Merkelig tiltrekker.

Systemtilnærming i geografi: fremvekst og strukturell isomorfisme.

Emergence (engelsk emergence - emergence, utseende av noe nytt) i systemteori er tilstedeværelsen av spesielle egenskaper i ethvert system som ikke er iboende i dets undersystemer og blokker, så vel som i summen av elementer som ikke er forbundet med spesielle systemdannende forbindelser ; irreduserbarhet av egenskapene til et system til summen av egenskapene til komponentene; synonym - "systemeffekt".

I biologi og økologi kan begrepet fremvekst uttrykkes som følger: ett tre er ikke en skog, en klynge av individuelle celler er ikke en organisme. For eksempel representerer ikke egenskapene til en biologisk art eller biologisk populasjon egenskapene til individuelle individer. begrepene fruktbarhet og dødelighet er ikke anvendelige for et individ, men gjelder for populasjonen eller arten som helhet.

I evolusjonsvitenskapen uttrykkes det som fremveksten av nytt funksjonelle enheter systemer som ikke kan reduseres til enkle omorganiseringer av eksisterende elementer.

I jordvitenskap: en ny egenskap ved jord er fruktbarhet.

I klassifiseringen av systemer kan fremveksten være grunnlaget for deres taksonomi som et kriterium for systemet.

ideen om strukturell isomorfisme - strukturens identitet uten identiteten til innholdselementer - som ble utbredt i geografi på slutten av 60-tallet - begynnelsen av 70-tallet. XX århundre på bakgrunn av seiersprosesjonen systematisk tilnærming. Muligheten for å bruke det samme konseptuelle og matematiske apparatet, for eksempel for å beskrive buktningen av en elv og endringen i ruten til en føderal motorvei i USA (i sistnevnte tilfelle er det også et gjennombrudd av særegne elveleier som oppstod på grunn av de mye høyere kostnadene for land nær den eksisterende motorveien - se boken V. Bunge) er svært nyttig i rent praktisk og attraktivt i teoretiske termer.

En av nøkkelideer utgitt i 1962 W. Bunges bok "Theoretical Geography" (russisk oversettelse publisert i 1967) var nettopp ideen om strukturell isomorfisme, forstått som identiteten til metoder for romlig organisering geografiske fenomener de fleste av ulik karakter, studerte som fysisk geografi, og sosioøkonomisk. Bunge lånte dristig ideer fra geomorfologi og brukte dem på beskrivelsen av sosio-geografiske fenomener. Det har blitt en læreboksammenligning mellom buktningen av en elv og endringen i ruten til en føderal motorvei, som også må overvinne "elvebunnsvoller." høye priser til bakken.

De vanligste modellene av denne typen bør betraktes som gravitasjons- og entropimodeller. Sistnevnte er også supplert med modeller utviklet innenfor rammen av innovasjonsspredningsteorien. Alle disse modellene er lån fra ulike grener av fysikken - det være seg klassisk mekanikk eller termodynamikk - for å bruke matematiske apparater, for eksempel til å modellere passasjerstrømmer mellom byer avhengig av deres demografiske masse. Det er klart at bruken av slike modeller krever deres kalibrering - valg av konstante verdier basert på det mest omfattende empiriske materialet som er mulig, og deres prediktive verdi på grunn av denne omstendigheten er ikke ubetinget.

Konseptet med en attraktor. Merkelige attraksjoner.

En attraktor (engelsk tiltrekke - å tiltrekke, tiltrekke) er et sett med tilstander (mer presist, punkter i faserom) til et dynamisk system, som det tenderer til over tid. Så de fleste enkle alternativer attraktor er et tiltrekkende fast punkt (for eksempel i problemet med en pendel med luftfriksjon) og en periodisk bane (for eksempel selveksiterte oscillasjoner i en krets med en positiv tilbakemelding), men det er også mye mer komplekse eksempler.

Det er ulike formaliseringer av begrepet aspirasjon, som fører til ulike definisjoner attraktor, som følgelig definerer potensielt forskjellige sett (ofte nestet i hverandre). De mest brukte definisjonene er den maksimale tiltrekkeren (ofte i det lille nabolaget, se nedenfor), Milnor-attraktoren og det ikke-vandrende settet.

Tiltrekkere er klassifisert i henhold til:

Formaliseringer av begrepet aspirasjon: skille mellom en maksimal attraktor, et ikke-vandrende sett, en Milnor-attraksjon, et Birkhoff-senter, en statistisk og en minimal attraktor.

Regelmessigheter for selve attraktoren: attraktorer er delt inn i vanlige (tiltrekkende fast punkt, tiltrekkende periodisk bane, manifold) og merkelige (uregelmessige - ofte fraktale og/eller i en eller annen seksjon arrangert som et Cantor-sett; dynamikken på dem er vanligvis kaotisk).

Lokalitet («attraherende sett») og globalitet (her betyr begrepet «minimal» «udelelig»).

Den synergetiske revolusjonen har ført til dyptgripende endringer i vitenskapelig verdensbilde først og fremst til konstitusjonen av den finalistiske (teleologiske) forklaringen som lik den kausale, som alene eksisterte i vitenskapen før skapelsen kvantemekanikk. Imidlertid påvirket sammenbruddet av kausalitet bare fenomenene i mikroverdenen, et område uendelig langt fra vårt. hverdagen. Den synergetiske revolusjonen førte til utvidelsen av finalistforklaringen til studiet av noen fenomener i mesoverdenen, dvs. verden vi lever i og som er tilgjengelig for vår hverdagsopplevelse. Samtidig er det veldig vanskelig for oss å venne oss til tanken om at forløpet til noen prosesser ikke bestemmes av startforholdene, dvs. årsaken, men den endelige tilstanden de streber etter. Denne endelige tilstanden kalles en attraktor i synergetikk - prosessens attraksjonsområde.

En aktiv diskusjon av finalistideene som kom fra biologi og kosmologi gjorde det mulig å endre det intellektuelle klimaet i geografien, å rokke ved synet på årsaksforklaring som det eneste mulige innen vitenskap generelt og i geografi spesielt. Denne endringen i det intellektuelle klimaet forberedte veien for gjennomtrengningen av ideene om synergetikk, inkludert ideen om en attraktor - prosessens attraksjonsområde. Tilbake på 60-tallet av det tjuende århundre. Ideen om cofinality (equifinality) i utviklingen av gigantiske byer har blitt utbredt - disse byene viser usammenlignelig flere likheter med hverandre enn de små og mellomstore byene de vokste fra. Analyse av utviklingen av transportnettverk ved hjelp av metodene for grafteori eller analyse av utviklingen av urbane bosetningssystemer ved bruk av metodene til teorien om sentrale steder er også eksempler på problemer av nettopp den klassen der de mest fruktbare ideene handler om bestemmelse av prosessen ved den endelige tilstanden, og ikke startbetingelsene, om dens ønske om en attraktor, som er et ideelt objekt for vitenskapelig teori. Og hvis en attraktor er uoppnåelig, betyr ikke dette i det hele tatt at den ikke eksisterer.

Betydningen for geografi av teoretiske konstruksjoner som potensielle former som bestemmer utviklingsretningen til individuelle organismer og evolusjon biologiske arter, eller endelig symmetri er veldig stor og den gikk ikke upåaktet hen. Analogien med katalogen over former for stabil territoriell organisering av stater, som faktisk ble utviklet av V.P. Semenov-Tyan-Shansky, og tidligere enn L.S. Berg publiserte sitt berømte verk om nomogenese, er så åpenbar at det ikke krever ytterligere argumentasjon. Du bør fokusere på mindre åpenbare ideer. Dette er for det første ideer om cofinality (equifinality) i utviklingen av gigantiske byer, fremsatt av P. Haggett tilbake på 60-tallet. Byer av denne klassen viser uforlignelig større likheter med hverandre enn de små byene de vokste fra. De samme trendene kan spores i utviklingen av bysystemer. Systemer av sentrale steder (en by forstås som et sentralt sted fordi den tjener ikke bare befolkningen, men også befolkningen i sonen, jo større jo høyere nivå av hierarki den tilhører) tenderer også i utviklingen til en viss likevektstilstand, den såkalte . isostatisk likevekt, som fungerer i forhold til dem som en attraktor - et attraksjonsområde for prosessen

Et eksempel på en usedvanlig fruktbar anvendelse av både apparatet for ikke-lineær dynamikk og dets ideologiske prinsipper var utviklingen av den fenomenologiske teorien om veksten av jordens befolkning av S.P. Kapitsa, som gjør det mulig å lage både langsiktige og retrospektive prognoser og ble vellykket sammenlignet med den empiriske virkeligheten ved hjelp av sistnevnte. Den viktigste konklusjonen i ideologiske termer er at veksten av jordens befolkning aldri har vært regulert av virkningen av ytre faktorer, men alltid av ukjente interne lover. Denne posisjonen ble formalisert av skaperen av teorien som prinsippet om demografisk imperativ.

Den grunnleggende vanskeligheten er at alle teoriene vi har i vårt arsenal er utviklet for å beskrive prosesser i et "økonomisk" samfunn, er basert på en urokkelig tro på økonomisk likevekt som en tiltrekker av alle prosesser som skjer i økonomien, og vi har en tendens til å vurdere sosiale katastrofer som ytre forstyrrelser som fører systemet fra en tilstand av likevekt, som det fortsatt streber etter å vende tilbake til ved første anledning. I mellomtiden, innen økonomisk vitenskap selv, tvil om økonomisk balanse som den "naturlige" eller "normale" tilstanden til økonomien. De kommer spesielt til uttrykk ved slike innflytelsesrik økonom og sosiolog som M. Castells. Avhandlingen hans er at i et informasjonssamfunn (også kjent som "post-økonomisk") økonomiske prosesser har ikke bare en annen natur, men også en annen orientering. Etter hans mening, den territorielle organisasjonen informasjonssamfunnet, herunder organiseringen av bosettingen, vil gjennomgå de vesentligste endringene i forhold til industrisamfunnet.

Som et resultat vil geografer måtte takle uforlignelig mer komplekse oppgaver enn de de møtte før: se ikke bare etter tiltrekkere, dvs. attraksjonsområder for prosessene som studeres, og merkelige attraksjoner, som er komplekse ikke-periodiske løsninger. En slik oppgave kan neppe løses av geografer selv alene, uten samarbeid med fysikere og matematikere, i hvert fall før en generasjon geografer vokser opp, som vil beherske synergetikkens matematiske apparat fra studietiden. Vår oppgave er å skape konseptuelle rammeverk for et slikt samarbeid, etter å ha utviklet operasjonsteorier som gjør det mulig å anvende først det konseptuelle og deretter det matematiske apparatet til synergetikk på deres utvikling.

Vanligvis sier de det kaos er mer høy form orden er det imidlertid mer riktig å betrakte kaos som en annen form for orden - uunngåelig i ethvert dynamisk system blir orden i vanlig forstand fulgt av kaos, og kaos blir fulgt av orden. Hvis vi definerer kaos som uorden, så vil vi i en slik uorden definitivt kunne se vår egen spesielle form for orden.

For eksempel sigarettrøyk stiger først i en ryddig kolonne under påvirkning ytre miljø får stadig mer bisarre former, og bevegelsene hans blir kaotiske. Et annet eksempel på kaos i naturen - blad fra hvilket som helst tre. Det kan hevdes at du finner mange like ark, for eksempel eik, men ikke et eneste par identiske bokstaver. Forskjellen bestemmes av temperatur, vind, fuktighet og mange andre eksterne faktorer enn ren interne årsaker(for eksempel genetisk forskjell).

Kaosteori

Bevegelsen fra orden til kaos og tilbake, er tilsynelatende essensen av universet, vi har ikke studert faktorene som bidrar til dets manifestasjon. Selv i menneskehjernen er det både orden og kaos på samme tid.

Den første tilsvarer venstre hjernehalvdel, og den andre til høyre. Venstre hjernehalvdel er ansvarlig for bevisst oppførsel person, for produksjon lineære regler og strategier i menneskelig atferd, hvor «hvis... da...» er klart definert. I høyre hjernehalvdel hersker ikke-linearitet og kaos. Intuisjon er en av manifestasjonene av høyre hjernehalvdel.

Kaosteori studerer rekkefølgen til et kaotisk system som fremstår tilfeldig og uordnet. Samtidig bidrar kaosteori til å bygge en modell av et slikt system, uten å sette oppgaven med å nøyaktig forutsi oppførselen til et kaotisk system i fremtiden.

Historie om kaosteori

De første elementene i kaosteori dukket opp på 1800-tallet, men denne teorien fikk reell vitenskapelig utvikling i andre halvdel av 1900-tallet, sammen med verkene Edward Lorenz(Edward Lorenz) fra Massachusetts Institutt for teknologi og den fransk-amerikanske matematikeren Benoit B. Mandelbrot.

Edward Lorenz så på en gang (begynnelsen av 60-tallet av det 20. århundre, arbeid publisert i 1963) på vanskelighetene med værvarsling.

Før Lorenz sitt arbeid var det to rådende meninger i vitenskapens verden angående muligheten for nøyaktig å varsle vær i en uendelig lang periode.

Første tilnærming formulert tilbake i 1776 fransk matematiker Pierre Simon Laplace. Laplace uttalte at "... hvis vi forestiller oss et sinn som på et gitt øyeblikk forstår alle forbindelsene mellom objekter i universet, så vil det være i stand til å fastslå de tilsvarende posisjonene, bevegelsene og de generelle effektene av alle disse objektene til enhver tid i fortiden eller i fortiden i fremtiden."

Denne tilnærmingen var veldig lik kjente ord Arkimedes: "Gi meg et støttepunkt, og jeg vil forandre hele verden." Dermed sa Laplace og hans støttespillere at for å forutsi været nøyaktig, er det bare nødvendig å samle inn mer informasjon om alle partiklene i universet, deres plassering, hastighet, masse, bevegelsesretning, akselerasjon, etc. Laplace mente at jo mer en person vet, jo mer nøyaktig vil prognosen hans om fremtiden være.

Andre tilnærming muligheten for værvarsling ble tydeligst formulert før noen andre av en annen fransk matematiker, Jules Henri Poincaré. I 1903 sa han: "Hvis vi visste nøyaktig naturlovene og universets posisjon i startøyeblikk, kunne vi nøyaktig forutsi posisjonen til det samme universet i et påfølgende øyeblikk.

Men selv om naturlovene avslørte alle sine hemmeligheter for oss, selv da kunne vi bare vite startposisjonen omtrentlig. Hvis dette gjorde oss i stand til å forutsi den påfølgende situasjonen til samme tilnærming, ville det være alt vi trengte, og vi kunne si at fenomenet var forutsagt, at det var styrt av lover.

Men det skjer kanskje ikke alltid at små forskjeller i startforholdene forårsaker veldig store forskjeller i sluttfenomenet. En liten feil i førstnevnte vil produsere en stor feil i sistnevnte. Forutsigelse blir umulig, og vi har å gjøre med et fenomen som utvikler seg ved en tilfeldighet."

I disse ordene til Poincaré finner vi kaosteoriens postulat om avhengighet av innledende forhold. Den påfølgende utviklingen av vitenskap, spesielt kvantemekanikk, tilbakeviste Laplaces determinisme. I 1927, en tysk fysiker Werner Heisenberg oppdaget og formulert usikkerhetsprinsippet.

Dette prinsippet forklarer hvorfor noen tilfeldige fenomener ikke adlyder Laplacian determinisme. Heisenberg demonstrerte usikkerhetsprinsippet ved å bruke et eksempel radioaktivt forfall kjerner. På grunn av den svært lille størrelsen på kjernen, er det derfor umulig å vite alle prosessene som skjer inne i den. Derfor, uansett hvor mye informasjon vi samler om kjernen, er det umulig å forutsi nøyaktig når denne kjernen vil forfalle.

Kaosteoriverktøy

Hvilke verktøy har kaosteorien? Først av alt er dette attraktorer og fraktaler.

En attraktor (fra engelsk To attract) er en geometrisk struktur som karakteriserer atferd i faserom på slutten av lang tid.

Det vil si tiltrekker– det er dette systemet streber etter å oppnå, det det tiltrekkes av.

Den enkleste typen attraktor er et punkt. En slik attraktor er karakteristisk for en pendel i nærvær av friksjon. Uansett starthastighet og posisjon vil en slik pendel alltid komme til ro, dvs. til poenget.

Den neste typen attraktor er en grensesyklus, som har form av en lukket buet linje. Et eksempel på en slik attraktor er en pendel, som ikke påvirkes av friksjon. Et annet eksempel på en grensesyklus er hjerteslag. Slagfrekvensen kan avta og øke, men den har alltid en tendens til sin attraktor, sin lukkede kurve.

Den tredje typen attraktor er en torus. I figur 1 er torusen vist i øvre høyre hjørne.

Figur 1 - Hovedtyper av attraktorer

Vist ovenfor er tre forutsigbare, enkle attraksjoner. Nedenfor er tre kaotiske attraksjoner.

Til tross for kompleksiteten i oppførselen til kaotiske attraktorer, noen ganger kalt rare attraktorer, lar kunnskap om faserom oss representere oppførselen til systemet i geometrisk form og forutsi det deretter. Og selv om det er praktisk talt umulig for systemet å forbli på et spesifikt punkt i faserommet på et bestemt tidspunkt, er området der objektet befinner seg og dets tendens mot attraktoren forutsigbare.

Lorentz-attraksjon

Den første kaotiske attraksjonen var Lorentz-attraksjonen.

Figur 2 — Kaotisk Lorenz-attraksjon

Lorentz-attraksjon beregnet på grunnlag av kun tre frihetsgrader - tre ordinære differensialligninger, tre konstanter og tre startbetingelser. Til tross for sin enkelhet, oppfører Lorentz-systemet seg på en pseudo-tilfeldig (kaotisk) måte.

Etter å ha simulert systemet sitt på en datamaskin, identifiserte Lorenz årsaken til dets kaotiske oppførsel - forskjellen i de opprinnelige forholdene. Selv et mikroskopisk avvik av to systemer helt i begynnelsen av evolusjonsprosessen førte til en eksponentiell opphopning av feil og følgelig deres stokastiske uenighet.

Samtidig har enhver attraktor grensedimensjoner, så den eksponentielle divergensen til to baner ulike systemer kan ikke fortsette i det uendelige. Før eller senere vil banene konvergere igjen og passere ved siden av hverandre eller til og med falle sammen, selv om sistnevnte er svært usannsynlig. Forresten, sammentreffet av baner er en oppførselsregel for enkle forutsigbare attraksjoner.

Konvergens-divergens(de sier også henholdsvis komponering og trekking) av en kaotisk attraktor eliminerer systematisk den første informasjonen og erstatter den med en ny. Når banene beveger seg nærmere hverandre, begynner nærsynthetseffekten å dukke opp – usikkerheten til storskala informasjon øker. Når baner divergerer, tvert imot, divergerer de og effekten av langsynthet viser seg når usikkerheten til småskala informasjon øker.

Som et resultat av den konstante konvergens-divergensen til en kaotisk attraktor, øker usikkerheten raskt, noe som for hvert øyeblikk frarøver oss muligheten til å lage nøyaktige prognoser. Det vitenskapen er så stolt av – evnen til å etablere sammenhenger mellom årsaker og virkninger – er umulig i kaotiske systemer. Det er ingen årsak-virkning-forhold mellom fortid og fremtid i kaos.

Det skal her bemerkes at hastigheten for konvergens-divergens er et mål på kaos, dvs. et numerisk uttrykk for hvor kaotisk systemet er. Et annet statistisk mål på kaos er dimensjonen til attraktoren.

MERKelig ATTRAKTOR

Et attraktivt sett med ustabile baner i faserommet til en dissipativ dynamisk system. S. a., i motsetning til en attraktor, er ikke en manifold (det vil si at den ikke er en kurve eller overflate); hans geom. enheten er veldig kompleks, og strukturen er fraktal (se. fraktaler). Det var derfor han fikk navnet. "rart" [D. Ruelle (D.Ruelle), F. Takens (F. Takens)]. Det faktum at alle baner som ligger i nærheten av SA tiltrekkes av den på , er grunnleggende relatert til naturen til ustabilitetene til dens konstituerende baner (bifurkasjon, grensesyklus). BanerS. EN. beskrive stasjonær stokastikk. selvsvingninger, støttet i et dissipativt system på grunn av ekstern energi. kilde. S. a. bare karakteristisk for selvsvingninger. systemer, hvis dimensjon av faserommet er mer enn to (fig. 1). Det første systemet studert med S. a.- Lorentz system- tredimensjonale.

Ris. 1. Merkelig tiltrekker i et system beskrevet av ligninger av typen (1).

Systemer med periodisk selvsvingninger, matematikk. Bildet som er en grensesyklus kan studeres ganske fullt ved hjelp av metoder for den kvalitative teorien om differensialer. ur. Konstruksjon av teorien stokastiske svingninger, som spesielt består i å bestemme (forutsi) egenskapene til egenskapene til S. a. i henhold til de gitte parametrene til systemet er det ekstremt vanskelig selv for tredimensjonale systemer. En lignende konstruksjon kan imidlertid utføres, Eksempel. Akkurat som van der Pol-generatoren er den enkleste kanoniske. eksempel på et system som viser periodisitet. selvsvingninger, skjema 2a og definering av en noe komplisert Van der Pol-generator, kan tjene som et av de enkleste eksemplene på stokastiske generatorer. b. Mens gjeldende jeg i kretsen og nettspenningen . er små, har tunneldioden ingen effekt. innflytelse på oscillasjonene i kretsen, og de, som i en konvensjonell rørgenerator, øker. I dette tilfellet flyter strømmen gjennom tunneldioden jeg, og spenningen over den bestemmes av grenen til karakteristikken I(V). Når er strømmen jeg når verdien jeg t, nesten øyeblikkelig svitsjing av tunneldioden skjer (svitsjehastighet er forbundet med den lille kapasiteten C 1) - spenningen settes brått Vm. Da avtar strømmen gjennom tunneldioden og den skifter tilbake fra seksjon til. Som et resultat av to omkoblinger absorberer tunneldioden nesten fullstendig energien som kommer inn i kretsen og svingningene begynner å øke igjen. (Når man vurderer driften av kretsen, kan karakteristikken til lampen betraktes som lineær; dette rettferdiggjøres av det faktum at i den modusen som er av interesse for oss, er oscillasjonene begrenset av den ikke-lineære karakteristikken til tunneldioden.) det genererte signalet U(t) er en sekvens av tog med økende svingninger; slutten av hvert tog er preget av et spenningshopp V(t).

Ris. 2. Skjematisk diagram(EN) enkel generator Van der Pol støygenerator, i nettkretsen som en tunneldiode er lagt til. Strømspenningskarakteristikk (b) for et ikke-lineært element - en tunneldiode.

For en kvantitativ beskrivelse av driften av kretsen, de innledende ligningene

konvertert til dimensjonsløs form:

Hvor x = I/I m, z= V/V m ,

- normalisert karakteristikk av dioden. Her er en liten parameter Derfor er alle bevegelser i faserommet (fig. 3).

Ris. 3. Atferd av baner i faserommet til system (1) kl

kan brytes ned i rask diodebytte (direkte x = konst, y = const) og sakte, der spenningen på dioden "følger" strømmen; de tilsvarende banene ligger på overflatene EN Og B[x = f(z), f"(z) >0], tilsvarende områdene og egenskapene til dioden.

Systemet har en ustabil [ved] likevektstilstand x = y = z= 0 saltype. Baner liggende på overflaten EN, snurre rundt et ustabilt fokus og nå til slutt kanten av overflaten EN. Her er det en forstyrrelse av et punkt som viser systemets tilstand på fasebanen (det såkalte representasjonspunktet) langs linjen med raske bevegelser til overflaten I. Går gjennom I, det representerende punktet faller tilbake til overflaten EN og faller i nærheten av likevektstilstanden - et nytt tog av økende svingninger begynner. Poincaré-kartet som tilsvarer ligning (1), stykkevis, kan beskrives med en kontinuerlig funksjon, hvis graf er vist i fig. 5. Lineært snitt I med koeffisient. en helningsvinkel større enn én beskriver avviklingen av banen på overflaten langsomme bevegelser EN, tilsvarende økningen i svingninger i kretsen. Del II beskriver stadiet for å returnere baner A til overflaten I, tilbake til EN(se fig. 3). Alle baner som ligger utenfor bunnen av firkanten indikert med den stiplede linjen går inn i den med asymptotisk store tidsverdier, dvs. regionen D- absorberende og inneholder en attraktor. Alle baner innenfor denne regionen er ustabile, dvs. attraktoren er merkelig. egenskapene til stokastiske bevegelser (som vist ved numeriske studier) er bevart.

Ris. 4. Effektspekteret til signalet generert av kretsen vist i fig. 2a, og et oscillogram av dette signalet.

Ris. 5. Graf over funksjonen f(x) som beskriver dynamikken til kretsen i fig. 2 kl.

Fraktal dimensjon. Alle de forskjellige statistiske egenskapene til et tilfeldig signal generert av en dynamikk system med S. a., kan beskrives dersom sannsynlighetsfordelingen til systemtilstandene er kjent. Imidlertid er det ekstremt vanskelig å oppnå (og bruke) denne fordelingen for spesifikke systemer med et sannsynlighetsmål (om bare fordi distribusjonstettheten til et invariant sannsynlighetsmål alltid er entall). Dette er en av grunnene til kuttet for å beskrive S. a.

hvor , en bestemt fast parameter, er et tall n-dimensjonale kuler med diameter som dekker S. a. dynamisk systemer med n-dimensjonalt faserom.

Dimensjonen bestemt i henhold til ligning (2) Med kan åpenbart ikke n, men kan være mindre n(n-dimensjonale kuler kan vise seg å være nesten tomme). For "vanlige" sett gir ligning (2) åpenbare resultater. Så for mange av k poeng,; for et lengdesegment L rett lilje,;for et stykke firkant S todimensjonal overflate osv. Ulikhet mellom dimensjon til et heltall tilsvarer en kompleks geom. 2.6).

Med fysisk synspunkt, hoved "verdighet" til den fraktale dimensjonen til S. a. og antall frihetsgrader ha har formen:

Bifurkasjoner merkelige attraksjoner. Veier for stokastisk fødsel. Feigenbaum manus - kjede bifurkasjoner dobling av perioden for en stabil grensesyklus. Hvis, når du endrer kontrollparameteren, den periodiske I n-dimensjonalt faserom bestemmes oppførselen til banene til Poincaré-kartet i nærheten av perioden fordobling av grensesyklusen som gjennomgår bifurkasjon av funksjonen, for eksempel, f(x), Grafen ligner på en parabel. Denne funksjonen beskriver forholdet mellom koordinater i retning av sine egne. underrom til lineariseringsoperatøren til Poincaré-kartet som tilsvarer multiplikatoren (-1) ( j+ 1)-goi av de j-te skjæringspunktene til Poincaré sekantsystemet etter banen: x j+1= f(x j). Den resulterende stabile grensesyklusen av en dobbel periode tilsvarer en to-perioders syklus. vise banen f.Med ytterligere endringer i bifurkasjonsparameteren gjentas doblingen av perioden på ubestemt tid, og bifurkasjonen. verdier, for eksempel, akkumuleres til kritiske. punkt som tilsvarer fremveksten av S. a. I samsvar med Feigenbaums scenario er det en universell (uavhengig av spesifikt system) lov

hvor = 4,6692... er den universelle Feigenbaum-konstanten (se. Feigenbaum universalitet).

Født S. a. når løst, flere svar. intervaller på aksen X; områdene mellom disse intervallene inneholder baner som er tiltrukket av attraktoren, samt 2 m-periodisk(i forhold til visning f), ustabile grensesykluser som starter fra noen m 0 og mindre. Når parameteren øker, øker hastigheten som banene divergerer med på nordgangen. øker, og den "svulmer", og absorberer suksessivt ustabile grensesykluser av perioder 2 t+1,2 t, ... I dette tilfellet er antall segmenter som tilsvarer attraktoren

Ris. 6. "Reverse bifurkasjoner" av periodedobling, som illustrerer hevelsen av attraktoren som oppsto i henhold til Feigenbaums scenario.

Intermittens. I flertall systemer når en kontrollparameter (for eksempel) passerer gjennom en bifurkasjon. verdiovergang til stokastisk. selvsvingninger er eksternt realisert som et sjeldent brudd på vanlige "stokastiske" svingninger. sprekker." I dette tilfellet er varigheten av den laminære (regulære) fasen lengre, jo lavere superkritikk Med en økning i superkritikk avtar varigheten av den regulære fasen. Dette bildet tolkes av følgende utvikling av hovedbildet. gjenstander i faserommet, "merker" de at den gamle attraktoren har forsvunnet, og forblir nær separatrixen (også forsvunnet) i salgrensesyklusen, går de til en annen del av faserommet. Hvis i subkritisk regionen var systemet globalt stabilt (dvs. det var bare ett tiltrekkende objekt), så faller disse banene etter en tid igjen i nærheten av den forsvunne grensesyklusen. Hvis samtidig i subkritisk. Utvalget av verdier for parameterne til separatrisen til salsyklusen var innebygd i faserommet til en ganske kompleks geom. måte (dannet et uendelig antall folder - "korrugert", inneholdt heterokliniske baner for andre salsykluser, etc.), det vil si at overgangsprosessen viste uregelmessig oppførsel, da vil tidspunktet for å komme inn i nærheten av den forsvunne syklusen allerede være tilfeldig variabel. Deretter gjentas den laminære fasen I tillegg til disse hovedmåtene for forekomst av S. a. Ganske ofte er det også overganger til kaotisk. selvsvingninger gjennom ødeleggelse av kvasiperiodiske (i faserom, når kontrollparametrene endres, mister den tiltrekkende todimensjonale torusen jevnhet og kollapser) og kombinerte scenarier.

Flerdimensjonal merkelige attraksjoner ofte funnet i systemer med et stort antall frihetsgrader. Blant de mulige mekanismene, Turbulens).

Litt.: 1) Rabinovich M.I., Trubetskov D.I., Introduction to theory of oscillations and waves, M., 1984; 2) Lichtenberg A., Liberman M., Regular isochastic dynamics, trans. fra English, M., 1984; 3) Afraimovich V.S., Reiman A. M., Dimensjon og entropi i flerdimensjonale systemer, i boken: Ikke-lineære bølger. Dynamikk og evolusjon, red. A. V. Gaponova-Grekhov, M. I. Rabinovich, V. S. Afraimovich, M.

- vandrende, i et fremmed land...
Kortfattet kirkeslavisk ordbok
- se Synergetics...
Stor psykologisk leksikon
- merkelig st.-slav. merkelig ξένος. Fra tidligere...
Etymologisk ordbok Vasmera
- Lån fra gammelkirkeslavisk, hvor det er dannet fra land, som på gammelrussisk hadde betydningen "fremmed land, fremmede mennesker" ...
Etymologisk ordbok for det russiske språket av Krylov
- A/C pr se _Vedlegg II land merkelig merkelig merkelig fremmed enn 259 cm _Vedlegg II - Hvorfor snakker du så ugunstig om ham? Er det fordi vi rastløst buster og dømmer alt...>...
Ordbok med russiske aksenter
- cr.f. str/nen, strana/, str/no, str/nny...
Staveordbok for det russiske språket
- RART, å, å; -anen, -anna, -anno. Uvanlig, uforståelig, forårsaker forvirring. C. karakter. S. spp. Oppførselen hans er merkelig for meg. Det er rart at han ikke ringer...
Ordbok Ozhegova
- RART, rart, rart; rart, rart, rart. 1. Uvanlig, vanskelig å forklare, forårsaker forvirring. Merkelig måte å snakke på. Rare utseende. "De stille møtene var merkelige ...
Ushakovs forklarende ordbok
Forklarende ordbok av Efremova
- merkelig jeg adj. Uvanlig, forårsaker forvirring. II adj. foreldet På vei; vandrende, merkelig...
Forklarende ordbok av Efremova
- merkelig adj., brukt. veldig ofte Morfologi: rart, rart, rart, rart; rarere; adv. merkelig 1...
Dmitrievs forklarende ordbok
- merkelig kortform - "anen, -ann"a, -"...
Russisk rettskrivningsordbok
- Låne. fra Art.-Sl. språk Suf. avledet fra land i betydningen "fremmed land, folk", på annet russisk. språk denne betydningen er fortsatt kjent. Til å begynne med - "fremmed", "fremmed", deretter - "ekstraordinært, uforståelig, ..."
Etymologisk ordbok for det russiske språket
- @font-face (font-family: "ChurchArial"; src: url;) span (font-size:17px;font-weight:normal !important; font-family: "ChurchArial",Arial,Serif;)   adj. - vandrer, vandrer; outsider, fremmed; utrolig...
Ordbok for kirkeslavisk språk
- ...
Ordformer
- punktum...
Ordbok for synonymer

"STRANG ATTRACTOR" i bøker

Merkelig smak

forfatter

Merkelig smak

Fra boken Little Mountain Workers [Maur] forfatter Marikovsky Pavel Iustinovich

Merkelig smak Men bør du prøve å holde et reir av gul lasius i fangenskap? På senhøsten henger jeg stykker bomullsull på buskene nær flere reir. Og når vinteren kommer, går vi på ski for å finne innbyggerne i underjordiske boliger. Vi måker raskt snøen til side og graver ut

Merkelig reservat

Fra boken Mine reiser. Neste 10 år forfatter Konyukhov Fedor Filippovich

Merkelig reserve 24. april 2002. Atsan-Khuduk (Kalmykia, Yashkul-distriktet) – Tee (Kalmykia, Yashkul-distriktet) – 31 km Caravan på territoriet til Black Lands-reservatet. Det dekker tre regioner i Russland - republikken Kalmykia, Astrakhan-regionen og republikken

MERKELIG HUS

Fra boken Den røde djevelen forfatter Demin Mikhail

RARE HUS Forlatt alene la jeg papirene på bordet. Han satte seg ned og tente en sigarett. Og jeg begynte å tenke på at jeg gikk gjennom dagens hendelser i minnet mitt, og prøvde å forstå dem. Og plutselig, av en eller annen ukjent grunn, dukket et barndomsvisjon opp foran meg. Jeg etterlyste ikke dette minnet, det kom av seg selv... Minnet vårt er som

Merkelig drøm

Fra boken General Dima. Karriere. Fengsel. Kjærlighet forfatter Yakubovskaya Irina Pavlovna

Merkelig drøm...jeg kommer aldri til å glemme denne drømmen. Jeg drømte om ham 13. mars, fra torsdag til fredag. Det var som om Dima var på hytten, og jeg var alene hjemme. Jeg ville plutselig overraske ham - for å glede ham med min uventede ankomst. Da jeg nærmet meg dachaen, så jeg sterkt opplyst

MERKENDE VERDEN

Fra boken This Is My Age forfatter Shakhovskaya Zinaida Alekseevna

STRANGE WORLD Mine herrer, showet er over. Dyd, tilgi meg, last blir straffet, men dyd... Men hvor er det

OBJEKT SOM EN MERKLIG ATTRAKTØR

Fra boken Transparency of Evil av Baudrillard Jean

OBJEKTET SOM EN UNDERLIG ATTRAKTØR Til syvende og sist er bildene av alt som er fremmed for oss nedfelt i et enkelt bilde - i bildet av Objektet. Objektets ubønnhørlighet og irredentisme er det eneste som gjenstår Selv på vitenskapens horisont fremstår objektet som stadig mer unnvikende.

Hva er "den store attraksjonen"?

Fra boken 100 Great Mysteries of Astronomy forfatter Volkov Alexander Viktorovich

Hva er "den store attraksjonen"? Fram til begynnelsen av det tjuende århundre ble vår galakse ansett som et unikt objekt. I dag vet vi at i den delen av universet som er tilgjengelig for vår observasjon, er det kanskje minst 125 milliarder galakser. Hver av dem inneholder milliarder eller billioner

Den store attraksjonen, eller superattraksjonen

Fra boken 100 store mysterier i universet forfatter Bernatsky Anatoly

The Great Attractor, eller superattraksjon På begynnelsen av det siste tiåret av forrige århundre oppdaget astronomer at galakser sprer seg i verdensrommet ikke individuelt, men i enorme klynger, som fugleflokker under trekk. Så, Melkeveien sammen med

"rar" gave

Fra boken Uskyldig lesing forfatter Kostyrko Sergey Pavlovich

"Rare" gave Sergei Dovlatov. "Tale uten grunn ... eller redaktørspalter." M.: Makhaon, 2006. Til tross for all åpenbarheten av Sergei Dovlatovs litterære gave, er denne gaven merkelig. Kritikeren Eliseev, for å analysere en av historiene hans, ble tvunget til å trekke på konteksten, hverken mer eller mindre.

MERKENDE HUND

Fra boken The Restless Nosir av Ortykov Bolta

STRANGE DOG Landsbyen vår Chinor ligger ved foten av høye fjell. "Chinor" betyr "platantre" på tadsjikisk. Landsbyen ble kalt slik, sannsynligvis, fordi i sentrum, ved siden av kollektivgårdens hovedkvarter, vokser et høyt, tett platantre. Hun kan sees langt, langt borte! I skyggen av platantreet er det et tehus og

Hangover-attraksjon

Fra boken Kritikk av uren fornuft forfatter Silaev Alexander Yurievich

Hangover attractor Prosessen med å vende tilbake til seg selv fra en bakrus er interessant: funksjonen til tenkning og beslutningstaking gjenopprettes først, deretter skriving, og først deretter lesing (skriving er allerede normalt, men lesing er bortkastet). Men dette er for meg personlig. Betyr dette noe, eller så og det banale: i så fall?

1. Merkelig verden

Fra boken Faulkner - An Essay on Creativity forfatter Anastasyev Nikolay Arkadevich

1. Merkelig verden Når du åpner nesten hvilken som helst av Faulkners romaner, føler du umiddelbart at du har funnet deg selv i et stort, betydningsfullt, rikt land, i et land som lever et ekstremt intenst liv, et land hvis problemer er av eksepsjonell betydning, men å dechiffrere lovene i dette

"Jeg er rar, rar"

Fra boken Levende tradisjon fra det 20. århundre. Om vår tids helgener og asketer forfatter Nikiforova Alexandra Yurievna

"Merke meg, rart" Zurab Varazi: Noen dager før far Gabriels død bestemte jeg meg for å ta blod fra ham for tester. Da jeg spurte ham om dette, svarte presten: "Hvorfor trenger du blod?" Jeg forklarte at det var nødvendig å sjekke hemoglobin, leverfunksjon osv. «Nei

Fremmed

Fra boken Generalens datter forfatter Petrov Alexander Petrovich

Den merkelige gamle kvinnen Kharina fanget Natasha. Det var det hun selv annonserte. Natasha hjalp barnepiken med husarbeidet og lyttet til den gamle kvinnen, som ikke kunne si nok «endelig». Sergei spikret noe et sted, rettet det opp og satte kursen mot tinningen. Han lukket bare porten bak seg.

MERKelig ATTRAKTOR

Tiltrekker ustabile baner i dissipativt faserom dynamisk system. S. a., i motsetning til en attraktor, er ikke en manifold (det vil si at den ikke er en kurve eller overflate); hans geom. enheten er veldig kompleks, og strukturen er fraktal (se. fraktaler). Det var derfor han fikk navnet. "rart" [D. Ruelle (D.Ruelle), F. Takens (F. Takens)]. Det faktum at alle baner som ligger i nærheten av SA tiltrekkes av den på , er grunnleggende relatert til naturen til ustabilitetene til dens konstituerende baner (bifurkasjon, grensesyklus). BanerS. EN. beskrive stasjonær stokastikk. selvsvingninger, støttet i et dissipativt system på grunn av ekstern energi. kilde. S. a. bare karakteristisk for selvsvingninger. systemer, hvis faserom er mer enn to (fig. 1). Det første systemet studert med S. a.- Lorentz system- tredimensjonale.

Ris. 1. En merkelig attraktor i et system beskrevet av ligninger av typen (1).

Systemer med periodisk selvsvingninger, matematikk. Bildet som er en grensesyklus kan studeres ganske fullt ved hjelp av metoder for den kvalitative teorien om differensialer. ur. Konstruksjon av teorien stokastiske svingninger, som spesielt består i å bestemme (forutsi) egenskapene til egenskapene til S. a. i henhold til de gitte parametrene til systemet er det ekstremt vanskelig selv for tredimensjonale systemer. En lignende konstruksjon kan imidlertid utføres, Eksempel. Akkurat som van der Pol-generatoren er den enkleste kanoniske. eksempel på et system som viser periodisk , diagram 2a og definere en noe komplisert Van der Pol-generator, kan tjene som et av de enkleste eksemplene på stokastiske generatorer. b. Ha det jeg i omrisset og på rutenettet . er små, har tunneldioden ingen effekt. påvirkninger på kretsen, og de, som i en konvensjonell rørgenerator, øker. Samtidig går det strøm gjennom tunneldioden jeg, og spenningen over den bestemmes av grenen til karakteristikken I(V). Når er strømmen jeg når verdien jeg t, nesten øyeblikkelig svitsjing av tunneldioden skjer (svitsjehastighet er forbundet med den lille kapasiteten C 1) - spenningen settes brått Vm. Da avtar strømmen gjennom tunneldioden og den skifter tilbake fra seksjon til. Som et resultat av to omkoblinger absorberer tunneldioden nesten fullstendig energien som kommer inn i kretsen og svingningene begynner å øke igjen. (Når man vurderer driften av kretsen, kan karakteristikken til lampen betraktes som lineær; dette rettferdiggjøres av det faktum at i den modusen som er av interesse for oss, er oscillasjonene begrenset av den ikke-lineære karakteristikken til tunneldioden.) det genererte U(t) er en sekvens av tog med økende svingninger; slutten av hvert tog er preget av et spenningshopp V(t).

Ris. 2. Skjematisk diagram (a) av en enkel støygenerator - en Van der Pol-oscillator, i nettkretsen som en tunneldiode er lagt til. Strømspenningskarakteristikk (b) for et ikke-lineært element - en tunneldiode.

For en kvantitativ beskrivelse av driften av kretsen, de innledende ligningene

konvertert til dimensjonsløs form:

Hvor x = I/I m, z= V/V m ,

- normalisert karakteristikk av dioden. Her er en liten parameter Derfor er alle bevegelser i faserommet (fig. 3).

Ris. 3. Atferd av baner i faserommet til system (1) kl

Systemet har en ustabil [ved] likevektstilstand x = y = z= 0 saltype. Baner liggende på overflaten EN, snurre rundt et ustabilt fokus og nå til slutt kanten av overflaten EN. Her er det en forstyrrelse av et punkt som viser på fasebanen tilstanden til systemet (det såkalte representasjonspunktet) langs linjen med raske bevegelser på I. Går gjennom I, det representerende punktet faller tilbake til overflaten EN og faller i nærheten av likevekt - et nytt tog av økende svingninger begynner. Poincaré-kartet som tilsvarer ligning (1), stykkevis, kan beskrives med en kontinuerlig funksjon, hvis graf er vist i fig. 5. Lineært snitt I med koeffisient. en helningsvinkel større enn én beskriver avviklingen av banen på overflaten av langsomme bevegelser EN, tilsvarende økningen i svingninger i kretsen. Del II beskriver stadiet for å returnere baner A til overflaten I, tilbake til EN(se fig. 3). Alle baner som ligger utenfor bunnen av firkanten indikert med den stiplede linjen går inn i den med asymptotisk store tidsverdier, dvs. regionen D- absorberende og inneholder en attraktor. Alle baner innenfor denne regionen er ustabile, dvs. attraktoren er merkelig. egenskapene til stokastiske bevegelser (som vist ved numeriske studier) er bevart.

Ris. 4. Effektspekteret til signalet generert av kretsen vist i fig. 2a, og et oscillogram av dette signalet.

Ris. 5. Graf over funksjonen f(x) som beskriver dynamikken til kretsen i fig. 2 kl.

Fraktal dimensjon. Alle de forskjellige statistiske egenskapene til et tilfeldig signal generert av en dynamikk system med S. a., kan beskrives dersom sannsynlighetene for systemtilstandene er kjent. Det er imidlertid ekstremt vanskelig å oppnå (og bruke) dette for spesifikke systemer med et sannsynlighetsmål (om ikke annet fordi fordelingen av det invariante sannsynlighetsmålet alltid er entall). Dette er en av grunnene til kuttet for å beskrive S. a.

hvor , en bestemt fast parameter, er et tall n-dimensjonale kuler med diameter som dekker S. a. dynamisk systemer med n-dimensjonalt faserom.

Med fysisk synspunkt, hoved "verdighet" til den fraktale dimensjonen til S. a. og antall frihetsgrader ha har formen:

Bifurkasjoner merkelige attraksjoner. Veier for stokastisk fødsel. en grensesyklus, som bare kan genereres på noen få typiske måter, og S. a. har et relativt lite antall maks. typiske forekomstmuligheter.

Feigenbaum manus - kjede bifurkasjoner dobling av perioden for en stabil grensesyklus. Hvis, når du endrer kontrollparameteren, den periodiske I n-dimensjonalt faserom bestemmes oppførselen til banene til Poincaré-kartet i nærheten av perioden fordobling av grensesyklusen som gjennomgår bifurkasjon av funksjonen, for eksempel, f(x), Grafen ligner på en parabel. Denne funksjonen beskriver forholdet mellom koordinater i retning av sine egne. underrom til lineariseringsoperatøren til Poincaré-kartet som tilsvarer multiplikatoren (-1) ( j+ 1)-goi av de j-te skjæringspunktene til Poincaré sekantsystemet etter banen: x j+1= f(x j). Den resulterende stabile grensesyklusen av en dobbel periode tilsvarer en to-perioders syklus. utstilling f.Med ytterligere endringer i bifurkasjonsparameteren, gjentas doblingen av perioden på ubestemt tid, og bifurkasjonen. verdier, for eksempel, akkumuleres til kritiske. punkt som tilsvarer fremveksten av S. a. I samsvar med Feigenbaums scenario er det en universell (uavhengig av et spesifikt system) lov

hvor = 4,6692... er den universelle Feigenbaum-konstanten (se. Feigenbaum universalitet).

Ris. 6. "Reverse bifurkasjoner" av periodedobling, som illustrerer hevelsen av attraktoren som oppsto i henhold til Feigenbaums scenario.

Intermittens. I flertall systemer når en kontrollparameter (for eksempel) passerer gjennom en bifurkasjon. verdiovergang til stokastisk. selvsvingninger er eksternt realisert som et sjeldent brudd på vanlige "stokastiske" svingninger. sprekker." I dette tilfellet er varigheten av den laminære (regulære) fasen lengre, jo lavere superkritikk Med en økning i superkritikk avtar varigheten av den regulære fasen. Dette bildet tolkes av følgende utvikling av hovedbildet. objekter i faserom, beholder tiden arten av deres oppførsel, dvs. bevegelse nær periodisk. Over tid "merker de" at den gamle attraktoren har forsvunnet, og forblir nær separatrixen (også forsvunnet) i setegrensesyklusen, går de til en annen del av faserommet. Hvis i subkritisk regionen var systemet globalt stabilt (dvs. det var bare ett tiltrekkende objekt), så faller disse banene etter en tid igjen i nærheten av den forsvunne grensesyklusen. Hvis samtidig i subkritisk. parameterområdet til separatrisen til salsyklusen var innebygd i en ganske kompleks geom. måte (dannet et uendelig antall folder - "korrugert", inneholdt heterokliniske baner for andre salsykluser, etc.), det vil si at overgangsprosessen viste uregelmessig oppførsel, da vil tidspunktet for å komme inn i nærheten av den forsvunne syklusen allerede være en tilfeldig variabel. Deretter gjentas laminar I tillegg til disse hovedmåtene for forekomst av S. a. Ganske ofte er det også overganger til kaotisk. selvsvingninger gjennom ødeleggelse av kvasiperiodiske (i faserom, når kontrollparametrene endres, mister den tiltrekkende todimensjonale torusen jevnhet og kollapser) og kombinerte scenarier.

Flerdimensjonal merkelige attraksjoner ofte funnet i systemer med et stort antall frihetsgrader. Blant de mulige mekanismene er hastigheten på divergens av baner langs disse retningene. Stokastisk viskositet). Slik spredning fratar småskala eksitasjoner av uavhengighetsmediet, turbulens).

Litt.: 1) Rabinovich M.I., Trubetskov D.I., Introduction to theory of oscillations and waves, M., 1984; 2) Lichtenberg A., Liberman M., Regular istochastic, trans. fra English, M., 1984; 3) Afraimovich V.S., Reiman A. M., Dimensjon og i flerdimensjonale systemer, i boken: Ikke-lineære bølger. Dynamikk og evolusjon, red. A. V. Gaponov-Grekhov, M. I. Rabinovich, kaos. Introduksjon, trans. fra English, M., 1988; 5) Landau L.D., Lifshits E.M., Hydrodynamics, 4. utgave, M., 1988; 6) Afraimovich V.S., Internal bifurcations and crises of attractors, i boken: Ikke-lineær. Strukturer og bifurkasjoner, red. A.V. Gaponova-Grekhova, V.S. Afraimovich, M.

Fysisk leksikon. I 5 bind. - M.: Sovjetisk leksikon. Ansvarlig redaktør A. M. Prokhorov. 1988 .

Dette kapittelet tar sikte på å introdusere leseren til en teori som utviklet seg uten noen forbindelse med fraktale sett, og som likevel viste seg å være bokstavelig talt gjennomsyret av dem. Oftest kalles det "teorien om merkelige attraksjoner og kaotisk (eller stokastisk) evolusjon", men i teksten til kapittelet vil du, håper jeg, finne grunnene som fikk meg til å gi denne teorien et nytt navn (se tittel) .

For å komme inn på dette essayet av den nevnte teorien, var det nok bare å være forbundet med fraktaler; Jeg synes det er berettiget å vie et helt kapittel til det. Første begrunnelse (praktisk): denne teorien krever nesten ingen spesiell introduksjon, siden de fleste av dens hovedbestemmelser ganske enkelt kan betraktes som en ny tolkning av konklusjonene vi mottok i kapittel 18 og 19.

For det andre hjelper teorien om fraktale attraktorer – gjennom kontrast – til å klargjøre noen trekk ved naturens fraktale geometri. Faktisk er arbeidet mitt hovedsakelig opptatt av former som er tilstede i det virkelige rom, med former som kan sees, selv gjennom et mikroskop; teorien om attraktorer omhandler utelukkende utviklingen over tid av plasseringen av visse punkter i et usynlig og abstrakt representativt rom.

Denne kontrasten er spesielt sterk i sammenheng med turbulens - mitt første store emne (jeg begynte å jobbe med det i 1964), der jeg brukte tidlige former for fraktale teknikker og (ganske uavhengig av dem) teorien om rare attraktorer, som er ganske seriøst kombinert med studiet av turbulens på jobb. Så langt har disse to tilnærmingene ennå ikke krysset veier, men ventetiden er ikke lang.

De som er interessert i vitenskapssosiologi vil uten tvil finne følgende interessante faktum: mens min presedensforskning som forbinder matematiske monstre med virkelige fysiske strukturer blir møtt med betydelig motstand, blir de monstrøse formene for abstrakte attraktorer akseptert med misunnelsesverdig likevekt.

Det tredje argumentet til fordel for behovet for å snakke om fraktale attraktorer er relatert til det faktum at de tilsvarende evolusjonene ser "kaotiske" eller "stokastiske" ut. Som det vil bli klart i kapittel 21 og 22, stiller mange forskere spørsmålstegn ved hensiktsmessigheten av bruken av tilfeldighet i vitenskapen; Nå er det håp om å rettferdiggjøre tilfeldighet ved hjelp av fraktale attraktorer.

Til slutt, de leserne som for noen kapitler (eller et par essays) siden var enige i min påstand om at mange av naturens manifestasjoner bare kan beskrives ved hjelp av visse sett som tidligere ble ansett som patologiske, kan se frem til overgangen fra "hvordan " til "hvorfor". Jeg tror de tidligere beskrivelsene og demonstrasjonene gir en ide om hvor lett det i noen tilfeller er å blidgjøre de geometriske pillene nevnt i tidligere kapitler for å gjøre dem lettere å svelge. Jeg ønsker å innpode leseren en smak for fraktaler - uansett hvor bitter denne smaken virker for de fleste modne forskere. Dessuten tror jeg oppriktig (og kommer tilbake til dette i kapittel 42) at pseudoforklaring ved søtning rett og slett ikke er interessant. Dermed ser betydningen av forklaring ut til å være sterkt overdrevet, og vi vil bare ty til det i tilfeller der den eksisterende forklaringen er virkelig interessant - som for eksempel i kapittel 11. På toppen av det mistenker jeg at når fraktalattraktorene fall basert på fraktalgeometrien til synlige naturformer, vil mange nye, mer detaljerte og overbevisende forklaringer dukke opp.

Siden transformasjoner med attraktorer er ikke-lineære, er de observerte fraktalene mest sannsynlig ikke selv-lignende. Dette er flott: det virker for meg at å bruke en fraktal analog av en rett linje for å beskrive fenomener styrt av ikke-lineære ligninger ser noe paradoksalt ut. Skala-invariante fraktaler, som forklarer naturfenomener godt, kan bare fungere som lokale tilnærminger av ikke-lineære fraktaler.

Konseptet med en attraktor

Dette kapittelet er for det meste avhengig av en langvarig og stort sett glemt observasjon av Henri Poincaré: "banene" til ikke-lineære dynamiske systemer har en tendens til å bli tiltrukket av merkelige sett, som jeg definerer som ikke-lineære fraktaler.

La oss først vurdere den enkleste attraksjonen - et poeng. "Bunnen", bestemt av bevegelsen til den lille ballen etter at den er plassert i trakten, begynner med en slags spiralbane, hvis eksakte form avhenger av ballens utgangsposisjon og hastighet, men konvergerer til slutt mot munnen av trakten; hvis diameteren på kulen overstiger diameteren til traktåpningen, vil den forbli der. For vår ball er begynnelsen av trakthalsen et stabilt likevektspunkt, eller et stabilt fikspunkt. Innenfor rammen av en ganske praktisk alternativ beskrivende terminologi (som naturligvis ikke skal tolkes fra en antroposentrisk posisjon), kan trakthalsen kalles et trekkpunkt, eller attraktor.

I fysisk system En sirkel eller en ellipse kan også være stabil og attraktiv. For eksempel tror vi alle (og håper til og med inderlig - selv om ingen av oss vil leve lenge nok til at dette gjør noen forskjell) at solsystemet er stabilt, noe som antyder at hvis jordens bane er bestemt til å gjennomgå forstyrrelser, vil det til slutt bli "trukket" tilbake til sitt nåværende spor.

I mer generelt syn, er et dynamisk system vanligvis definert som følger: tilstanden til systemet i et øyeblikk i tid er representert av et punkt på en rett linje, i et plan eller i et mer flerdimensjonalt euklidisk "faserom", og dets utvikling mellom momenter er bestemt av regler hvor mengden ikke er eksplisitt inkludert. Ethvert punkt i faserommet kan tas som starttilstand ved , og vil bli fulgt av en bane som bestemmes av funksjonen for alle .

Hovedforskjellen mellom slike systemer er den geometriske fordelingen av verdier ved store verdier. Det er vanlig å si at et dynamisk system har en attraktor hvis det er en regulær delmengde av faserommet som har følgende egenskap: for nesten et hvilket som helst startpunkt og et tilstrekkelig stort, ender punktet i et lite nabolag av et punkt tilhører .

Repeller konsept

Vi kan også plassere ballen vår i en ustabil likevektsposisjon - for eksempel på tuppen av en blyant. Hvis startposisjonen ikke sammenfaller nøyaktig med likevektspunktet, ser det ut til at ballen blir skjøvet bort og når en tilstand av stabil likevekt et annet sted.

Settet med alle ustabile likevektsposisjoner (sammen med deres grensepunkter) kalles det frastøtende settet, eller repelleren.

I mange tilfeller bytter attraktorer og repellere plass når fortegnene i ligningene endres. Når du arbeider med tyngdekraften, er det nok å endre retningen på handlingen. Tenk for eksempel på en for det meste horisontal overflate med avbøyninger i begge retninger. Forutsatt at tyngdekraften er rettet nedover, plasserer vi ballen på oversiden av overflaten og betegner den attraktive avbøyningen med bokstaven , og den frastøtende avbøyningen med bokstaven . Hvis vi nå plasserer ballen på undersiden av overflaten og antar at tyngdekraften er rettet oppover, så vil avbøyningene bytte plass. Slike utvekslinger spiller en sentral rolle i dette kapittelet.

Fraktale tiltrekkere. "kaos"

Det meste av elementær mekanikk omhandler dynamiske systemer hvis attraksjoner er punkter, nesten sirkler og andre figurer av euklidisk geometri. Men i virkeligheten representerer slike figurer sjeldne unntak, og oppførselen til de fleste dynamiske systemer er uforlignelig mer kompleks: deres tiltrekkere og repellere har en klar tendens til fraktalitet. De neste avsnittene beskriver eksempler på tidsdiskrete systemer.

Støvtiltrekker. Feigenbaum koeffisient.Det enkleste eksempelet kan oppnås ved kvadrating (se kapittel 19). Som en introduksjon, la oss vurdere en annen representasjon av Cantors støv: det dekkede intervallet. Et slikt sett er grensen for et sett, definert som et sett med punkter i skjemaet . Når , er hvert punkt i settet delt i to, og settet er resultatet av et uendelig antall slike bifurkasjoner.

Ifølge P. Grassberger (kilde – fortrykk av artikkelen), kartleggingsattraksjonen for reals ligner på settet, men med to forskjellige likhetskoeffisienter, hvorav den ene er Feigenbaum-koeffisienten (cm. ). Etter et uendelig antall bifurkasjoner, blir denne attraktoren til fraktalt støv med dimensjon .

"Kaos". Ikke et eneste punkt i settet blir besøkt to ganger i løpet av en begrenset tidsperiode. Mange forfattere beskriver utviklingen av fraktale attraktorer som "kaotiske".

Selvaffinerte trær. Ved å plassere settet i flyet får vi et tre. Fordi , dette treet er asymptotisk selvaffin med resten.

Kommentar. Ideelt sett vil teorien fokusere på iboende interessante og realistiske (men enkle) dynamiske systemer hvis attraktorer er godt studerte fraktale sett. Den eksisterende litteraturen om merkelige attraksjoner – selv om den er ekstremt betydningsfull – er veldig langt fra dette idealet. Fraktalene som vurderes i den er som regel ikke godt studert, svært få av dem er virkelig interessante, og de fleste kan ikke betraktes som løsninger på motiverte problemer.

Derfor ble jeg tvunget til uavhengig å finne opp "dynamiske systemer" som ville stille nye spørsmål for å få kjente og praktiske svar på dem. Jeg kom opp med problemer på en slik måte at kjente fraktaler ble deres løsninger. Det som overrasker meg mest er at disse systemene også viste seg å være interessante.

Selvomvendte tiltrekkere

I følge kapittel 18 er sett i Poincaré-kjeder både de minste selv-inverse sett og grensesett. La oss omformulere den siste egenskapen: gitt et vilkårlig valgt utgangspunkt, nærmer dens transformasjoner under påvirkning av en sekvens av inversjoner seg vilkårlig nær hvert punkt i settet. Anta nå at denne sekvensen av inversjoner er valgt av en separat prosess uavhengig av nåværende og tidligere posisjoner til punktet. Med en ganske bred spredning av startbetingelser kan man alltid forvente (og ofte er disse forventningene berettiget) at de resulterende sekvensene av posisjoner vil bli tiltrukket av settet. Slik, enormt beløp publikasjoner om grupper generert av inversjoner kan tolkes i form av dynamiske systemer.

Reversering av "tid"

Ytterligere søk etter systemer med interessante fraktale attraktorer førte meg til systemer hvis attraktorer er geometrisk standard, men hvis repellere viser seg å være ganske interessante. Disse to settene kan enkelt byttes, og dermed skru tiden tilbake, forutsatt at operasjonene til det dynamiske systemet tillater eksistensen av inverse operasjoner (banene smelter ikke sammen eller krysser hverandre), slik at du kan bestemme posisjonen til punktet. alt kl. Imidlertid er de systemspesifikke dataene som vi ønsker å reversere i tid spesielt tilfelle. Banene deres er som elver: i retning nedover skråningen er banen deres klart definert, men oppover skråningen - hver gaffel krever en spesiell avgjørelse.

La oss prøve å for eksempel reversere transformasjonen , ved hjelp av denne fikk vi Cantors støv i kapittel 19. Med to forskjellige inverse funksjoner definert kan vi kanskje bli enige om å transformere alt til . Likeledes to forskjellige inverse funksjoner har en skjerm . I begge tilfeller innebærer meningsfull inversjon et valg mellom to funksjoner. I andre eksempler er det flere mulige alternativer. La meg minne deg på: vi trenger at valget mellom dem utføres gjennom en egen prosess. Disse betraktningene leder oss til generaliserte dynamiske systemer, som vil bli beskrevet i neste avsnitt.

Nedbrytbare dynamiske systemer

Vi vil kreve at en av tilstandskoordinatene (la oss kalle den den definerende indeksen og betegne den med ) utvikler seg uavhengig av tilstanden til de andre koordinatene (vi vil betegne denne tilstanden med ), forutsatt at transformasjonen fra stat til stat vil være bestemt av både staten og indeksen . I eksemplene som jeg studerte mest detaljert, den spesifikke transformasjonen er valgt fra et begrenset sett som inkluderer forskjellige muligheter, og er valgt i samsvar med verdien av en heltallsfunksjon . Med andre ord, jeg vurderte dynamikken til et produkt - plass på et begrenset indekssett.

Generelt sett, i eksemplene som stimulerte denne generaliseringen, er sekvensen enten virkelig tilfeldig eller oppfører seg som om den var tilfeldig. Vi vil begynne å vurdere tilfeldighet bare i neste kapittel, men jeg tror ikke at denne omstendigheten kan hindre oss. Noe annet er mye mer alvorlig: dynamiske systemer er et nedfelt eksempel på fullstendig deterministisk atferd, og har derfor rett og slett ikke rett til å tillate noen form for tilfeldighet! Vi kan imidlertid introdusere effekten av tilfeldighet uten å postulere det eksplisitt - vi trenger bare å tildele funksjonen verdien av en tilstrekkelig blandende ergodisk prosess. La oss ta for eksempel irrasjonelt tall og sammenligne funksjonene med heltallsdelen av tallet . Her ville det vært verdt å komme med noen flere uttalelser, ikke kompliserte i prinsippet, men veldig tungvinte, så jeg vil nok avstå fra å gjøre det.

Rollen til "merkelige" tiltrekkere

Tilhengere av "merkelige" attraksjoner fremmer følgende to hensyn til deres forsvar. . Siden dynamiske systemer med standard attraktorer ikke er i stand til å forklare turbulens, kan det være mulig å forklare det ved å bruke systemer med attraktorer som er topologisk "rare". (dette minner om mitt eget resonnement (se kapittel 11) - uttrykt forresten helt uavhengig av ovenstående - at hvis en differensialligning ikke har standard singulariteter, bør du prøve lykken med fraktale singulariteter.. Attraktorer er latterlige enkle systemer- som f.eks for ekte og i intervallet - de er virkelig merkelige og på mange måter karakteristiske for mer komplekse og mer realistiske systemer. Dermed er topologisk merkelige attraktorer utvilsomt regelen snarere enn unntaket.

"Fraktal" eller "rart"?

Alle kjente "merkelige" attraktorer er fraktale sett. For mange "rare" attraktorer finnes det estimater av dimensjonalitet. I alle tilfeller. Følgelig er disse attraksjonene ikke mer enn fraktale sett. I mange tilfeller er dimensjonen til merkelige attraktorfraktaler ikke et mål på uregelmessighet, men på måten glatte kurver eller overflater overlapper hverandre – en slags fragmentering (se kapittel 13).

S. Smale presenterte sin berømte attraktor, kalt en solenoid, to ganger. Den opprinnelige definisjonen var rent topologisk (dimensjonen forble udefinert), men den reviderte versjonen har en metrisk karakter (se, s. 57). Jeg foreslo på sin side å introdusere begrepet dimensjon i teorien om merkelige attraksjoner og evaluerte verdien av Henon-kartet , som viste seg å være lik 1,26. Mange flere artikler i samme slengen er ventet.

Det motsatte utsagnet. Om alle fraktale attraktorer er merkelige er et spørsmål om semantikk. Flere og flere forfattere er enige med meg i at en attraktor generelt kan anses som merkelig hvis den er fraktal. Denne holdningen virker for meg ganske rimelig, tatt i betraktning at ordet "rart" fungerer som et synonym for ordene "monstrøs", "patologisk" og andre lignende epitet som en gang ble tildelt individuelle fraktale sett.

Imidlertid får adjektivet "merkelig" noen ganger en viss spesiell terminologisk betydning, så spesiell, det må sies, at Salzman-Lorenz-attraksjonen ikke bare karakteriseres som "rar", men som "rar - merkelig". I dette lyset er "merkeligheten" til en attraktor hovedsakelig assosiert med ikke-standard topologiske egenskaper, mens ikke-standard fraktale egenskaper bare følger dem som en "belastning". En lukket kurve med doble punkter er ikke "rart" i denne forstand, uansett hvor krøllete den måtte være: dette betyr at de fleste fraktale attraktorene jeg har studert ikke kan betraktes som merkelige.

Med denne definisjonen av begrepet "rart" taper argumentene i forrige avsnitt all appell. Imidlertid, hvis begrepet merkelighet endres fra topologisk til fraktal, kan denne attraktiviteten gjenopprettes. Dette er grunnen til at jeg mener at de som definerer "rart" som "fraktal" fortjener å vinne argumentet. Og siden de vinner, ser jeg ikke så mye poeng i å beholde et begrep som ble unødvendig i det øyeblikket jeg viste at fraktaler ikke er rarere enn for eksempel fjell eller kystlinjer. I tillegg vil jeg ikke skjule: Jeg har en slags personlig motvilje mot begrepet "rart".

Ris. 282 og 283. Tiltrekning til fraktaler

Figurene vist her illustrerer de lange banene til suksessive tilstander til to nedbrytbare dynamiske systemer. Faraos brynje på fig. 283 er et selvinverst (se kapittel 18) sett basert på fire inversjoner valgt slik at grensesettet er en samling sirkler. Dragon of San Marco i fig. 282 er et selvkvadrerende (se kapittel 19) sett og er basert på to inversjoner av kartleggingen .

Den definerende indeksen i disse tilfellene er valgt fra fire (eller to) muligheter ved å bruke en pseudo-tilfeldig algoritme brukt 64 000 ganger. De første punktene i figuren er utelatt.

Områdene i nærheten av skjerpings- og selvskjæringspunktene fylles ekstremt sakte.