Metoder for å løse trigonometriske ulikheter og deres systemer. De enkleste og komplekse trigonometriske ulikhetene

Ulikheter er relasjoner av formen a › b, der a og b er uttrykk som inneholder minst én variabel. Ulikheter kan være strenge - ‹, › og ikke-strenge - ≥, ≤.

Trigonometriske ulikheter er uttrykk for formen: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, hvor F(x) er representert ved en eller flere trigonometriske funksjoner .

Et eksempel på den enkleste trigonometriske ulikheten er: sin x ‹ 1/2. Det er vanlig å løse slike problemer grafisk, det er utviklet to metoder for dette.

Metode 1 - Løse ulikheter ved å plotte en funksjon

For å finne et intervall som tilfredsstiller betingelsene for ulikheten sin x ‹ 1/2, må du gjøre følgende:

På koordinataksen bygge en sinusformet y = sin x.
Tegn en graf på samme akse numerisk argument ulikhet, dvs. en rett linje som går gjennom punktet ½ av y-ordinaten.
Marker skjæringspunktene til de to grafene.
Skyggelegg segmentet som er løsningen i eksempelet.

Når det er sterke tegn i et uttrykk, er ikke skjæringspunktene løsninger. Siden den minste positiv periode sinusoid er 2π, så skriver vi svaret som følger:

Hvis tegnene på uttrykket ikke er strenge, må intervallet med løsninger være vedlagt firkantede parenteser-. Svaret på problemet kan også skrives som en annen ulikhet:

Metode 2 - Løse trigonometriske ulikheter ved hjelp av enhetssirkelen

Lignende problemer kan enkelt løses ved hjelp av trigonometrisk sirkel. Søkealgoritmen er veldig enkel:

Tegn først en enhetssirkel.
Deretter må du merke deg verdien av buefunksjonen til argumentet til høyre side av ulikheten på sirkelbuen.
Det er nødvendig å tegne en rett linje som går gjennom verdien av buefunksjonen parallelt med x-aksen (OX).
Etter det gjenstår det bare å velge sirkelbuen, som er settet med løsninger på den trigonometriske ulikheten.
Skriv svaret i ønsket skjema.

La oss analysere løsningstrinnene ved å bruke ulikheten sin x › 1/2 som eksempel. Punktene α og β er markert på sirkelen – verdiene

Punktene på buen plassert over α og β er intervallet for å løse den gitte ulikheten.

Hvis du trenger å løse et eksempel for cos, vil svarbuen være plassert symmetrisk til OX-aksen, og ikke OY. Du kan vurdere forskjellen mellom løsningsintervallene for sin og cos i diagrammene under i teksten.

Grafiske løsninger for tangent- og cotangente ulikheter vil avvike fra både sinus og cosinus. Dette skyldes egenskapene til funksjoner.

Buetangens og buetangens er tangenter til trigonometrisk sirkel, og den minste positive perioden for begge funksjonene er π. For raskt og riktig å bruke den andre metoden, må du huske på hvilken akse synd verdier, cos, tg og ctg.

Tangenttangenten går parallelt med OY-aksen. Hvis vi plotter verdien av arctg a på enhetssirkelen, vil det andre nødvendige punktet være plassert i diagonalkvartalet. hjørner

De er bruddpunkter for funksjonen, ettersom grafen har en tendens til dem, men aldri når dem.

Når det gjelder cotangens, løper tangenten parallelt med OX-aksen, og funksjonen avbrytes i punktene π og 2π.

Komplekse trigonometriske ulikheter

Hvis argumentet til ulikhetsfunksjonen ikke bare er representert av en variabel, men av et helt uttrykk som inneholder en ukjent, så snakker vi allerede om kompleks ulikhet. Forløpet og rekkefølgen til løsningen er noe forskjellig fra metodene beskrevet ovenfor. Anta at vi må finne en løsning på følgende ulikhet:

Den grafiske løsningen sørger for konstruksjon av en vanlig sinusformet y = sin x for vilkårlig valgte verdier av x. La oss beregne en tabell med koordinater for diagrammets referansepunkter:

Resultatet skal være en fin kurve.

For å gjøre det lettere å finne en løsning, erstatter vi det komplekse funksjonsargumentet

Algoritmen for å løse den enkleste trigonometriske ulikheter og gjenkjenne måter å løse trigonometriske ulikheter på.

Lærere av de høyeste kvalifikasjonskategori:

Shirko F.M. Fremskrittslandsby, MOBU-SOSH №6

Sankina L.S. Armavir, PEI ungdomsskole " Ny måte»

Eksisterer ikke universelle triks undervisningsdisipliner i den naturlig-matematiske syklusen. Hver lærer finner sine egne måter å undervise på som bare er akseptable for ham.

Vår mangeårige undervisningserfaring viser at elevene lettere kan lære stoff som krever konsentrasjon av oppmerksomhet og lagring av store mengder informasjon i minnet dersom de blir lært opp til å bruke algoritmer i arbeidet. det første stadiet læring vanskelig tema. Et slikt tema er etter vår mening temaet for å løse trigonometriske ulikheter.

Så før vi begynner med elevene for å identifisere teknikker og metoder for å løse trigonometriske ulikheter, utarbeider og fikser vi algoritmen for å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene.

Algoritme for å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene

Vi markerer punkter på den tilsvarende aksen ( Til synd x- y-akse, forcos x- OX-akse)

Vi gjenoppretter vinkelrett på aksen, som vil krysse sirkelen på to punkter.

Først på sirkelen signerer vi punktet som hører til intervallet for verdiområdet til buefunksjonen per definisjon.

Fra det signerte punktet skygger vi buen til en sirkel som tilsvarer den skyggelagte delen av aksen.

Vi snur Spesiell oppmerksomhet i retning omkjøringsvei. Hvis krysset er med klokken (det vil si at det er en overgang gjennom 0), vil det andre punktet på sirkelen være negativt, hvis det mot klokken - positivt.

Vi skriver svaret som et intervall, tar hensyn til periodisiteten til funksjonen.

La oss vurdere driften av algoritmen med eksempler.

1) synd ≥ 1/2;

Løsning:

Tegn en enhetssirkel.;

Vi markerer et punkt ½ på y-aksen.

Gjenopprett vinkelrett på aksen,

som skjærer sirkelen i to punkter.

Ved definisjonen av arcsine markerer vi først

punkt π/6.

Vi skygger den delen av aksen som tilsvarer

gitt ulikhet, over punktet ½.

Vi skygger buen til en sirkel som tilsvarer den skyggelagte delen av aksen.

Omkjøringen gjøres mot klokken, vi fikk punktet 5π/6.

Vi skriver svaret som et intervall, tar hensyn til periodisiteten til funksjonen;

Svar:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.

Den enkleste ulikheten løses ved hjelp av samme algoritme hvis det ikke er noen tabellverdi i svarposten.

Elever, i de første leksjonene, løser ulikheter på tavlen, uttaler hvert trinn i algoritmen høyt.

2) 5 cos x – 1 ≥ 0;

R Løsning:på

5 cos x – 1 ≥ 0;

cos x ≥ 1/5;

Tegn en enhetssirkel.

Vi markerer på OX-aksen et punkt med koordinaten 1/5.

Vi gjenoppretter vinkelrett på aksen, som

skjærer sirkelen i to punkter.

Først på sirkelen signerer vi punktet som tilhører intervallet for verdiområdet til arccosinus per definisjon (0; π).

Vi skygger den delen av aksen som tilsvarer denne ulikheten.

Starter fra signert punkt arccos 1/5, skyggelegg buen til en sirkel som tilsvarer den skraverte delen av aksen.

Omløpet gjøres med klokken (dvs. det er en overgang gjennom 0), noe som betyr at det andre punktet på sirkelen vil være negativt - arccos 1/5.

Vi skriver svaret som et intervall, tar hensyn til periodisiteten til funksjonen, fra en mindre verdi til en større.

Svar: x  [-arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], n Z.

Å forbedre evnen til å løse trigonometriske ulikheter er lettet av spørsmålene: "Hvordan vil vi løse en gruppe ulikheter?"; "Hvordan skiller en ulikhet seg fra en annen?"; "Hvordan er en ulikhet lik en annen?"; Hvordan ville svaret endret seg hvis en streng ulikhet ble gitt? Hvordan ville svaret endret seg hvis det var et tegn i stedet for tegnet ""

Oppgaven med å analysere listen over ulikheter fra synspunktet om måter å løse dem på, lar deg finne ut deres anerkjennelse.

Elevene får ulikheter å løse i klassen.

Spørsmål: Fremhev ulikhetene som må brukes tilsvarende transformasjoner når man reduserer den trigonometriske ulikheten til det enkleste?

Svar 1, 3, 5.

Spørsmål: Hva er ulikhetene der det kreves å betrakte et komplekst argument som et enkelt?

Svar: 1, 2, 3, 5, 6.

Spørsmål: Nevn ulikhetene der du kan søke trigonometriske formler?

Svar: 2, 3, 6.

Spørsmål: Hva er ulikhetene der du kan bruke metoden for å introdusere en ny variabel?

Svar: 6.

Oppgaven med å analysere listen over ulikheter fra synspunktet om måter å løse dem på, lar deg finne ut deres anerkjennelse. Når du utvikler ferdigheter, er det viktig å skille ut stadiene i implementeringen og formulere dem generelt syn, som presenteres i algoritmen for å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene.