Egenskaper for kvadratrøtter for en større enn 0. Egenskaper for kvadratrøtter

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Offentliggjøring til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• I tilfelle det er nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettslige prosesser og / eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra statlige organer på territoriet til den russiske føderasjonen - avslør din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre formål av allmenn interesse.
• Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Leksjon og presentasjon om emnet:
"Egenskaper til en kvadratrot. Formler. Eksempler på løsninger, oppgaver med svar"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, tilbakemeldinger, forslag. Alt materiale kontrolleres av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i nettbutikken "Integral" for 8. klasse
Interaktiv studieveiledning "Geometri på 10 minutter" for klasse 8
Utdanningskompleks "1C: Skole. Geometri, klasse 8"

Kvadratrotegenskaper

Vi fortsetter å studere kvadratrøtter. I dag vil vi vurdere hovedegenskapene til røttene. Alle hovedegenskapene er intuitive og konsistente med alle operasjonene vi har gjort før.

Egenskap 1. Kvadratroten av produktet av to ikke-negative tall er lik produktet av kvadratrøttene til disse tallene: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Det er vanlig å bevise noen egenskaper, la oss gjøre det.
La $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Da må vi bevise at $x=y*z$.
La oss kvadrere hvert uttrykk.
Hvis $\sqrt(a*b)=x$ så $a*b=x^2$.
Hvis $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, og deretter kvadrerer begge uttrykkene, får vi: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, dvs. $x^2=(y*z)^2$. Hvis kvadratene til to ikke-negative tall er like, så er tallene i seg selv like, noe som skulle bevises.

Det følger av vår egenskap at for eksempel $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Merknad 1. Eiendommen er også gyldig for tilfellet når det er mer enn to ikke-negative faktorer under roten.
Eiendom 2. Hvis $a≥0$ og $b>0$, gjelder følgende likhet: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Det vil si at roten til kvotienten er lik kvotienten til røttene.
Bevis.
La oss bruke tabellen og kort bevise vår eiendom.

Eksempler på bruk av kvadratrotegenskaper

Eksempel 1
Beregn: $\sqrt(81*25*121)$.

Løsning.
Selvfølgelig kan vi ta en kalkulator, multiplisere alle tallene under roten og utføre operasjonen med å trekke ut kvadratroten. Og hvis det ikke er noen kalkulator for hånden, hva da?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Svar: 495.

Eksempel 2. Regn ut: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Løsning.
Vi representerer det radikale tallet som en uekte brøk: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
La oss bruke egenskap 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4$.
Svar: 3.4.

Eksempel 3
Beregn: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Løsning.
Vi kan vurdere uttrykket vårt direkte, men det kan nesten alltid forenkles. La oss prøve å gjøre dette.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Så $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Svar: 32.

Gutter, vær oppmerksom på at det ikke er noen formler for operasjonene for addisjon og subtraksjon av radikale uttrykk, og uttrykkene nedenfor er ikke korrekte.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Eksempel 4
Beregn: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Løsning.
Egenskapene presentert ovenfor fungerer både fra venstre til høyre og i omvendt rekkefølge, det vil si:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
La oss bruke dette til å løse vårt eksempel.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Svar: a) 16; b) 2.

Eiendom 3. Hvis $a≥0$ og n er et naturlig tall, gjelder følgende likhet: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

For eksempel. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ og så videre.

Eksempel 5
Beregn: $\sqrt(129600)$.

Løsning.
Antallet som presenteres for oss er ganske stort, la oss dekomponere det i hovedfaktorer.
Vi fikk: $129600=5^2*2^6*3^4$ eller $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Svar: 360.

Oppgaver for selvstendig løsning

1. Beregn: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Beregn: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Beregn: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Beregn:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Arealet til en kvadratisk tomt er 81 dm². Finn hans side. Anta at lengden på siden av firkanten er X desimeter. Da er arealet av tomten X² kvadratdesimeter. Siden, i henhold til betingelsen, er dette arealet 81 dm², da X² = 81. Lengden på siden av et kvadrat er et positivt tall. Et positivt tall hvis kvadrat er 81 er tallet 9. Ved løsning av oppgaven var det nødvendig å finne tallet x, hvor kvadratet er 81, dvs. løse likningen X² = 81. Denne ligningen har to røtter: x 1 = 9 og x 2 \u003d - 9, siden 9² \u003d 81 og (- 9)² \u003d 81. Begge tallene 9 og - 9 kalles kvadratrøttene til tallet 81.

Legg merke til at en av kvadratrøttene X= 9 er et positivt tall. Det kalles den aritmetiske kvadratroten av 81 og er betegnet √81, så √81 = 9.

Aritmetisk kvadratrot av et tall EN er et ikke-negativt tall hvis kvadrat er lik EN.

For eksempel er tallene 6 og -6 kvadratrøttene av 36. Tallet 6 er den aritmetiske kvadratroten av 36, siden 6 er et ikke-negativt tall og 6² = 36. Tallet -6 er ikke en aritmetisk rot.

Aritmetisk kvadratrot av et tall EN angitt som følger: √ EN.

Tegnet kalles det aritmetiske kvadratrottegnet; EN kalles et rotuttrykk. Uttrykk √ EN lese slik: den aritmetiske kvadratroten av et tall EN. For eksempel, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. I tilfeller hvor det er tydelig at vi snakker om en aritmetisk rot, sier de kort: "kvadratroten av EN«.

Å finne kvadratroten av et tall kalles å ta kvadratroten. Denne handlingen er det motsatte av kvadrating.

Ethvert tall kan kvadreres, men ikke alle tall kan være kvadratrøtter. For eksempel er det umulig å trekke ut kvadratroten av tallet - 4. Hvis en slik rot eksisterte, angir den med bokstaven X, vil vi få feil likhet x² \u003d - 4, siden det er et ikke-negativt tall til venstre og et negativt tall til høyre.

Uttrykk √ EN gir bare mening når a ≥ 0. Definisjonen av kvadratroten kan kort skrives som: √ a ≥ 0, (√EN)² = EN. Likestilling (√ EN)² = EN gyldig for a ≥ 0. Dermed for å sikre at kvadratroten av et ikke-negativt tall EN er lik b, dvs. at √ EN =b, må du kontrollere at følgende to betingelser er oppfylt: b ≥ 0, b² = EN.

Kvadratroten av en brøk

La oss regne ut. Legg merke til at √25 = 5, √36 = 6, og sjekk om likheten holder.

Fordi og , da er likheten sann. Så, .

Teorem: Hvis EN≥ 0 og b> 0, det vil si at roten av brøken er lik roten av telleren delt på roten av nevneren. Det kreves å bevise at: og .

Siden √ EN≥0 og √ b> 0, da.

Ved egenskapen å heve en brøk til en potens og bestemme kvadratroten teoremet er bevist. La oss se på noen få eksempler.

Regn ut , i henhold til det påviste teoremet .

Andre eksempel: Bevis det , Hvis EN ≤ 0, b < 0. .

Et annet eksempel: Beregn .

.

Kvadratrot transformasjon

Å ta multiplikatoren ut fra under tegnet til roten. La et uttrykk gis. Hvis EN≥ 0 og b≥ 0, så ved teoremet på roten av produktet kan vi skrive:

En slik transformasjon kalles utfaktoring av rottegnet. Tenk på et eksempel;

Beregn kl X= 2. Direkte substitusjon X= 2 i det radikale uttrykket fører til kompliserte beregninger. Disse beregningene kan forenkles hvis vi først fjerner faktorene under rottegnet: . Når vi erstatter x = 2, får vi:.

Så når du tar ut faktoren fra rottegnet, er det radikale uttrykket representert som et produkt der en eller flere faktorer er kvadratene til ikke-negative tall. Rotproduktteoremet brukes deretter og roten til hver faktor tas. Tenk på et eksempel: Forenkle uttrykket A = √8 + √18 - 4√2 ved å ta ut faktorene under rottegnet i de to første leddene, vi får:. Vi legger vekt på at likestillingen gyldig kun når EN≥ 0 og b≥ 0. hvis EN < 0, то .

Rotformler. egenskapene til kvadratrøtter.

Merk følgende!
Det er flere
materiale i spesialseksjon 555.
For de som sterkt "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

I forrige leksjon fant vi ut hva en kvadratrot er. Det er på tide å finne ut hva det er formler for røtter, hva er rotegenskaper og hva kan gjøres med det hele.

Rotformler, rotegenskaper og regler for handlinger med røtter- Det er i hovedsak det samme. Det er overraskende få formler for kvadratrøtter. Noe som selvfølgelig gleder! Snarere kan du skrive mye av alle slags formler, men bare tre er nok for praktisk og selvsikkert arbeid med røtter. Alt annet kommer fra disse tre. Selv om mange forviller seg i de tre formlene til røttene, ja ...

La oss starte med det enkleste. Her er hun:

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)

du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.