Metoder for å løse et likningssystem. Løse komplekse ligningssystemer

Leksjon og presentasjon om temaet: "Ligningssystemer. Substitusjonsmetoden, addisjonsmetoden, metoden for å introdusere en ny variabel"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, tilbakemeldinger, forslag! Alt materiale kontrolleres av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i nettbutikken "Integral" for klasse 9
Simulator for lærebøker Atanasyan L.S. Simulator for lærebøker Pogorelova A.V.

Måter å løse ulikhetssystemer

Gutter, vi har studert ligningssystemer og lært hvordan vi løser dem ved hjelp av grafer. La oss nå se hvilke andre måter å løse systemer på?
Nesten alle måtene å løse dem på skiller seg ikke fra de vi studerte i 7. klasse. Nå må vi gjøre noen justeringer i henhold til ligningene som vi har lært å løse.
Essensen av alle metodene beskrevet i denne leksjonen, er erstatning av systemet med et tilsvarende system med mer enkel utsikt og måte å løse. Gutter, husk hva et tilsvarende system er.

Substitusjonsmetode

Den første måten å løse ligningssystemer med to variabler er velkjent for oss - dette er substitusjonsmetoden. Vi brukte denne metoden for å løse lineære ligninger. La oss nå se hvordan vi løser ligninger i det generelle tilfellet?

Hvordan bør man gå frem når man tar en avgjørelse?
1. Uttrykk en av variablene i form av den andre. De vanligste variablene som brukes i ligninger er x og y. I en av ligningene uttrykker vi en variabel i form av en annen. Tips: Ta en god titt på begge likningene før du begynner å løse og velg den der det vil være lettere å uttrykke variabelen.
2. Sett inn det resulterende uttrykket i den andre ligningen, i stedet for variabelen som ble uttrykt.
3. Løs ligningen vi fikk.
4. Erstatt den resulterende løsningen i den andre ligningen. Hvis det er flere løsninger, er det nødvendig å erstatte dem sekvensielt for ikke å miste et par løsninger.
5. Som et resultat vil du få et tallpar $(x;y)$, som må skrives som et svar.

Eksempel.
Løs et system med to variabel metode erstatninger: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Løsning.
La oss se nærmere på ligningene våre. Å uttrykke y i form av x i den første ligningen er åpenbart mye lettere.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Bytt inn det første uttrykket i den andre ligningen $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
La oss løse den andre ligningen separat:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Vi har to løsninger av den andre ligningen $x_1=2$ og $x_2=3$.
Bytt suksessivt inn i den andre ligningen.
Hvis $x=2$ så $y=3$. Hvis $x=3$ så $y=2$.
Svaret vil være to tallpar.
Svar: $(2;3)$ og $(3;2)$.

Algebraisk addisjonsmetode

Denne metoden studerte vi også i 7. klasse.
Det er kjent at rasjonell ligning i to variabler kan vi multiplisere med et hvilket som helst tall, og husk å multiplisere begge sider av ligningen. Vi multipliserte en av ligningene med et visst tall slik at når den resulterende ligningen legges til den andre ligningen i systemet, blir en av variablene ødelagt. Deretter ble ligningen løst med hensyn til den gjenværende variabelen.
Denne metoden fungerer fortsatt, selv om det ikke alltid er mulig å ødelegge en av variablene. Men det lar en betydelig forenkle formen til en av ligningene.

Eksempel.
Løs systemet: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Løsning.
Multipliser den første ligningen med 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Trekk den andre fra den første ligningen.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Som du kan se, er formen til den resulterende ligningen mye enklere enn den opprinnelige. Nå kan vi bruke substitusjonsmetoden.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
La oss uttrykke x til y i den resulterende ligningen.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Fikk $y=-1$ og $y=-3$.
Bytt ut disse verdiene sekvensielt i den første ligningen. Vi får to tallpar: $(1;-1)$ og $(-1;-3)$.
Svar: $(1;-1)$ og $(-1;-3)$.

Metode for å introdusere en ny variabel

Vi har også studert denne metoden, men la oss se på den igjen.

Eksempel.
Løs systemet: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Løsning.
La oss introdusere erstatningen $t=\frac(x)(y)$.
La oss omskrive den første ligningen med en ny variabel: $t+\frac(2)(t)=3$.
La oss løse den resulterende ligningen:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Fikk $t=2$ eller $t=1$. La oss introdusere den omvendte endringen $t=\frac(x)(y)$.
Fikk: $x=2y$ og $x=y$.

For hvert av uttrykkene må det opprinnelige systemet løses separat:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Vi fikk fire par løsninger.
Svar: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Eksempel.
Løs systemet: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cases)$.

Løsning.
Vi introduserer erstatningen: $z=\frac(2)(x-3y)$ og $t=\frac(3)(2x+y)$.
La oss omskrive de opprinnelige ligningene med nye variabler:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
La oss bruke metoden algebraisk tillegg:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
La oss introdusere den omvendte substitusjonen:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
La oss bruke substitusjonsmetoden:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Svar: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Problemer med ligningssystemer for uavhengig løsning

Løs systemer:
1. $\begin(cases)2x-2y=6, \\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ end(cases)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

system lineære ligninger med to ukjente - dette er to eller flere lineære ligninger som det er nødvendig å finne alle deres felles løsninger for. Vi vil vurdere systemer med to lineære ligninger med to ukjente. Generell form et system med to lineære ligninger med to ukjente er vist i figuren nedenfor:

( a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Her er x og y ukjente variabler, a1, a2, b1, b2, c1, c2 er noen reelle tall. En løsning på et system med to lineære ligninger med to ukjente er et tallpar (x, y) slik at hvis disse tallene erstattes i systemets ligninger, blir hver av systemets ligninger til en sann likhet. Det er flere måter å løse et system med lineære ligninger på. Tenk på en av måtene å løse et system med lineære ligninger på, nemlig addisjonsmetoden.

Algoritme for løsning ved addisjonsmetode

En algoritme for å løse et system av lineære ligninger med to ukjente addisjonsmetoder.

1. Om nødvendig, av tilsvarende transformasjoner utjevne koeffisientene for en av de ukjente variablene i begge ligningene.

2. Legg til eller subtrahere de resulterende ligningene for å få en lineær ligning med en ukjent

3. Løs den resulterende ligningen med en ukjent og finn en av variablene.

4. Bytt inn det resulterende uttrykket i en av de to likningene i systemet og løs denne likningen, og oppnå den andre variabelen.

5. Sjekk løsningen.

Et eksempel på en løsning ved tilsetningsmetoden

For større klarhet løser vi ved addisjonsmetoden neste system lineære ligninger med to ukjente:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Siden ingen av variablene har de samme koeffisientene, utjevner vi koeffisientene til variabelen y. For å gjøre dette, multipliser den første ligningen med tre, og den andre ligningen med to.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Få følgende ligningssystem:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Trekk nå den første fra den andre ligningen. Vi presenterer som vilkår og løse den resulterende lineære ligningen.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Vi erstatter den resulterende verdien i den første ligningen fra vårt opprinnelige system og løser den resulterende ligningen.

(3*(-6) + 2*y=10;
(2*y=28; y=14;

Resultatet er et tallpar x=6 og y=14. Vi sjekker. Vi gjør et bytte.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Som du kan se, har vi to sanne likheter, derfor fant vi den riktige løsningen.

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige varsler og meldinger.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Offentliggjøring til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettssaker, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig av hensyn til sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige interesser.
Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Ligningssystemer er mye brukt i økonomisk industri på matematisk modellering ulike prosesser. For eksempel, når du løser problemer med ledelse og produksjonsplanlegging, logistikkruter ( transportoppgave) eller utstyrsplassering.

Ligningssystemer brukes ikke bare innen matematikk, men også innen fysikk, kjemi og biologi, når man løser problemer med å finne populasjonsstørrelsen.

Et system med lineære ligninger er en betegnelse på to eller flere ligninger med flere variabler som det er nødvendig å finne en felles løsning for. En slik tallrekke der alle likninger blir sanne likheter eller beviser at sekvensen ikke eksisterer.

Lineær ligning

Ligninger på formen ax+by=c kalles lineære. Betegnelsene x, y er de ukjente, hvis verdi må finnes, b, a er koeffisientene til variablene, c er ligningens friledd.
Å løse ligningen ved å plotte grafen vil se ut som en rett linje, der alle punktene er løsningen av polynomet.

Typer av systemer av lineære ligninger

De enkleste er eksempler på systemer med lineære ligninger med to variabler X og Y.

F1(x, y) = 0 og F2(x, y) = 0, hvor F1,2 er funksjoner og (x, y) er funksjonsvariabler.

Løs et ligningssystem - det betyr å finne slike verdier (x, y) som systemet blir en ekte likhet for, eller å fastslå at det ikke finnes passende verdier for x og y.

Et verdipar (x, y), skrevet som punktkoordinater, kalles en løsning på et system med lineære ligninger.

Hvis systemene har én felles løsning eller det ikke finnes noen løsning, kalles de likeverdige.

Homogene systemer av lineære ligninger er systemer høyre del som er lik null. Hvis den høyre delen etter "lik"-tegnet har en verdi eller er uttrykt av en funksjon, er ikke et slikt system homogent.

Antall variabler kan være mye mer enn to, da bør vi snakke om et eksempel på et system av lineære ligninger med tre variabler eller flere.

Overfor systemer antar skolebarn at antall ligninger nødvendigvis må falle sammen med antall ukjente, men dette er ikke tilfelle. Antall ligninger i systemet er ikke avhengig av variablene, det kan være et vilkårlig stort antall av dem.

Enkle og komplekse metoder for å løse ligningssystemer

Det er ingen generell analytisk måte å løse lignende systemer, er alle metoder basert på numeriske løsninger. I skolekurs matematikk, slike metoder som permutasjon, algebraisk addisjon, substitusjon, samt grafiske og matrisemetoden, løsning etter Gauss-metoden.

Hovedoppgaven i undervisningsmetoder for løsning er å lære hvordan man korrekt analyserer systemet og finner optimal algoritme løsninger for hvert eksempel. Det viktigste er ikke å huske et system med regler og handlinger for hver metode, men å forstå prinsippene for å bruke en bestemt metode.

Løse eksempler på systemer av lineære ligninger av 7. klasse av programmet ungdomsskolen ganske enkelt og forklart i detalj. I enhver lærebok om matematikk er denne delen viet nok oppmerksomhet. Løsningen av eksempler på systemer med lineære ligninger ved metoden til Gauss og Cramer studeres mer detaljert i de første kursene til høyere utdanningsinstitusjoner.

Løsning av systemer ved substitusjonsmetoden

Handlingene til substitusjonsmetoden er rettet mot å uttrykke verdien av en variabel gjennom den andre. Uttrykket settes inn i den gjenværende ligningen, deretter reduseres det til en enkelt variabelform. Handlingen gjentas avhengig av antall ukjente i systemet

La oss gi et eksempel på et system med lineære ligninger av 7. klasse ved substitusjonsmetoden:

Som man kan se fra eksemplet, ble variabelen x uttrykt gjennom F(X) = 7 + Y. Det resulterende uttrykket, substituert inn i den andre ligningen av systemet i stedet for X, bidro til å oppnå én variabel Y i den andre ligningen . Løsning dette eksemplet forårsaker ikke vanskeligheter og lar deg få Y-verdien. Det siste trinnet er å sjekke de mottatte verdiene.

Det er ikke alltid mulig å løse et eksempel på et system med lineære ligninger ved substitusjon. Ligningene kan være komplekse og uttrykket av variabelen i form av den andre ukjente vil være for tungvint for videre beregninger. Når det er mer enn 3 ukjente i systemet, er også substitusjonsløsningen upraktisk.

Løsning av et eksempel på et system med lineære inhomogene ligninger:

Løsning ved hjelp av algebraisk addisjon

Når du søker etter en løsning på systemer ved addisjonsmetoden, ledd-for-ledd addisjon og multiplikasjon av ligninger med ulike tall. Det endelige målet for matematiske operasjoner er en ligning med én variabel.

For applikasjoner denne metoden det krever øvelse og observasjon. Det er ikke lett å løse et system av lineære ligninger ved hjelp av addisjonsmetoden med antall variabler 3 eller flere. Algebraisk addisjon er nyttig når ligningene inneholder brøker og desimaltall.

Løsningshandlingsalgoritme:

Multipliser begge sider av ligningen med et tall. Som et resultat aritmetisk operasjon en av koeffisientene til variabelen må bli lik 1.
Legg til det resulterende uttrykket term for term og finn en av de ukjente.
Bytt inn den resulterende verdien i den andre ligningen i systemet for å finne den gjenværende variabelen.

Løsningsmetode ved å introdusere en ny variabel

En ny variabel kan introduseres hvis systemet trenger å finne en løsning for ikke mer enn to ligninger, antall ukjente bør heller ikke være mer enn to.

Metoden brukes til å forenkle en av ligningene ved å introdusere en ny variabel. Den nye ligningen løses med hensyn til den angitte ukjente, og den resulterende verdien brukes til å bestemme den opprinnelige variabelen.

Eksemplet viser at ved å introdusere en ny variabel t, var det mulig å redusere systemets 1. ligning til standarden kvadratisk trinomium. Du kan løse et polynom ved å finne diskriminanten.

Det er nødvendig å finne verdien av diskriminanten ved velkjent formel: D = b2 - 4*a*c, hvor D er den ønskede diskriminanten, b, a, c er multiplikatorene til polynomet. I gitt eksempel a=1, b=16, c=39, derav D=100. Hvis diskriminanten Over null, så er det to løsninger: t = -b±√D / 2*a, hvis diskriminanten er mindre enn null, så er det bare én løsning: x= -b / 2*a.

Løsningen for de resulterende systemene er funnet ved addisjonsmetoden.

En visuell metode for å løse systemer

Egnet for systemer med 3 ligninger. Metoden er å bygge på koordinataksen grafer for hver ligning som er inkludert i systemet. Koordinatene til skjæringspunktene til kurvene og vil være felles løsning systemer.

Den grafiske metoden har en rekke nyanser. Tenk på flere eksempler på å løse systemer av lineære ligninger på en visuell måte.

Som det fremgår av eksemplet, ble to punkter konstruert for hver linje, verdiene til variabelen x ble valgt vilkårlig: 0 og 3. Basert på verdiene til x ble verdiene for y funnet: 3 og 0. Punkter med koordinater (0, 3) og (3, 0) ble markert på grafen og forbundet med en linje.

Trinnene må gjentas for den andre ligningen. Skjæringspunktet mellom linjene er løsningen til systemet.

Følgende eksempel må finne grafisk løsning systemer av lineære ligninger: 0,5x-y+2=0 og 0,5x-y-1=0.

Som det fremgår av eksempelet, har systemet ingen løsning, fordi grafene er parallelle og ikke krysser i hele lengden.

Systemene fra eksempel 2 og 3 er like, men når de er konstruert, blir det åpenbart at løsningene deres er forskjellige. Det skal huskes at det ikke alltid er mulig å si om systemet har en løsning eller ikke, det er alltid nødvendig å bygge en graf.

Matrix og dens varianter

Matriser brukes til forkortelse systemer av lineære ligninger. En tabell kalles en matrise. spesiell type fylt med tall. n*m har n - rader og m - kolonner.

En matrise er kvadratisk når antall kolonner og rader er likt. En matrise - en vektor er en matrise av en kolonne med uendelig mulig antall linjer. En matrise med enheter langs en av diagonalene og andre nullelementer kalles identitet.

En invers matrise er en slik matrise, når multiplisert med hvilken den opprinnelige blir til en enhet én, eksisterer en slik matrise bare for den opprinnelige kvadratiske.

Regler for å transformere et ligningssystem til en matrise

Når det gjelder ligningssystemer, er koeffisientene og frie medlemmer av ligningene skrevet som tall på matrisen, én ligning er én rad i matrisen.

En matriserad kalles ikke-null hvis minst ett element i raden ikke er lik null. Derfor, hvis antallet variabler er forskjellig i noen av ligningene, er det nødvendig å angi null i stedet for den manglende ukjente.

Kolonnene i matrisen må strengt tatt samsvare med variablene. Dette betyr at koeffisientene til variabelen x bare kan skrives i én kolonne, for eksempel den første, koeffisienten til den ukjente y - bare i den andre.

Når du multipliserer en matrise, multipliseres alle matriseelementer suksessivt med et tall.

Alternativer for å finne den inverse matrisen

Formelen for å finne den inverse matrisen er ganske enkel: K -1 = 1 / |K|, hvor K -1 - invers matrise, og |K| - matrisedeterminant. |K| må ikke være lik null, da har systemet en løsning.

Determinanten beregnes enkelt for en to-og-to-matrise, det er bare nødvendig å multiplisere elementene diagonalt med hverandre. For alternativet "tre av tre" er det en formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Du kan bruke formelen, eller du kan huske at du må ta ett element fra hver rad og hver kolonne slik at kolonne- og radnummerene til elementene ikke gjentar seg i produktet.

Løsning av eksempler på systemer av lineære ligninger ved matrisemetoden

Matrisemetoden for å finne en løsning gjør det mulig å redusere tungvinte notasjoner ved løsning av systemer med stort beløp variabler og ligninger.

I eksemplet er a nm koeffisientene til ligningene, matrisen er en vektor x n er variablene, og b n er de frie leddene.

Løsning av systemer etter Gauss-metoden

I høyere matematikk Gauss-metoden studeres sammen med Cramer-metoden, og prosessen med å finne en løsning på systemer kalles Gauss-Cramer-løsningsmetoden. Disse metodene brukes til å finne systemvariabler med mange lineære ligninger.

Gaussmetoden ligner veldig på substitusjons- og algebraiske addisjonsløsninger, men er mer systematisk. I skolekurset brukes Gauss-løsningen for systemer med 3 og 4 likninger. Hensikten med metoden er å bringe systemet til form av en omvendt trapes. vei algebraiske transformasjoner og substitusjoner er verdien av én variabel i en av systemets ligninger. Den andre ligningen er et uttrykk med 2 ukjente, og 3 og 4 - med henholdsvis 3 og 4 variabler.

Etter å ha brakt systemet til den beskrevne formen, reduseres den videre løsningen til sekvensiell substitusjon av kjente variabler i systemets ligninger.

I skolebøkene for 7. klasse er et eksempel på en gaussisk løsning beskrevet som følger:

Som man kan se fra eksemplet, ble det ved trinn (3) oppnådd to ligninger 3x 3 -2x 4 =11 og 3x 3 +2x 4 =7. Løsningen av en av ligningene vil tillate deg å finne ut en av variablene x n.

Teorem 5, som er nevnt i teksten, sier at hvis en av systemets likninger erstattes med en ekvivalent, så vil det resulterende systemet også være ekvivalent med det opprinnelige.

Gauss-metoden er vanskelig for elevene å forstå videregående skole, men er en av de mest interessante måtene å utvikle oppfinnsomheten til barn som er påmeldt programmet dybdestudie i matte- og fysikktimene.

For å gjøre det enklere å registrere beregninger, er det vanlig å gjøre følgende:

Ligningskoeffisienter og friledd skrives i form av en matrise, der hver rad i matrisen tilsvarer en av systemets ligninger. skiller venstre side av ligningen fra høyre side. Romertall angir antall ligninger i systemet.

Først skriver de ned matrisen som de skal jobbe med, deretter alle handlingene som utføres med en av radene. Den resulterende matrisen skrives etter "pil"-tegnet og fortsett å utføre de nødvendige algebraiske operasjonene til resultatet er oppnådd.

Som et resultat bør en matrise oppnås der en av diagonalene er 1, og alle andre koeffisienter er lik null, det vil si at matrisen er redusert til en enkelt form. Vi må ikke glemme å gjøre beregninger med tallene på begge sider av ligningen.

Denne notasjonen er mindre tungvint og lar deg ikke bli distrahert av å liste opp mange ukjente.

Den gratis bruken av enhver løsningsmetode vil kreve omsorg og en viss mengde erfaring. Ikke alle metoder brukes. Noen måter å finne løsninger på er mer å foretrekke i et bestemt område av menneskelig aktivitet, mens andre eksisterer for læringsformål.

Med denne videoen begynner jeg en serie leksjoner om ligningssystemer. I dag skal vi snakke om å løse systemer av lineære ligninger tilleggsmetode- er en av de mest enkle måter men også en av de mest effektive.

Tilleggsmetoden består av tre enkle trinn:

Se på systemet og velg en variabel som har de samme (eller motsatte) koeffisientene i hver ligning;
Løpe algebraisk subtraksjon(Til motsatte tall- addisjon) av likninger fra hverandre, hvoretter bringe like termer;
Løs den nye ligningen oppnådd etter det andre trinnet.

Hvis alt er gjort riktig, vil vi ved utgangen få en enkelt ligning med én variabel- Det blir ikke vanskelig å løse. Da gjenstår det bare å erstatte den funnet roten i det opprinnelige systemet og få det endelige svaret.

Men i praksis er det ikke så enkelt. Det er flere grunner til dette:

Å løse likninger ved addisjon innebærer at alle rader må inneholde variabler med samme/motsatte koeffisienter. Hva om dette kravet ikke er oppfylt?
Ikke alltid, etter å legge til / subtrahere ligninger på denne måten, vil vi få en vakker konstruksjon som er lett å løse. Er det mulig på en eller annen måte å forenkle beregningene og fremskynde beregningene?

For å få svar på disse spørsmålene, og samtidig for å håndtere noen ekstra finesser som mange studenter "faller over", se videoopplæringen min:

Med denne leksjonen begynner vi en serie forelesninger om likningssystemer. Og vi starter med den enkleste av dem, nemlig de som inneholder to likninger og to variabler. Hver av dem vil være lineær.

Systemer er et 7. klassemateriell, men denne leksjonen vil også være nyttig for elever på videregående skole som ønsker å friske opp kunnskapen sin om dette emnet.

Generelt er det to metoder for å løse slike systemer:

Tilsetningsmetode;
En metode for å uttrykke en variabel i form av en annen.

I dag skal vi behandle den første metoden - vi vil bruke metoden for subtraksjon og addisjon. Men for dette må du forstå følgende faktum: når du har to eller flere ligninger, kan du ta to av dem og legge dem sammen. De legges til begrep for begrep, dvs. "Xs" legges til "Xs" og lignende er gitt;

Resultatene av slike maskineri vil være en ny ligning, som, hvis den har røtter, absolutt vil være blant røttene til den opprinnelige ligningen. Så vår oppgave er å gjøre subtraksjonen eller addisjonen på en slik måte at enten $x$ eller $y$ forsvinner.

Hvordan oppnå dette og hvilket verktøy du skal bruke for dette - vi skal snakke om dette nå.

Løse enkle problemer ved hjelp av tilleggsmetoden

Så vi lærer å bruke addisjonsmetoden ved å bruke eksemplet med to enkle uttrykk.

Oppgave 1

\[\venstre\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Merk at $y$ har en koeffisient på $-4$ i den første ligningen, og $+4$ i den andre. De er gjensidig motsatte, så det er logisk å anta at hvis vi legger dem sammen, vil "spillene" gjensidig utslette i den resulterende mengden. Vi legger til og får:

Vi løser den enkleste konstruksjonen:

Flott, vi fant X. Hva skal man gjøre med ham nå? Vi kan erstatte det i hvilken som helst av ligningene. La oss legge det inn i den første:

\[-4y=12\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

Svar: $\left(2;-3\right)$.

Oppgave #2

\[\venstre\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Her er situasjonen helt lik, bare med X-ene. La oss sette dem sammen:

Vi har den enkleste lineære ligningen, la oss løse den:

La oss nå finne $x$:

Svar: $\left(-3;3\right)$.

Viktige poeng

Så vi har nettopp løst to enkle systemer med lineære ligninger ved å bruke addisjonsmetoden. Nok en gang hovedpunktene:

Hvis det er motsatte koeffisienter for en av variablene, er det nødvendig å legge til alle variablene i ligningen. I dette tilfellet vil en av dem bli ødelagt.
Vi erstatter den funnet variabelen i en av likningene i systemet for å finne den andre.
Den endelige registreringen av svaret kan presenteres på forskjellige måter. For eksempel, som dette - $x=...,y=...$, eller i form av koordinater av punkter - $\left(...;... \right)$. Det andre alternativet er å foretrekke. Det viktigste å huske er at den første koordinaten er $x$, og den andre er $y$.
Regelen om å skrive svaret i form av punktkoordinater er ikke alltid aktuelt. For eksempel kan den ikke brukes når rollen til variabler ikke er $x$ og $y$, men for eksempel $a$ og $b$.

I de følgende oppgavene vil vi vurdere subtraksjonsteknikken når koeffisientene ikke er motsatte.

Løse enkle problemer ved hjelp av subtraksjonsmetoden

Oppgave 1

\[\venstre\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Merk at det ikke er noen motsatte koeffisienter her, men det er identiske. Derfor trekker vi den andre likningen fra den første likningen:

Nå erstatter vi verdien av $x$ i hvilken som helst av likningene til systemet. La oss gå først:

Svar: $\left(2;5\right)$.

Oppgave #2

\[\venstre\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Vi ser igjen den samme koeffisienten $5$ for $x$ i den første og andre ligningen. Derfor er det logisk å anta at du må trekke den andre fra den første ligningen:

Vi har beregnet én variabel. La oss nå finne den andre, for eksempel ved å erstatte verdien av $y$ i den andre konstruksjonen:

Svar: $\left(-3;-2 \right)$.

Nyanser av løsningen

Så hva ser vi? I hovedsak er ordningen ikke forskjellig fra løsningen til tidligere systemer. Den eneste forskjellen er at vi ikke legger til ligninger, men trekker dem fra. Vi gjør algebraisk subtraksjon.

Med andre ord, så snart du ser et system som består av to ligninger med to ukjente, er det første du må se på koeffisientene. Hvis de er like hvor som helst, trekkes likningene fra, og hvis de er motsatte, brukes addisjonsmetoden. Dette gjøres alltid slik at en av dem forsvinner, og i den endelige ligningen som gjenstår etter subtraksjon, ville bare én variabel stå igjen.

Det er selvfølgelig ikke alt. Nå skal vi vurdere systemer der likningene generelt er inkonsistente. De. det er ingen slike variabler i dem som enten vil være like eller motsatte. I dette tilfellet, for å løse slike systemer, ekstra mottak, nemlig multiplikasjonen av hver av likningene med en spesiell koeffisient. Hvordan finne det og hvordan løse slike systemer generelt, nå skal vi snakke om dette.

Løse problemer ved å multiplisere med en koeffisient

Eksempel #1

\[\venstre\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vi ser at hverken for $x$ eller for $y$ er koeffisientene ikke bare innbyrdes motsatte, men generelt sett korrelerer de ikke på noen måte med en annen ligning. Disse koeffisientene vil ikke forsvinne på noen måte, selv om vi legger til eller trekker fra likningene fra hverandre. Derfor er det nødvendig å bruke multiplikasjon. La oss prøve å bli kvitt $y$-variabelen. For å gjøre dette multipliserer vi den første likningen med koeffisienten $y$ fra den andre likningen, og den andre likningen med koeffisienten $y$ fra den første likningen, uten å endre fortegnet. Vi multipliserer og får et nytt system:

\[\venstre\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

La oss se på det: for $y$, motsatte koeffisienter. I en slik situasjon må addisjonsmetoden benyttes. La oss legge til:

Nå må vi finne $y$. For å gjøre dette, erstatte $x$ i det første uttrykket:

\[-9y=18\venstre| :\left(-9 \right) \right.\]

Svar: $\left(4;-2\right)$.

Eksempel #2

\[\venstre\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Igjen er koeffisientene for ingen av variablene konsistente. La oss multiplisere med koeffisientene ved $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\venstre\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Vår nytt system er ekvivalent med den forrige, men koeffisientene ved $y$ er innbyrdes motsatte, og derfor er det enkelt å bruke addisjonsmetoden her:

Finn nå $y$ ved å erstatte $x$ i den første ligningen:

Svar: $\left(-2;1\right)$.

Nyanser av løsningen

Nøkkelregelen her er: multipliser alltid bare med positive tall- dette vil spare deg for dumme og støtende feil knyttet til å skifte skilt. Generelt er løsningsskjemaet ganske enkelt:

Vi ser på systemet og analyserer hver ligning.
Hvis vi ser at verken for $y$ eller for $x$ er koeffisientene konsistente, dvs. de er verken like eller motsatte, da gjør vi følgende: velg variabelen du vil bli kvitt, og se så på koeffisientene i disse ligningene. Hvis vi multipliserer den første ligningen med koeffisienten fra den andre, og multipliserer den andre tilsvarende med koeffisienten fra den første, så får vi til slutt et system som er helt ekvivalent med den forrige, og koeffisientene ved $y $ vil være konsekvent. Alle våre handlinger eller transformasjoner er kun rettet mot å få én variabel i én ligning.
Vi finner én variabel.
Vi erstatter den funnet variabelen i en av de to likningene i systemet og finner den andre.
Vi skriver svaret i form av koordinater av poeng, hvis vi har variabler $x$ og $y$.

Men selv en så enkel algoritme har sine egne finesser, for eksempel kan koeffisientene til $x$ eller $y$ være brøker og andre "stygge" tall. Vi vil nå vurdere disse tilfellene separat, fordi du i dem kan handle på en litt annen måte enn i henhold til standardalgoritmen.

Løse problemer med brøktall

Eksempel #1

\[\venstre\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Først, merk at den andre ligningen inneholder brøker. Men merk at du kan dele $4$ med $0,8$. Vi får $5$. La oss multiplisere den andre ligningen med $5$:

\[\venstre\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Vi trekker likningene fra hverandre:

$n$ vi fant, nå beregner vi $m$:

Svar: $n=-4;m=5$

Eksempel #2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ Ikke sant.\]

Her, som i det forrige systemet, er det brøkodds, men for ingen av variablene passer koeffisientene inn i hverandre et helt antall ganger. Derfor bruker vi standardalgoritmen. Bli kvitt $p$:

\[\venstre\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

La oss bruke subtraksjonsmetoden:

La oss finne $p$ ved å erstatte $k$ i den andre konstruksjonen:

Svar: $p=-4;k=-2$.

Nyanser av løsningen

Det er alt optimalisering. I den første ligningen multipliserte vi ikke med noe i det hele tatt, og den andre ligningen ble multiplisert med $5$. Som et resultat har vi fått en konsistent og jevn samme ligning for den første variabelen. I det andre systemet handlet vi i henhold til standardalgoritmen.

Men hvordan finner du tallene du trenger for å multiplisere ligningene? Tross alt, hvis du ganger med brøktall, får vi nye brøker. Derfor må brøkene multipliseres med et tall som vil gi et nytt heltall, og deretter skal variablene multipliseres med koeffisienter, etter standardalgoritmen.

Avslutningsvis vil jeg gjøre deg oppmerksom på formatet på svarposten. Som jeg allerede har sagt, siden vi ikke har $x$ og $y$ her, men andre verdier, bruker vi en ikke-standard notasjon av formen:

Løse komplekse ligningssystemer

Som en siste akkord til dagens videoopplæring, la oss se på et par virkelig komplekse systemer. Deres kompleksitet vil bestå i at de vil inneholde variabler både til venstre og høyre. Derfor, for å løse dem, må vi bruke forbehandling.

System #1

\[\venstre\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Hver ligning har en viss kompleksitet. Derfor, med hvert uttrykk, la oss gjøre som med en normal lineær konstruksjon.

Totalt får vi det endelige systemet, som tilsvarer det originale:

\[\venstre\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

La oss se på koeffisientene til $y$: $3$ passer inn i $6$ to ganger, så vi multipliserer den første ligningen med $2$:

\[\venstre\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Koeffisientene til $y$ er nå like, så vi trekker den andre fra den første ligningen: $$

La oss nå finne $y$:

Svar: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

System #2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\venstre(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

La oss transformere det første uttrykket:

La oss ta for oss det andre:

\[-3\venstre(b-2a \høyre)-12=2\venstre(a-5 \høyre)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Totalt sett vil vårt første system ha følgende form:

\[\venstre\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Når vi ser på koeffisientene til $a$, ser vi at den første ligningen må multipliseres med $2$:

\[\venstre\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Vi trekker den andre fra den første konstruksjonen:

Finn nå $a$:

Svar: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Det er alt. Jeg håper denne videoopplæringen vil hjelpe deg å forstå dette vanskelige emnet, nemlig å løse systemer med enkle lineære ligninger. Det vil bli mange flere leksjoner om dette emnet videre: vi vil analysere mer komplekse eksempler, hvor det vil være flere variabler, og selve ligningene vil allerede være ikke-lineære. Ser deg snart!