Egenskaper for multiplikasjon av naturlige tall. Multiplisere en sum med et naturlig tall og omvendt

I denne leksjonen vil du bli kjent med de ulike egenskapene til multiplikasjon og begreper som produkter og faktorer.

La oss vurdere dette problemet: informasjonskapsler ble brakt til butikken i tre bokser med 15 pakker hver. Hvor mange pakker med informasjonskapsler tok du med deg til butikken?

Løsning: å finne totalt antall pakker med informasjonskapsler i tre bokser, du må legge til 15 til 15 og legge til 15 igjen, 15 + 15 + 15 = 45. Svar: 45 pakker med informasjonskapsler ble brakt til butikken totalt.

En sum der alle ledd er like med hverandre kan skrives kortere: i stedet for 15 + 15 + 15, skriv 15 multiplisert med 3, som betyr 15 * 3 = 45. Tallet 45 kalles produktet av tallene 15 og 3, og tallene 15 og 3 kalles faktorer.

Dermed får vi: multiplisere tallet M med det naturlige tallet N - dette betyr å finne summen av N ledd, som hver er lik M.

Uttrykket M multiplisert med N kalles et produkt, og verdien av dette uttrykket kalles også produktet av tallene M og N.

Tallene M og N kalles faktorer.

Verkene blir lest og navngir hver faktor i genitivkasusen.

For eksempel er produktet av 12 og 10 120, 12 er den første faktoren, 10 er den andre faktoren, 120 er produktet.

§ 2 Egenskaper ved multiplikasjon av naturlige tall

Som med addisjon og subtraksjon har multiplikasjon av naturlige tall også visse egenskaper.

Den første egenskapen: omorganisering av faktorene endrer ikke produktet. Denne egenskapen til multiplikasjon kalles kommutativ, og ved å bruke bokstaver skrives den som følger:

For eksempel er 7 ganger 8 56, og 8 ganger 7 er også 56, så 7x8 = 8x7.

Den andre egenskapen er den assosiative egenskapen til multiplikasjon. For å multiplisere et tall med produktet av to tall, kan du først multiplisere det med den første faktoren, og deretter multiplisere det resulterende produktet med den andre faktoren.

Ved hjelp av bokstaver skrives denne egenskapen som følger:

For eksempel må produktet av 7 og 5 multipliseres med 2, vi får 7x5 = 35, multipliser deretter 35 med 2, det blir 70.

Eller du kan utføre multiplikasjon ved å bruke den assosiative egenskapen, nemlig først multipliser 5 og 2, du får 10, deretter multipliser 10 med 7, du får 70.

Følgende egenskap: hvis et tall multipliseres med 1, endres det ikke, det vil si at N multiplisert med én er lik N. Siden summen av N ledd, som hver er én, er lik N.

Summen av N ledd, som hver er null, er forresten lik null, så likheten er sann: N x 0 = 0. Dvs. En annen egenskap ved multiplikasjon, produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null.

Noen ganger, når du skriver et bestemt verk, er det vanlig å utelate multiplikasjonstegnet - prikken. Multiplikasjonstegnet er vanligvis ikke skrevet før alfabetiske faktorer og før parentes. For eksempel skrives 10 ganger x ganske enkelt som 10x eller 5 ganger summen (y + 8), skrevet slik:

Derfor ble du i denne leksjonen kjent med ulike egenskaper ved multiplikasjon, som kommutativ og assosiativ, samt egenskapene til null og en.

Liste over brukt litteratur:

Matematikk 5. klasse. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. og andre 31. utg., slettet. - M: 2013.
Didaktisk materiale i matematikk 5. klasse. Forfatter - Popov M.A. - 2013
Vi regner uten feil. Arbeid med egentest i matematikk 5.-6. Forfatter - Minaeva S.S. - 2014
Didaktisk materiale for matematikk klasse 5. Forfattere: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
Kontroll og selvstendig arbeid i matematikk 5. klasse. Forfattere - Popov M.A. - 2012
Matematikk. 5. klasse: lærerikt. for allmennpedagogiske studenter. institusjoner / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009

Pedagogiske mål for leksjonen:

forbedre ferdighetene til å multiplisere naturlige tall;
lære å bruke egenskapene til multiplikasjon i beregninger;
Fortsett å jobbe med ordproblemer.

Utviklingsmål:

utvikle logisk tenkning;
intensivere mental aktivitet ved hjelp av informasjonsteknologi.

Pedagogiske mål:

utvikle hukommelse, oppmerksomhet, ferdigheter til selvstendig og kreativ aktivitet;
vekke interesse for faget ved hjelp av IKT i klasserommet.

Utstyr:

interaktiv tavle,
datamaskiner,
presentasjon for leksjonen,
utdelingsark(kryssord)
kort " En verden av planter”,
signalkort.

Leksjonsfremgang

I. Organisatorisk øyeblikk. Speilbilde. ( Vedlegg 1. Lysbilde 1.)

Oppgi tema og formål med leksjonen. (lysbilde 2.)

Lærerens introduksjon:

«I dag skal vi ikke bare være elever i 5. klasse, men medlemmer av et åpent aksjeselskap. Hvor mange av dere vet hva et åpent aksjeselskap er?» Informasjon om JSC . (lysbilde 3.)

Læreren formulerer sin forståelse av dette begrepet sammen med elevene. Et åpent aksjeselskap (OJSC) er en organisasjon opprettet for å tjene penger. Medlemmer av denne organisasjonen samler pengene sine for å anskaffe et bestemt foretak, og mottar til gjengjeld aksjer - verdipapirer som indikerer at deres innehavere har rett til en del av foretakets eiendom. Når en virksomhet begynner å tjene penger, kan eieren motta en del av overskuddet (utbytte). Hver JSC har sitt eget navn. Elevene vil finne ut hva aksjeselskapet skal hete ved å gjøre følgende oppgave.

II. Frontal muntlig avhør ved hjelp av en interaktiv tavle.

Elevene finner muntlig betydningen av uttrykk og fyller ut svartabellen. Finn ut navnet på JSC som de skal lage i dag i klassen. (lysbilde 4.)

Det neste trinnet i leksjonen er å finne ut hvem som kan bli aksjonær. Alle som kjøper en andel av selskapet vårt kan bli med. Fullførte kryssord tas som betaling. Elevene får kryssord. (Vedlegg 3.)

III. Individuelt arbeid. Elevene løser et kryssord. Fagfellevurdering. (lysbilde 5.)

IV. Historisk informasjon. Læreren lager en rapport om opprettelsen av de første aksjeselskapene. (lysbilde 6.)

På neste trinn i timen må studentene, for å åpne et aksjeselskap, først kjøpe lokaler. Det er to hus foran dem. Den ene er tydelig opptatt, og den andre er i tvil. Det er nødvendig å nøye vurdere det første hjemmet for å løse problemet med å kjøpe et andre hjem.

V. Løsningseksempler.(lysbilde 7.)

Det andre huset har avslørt hemmeligheten bak spørsmålet sitt, som lar deg starte din egen virksomhet i dette huset. Hva må vi gjøre for dette?

Elevene foreslår en handlingsplan:

Studentene blir presentert for oppgaver som alle står overfor når de planlegger å foreta reparasjoner.

VI. Løse problemer i styret. (Lysbilde 8–9.)

Problemet med reparasjoner er løst, og til og med med kjøp av møbler. Kafeen vår blir koselig hvis den spiller musikk.

VII. Musikalsk pause. Elevene utfører ting. (Lysbilde 10.)

Vil du bygge bygninger eller lage biler?
Prøv å lære matematikk bedre på skolen.
Hvis du er på skolen i timene du bruker tid er bortkastet,
Du vil aldri kunne bli en seriøs forretningsmann.
For å bli gründer må du vite det
Du må være veldig flittig i timene.
Slik at fortjenesten strømmer til deg i en kontinuerlig strøm
Du må være oppmerksom på skolen i timene.
Vi er venner - vi vil si farvel til deg med latter.
Vi inviterer deg til kafeen og vi møtes der.

Problemet med det musikalske arrangementet er løst, og nå må vi tenke på hva som skal stå på menyen. Kafeen heter «Sweet Tooth», så den skal ha søte produkter. Å lage dem krever mye oppfinnsomhet. Elevene øver på kreativitet med følgende matematikkaktivitet.

VIII. Arbeid med læreboka. (Lysbilde 11.)

nr. 416 (s. 69): gjennomgå og forsterke egenskapene til multiplikasjon.
a ∙ b = b ∙ a
a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

IX. Kroppsøvingsminutt.(Lysbilde 12.)

X. Test. Jobber på datamaskiner. (Lysbilde 13.) Elevene tar prøver på datamaskiner. (Vedlegg 2.)

Testresultatene summeres og karakterer føres inn i dagbøkene.

XI. Ekstra oppgave. Finn feilen og fiks den:

76 + 24 = 90;
190 – 67 = 123;
2005 + 15 = 2020;
1313: 13 = 11;
50 6 13 = 390;
72 11 = 792;
8 8 125 = 800;
(200 + 67) – 100 = 167.

XII. Elevene bruker et sett med ord for å lage en reklame for kafeen deres.(Lysbilde 14.)

XIII. Leksjonssammendrag.

Hva kalles tall når de multipliseres?
Hvilke egenskaper ved multiplikasjon brukes for å gjøre beregningene enklere?

XIV. Kreative lekser. (Lysbilde 15.)

Kort "Fra plantenes verden".

XV. Speilbilde. (Lysbilde 16.)

La oss vurdere et eksempel som bekrefter gyldigheten av den kommutative egenskapen til å multiplisere to naturlige tall. Med utgangspunkt i betydningen av å multiplisere to naturlige tall, la oss beregne produktet av tallene 2 og 6, samt produktet av tallene 6 og 2, og sjekke likheten til multiplikasjonsresultatene. Produktet av tallene 6 og 2 er lik summen 6+6, fra addisjonstabellen finner vi 6+6=12. Og produktet av tallene 2 og 6 er lik summen 2+2+2+2+2+2, som er lik 12 (se om nødvendig artikkelen om tillegg av tre eller flere tall). Derfor er 6·2=2·6.

Her er et bilde som illustrerer den kommutative egenskapen til å multiplisere to naturlige tall.

Kombinativ egenskap ved multiplikasjon av naturlige tall.

La oss uttrykke den assosiative egenskapen ved å multiplisere naturlige tall: multipliser et gitt tall med dette arbeidet to tall er det samme som å multiplisere et gitt tall med den første faktoren, og multiplisere resultatet med den andre faktoren. det vil si a·(b·c)=(a·b)·c, hvor a , b og c kan være alle naturlige tall (uttrykkene hvis verdier beregnes først er omsluttet i parentes).

La oss gi et eksempel for å bekrefte den assosiative egenskapen til å multiplisere naturlige tall. La oss beregne produktet 4·(3·2) . I henhold til betydningen av multiplikasjon har vi 3·2=3+3=6, deretter 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24. La oss nå gange (4·3)·2. Siden 4·3=4+4+4=12, så (4·3)·2=12·2=12+12=24. Dermed er likheten 4·(3·2)=(4·3)·2 sann, og bekrefter gyldigheten til den aktuelle egenskapen.

La oss vise en tegning som illustrerer den assosiative egenskapen til multiplikasjon av naturlige tall.

Som konklusjon av dette avsnittet merker vi at den assosiative egenskapen til multiplikasjon lar oss unikt bestemme multiplikasjonen av tre eller flere naturlige tall.

Distributiv egenskap ved multiplikasjon i forhold til addisjon.

Følgende egenskap forbinder addisjon og multiplikasjon. Det er formulert som følger: multiplisere dette beløpet to tall for et gitt tall er det samme som å legge til produktet av det første leddet og gitt nummer med produktet av det andre leddet og det gitte tallet. Dette er den såkalte distributive egenskapen til multiplikasjon i forhold til addisjon.

Ved å bruke bokstaver skrives den distributive egenskapen til multiplikasjon i forhold til addisjon som (a+b)c=ac+bc(i uttrykket a·c+b·c utføres først multiplikasjon, deretter legges det til; mer detaljer om dette er skrevet i artikkelen), der a, b og c er vilkårlige naturlige tall. Merk at kraften til den kommutative egenskapen til multiplikasjon, den distributive egenskapen til multiplikasjon kan skrives inn følgende skjema: a·(b+c)=a·b+a·c.

La oss gi et eksempel som bekrefter den distributive egenskapen til multiplikasjon av naturlige tall. La oss sjekke gyldigheten av likheten (3+4)·2=3·2+4·2. Vi har (3+4) 2=7 2=7+7=14, og 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14, derav likheten ( 3+4 ) 2=3 2+4 2 er riktig.

La oss vise en figur som tilsvarer den distributive egenskapen til multiplikasjon i forhold til addisjon.

Distributiv egenskap ved multiplikasjon i forhold til subtraksjon.

Hvis vi holder oss til betydningen av multiplikasjon, så er produktet 0·n, der n er et vilkårlig naturlig tall større enn én, summen av n ledd, som hver er lik null. Slik, . Egenskapene til addisjon lar oss si at sluttsummen er null.

For et hvilket som helst naturlig tall n gjelder altså likheten 0·n=0.

For at den kommutative egenskapen til multiplikasjon skal forbli gyldig, aksepterer vi også gyldigheten av likheten n·0=0 for et hvilket som helst naturlig tall n.

Så, produktet av null og et naturlig tall er null, altså 0 n=0 Og n·0=0, hvor n er et vilkårlig naturlig tall. Det siste utsagnet er en formulering av egenskapen multiplikasjon av et naturlig tall og null.

Avslutningsvis gir vi et par eksempler relatert til egenskapen til multiplikasjon diskutert i dette avsnittet. Produktet av tallene 45 og 0 er lik null. Hvis vi ganger 0 med 45 970, får vi også null.

Nå kan du trygt begynne å studere reglene for multiplikasjon av naturlige tall.

Referanser.

Matematikk. Eventuelle lærebøker for 1., 2., 3., 4. trinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.
Matematikk. Eventuelle lærebøker for 5. klasse ved allmennutdanningsinstitusjoner.

Der alle ledd er like med hverandre, skriv det kortere: i stedet for 25 + 25 + 25 skriv 25 3.
Dette betyr 25 3 = 75. Tallet 75 kalles produktet av tallene 25 og 3, og tallene 25 og 3 kalles faktorer.

415. Utfør handlinger ved å bruke den assosiative egenskapen til multiplikasjon:

a) 50 (2.764); c) 125 (4 80);
b) (111 2) 35; d) (402 125) 8.

416. Beregn ved å velge en praktisk prosedyre:

a) 483 2 5; c) 25 86 4;
b) 4 5 333; d) 250 3 40.

417. 5 esker med maling ble brakt til butikken. Hver boks inneholder 144 bokser, og hver boks inneholder 12 tuber med maling. Hvor mange tuber tok du med deg til butikken? Løs problemet på to måter.

a) Vi bygde 5 hytter med 80 m2 boareal og 2 hytter på 140 m2 hver. Hva er oppholdsrom alle disse hyttene?

b) Massen til en beholder med fire bokhyller er 3 cwt. Hva er massen til den tomme beholderen hvis massen til ett skap er 58 kg?

421. De hadde med seg 12 kasser epler, 30 kg hver, og 8 kasser pærer, 40 kg hver. Hva er meningen med følgende uttrykk:

a) 30 12; c) 408; e) 30 12 + 40 8;
b) 12-8; d) 40-30; e) 30 12 - 40 8?

422. Følg disse trinnene:

a) (527 - 393) 8; d) 54 23 35;
b) 38 65 - 36 63; e) (247 - 189) (69 + 127);
c) 127 15 + 138 32; e) (1203 + 2837 - 1981) 21.

423. Skriv ned verket:

a) 8 og x; b) 12 + a og 16; c) 25 -m og 28 + n d) a + b og m.

424. Angi faktorene i produktet:

a) Zt; c) 4ab; e) (m + n)(k-3);
b) 6(x + p); d) (x - y) 14; e) 5k(m + a).

a) produktet av m og n;
b) tredoble summen av a og b;
c) summen av produktene av tallene 6 og x og tallene 8 og y;
d) produktet av forskjellen mellom tallene a og b og tallet c.

426. Les uttrykket:

a) a (c + d); c) 3(m+n); e) ab + c;
b) (4 - a) 8; d) 2(m - n); e) m - cd.

427. Finn betydningen av uttrykket:

a) 8a + 250 ved a = 12; 15;

b) 14(6 + 12) med b = 13; 18.

428. En syklist syklet i en time med en hastighet på 12 km/t og i 2 timer med en hastighet på 8 km/t. Hvor mange kilometer kjørte syklisten i løpet av denne tiden? Lag et uttrykk for å løse problemet og finn verdien når a = 1; 2; 4.

429. Lag et uttrykk basert på betingelsene for problemet:

a) Fra 6 bokhyller skapet er satt sammen. Høyden på hver hylle x cm Finn høyden på skapet. Finn verdien av uttrykket når x = 28; 33.
b) På en tur frakter et MAZ-25 kjøretøy 25 tonn last. Hvor mye last vil den transportere i k-flyvninger? Finn verdien av uttrykket når k = 10; 5; 0.

430. Prisen på en volleyball er x rub., og prisen på en basketball er x rub. Hva betyr uttrykkene: Zx; 4у; bх + 2у; 15x - 2y; 4(x + y)?

431. Lag en oppgave basert på uttrykket:

a) (80 + 60) -7; c) 284 + 355;
b) (65 - 40) -4; d) 96 5 - 82 3.

432. Fem stier fører til toppen av bakken. Hvor mange måter er det å gå opp og ned en bakke hvis du går opp og ned forskjellige stier?

433. Hvilket produkt er størst: 67 2 eller 67 3? Forklar hvorfor det er slik. Forklar hvorfor 190 8< 195 12. Сделайте вывод.

434. Ordne, uten å multiplisere, i stigende rekkefølge av produktet: 56 24; 56 49; 13 24; 13 11; 74 49; 7 11.

435. Bevis at:

a) 20 30< 23 35 < 30 40;
b) 600 800< 645 871 < 700 900;
c) 1200< 36 42 < 2000;
d) 45 000< 94 563 < 60 000.

436. Regn ut muntlig:

437. Hvilket tall mangler?

438. Gjenopprett kjeden av beregninger:

439. Gjett røttene til ligningen:

a) x + x = 64; b) 58 + y + y + y = 58; c) a + 2 = a - 1.

440. Kom opp med et problem som kan løses ved hjelp av ligningen:

a) x+ 15 = 45;

b) y - 12 = 18.

441. Hvor mange firesifrede tall kan lages av oddetall, hvis sifrene i tallet ikke gjentas?

442. Blant tallene 1, 0, 5, 11,9, finn røttene til ligningen:

a) x + 19 = 30; c) 30 + x = 32 - x
b) 27 - x = 27 + x; d) 10 + x + 2 = 15 + x - 3.

443. Nevn flere egenskaper ved en stråle. Hvilke av disse egenskapene har en rett linje?

444. Kom opp med en måte å raskt og enkelt beregne verdien av et uttrykk:

39 - 37 + 35 - 33 + 31 - 29 + 27 - 25 + ... + 11 - 9 + 7 - 5 + 3 - 1.

445. Løs ligningen:

a) 127 + y = 357 - 85; c) 144-y-54 = 37;
b) 125 + y - 85 = 65; G). 52 + y + 87 = 159.

446. Ved hvilken verdi av bokstaven er likheten sann:

a) 34 + a = 34; d) 58 - d = 0; g) k - k = 0;
b) b + 18 = 18; e) m + 0 = 0; h) l + I = 0?
c) 75 - s = 75; e) 0 - n = 0;

447. Løs problemet:

a) Det er flere sopp i kurven. Etter at 10 sopp ble tatt ut av den, og deretter 14 sopp ble satt inn i den, var det 85 sopp i den. Hvor mange sopp var det i kurven i utgangspunktet?

b) Gutten hadde 16 frimerker. Han kjøpte noen flere frimerker og ga dem deretter i gave yngre bror 23 merker og han har 19 merker igjen. Hvor mange frimerker kjøpte gutten?

448. Forenkle uttrykket:

1) (138 + m) - 95; 3) (x - 39) + 65;
2) (198 + n) - 36; 4) (y - 56) + 114.

449. Finn betydningen av uttrykket:

1) 7480 - 6480: 120 + 80;

2) 1110 + 6890: 130 - 130.

450. Finn betydningen av uttrykket:

a) 704 + 704 + 704 + 704;

b) 542 + 542 + 542 + 618 + 618.

451. Presenter produktet som en sum:

a) 24-4; b) k 8; c) (x + y) 4: d) (2a - b) 5.

452. 250 bokser ble brakt til butikken, hver boks inneholdt 54 pakker med småkaker. Hva er massen til alle kjeksene hvis massen til en pakke er 150 g?

453. I trekant ABC er siden AB 27 cm, og den er 3 ganger større enn siden BC. Finn lengden på siden AC hvis omkretsen trekant ABC lik 61 cm.

454. En automatisk maskin produserer 12 deler per minutt, og en annen - 15 av de samme delene. Hvor mange deler vil produseres på 20 minutters drift av den første maskinen og 15 minutters drift av den andre maskinen?

455. Utfør multiplikasjon:

a) 56 24; c) 235 48; e) 203 504; g) 2103 7214;
b) 37 85; d) 37 129; e) 210 3500; h) 5008 3020.

456. To tog forlot samme stasjon samtidig i motsatt retning. Hastigheten til ett tog er 50 km/t, og det andre er 85 km/t. Hva blir avstanden mellom togene etter 3 timer?

457. En syklist syklet fra landsbyen til byen i 4 timer med en hastighet på 12 km/t. Hvor mye tid vil han bruke på langt tilbake på samme vei hvis hastigheten øker med 4 km/t?

458. Kom opp med et problem ved å bruke uttrykket:

a) 120 + 65-2; b) 168-43-2; c) 15 4 + 12 4.

459. Sammenlign, uten å beregne, produktene (skriv svaret med tegnet<):

a) 245.611 og 391.782;

b) 8976 1240 og 6394 906.

460. Skriv ned produktet i stigende rekkefølge:

172 191; 85 91; 85 104; 36 91; 36 75; 172 104.

461. Regn ut:

a) (18 384 4- 19 847) (384 - 201 - 183);
b) (2839 - 939) (577: 577).

462. Løs ligningen:

a) (x + 27) - 12 = 42; c) g - 35 - 64 = 16;
b) 115 - (35 + y) = 39; d) 28 - t + 35 = 53.

463. Tell hvor mange firere og hvor mange femmere det er i figur 48, men bare etter en spesiell regel - du må telle både firere og femmere på rad: "Første fire, første fem, andre fire, tredje fire, andre fem osv." Hvis du ikke kan telle med en gang, kom tilbake til denne oppgaven igjen og igjen.

N.Ja. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, matematikk klasse 5, lærebok for allmenne utdanningsinstitusjoner

Samling av leksjonsnotater i matematikk laste ned, kalender og tematisk planlegging, lærebøker i alle fag