Egenskaper til en funksjon i henhold til grafen. Grunnleggende elementære funksjoner og deres egenskaper

Funksjonsnuller
Nullpunktet til en funksjon er verdien X, hvor funksjonen blir til 0, det vil si f(x)=0.

Nullpunkter er skjæringspunktene mellom funksjonsgrafen og aksen Åh.

Funksjonsparitet
En funksjon kalles selv om for noen X fra definisjonsdomenet gjelder likheten f(-x) = f(x).

En jevn funksjon er symmetrisk om aksen Åh

Odd paritetsfunksjon
En funksjon kalles odd hvis for noen X fra definisjonsdomenet gjelder likheten f(-x) = -f(x).

En oddetallsfunksjon er symmetrisk om opprinnelsen.
En funksjon som verken er partall eller oddetall kalles en generell funksjon.

Økende funksjon
En funksjon f(x) sies å være økende if høyere verdi argumentet tilsvarer en større verdi av funksjonen, dvs.

Synkende funksjon
En funksjon f(x) kalles avtagende hvis en større verdi av argumentet tilsvarer en mindre verdi av funksjonen, dvs.

Intervaller som funksjonen enten bare avtar eller bare øker kalles intervaller av monotoni. Funksjonen f(x) har 3 intervaller med monotonisitet:

Finn intervaller for monotonitet ved hjelp av tjenesten Intervaller med økende og minkende funksjon

Lokalt maksimum
Prikk x 0 kalt et punkt lokalt maksimum, hvis for noen X fra nærheten av et punkt x 0 følgende ulikhet gjelder: f(x 0) > f(x)

Lokalt minimum
Prikk x 0 kalt et punkt lokalt minimum, hvis for noen X fra nærheten av et punkt x 0 ulikhet gjelder: f(x 0)< f(x).

Lokale maksimumspoeng og lokale minimumspoeng kalles lokale ekstremumpunkter.

lokale ekstreme punkter.

Funksjonsfrekvens
Funksjonen f(x) kalles periodisk, med punktum T, hvis for noen X likheten f(x+T) = f(x) gjelder.

Intervaller for tegnkonstans
Intervaller der funksjonen enten bare er positiv eller kun negativ kalles intervaller med konstant fortegn.

Kontinuitet i funksjon
En funksjon f(x) kalles kontinuerlig i et punkt x 0 hvis grensen for funksjonen er x → x 0 lik verdien fungerer på dette tidspunktet, dvs. .

Brytepunkter
Punktene der kontinuitetsbetingelsen brytes kalles funksjonsbruddpunkter.

x 0- bruddpunkt.

Generelt opplegg for plotting av funksjoner

1. Finn definisjonsdomenet til funksjonen D(y).

2. Finn skjæringspunktene til grafen for funksjoner med koordinataksene.

3. Undersøk funksjonen for partall eller oddetall.

4. Undersøk funksjonen for periodisitet.

5. Finn monotonisitetsintervaller og ekstremumpunkter for funksjonen.

6. Finn konveksitetsintervallene og bøyningspunktene til funksjonen.

7. Finn asymptotene til funksjonen.

8. Basert på forskningsresultatene, konstruer en graf.

Eksempel: Utforsk funksjonen og plott den: y = x 3 – 3x

1) Funksjonen er definert på hele den numeriske aksen, dvs. dens definisjonsdomene er D(y) = (-∞; +∞).

2) Finn skjæringspunktene med koordinataksene:

med OX-aksen: løs ligningen x 3 – 3x = 0

med OY-akse: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Finn ut om funksjonen er partall eller oddetall:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Det følger at funksjonen er oddetall.

4) Funksjonen er ikke-periodisk.

5) La oss finne monotonisitetsintervallene og ekstremumpunktene til funksjonen: y' = 3x 2 - 3.

Kritiske punkter: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Finn konveksitetsintervallene og bøyningspunktene til funksjonen: y'' = 6x

Kritiske poeng: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Funksjonen er kontinuerlig, den har ingen asymptoter.

8) Basert på resultatene fra studien vil vi konstruere en graf over funksjonen.

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse e-post osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

For å forstå dette emnet, la oss vurdere en funksjon avbildet på en graf // La oss vise hvordan en graf av en funksjon lar deg bestemme dens egenskaper.

La oss se på egenskapene til en funksjon ved å bruke et eksempel

Definisjonsdomenet til funksjonen er span [ 3,5; 5,5].

Funksjonens verdiområde er span [ 1; 3].

1. Ved x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, er verdien av funksjonen null.

Argumentverdien der funksjonsverdien er null kalles funksjon null.

//de. for denne funksjonen er tallene -3;-1;1,5; 4,5 er null.

2. Med intervaller [ 4,5; 3) og (1; 1.5) og (4.5; 5.5] grafen til funksjonen f er plassert over abscisse-aksen, og i intervallene (-3; -1) og (1.5; 4.5) under abscisse-aksen, er det er forklart slik -med mellomrom[4,5; 3) og (1; 1.5) og (4.5;5.5] funksjonen tar positive verdier, og på intervallene (-3; -1) og (1.5; 4.5) er negative.

Hvert av de indikerte intervallene (der funksjonen tar verdier av samme fortegn) kalles intervallet med konstant fortegn for funksjonen f.//dvs. for eksempel, hvis vi tar intervallet (0; 3), så er det ikke et intervall med konstant fortegn for denne funksjonen.

I matematikk, når man søker etter intervaller med konstant fortegn for en funksjon, er det vanlig å angi intervallene maksimal lengde. //De. intervallet (2; 3) er intervall for tegnkonstans funksjon f, men svaret skal inkludere intervallet [ 4.5; 3) som inneholder intervallet (2; 3).

3. Hvis du beveger deg langs x-aksen fra 4,5 til 2, vil du legge merke til at funksjonsgrafen går ned, det vil si at funksjonsverdiene synker. //I matematikk er det vanlig å si at på intervallet [ 4.5; 2] reduseres funksjonen.

Når x øker fra 2 til 0, går grafen til funksjonen opp, dvs. funksjonsverdiene øker. //I matematikk er det vanlig å si at på intervallet [ 2; 0] funksjonen øker.

En funksjon f kalles hvis for to av to verdier av argumentet x1 og x2 fra dette intervallet slik at x2 > x1, ulikheten f (x2) > f (x1) gjelder. // eller funksjonen kalles øker over et visst intervall, hvis for noen verdier av argumentet fra dette intervallet, tilsvarer en større verdi av argumentet en større verdi av funksjonen.//dvs. jo flere x, jo mer y.

Funksjonen f kalles avtar over et visst intervall, hvis for noen av to verdier av argumentet x1 og x2 fra dette intervallet slik at x2 > x1, ulikheten f(x2) avtar på et eller annet intervall, hvis for noen verdier av argumentet fra dette intervallet den største verdien av argumentet tilsvarer den minste verdien av funksjonen. //de. jo mer x, jo mindre y.

Hvis en funksjon øker over hele definisjonsdomenet, kalles den økende.

Hvis en funksjon avtar over hele definisjonsdomenet, kalles den avtagende.

Eksempel 1. graf over henholdsvis økende og minkende funksjoner.

Eksempel 2.

Definer fenomenet. Er den lineære funksjonen f(x) = 3x + 5 økende eller avtagende?

Bevis. La oss bruke definisjonene. La x1 og x2 være vilkårlige verdier av argumentet, og x1< x2., например х1=1, х2=7

Funksjonen y=x^2 kalles en kvadratisk funksjon. Rute kvadratisk funksjon er en parabel. Generell visning Parablen er vist i figuren under.

Kvadratisk funksjon

Fig 1. Generelt sett av parabelen

Som det fremgår av grafen er den symmetrisk om Oy-aksen. Oy-aksen kalles symmetriaksen til parablen. Dette betyr at hvis du tegner en rett linje på grafen parallelt med aksenÅ, over er øksene. Da vil den skjære parablen på to punkter. Avstanden fra disse punktene til Oy-aksen vil være den samme.

Symmetriaksen deler grafen til en parabel i to deler. Disse delene kalles grener av parabelen. Og punktet til en parabel som ligger på symmetriaksen kalles parabelens toppunkt. Det vil si at symmetriaksen går gjennom toppunktet til parablen. Koordinatene til dette punktet er (0;0).

Grunnleggende egenskaper til en kvadratisk funksjon

1. Ved x =0, y=0, og y>0 ved x0

2. Minimumsverdi den kvadratiske funksjonen når sitt toppunkt. Ymin ved x=0; Det skal også bemerkes at funksjonen ikke har en maksimal verdi.

3. Funksjonen reduseres med intervallet (-∞;0] og øker med intervallet)