Egenskaper til et system av uavhengige tilfeldige variabler. Systemer med diskrete tilfeldige variabler

Når man studerer tilfeldige fenomener, må man ofte ikke forholde seg til én tilfeldig variabel, men med to, tre eller flere. Samarbeidslæring endelig antall tilfeldige variabler fører til et system av tilfeldige variabler. Her er noen eksempler på systemer med tilfeldige variabler:

• 1. Landingspunkt romfartøy Den gjenbrukbare romfergen er preget av et system med tre tilfeldige variabler: breddegrad (cf), lengdegrad (A,), høyde (H).
• 2. Den faglige prestasjonen til en tilfeldig valgt student er preget av et system av tilfeldige variabler - karakterer plassert i vedlegget til vitnemålet.

Et ordnet sett med tilfeldige variabler >,

gitt på rommet til elementære hendelser kalles et system med n tilfeldige variabler. Det er praktisk å betrakte det som koordinatene til en tilfeldig vektor i n-dimensjonalt rom. Et system med n tilfeldige variabler er en funksjon av en elementær hendelse, dvs.

Til alle elementær begivenhet sammenlignes iht reelle tall- verdier akseptert av tilfeldige variabler (X, X 2, ..., XJ som et resultat av eksperiment.

Tilfeldige variabler (X 1? X 2, ..., X) inkludert i systemet kan være diskrete og ikke-diskrete (kontinuerlige og blandede). Alle grunnleggende definisjoner av begrepet én tilfeldig variabel gjelder for dem praktisk talt uten endringer.

La oss vurdere et system med to tilfeldige variabler (X;Y). Dens grunnleggende konsepter kan lett generaliseres til saken flere komponenter. Et system med to tilfeldige variabler (X;Y) kan representeres av et tilfeldig punkt på OXY-planet (fig. 2.18) eller en tilfeldig vektor (fig. 2.19).

Et fullstendig kjennetegn ved et system av tilfeldige variabler er dets distribusjonslov, som har ulike former:

• distribusjon matrise;
• distribusjon funksjon;
• distribusjonstetthet.

En analog av distribusjonsserien til en diskret tilfeldig variabel X for et system med to tilfeldige variabler (X,Y) er distribusjonsmatrisen - en rektangulær tabell der

sannsynligheter er ordnet

En hendelse er et produkt av hendelser (X = x d)

Og (Y = y).

Fordelingsmatrisen av to diskrete tilfeldige variabler har formen:

Merk at

I fig. Figur 2.20 viser en graf over fordelingen av en todimensjonal diskret tilfeldig variabel (X, Y).

Når du kjenner til distribusjonsmatrisen til en todimensjonal diskret tilfeldig variabel (X,Y), er det mulig å bestemme distribusjonsserien til hver av komponentene (den inverse i generell sak umulig).

De nødvendige formlene ser slik ut:

Den mest universelle formelen til fordelingsloven for et system med to tilfeldige variabler er fordelingsfunksjonen, som vi betegner F(x, y).

Fordelingsfunksjonen til to stokastiske variabler (X,Y) er sannsynligheten for felles oppfyllelse av ulikheten: X x og Y y, dvs.

Geometrisk F(x, y) tolkes som sannsynligheten for at et tilfeldig punkt (X, Y) faller inn i et uendelig kvadrat med toppunktet i punktet ( x, y), som er plassert til venstre og under den (fig. 2.21).

Merk at de øverste og høyre kantene av firkanten ikke er inkludert.

Hvis distribusjonsmatrisen til to diskrete tilfeldige variabler (2.49) er gitt, bestemmes fordelingsfunksjonen til en todimensjonal tilfeldig variabel av formelen:

La oss presentere noen egenskaper ved fordelingsfunksjonen til en todimensjonal tilfeldig variabel.

1. Sett med verdier for distribusjonsfunksjoner F(x, y) tilhører segmentet dvs.

2. Fordelingsfunksjon F(x, y) er en ikke-avtagende funksjon av begge argumentene, dvs.

3. Hvis minst ett av argumentene til fordelingen fungerer F(x, y) blir til -oo, så blir fordelingsfunksjonen til null, dvs.

• 4. Hvis begge argumentene til fordelingen fungerer F(x, y) snu til +oo, så blir hun lik en, dvs. F(+oo, +oo) = 1.
• 5. Hvis ett av argumentene til fordelingsfunksjonen blir til +oo, så blir fordelingsfunksjonen til et system av to tilfeldige variabler fordelingsfunksjonen til den tilfeldige variabelen som tilsvarer det andre argumentet, dvs.

Hvor F x (x) og F 2 (y) - distribusjonsfunksjoner av tilfeldige variabler X og Y, henholdsvis.

6. Fordelingsfunksjon av et system med to stokastiske variabler F(x, y) blir stående kontinuerlig med hensyn til hvert av sine argumenter, dvs.

Kjenne til distribusjonsfunksjonen F(x, y), du kan finne sannsynligheten for å treffe et tilfeldig punkt ( X, Y) inn i et rektangel G med sider parallelle med koordinataksene, begrenset av abscisser a, b og ordinatene c og d, med venstre og nedre grenser inkludert i G, men høyre og øvre grenser er ikke inkludert (fig. 2.22).

Hvis distribusjonsfunksjonen F(x, y) er kontinuerlig og differensierbar med hensyn til hvert av argumentene, så er systemet med to tilfeldige variabler (X, Y) kontinuerlig, og komponentene i dette systemet er kontinuerlige tilfeldige variabler.

For kontinuerlige todimensjonale stokastiske variabler introduseres begrepet distribusjonstetthet (eller felles distribusjonstetthet) som en fordelingslov. f(x, y), som er den andre blandede partielle deriverte av fordelingsfunksjonen, dvs.

Distribusjonstetthet f(x, y) representerer en viss overflate, som kalles fordelingsflaten (fig. 2.23).

Distribusjonstetthet f(x, y) har følgende egenskaper:

• 1) fordelingstettheten er en ikke-negativ funksjon, dvs. f(x, y) > 0;
• 2) volum begrenset av distribusjonsoverflaten og Oxy-planet, lik en, dvs.

3) sannsynligheten for at et tilfeldig punkt (X, Y) faller inn i regionen G bestemmes av formelen

4) fordelingsfunksjonen til et system med to tilfeldige variabler (X, Y) uttrykkes gjennom fellesfordelingstettheten som følger:

Som i tilfellet med en tilfeldig variabel, introduserer vi konseptet med et sannsynlighetselement for et system med to kontinuerlige tilfeldige variabler: f(x, y)dxdy.

Opp til uendelig høyere orden, sannsynlighetselementet f(x, y)dxdy er lik sannsynligheten for at et tilfeldig punkt (X, Y) faller inn i et elementært rektangel med dimensjoner dx og dy, ved siden av et punkt (x, y)(Fig. 2.24).

Denne sannsynligheten er omtrent lik volumet til et elementært parallellepiped med en høyde f(x, y), som hviler på dette rektangelet.

Fordelingstetthetene til de endimensjonale komponentene X og Y til en todimensjonal kontinuerlig tilfeldig variabel er funnet ved å bruke formlene

Å kjenne fellesfordelingstettheten til en todimensjonal kontinuerlig tilfeldig variabel/(x, y), du kan finne distribusjonsfunksjonen til hver av komponentene:

Hvis distribusjonslovene til tilfeldige variabler X og Y som er inkludert i systemet (X, Y) er kjent, er det mulig å bestemme fordelingsloven til systemet bare hvis de tilfeldige variablene X og Y er uavhengige. To tilfeldige variabler X og Y vil være uavhengige bare hvis fordelingsloven til hver av dem ikke avhenger av hvilke verdier den andre tar. Ellers vil verdiene til X og Y være avhengige.

Vi presenterer uten bevis betingelsene for uavhengigheten til to tilfeldige variabler.

Teorem 2.2. For at to diskrete stokastiske variabler X og Y, som danner systemet (X, Y), skal være uavhengige, er det nødvendig og tilstrekkelig for likheten

for Vi = 1, n Og j = 1, T.

Teorem 2.3. For at de tilfeldige variablene X og Y som inngår i systemet (X, Y) skal være uavhengige, er det nødvendig og tilstrekkelig at fordelingsfunksjonen til systemet er lik produktet av fordelingsfunksjonene til dets komponenter, dvs.

Teorem 2.4. For at de kontinuerlige stokastiske variablene X og Y som inngår i systemet (X, Y) skal være uavhengige, er det nødvendig og tilstrekkelig for likheten

det vil si at den felles distribusjonstettheten til systemet (X, Y) må være lik produktet av distribusjonstettheten til dets komponenter.

I tilfelle at de tilfeldige variablene X og Y som danner systemet er avhengige, introduseres konseptene med betingede lover for distribusjon av tilfeldige variabler for å karakterisere deres avhengighet.

Vi vil ikke berøre betingede distribusjonslover i denne håndboken. Interesserte kan gjøre seg kjent med dem, for eksempel kl.

Akkurat som en tilfeldig variabel X, kan et system med to tilfeldige variabler (X, Y) spesifiseres med numeriske egenskaper. Som sådan brukes vanligvis innledende og sentrale øyeblikk av forskjellige ordrer.

Det første øyeblikket av ordre (Til + s) av et system med to tilfeldige variabler (X og Y) kalles den matematiske forventningen til produktet X k på Ja, dvs.

Ordens sentrale øyeblikk (Til+ s) av et system med to tilfeldige variabler (X, Y) kalles den matematiske forventningen

fungerer X k på U®, dvs.

hvor er sentrert tilfeldig

mengder.

Husk at rekkefølgen av de innledende og sentrale øyeblikkene er summen av dens indekser, dvs. (Til+ s).

La oss presentere formler for å finne de innledende og sentrale øyeblikkene.

For et system med to diskrete tilfeldige variabler har vi
La oss minne deg på det

For et system med to kontinuerlige tilfeldige variabler får vi

I praksis brukes de innledende og sentrale øyeblikkene i første og andre ordre oftest.

Det er to innledende øyeblikk av den første rekkefølgen:

De er de matematiske forventningene til de tilfeldige variablene X og Y.

Pek med koordinater ( M[X], M[Y]) på OXY-planet - karakteristisk for posisjonen til et tilfeldig punkt (X, Y), dvs. spredningen skjer rundt punktet (M[X, M[Y]).

Begge førsteordens sentrale momenter er lik null, dvs.

Det er tre innledende øyeblikk av den andre orden:

Øyeblikk a 11 ofte funnet i applikasjoner. Fra uttrykk (2.66) og (2.68) følger formler for beregningen:

For et system med to diskrete tilfeldige variabler

For et system med to kontinuerlige tilfeldige variabler

Det er tre sentrale øyeblikk av den andre orden:

De to første momentene i formler (2.74) er dispersjoner. Og øyeblikket { kalles kovarians, eller korrelasjonsmomentet til systemet av tilfeldige variabler (X,Y). En spesiell betegnelse er introdusert for den K = K xy. Fra uttrykk (2.67) og (2.69) følger formler for beregningen:

For et system av diskrete tilfeldige variabler

For systemer med kontinuerlige tilfeldige variabler

Sentrale øyeblikk kan uttrykkes gjennom innledende og omvendt. Derfor uttrykkes kovarians ofte i form av innledende øyeblikk.

dvs. kovariansen til et system med to tilfeldige variabler er lik den matematiske forventningen til deres produkt minus produktet av deres matematiske forventninger.

Her er noen egenskaper ved kovarians:

1. Kovariansen er symmetrisk, det vil si at når indeksene byttes, endres den ikke:

2. Variansen til en tilfeldig variabel er dens kovarians med seg selv, dvs.

3. Hvis tilfeldige variabler X og Y er uavhengige, så er kovariansen null:

Dimensjonen til korrelasjonsmomentet er lik produktet av dimensjonene til de tilfeldige variablene X og Y. Det er mer praktisk å bruke en dimensjonsløs koeffisient som kun karakteriserer avhengigheten mellom de tilfeldige variablene X og Y. Derfor deles kovariansen ved produktet av gjennomsnittet kvadratavvik a[X] x a[Y] og få korrelasjonskoeffisienten:

Denne koeffisienten karakteriserer graden av avhengighet av tilfeldige variabler X og Y, og ikke noen avhengighet, men bare lineær. For to tilfeldige variabler X og Y, gjelder følgende ulikhet:

Hvis g xy= 0, da er det ingen lineær sammenheng mellom de tilfeldige variablene X og Y og de kalles ukorrelerte. Hvis g xy F 0, så kalles de tilfeldige variablene X og Y korrelerte.

Jo nærmere r er ±1, jo nærmere er det lineære forholdet mellom de tilfeldige variablene X og Y. Hvis r = ±1, så er det mellom de tilfeldige variablene X og Y en rigid funksjonell lineær sammenheng av formen

Av uavhengigheten til tilfeldige variabler X og Y følger det at de er ukorrelerte. Men det motsatte er ikke sant i det generelle tilfellet, dvs. hvis g xy= 0, så indikerer dette kun fraværet lineær forbindelse mellom tilfeldige variabler. De kan være sammenkoblet av et krumlinjet forhold.

La oss se på et spesifikt eksempel.

Eksempel 2.5

Fordelingsmatrisen til et system med to diskrete tilfeldige variabler (X,Y) er gitt.

Finne numeriske egenskaper systemer (X,Y): M[X], M[Y], D[X], D[Y], st[X], a[Y], K)