Gjennomsnittsverdi mellom to tall. Hvordan finne det aritmetiske gjennomsnittet

Den vanligste typen gjennomsnitt er det aritmetiske gjennomsnittet.

enkel aritmetisk gjennomsnitt

Det enkle aritmetiske gjennomsnittet er gjennomsnittsleddet, for å bestemme hvilket totale volumet av en gitt attributt i dataene som er likt fordelt mellom alle enheter inkludert i denne populasjonen. Dermed er gjennomsnittlig årlig produksjonsproduksjon per arbeider en slik verdi av produksjonsvolumet som ville falle på hver ansatt hvis hele produksjonsvolumet ble likt fordelt mellom alle ansatte i organisasjonen. Den aritmetiske gjennomsnittlige enkelverdien beregnes ved hjelp av formelen:

enkel aritmetisk gjennomsnitt— Lik forholdet mellom summen av individuelle verdier av en funksjon og antall funksjoner i aggregatet

Eksempel 1 . Et team på 6 arbeidere mottar 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tusen rubler per måned.

Finn gjennomsnittslønnen
Løsning: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tusen rubler.

Aritmetisk vektet gjennomsnitt

Hvis volumet til datasettet er stort og representerer en distribusjonsserie, beregnes et vektet aritmetisk gjennomsnitt. Slik bestemmes den veide gjennomsnittsprisen per produksjonsenhet: den totale produksjonskostnaden (summen av produktene av dens mengde og prisen på en produksjonsenhet) deles på den totale produksjonsmengden.

Vi representerer dette i form av følgende formel:

Vektet aritmetisk gjennomsnitt- er lik forholdet (summen av produktene av attributtverdien til frekvensen av gjentakelse av denne attributten) til (summen av frekvensene til alle attributtene) Det brukes når variantene av den studerte populasjonen forekommer ulikt antall ganger.

Eksempel 2 . Finn gjennomsnittslønnen til butikkarbeidere per måned

Gjennomsnittslønnen kan oppnås ved å dele den totale lønnen med det totale antallet arbeidere:

Svar: 3,35 tusen rubler.

Aritmetisk gjennomsnitt for en intervallserie

Ved beregning av det aritmetiske gjennomsnittet for en intervallvariasjonsserie, bestemmes først gjennomsnittet for hvert intervall som halvsummen av øvre og nedre grense, og deretter gjennomsnittet av hele serien. Ved åpne intervaller bestemmes verdien av det nedre eller øvre intervallet av verdien av intervallene ved siden av dem.

Gjennomsnitt beregnet fra intervallserier er omtrentlige.

Eksempel 3. Bestem gjennomsnittsalderen til elevene på kveldsavdelingen.

Gjennomsnitt beregnet fra intervallserier er omtrentlige. Graden av deres tilnærming avhenger av i hvilken grad den faktiske fordelingen av befolkningsenheter innenfor intervallet nærmer seg ensartet.

Ved beregning av gjennomsnitt kan ikke bare absolutte, men også relative verdier (frekvens) brukes som vekter:

Det aritmetiske gjennomsnittet har en rekke egenskaper som mer fullstendig avslører essensen og forenkler beregningen:

1. Produktet av gjennomsnittet og summen av frekvensene er alltid lik summen av produktene til varianten og frekvensene, dvs.

2. Det aritmetiske gjennomsnittet av summen av de varierende verdiene er lik summen av det aritmetiske gjennomsnittet av disse verdiene:

3. Den algebraiske summen av avvikene til de individuelle verdiene til attributtet fra gjennomsnittet er null:

4. Summen av de kvadrerte avvikene til opsjonene fra gjennomsnittet er mindre enn summen av de kvadrerte avvikene fra enhver annen vilkårlig verdi, dvs.

Dette begrepet har andre betydninger, se gjennomsnittsbetydningen.

Gjennomsnitt(i matematikk og statistikk) sett med tall - summen av alle tall delt på antallet. Det er et av de vanligste målene for sentral tendens.

Det ble foreslått (sammen med det geometriske gjennomsnittet og det harmoniske gjennomsnittet) av pytagoreerne.

Spesielle tilfeller av det aritmetiske gjennomsnittet er gjennomsnittet (av den generelle populasjonen) og utvalgets gjennomsnitt (av utvalgene).

Introduksjon

Angi settet med data X = (x 1 , x 2 , …, x n), så er prøvegjennomsnittet vanligvis angitt med en horisontal strek over variabelen (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), uttalt " x med strek").

Den greske bokstaven μ brukes for å betegne det aritmetiske gjennomsnittet av hele befolkningen. For en tilfeldig variabel som det er definert en middelverdi for, er μ sannsynlighetsmiddel eller den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel. Hvis settet X er et sett med tilfeldige tall med en sannsynlighetsmiddelverdi μ, deretter for en hvilken som helst prøve x Jeg fra denne samlingen μ = E( x Jeg) er forventningen til denne prøven.

I praksis er forskjellen mellom μ og x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) at μ er en typisk variabel fordi du kan se utvalget i stedet for hele populasjonen. Derfor, hvis utvalget er representert tilfeldig (i form av sannsynlighetsteori), kan x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (men ikke μ) behandles som en tilfeldig variabel med en sannsynlighetsfordeling på utvalget ( sannsynlighetsfordeling av gjennomsnittet).

Begge disse mengdene beregnes på samme måte:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Hvis en X er en tilfeldig variabel, deretter den matematiske forventningen X kan betraktes som det aritmetiske gjennomsnittet av verdiene i gjentatte målinger av mengden X. Dette er en manifestasjon av loven om store tall. Derfor brukes prøvegjennomsnittet for å estimere den ukjente matematiske forventningen.

I elementær algebra er det bevist at gjennomsnittet n+ 1 tall over gjennomsnittet n tall hvis og bare hvis det nye tallet er større enn det gamle gjennomsnittet, mindre hvis og bare hvis det nye tallet er mindre enn gjennomsnittet, og endres ikke hvis og bare hvis det nye tallet er lik gjennomsnittet. Jo mer n, jo mindre er forskjellen mellom de nye og gamle gjennomsnittene.

Legg merke til at det er flere andre "midler" tilgjengelig, inkludert kraftlovens middelverdi, Kolmogorov-middelverdien, harmonisk middelverdi, aritmetisk-geometrisk middelverdi og ulike vektede middelverdier (f. .

Eksempler

For tre tall må du legge dem til og dele på 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

For fire tall må du legge dem til og dele på 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Eller lettere 5+5=10, 10:2. Fordi vi la til 2 tall, som betyr at hvor mange tall vi legger til, deler vi på så mye.

Kontinuerlig tilfeldig variabel

For en kontinuerlig distribuert verdi f (x) (\displaystyle f(x)) er det aritmetiske gjennomsnittet på intervallet [ a ; b ] (\displaystyle ) er definert via en bestemt integral:

F (x) ¯ [a; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Noen problemer med å bruke gjennomsnittet

Mangel på robusthet

Hovedartikkel: Robusthet i statistikk

Selv om det aritmetiske gjennomsnittet ofte brukes som middel eller sentrale trender, gjelder ikke dette konseptet for robust statistikk, som betyr at det aritmetiske gjennomsnittet er sterkt påvirket av "store avvik". Det er bemerkelsesverdig at for fordelinger med stor skjevhet, kan det aritmetiske gjennomsnittet ikke samsvare med begrepet "gjennomsnitt", og verdiene av gjennomsnittet fra robust statistikk (for eksempel medianen) kan bedre beskrive den sentrale trenden.

Det klassiske eksemplet er beregningen av gjennomsnittsinntekten. Det aritmetiske gjennomsnittet kan feiltolkes som en median, noe som kan føre til konklusjonen at det er flere med mer inntekt enn det egentlig er. «Mean» inntekt tolkes slik at de flestes inntekter er nær dette tallet. Denne "gjennomsnittlige" (i betydningen det aritmetiske gjennomsnittet) inntekten er høyere enn inntekten til folk flest, siden en høy inntekt med stort avvik fra gjennomsnittet gjør det aritmetiske gjennomsnittet sterkt skjevt (i motsetning til dette "motstår" medianinntekten) en slik skjevhet). Denne «gjennomsnittlige» inntekten sier imidlertid ingenting om antall personer i nærheten av medianinntekten (og sier ingenting om antall personer nær den modale inntekten). Men hvis begrepene «gjennomsnitt» og «flertall» tas lett på, så kan man feilaktig konkludere med at folk flest har høyere inntekter enn de faktisk er. For eksempel vil en rapport om "gjennomsnittlig" nettoinntekt i Medina, Washington, beregnet som det aritmetiske gjennomsnittet av alle årlige nettoinntekter til innbyggere, gi et overraskende høyt tall på grunn av Bill Gates. Tenk på prøven (1, 2, 2, 2, 3, 9). Det aritmetiske gjennomsnittet er 3,17, men fem av de seks verdiene er under dette gjennomsnittet.

Sammensatt rente

Hovedartikkel: ROI

Hvis tall multiplisere, men ikke brette, må du bruke det geometriske gjennomsnittet, ikke det aritmetiske gjennomsnittet. Oftest skjer denne hendelsen når man beregner avkastningen på investeringen i finans.

For eksempel, hvis aksjer falt 10 % det første året og steg 30 % i det andre året, er det feil å beregne den "gjennomsnittlige" økningen over disse to årene som det aritmetiske gjennomsnittet (−10 % + 30 %) / 2 = 10%; det riktige gjennomsnittet i dette tilfellet er gitt av den sammensatte årlige vekstraten, hvorfra den årlige veksten bare er ca. 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Grunnen til dette er at prosenter har et nytt utgangspunkt hver gang: 30 % er 30 % fra et tall mindre enn prisen ved begynnelsen av det første året: hvis aksjen startet på $30 og falt 10%, er den verdt $27 ved starten av det andre året. Hvis aksjen er opp 30%, er den verdt $35,1 ved slutten av det andre året. Det aritmetiske gjennomsnittet av denne veksten er 10 %, men siden aksjen kun har vokst med $5,1 på 2 år, gir en gjennomsnittlig økning på 8,2% et sluttresultat på $35,1:

[$30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = $30 (1 + 0,082) (1 + 0,082) = $35,1]. Hvis vi bruker det aritmetiske gjennomsnittet på 10 % på samme måte, får vi ikke den faktiske verdien: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3].

Rentesammensatt ved utgangen av år 2: 90 % * 130 % = 117 % , dvs. en total økning på 17 %, og gjennomsnittlig årlig rentes rente er 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \ca. 108,2\%) , det vil si en gjennomsnittlig årlig økning på 8,2%.

Veibeskrivelse

Hovedartikkel: Destinasjonsstatistikk

Ved beregning av det aritmetiske gjennomsnittet av en variabel som endres syklisk (for eksempel fase eller vinkel), bør det utvises spesiell forsiktighet. For eksempel vil gjennomsnittet av 1° og 359° være 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Dette tallet er feil av to grunner.

For det første er vinkelmål bare definert for området fra 0° til 360° (eller fra 0 til 2π når det måles i radianer). Dermed kan det samme tallparet skrives som (1° og −1°) eller som (1° og 719°). Gjennomsnittene for hvert par vil være forskjellige: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ ))))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
For det andre, i dette tilfellet, vil en verdi på 0° (tilsvarer 360°) være det geometrisk beste gjennomsnittet, siden tallene avviker mindre fra 0° enn fra noen annen verdi (verdi 0° har den minste variansen). Sammenligne:
- tallet 1° avviker fra 0° med bare 1°;
- tallet 1° avviker fra det beregnede gjennomsnittet på 180° ganger 179°.

Gjennomsnittsverdien for en syklisk variabel, beregnet i henhold til formelen ovenfor, vil bli kunstig forskjøvet i forhold til det reelle gjennomsnittet til midten av det numeriske området. På grunn av dette beregnes gjennomsnittet på en annen måte, nemlig tallet med den minste variansen (midtpunkt) er valgt som gjennomsnittsverdi. Dessuten, i stedet for å subtrahere, brukes modulo-avstand (dvs. periferisk avstand). For eksempel er den modulære avstanden mellom 1° og 359° 2°, ikke 358° (på en sirkel mellom 359° og 360°==0° - én grad, mellom 0° og 1° - også 1°, totalt -2°).

4.3. Gjennomsnittlige verdier. Essensen og betydningen av gjennomsnitt

Gjennomsnittlig verdi i statistikk kalles en generaliserende indikator, som karakteriserer det typiske nivået til et fenomen under spesifikke forhold for sted og tid, og reflekterer størrelsen på en varierende egenskap per enhet av en kvalitativt homogen populasjon. I økonomisk praksis brukes et bredt spekter av indikatorer, beregnet som gjennomsnitt.

For eksempel er en generaliserende indikator på inntekten til arbeidere i et aksjeselskap (JSC) gjennomsnittsinntekten til en arbeider, bestemt av forholdet mellom lønnsfondet og sosiale utbetalinger for perioden under vurdering (år, kvartal, måned ) til antall arbeidere i JSC.

Å beregne gjennomsnittet er en vanlig generaliseringsteknikk; gjennomsnittsindikatoren reflekterer det generelle som er typisk (typisk) for alle enheter av den studerte populasjonen, samtidig som den ignorerer forskjellene mellom individuelle enheter. I hvert fenomen og dets utvikling er det en kombinasjon sjanse og trenge. Ved beregning av gjennomsnitt, på grunn av virkemåten av loven om store tall, kansellerer tilfeldighet hverandre, balanserer ut, derfor er det mulig å abstrahere fra de ubetydelige egenskapene til fenomenet, fra de kvantitative verdiene til attributtet i hver spesifikke sak. I evnen til å abstrahere fra tilfeldighetene til individuelle verdier, ligger fluktuasjoner den vitenskapelige verdien av gjennomsnitt som oppsummering samlede egenskaper.

Der det er behov for generalisering, fører beregningen av slike egenskaper til erstatning av mange forskjellige individuelle verdier av attributtet medium en indikator som karakteriserer helheten av fenomener, som gjør det mulig å identifisere mønstrene som ligger i sosiale massefenomener, umerkelige i enkeltfenomener.

Gjennomsnittet gjenspeiler det karakteristiske, typiske, reelle nivået til de studerte fenomenene, karakteriserer disse nivåene og deres endringer i tid og rom.

Gjennomsnittet er en oppsummering av regelmessighetene til prosessen under forholdene der den fortsetter.

4.4. Typer gjennomsnitt og metoder for å beregne dem

Valget av typen gjennomsnitt bestemmes av det økonomiske innholdet til en viss indikator og de første dataene. I hvert tilfelle brukes en av gjennomsnittsverdiene: aritmetikk, garmonisk, geometrisk, kvadratisk, kubisk etc. De oppførte gjennomsnittene tilhører klassen makt medium.

I tillegg til kraftlovgjennomsnitt brukes i statistisk praksis strukturelle gjennomsnitt, som anses å være modusen og medianen.

La oss dvele mer detaljert på kraftmidler.

Aritmetisk gjennomsnitt

Den vanligste typen gjennomsnitt er gjennomsnitt aritmetikk. Det brukes i tilfeller der volumet til en variabel attributt for hele populasjonen er summen av verdiene til attributtene til dens individuelle enheter. Sosiale fenomener er preget av additivitet (summering) av volumene til en varierende attributt, dette bestemmer omfanget av det aritmetiske gjennomsnittet og forklarer dets utbredelse som en generaliserende indikator, for eksempel: det totale lønnsfondet er summen av lønnen til alle arbeidere , er bruttoavlingen summen av produksjonen fra hele såarealet.

For å beregne det aritmetiske gjennomsnittet, må du dele summen av alle funksjonsverdier med antallet.

Det aritmetiske gjennomsnittet brukes i skjemaet enkelt gjennomsnitt og vektet gjennomsnitt. Det enkle gjennomsnittet fungerer som den innledende, definerende formen.

enkel aritmetisk gjennomsnitt er lik den enkle summen av de individuelle verdiene for den gjennomsnittlige funksjonen, delt på det totale antallet av disse verdiene (den brukes i tilfeller der det er ugrupperte individuelle verdier av funksjonen):

hvor
- individuelle verdier av variabelen (alternativer); m - antall befolkningsenheter.

Ytterligere summeringsgrenser i formlene vil ikke bli angitt. For eksempel kreves det å finne den gjennomsnittlige produksjonen til én arbeider (låsesmed), hvis det er kjent hvor mange deler hver av 15 arbeidere produserte, dvs. gitt en rekke individuelle verdier av egenskapen, stk.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Det enkle aritmetiske gjennomsnittet beregnes med formelen (4.1), 1 stk.:

Gjennomsnittet av alternativer som gjentas et annet antall ganger, eller som sies å ha ulik vekt, kalles vektet. Vektene er antall enheter i ulike befolkningsgrupper (gruppen kombinerer de samme alternativene).

Aritmetisk vektet gjennomsnitt- gjennomsnittlige grupperte verdier, - beregnes med formelen:

, (4.2)

hvor
- vekter (hyppighet av gjentakelse av de samme funksjonene);

- summen av produktene av størrelsen på funksjonene etter deres frekvenser;

- det totale antallet befolkningsenheter.

Vi vil illustrere teknikken for å beregne det aritmetiske vektede gjennomsnittet ved å bruke eksemplet diskutert ovenfor. For å gjøre dette grupperer vi de første dataene og plasserer dem i tabellen. 4.1.

Tabell 4.1

Fordeling av arbeidere for utvikling av deler

I henhold til formelen (4.2) er det aritmetiske vektede gjennomsnittet likt, stykker:

I noen tilfeller kan vektene ikke representeres av absolutte verdier, men med relative (i prosenter eller brøkdeler av en enhet). Da vil formelen for det aritmetiske vektede gjennomsnittet se slik ut:

hvor
- spesielt, dvs. andel av hver frekvens i den totale summen av alle

Hvis frekvensene telles i brøker (koeffisienter), da
= 1, og formelen for det aritmetisk vektede gjennomsnittet er:

Beregning av det aritmetiske vektede gjennomsnittet fra gruppegjennomsnittene utføres i henhold til formelen:

hvor f-antall enheter i hver gruppe.

Resultatene av beregning av det aritmetiske gjennomsnittet av gruppemiddelverdiene er presentert i tabell. 4.2.

Tabell 4.2

Fordeling av arbeidere etter gjennomsnittlig tjenestetid

I dette eksemplet er ikke alternativene individuelle data om tjenestetiden til individuelle arbeidere, men gjennomsnitt for hvert verksted. vekter f er antall arbeidere i butikkene. Derfor vil gjennomsnittlig arbeidserfaring for arbeidere i hele bedriften være år:

Beregning av det aritmetiske gjennomsnittet i fordelingsserien

Hvis verdiene til det gjennomsnittlige attributtet er gitt som intervaller ("fra - til"), dvs. intervallfordelingsserier, når man beregner den aritmetiske middelverdien, blir midtpunktene til disse intervallene tatt som verdiene til funksjonene i grupper, som et resultat av at det dannes en diskret serie. Tenk på følgende eksempel (tabell 4.3).

La oss gå fra en intervallserie til en diskret ved å erstatte intervallverdiene med deres gjennomsnittsverdier / (enkelt gjennomsnitt

Tabell 4.3

Fordeling av AO-arbeidere etter nivået på månedslønn

Grupper av arbeidere for	Antall arbeidere	Midt i intervallet
lønn, gni.	pers., f	gni., X





900 og over

verdiene til åpne intervaller (første og siste) er betinget likestilt med intervallene som grenser til dem (andre og nest siste).

Med en slik beregning av gjennomsnittet er det tillatt med en viss unøyaktighet, siden det forutsettes en enhetlig fordeling av enheter av attributtet i gruppen. Feilen vil imidlertid være jo mindre, jo smalere intervall og jo flere enheter i intervallet.

Etter at midtpunktene til intervallene er funnet, gjøres beregningene på samme måte som i en diskret serie - alternativene multipliseres med frekvensene (vekter) og summen av produktene divideres med summen av frekvensene (vekter) , tusen rubler:

Så det gjennomsnittlige lønnsnivået til arbeidere i JSC er 729 rubler. per måned.

Beregningen av det aritmetiske gjennomsnittet er ofte forbundet med store forbruk av tid og arbeid. Men i noen tilfeller kan prosedyren for beregning av gjennomsnittet forenkles og forenkles ved å bruke egenskapene. La oss presentere (uten bevis) noen grunnleggende egenskaper ved det aritmetiske gjennomsnittet.

Eiendom 1. Hvis alle individuelle karakteristiske verdier (dvs. alle alternativer) redusere eller øke i Jegganger, deretter gjennomsnittsverdien av en ny funksjon vil redusere eller øke tilsvarende i Jegen gang.

Eiendom 2. Hvis alle varianter av den gjennomsnittlige funksjonen reduseressy eller øk med tallet A, deretter det aritmetiske gjennomsnittetredusere eller øke betydelig med samme tall A.

Eiendom 3. Hvis vektene til alle gjennomsnittlige opsjoner reduseres eller øke til til ganger, vil det aritmetiske gjennomsnittet ikke endres.

Som gjennomsnittsvekter, i stedet for absolutte indikatorer, kan du bruke spesifikke vekter i totalsummen (andeler eller prosenter). Dette forenkler beregningen av gjennomsnittet.

For å forenkle beregningene av gjennomsnittet, følger de veien for å redusere verdiene til opsjoner og frekvenser. Den største forenklingen oppnås når MEN verdien av et av de sentrale alternativene med høyest frekvens velges som / - verdien av intervallet (for rader med samme intervaller). Verdien av L kalles opprinnelsen, så denne metoden for å beregne gjennomsnittet kalles "metoden for å telle fra betinget null" eller "metode for øyeblikk".

La oss anta at alle alternativer X først redusert med samme tall A, og deretter redusert inn Jeg en gang. Vi får en ny variasjonsfordelingsserie av nye varianter .

Deretter nye alternativer vil komme til uttrykk:

og deres nye aritmetiske gjennomsnitt , -første ordre øyeblikk- formel:

Det er lik gjennomsnittet av de opprinnelige alternativene, først redusert med MEN, og så inn Jeg en gang.

For å få det virkelige gjennomsnittet trenger du et øyeblikk av første rekkefølge m 1 , gange med Jeg og legg til MEN:

Denne metoden for å beregne det aritmetiske gjennomsnittet fra en variasjonsserie kalles "metode for øyeblikk". Denne metoden brukes i rader med like intervaller.

Beregningen av det aritmetiske gjennomsnittet ved hjelp av momentmetoden er illustrert av dataene i tabell. 4.4.

Tabell 4.4

Fordeling av små foretak i regionen etter verdien av anleggsmidler (OPF) i 2000

Grupper av foretak etter kostnad på OPF, tusen rubler	Antall foretak f	mellomintervaller, x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Finne øyeblikket for den første ordren

Deretter, forutsatt at A = 19 og vite det Jeg= 2, beregn X, tusen rubler.:

Typer gjennomsnittsverdier og metoder for deres beregning

På stadiet av statistisk behandling kan en rekke forskningsoppgaver settes, for løsningen som det er nødvendig å velge riktig gjennomsnitt. I dette tilfellet er det nødvendig å bli veiledet av følgende regel: verdiene som representerer telleren og nevneren av gjennomsnittet må være logisk relatert til hverandre.

kraftgjennomsnitt;
strukturelle gjennomsnitt.

La oss introdusere følgende notasjon:

Verdiene som gjennomsnittet er beregnet for;

Gjennomsnitt, der linjen ovenfor indikerer at gjennomsnittet av individuelle verdier finner sted;

Frekvens (repeterbarhet av individuelle egenskapsverdier).

Ulike midler er avledet fra den generelle potensmiddelformelen:

(5.1)

for k = 1 - aritmetisk gjennomsnitt; k = -1 - harmonisk gjennomsnitt; k = 0 - geometrisk gjennomsnitt; k = -2 - rotmiddelkvadrat.

Gjennomsnitt er enten enkle eller vektede. vektede gjennomsnitt kalles mengder som tar hensyn til at noen varianter av verdiene til attributtet kan ha forskjellige tall, og derfor må hver variant multipliseres med dette tallet. Med andre ord er «vektene» antall befolkningsenheter i ulike grupper, dvs. hvert alternativ er "vektet" etter sin frekvens. Frekvensen f kalles statistisk vekt eller veiing gjennomsnitt.

Aritmetisk gjennomsnitt- den vanligste typen medium. Den brukes når beregningen utføres på ugrupperte statistiske data, hvor du ønsker å få gjennomsnittlig summand. Det aritmetiske gjennomsnittet er en slik gjennomsnittsverdi av en funksjon, ved mottak av hvilken det totale volumet av funksjonen i populasjonen forblir uendret.

Den aritmetiske gjennomsnittsformelen ( enkel) har formen

hvor n er populasjonsstørrelsen.

For eksempel beregnes gjennomsnittslønnen til ansatte i en bedrift som det aritmetiske gjennomsnittet:

De avgjørende indikatorene her er lønnen til hver ansatt og antall ansatte i bedriften. Ved beregning av gjennomsnittet forble den totale lønnen den samme, men fordelte seg så å si likt på alle arbeidere. For eksempel er det nødvendig å beregne gjennomsnittslønnen til ansatte i et lite selskap der 8 personer er ansatt:

Ved beregning av gjennomsnitt kan individuelle verdier av attributtet som gjennomsnittsberegnes, gjentas, så gjennomsnittet beregnes ved hjelp av grupperte data. I dette tilfellet snakker vi om å bruke aritmetisk gjennomsnitt vektet, som ser ut som

(5.3)

Så vi må beregne den gjennomsnittlige aksjekursen til et aksjeselskap på børsen. Det er kjent at transaksjoner ble utført innen 5 dager (5 transaksjoner), antall aksjer solgt til salgskurs ble fordelt som følger:

1 - 800 ac. - 1010 rubler

2 - 650 ac. - 990 gni.

3 - 700 ak. - 1015 rubler.

4 - 550 ac. - 900 gni.

5 - 850 ak. - 1150 rubler.

Det første forholdet for å bestemme gjennomsnittlig aksjekurs er forholdet mellom det totale antallet transaksjoner (OSS) og antall solgte aksjer (KPA).

Metode for gjennomsnitt

3.1 Essensen og betydningen av gjennomsnitt i statistikk. Typer gjennomsnitt

Gjennomsnittlig verdi i statistikk kalles en generalisert karakteristikk av kvalitativt homogene fenomener og prosesser i henhold til en eller annen varierende attributt, som viser nivået på attributtet, relatert til befolkningens enhet. gjennomsnittlig verdi abstrakt, fordi karakteriserer verdien av attributtet for en upersonlig enhet av befolkningen.Essens av gjennomsnittlig størrelse ligger i det faktum at det generelle og nødvendige, dvs. tendensen og regelmessigheten i utviklingen av massefenomener, avsløres gjennom det individuelle og det tilfeldige. Funksjoner som oppsummerer i gjennomsnittsverdier er iboende i alle enheter av befolkningen. På grunn av dette er gjennomsnittsverdien av stor betydning for å identifisere mønstre som er iboende i massefenomener og ikke merkbare i individuelle enheter av befolkningen.

Generelle prinsipper for bruk av gjennomsnitt:

et rimelig valg av befolkningsenheten som gjennomsnittsverdien beregnes for, er nødvendig;

når du bestemmer gjennomsnittsverdien, er det nødvendig å gå videre fra det kvalitative innholdet til den gjennomsnittlige egenskapen, ta hensyn til forholdet mellom de studerte egenskapene, samt dataene som er tilgjengelige for beregning;

gjennomsnittsverdier skal beregnes i henhold til kvalitativt homogene aggregater, som oppnås ved grupperingsmetoden, som innebærer beregning av et system med generaliserende indikatorer;

samlede gjennomsnitt bør støttes av gruppegjennomsnitt.

Avhengig av arten av primærdataene, omfanget og metoden for beregning i statistikk, skilles følgende: hovedtyper av gjennomsnitt:

1) kraftgjennomsnitt(aritmetisk gjennomsnitt, harmonisk, geometrisk, rotmiddel kvadratisk og kubikk);

2) strukturelle (ikke-parametriske) gjennomsnitt(modus og median).

I statistikk er den korrekte karakteriseringen av populasjonen som studeres på grunnlag av varierende egenskaper i hvert enkelt tilfelle kun gitt av en veldefinert type gjennomsnitt. Spørsmålet om hvilken type gjennomsnitt som skal brukes i et bestemt tilfelle, løses ved en spesifikk analyse av populasjonen som studeres, samt basert på prinsippet om meningsfullhet av resultatene ved oppsummering eller veiing. Disse og andre prinsipper kommer til uttrykk i statistikk teorien om gjennomsnitt.

For eksempel brukes det aritmetiske gjennomsnittet og det harmoniske gjennomsnittet for å karakterisere middelverdien til en variabel egenskap i populasjonen som studeres. Det geometriske gjennomsnittet brukes bare ved beregning av gjennomsnittlig dynamikkhastighet, og gjennomsnittskvadrat kun ved beregning av variasjonsindikatorene.

Formler for beregning av gjennomsnittsverdier er presentert i tabell 3.1.

Tabell 3.1 - Formler for beregning av gjennomsnittsverdier

Typer gjennomsnitt	Beregningsformler
Typer gjennomsnitt	enkel	vektet
1. Aritmetisk gjennomsnitt
2. Gjennomsnittlig harmonisk
3. Geometrisk gjennomsnitt
4. Root Mean Square

Betegnelser:- mengder som gjennomsnittet er beregnet for; - gjennomsnitt, der linjen ovenfor indikerer at gjennomsnittet av individuelle verdier finner sted; - frekvens (repeterbarhet av individuelle egenskapsverdier).

Det er klart at forskjellige gjennomsnitt er avledet fra den generelle formelen for potensmiddelet (3.1) :

, (3.1)

for k = + 1 - aritmetisk gjennomsnitt; k = -1 - harmonisk gjennomsnitt; k = 0 - geometrisk gjennomsnitt; k = +2 - rotmiddelkvadrat.

Gjennomsnitt er enten enkle eller vektede. vektede gjennomsnitt det kalles verdier som tar hensyn til at noen varianter av attributtverdiene kan ha forskjellige tall; i denne forbindelse må hvert alternativ multipliseres med dette tallet. I dette tilfellet er "vektene" antall befolkningsenheter i forskjellige grupper, dvs. hvert alternativ er "vektet" etter sin frekvens. Frekvensen f kalles statistisk vekt eller veiing gjennomsnitt.

Etter hvert riktig valg av gjennomsnitt antar følgende rekkefølge:

a) etablering av en generaliserende indikator for befolkningen;

b) bestemmelse av et matematisk forhold mellom verdier for en gitt generaliserende indikator;

c) erstatning av individuelle verdier med gjennomsnittsverdier;

d) beregning av gjennomsnittet ved hjelp av tilsvarende ligning.

3.2 Aritmetisk gjennomsnitt og dets egenskaper og beregningsteknikk. Gjennomsnittlig harmonisk

Aritmetisk gjennomsnitt- den vanligste typen mellomstørrelse; det beregnes i de tilfellene når volumet av den gjennomsnittlige attributten er dannet som summen av dens verdier for individuelle enheter av den studerte statistiske populasjonen.

De viktigste egenskapene til det aritmetiske gjennomsnittet:

1. Produktet av gjennomsnittet og summen av frekvenser er alltid lik summen av produktene til varianten (individuelle verdier) og frekvenser.

2. Hvis et hvilket som helst vilkårlig tall trekkes fra (legges til) fra hvert alternativ, vil det nye gjennomsnittet reduseres (økes) med det samme tallet.

3. Hvis hvert alternativ multipliseres (deltes) med et vilkårlig tall, vil det nye gjennomsnittet øke (minske) med samme beløp

4. Hvis alle frekvenser (vekter) er delt eller multiplisert med et hvilket som helst tall, vil det aritmetiske gjennomsnittet ikke endre seg fra dette.

5. Summen av avvik for individuelle alternativer fra det aritmetiske gjennomsnittet er alltid null.

Det er mulig å trekke en vilkårlig konstant verdi fra alle verdiene av attributtet (bedre er verdien av det midterste alternativet eller alternativene med høyest frekvens), reduser de resulterende forskjellene med en felles faktor (fortrinnsvis med verdien av intervallet ), og uttrykk frekvensene i detalj (i prosent) og multipliser det beregnede gjennomsnittet med fellesfaktoren og legg til en vilkårlig konstant verdi. Denne metoden for å beregne det aritmetiske gjennomsnittet kalles metode for beregning fra betinget null .

Geometrisk gjennomsnitt finner sin anvendelse ved å bestemme gjennomsnittlig vekstrate (gjennomsnittlig vekstrater), når de individuelle verdiene av egenskapen presenteres som relative verdier. Den brukes også hvis det er nødvendig å finne gjennomsnittet mellom minimums- og maksimumsverdiene til en karakteristikk (for eksempel mellom 100 og 1000000).

rot betyr kvadrat brukes til å måle variasjonen av en egenskap i populasjonen (beregning av standardavviket).

I statistikken fungerer det Flertallsregel for midler:

X skade.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Strukturelle midler (modus og median)

For å bestemme populasjonens struktur brukes spesielle gjennomsnitt, som inkluderer median og modus, eller de såkalte strukturelle gjennomsnittene. Hvis det aritmetiske gjennomsnittet beregnes basert på bruken av alle varianter av attributtverdiene, karakteriserer medianen og modusen verdien av varianten som inntar en viss gjennomsnittlig plassering i den rangerte variasjonsserien

Mote- den mest typiske verdien av attributtet som oftest påtreffes. Til diskrete serier modusen vil være den med høyest frekvens. For å definere mote intervallserie Bestem først det modale intervallet (intervallet har den høyeste frekvensen). Deretter, innenfor dette intervallet, blir verdien av funksjonen funnet, som kan være en modus.

For å finne en spesifikk verdi av modusen til intervallserien, er det nødvendig å bruke formelen (3.2)

(3.2)

hvor X Mo er den nedre grensen for det modale intervallet; i Mo - verdien av det modale intervallet; f Mo er frekvensen til det modale intervallet; f Mo-1 - frekvensen til intervallet før modalen; f Mo+1 - frekvensen til intervallet etter modalen.

Mote er mye brukt i markedsføringsaktiviteter i studiet av forbrukernes etterspørsel, spesielt for å bestemme størrelsene på klær og sko som er mest etterspurt, samtidig som det regulerer prispolitikken.

Median - verdien av variabelattributtet, som faller i midten av populasjonen. Til rangerte serier med et oddetall individuelle verdier (for eksempel 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) medianen vil være verdien som er plassert i midten av serien, dvs. den fjerde verdien er 6. For rangerte serier med partall individuelle verdier (for eksempel 1, 5, 7, 10, 11, 14) medianen vil være den aritmetiske middelverdien, som beregnes fra to tilstøtende verdier. For vårt tilfelle er medianen (7+10)/2= 8,5.

For å finne medianen er det derfor først nødvendig å bestemme dets ordinære tall (posisjonen i den rangerte serien) ved å bruke formler (3.3):

(hvis det ikke er noen frekvenser)

N Meg=
(hvis det er frekvenser) (3.3)

hvor n er antall enheter i populasjonen.

Den numeriske verdien av medianen intervallserie bestemt av de akkumulerte frekvensene i en diskret variasjonsserie. For å gjøre dette må du først angi intervallet for å finne medianen i intervallserien til fordelingen. Medianen er det første intervallet der summen av de akkumulerte frekvensene overstiger halvparten av det totale antallet observasjoner.

Den numeriske verdien av medianen bestemmes vanligvis av formelen (3.4)

(3.4)

hvor x Me - den nedre grensen for medianintervallet; iMe - verdien av intervallet; SMe -1 - den akkumulerte frekvensen til intervallet som går foran medianen; fMe er frekvensen til medianintervallet.

Innenfor det funnet intervallet beregnes også medianen ved hjelp av formelen Me = xl e, hvor den andre faktoren på høyre side av ligningen viser plasseringen av medianen innenfor medianintervallet, og x er lengden på dette intervallet. Medianen deler variasjonsserien i to etter frekvens. Definer mer kvartiler , som deler variasjonsserien i 4 deler av like stor sannsynlighet, og desiler dele serien i 10 like deler.

Den vanligste formen for statistiske indikatorer som brukes i sosioøkonomisk forskning er gjennomsnittsverdien, som er en generalisert kvantitativ karakteristikk av et tegn på en statistisk populasjon. Gjennomsnittsverdier er så å si "representanter" for hele serien av observasjoner. I mange tilfeller kan gjennomsnittet bestemmes gjennom startforholdet til gjennomsnittet (ISS) eller dets logiske formel: . Så, for eksempel, for å beregne gjennomsnittslønnen til ansatte i en bedrift, er det nødvendig å dele det totale lønnsfondet med antall ansatte: Telleren for det opprinnelige forholdet til gjennomsnittet er dens definerende indikator. For gjennomsnittslønnen er en slik avgjørende indikator lønnsfondet. For hver indikator som brukes i den samfunnsøkonomiske analysen, kan det kun settes sammen ett sant referanseforhold for å beregne gjennomsnittet. Det bør også legges til at for å mer nøyaktig estimere standardavviket for små prøver (med antall elementer mindre enn 30), bør ikke nevneren til uttrykket under roten bruke n, a n- 1.

Konseptet og typene av gjennomsnitt

Gjennomsnittlig verdi- dette er en generaliserende indikator for den statistiske populasjonen, som slukker individuelle forskjeller i verdiene til statistiske mengder, slik at du kan sammenligne forskjellige populasjoner med hverandre. Finnes 2 klasser gjennomsnittsverdier: kraft og strukturell. Strukturelle gjennomsnitt er mote og median , men den mest brukte kraftgjennomsnitt forskjellige typer.

Effektgjennomsnitt

Effektgjennomsnitt kan være enkel og vektet.

Et enkelt gjennomsnitt beregnes når det er to eller flere ugrupperte statistiske verdier, arrangert i en vilkårlig rekkefølge i henhold til følgende generelle formel for gjennomsnittskraftloven (for forskjellige verdier av k (m)):

Det vektede gjennomsnittet beregnes fra den grupperte statistikken ved å bruke følgende generelle formel:

Hvor x - gjennomsnittsverdien av fenomenet som studeres; x i – i-te variant av gjennomsnittstrekket ;

f i er vekten av det i-te alternativet.

Hvor X er verdiene til individuelle statistiske verdier eller midtpunktene til grupperingsintervaller;
m - eksponent, av hvilken verdi følgende typer effektgjennomsnitt avhenger:
ved m = -1 harmonisk gjennomsnitt;
for m = 0, det geometriske gjennomsnittet;
for m = 1, det aritmetiske gjennomsnittet;
ved m = 2, rotmiddelkvadrat;
ved m = 3, gjennomsnittlig kubikk.

Ved å bruke de generelle formlene for enkle og vektede gjennomsnitt ved forskjellige eksponenter m, får vi spesielle formler av hver type, som vil bli diskutert i detalj nedenfor.

Aritmetisk gjennomsnitt

Aritmetisk gjennomsnitt - det første øyeblikket av den første orden, den matematiske forventningen til verdiene til en tilfeldig variabel med et stort antall forsøk;

Det aritmetiske gjennomsnittet er den mest brukte gjennomsnittsverdien, som oppnås ved å erstatte m = 1 i den generelle formelen. Aritmetisk gjennomsnitt enkel har følgende form:

eller

Hvor X er verdiene for mengdene som det er nødvendig å beregne gjennomsnittsverdien for; N er det totale antallet X-verdier (antall enheter i den studerte populasjonen).

For eksempel besto en student 4 eksamener og fikk følgende karakterer: 3, 4, 4 og 5. La oss beregne gjennomsnittsskåren ved å bruke den enkle aritmetiske gjennomsnittsformelen: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4. Aritmetisk gjennomsnitt vektet har følgende form:

Hvor f er antall verdier med samme X-verdi (frekvens). >For eksempel besto en student 4 eksamener og fikk følgende karakterer: 3, 4, 4 og 5. Beregn gjennomsnittlig poengsum ved å bruke den aritmetiske vektede gjennomsnittsformelen: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4. Hvis X-verdiene er gitt som intervaller, brukes midtpunktene til X-intervallene for beregninger, som er definert som halve summen av øvre og nedre grenser for intervallet. Og hvis intervallet X ikke har en nedre eller øvre grense (åpent intervall), brukes området (forskjellen mellom øvre og nedre grenser) for det tilstøtende intervallet X for å finne det. For eksempel er det ved bedriften 10 ansatte med arbeidserfaring inntil 3 år, 20 - med arbeidserfaring fra 3 til 5 år, 5 ansatte - med arbeidserfaring på mer enn 5 år. Deretter beregner vi gjennomsnittlig tjenestetid for ansatte ved å bruke den aritmetiske vektede gjennomsnittsformelen, og tar X midten av tjenesteintervallene (2, 4 og 6 år): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 år.

AVERAGE funksjon

Denne funksjonen beregner gjennomsnittet (aritmetikk) av argumentene.

AVERAGE(tall1, tall2, ...)

Tall1, tall2, ... er 1 til 30 argumenter som gjennomsnittet beregnes for.

Argumenter må være tall eller navn, matriser eller referanser som inneholder tall. Hvis argumentet, som er en matrise eller en lenke, inneholder tekster, booleaner eller tomme celler, ignoreres disse verdiene; imidlertid telles celler som inneholder nullverdier.

AVERAGE funksjon

Beregner det aritmetiske gjennomsnittet av verdiene gitt i argumentlisten. I tillegg til tall kan tekst og logiske verdier, som TRUE og FALSE, delta i beregningen.

AVERAGE(verdi1, verdi2,...)

Verdi1, verdi2,... er 1 til 30 celler, celleområder eller verdier som gjennomsnittet er beregnet for.

Argumenter må være tall, navn, matriser eller referanser. Matriser og lenker som inneholder tekst tolkes som 0 (null). Tom tekst ("") tolkes som 0 (null). Argumenter som inneholder verdien TRUE tolkes som 1, Argumenter som inneholder verdien FALSE tolkes som 0 (null).

Det aritmetiske gjennomsnittet brukes oftest, men det er tider når andre typer gjennomsnitt er nødvendig. La oss vurdere slike tilfeller videre.

Gjennomsnittlig harmonisk

Harmonisk gjennomsnitt for å bestemme den gjennomsnittlige summen av gjensidige;

Gjennomsnittlig harmonisk brukes når de opprinnelige dataene ikke inneholder frekvenser f for individuelle verdier av X, men presenteres som deres produkt Xf. Ved å betegne Xf=w uttrykker vi f=w/X, og erstatter disse betegnelsene i den vektede aritmetiske gjennomsnittsformelen, får vi den vektede harmoniske gjennomsnittsformelen:

Dermed brukes det harmoniske vektede gjennomsnittet når frekvensene f er ukjente, men w=Xf er kjent. I tilfeller der alle w=1, det vil si de individuelle verdiene av X forekommer 1 gang, brukes den harmoniske enkle middelformelen: eller For eksempel kjørte en bil fra punkt A til punkt B med en hastighet på 90 km/t og tilbake med en hastighet på 110 km/t. For å bestemme gjennomsnittshastigheten bruker vi den harmoniske enkle formelen, siden eksemplet gir avstanden w 1 \u003d w 2 (avstanden fra punkt A til punkt B er den samme som fra B til A), som er lik produktet av hastighet (X) og tid (f). Gjennomsnittlig hastighet = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 km/t.

SRHARM-funksjon

Returnerer det harmoniske gjennomsnittet av datasettet. Det harmoniske gjennomsnittet er det resiproke av det aritmetiske gjennomsnittet av resiproke.

SGARM(nummer1; tall2; ...)

Tall1, tall2, ... er 1 til 30 argumenter som gjennomsnittet beregnes for. Du kan bruke en matrise eller en matrisereferanse i stedet for semikolonseparerte argumenter.

Det harmoniske gjennomsnittet er alltid mindre enn det geometriske gjennomsnittet, som alltid er mindre enn det aritmetiske gjennomsnittet.

Geometrisk gjennomsnitt

Geometrisk gjennomsnitt for å estimere gjennomsnittlig veksthastighet for tilfeldige variabler, finne verdien av en egenskap like langt fra minimums- og maksimumsverdiene;

Geometrisk gjennomsnitt brukes til å bestemme gjennomsnittlige relative endringer. Den geometriske middelverdien gir det mest nøyaktige gjennomsnittsresultatet hvis oppgaven er å finne en slik verdi av X, som vil være like langt fra både maksimums- og minimumsverdiene til X. For eksempel mellom 2005 og 2008inflasjonsindeksen i Russland var: i 2005 - 1.109; i 2006 - 1 090; i 2007 - 1 119; i 2008 - 1.133. Siden inflasjonsindeksen er en relativ endring (dynamisk indeks), må du beregne gjennomsnittsverdien ved å bruke det geometriske gjennomsnittet: (1,109 * 1,090 * 1,119 * 1,133) ^ (1/4) = 1,1126, det vil si for perioden fra 2005 til 2008 økte prisene årlig med et gjennomsnitt på 11,26 %. En feilberegning på det aritmetiske gjennomsnittet vil gi et feil resultat på 11,28 %.

SRGEOM funksjon

Returnerer det geometriske gjennomsnittet av en matrise eller et område med positive tall. For eksempel kan CAGEOM-funksjonen brukes til å beregne gjennomsnittlig vekstrate hvis sammensatt inntekt med variabel rente er gitt.

SRGEOM(tall1; tall2; ...)

Tall1, tall2, ... er 1 til 30 argumenter som det geometriske gjennomsnittet beregnes for. Du kan bruke en matrise eller en matrisereferanse i stedet for semikolonseparerte argumenter.

rot betyr kvadrat

Rotens middelkvadrat er det første øyeblikket av andre orden.

rot betyr kvadrat brukes når startverdiene til X kan være både positive og negative, for eksempel ved beregning av gjennomsnittlige avvik.

Hovedbruken av det kvadratiske gjennomsnittet er å måle variasjonen i X-verdier.

Gjennomsnittlig kubikk

Gjennomsnittlig kubikk er det første øyeblikket av tredje orden.

Gjennomsnittlig kubikk brukes ekstremt sjelden, for eksempel ved beregning av fattigdomsindekser for utviklingsland (HPI-1) og for utviklede land (HPI-2), foreslått og beregnet av FN.

I matematikk er det aritmetiske gjennomsnittet av tall (eller ganske enkelt gjennomsnittet) summen av alle tallene i et gitt sett delt på antallet. Dette er det mest generaliserte og utbredte konseptet for gjennomsnittsverdien. Som du allerede har forstått, for å finne må du summere alle tallene som er gitt deg, og dele resultatet med antall ledd.

Hva er det aritmetiske gjennomsnittet?

La oss se på et eksempel.

Eksempel 1. Tallene er gitt: 6, 7, 11. Du må finne gjennomsnittsverdien deres.

Løsning.

La oss først finne summen av alle gitte tall.

Nå deler vi den resulterende summen med antall ledd. Siden vi har henholdsvis tre ledd, skal vi dele på tre.

Derfor er gjennomsnittet av 6, 7 og 11 8. Hvorfor 8? Ja, fordi summen av 6, 7 og 11 vil være det samme som tre åttere. Dette vises tydelig på illustrasjonen.

Gjennomsnittsverdien minner litt om «justeringen» av en tallserie. Som du kan se, har haugene med blyanter blitt ett nivå.

Tenk på et annet eksempel for å konsolidere den oppnådde kunnskapen.

Eksempel 2 Tall er gitt: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Du må finne deres aritmetiske gjennomsnitt.

Løsning.

Vi finner summen.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Del på antall ledd (i dette tilfellet 15).

Derfor er gjennomsnittsverdien av denne tallserien 22.

Vurder nå negative tall. La oss huske hvordan vi skal oppsummere dem. For eksempel har du to tall 1 og -4. La oss finne summen deres.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Når du vet dette, bør du vurdere et annet eksempel.

Eksempel 3 Finn gjennomsnittsverdien til en tallserie: 3, -7, 5, 13, -2.

Løsning.

Finne summen av tall.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Siden det er 5 ledd, deler vi den resulterende summen med 5.

Derfor er det aritmetiske gjennomsnittet av tallene 3, -7, 5, 13, -2 2,4.

I vår tid med teknologisk fremgang er det mye mer praktisk å bruke dataprogrammer for å finne gjennomsnittsverdien. Microsoft Office Excel er en av dem. Å finne gjennomsnittet i Excel er raskt og enkelt. Dessuten er dette programmet inkludert i programvarepakken fra Microsoft Office. La oss vurdere en kort instruksjon, verdi å bruke dette programmet.

For å beregne gjennomsnittsverdien av en tallserie, må du bruke AVERAGE-funksjonen. Syntaksen for denne funksjonen er:
=Gjennomsnitt(argument1, argument2, ... argument255)
der argument1, argument2, ... argument255 er enten tall eller cellereferanser (celler betyr områder og matriser).

For å gjøre det klarere, la oss teste kunnskapen vi har fått.

Skriv inn tallene 11, 12, 13, 14, 15, 16 i cellene C1 - C6.
Velg celle C7 ved å klikke på den. I denne cellen vil vi vise gjennomsnittsverdien.
Klikk på "Formler"-fanen.
Velg Flere funksjoner > Statistisk for å åpne
Velg AVERAGE. Etter det skal en dialogboks åpnes.
Velg og dra cellene C1-C6 dit for å angi området i dialogboksen.
Bekreft handlingene dine med "OK"-knappen.
Hvis du gjorde alt riktig, i celle C7 bør du ha svaret - 13.7. Når du klikker på celle C7, vil funksjonen (=Gjennomsnitt(C1:C6)) vises i formellinjen.

Det er veldig nyttig å bruke denne funksjonen til regnskap, fakturaer, eller når du bare skal finne gjennomsnittet av et veldig langt tallområde. Derfor brukes det ofte på kontorer og store selskaper. Dette lar deg holde journalene i orden og gjør det mulig å raskt beregne noe (for eksempel gjennomsnittlig inntekt per måned). Du kan også bruke Excel til å finne gjennomsnittet av en funksjon.