi snakker om trianguleringsmetoden, la oss vurdere essensen av begrepet. Triangulering er et nettverk av trekanter av ulike typer ved siden av hverandre, kan sammenlignes med tilstøtende parkett; sammen med dette er det viktig at bare hele sider er tilstøtende, slik at toppunktet til en trekant ikke kan ligge innenfor siden av en annen. Trianguleringer har spilt den viktigste rollen i å måle avstander på jordoverflaten, og dermed i å bestemme jordens form.

Historie om måling av terrestriske avstander

Skipskapteiner, som vi kjenner fra barnebøker, måler avstander etter antall røkte piper. Metoden som ble brukt i det 2. århundre er nær dette. f.Kr e. den kjente antikke greske filosofen, matematikeren og astronomen Posidonius, lærer av Cicero: Posidonius målte sjøavstander etter varigheten av reisen (som åpenbart tok hensyn til skipets hastighet).
Men enda tidligere, i det tredje århundre f.Kr. e. en annen kjent gammel greker, matematiker og astronom Eratosthenes, som administrerte biblioteket i Alexandria, målte landavstander etter tid og hastighet til handelskaravaner. Det er mulig å anta at det er slik Eratosthenes målte avstanden mellom Syene og Alexandria, som for tiden kalles Aswan (hvis observert på et moderne kart, viser det seg å være omtrent 850 km). Denne avstanden var veldig alvorlig for ham. Eratosthenes ønsket å måle lengden på meridianen og mente at disse to egyptiske byene lå på samme meridian; til tross for at dette til syvende og sist ikke er helt sant, men nært opp til sannheten. Han tok avstanden som ble funnet som lengden på meridianbuen. Ved å kombinere denne lengden med observasjonen av solens middagshøyder over horisonten i Syene og Alexandria, beregnet han deretter, med vakkert geometrisk resonnement, lengden på hele meridianen og som et resultat av klodens radius. Tilbake på 1500-tallet ble avstanden (omtrent 100 km) mellom Amiens og Paris bestemt ved å telle omdreiningene til vognhjulet. Unøyaktigheten i resultatene av lignende målinger er åpenbar og forståelig. Men allerede i neste århundre var den nederlandske matematikeren, astronomen og optikeren Snellius i stand til å finne opp en fundamentalt ny metode for triangulering, beskrevet nedenfor, og med dens hjelp i 1615–1617. målte en meridianbue med en vinkelstørrelse på 1° 11' 30".

Essensen av trianguleringsmetoden ved avstandsmåling

La oss se hvordan triangulering lar deg bestemme avstander. Først velges et fragment eller seksjon av jordplanet, som inkluderer begge punktene, avstanden mellom disse søkes funnet, og som er tilgjengelig for å utføre målearbeid på bakken. Dette området er dekket med et nettverk av mange trekanter som danner en triangulering, dvs. triangulert. Etter det velges en av trianguleringstrekantene; vi vil kalle det initial. Velg deretter en av sidene i den innledende trekanten. Det er basen, og lengden måles nøye. Tårn (eller tårn) bygges på toppene av den innledende trekanten - på en slik måte at hvert enkelt er synlig fra andre tårn. Etter å ha klatret opp i et tårn som ligger i en av toppene av basen, måler de vinkelen der to andre tårn er synlige. Deretter klatrer de opp i tårnet som ligger på den andre toppen av basen og gjør det samme. Så ved direkte måling oppnås informasjon om lengden på en av sidene i den innledende trekanten (spesielt: om lengden på basen) og om størrelsen på vinklene ved siden av den. Ved å bruke kjente og enkle trigonometriformler (ved bruk av cosinus, sinus, tangens og katangens), regner du ut lengdene til 2 andre sider av denne trekanten. Hver av dem kan tas som en ny base, og det er ikke lenger nødvendig å måle lengden. Ved å bruke samme prosedyre er det nå mulig å bestemme lengdene på sidene og vinklene til en av trekantene ved siden av den første osv. Det er viktig å forstå at den direkte målingen av enhver avstand utføres bare 1 gang, og da måles kun vinklene mellom retningene til tårnene som er uforlignelig lettere og kan lages med høy presisjon. Etter fullføring av prosessen settes verdiene for alle segmenter og vinkler som deltar i trianguleringen. Og dette lar deg i sin tur finne hvilken som helst avstand innenfor overflateområdet dekket av triangulering.

Lengden på meridianbuen fra breddegraden til Polhavet til breddegraden til Svartehavet

Spesielt, akkurat som det på 1800-tallet, ble lengden av meridianbuen funnet fra breddegraden til Polhavet (nær Hammerfest på øya Kvalo - Norge) til Svartehavets breddegrad (i regionen nedre Donau). Den ble dannet av lengdene på 12 separate buer. Prosedyren ble forenklet ved at for å finne lengden på meridianbuen, er det slett ikke nødvendig at de konstituerende buene grenser til hverandre i endene; det er tilstrekkelig at endene av tilstøtende buer er på samme breddegrad. (For eksempel, hvis du trenger å bestemme avstanden mellom den syttiende og førtiende parallellen, så er det mulig å måle avstanden mellom den 70. og 50. parallellen på en meridian, avstanden mellom den 50. og 40. parallellen på den andre meridianen, og legg deretter til oppnådde avstander.) Det totale antallet trianguleringstrekanter var 258, lengden på buen var 2800 km. For å eliminere feil og unøyaktigheter, uunngåelige i målinger, men sannsynlige i beregninger, ble 10 målt direkte på bakken. Målingene ble utført i perioden fra 1816 til 1855, og resultatene ble presentert i to bind «The arc of the meridian at 25° 20′ between the Donau and the Arctic Sea» (St. Petersburg, 1856–1861), skrevet av en bemerkelsesverdig russisk geodesist og astronom Vasily Yakovlevich Struve (1793–1864), som utførte den russiske delen av målingene.

; 3 - trilatering.

trianguleringsmetode. Det er generelt akseptert at trianguleringsmetoden først ble foreslått av den nederlandske forskeren Snellius i 1614. Denne metoden er mye brukt i alle land. Essensen av metoden er som følger. På de kommanderende høydene av terrenget er et system av geodetiske punkter festet som danner et nettverk av trekanter (fig. 13). PÅ Trianguleringsnettverk dette nettverket bestemmer koordinatene til utgangspunktet MEN, de måler de horisontale vinklene i hver trekant, samt lengdene b og asimut a av grunnsidene, som setter skalaen og orienteringen til nettverket i asimut.

Trianguleringsnettverket kan bygges som en enkelt rad med trekanter, et system av rekker av trekanter, samt et sammenhengende nettverk av trekanter. Ikke bare trekanter, men også mer komplekse figurer kan tjene som: geodesiske firkanter og sentrale systemer.

De viktigste fordelene med trianguleringsmetoden er dens effektivitet og muligheten for å bruke den i en rekke fysiske og geografiske forhold; et stort antall redundante målinger i nettverket, som gjør det mulig å utføre pålitelig kontroll av alle målte verdier direkte i feltet; høy nøyaktighet ved å bestemme den relative posisjonen til tilstøtende punkter i nettverket, spesielt kontinuerlig. Trianguleringsmetoden er mest brukt i konstruksjonen av statlige geodetiske nettverk.

Polygonometri metode. Denne metoden har også vært kjent i lang tid, men bruken av den til å lage det statlige geodetiske nettverket var begrenset inntil nylig.

polygonometrisk strek kompleksiteten til lineære målinger tidligere utført ved bruk av invar-ledninger. Siden omtrent sekstitallet av det nåværende århundre, samtidig med introduksjonen av nøyaktige lys- og radioavstandsmålere i geodetisk produksjon, har polygonometrimetoden blitt videreutviklet og har blitt mye brukt i opprettelsen av geodetiske nettverk.

Essensen av denne metoden er som følger. Et system av geodetiske punkter er festet på bakken, og danner en langstrakt enkelt passasje (fig. 14) eller et system av kryssende passasjer som danner et sammenhengende nettverk. Mellom tilstøtende punkter av banen måles lengdene på sidene s, -, og ved punktene - rotasjonsvinklene p. Asimutorienteringen av det polygonometriske kurset utføres ved å bruke asimuther bestemt eller spesifisert, som regel ved endepunktene, mens de tilstøtende vinklene y måles. Noen ganger legges polygonometriske passasjer mellom punkter med gitte koordinater til et geodetisk nettverk av høyere nøyaktighetsklasse.

Polygonometrimetoden i en rekke tilfeller, for eksempel i befolkede områder, på territoriet til store byer, etc., viser seg å være mer effektiv og mer økonomisk enn trianguleringsmetoden. Dette skyldes det faktum at det under slike forhold bygges høyere geodetiske tegn ved trianguleringspunkter enn ved polygonometripunkter, siden det i det første tilfellet er nødvendig å gi direkte synlighet mellom et mye større antall punkter enn i det andre. Konstruksjonen av geodetiske skilt er den dyreste typen arbeid når du oppretter et geodetisk nettverk (gjennomsnittlig 50-60% av alle kostnader).

trilatereringsmetode. Denne metoden, i likhet med trianguleringsmetoden, sørger for opprettelse av geodetiske nettverk på bakken enten i form av en kjede av trekanter, geodesiske firkanter og sentrale systemer, eller i form av kontinuerlige nettverk av trekanter, der ikke vinkler måles , men lengdene på sidene. Ved trilaterering, som ved triangulering, for å orientere nettverk på bakken, må asimutene til en rekke sider bestemmes.

Med utviklingen og forbedringen av nøyaktigheten til lys- og radioavstandsmåleteknikker, blir trilatereringsmetoden gradvis stadig viktigere, spesielt i utøvelse av ingeniørarbeid og geodetisk arbeid.

Hva er triangulering? Det skal bemerkes at dette ordet har flere betydninger. Så det brukes i geometri, geodesi og informasjonsteknologi. Innenfor rammen av artikkelen vil oppmerksomhet bli gitt til alle emner, men den mest populære retningen vil få mest oppmerksomhet - bruk i teknisk utstyr.

I geometri

Så vi begynner å analysere hva triangulering er. Hva er det i geometri? La oss si at vi har en overflate som ikke kan utvikles. Men samtidig er det nødvendig å ha en ide om strukturen. Og for dette må du utvide det. Høres umulig ut? Men nei! Og trianguleringsmetoden vil hjelpe oss med dette. Det skal bemerkes at bruken gir en mulighet til å bygge bare en omtrentlig skanning. Trianguleringsmetoden innebærer bruk av trekanter som grenser til den ene til den andre, hvor alle tre vinklene kan måles. I dette tilfellet må koordinatene til minst to punkter være kjent. Resten må bestemmes. Dette skaper enten et kontinuerlig nettverk eller en kjede av trekanter.

For å få mer nøyaktige data brukes elektroniske datamaskiner. Separat bør nevnes et øyeblikk som Delaunay-triangulering. Dens essens er at med det eksisterende settet med punkter, med unntak av toppunktene, ligger de alle utenfor sirkelen, som er beskrevet rundt trekanten. Dette ble først beskrevet av den sovjetiske matematikeren Boris Delaunay i 1934. Utviklingen hans brukes i det euklidiske reiseselgerproblemet, bilineær interpolasjon, og det er det Delaunay-triangulering er.

I geodesi

I dette tilfellet er det tenkt at det opprettes et trianguleringspunkt, som deretter inkluderes i nettverket. Dessuten er sistnevnte bygget på en slik måte at den ligner en gruppe trekanter på bakken. I de resulterende figurene er alle vinkler målt, samt noen grunnleggende sider. Hvordan overflaten skal trianguleres avhenger av objektets geometri, kvalifikasjonene til utøveren, tilgjengelig instrumenteringsflåte og tekniske og økonomiske forhold. Alt dette bestemmer kompleksitetsnivået til arbeidet som kan utføres, samt kvaliteten på implementeringen.

I informasjonsnettverk

Og etter hvert kommer vi til den mest interessante tolkningen av ordet "triangulering". Hva er det i informasjonsnettverk? Det skal bemerkes at det er et stort antall forskjellige tolkninger og bruksområder her. Men innenfor rammen av artikkelen, på grunn av begrensningen av størrelsen, vil bare GPS (Global Positioning System) få oppmerksomhet, og til tross for en viss likhet er de ganske forskjellige. Og nå skal vi finne ut nøyaktig hva.

Global Positioning System

Mer enn et tiår har allerede gått siden GPS ble lansert og fungerer vellykket. Global Positioning System består av en sentral kontrollstasjon i Colorado og observasjonsposter rundt om i verden. I løpet av arbeidet har flere generasjoner av satellitter allerede endret seg.

I dag er GPS verdens radionavigasjonssystem, som er basert på en rekke satellitter og jordstasjoner. Dens fordel er muligheten til å beregne koordinatene til et objekt med en nøyaktighet på noen få meter. Hvordan kan triangulering representeres? Hva er det og hvordan fungerer det? Tenk deg at hver meter på planeten har sin egen unike adresse. Og hvis det er en tilpasset mottaker, kan du be om koordinatene til posisjonen din.

Hvordan fungerer det i praksis?

Konvensjonelt kan man her skille fire hovedtrinn. I utgangspunktet trianguleres satellittene. Deretter måles avstanden fra dem. En absolutt måling av tid og bestemmelse av satellitter i rommet utføres. Og til slutt utføres differensiell korreksjon. Dette er kort fortalt. Men det er ikke helt klart hvordan triangulering fungerer i dette tilfellet. At dette ikke er bra er forståelig. La oss detaljere.

Så, først til satellitten. Fant ut at det er 17 tusen kilometer. Og søket etter stedet vårt er betydelig innsnevret. Det er kjent med sikkerhet at vi er på en bestemt avstand, og vi må søkes etter i den delen av jordens sfære, som ligger 17 tusen kilometer fra den oppdagede satellitten. Men det er ikke alt. Vi måler avstanden til den andre satellitten. Og det viser seg at vi er 18 tusen kilometer unna den. Så vi bør ses etter på stedet der sfærene til disse satellittene krysser hverandre i en fast avstand.

Appell til den tredje satellitten vil redusere søkeområdet ytterligere. Og så videre. Plasseringen bestemmes av minst tre satellitter. De nøyaktige parametrene bestemmes i henhold til de gitte dataene. La oss anta at radiosignalet beveger seg med en hastighet nær lyset (det vil si litt mindre enn 300 tusen kilometer per sekund). Tiden det tar for den å reise fra satellitten til mottakeren bestemmes. Hvis objektet er i en høyde av 17 tusen kilometer, vil det være omtrent 0,06 sekunder. Deretter settes posisjonen i rom-tid-koordinatsystemet. Så hver satellitt har en klart definert rotasjonsbane. Og å kjenne alle disse dataene, beregner teknikken plasseringen til en person.

Spesifikasjoner for globalt posisjoneringssystem

I følge dokumentasjonen varierer dens nøyaktighet fra 30 til 100 meter. I praksis gjør bruken av differensiell korreksjon det mulig å få datadetaljering opp til centimeter. Derfor er omfanget av det globale posisjoneringssystemet rett og slett enormt. Den brukes til å spore transport av høyverdig last, hjelpe til med å lande fly nøyaktig, navigere skip i tåkete vær. Vel, den mest kjente er bruken i bilindustrien

Trianguleringsalgoritmer, på grunn av deres allsidighet og dekning av hele planeten, lar deg reise fritt selv på ukjente steder. Samtidig baner selve systemet vei, indikerer hvor det er nødvendig å slå av for å nå det etablerte endelige målet. Takket være den gradvise billiggjøringen av GPS finnes det til og med bilalarmer basert på denne teknologien, og nå hvis bilen blir stjålet, vil det ikke være vanskelig å finne og returnere den.

Og hva med mobilkommunikasjon?

Her er dessverre ikke alt like glatt. Hvis GPS kan bestemme koordinater med en nøyaktighet på opptil en meter, kan ikke triangulering i mobilkommunikasjon gi slik kvalitet. Hvorfor? Faktum er at i dette tilfellet fungerer basestasjonen som et referansepunkt. Det antas at hvis det er to BS, så kan du få en av koordinatene til telefonen. Og hvis det er tre av dem, er den nøyaktige plasseringen ikke et problem. Dette er delvis sant. Men triangulering av en mobiltelefon har sine egne egenskaper. Men her kommer spørsmålet om nøyaktighet. Før det vurderte vi et globalt posisjoneringssystem som kan oppnå fenomenal nøyaktighet. Men til tross for at mobilkommunikasjon har mye mer utstyr, er det ikke nødvendig å snakke om en slags kvalitativ korrespondanse. Men først ting først.

leter etter svar

Men først, la oss stille spørsmål. Om avstanden fra basestasjonen til telefonen kan bestemmes ved hjelp av standardmidler. Ja. Men blir det den korteste distansen? Hvem gjør målingene - telefon eller basestasjon? Hva er nøyaktigheten til de mottatte dataene? Under tjenesten av samtalen måler basestasjonen tiden det tar før signalet går fra den til telefonen. Men bare i dette tilfellet kan det reflekteres for eksempel fra bygninger. Det skal forstås at avstanden betraktes i en rett linje. Og husk - kun under samtalebehandlingsprosessen.

En annen betydelig ulempe er et ganske betydelig feilnivå. Så den kan nå en verdi på fem hundre meter. Triangulering av en mobiltelefon kompliseres ytterligere av det faktum at basestasjonene ikke vet hvilke enheter som er i territoriet under deres kontroll. Enheten fanger opp signalene deres, men informerer ikke seg selv. I tillegg kan telefonen måle signalet til basestasjonen (som den imidlertid stadig gjør), men mengden av demping er ukjent for den. Og her kommer ideen!

Basestasjoner kjenner sine koordinater og sendereffekt. Telefonen kan bestemme hvor godt den hører dem. I dette tilfellet er det nødvendig å oppdage alle stasjoner som fungerer, utveksle data (for dette trenger du et spesielt program som sender ut testpakker), samle koordinater og om nødvendig overføre dem til andre systemer. Det ser ut til at alt er i posen. Men dessverre, for dette er det nødvendig å utføre en rekke modifikasjoner, inkludert et SIM-kort, tilgang til som ikke er garantert i det hele tatt. Og for å gjøre en teoretisk mulighet til en praktisk, er det nødvendig å jobbe betydelig.

Konklusjon

Til tross for at nesten alle mennesker har telefoner, bør det ikke hevdes at en person lett kan spores. Tross alt er dette ikke en så lett oppgave som det kan virke ved første øyekast. Mer eller mindre trygt kan vi snakke om flaks bare når du bruker det globale posisjoneringssystemet, men det krever en spesiell sender. Generelt, etter å ha lest denne artikkelen, håper vi at leseren ikke lenger har spørsmål om hva triangulering er.

Geodetiske nettverk. trianguleringsmetode. Vinkelmålinger

Et karakteristisk og hovedtrekk ved perioden under vurdering i utviklingen av geodesien var geodetiske nettverk. Et geodetisk nettverk er en samling av punkter festet på bakken med visse koordinater. De ble opprettet for å: 1) løse det vitenskapelige hovedproblemet - bestemmelse av jordens figur og dens gravitasjonsfelt; 2) kartlegging av landet; 3) løse problemer med anvendt geodesi. Hovedmetoden for å konstruere geodetiske nettverk var 1500-tallet . trianguleringsmetode, selv om denne metoden var kjent i antikken (den greske matematikeren Thales brukte den til å bestemme avstanden til skipet). Denne metoden består i å konstruere trekanter på bakken, der vinklene og den ene siden ble målt. Toppene til trekantene ble festet med spesielle tegn. FRA det startet enkelt trekanter, begynte så å bygge kjeder dem og solide nettverk med målingen i dem av en eller flere baser(fester) og alle vinkler. Den første omtalen av trianguleringsmetoden ble gjort av Gemma Frisius i 1546. Når han implementerte denne metoden over et stort område, brukte han en enhet planimeter- modifisert forenklet astrolabium med et kompass, som ble installert horisontalt på et vertikalt stativ. Denne metoden ble brukt av Martin Waldseemüller, ved å bruke metoden utviklet av ham i 1513. enhet polymeter, som kunne måles horisontale eller vertikale hjørner. Dette var prototype av den moderne teodolitten. Den kjente kartografen Gerard Mercator (1512-1594), en student av Gemma Frisius, var en av de første som brukte trianguleringsmetoden ved oppmåling for å få nøyaktige kart over Hollands territorium i 1540. Engelskmannen Christopher Saxton gjennomførte undersøkelser av Wales i 9 år, der han brukte Frisius-trianguleringsmetoden. I 1596 Ratticus publiserte et verk om det grunnleggende om triangulering. Så begynnelsen av bruken av trianguleringsmetoden i oppmåling går tilbake til første halvdel av 1500-tallet, og det første instrumentet var astrolabiet tilpasset for dette formålet. Utvikling, anvendelse og forbedring av metoden ble i hovedsak utført av matematikere og geometre som jobbet ved universiteter.

På 1600-tallet den andre fasen har begynt i dannelsen av trianguleringsmetoden og dens implementering i tre retninger: 1) som et strengt vitenskapelig grunnlag for topografiske undersøkelser, 2) som et middel for å spre et enkelt koordinatsystem over hele landet, 3) som hoved metode for å bestemme formen og størrelsen på jorden. Utbredelsen av denne metoden på 1600-tallet. bidratt til innføring og utvikling av trigonometri innen geodesi og logaritmer, oppfunnet av Napier i 1614.

Wilhelm Schickhart, basert på sin erfaring med å lage et geodetisk referansenettverk for den topografiske undersøkelsen av Wurtenberg, i 1629. publiserte den første lærebok i oppmåling på tysk "Concise Guide to the Art of Land Surveying".

Et eksempel på alle 3 retningene er arbeidet til 4 generasjoner landmålere Cassini (Jean, Jacques, Caesar) i Frankrike, som bestemte seg ved å bygge kontinuerlig nettverkstriangulering de tre hovedoppgavene er å lage et nøyaktig kart over Frankrike, spre et enhetlig koordinatsystem og finne jordens størrelse. Den nederlandske matematikeren Willebrord Snellius (1591-1626) la ut i 1615-1616. trianguleringsserie for å løse problemet med den tredje retningen. I Russland regnes Snell som forfatteren av denne metoden. Franskmannen Jean Picard (1620-1682) i 1669-1670 bestemte, ved hjelp av en serie trianguleringer, lengden på buen til den parisiske meridianen på én grad, lik 111,212 km. (moderne verdi 111,18 km).

For å bestemme høyden på en gjenstand og løse andre problemer ble det brukt ulike kombinasjoner av skinner, for eksempel beskrevet av Leonardo da Vinci.

Astrolabiet i denne epoken ble det viktigste instrumentet innen navigasjon og geodesi. For bruk i praktisk geometri ble astrolaben rekonstruert til en horisontal posisjon, et kompass ble bygget inn i den, og designet ble også endret. Astrolabiets sirkel hadde 360 ​​inndelinger og hver av dem ble delt inn i 10 flere deler. Den minste inndelingen av sirkelen var 6 '.

For å måle vinkler ble det i tillegg til astrolabben brukt en firkant og en kvadrant. Den geometriske firkanten ble modifisert - den inkluderte kvadrantens bue. Kvadrantene var de viktigste astronomiske instrumentene i denne perioden. De begynte å bygge store størrelser og stasjonære og meridiantyper. Europeerne forenklet kvadranten, bygde et kompass inn i den. Kvadranten ble hovedsakelig brukt til å måle vertikale vinkler ved bestemmelse av høyder ved trigonometrisk nivellering, samt for å bestemme tid fra observasjoner av høyden til himmellegemer. For å forbedre nøyaktigheten av å telle divisjonsbrøker på kvadranten, foreslo Pedro Nonius (1492-1577) en spesiell enhet - vernier. Senere ble vernieren forvandlet av P. Vernier til et leseapparat (beskrevet i 1631) og ble kjent som vernier. Vernier tellenøyaktighet økte med en størrelsesorden.