En median er et segment trukket fra toppen av en trekant til midten av motsatt side, det vil si at den deler den i to i skjæringspunktet. Punktet der medianen skjærer siden motsatt toppunktet den kommer ut fra kalles basen. Hver median av trekanten går gjennom ett punkt, kalt skjæringspunktet. Formelen for lengden kan uttrykkes på flere måter.

Formler for å uttrykke lengden på medianen

• Ofte i geometrioppgaver må elevene forholde seg til et segment som medianen til en trekant. Formelen for lengden er uttrykt i form av sider:

hvor a, b og c er sidene. Dessuten er c siden som medianen faller på. Slik ser den enkleste formelen ut. Medianer av en trekant er noen ganger nødvendig for hjelpeberegninger. Det finnes andre formler.

• Hvis det under beregningen er kjent to sider av en trekant og en viss vinkel α plassert mellom dem, vil lengden på trekantens median, senket til den tredje siden, bli uttrykt som følger.

Grunnleggende egenskaper

• Alle medianer har ett felles skjæringspunkt O og deles på det i forholdet to til én, hvis det telles fra toppunktet. Dette punktet kalles trekantens tyngdepunkt.
• Medianen deler trekanten i to andre hvis arealer er like. Slike trekanter kalles likt areal.
• Hvis du tegner alle medianene, vil trekanten deles inn i 6 like figurer, som også vil være trekanter.
• Hvis alle tre sidene i en trekant er like, vil hver av medianene også være en høyde og en halveringslinje, det vil si vinkelrett på siden den er tegnet til, og halverer vinkelen den kommer ut fra.
• I en likebenet trekant vil medianen trukket fra toppunktet som er motsatt siden som ikke er lik noen annen også være høyden og halveringslinjen. Medianene som faller fra andre hjørner er like. Dette er også en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for likebenete.
• Hvis en trekant er basen til en vanlig pyramide, projiseres høyden som faller til denne basen til skjæringspunktet mellom alle medianer.

• I en rettvinklet trekant er medianen trukket til den lengste siden lik halvparten av lengden.
• La O være skjæringspunktet for trekantens medianer. Formelen nedenfor vil være sann for ethvert punkt M.

• Medianen til en trekant har en annen egenskap. Formelen for kvadratet av lengden gjennom kvadratene på sidene er presentert nedenfor.

Egenskaper til sidene som medianen er trukket til

• Hvis du kobler to skjæringspunkter mellom medianene med sidene de er sluppet på, vil det resulterende segmentet være midtlinjen til trekanten og være halvparten av siden av trekanten som det ikke har felles punkter med.
• Basene til høydene og medianene i en trekant, samt midtpunktene til segmentene som forbinder trekantens toppunkter med skjæringspunktet mellom høydene, ligger på samme sirkel.

Avslutningsvis er det logisk å si at et av de viktigste segmentene er medianen til trekanten. Formelen kan brukes til å finne lengdene på de andre sidene.

For å finne medianen ved å bruke sidene i en trekant, trenger du ikke å huske en ekstra formel. Det er nok å kjenne løsningsalgoritmen.

La oss først se på problemet i generell form.

Gitt en trekant med sidene a, b, c. Finn lengden på medianen trukket til side b.

AB=a, AC=b, BC=c.

På stråle BF plotter vi segmentet FD, FD=BF.

La oss koble punkt D til punkt A og C.

Firkant ABCD er et parallellogram (etter attributt), siden diagonalene i skjæringspunktet er delt i to.

Egenskapen til diagonalene til et parallellogram: summen av kvadratene til diagonalene til et parallellogram er lik summen av kvadratene på sidene.

Derfor: AC²+BD²=2(AB²+BC²), som betyr b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². Ved konstruksjon er BF halvparten av BD, derfor

Dette er formelen for å finne medianen til en trekant basert på sidene. Det skrives vanligvis slik:

La oss gå videre til å vurdere en spesifikk oppgave.

Sidene av trekanten er 13 cm, 14 cm og 15 cm Finn medianen til trekanten tegnet til siden av gjennomsnittlig lengde.

Ved å bruke lignende resonnement får vi:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

En trekant er en polygon med tre sider, eller en lukket stiplet linje med tre ledd, eller en figur dannet av tre segmenter som forbinder tre punkter som ikke ligger på samme rette linje (se fig. 1).

Grunnleggende elementer i trekant abc

Topper – punktene A, B og C;

Fester – segmentene a = BC, b = AC og c = AB som forbinder toppunktene;

Vinkler – α, β, γ dannet av tre sidepar. Vinkler er ofte utpekt på samme måte som hjørner, med bokstavene A, B og C.

Vinkelen som dannes av sidene av en trekant og som ligger i dens indre område kalles en indre vinkel, og den som grenser til den er den tilstøtende vinkelen til trekanten (2, s. 534).

Høyder, medianer, halveringslinjer og midtlinjer i en trekant

I tillegg til hovedelementene i en trekant, vurderes også andre segmenter med interessante egenskaper: høyder, medianer, halveringslinjer og midtlinjer.

Høyde

Trekanthøyder- dette er perpendikulære lodd fra trekantens toppunkter til motsatte sider.

For å plotte høyden må du utføre følgende trinn:

1) tegne en rett linje som inneholder en av sidene av trekanten (hvis høyden er trukket fra toppunktet til en spiss vinkel i en stump trekant);

2) fra toppunktet som ligger overfor den tegnede linjen, tegn et segment fra punktet til denne linjen, og lag en vinkel på 90 grader med det.

Punktet der høyden skjærer siden av trekanten kalles høyde base (se fig. 2).

Egenskaper til trekanthøyder

I en rettvinklet trekant deler høyden trukket fra toppunktet til den rette vinkelen den i to trekanter som ligner på den opprinnelige trekanten.

I en spiss trekant avskjærer dens to høyder lignende trekanter fra den.

Hvis trekanten er spiss, hører alle høydebasene til sidene av trekanten, og i en stump trekant faller to høyder på fortsettelsen av sidene.

Tre høyder i en spiss trekant skjærer hverandre i ett punkt og dette punktet kalles ortosenter triangel.

Median

Medianer(fra latin mediana – «midt») - dette er segmenter som forbinder trekantens toppunkter med midtpunktene på de motsatte sidene (se fig. 3).

For å konstruere medianen må du utføre følgende trinn:

1) finn midten av siden;

2) koble punktet som er midten av siden av trekanten med motsatt toppunkt med et segment.

Egenskaper til trekantmedianer

Medianen deler en trekant i to trekanter med lik areal.

Medianene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt, som deler hver av dem i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet. Dette punktet kalles tyngdepunkt triangel.

Hele trekanten er delt med medianene i seks like trekanter.

Bisector

Halvledere(fra latin bis - to ganger og seko - cut) er de rette linjestykkene innelukket i en trekant som halverer vinklene (se fig. 4).

For å konstruere en halveringslinje, må du utføre følgende trinn:

1) konstruer en stråle som kommer ut fra vinkelens toppunkt og deler den i to like deler (halveringslinjen til vinkelen);

2) finn skjæringspunktet for halveringslinjen til trekantens vinkel med motsatt side;

3) velg et segment som forbinder trekantens toppunkt med skjæringspunktet på motsatt side.

Egenskaper til halveringslinjer for trekant

Halveringslinjen til en vinkel i en trekant deler den motsatte siden i et forhold som er lik forholdet mellom de to tilstøtende sidene.

Halveringslinjene til de indre vinklene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Dette punktet kalles midten av den innskrevne sirkelen.

Halveringslinjene til de indre og ytre vinklene er vinkelrette.

Hvis halveringslinjen til en ytre vinkel av en trekant skjærer forlengelsen av den motsatte siden, så ADBD=ACBC.

Halveringslinjene til en indre og to ytre vinkler i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Dette punktet er sentrum av en av de tre eksirklene i denne trekanten.

Basene til halveringslinjen til to indre og en ytre vinkel i en trekant ligger på samme rette linje hvis halveringslinjen til den ytre vinkelen ikke er parallell med motsatt side av trekanten.

Hvis halveringslinjene til de ytre vinklene til en trekant ikke er parallelle med motsatte sider, ligger deres base på samme rette linje.

Når du studerer et hvilket som helst emne i et skolekurs, kan du velge et visst minimum av problemer, og etter å ha mestret metodene for å løse dem, vil studentene kunne løse ethvert problem på nivå med programkrav om emnet som studeres. Jeg foreslår å vurdere problemer som vil tillate deg å se sammenhengene mellom individuelle emner i skolematematikkkurset. Derfor er det kompilerte oppgavesystemet et effektivt middel for repetisjon, generalisering og systematisering av pedagogisk materiale i løpet av forberedelsene av studentene til eksamen.

For å bestå eksamen vil det være nyttig å ha tilleggsinformasjon om noen av elementene i trekanten. La oss vurdere egenskapene til medianen til en trekant og problemer med å løse hvilke disse egenskapene som kan brukes. De foreslåtte oppgavene implementerer prinsippet om nivådifferensiering. Alle oppgaver er betinget delt inn i nivåer (nivået er angitt i parentes etter hver oppgave).

La oss huske noen egenskaper til medianen til en trekant

Eiendom 1. Bevis at medianen av en trekant ABC, trukket fra toppunktet EN, mindre enn halvparten av summen av sidene AB Og A.C..

Bevis

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Eiendom 2. Medianen kutter trekanten i to like områder.

Bevis

La oss tegne fra toppunktet B i trekanten ABC medianen BD og høyden BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Siden segmentet BD er medianen, da

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Eiendom 4. Medianene til en trekant deler trekanten i 6 like trekanter.

Bevis

La oss bevise at arealet til hver av de seks trekantene som medianene deler trekanten ABC i er lik arealet av trekanten ABC. For å gjøre dette, vurdere for eksempel trekant AOF og slipp en vinkelrett AK fra toppunkt A til linje BF.

På grunn av eiendom 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Eiendom 6. Medianen i en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til den rette vinkelen er lik halve hypotenusen.

Bevis

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Konsekvenser:1. Sentrum av en sirkel omskrevet om en rettvinklet trekant ligger i midten av hypotenusen.

2. Hvis lengden på medianen i en trekant er lik halvparten av lengden på siden den er tegnet til, så er denne trekanten rettvinklet.

OPPGAVER

Når du løser hvert påfølgende problem, brukes påviste egenskaper.

№1 Emner: Dobling av medianen. Vanskelighetsgrad: 2+

Tegn og egenskaper ved et parallellogram Karakterer: 8,9

Betingelse

På fortsettelse av medianen ER. triangel ABC per poeng M segmentet utsatt M.D., lik ER.. Bevis at firkanten ABDC- parallellogram.

Løsning

La oss bruke et av tegnene til et parallellogram. Diagonaler til en firkant ABDC skjære hverandre i et punkt M og del den i to, så firkanten ABDC- parallellogram.